MODEL MATEMATIKA SIS-SI DALAM PENYEBARAN PENYAKIT MALARIA DENGAN VAKSINASI TAKSEMPURNA NUR FAJRI

Transkripsi

1 MODEL MATEMATIKA SIS-SI DALAM PENYEBARAN PENYAKIT MALARIA DENGAN VAKSINASI TAKSEMPURNA NUR FAJRI SEKOLAH PASCASARJANA INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 05

2

3 PERNYATAAN MENGENAI TESIS DAN SUMBER INFORMASI SERTA PELIMPAHAN HAK CIPTA Dengan ini saya menyatakan bawa tesis berjudul Model Matematika SIS-SI dalam Penyebaran Penyakit Malaria dengan Vaksinasi Taksempurna adala benar karya saya dengan araan dari komisi pembimbing dan belum diajukan dalam bentuk apapun kepada perguruan tinggi manapun. Sumber informasi yang berasal atau dikutip dari karya yang diterbitkan maupun tidak diterbitkan dari penulis lain tela disebutkan dalam teks dan dicantumkan dalam Daftar Pustaka di bagian akir tesis ini. Dengan ini saya melimpakan ak cipta dari karya tulis saya kepada Institut Pertanian Bogor. Bogor, Oktober 05 Nur Fajri NIM G5507

4 RINGKASAN NUR FAJRI. Model Matematika SIS-SI dalam Penyebaran Penyakit Malaria dengan Vaksinasi Taksempurna. Dibimbing ole PAIAN SIANTURI dan TONI BAKHTIAR. Malaria merupakan penyakit menular yang disebabkan ole parasit yang dikenal dengan Plasmodium. Pembawa parasit Plasmodium iala nyamuk Anopeles betina yang mengakibatkan rusaknya sel-sel dara mera pada manusia dan ewan melalui gigitannya. Malaria juga dapat ditularkan melalui transfusi dara. Malaria adala penyakit yang mematikan. Untuk itu, diperlukan pencegaan untuk mengendalikan baik tingkat infeksi maupun tingkat penyebaran penyakit ini. Dalam penelitian ini, dibaas sebua model penyebaran penyakit malaria tipe SIS (Susceptible-Infected-Susceptible)-SI (Susceptible-Infected). Dalam model ini, populasi manusia dibagi menjadi tiga kelas, yaitu kelas rentan, kelas terinfeksi dan kelas teraksinasi. Sementara itu, populasi nyamuk dibagi menjadi dua kelas, yaitu kelas rentan dan kelas terinfeksi. Manusia pada kelas rentan dapat berpinda ke kelas terinfeksi karena gigitan nyamuk terinfeksi ataupun penularan dari manusia terinfeksi melalui transfusi dara. Manusia di kelas rentan dapat berpinda ke manusia teraksinasi karena aksinasi. Manusia di kelas terinfeksi dapat berpinda ke kelas rentan karena pemberian obat-obatan. Manusia di kelas teraksinasi dapat berpinda ke kelas terinfeksi karena kegagalan aksin dan berpinda ke kelas rentan karena keilangan kekebalan tubu. Nyamuk pada kelas rentan dapat berpinda ke kelas terinfeksi akibat menggigit manusia terinfeksi. Modifikasi model dilakukan dengan menambakan asumsi bawa manusia yang sembu masi dapat tertularkan penyakit, laju kelairan manusia dan nyamuk dianggap sama dengan laju kematian dan manusia yang aksinasinya efektif akan berpinda ke kelas rentan apabila kekebalan tubunya mengilang. Selain itu, modifikasi model juga dilakukan dengan pemberian aksin pada manusia. Tujuan dari penelitian ini iala memodifikasi model matematika penyebaran penyakit malaria, melakukan analisis kestabilan lokal dan global pada model modifikasi, melakukan analisis bifurkasi pada model modifikasi, menganalisis pengaru faktor aksinasi taksempurna teradap penularan penyakit malaria melalui simulasi komputer. Dalam penelitian ini diperole dua titik tetap pada model, yaitu titik tetap tanpa penyakit dan titik tetap endemik. Dengan menggunakan bilangan reproduksi dasar R 0, maka diperole bawa titik tetap tanpa penyakit bersifat stabil global, jika R0 dan titik tetap endemik bersifat stabil global, jika R0. Selain itu, digunakan juga analisis bifurkasi yang bertujuan untuk mengetaui eksistensi dan jumla titik tetap endemik pada model untuk setiap parameter yang diberikan. Parameter yang dianalisis anya untuk parameter, dan. Hal ini dikarenakan parameter-parameter tersebut merupakan laju interaksi antarpopulasi. Hasil analisis bifurkasi menunjukkan bawa jika terjadi bifurkasi maju, maka titik tetap endemik bersifat stabil dan jika terjadi bifurkasi mundur, maka titik tetap endemik bersifat takstabil. Selain itu, asil simulasi komputer menunjukkan bawa perlakuan yang diberikan memberikan pengaru teradap dinamika penyebaran penyakit pada

5 populasi manusia dan nyamuk yang ditunjukkan dengan bilangan reproduksi dasar R 0. Secara umum, jika efektiitas aksin ditingkatkan, maka menyebabkan menurunnya bilangan reproduksi dasar. Jika diperole R0, maka jumla indiidu yang terinfeksi semakin berkurang, seingga penyakit tidak akan menyebar dan dalam jangka waktu tertentu penyakit akan mengilang dari populasi. Kata kunci: malaria, aksinasi taksempurna, bifurkasi, kestabilan global, model SIS-SI

6 SUMMARY NUR FAJRI. Matematical SIS-SI Model in Spread Malaria wit Imperfect Vaccination. Superised by PAIAN SIANTURI and TONI BAKHTIAR. Malaria is an infectious disease caused by a parasite known as Plasmodium. Te Plasmodium parasite carrier is a female Anopeles mosquito tat causes te destruction of red blood cells in umans and animals troug mosquito bites. Malaria can also be transmitted troug blood transfusion. Malaria is a deadly disease. For tat, we need preention for controlling bot te rate of infection and te spread of te disease. In tis study, we discuss a model of te spread of malaria type of SIS (Susceptible-Infected-Susceptible)-SI (Susceptible-Infected). In tis model, te uman population is diided into tree classes, namely Susceptible, Infected and Vaccinated. Meanwile, te mosquito population is diided into two classes namely Susceptible and Infected. Humans on susceptible class may moe to te infected class. Susceptible umans can be transferred to accinated umans. Infected umans can be transferred to te susceptible class because of te proision of drugs. Vaccinated umans can moe to class infections due to accine failure and switc to te susceptible class because of loss of immunity. Mosquitoes on susceptible class can moe to class of mosquitoes infected from biting an infected uman. Modification of te model is done by adding te assumption tat people wo recoer can still be transmitted disease, uman birt rate and mosquitoes are considered equal to te rate of deat and uman accination will effectiely moe to susceptible class if teir immune as disappeared. Moreoer, modification of te model is also done wit te accination in umans. Te aim of tis study is to modify a matematical model of te spread of malaria, to analyze te local and global stability on te modified model, to analyze te bifurcation on te modified model and to sow te influence imperfect accination against malaria disease transmission troug computer simulation. Troug tis study, we found tat tere are two equilibrium points on te model, wic is disease free equilibrium point and endemic equilibrium point. By using basic reproduction number, we get if R0. ten te model will be globally stable in te disease free equilibrium and if R0, te model will be globally stable in te endemic equilibrium point. Moreoer, it is used also bifurcation analysis tat aims to determine te existence of te endemic equilibrium point in te model for eac of te gien parameters. Te parameters tat were analyzed only for, and. Tis is because tese parameters are rate among population interactions. Te result of analysis sow tat te endemic equilibrium point is stable if forward bifurcation and unstable if backward bifurcation. Besides tat, te results of computer simulations sow tat te treatment gien to gie effect to te dynamics of te spread of diseases in uman populations and mosquito sown wit basic reproduction number R 0. In general, if te accine's effectieness is increased, ten caused a decline in te basic reproduction number of infected indiiduals. If R0, ten te rate of transmission by infected

7 indiiduals decreased, so tat te smaller te spread of disease and illness in a certain time will disappear from te population. Keywords: malaria, imperfect accination, bifurcation, global stability, SIS-SI

8 Hak Cipta Milik IPB, Taun 05 Hak Cipta Dilindungi Undang-Undang Dilarang mengutip sebagian atau seluru karya tulis ini tanpa mencantumkan atau menyebutkan sumbernya. Pengutipan anya untuk kepentingan pendidikan, penelitian, penulisan karya ilmia, penyusunan laporan, penulisan kritik, atau tinjauan suatu masala; dan pengutipan tersebut tidak merugikan kepentingan IPB Dilarang mengumumkan dan memperbanyak sebagian atau seluru karya tulis ini dalam bentuk apapun tanpa izin IPB

9 MODEL MATEMATIKA SIS-SI DALAM PENYEBARAN PENYAKIT MALARIA DENGAN VAKSINASI TAKSEMPURNA NUR FAJRI Tesis sebagai sala satu syarat untuk memperole gelar Magister Sains pada Program Studi Matematika Terapan SEKOLAH PASCASARJANA INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 05

