Analisis Kestabilan Model Host-Vector Transmisi HIV/AIDS Pada Pengguna Jarum Suntik

Transkripsi

1 Jurnal Matematika Vol. 7 o. 1, Juni 17. : Analisis Kestabilan Model Host-Vector Transmisi HV/AD Pada Pengguna Jarum untik Jafaruddin (Alm) Jurusan Matematika Uniersitas usa Cendana apmaida M. Pangaribuan Jurusan Matematika Uniersitas usa Cendana rapmaida_pangaribuan@yaoo.com Aryanto Jurusan Matematika Uniersitas usa Cendana arirakatesa@gmail.com rena A. Henuk Jurusan Matematika Uniersitas usa Cendana irena_enuk@yaoo.com Abstract: HV/AD is a ery dangerous disease. Te transmission of HV/AD can be in tree ways and one of tem troug a syringe. n tis paper we describe and E Host-Vector model transmission of HV/AD amongst populations of injecting drug users. From te existing model we obtained diseasefree equilibrium point and endemic equilibrium point. Ten we study te stability conditions and sensitiity analysis of te. Te analysis sows if ten te disease-free equilibrium point is stable and if ten te endemic equilibrium point will be stable. We also obtained tat parameter of probality ostector infected wit HV/AD affects te increase of number infected HV/AD. Keywords: HV/AD, Host-Vector Transmission, Te tability of Equilibrium Point. 1. Pendauluan Human mmunodeficiency Virus (HV) adala irus yang dapat menyebabkan Acquired mmune Deficiency yndrome (AD). Kasus HV di ndonesia pertama sekali ditemukan di Bali pada bulan April 1987 dan mengalami peningkatan yang signifikan pada taun 13 sebanyak 9.37 kasus dan taun 14 sebanyak kasus. Kasus positif AD taun 13 sebanyak kasus dan taun 14 mengalami penurunan menjadi kasus. Hal ini diperkirakan karena sistem pelaporan yang belum optimal. Dari kasus AD di ndonesia taun 14, 1

2 Jafaruddin,.M. Pangaribuan, Aryanto,.A. Henuk/Analisis Kestabilan Model Host-Vector sebanyak 18 jiwa (3,3%) merupakan pengguna napza suntikan (DU) (Kemenkes, 14). Penularan penyakit HV/AD ini dapat melalui ubungan seksual, kontak langsung dengan dara penderita HV, dan secara ertikal dari ibu pengidap HV kepada bayinya. Model matematika sangat diperlukan untuk menganalisis penularan HV/AD. Pada taun 11, am ares dan Dilep arma menggunakan model A untuk menganalisis penularan HV/AD secara ertikal dari ibu ke bayinya dan waktu tundaan (time-delay). Taun 1, Abdalla. Waziri juga membentuk model matematika penyebaran HV/AD secara ertikal yaitu PTA (usceptible-nfection- Treatment PreAD-AD). Penelitian penyebaran HV/AD diantara sesama pengguna jarum suntik dilakukan ole Greenalg dan Hay pada taun 1997 dengan melakukan modifikasi model Kaplan. Model yang digunakan dalam penelitian tersebut belum membagi ostector dalam beberapa kompartemen. Di ndonesia Taun 4, Besral dkk juga melakukan penelitian dengan judul Potensi Penyebaran HV dari Pengguna apza untik ke Masyarakat Umum. Penelitian tersebut menggunakan data sekunder dari asil surey ole Pusat Penelitian Keseatan Uniersitas ndonesia, potensi penularan pada penelitian tersebut menggunakan konsep probabilitas. Penelitian ini bertujuan untuk menganalisa kestabilan titik ekuilibrium Model Host-Vector transmisi HV/AD pada pengguna jarum suntik dimana populasi ostector suda dibagi dalam beberapa kompartemen dan mengkaji parameter-parameter mana yang paling berpengaru teradap nya, seingga pencegaan ataupun treatment untuk mengurangi penyebaran HV/AD pada pengguna jarum suntik dapat dilakukan.. Data dan Metode Prosedur yang dilakukan dalam penelitian ini adala menetapkan beberapa asumsi, kemudian membangun model dan E Host-Vector transmisi HV/AD dalam pengguna jarum suntik. Dari model yang tela dibuat dicari titik ekuilibriumnya, kemudian dianalisis kestabilan titik ekuilibriumnya. Didefinisikan dengan menggunakan metode Te ext Generation Matrix (GM) [4]. erta dilakukan analisis sensitiitas teradap parameter-parameter yang mempengarui. 3. Hasil dan Pembaasan Model dan E Host-Vector Transmisi HV/AD dalam Pengguna Jarum untik Dalam model Host-Vector transmisi HV/AD dalam pengguna jarum suntik, Populasi Host dibagi dalam 3 kompartemen, yaitu Dimana adala populasi usceptible Host yang merupakan populasi manusia yang seat dan rentan

