Pemodelan Matematika Penyebaran Penyakit Leptospirosis Antara Vektor Penyebar Dengan Populasi Manusia

Transkripsi

1 SEMNAR NASONAL MATEMATKA DAN PENDDKAN MATEMATKA UNY 5 T - 39 Pemodelan Matematika Penyearan Penyakit Leptospirosis Antara Vektor Penyear Dengan Populasi Manusia Fuji Lestari, Sugiyanto Sains dan Teknologi, Uniersitas slam Negeri Sunan Kalijaga lestarif@gmail.com Astrak Leptospirosis adala penyakit akiat akteri leptospira sp yang dapat ditularkan dari ewan ke manusia atau sealiknya zoonosis. Gejala yang terliat dari penderita iasanya muncul demam, sakit kuning, kulit mengalami pendaraan, menggigil, nyeri otot, sakit perut dan eerapa tanda lainnya. Ruang lingkup yang digunakan untuk memodelkan penyakit ini adala dengan model persamaan differensial non-linear dari populasi ektor penyear dan populasi manusia. Pada pemaasan akan dijelaskan tentang model interaksi penyearan dari populasi manusia dan populasi dari ektor penyear penyakit yang diselesaikan dalam entuk pemodelan matematika. Tujuan dari penelitian ini adala mengetaui agaimana model penyearan, titik ekuilirium, kestailannya dan gamaran dari simulasi numerik dari penyearan penyakit leptospirosis. Penelitian dilakukan dengan mengidentifikasikan masala, menyusun asumsi untuk menyederanakan model, mendefinisikan parameter, memuat diagram penyearan. Selanjutnya menentukan titik ekuilirium eas penyakit dan titik ekuilirium endemik, serta menganalisis kestailan lokal dan kestailan gloal menggunakan teorema Lyapuno dimana V( x untuk setiap x E maka titik ekuilirium stail asimtotik lokal. Selanjutnya jika E k merupakan E titik ekuiliriun terseut stail asimtotik gloa. Langka terakir adala melakukan simulasi numerik dari model penyearan penyakit menggunakan Matla. Kata kunci: Leptospirosis, Lyapuno, titik ekuilirium, zoonosis. PENDAHULUAN Leptospirosis adala penyakit infeksi yang dapat menyerang manusia dan ewan. Penyakit menular ini adala penyakit ewan yang dapat menjangkiti manusia atau sealiknya, iasanya diseut dengan penyakit zoonosis yang sering ditemukan di dunia[]. Penyakit leptospirosis ini diseakan akteri patogen yang erentuk spiral dari genus Leptospira, famili leptospiraceae dan ordo spirocaetales[]. Manusia dapat tertular penyakit leptospira melalui dua cara yakni secara langsung dengan ektor penyearnya. Dan tidak langsung yang mana melalui genangan air, tana atau tanaman yang tela terkontaminasi ole air seni ewan yang menderita leptospirosis. Bakteri masuk ke dalam tuu manusia melalui selaput lendir (mukosa mata, idung, kulit yang lecet atau makanan yang terkontaminasi ole urine ewan yang terinfeksi leptospira[3]. Matematika turut memerikan peranan dalam menganalisis dan memodelkan suatu peristiwa atau permasalaan. Dengan prinsip-prinsip matematika dapat diliat apaka model yang diasilkan tela sesuai dengan rumusan seagaimana formulasi masala nyata yang diadapi. Sala satunya adala model matematika penyearan penyakit Leptospirosis. Dalam makala ini akan diaas pemodelan matematika penyearan penyakit leptospirosis dengan model SRS. Pada model ini diagi menjadi lima kelompok yaitu indiidu yang rentan (seat tetapi dapat terinfeksi penyakit (susceptile, kelompok indiidu yang terinfeksi (infectious, kelompok indiidu yang mengalami penyemuan (recoered, ektor penyear penyakit yang rentan penyakit (susceptile, dan ektor penyear penyakit yang terinfeksi (infectious. Kemudian akan dicari titik ekuilirium, dan menganalisis kestailan gloal dengan menggunakan teori fungsi Lyapuno 449