10 Penguji Luar Komisi pada Ujian Tesis: Dr Jaaruddin, MS

11

12 PRAKATA Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Alla SWT atas segala anugera- Nya seingga penulis dapat menyelesaikan tesis ini. Tema yang dipili dalam penelitian yang dilaksanakan sejak bulan September 04 ini iala pemodelan matematika dengan judul Model Matematika SIS-SI dalam Penyebaran Penyakit Malaria dengan Vaksinasi Taksempurna. Penulisan tesis ini merupakan sala satu syarat memperole gelar Magister Sains pada program studi Matematika Terapan Sekola Pascasarjana Institut Pertanian Bogor. Terima kasi penulis ucapkan kepada: Bapak H Ramli dan Ibu Hj Suwarni selaku orang tua dan kakak, adik serta seluru keluarga yang selalu memberikan dorongan dan mendoakan untuk keberasilan studi bagi penulis. Bapak Dr Paian Sianturi selaku ketua komisi pembimbing. Bapak Dr Toni Baktiar, MSc selaku anggota komisi pembimbing sekaligus Ketua Departemen Matematika Institut Pertanian Bogor. 4 Bapak Dr Jaaruddin, MS selaku Penguji Luar Komisi dan Ketua Program Studi Matematika Terapan Institut Pertanian Bogor. 5 Seluru dosen dan tenaga kependidikan Departemen Matematika Institut Pertanian Bogor. 6 Kak Sonna yang selalu menemani dan membantu penulis dalam menyelesaikan studi di Institut Pertanian Bogor. 7 Saabat-saabat yang tidak dapat disebutkan satu persatu yang tela banyak membantu penulis dalam menyelesaikan studi. 8 Direktorat Pendidik dan Tenaga Kependidikan (Diktendik)-DIKTI sebagai sponsor Beasiswa Pendidikan Pascasarjana Dalam Negeri (BPP-DN). Akirnya, semoga penulisan tesis ini dapat bermanfaat dan memperkaya pengalaman belajar dan wawasan kita semua. Bogor, Oktober 05 Nur Fajri

13 DAFTAR ISI DAFTAR TABEL DAFTAR GAMBAR DAFTAR LAMPIRAN PENDAHULUAN Latar Belakang Tujuan Penelitian TINJAUAN PUSTAKA Sistem Persamaan Diferensial Persamaan Diferensial Biasa Orde- Persamaan Diferensial Biasa Mandiri dan Takmandiri Sistem Persamaan Diferensial Biasa Nilai Eigen dan Vektor Eigen Titik Tetap 4 Pelinearan 4 Analisis Kestabilan Titik Tetap 5 Titik Tetap Stabil 5 Titik Tetap Takstabil 5 Kestabilan Titik Tetap 5 Kestabilan Global 5 Pengertian Orbit Periodik 5 Kriteria Bendixson di ii ii iii n 6 Bilangan Reproduksi Dasar 6 Bifurkasi 7 Definisi Bifurkasi 7 Kura Bifurkasi 7 Teorema : Akar-akar persamaan polinomial orde- 7 MODEL MATEMATIKA 9 Penelitian Sebelumnya 9 Penelitian Abdullai et al. (0) 0 Penelitian Safan et al. (04) Model Modifikasi 4 ANALISIS DAN SIMULASI 7 Penentuan Titik Tetap 7

14 Analisis Kestabilan Titik Tetap Tanpa Penyakit x dfe 7 Kestabilan Global 8 Penentuan Bilangan Reproduksi Dasar 9 Analisis Bifurkasi 0 Ara Bifurkasi Simulasi Simulasi kura bifurkasi untuk parameter Simulasi kura bifurkasi untuk parameter 5 Simulasi kura bifurkasi untuk parameter 7 Simulasi Efektiitas Vaksin pada Manusia 9 5 SIMPULAN DAFTAR PUSTAKA LAMPIRAN 4 RIWAYAT HIDUP 6

15 DAFTAR TABEL. Nilai parameter pada model SIS-SI dan satuannya 5 4. Efektiitas aksin pada manusia teradap R 0 0 DAFTAR GAMBAR. Skema penyebaran penyakit malaria model SIR-SI. Skema penyebaran penyakit model SIS. Skema penyebaran penyakit malaria model modifikasi 4 4. Kura bifurkasi untuk parameter teradap dua akar F I yang terbesar 4. Kura bifurkasi untuk parameter teradap akar yang lain dari persamaan F I 4 4. Perubaan nilai I untuk Perubaan nilai I untuk Kura bifurkasi untuk parameter teradap dua akar F I yang terbesar Kura bifurkasi untuk parameter teradap akar yang lain dari persamaan F I Perubaan nilai I untuk Perubaan nilai I untuk Kura bifurkasi untuk parameter teradap dua akar F I yang terbesar Kura bifurkasi untuk parameter teradap akar yang lain dari persamaan F I 8 4. Perubaan nilai I untuk Perubaan nilai I untuk Dinamika proporsi manusia untuk beberapa efektiitas aksinasi Dinamika proporsi nyamuk untuk beberapa efektiitas aksinasi 0

16 DAFTAR LAMPIRAN Penyederanaan sistem persamaan diferensial model Abdullai et al. 4 Penyederanaan sistem persamaan diferensial model Safan et al. 6 Penyederanaan sistem persamaan diferensial model modifikasi 7 4 Penentuan titik tetap 9 5 Penentuan matriks Jacobi 40 6 Kriteria Bendixson untuk kestabilan global 4 7 Penentuan bilangan reproduksi dasar 4 8 Penentuan persamaan bifurkasi 45 9 Peritungan analisis bifurkasi teradap parameter 48 0 Peritungan analisis bifurkasi teradap parameter 5 Peritungan analisis bifurkasi teradap parameter 54 Simulasi efektiitas aksinasi pada manusia 57 Simulasi kestabilan titik tetap tanpa penyakit 59 4 Simulasi bilangan reproduksi dasar 6

17 PENDAHULUAN Latar Belakang Malaria merupakan penyakit menular yang disebabkan ole parasit yang dikenal dengan Plasmodium. Ada empat jenis Plasmodium yang dapat menyebabkan penyakit malaria yaitu Plasmodium falciparum, Plasmodium iax, Plasmodium oale dan Plasmodium malariae. Pembawa parasit Plasmodium ini iala nyamuk Anopeles betina yang menyebabkan rusaknya sel-sel dara mera. Malaria dapat ditularkan melalui transfusi dara maupun bawaan. Di Indonesia, kelompok yang berisiko tinggi terkena malaria iala bayi, anak balita dan ibu amil. Berdasarkan API (Annual Parasite Incidence), Indonesia bagian timur termasuk dalam wilaya risiko malaria tinggi; Kalimantan, Sulawesi dan Sumatera termasuk dalam wilaya risiko malaria sedang; sedangkan Jawa dan Bali termasuk dalam wilaya risiko malaria renda (Ditjen PP 0). Metode yang paling sering digunakan dalam penanggulangan penyakit malaria iala obat-obatan, penyemprotan dan pencegaan gigitan. Sampai saat ini, belum ada aksin malaria yang benar-benar ampu. Pada taun 0, GlaxoSmitKline menemukan aksin malaria pertama yang diizinkan untuk digunakan di Afrika. Berdasarkan percobaan paling akir, aksin tersebut mampu memberi kekebalan ingga empat taun pada anak-anak (Te RTS,S Clinical Trials Partnersip 0) dan berdasarkan uji coba yang dilakukan teradap laki-laki di Kenya ole Uniersitas Oxford Inggris diperole bawa aksin tersebut menunjukkan efektiitas ingga 67% (Hill et al. 05). Beberapa penelitian tentang model matematika tela dilakukan untuk mempelajari transmisi penyakit malaria. Abdullai et al. (0) mengembangkan model penyebaran penyakit malaria SIR-SI dengan mempertimbangkan adanya penularan dari manusia ke manusia melalui transfusi dara dan melalui ibu amil yang terinfeksi malaria. Selain itu, Laarabi et al. (0) memformulasikan model matematika untuk penyakit dengan tingkat infeksi yang bentuknya taklinear dan meliat akibat dari aksinasi teradap populasi manusia. Safan et al. (04) memformulasikan model matematika untuk sebarang penyakit epidemik pada satu populasi dengan meliat adanya pengaru aksinasi taksempurna untuk penyakit Dalam penelitian ini akan dilakukan modifikasi teradap model Abdullai et al. (0) dengan meliat pengaru aksinasi taksempurna yang diperkenalkan ole Safan et al. (04) dan pengaru keilangan kekebalan tubu (Mandal et al. 0) teradap manusia. Selanjutnya, pada model modifikasi akan dilakukan analisis titik tetap, analisis kestabilan, bilangan reproduksi dasar, analisis bifurkasi dan simulasi.

18 Tujuan Penelitian Penelitian ini bertujuan untuk. Memodifikasi model matematika penyakit malaria.. Melakukan analisis kestabilan pada model modifikasi.. Melakukan analisis bifurkasi pada model modifikasi. 4. Menganalisis pengaru faktor aksinasi taksempurna teradap penularan penyakit malaria melalui simulasi komputer.