3 Jurnal Matematika Vol. 7 o. 1, Juni 17. : terineksi HV pada kalangan pengguna narkoba melalui jarum suntik, adala populasi nfected Host yang merupakan populasi yang terineksi HV dan adala populasi ecoered Host merupakan populasi yang berada dalam masa pengobatan. Jumla populasi Host diasumsikan konstan,. Populasi ector dibagi dalam kompartemen, yaitu dan. adala usceptible Vector dalam al ini jarum suntik yang masi steril, dan adala nfected Vector merupakan populasi ektor yang tela terinfeksi HV/AD karena pengaru dari populasi ost yang tela terinfeksi HV/AD. Jumla populasi ektor pada periode waktu satu taun diasumsikan konstan yaitu A μ bp μ ρ μ q bp A μ μ η Gambar 1. kema Model Host-Vector Transmisi HV/AD pada Pengguna Jarum untik Berdasarkan Gambar 1, model matematika Host-Vector Transmisi HV/AD pada pengguna jarum suntik adala sebagai berikut: d d d d d A bp bp A bp bp (1) 3

4 Jafaruddin,.M. Pangaribuan, Aryanto,.A. Henuk/Analisis Kestabilan Model Host-Vector dengan: merupakan laju kelairan alami dari populasi ost, dengan merupakan laju kematian alami dari populasi ost, dengan merupakan laju transisi dari kompartemen infectie ost ke kompartemen recoered ost merupakan laju produksi populasi ektor yaitu jarum suntik merupakan laju kerusakan jarum suntik merupakan laju infeksi HV/AD pada populasi Host dan Vector merupakan laju sterilisasi jarum suntik. elanjutnya pada model E dengan menambakan satu kompartemen populasi exposed, yaitu populasi yang berada dalam masa inkubasi dibentuk skema model sebagai berikut: A μ μ μ E μ γe bp ρ E bp A μ η μ Gambar. kema Model E Host-Vector Transmisi HV/AD pada Pengguna Jarum untik Pada Gambar terdapat parameter yang merupakan laju inkubasi populasi ost, berdasarkan skema tersebut dibentuk model matematika sebagai berikut: 4

5 Jurnal Matematika Vol. 7 o. 1, Juni 17. : d de A bp bp E E d E d d A bp d bp () Analisis Kestabilan Titik Ekuilibrium Model dan Bilangan eproduksi Dari Model 1, diperole titik ekuilibrium bebas penyakit : A A E,,,,,,,, dan titik ekuilibrium endemik: 1 * E,,,, dimana : * * * * * ba p bp ba p b A A p p * p ba p b b A * A p p p ba p b * * ba p p ba p b b A A p p ba p b p elanjutnya dengan menggunakan metode Te ext Generation Matrix (GM) didefinisikan bilangan untuk model yang merupakan nilai eigen terbesar dari GM pada titik ekuilibrium bebas penyakit sebagai berikut: 5

6 Jafaruddin,.M. Pangaribuan, Aryanto,.A. Henuk/Analisis Kestabilan Model Host-Vector b p p b p p Teorema 1. Titik ekulibrium bebas penyakit akan stabil asimtotik lokal jika dan anya jika. Teorema. Titik ekulibrium endemik akan stabil asimtotik lokal jika dan anya jika. Teorema 3. ebua matriks memiliki nilai eigen negatif apabila diagonal utama matriks dan det Bukti Teorema 1. Diketaui akan ditunjukkan titik ekulibrium bebas penyakit stabil asimtotik lokal. Matriks Jacobian dari istem 1 di titik ekuilibrium adala: bp bp ( JE ) bp bp Diagonal utama dari adala JE ( ) Diperatikan bawa entri diagonal utama elanjutnya determinan dari ( JE ) adala : JE b p p 6

7 Jurnal Matematika Vol. 7 o. 1, Juni 17. : dapat ditulis JE b p p 1 karena: karena diketaui 1 Maka. eingga berdasarkan Teorema 3, matriks ( JE ) memiliki nilai eigen negatif atau bagian real negatif, dan menurut Horn [5] terbukti bawa titik ekuilibrium bebas penyakit stabil asimtotik lokal. elanjutnya diketaui stabil asimtotik lokal maka akan dibuktikan bawa, karena stabil asimtotik maka ( JE ) memiliki nilai eigen negatif. Menurut 1 Teorema 3, diagonal utama ( JE ) > dan Determinan dari ( JE ) adala : b p p JE dan tela diperole : Maka : JE b p p b p p b p p 1 maka: 1 dan 1, berarti 1 maka 1 Determinan ( JE ) apabila atau 1, jelas bawa 1, seingga 1 Teorema 1 terbukti. Dengan cara yang sama Teorema dapat dibuktikan. 7