2 SBN HASL DAN PEMBAHASAN A. Simulasi Model Model penyearan penyakit leptospirosis antara ektor penyear leptospirosis dengan populasi manusia diformulasikan ke dalam model SR (susceptile, infected, recoered. Populasi model terseut teragi menjadi lima kelompok, selanjutnya didefinisikan ariale-ariael pada model terseut yakni S menyatakan jumla atau proporsi indiidu yang rentan pada waktu (t. menyatakan ayaknya indiidu yang terinfeksi penyakit pada saat t. R menyatakan anyaknya indiidu yang mengalami penyemuan pada waktu t. S menyatakan anyaknya ektor penyear yang rentan pada saat t. menyatakan anyaknya ektor penyear yang terinfeksi leptospirosis pada saat t. Adapun asumsi-asumsi yang digunakan adala: a. Populasi teruka artinya (terdapat kelairan, kematian,imigrasi. Kematian dapat terjadi pada indiidu yang terinfeksi c. Terjadi kematian alami pada manusia maupun ektor penyear penyakit d. Pada populasi manusia, indiidu yang terinfeksi dapat semu dan akan kemali menjadi kelompok rentan. e. Pada populasi ektor penyear leptospirosis tidak mengalami fase penyemuan. f. Pada indiidu yang terinfeksi dapat mengalami penyemuan secara alami dan kemali lagi ke kelas susceptile. Dapat diliat interaksi keseluruan penyearan penyakit antara ektor penyear dengan populasi manusia pada Gamar. Gamar. Diagram Model Matematika Penyearan Penyakit Leptospirosis Jumla keseluruan populasi manusia dan populasi ektor penyear dari lima populasi diatas pada saat t dapat dinyatakan yakni untuk manusia N t S t t R ( t sementara jumla keseluruan populasi ektor penyear Nt St t. Dari model interaksi antara ektor penyear dengan populasi manusia maka dapat diperole lima persamaan differensial seagai erikut : ds S S S R d S S dr R R (. ds S 3S d 3S Dengan kondisi awal 45

3 SEMNAR NASONAL MATEMATKA DAN PENDDKAN MATEMATKA UNY 5 S ( ; ( ; R ( ; S ( ; ( (. Dijelaskan awa adala anyaknya perekrutan pada populasi manusia. Jumla dari rekrutmen didapat dari populasi S,, R. Populasi manusia yang rentan dapat tertular melalui dua jalan yakni penularan secara langsung dari manusia dan penularan tidak langsung yakni dari ektor penyear. adala laju kematian alami pada populasi manusia. merupakan laju penyemuan pada populasi manusia, sementara adala penyemuan dengan dari indiidu yang terinfeksi dengan adanya imun. adala laju kematian pada populasi manusia dikarenakan penyakit leptospirosis. Pada populasi ektor penyear menunjukkan laju perekrutan penularan penyakit. Populasi ektor penyear tertular penyakit dinyatakan dengan 3, sementara kematian alami ditunjukkan dengan dan kematian yang dikarenakan penyakit leptospirosis adala. Jumla total populasi manusia ditunjukkan dengan N (.3 dengan kondisi awal (6 dapat ditunjukkan awa N(. Maka untuk N ( t ernilai positif untuk setiap nilai t. Jumla total populasi ektor penyear adala N (.4 Dari persamaan (7 dan (8 didapatkan N Kemudian lim N t dan N lim N t 5 (( S,, R, S, R, N, N. Daera penyelesain sistem yakni: Preposisi 3. Dierikan ( S,, R, S, adala solusi sistem pada persamaan ( -5 dengan kondisi awal pada persamaan ( dan merupakan impunan tertutup. 5 (( S,, R, S, R, N, N, selanjutnya akan ditunjukkan Ω adala inariant positif dan menarik diawa garis yang dijelaskan pada persamaan 3. Bukti : Dierikan fungsi Lyapuno V( t ( N( t, N( t ( S R, S (.6 Persamaan diturunkan teradap waktu : dv ( N, N (.7 Dapat diuktikan awa: N untuk N (.5 N untuk N (.8 dv Megikuti persamaan dengan syarat Ω adala impunan inariant positif dan memenui standar teorema perandingan, dapat ditunjukkan : 45

4 SBN t t t t ( N, N N ( e e, N ( e e Seingga untuk t, N, N,, maka Ω adala impunan yang terus meningkat. B. Titik Ekuilirium Beas Penyakit Pada agian ini akan dijelaskan titik ekuilirium eas penyakit dan kestailannya. Pada sistem persamaan ( persamaan disamadengankan nol. Dapat diperole titik ekuilirium eas penyakit yakni o o o o E ( S,,, S, dimana S dan S. Sementara kuantitas R o pada penyakit dierikan 3 seagai erikut: R QQ Q yang mana Q (, Q ( Model epidemik, ketika reproduksi dasar menunjukkan R maka rata-rata satu indiidu penginfeksi mengasilkan kurang dari satu indiidu aru terinfeksi dalam penginfeksiannya, dan penginfeksiannya tidak erkemang. Sealiknya jika R maka masing-masing indiidu penginfeksi menginfeksi lei dari satu indiidu aru dan penyakit akan erkemang pada populasi. Teorema 3. Didefinisikan untuk setiap R, maka penyakit akan pada titik ekuilirium point E dari sistem persamaan adala stail asimtotik lokal, jika Q Bukti : Titik ekuilirium eas penyakit stail asimtotik local diperole dengan mennyamadengankan nol solusi sistem persamaan ( melingkupi E. Mengikuti persamaan pada matrik jacoian seagai erikut: S S S Q S J Q3 (.8 3S 3S Q Menggunakan sistem operasi persamaan, diperole persamaan seagai erikut: ( ( Q3 ( (( S Q ( Q ( S( 3S Dapat diperole nilai karakteristik :,, 3 Q3, nilai karakteristik dari (( S Q ( Q ( S( 3S dicari dengan menggunakan rumus persamman kuadrat dan diperole asil : Q Q Q ( Q Q ( Q Q Q QQ 43 4 Q Q Q ( Q Q ( Q Q Q QQ 43 5 (.7 C. Titik Ekuilirium Endemik Untuk mencari titik ekuilirium endemic yaitu dengan menyamadengankan nol pada persamaan (. seingga diperole 45