19 TINJAUAN PUSTAKA dengan, Sistem Persamaan Diferensial Persamaan Diferensial Biasa Orde- Persamaan diferensial biasa orde- dapat dinyatakan sebagai x f ( t, x) (.) f t x adala fungsi kontinu. Untuk f fungsi taklinear, maka persamaan (.) disebut persamaan diferensial biasa (PDB) taklinear, sedangkan untuk f fungsi linear maka disebut PDB linear. Persamaan Diferensial Biasa Mandiri dan Takmandiri Misalkan diberikan PDB seperti pada persamaan (.). Untuk PDB yang memuat peuba waktu t secara explisit, PDB tersebut disebut PDB takmandiri (nonautonomous). Sementara itu, persamaan (.) disebut persamaan diferensial biasa mandiri (autonomous) apabila tidak memuat t secara eksplisit di dalamnya seingga dapat ditulis sebagai x f x. (.) Sistem Persamaan Diferensial Biasa T T Misalkan diberikan x x, x,..., x n dan f f, f,..., f n dengan f i n adala fungsi dalam x, di mana x, maka persamaan (.) dapat ditulis sebagai x f ( x) x ( t) f( x, x,, xn). (.) xn( t) fn( x, x,, xn ) Persamaan (.) disebut Sistem Persamaan Diferensial Biasa orde- mandiri. Untuk sistem persamaan diferensial biasa, linear dan mandiri, persamaan (.) dapat ditulis dalam notasi matriks sebagai x Ax dengan A disebut matriks koefisien berukuran n n. Nilai Eigen dan Vektor Eigen Diberikan matriks koefisien konstan A berukuran n n dan sistem n. persamaan diferensial biasa omogen x Ax, x0 x0, x. Suatu ektor n taknol x di dalam disebut ektor eigen dari A jika untuk semua skalar berlaku Ax x. (.4) Nilai skalar dinamakan nilai eigen dari A. Untuk mencari nilai dari A, maka sistem persamaan (.4) dapat ditulis sebagai

20 4 A Ix 0, (.5) dengan I adala matriks identitas. Sistem persamaan (.5) memiliki penyelesaian taknol jika dan anya jika det A I 0. (.6) Persamaan (.6) merupakan persamaan karakteristik dari matriks A (Leon 998). Titik Tetap Misalkan diberikan sistem persamaan diferensial biasa sebagaimana pada sistem (.). Titik x disebut titik tetap, jika f x 0. Titik tetap disebut juga titik kritis atau titik kesetimbangan atau titik ekuilibrium. Untuk selanjutnya digunakan titik tetap (Tu 994). Pelinearan Analisis kestabilan sistem persamaan diferensial taklinear dapat dilakukan melalui pelinieran. Misalkan diberikan sistem persamaan diferensial biasa mandiri taklinear n x f ( x), x t. (.7) x t adala satu fungsi bernilai ektor dalam t dan f adala suatu fungsi dengan n mulus yang terdefinisi pada U. Misalkan diberikan sistem persamaan diferensial biasa sebagaimana pada sistem (.), maka dengan menggunakan ekspansi Taylor di sekitar titik tetap x, maka sistem persamaan diferensial (.7) dapat ditulis sebagai x η J η φ( η), (.8) dengan J adala matriks Jacobi yang didefinisikan sebagai berikut f f f... x x x k f f f f... ( ) x x x J x k (.9) x fk fk fk... x x x k x x dan φ( η ) adala suku berorde tinggi yang bersifat lim φ( η) 0, dengan η = x x. Bentuk η = Jη pada sistem persamaan diferensial (.8) disebut pelinearan sistem persamaan diferensial (.7) (Tu 994). η0

21 5 Analisis Kestabilan Titik Tetap Titik Tetap Stabil Misalkan x adala titik tetap dari sistem persamaan diferensial (.) dan x 0 x. Titik x dikatakan titik tetap x t adala solusi dengan kondisi awal 0 stabil, jika untuk setiap 0, terdapat r 0, sedemikian seingga x x r, maka x( t) x untuk t 0 (Versult 990). Titik Tetap Takstabil Misalkan x adala titik tetap dari sistem persamaan diferensial (.) dan x adala sebua solusi sistem persamaan diferensial yang memenui kondisi t awal x0 x 0 dengan x 0 x. Titik x dikatakan titik tetap takstabil jika terdapat radius 0, sedemikian ingga posisi awal x 0 memenui x0 x r, untuk setiap r 0 dan solusi x t memenui xt x, untuk suatu t 0 (Verulst 990). Kestabilan Titik Tetap Misalkan diberikan sistem persamaan diferensial (.) dengan x sebagai titik tetap. Kestabilan titik tetap x dapat ditentukan dengan memperatikan nilai-nilai eigen dari matriks Jacobian J, yaitu i, i,,..., n, yang diperole dari persamaan karakteristik. Secara umum, kestabilan titik tetap mempunyai perilaku sebagai berikut. Stabil, jika a. Rei 0, i, atau b. j sedemikian seingga Re( j ) 0 dan Re( i ) 0, i j.. Takstabil, jika i sedemikian seingga Re( i ) 0. (Tu 994). Kestabilan Global n Diberikan sistem persamaan diferensial taklinear (.). Titik tetap x dikatakan stabil global jika dan anya jika untuk sembarang nilai awal x 0 yang diberikan, setiap solusi sistem tersebut yaitu lim x t x (Boyd 008). x t berlaku t Pengertian Orbit Periodik Misalkan x t merupakan solusi untuk persamaan x f x, n x dan misalkan terdapat bilangan positif terkecil T sedemikian seingga t T t untuk setiap t, maka t disebut solusi periodik dari persamaan x = f x dengan periode T (Perko 99). 0

22 6 n Kriteria Bendixson di Sistem persamaan diferensial (.) dikatakan tidak memiliki solusi periodik pada daera Σ R, jika memenui sala satu kondisi di bawa ini (i) fr f f s q fq sup : r s n 0 xr x s qr, s xr x s (.0a) (ii) fr f s fr f s sup : r s n 0 xr x s qr, s xq x q (.0b) (iii) fr f f s q fq inf : r s n 0 xr x s qr, s xr x s (.0c) (i) fr f s fr f s inf : r s n 0 xr x s qr, s xq x q (.0d) (Li & Muldowney 99). Bilangan Reproduksi Dasar Bilangan reproduksi dasar, dinotasikan dengan R 0 merupakan suatu ukuran potensi penyebaran penyakit dalam suatu populasi. Bilangan reproduksi dasar didefinisikan sebagai nilai arapan banyaknya populasi rentan yang menjadi terinfeksi selama masa infeksi berlangsung (Van den Driessce dan Watmoug 008). Kondisi yang timbul iala. Jika R0, maka jumla manusia terinfeksi akan menurun pada masa infeksi berikutnya, seingga penyakit tidak akan menyebar.. Jika R0, maka jumla manusia terinfeksi akan meningkat pada masa infeksi berikutnya, seingga penyakit akan menyebar. Nilai R 0 dalam penelitian ini ditentukan dari nilai eigen taknegatif dengan modulus terbesar Te Next Generation Matrix. Matriks ini merupakan suatu matriks yang dikonstruksi dari subpopulasi yang menyebabkan infeksi saja. Untuk model umum dengan p kompartemen penyakit dan q kompartemen tanpa penyakit, nilai R0 dapat diitung untuk setiap kompartemen. n Misalkan diberikan sistem persamaan diferensial taklinear x = f x, x p q dan misalkan a dan b adala sub-subpopulasi pada setiap kompartemen. Selanjutnya dinotasikan F i sebagai laju peningkatan infeksi sekunder pada kompartemen ke-i dan V i sebagai laju pergerakan penyakit, kematian dan penurunan kesembuan dari kompartemen ke-i. Model kompartemen dapat ditulis sebagai a i Fi a,b Vi a,b ; i,,..., n, b G a,b ; j,,..., m. j j

23 R 0 dapat diperole dengan memandang kompartemen penyakit dari sistem n persamaan diferensial taklinear x = f x, x yang dapat ditulis sebagai a = F - V a dengan F dan V adala matriks-matriks berukuran n n, di mana F F F V V V a a a n a a a n F F F V V V a a a F n dan a a a V n Fn Fn Fn Vn Vn Vn a a a n a 0,b0 a a n 0,b0 dengan 0,b 0 adala titik tetap tanpa penyakit. Te Next Generation Matrix K untuk suatu sistem persamaan diferensial pada titik tetap tanpa penyakit berbentuk K = FV. (.) Berdasarkan Van den Driessce dan Watmoug (008), diperole R0 FV. (.) dengan FV adala maksimum dari modulus nilai-nilai eigen FV. (Van den Driessce & Watmoug 008). 7 Bifurkasi Definisi Bifurkasi Bifurkasi adala perubaan kestabilan titik tetap akibat perubaan nilai parameter, sedangkan titik bifurkasi merupakan titik di mana terjadinya bifurkasi (Strogatz 994, Murray 99). Kura Bifurkasi Kura bifurkasi merupakan kura yang mendeskripsikan titik tetap dan stabilitas dari titik tetap untuk setiap nilai parameter yang berbeda. Kemiringan pada kura bifurkasi disebut sebagai ara bifurkasi. Jika kura memiliki kemiringan negatif, maka terjadi bifurkasi mundur dan jika memiliki kemiringan positif, maka terjadi bifurkasi maju (Seydel 988). Teorema : Akar-akar persamaan polinomial orde- Diberikan fungsi polinomial z az bz cz d dengan a 0, maka berlaku. Jika d 0, maka z 0 memiliki paling sedikit satu akar positif.

24 8. Jika d 0, maka z 0 memiliki akar-akar positif jika dan anya jika z b b ac 0 dan z 0 a. Jika d 0 dan b ac 0, maka z 0 tidak memiliki akar yang positif (Ruan & Wai 00).