8 Jafaruddin,.M. Pangaribuan, Aryanto,.A. Henuk/Analisis Kestabilan Model Host-Vector imulasi umerik Model elanjutnya dengan menggunakan data yang memenui Teorema 1, yaitu:, dan nilai awal yang sama untuk Teorema serta nilai dan, kestabilan dari titik ekuilibrium bebas penyakit (DFE) dan titik ekuilibrium endemik ((DEE) terliat pada Gambar 3 berikut: (a) (b) Gambar 3. (a) Grafik Kestabilan DFE pada Model (b) Kestabilan DEE pada Model Dari Gambar 3 (a) terliat bawa untuk jangka waktu yang sangat lama maka populasi ost dan ector akan konergen ke DFE. Populasi susceptibe ost akan menuju populasi awal, al ini terjadi karena tidak adanya populasi terinfeksi. Populasi infectie ost dan recoered ost juga mengalami penurunan. Populasi susceptible ector mengalami kenaikan karena beum terjadi infeksi dan populasi infetie ector akan mengalami penurunan menuju nol. Dari Gambar 3 (b) terliat bawa untuk jangka waktu yang sangat lama maka populasi ost dan ector akan konergen ke DEE. Analisis Kestabilan Titik Ekuilibrium Model E Titik ekuilibrium bebas penyakit (DFE) dan titik ekuilibrium endemik (DEE) untuk model E adala: A A E, E,,,, 8

9 Jurnal Matematika Vol. 7 o. 1, Juni 17. : A F F E1 (, E, B BC BD * * * F BE F,, ) BD A A * * * b A p A B ba p C D E F X b A A p p 3 3 bp bp Dengan menggunakan metode GM diperole bilangan reproduksi dasar untuk model E sebagai berikut: b p p b p p, Teorema 1 dan Teorema juga berlaku untuk model E dan dapat dibuktikan dengan dengan cara yang sama seperti pada model. 9

10 Jafaruddin,.M. Pangaribuan, Aryanto,.A. Henuk/Analisis Kestabilan Model Host-Vector imulasi umerik Model E ilai parameter yang digunakan untuk model E adala sebagai berikut, dan karena sesuai dengan waktu inkubasi irus HV paling sedikit lima taun. Hasil imulasi numerik untuk model E terliat pada Gambar 4 berikut: (a) (b) Gambar 4. (a) Grafik Kestabilan DFE pada Model E (b) Kestabilan DEE pada Model E Dari Gambar 4 (a) terliat bawa pada model E untuk jangka waktu yang lama populasi ost dan ector akan konergen ke DFE. Gambar 4 (b), populasi susceptible ost akan mengalami penurunan karena terjadi kontak denga populasi infectie ector. elain itu terjadi penurunan karena adanya kematian alami. Laju pertumbuan populasi exposed ost awalnya mengalami peningkatan tetapi semakin lama mengalami penurunan karena populasi tersebut suda terjadi perpindaan ke infectie ost dan juga adanya kematian alami. Populasi infectie ost awalnya juga mengalami kenaikan kemudian mengalami penurunan karena adanya perpindaan populasi yang mengalami masa pemulian ke recoerd ost. Laju pertumbuan populasi infectie ektor mengalami penurunan dari jumla awalnya karena terjadi kerusakan dan adanya sterilisasi jarum suntik. 1

11 Jurnal Matematika Vol. 7 o. 1, Juni 17. : Analisa ensitiitas Analisa sensitiitas dilakukan untuk meliat parameter-parameter mana yang mempengarui. Dalam penelitian ini dilakukan analisa sensitiitas dan dengan, dan, dan, dan, dan, dan juga diliat ubugan antar parameter teradap nilai yang berbeda yaitu dan, dan,,,,,,,. Dari asil analisa sensitiitas diperole parameter yang paling berpengaru adala dan. Hal ini menggambarkan bawa semakin besar laju infeksi irus pada manusia ole jarum suntik, maka semakin besar penyebaran HV/AD yang terjadi dan semakin besar laju infeksi irus pada jarum suntik dari manusia yang terinfeksi maka semakin besar penyebaran HV/AD yang terjadi. 4. impulan dan aran Berdasarkan asil analisi dan asil simulasi numerik titik ekuilibrium bebas penyakit akan stabil asimtotik lokal jika dan titik endemik ekuilibrium akan stabil asimtotik lokal jika. Hasil analisa sensitiitas juga menunjukkan bawa parameter yang paling berpengaru teradap adala parameter dan artinya untuk meminimalkan penyebaran HV/AD pada pengguna jarum suntik perlu dilakukan beberapa al seperti mengindari penggunaan jarum suntik di antara sesama pengguna napza, atau melakukan sterilisasi teradap jarum suntik. Daftar Pustaka [1] D. Greenalg and G. Hay, Matematical Modelling of te peard of HV/AD Amongs njecting Drug Users, MA Journal of Matematics Applied in Medicine and Biology, Vol 14 pp 11-38, [] Besral, Budi U. dan Andri P.M, Potensi Penyebaran HV dari Pengguna apza untik ke Masyarakat Umum, Makara Journal of Healt esearc, Vol.8 o. pp 53-58, 4. [3] Kementerian Keseatan., Laporan ituasi Perkembangan HV/AD di ndonesia ampai eptember 14, Jakarta Pusat, 14. [4] [5] P.an den D and J. Watmoug, eproduction umbers and ubtresold Endemic Equilibra for Compartmental Model of Disease Trasmission, Mat Bioscience ,.. A. Horn and C. Jonson, Matrix Analysis, Cambridge Uniersity Press,