5 SEMNAR NASONAL MATEMATKA DAN PENDDKAN MATEMATKA UNY 5 QQ ( 3 3 S, S,, R 3 Q ( 3 3 Q( 3 Q3 Pada kenyataanya titik ekuilirium pada indiidu yang terinfeksi tidak samadengan nol, maka dengan menggunakan nilai S dan pada persamaan pertama di sistem (. maka diperole f ( a c dimana a QQ, ( 3Q 3QQ 3QQ QQ dan c QQ ( R pada solusi ini dicari nilai solusi nonpositif. Hingga diliat sistem mengalami ifurkasi dengan 4ac dan R Rc maka penyelesaian dari nilai kritis dari R c yakni Rc 4 a QQ Teorema 3.3 untuk Ro titik ekuilirium endemic pada sistem 3. adala stail asimtotik Bukti: Matrik Jacoian mengikuti persamaan ( titik ekuilirium endemik diperole: M ˆ S ( ˆ Q J ˆ 3 ˆ 3 Untuk M ˆ, Q, Q Dari matrik jacoian terseut dapat di cari nilai eigen yakni M, Q, 3 3ˆ, 4 Q Semua nilai eigen memiliki nilai negatif, jadi al terseut memuktikan awa titik ekuilirium endemik stail asimtotik lokal. D. Analisis Kestailan Gloal Untuk menunjukkan sistem (. stail asimtotik gloal digunakan fungsi lyapuno pada titik ekuilirium eas penyakit dan titik ekuilirium endemik. Yang pertama kita akan menunjukkan titik ekuilirium eas penyakit stail asimtotik gloal. Teorema 5. Titik ekuilirium eas penyakit pada sistem (. adala stail asimtotik gloal jika QQ 3. Bukti : Untuk kestailan gloal pada titik ekuilirium eas penyakit didefinisikan fungsi lyapuno X ( t W ˆ ˆ ( S S W ( S S W3 W4 W5 R Dimana W adala searang konstanta positif. Menggunakan penurunan differensial sistem (. dituntukan teradap t X W S S S R W S S 3 Q W S W S S W R R 5 Dengan nilai S, S, dan memili nilai konstanta w w4 Q3, w3w. Dapat diperole asil persamaan dengan eerapa pengerjaan yakni : X Q ( S S ( S S Q ( Q Q 3 3 QQ Titik ekuilirium eas penyakit stail asimtotik gloal jika 3. X akan ernilai negatif jika S ˆ S, S ˆ S, dan R. Mengikuti teorema ketailan asimtotik gloal, maka titik ekuilirium eas penyakit adala stail asimtotik gloal. Teorema 5. Titik kesetimangan penyakit endemik pada sistem ( adala stail asimtotik gloal jika ˆ 3S S Q dengan Q ˆ 3S ˆ S dan S ˆ S Bukti : Didefiniskan fungsi lyapuno untuk titik ekuilirium endemik 453

6 SBN ˆ ˆ P( t S S S S R ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ S S S S Q3S Dimana W adala searang konstanta positif. Menggunakan penurunan differensial sistem ( dituntukan teradap t P S S S R [ S S Sˆ Sˆ ] S 3S [ 3S ] Sˆ Sˆ [ R R ] Q ˆ 3S Untuk nilai Sˆ dan Sˆ dapat diperole persamaan seagai erikut : S S Q Q P ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ S 3 S S Q3 S 3S Nilai Pt ( akan ernilai negatif untuk setiap S,, S,, R. Kemudian untuk Pt ( anya untuk S ˆ S, S ˆ S, ˆ, ˆ dan R ˆ R. Maka erdasarkan teorema kestailan asimtotik, titik ekuilirium eas penyakit adala stail asimtotik gloal. E. Simulasi Numerik Simulasi model dilakukan dengan menggamar grafik populasi dari persamaan S,, R, S, erikut dierikan nilai parameter yang ditunjukkan pada Tael. Tael. Nilai Parameter Parameter Definisi Nilai 3 laju perekrutan penularan penyakit leptospirosis pada populasi manusia laju penularan secara langsung dari manusia menyatakan laju penularan penyakit secara tak langsung melalui ekor penyear penyakit yang terinfeksi laju kematian alami pada manusia laju penyemuan pada manusia kematian pada indiidu yang terinfeksi Laju perekrutan pada populasi ektor penyear penyakit Laju penularan antara populasi ektor penyear yang rentan dengan populasi manusia yang terinfeksi Laju kematian pada ektor penyear penyakit karen terinfeksi Laju kematian alami pada ektor penyear penyakit laju penyemuan indiidu yang mengalami penyemuan dan kemali lagi ke kelas susceptile ,