25 9 MODEL MATEMATIKA Model matematika membantu memaami proses dinamis yang mengatur kepadatan nyamuk dan penularan malaria. Model matematika yang digunakan untuk mengetaui penyebaran malaria di daera tertentu dikenal dengan model epidemi. Seperangkat persamaan bertujuan untuk menyimulasikan proses interaksi manusia-nyamuk dengan bantuan ariabel dan parameter yang dipili untuk membangun sebua model yang berarti sedekat mungkin dengan fenomena nyata. Model epidemi diperkenalkan ole Daniel Bernoulli tentang penyebaran penyakit cacar (smallpox). Model epidemi matematika modern diperkenalkan pada taun 97 ole McKendrick & Kermarck tentang model SIR, di mana SIR merupakan singkatan dari Susceptible Infected Recoered. Dalam model SIR populasi manusia terdiri atas tiga kelas yaitu manusia rentan (S) artinya manusia yang belum terjangkit penyakit, manusia terinfeksi (I) artinya manusia yang suda terjangkit penyakit dan manusia sembu (R) artinya manusia yang kebal atau imun teradap penyakit. Model SIR tersebut kemudian terus dikembangkan dengan menguba asumsi atau menamba kompartemen. Beberapa conto model dari pengembangan tersebut iala model SI dan SIS. SI merupakan singkatan dari Susceptible Infected, sedangkan model SIS merupakan singkatan dari Susceptible Infected Susceptible. Dalam model SIS, indiidu dalam kelas infeksi dapat sembu dengan pengobatan medis atau proses alam, tetapi kesembuan itu tidak mengakibatkan indiidu tersebut kebal, seingga memungkinkan terinfeksi kembali dan masuk kelas infeksi. Penelitian Sebelumnya Pemodelan matematika untuk penyakit malaria diperkenalkan ole Ross pada taun 9. Menurut Ross, jika populasi nyamuk dapat dikurangi ingga di bawa ambang batas tertentu, maka malaria dapat diberantas. Model sederana yang dibangun dikenal sebagai Model Ross tela dikembangkan selama bertaun-taun. Pada taun 957, McDonald mengembangkan lebi lanjut dengan mempertimbangkan populasi manusia dan nyamuk pada suatu daera dan tanpa memperitungkan pola mobilitas manusia dan nyamuk. Perumusan model ini kemudian dikenal dengan nama Model Ross-McDonald. Beberapa penelitian serupa yang mulai mempertimbangkan perubaan dalam ukuran dan populasi antara lain Laarabi et al. (0) yang memformulasikan model SIR dengan tingkat infeksi yang bentuknya taklinear dan meliat akibat dari aksinasi teradap populasi manusia. Dalam model ini diasumsikan bawa aksinasi di waktu yang tepat dapat mengakibatkan manusia rentan yang memperole aksinasi dapat langsung berpinda ke manusia puli. Agusto et al. (0) mengaplikasikan kontrol optimum dengan penggunaan treatment sebagai ariabel kontrol pada sistem transmisi penyakit malaria. Abdullai et al. (0) mengembangkan model penyebaran penyakit malaria dengan mempertimbangkan adanya penularan dari manusia ke manusia melalui transfusi dara dan melalui ibu amil yang terinfeksi malaria. Safan et al. (04) memformulasikan model SIS dengan meliat adanya aksinasi yang taksempurna.

26 0 Penelitian Abdullai et al. (0) Model SIR-SI yang dirumuskan ole Abdullai et al. (0) menggambarkan penyebaran penyakit malaria. Populasi manusia dibagi menjadi tiga kelas, yaitu kelas manusia yang rentan (Susceptible) S, kelas manusia terinfeksi (Infected) I dan kelas manusia puli (Recoered) R. Manusia yang rentan iala manusia yang bukan imun dan tidak terkena infeksi. Manusia yang terkena infeksi iala manusia yang terkena malaria dan dapat menularkan kepada indiidu lain dengan perantara nyamuk. Manusia sembu iala manusia yang sembu dari penyakit malaria. Populasi nyamuk dibagi menjadi dua kelas, yaitu kelas nyamuk rentan (Susceptible) S dan kelas nyamuk terinfeksi (Infected) I. Nyamuk yang rentan adala nyamuk yang berpeluang terkena penyakit malaria. Sementara itu, nyamuk terinfeksi adala nyamuk yang di dalam tubunya tela terdapat infeksi parasit dan dapat menularkan ke indiidu lain. Adapun asumsi-asumsi yang digunakan dalam penelitian ini antara lain a. semua bayi yang baru lair sangat rentan teradap penyakit; b. jangka idup dari nyamuk tidak tergantung pada infeksi; c. nyamuk yang baru lair semua seat; d. manusia yang terinfeksi akan berpinda ke manusia sembu karena pemberian obat-obatan; e. manusia yang rentan akan berkurang karena kematian; f. manusia yang rentan akan berpinda ke manusia terinfeksi karena digigit nyamuk terinfeksi; g. manusia yang rentan akan berpinda ke manusia terinfeksi akibat transfusi dara;. ibu yang melairkan dalam keadaan terinfeksi akan melairkan anak yang terinfeksi juga Dari asumsi-asumsi tersebut, indiidu yang lair dan bermigrasi pada kelas rentan S memiliki laju konstan sebesar. Manusia yang berada di kelas rentan dapat berpinda ke kelas terinfeksi I akibat transfusi dara dengan laju atau akibat gigitan nyamuk terinfeksi dengan laju. Manusia yang berada di kelas rentan dapat mati dengan laju kematian sebesar. Lairnya bayi yang terinfeksi malaria akibat bawaan pada kelas terinfeksi I memiliki laju sebesar. Manusia yang berada di kelas terinfeksi dapat berpinda ke kelas puli R karena penggunaan obat-obatan anti malaria dengan laju k. Manusia di kelas terinfeksi dapat mati dengan laju kematian dan mati akibat malaria dengan laju. Manusia di kelas puli R dapat mati dengan laju. Untuk populasi nyamuk, nyamuk yang lair dan bermigrasi pada kelas rentan S memiliki laju konstan sebesar. Nyamuk di kelas rentan dapat berpinda ke kelas terinfeksi I karena menggigit manusia terinfeksi dengan laju atau dapat mati dengan laju kematian sebesar. Selanjutnya, nyamuk di kelas terinfeksi dapat mati dengan laju kematian.

27 Pola penyebaran penyakit malaria dapat diliat pada Gambar., dengan ( ) menyatakan perpindaan indiidu dan ( ) menyatakan pengaru antarkompartemen. k Gambar. Skema penyebaran penyakit malaria model SIR-SI Berdasarkan skema Gambar., diperole sistem persamaan diferensial untuk masing-masing kompartemen sebagai berikut ds b N I I S (.) N N di b I I I S k I N N dr ds k I R N I S N di I S I, N dengan N S I R dan N S I, di mana N adala total populasi manusia dan N adala total populasi nyamuk. Dengan memisalkan S I R S I S, I, R, S dan I, N N N N N maka diperole S I R dan S I seingga sistem persamaan diferensial (.) dapat disederanakan menjadi

28 di I ( I I) I R k I (.) dr k I R di ( I) I I, dengan bn dan n N N. Proses penyederanaan sistem persamaan diferensial (.) menjadi sistem persamaan (.) dapat diliat pada Lampiran. Penelitian Safan et al. (04) Model yang dirumuskan ole Safan et al.(04) ini merupakan model yang meliat pola penyebaran penyakit epidemi. Model ini menggambarkan populasi manusia terdiri dari tiga kelas, yaitu manusia yang rentan S, manusia yang terinfeksi I dan manusia yang teraksinasi V. Model ini mempelajari tentang penyebaran penyakit menggunakan model SIS dengan memperatikan dampak aksinasi taksempurna. Dalam al ini, diasumsikan kemanjuran aksinasi adala e 0,. Vaksinasi dianggap berasil jika e dan gagal jika e 0. Kelas rentan dilairkan dengan laju dengan proporsi p dari yang dilairkan tersebut langsung diberikan aksin. Populasi rentan memiliki laju kematian juga, laju teraksinasi dan laju terinfeksi adala I, di mana adala laju kontak antara indiidu terinfeksi dengan indiidu rentan. Indiidu terinfeksi juga mati dengan laju atau disembukan dengan laju. Indiidu aksinasi juga mati dengan laju dan terinfeksi dengan laju e I dengan e adala kemanjuran aksin. Adapun asumsi-asumsi yang digunakan dalam penelitian ini antara lain a. laju kelairan manusia sama dengan laju kematian; b. manusia rentan yang baru lair akan berkurang sebesar p karena pemberian aksin; c. manusia yang terinfeksi akan berpinda ke manusia rentan karena pemberian obat-obatan; d. manusia yang rentan akan berkurang karena kematian; e. manusia yang rentan akan berkurang karena pemberian aksinasi; f. manusia rentan yang gagal aksin akan berpinda ke manusia terinfeksi. Pola aksinasi taksempurna dapat diliat pada Gambar., di mana ( ) menyatakan perpindaan indiidu.

29 Gambar. Skema penyebaran penyakit model SIS Skema pada Gambar. dapat dituliskan dalam sistem persamaan diferensial sebagai berikut ds ( p) N I I S (.) N di S I ( e) V I ( ) I N N dv pn S V ( e) V I N N S I V. Dengan memisalkan S I S, I N N dan V V, N maka S I V seingga sistem persamaan diferensial (.) dapat disederanakan menjadi di I V I ( e) VI ( ) I (.4) dv p I V V evi. Penyederanaan sistem persamaan diferensial (.) menjadi sistem persamaan (.4) dapat diliat pada Lampiran. Modifikasi Model Matematika Model SIR-SI yang dirumuskan ole Abdullai et al. (0) selanjutnya dimodifikasi dengan menguba asumsi menjadi indiidu terinfeksi yang sembu karena pemberian obat-obatan akan berpinda ke manusia rentan disebabkan obatobatan anya bersifat menyembukan, tidak memberi kekebalan. Pada penelitian ini juga meliat pengaru faktor aksinasi taksempurna, di mana manusia yang tela diberi aksin belum tentu menjadi kebal teradap

30 4 penyakit malaria. Hal ini dikarenakan belum ditemukannya aksin yang benarbenar manjur dalam memberikan imunitas teradap penyakit malaria. Selain itu, manusia rentan yang baru lair akan langsung diberi aksinasi dengan laju p seperti yang diperkenalkan ole Safan et al. (04). Model ini selanjutnya disebut model SIS-SI. Selain itu model modifikasi juga mengasumsikan bawa manusia yang aksinnya efektif dapat rentan kembali karena keilangan kekebalan tubu (Mandal et al. 0). Gambar. Skema penyebaran penyakit malaria model modifikasi Adapun asumsi-asumsi yang digunakan dalam penelitian ini antara lain manusia sembu masi dapat tertularkan penyakit; laju kelairan manusia dan nyamuk dianggap sama dengan laju kematian; manusia yang aksinasinya efektif akan berpinda ke manusia rentan apabila kekebalan tubunya ilang. Secara skematis pola penyebaran penyakit malaria dengan asumsi-asumsi di atas digambarkan dalam diagram kompartemen pada Gambar.. Model matematika penyebaran penyakit malaria dengan asumsi tersebut dapat dinyatakan dengan persamaan-persamaan berikut ds b p N I V I I N N di b b I I S I e V I N N N S (.5)

31 dv b p N S V e V I N N S I V ds N I S N di I S I N N S I. Dengan memisalkan S I V S I S, I, V, S dan I, N N N N N maka diperole S I V dan S I seingga sistem persamaan diferensial (.5) dapat disederanakan menjadi di I I I V I e V I (.6) dv p I V V e V I di I I I, dengan bn dan n N N. Penyederanaan sistem persamaan diferensial (.5) menjadi sistem persamaan (.6) dapat diliat pada Lampiran. Keterangan dari parameter-parameter dan nilai-nilai parameter yang digunakan pada model-model di atas diberikan pada Tabel.. 5 Variabel p Tabel. Nilai parameter pada model SIS-SI dan satuannya Nilai Keterangan Satuan Parameter Proporsi manusia rentan yang baru lair langsung diaksin 0.8 tanpa satuan Sumber Asumsi Laju kematian manusia yang dianggap sama dengan laju kelairan 0.04 waktu Labadin et al. (009) Laju kematian nyamuk yang dianggap sama dengan laju kelairan 0. waktu Labadin et al. (009) Laju manusia terinfeksi yang sembu karena obatobatan waktu Pongsumpun (006)

32 6 Variabel Keterangan Laju manusia rentan yang diaksin Nilai Parameter Satuan 0.4 waktu Sumber Asumsi Laju manusia yang tela diaksin menjadi rentan kembali 70 waktu Agusto et al. (0) Laju perpindaan manusia dari kelas rentan ke kelas infeksi akibat transfusi dara 0.0 waktu Asumsi b Laju perpindaan manusia dari kelas rentan ke kelas infeksi akibat gigitan nyamuk terinfeksi 0.05 waktu Pongsumpun (006) Laju perpindaan nyamuk dari kelas rentan ke kelas infeksi akibat menggigit manusia terinfeksi 0.04 waktu Labadin et al. (009) n Perbandingan populasi nyamuk dengan manusia 0 tanpa satuan Pongsumpun (006) e Efektiitas aksinasi 0.4 tanpa satuan Asumsi Selanjutnya, model modifikasi ini akan dibaas pada bab berikutnya meliputi penentuan titik tetap, analisis kestabilan titik tetap, baik kestabilan lokal maupun kestabilan global, bilangan reproduksi dasar dan analisis bifurkasi.

33 7 4 ANALISIS DAN SIMULASI Penentuan Titik Tetap Analisis titik tetap pada sistem persamaan diferensial (.6) diperole dengan di mengatur dv 0, di 0 dan 0. Dengan menyelesaikan sistem persamaan diferensial tersebut, maka diperole dua jenis titik tetap, yaitu titik tetap tanpa penyakit (disease free equilibrium) x dfe dan titik tetap endemik (endemic equilibrium) x ee. Titik tetap tanpa penyakit adala titik tetap yang memuat nilai I 0. Titik tetap endemik adala titik tetap yang memuat nilai I 0. Dengan menggunakan software berbasis fungsional diperole titik tetap x dfe sebagai * xdfe I, V, I 0, V,0, (4.) di mana * p V. Sementara itu, titik tetap x ee dapat ditulis sebagai xee I, V, I I, V, I, (4.) di mana p I I V dan I. (4.) e I I Pencarian nilai I akan dilakukan melalui persamaan bifurkasi yang akan dibaas pada bagian berikutnya, seingga V dan I pada persamaan (4.) dapat diperole. Proses penentuan titik tetap dapat diliat pada Lampiran 4. Analisis Kestabilan Titik Tetap Tanpa Penyakit x Pada bagian ini akan dilakukan analisis untuk meliat sifat kestabilan pada titik tetap tanpa penyakit x dfe. Misalkan sistem persamaan diferensial (.6) ditulis sebagai berikut di f I, V, I ; (4.4) dv f I, V, I ; di f I, V, I. Dengan melakukan pelinearan, maka diperole matriks Jacobi sebagai berikut dfe

34 8 f f f I V I f f f J I V I f f f I V I xdfe * * V 0 ev * e V. 0 Nilai eigen matriks Jacobi dapat ditentukan dengan menyelesaikan det J I 0, seingga diperole persamaan karakteristik sebagai berikut x dfe di mana a a a a a, * * a V a ev a5 Nilai-nilai eigen untuk matriks J diperole sebagai berikut a 5 a a a a a a a a (4.5) a a a a a a Sistem persamaan diferensial (.6) akan stabil lokal jika dan anya jika semua nilai eigen bernilai negatif. Untuk selalu bernilai negatif, sedangkan bernilai negatif jika a a a a a a ; dan (4.6) (4.7) untuk 9 0 dan 9 7 untuk bernilai negatif jika a a9 0. Dengan demikian, sistem persamaan diferensial (.6) bersifat stabil lokal jika dan anya jika a a9 0 dan aa9 aa7. Kestabilan Global Selain kestabilan lokal dari titik tetap, pada penelitian ini juga meliat kestabilan global dari titik tetap. Kestabilan global adala kestabilan dalam waktu jangka panjang. Untuk mengetaui eksistensi kestabilan global dari sistem persamaan diferensial (.6) pada daera Σ, di mana I, V, I : I 0, V 0, I V,0 I dan Σ R, maka digunakan

35 9 Kriteria Bendixson (.0). Dengan menuliskan sistem persamaan diferensial (.6) menjadi (4.4) dan dengan menggunakan persamaan (.0b), maka diperole (i) f f f f sup I I V V (4.8a) (ii) f f f f sup. V I I I (4.8b) Dengan demikian, berdasarkan Kriteria Bendixson, sistem persamaan diferensial (.6) tidak memiliki solusi periodik pada daera Σ, seingga selalu memiliki titik tetap yang bersifat stabil global, jika memenui atau Hal ini dapat diliat pada Lampiran 6.. Penentuan Bilangan Reproduksi Dasar Bilangan reproduksi dasar, dinotasikan dengan R 0, merupakan nilai arapan banyaknya populasi rentan yang menjadi terinfeksi selama masa infeksi berlangsung. Penentuan bilangan reproduksi dasar dilakukan dengan pendekatan Te Next Generation Matrix. Te Next Generation Matrix K untuk sistem persamaan (.6) didefinisikan sebagai K FV (4.9) dengan F dan V adala sebagai berikut * * V ev 0 F dan V. 0 0 Bilangan reproduksi dasar merupakan nilai eigen taknegatif terbesar matriks K yang ditulis sebagai k k R, 0 kk (4.0) 4 di mana * V k, * ev k, k. Proses penentuan bilangan reproduksi dasar dapat diliat pada Lampiran 7. Kondisi yang memungkinkan dari bilangan reproduksi dasar menurut Van den Driessce & Watmoug (008) adala. Jika R0, maka jumla manusia terinfeksi akan menurun pada infeksi berikutnya, seingga penyakit tidak akan menyebar.

36 0. Jika R0, maka jumla manusia terinfeksi akan meningkat pada masa infeksi berikutnya, seingga penyakit akan menyebar. Berdasarkan teorema Bendixson, sistem persamaan diferensial (.6) selalu memiliki titik tetap yang bersifat stabil global, jika memenui atau. Dengan demikian, jika kondisi atau terpenui maka dapat disimpulkan bawa jika R0, maka sistem persamaan diferensial (.6) akan bersifat stabil global ke titik tetap bebas penyakit x dfe. Jika R0, maka sistem persamaan diferensial (.6) akan bersifat stabil global ke titik tetap endemik x ee. Analisis Bifurkasi Bifurkasi adala perubaan kestabilan sistem akibat perubaan parameter. di Persamaan bifurkasi dapat ditentukan dengan menggunakan 0 pada sistem persamaan (.6) seingga diperole I I. (4.) I dv Kemudian dengan menggunakan 0 pada sistem persamaan (.6) dan persamaan (4.), seingga diperole p I V. (4.) e I I Dengan menyubstitusikan persamaan (4.) dan persamaan (4.) ke dalam di 0 pada sistem persamaan (.6), maka diperole I p I I I I I e I p I I I e 0. (4.) I I e I Dengan menyelesaikan persamaan (4.) untuk I 0, maka diperole persamaan bifurkasi sebagai F I ai bi ci d 0, (4.4) di mana

37 e a - 0 b e e e e e e p c ep e e e e e e p e p d ep. Persamaan bifurkasi digunakan untuk menentukan I seingga V dan I pada persamaan (4.) dapat ditentukan. Dengan demikian, titik tetap endemik dapat diperole dari setiap parameter yang diberikan. Pada penelitian ini, anya akan diliat pengaru perubaan parameter i, i,,, yang merupakan laju penyebab terjadinya penularan penyakit malaria, teradap perubaan eksistensi titik tetap endemik dan perubaan kestabilan titik tetap. Dalam al ini, parameter yang akan dianalisis dianggap sebagai peuba sedangkan parameter lainnya dianggap konstan. Dengan demikian, nilai a, b, c dan d dapat ditulis sebagai a i, bi, c i dan d i yang merupakan fungsi dalam i, seingga persamaan bifurkasi untuk setiap parameter bifurkasi diberikan sebagai berikut i i i i i i F, I a I b I c I d 0 ; i,,. (4.5) Daera untuk setiap parameter i yang memberikan titik tetap endemik dapat diperole dengan menggunakan Teorema teradap persamaan (4.5). Dengan demikian, selang untuk setiap parameter bifurkasi yang mengakibatkan sistem persamaan diferensial (.6) memiliki titik tetap endemik diberikan pada kasuskasus di bawa ini o Kasus : d 0 Kasus ini memberikan persamaan (4.5) paling sedikit memiliki satu akar positif. Ole karena itu, pada kasus ini sistem persamaan diferensial (.6) juga memiliki paling sedikit satu titik tetap endemik. Dengan menyelesaikan d 0 untuk setiap parameter bifurkasi yang diberikan, maka diperole untuk parameter q, (4.6) p di mana q ep e ; parameter