7 SEMNAR NASONAL MATEMATKA DAN PENDDKAN MATEMATKA UNY 5 Laju penyemuan alami tanpa pengoatan pada indiidu yang terinfeksi.4 Dengan menggunakan program matla dan penyelesai numerik didapatkan grafik populasi ektor penyear dengan populasi manusia yang ditunjukkan Gamar. dan Gamar. Dari simulasi model matematika penyearan penyakit leptospirosis antara ektor penyear dengan populasi manusia pada Gamar menjelaskan populasi pada ektor penyear penyakit yang mana populasi rentan ektor penyear penyakit mengalami penurunan jumla populasi dan akan menuju dan akirnya akan menuju ke nol seiring dengan ertamanya waktu, seingga populasi ektor yang rentan akan ais. Sementara populasi ektor penyear penyakit yang terinfeksi terus meningkat seiring ertamanya waktu, dan pada akirnya jumla populasi ektor penyear juga akan mengalami penurunan dikarenakan kematian alami maupun karena infeksi. Yang pada akirnya populasi total ektor akan ais. Sementara pada Gamar. menggamarkan populasi pada manusia yakni seiring dengan peningkatan populasi manusia yang terinfeksi, maka meningkat pula populasi manusia yang mengalami penyemuan dari infeksi. Sementara itu populasi manusia yang rentan semakin erkurang dan akirnya jumla populasi manusia akan sama dengan ais Gamar. Grafik Populasi Vektor Penyear. Gamar. Grafik Populasi Manusia 455

8 SBN SMPULAN DAN SARAN Berdasarkan pemaasan yang tela dipaparkan, maka penulis dapat menarik kesimpulan, yaitu:. Model penyearan penyakit leptospirosis dapat dinyatakan seagai erikut: ds S S S R d S S dr R R ds S 3S d 3S o o. Memiliki titik ekuilirium yaitu titik ekuilirium eas penyakit E ( S,,, S, dimana S o o dan S ( 3 Q 3 dan titik ekuilirium endemik, S, R Q3 Q Q ( ( 3 3 Q 3, S 3 yang mana keduanya adala stail asimtotik lokal dan gloal 3. Hasil simulasi numerik pada manusia seiring dengan peningkatan populasi manusia yang terinfeksi, maka meningkat pula populasi manusia yang mengalami penyemuan dari infeksi. Sementara itu populasi manusia yang rentan semakin erkurang dan akirnya jumla populasi manusia akan sama dengan ais. Sedangkan populasi pada ektor penyear penyakit, populasi rentan penurunan jumla populasi dan akan menuju dan akirnya akan menuju ke nol seiring dengan ertamanya waktu, seingga populasi ektor yang rentan akan ais. Sementara populasi ektor penyear penyakit yang terinfeksi terus meningkat seiring ertamanya waktu, dan pada akirnya jumla populasi ektor penyear juga akan mengalami penurunan dikarenakan kematian alami maupun karena infeksi. Yang pada akirnya populasi total ektor akan ais. DAFTAR PUSTAKA, [] Supraptono, Bamang.. Jurnal : nteraksi 3 Faktor Leptospirosis. Berita Kedokteran masyarakat: Kalimantan Barat. [] ttp:// [3] ttp://digili.unimus.ac.id/files/disk/33/jtptunimus-gdl-sitinurca aii.pdf [4] Perko, L., 99, Differential Equations and Dynamical Systems, Springer-Verlag, New York.. [5] Wiggins, S., 99, ntroduction to Applied Nonlinear Dynamical Systems and Caos, Springer-Verlag, New York [6] Ross Sepley, 984 ntroduction To Ordinary Differential Equations, (New York: Jon Wiley and Sons, [7] Olsder, G. J dan J. W. an der Woude. 4. Matematical System Teory. Deflt Uniercity of Tecnology: Belanda. [8] Yulida, Yuli.. Jurnal Matematika Murni dan Terapan Vol.5 No. Analisis Kestailan Gloal Model Epidemik SRS menggunakan Fungsi Lyapuno. Banjararu. 456