38 di mana q, ep e q p ; parameter di mana q, ep e q p. Selain itu, diperole juga bawa jika i i, maka R0. o Kasus : d 0, I b b ac 0 dan F i, I 0 a Pada kasus ini, selang untuk parameter bifurkasi, i,, yang memberikan titik tetap endemik diperole pada i i yang memenui d 0, I b b ac 0 F i, I 0. a Untuk d 0 diperole, sedangkan solusi untuk dan I b b ac 0 F a, I 0 akan dilakukan dengan menggunakan nilai-nilai parameter pada Tabel. pada bagian Simulasi. dan i i (4.7) (4.8) Ara Bifurkasi Ara bifurkasi pada sebarang titik i, I, i,, adala kemiringan kura bifurkasi pada titik i, I, yang dapat diperole melalui F di i i, I. (4.9) di F i, I I i, I Jika fungsi (4.9) bernilai negatif, maka titik i, I mengalami bifurkasi mundur dan jika bernilai positif, maka mengalami bifurkasi maju (Seydel 988). Simulasi Simulasi kura bifurkasi untuk parameter Dengan menggunakan nilai parameter pada Tabel., kecuali parameter yang dianggap sebagai ariabel, maka diperole persamaan (4.5) untuk parameter sebagai berikut 0 F, I (4.0)

39 I I I Parameter-parameter yang digunakan pada simulasi ini memenui, seingga berdasarkan kriteria Bendixson, sistem persamaan (.6) selalu memiliki titik tetap yang bersifat stabil global. Selang yang memberikan titik tetap endemik pada sistem persamaan diferensial (.6) berdasarkan (4.6) iala 4.707, sedangkan untuk kasus dua dari Teorema diperole (4.) (4.) Dari kedua kasus pada Teorema tersebut, maka selang yang memberikan titik tetap endemik untuk sistem persamaan diferensial (.6) iala pada 4.6. Simulasi kura bifurkasi untuk parameter teradap dua akar F, 0 I yang terbesar ditunjukkan pada Gambar 4.. < = = 4.6 = Gambar 4. Kura bifurkasi untuk parameter teradap dua akar F I, 0 yang terbesar Pada Gambar 4., kura yang berwarna biru memberikan solusi F I, 0 yang mengalami bifurkasi maju. Dalam al ini, kura tersebut memberikan titik tetap endemik yang bersifat stabil. Sementara itu, kura berwarna kuning memberikan solusi F, I 0 yang mengalami bifurkasi mundur dan diperole bawa kura tersebut memberikan titik endemik yang bersifat takstabil. Kura berwarna mera bukan merupakan titik tetap endemik karena memberikan nilai I 0. Akar-akar persamaan (4.5) yang lain diberikan pada Gambar 4., di mana pada kura tersebut tidak terdapat selang yang memberikan titik tetap endemik yang ditandai dengan I 0.

40 4 Gambar 4. Kura bifurkasi untuk parameter teradap akar yang lain dari persamaan F I, 0 Dari Gambar 4., untuk selang , sistem persamaan diferensial (.6) memiliki dua titik tetap endemik, yang satunya bersifat stabil dan yang satunya bersifat takstabil. Namun, pada selang ini, titik tetap bebas penyakit masi bersifat stabil. Hal ini ditandai ole nilai R0. Ole karena itu, pada selang , sistem persamaan diferensial (.6) bersifat stabil global di titik tetap tanpa penyakit. Untuk 4.707, sistem persamaan diferensial (.6) anya memiliki satu titik tetap endemik yang bersifat stabil. Hal ini ditandai dengan R0. Ole karena itu, pada kondisi ini sistem persamaan diferensial (.6) bersifat stabil global di titik tetap endemik. Dengan demikian, untuk parameter diperole tiga titik bifurkasi, yaitu titik, I 4.6,0.076, titik, I 4.707,0.55 atau titik, I 4.707,0. Pada titik, I 4.6,0.076 terjadi perubaan kualitatif pada sistem persamaan diferensial (.6), dari tidak memiliki titik tetap endemik menjadi memiliki dua titik tetap endemik. Sementara itu, pada titik, 4.707,0.55 I atau, I 4.707,0 terjadi perubaan kualitatif pada sistem persamaan diferensial (.6) dari memiliki dua titik tetap endemik menjadi anya memiliki satu titik tetap endemik. Selain itu, pada titik, I 4.707,0.55 juga terjadi perubaan kestabilan dari stabil global di titik tetap tanpa penyakit menjadi stabil global di titik tetap endemik. Peritungan analisis bifurkasi teradap dapat diliat pada Lampiran 9. Untuk lebi jelas, perubaan nilai I untuk parameter yang diberikan ditunjukkan pada Gambar 4. dan Gambar 4.4.

41 5 Gambar 4. Perubaan nilai I untuk Gambar 4.4 Perubaan nilai I untuk Simulasi kura bifurkasi untuk parameter Berdasarkan nilai parameter pada Tabel. dan dengan menganggap parameter sebagai ariabel, maka persamaan bifurkasi pada persamaan (4.5) untuk parameter dapat ditulis sebagai 0 F, I (4.) I I I Parameter-parameter yang digunakan pada simulasi ini memenui baik maupun, seingga berdasarkan kriteria Bendixson, sistem persamaan diferensial (.6) selalu memiliki titik tetap yang bersifat stabil global. Dengan menggunakan persamaan (4.7), maka selang yang memberikan titik tetap endemik iala.7, (4.4) sedangkan untuk kasus kedua pada Teorema tidak memiliki solusi. Karena itu daera yang memberikan titik tetap endemik anya pada.7. Simulasi kura bifurkasi untuk parameter untuk dua akar F, I 0 yang terbesar ditunjukkan pada Gambar 4.5, sedangkan parameter teradap, F 0 I yang lain diberikan ole Gambar 4.6. Dalam Gambar 4.5, akar kura berwarna biru memberikan solusi F I, 0 yang mengalami bifurkasi maju dan diperole bawa titik-titik tersebut juga memberikan titik-titik endemik yang bersifat stabil dengan R0. Sementara itu, kura berwarna mera, baik pada Gambar 4.5 maupun pada Gambar 4.6 bukan merupakan titik tetap endemik karena I 0.

42 6 < =.7 Gambar 4.5 Kura bifurkasi untuk parameter teradap dua akar F I, 0 yang terbesar Gambar 4.6 Kura bifurkasi untuk parameter teradap akar yang lain dari persamaan F I, 0 Dengan demikian, untuk parameter anya diperole satu titik bifurkasi,,.7,0 I. Pada titik ini terjadi perubaan kualitatif pada sistem persamaan diferensial (.6), di mana sistem yang semula tidak memiliki titik tetap endemik beruba menjadi memiliki titik tetap endemik yang bersifat stabil global. Peritungan analisis bifurkasi teradap dapat diliat pada Lampiran 0. yaitu pada titik Bidang solusi untuk I dengan parameter yang diberikan ditunjukkan pada Gambar 4.7 dan Gambar 4.8.

43 7 Gambar 4.7 Perubaan nilai I untuk.7 Gambar 4.8 Perubaan nilai I untuk.7 Simulasi kura bifurkasi untuk parameter Dengan menggunakan nilai parameter pada Tabel. kecuali parameter yang dianggap sebagai ariabel seperti pada simulasi-simulasi sebelumnya, maka persamaan bifurkasi pada persamaan (4.5) untuk parameter dapat ditulis sebagai berikut 0 F, I (4.5) I I I Dengan menggunakan kriteria Bendixson, maka pada simulasi ini sistem persamaan diferensial (.6) dijamin memiliki titik tetap yang bersifat stabil global karena memenui. Dari kasus satu pada Teorema, selang yang memberikan titik tetap endemik dengan menggunakan persamaan (4.8) iala 0.597, (4.6) sedangkan untuk kasus dua pada Teorema tidak memiliki solusi. Dengan demikian sistem persamaan diferensial (.6) anya memiliki titik tetap endemik untuk nilai parameter Simulasi kura bifurkasi untuk parameter F, 0 I yang terbesar ditunjukkan pada Gambar 4.9 dan kura bifurkasi untuk parameter untuk akar F, I 0 yang lainnya ditunjukkan pada Gambar 4.0. Pada Gambar 4.9, kura berwarna biru memberikan solusi F, I 0 yang mengalami bifurkasi maju dan diperole juga bawa kura tersebut memberikan titik tetap endemik yang bersifat stabil dengan R0. Sementara itu, titik-titik yang berwarna mera, baik pada Gambar 4.9 maupun Gambar 4.0, bukan merupakan titik tetap endemik karena I 0. untuk dua akar

44 8 < = Gambar 4.9 Kura bifurkasi untuk parameter teradap dua akar F I, 0 yang terbesar Gambar 4.0 Kura bifurkasi untuk parameter teradap akar yang lain dari persamaan F I, 0 Dengan demikian, untuk parameter juga anya diperole satu titik * bifurkasi seperti alnya parameter, yaitu pada, I 0.597,0. Pada titik ini terjadi perubaan kualitatif pada sistem persamaan diferensial (.6), di mana sistem yang semula tidak memiliki titik tetap endemik beruba menjadi memiliki titik tetap endemik x ee yang bersifat stabil global. Peritungan analisis bifurkasi teradap dapat diliat pada Lampiran. Gambar 4. dan Gambar 4. berikut memberikan kura bidang solusi I untuk parameter yang diberikan.

45 9 Gambar 4. Perubaan nilai I untuk Gambar 4. Perubaan nilai I untuk Simulasi Efektiitas Vaksin pada Manusia Pada bagian simulasi ini, diamati dinamika populasi dalam kondisi ketika R0. Dalam al ini, R 0 merupakan bilangan reproduksi yang didefinisikan pada persamaan (4.0). Simulasi ini diperlukan untuk menunjukkan pengaru aksinasi pada manusia teradap dinamika populasi manusia dan populasi nyamuk. Pemilian parameter didasarkan pada studi yang dilakukan ole berbagai sumber terpercaya. Nilai-nilai parameter yang diambil disajikan dalam Tabel.. Nilai awal proporsi manusia terinfeksi I adala , proporsi manusia teraksinasi V adala dan proporsi nyamuk terinfeksi I adala Simulasi efektiitas aksin ini diperlukan untuk menunjukkan pengaru efektiitas aksinasi e 0, teradap populasi manusia dan nyamuk. Hal ini diperliatkan melalui proporsi manusia dan proporsi nyamuk, seperti yang ditunjukkan pada Gambar 4. dan Gambar 4.4. Gambar 4. Dinamika proporsi populasi manusia untuk beberapa efektiitas aksinasi

46 0 Pada populasi manusia sebagaimana ditunjukkan dalam Gambar 4., jika efektiitas aksin pada manusia diperbesar, maka menyebabkan semakin berkurangnya proporsi manusia di kelas terinfeksi. Gambar 4.4 Dinamika proporsi nyamuk untuk beberapa tingkat efektiitas aksin Efektiitas aksin yang diberikan kepada manusia, juga memberikan dampak pada proporsi nyamuk terinfeksi sebagaimana ditunjukkan pada Gambar 4.4. Jika aksin yang diberikan kepada manusia memiliki efektiitas yang besar, maka dapat menyebabkan proporsi nyamuk di kelas terinfeksi semakin menurun. Pengaru efektiitas aksin teradap bilangan reproduksi dasar dapat diliat pada Tabel 4.. Tabel 4. Efektiitas aksin pada manusia teradap R 0 Parameter e (Safan et al. 04) Bilangan reproduksi dasar e 0.40 R e 0.60 R0 0.0 e 0.80 R0 0. Ada tiga nilai e yang diamati, yaitu e 0.40, e 0.60 dan e Terliat bawa makin besar efektiitas aksin, makin kecil nilai R 0.

47 5 SIMPULAN Berdasarkan asil pembaasan, dapat disimpulkan bawa model penyebaran penyakit malaria tipe SIS-SI seperti pada sistem persamaan diferensial (.6) memiliki rincian asil-asil utama dalam tesis ini adala sebagai berikut. Sistem persamaan diferensial (.6) memiliki dua jenis titik tetap, yaitu titik tetap tanpa penyakit dan titik tetap endemik. Jika R0, maka sistem persamaan diferensial (.6) memiliki titik tetap tanpa penyakit x dfe yang bersifat stabil global. Jika R0, maka sistem persamaan diferensial (.6) memiliki titik tetap endemik x ee yang bersifat stabil global dan titik tetap bebas penyakit bersifat takstabil.. Berdasarkan analisis bifurkasi teradap parameter, dan pada sistem persamaan diferensial (.6) dapat disimpulkan bawa untuk setiap kura bifurkasi berlaku Jika terjadi bifurkasi mundur, maka titik tetap endemik bersifat takstabil. Jika terjadi bifurkasi maju, maka titik tetap endemik bersifat stabil.. Simulasi juga menunjukkan efek dari aksinasi taksempurna e teradap perubaan nilai bilangan reproduksi dasar R 0. Jika efektiitas aksin ditingkatkan, maka bilangan reproduksi dasar akan semakin kecil. Dengan demikian, peningkatan nilai parameter ini dapat membantu menekan laju penularan penyakit dalam populasi. Pada populasi manusia, semakin diperbesar efektiitas aksin, maka jumla manusia terinfeksi semakin sedikit. Demikian juga pada populasi nyamuk, semakin besar efektiitas aksin, maka jumla nyamuk terinfeksi semakin sedikit. Akibatnya, penyakit akan semakin cepat ilang dari populasi.

48 DAFTAR PUSTAKA Abdullai MB, Hasan YA, Abdulla FA. 0. A Matematical Model of Malaria and Te Effectieness of Drugs. Applied Matematical Sciences. 7(6): Agusto FB, Marcus N, Okosun KO. 0. Application of optimal control to te epidemiology of malaria. Electronic Journal of Differential Equation. 0(8):-. Boyd S Basic Lyapuno Teory. Stanford: Stanford Uniersity. Burton TA Volterra Integral and Difference Equations. nd ed. New York: Elseier. Citnis NR Using Matematical Models in Controlling Te Spread of Malaria [disertasi]. Arizona (US): Te Uniersity of Arizono. [Ditjen PP] Direktorat Jendral Pengendalian Penyakit. 0. Epidemiologi Malaria di Indonesia. Jakarta: Kementrian Keseatan RI. Hill AVS, Ogwang C, Kimani D, Edwards NJ, Roberts R, Mwacaro J, Bowyer G, Bliss C, Hodgson SH, Njuguna P, Viebig NK, Nicosia A, Gitau E, Douglas S, Illingwort J, Mars K, Lawrie A, Imoukuede EB, Ewer K, Urban BC, Bejon P, Te MVVC group. 05. Prime-boost Vaccination wit Cimpanzee Adenoirus and Modified Vaccinia Ankara Encoding TRAP Proides Partial Protection against Plasmodium Falciparum Infection in Kenyan Adults. Science Journal, Science Translational Medicine. 7(86):86re5.doi:0.6/scitranslmed.aaa7. Laarabi H, Labriji EH, Racik M, Kaddar A. 0. Optimal Control of an Epidemic Model wit a Saturated Incidence Rate. Modeling and Control. 7(4): Labadin C, Kon ML, Juan SFS Deterministic Malaria Transmission Model wit Acquired Immunity. Proceedings of te World Congress on Engineering and Computer Science. : Leon SJ Aljabar Linear dan Aplikasinya. Bondan A, Penerjema; Handani HW, editor. Jakarta (ID): Penerbit Erlangga. Terjemaan dari: Linear Algebra wit Applications. Ed ke-5. Li Y, Muldowney JS. 99. On Bendixson s Criterion. Journal of Differential Equetions. 06: 7-9 Mandal S, Sarkar RR, Sina S. 0. Matematical Models of Malaria-a Reiew. Malaria Journal. 0:-9. Perko L. 99. Differential Equation and Dynamical System. New York: Springers- Varlag. Pongsumpun P Transmission Model For Dengue Disease Wit And Witout Te Effect Of Extrinsic Incubation Period. KMITL Science and Tecnology Journal. 6(): Ruan S, Wei J. 00. On Te Zeros of a Tird Degree Exponential Polynomial wit Applications to a Delayed Model for te Control of Testosterone Secretion. IMA Journal of Matematics Applied in Medicine and Biology. 8:4-5. Safan M, Rian FA. 04. Matematical Analysis of an SIS Model wit Imperfect Vaccination and Backward Bifurcation. Matematical and Computers in Simulation. 96:95-06.

49 Seydel R in: From Equilibrium to Caos: Practical Bifurcation and Stability Analysis. New York, Amsterdam, London: Elseier. Strogatz SH Nonlinear Dynamic and Caos wit Applications to Pysics, Biologi, Cemistry and Engineering. Massacusetts: Perseus Books Publissing, LLC. Te RTS,S Clinical Trials Partnersip. 0. First Results of Pase Trial of RTS,S/AS0 Malaria Vaccine in African Cildren. Te New England Journal of Medicine. 65: doi:0.056/NEJMoa087. Tu PNV Dynamical Sistem. New York: Springer-Verlag. Van den Driessce P, Watmoug J Capter 6: Futer Notes on te Basic Reproduction Number. Matematical Epidemiology, Lecture Notes Matematics. New York: Springer. 945: Verulst F Nonlinear Differential Equations and Dynamical Sistems. Springer-Verlag. Berlin

50 4 LAMPIRAN Lampiran : Penyederanaan sistem persamaan diferensial model Abdullai et al. Untuk menyederanakan sistem persamaan diferensial (.) yang berbentuk ds b N I I S (.) N N di b I I I S k I N N dr k I R N S I R ds N I S N di I S I N N S I, maka dimisalkan S I R S I S, I, R, S dan I N N N N N seingga sistem persamaan diferensial (.) menjadi dsn b N N I I N S N ds I I S din b IN N I N I SN k IN N N di I I I S k I dr N k IN R N dr k I R S I R dn S N ds ( I ) S N N I N S

51 5 din I N SN IN N di SI I S I N di mana bn dan n. Dengan menyubstitusikan S I R N dan S I ke dalam sistem persamaan (.) untuk mengilangkan ariabel S dan ariabel S, maka diperole ds d I R I I I R ds di dr I I I R di I I I I R k I dr k I R ds d I ( I ) I ds di ( I ) I di I I I Dengan demikian, sistem persamaan diferensial (.) dapat ditulis menjadi di I I I I R k I (.) dr k I R di I I I

52 6 Lampiran : Penyederanaan sistem persamaan diferensial model Safan et al. Untuk menyederanakan sistem persamaan diferensial (.) yang berbentuk ds ( p) N I I S (.) N di S I ( e) V I ( ) I N N dv pn S V ( e) V I N N S I V, maka dimisalkan S I S, I N N dan V V N seingga diperole dsn ( p) N N I N I N S N ds ( p) I ( I ) S din SN IN ( e) V N IN ( ) I N N N di SI ( e) V I ( ) I dv N pn SN V N ( e) V N IN N dv p S V ( e) V S I V Dengan menyubstitusikan S I V ke dalam sistem persamaan (.) untuk mengilangkan ariabel S, maka diperole ds di dv ( p) I ( I ) I V di I V I ( e) V I ( ) I dv p I V V ( e) V Dengan demikian, sistem persamaan (.) dapat ditulis sebagai di I V I ( e) V I ( ) I dv p I V V ( e) V (.4)

53 7 Lampiran : Penyederanaan sistem persamaan diferensial model modifikasi Untuk menyederanakan sistem persamaan (.5) yang berbentuk ds b p N I V I I S N N di b b I I S I e V I N N N dv b p N S V e V I N N S I V ds N I S N di I S I N N S I, maka dimisalkan S I V S I S, I, V, S dan I N N N N N seingga diperole dn S b p N N I N V N I N I N S N N ds b N p I V I I S N ds p I V I I S dn I b b N I N I N S N I e N V N I N N N di b N b N I I S I e V I N N di I I S I e V I dv N b pn SN V N e V N IN N dv b N p S V e V I N dv p S V e V I S I V

54 8 dn S N ds I S din I N SN IN N di IS I S I N N I N S Dengan menyubstitusikan S I V dan S I ke dalam sistem persamaan (.5) untuk mengilangkan ariabel S dan S, maka diperole ds d I V ds di dv p I V I I I V di I I I V I e V I dv p I V V e V I ds d I I I ds di I I di I I I Dengan demikian, sistem persamaan diferensial (.5) dapat ditulis sebagai di I I I V I e V I (.6) dv p I V V e V I di I I I p I V I I I V

55 9 Lampiran 4: Penentuan titik tetap Titik tetap tanpa penyakit Titik tetap endemik 0 I I I V I e V I, I I I 0 p I V V e V I, 0. Dari persamaan () diperole I I I 0 I I I I 0 I I I I I. I Dari persamaan () diperole p I V I e I V 0 V p I e I Untuk I akan dicari menggunakan persamaan bifurkasi, yaitu dengan menyubstitusikan persamaan (4) dan (5) ke persamaan (). Untuk lebi lanjut dapat diliat pada Lampiran 8. () () () (4) (5)

56 40 Lampiran 5: Penentuan matriks Jacobi Penentuan matriks Jacobi pada Maple adala sebagai berikut Untuk titik titik tetap tanpa penyakit diperole

57 4 Lampiran 6: Kriteria Bendixson untuk kestabilan global Misalkan sistem persamaan diferensial (.6) dibentuk menjadi persamaan (4.4), seingga diperole f I, V, I I I I V I e V I,,,,. f I V I p I V V e V I f I V I I I I Dengan menggunakan persamaan (.0b), maka sistem persamaan diferensial (.6) tidak memiliki orbit solusi periodik jika memenui sala satu dari dua kasus berikut f f f f (i) sup 0 I I V V f f f f (ii) sup 0. V I I I Dengan menggunakan program komputer Maple, maka diperole Dengan menyelesaikan asil pada Maple di atas, maka diperole f f f f (i) sup I I V V sup I V I I I I e I I I I I I e I I I I e I I e I f f f f (ii) sup V I I I e I I I. sup (4.8a) (4.8b)

58 4 Persamaan (.0c) dan (.0d) tidak memberikan kondisi parameter yang memenui, sedangkan kondisi (.0a) memberikan asil dengan syarat yang kompleks. Dengan demikian, berdasarkan Kriteria Bendixson, sistem persamaan diferensial (.6) tidak memiliki orbit solusi periodik di Σ R seingga sistem tersebut selalu memiliki titik tetap yang bersifat stabil global, jika memenui atau.

59 4 Lampiran 7: Penentuan bilangan reproduksi dasar Berdasarkan persamaan (.6) diperole di I I I V I e V I, di I I I. di Dengan mengambil di F V dan F V, di mana F I V I I V I e V I, I F I I V V I seingga matriks F dan V dapat ditulis sebagai berikut F F V V I I I I F dan V. F F V V I I I I Te Next Generation Matrix K untuk persamaan (.6) didefinisikan sebagai K FV dengan * * V ev F, 0 V 0 0 seingga diperole V ev K 0 Untuk menyederanakan, maka dimisalkan * V k, k ev *, k, seingga matriks K dapat ditulis sebagai * *.

60 44 k k K. k 0 Persamaan karakteristik untuk matriks K adala sebagai berikut k k 0 k atau k kk 0. Nilai eigen untuk matriks K diperole sebagai k k, kk, 4 seingga nilai eigen taknegatif terbesar yang merupakan bilangan reproduksi dasar iala R k k 4 0 kk

61 45 Lampiran 8: Penentuan persamaan bifurkasi Persamaan bifurkasi dapat ditentukan dengan mengatur sistem persamaan diferensial (.6) sama dengan nol, seingga diperole 0 I I I V I e V I () I I I 0 p I V V e I V 0 Dari persamaan () diperole I sebagai berikut Dari persamaan () diperole V sebagai berikut Dengan menyubstitusi I dan V ke pers. () diperole persamaan bifurkasi F 0 () () Dengan menyamakan penyebut dan mengalikan kedua ruas dengan penyebutnya kemudian kedua ruas dibagi dengan I 0, maka diperole F:= F := collect(f, I);

62 46 Persamaan di atas disebut sebagai persamaan bifurkasi. Persamaan tersebut kemudian ditulis menjadi persamaan (4.) yang berbentuk F I a I b I ci d di mana nilai a, b, c dan d diperole melalui a:=coeff(f,i,); b:=coeff(f,i,); c:=coeff(f,i,); d:=coeff(f,i,0);

63 47

64 48 Lampiran 9: Peritungan analisis bifurkasi teradap Bilangan reproduksi dasar R 0 dibentuk sebagai Nilai yang memenui R0 dilambangkan dengan b diberikan sebagai berikut: Persamaan bifurkasi pada persamaan (4.4) diperole seperti pada Lampiran 8, di mana a koefisien untuk I, b koefisien untuk I, c koefisien untuk I dan d adala konstanta. b merupakan nilai yang memenui d 0 untuk parameter dengan menyederanakan b, maka diperole. Parameter pembuat R0 bernilai sama dengan pembuat d 0 ditunjukkan sebagai berikut di Untuk menentukan ara bifurkasi digunakan lambang R, di mana R = d Berikut ini adala nilai-nilai parameter pada Tabel. kecuali

65 49 Dengan menyubstitusikan parameter di atas seingga diperole persamaan bifurkasi F sebagai berikut: Daera pembuat d 0 dan R0 bernilai sama. Dari kasus pada Teorema, terliat bawa sistem persamaan diferensial (.6) memiliki titik tetap endemik adala Dari Kasus pada Teorema, sistem persamaan diferensial (.6) memiliki titik tetap endemik sebagai berikut: Kura bifurkasi teradap I adala sebagai berikut

66 50 Sebagai conto, untuk parameter 4.5, sistem persamaan diferensial (.6) memiliki dua titik tetap endemik yaitu 7 Jadi, titik tetap untuk 5 adala,, I, V, I = 0.9, 0.077, I V I = 0.06, 0.96, atau

67 5 Lampiran 0: Peritungan analisis bifurkasi teradap Bilangan reproduksi dasar R 0 diberikan sebagai Nilai yang memenui R0 dilambangkan dengan b diberikan sebagai berikut: Persamaan bifurkasi pada persamaan (4.4) diperole seperti pada Lampiran 8, di mana a koefisien untuk I, b koefisien untuk I, c koefisien untuk I dan d adala konstanta. b merupakan nilai yang memenui d 0 untuk parameter dengan menyederanakan b, maka diperole. Parameter pembuat R0 bernilai sama dengan pembuat d 0 ditunjukkan seperti berikut di Untuk menentukan ara bifurkasi digunakan lambang R, di mana R = d Nilai-nilai parameter pada Tabel. kecuali sebagai berikut: Dengan menyubstitusikan nilai parameter di atas seingga diperole persamaan bifurkasi F sebagai berikut:

68 5 Daera pembuat d 0 dan R0 bernilai sama. Dari kasus pada Teorema terliat bawa sistem persamaan diferensial (.6) memiliki titik tetap endemik adala Dari Kasus pada Teorema sistem persamaan diferensial (.6) memiliki titik tetap endemik Kura bifurkasi parameter teradap I adala sebagai berikut

69 5 Untuk parameter.5, sistem persamaan diferensial (.6) memiliki satu titik tetap endemik yaitu Jadi, titik tetap untuk.5 adala,, I V I = ,0.866,0.09.

70 54 Lampiran : Peritungan analisis bifurkasi teradap Bilangan reproduksi dasar R 0 diberikan sebagai Nilai yang memenui R0 dilambangkan dengan b diberikan sebagai berikut: Persamaan bifurkasi pada persamaan (4.4) diperole seperti pada Lampiran 8, di mana a koefisien untuk I, b koefisien untuk I, c koefisien untuk I dan d adala konstanta. b merupakan nilai yang memenui d 0 untuk parameter dengan menyederanakan b, maka diperole. Parameter pembuat R0 bernilai sama dengan pembuat d 0 ditunjukkan sebagai berikut di Untuk menentukan ara bifurkasi digunakan lambang R, di mana R = d Nilai-nilai parameter pada Tabel. kecuali sebagai berikut: Dengan menyubstitusikan nilai parameter di atas seingga diperole persamaan bifurkasi F sebagai berikut:

71 55 Daera pembuat d 0 dan R0 bernilai sama. Dari kasus pada Teorema terliat bawa sistem persamaan diferensial (.6) memiliki titik tetap endemik adala Dari Kasus pada Teorema, sistem persamaan diferensial (.6) memiliki titik tetap endemik Kura bifurkasi untuk parameter teradap I adala sebagai berikut

72 56 Untuk parameter 0.7, sistem persamaan diferensial (.6) memiliki satu titik tetap endemik yaitu Jadi, titik tetap untuk 0.7 adala,, I V I = 0.05, 0.99,

73 Lampiran : Simulasi efektiitas aksinasi pada manusia 57

74 58