ESTIMASI FUNGSI DENSITAS GEMPA TEKTONIK DI JAWA BALI

Transkripsi

1 ESTIMASI FUNGSI DENSITAS GEMPA TEKTONIK DI JAWA BALI Ole Pumma Purwani M SKRIPSI ditulis dan diajukan untuk memenui sebagian persyaratan memperole gelar Sarjana Sains Matematika FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SEBELAS MARET SURAKARTA 009

2 ABSTRAK Pumma Purwani, 009 Estimasi Fungsi Densitas Gempa Tektonik di Jawa Bali Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetauan Alam, Universitas Sebelas Maret Gempa tektonik yang terjadi di Jawa Bali akan memberikan dampak yang signifikan Gempa yang terjadi mempunyai fungsi distribusi yang dapat menggambarkan karakteristiknya Sala satu metode untuk mengestimasi fungsi distribusi adala pendekatan kernel nonparametrik Tujuan dalam skripsi ini adala menentukan fungsi distribusi untuk magnitude dan banyak kejadian gempa tektonik tiap bulan Data yang digunakan untuk menentukan estimasi fungsi densitas adala gempa tektonik yang mempunyai magnitude sr dengan kedalaman 70 km dan banyak kejadian gempa tektonik tiap bulan Berdasarkan pembaasan, diperole kesimpulan bawa estimasi fungsi densitas untuk magnitude gempa tektonik antara sr dengan kedalaman ᆪ 70 km adala f x 598 x X i = exp 66, 4796 i= 0,78394, gempa tektonik yang terjadi di Jawa Bali pada taun mempunyai nilai estimasi magnitude antara Rs Estimasi fungsi densitas untuk banyak kejadian gempa tektonik tiap bulan adala f x 504 x X i = exp 47,984 i= 0,8808 Gempa tektonik setiap bulan yang terjadi di Jawa Bali mempunyai frekuensi 0 6 kali Kata kunci : fungsi densitas, gempa tektonik

3 ABSRACT Pumma Purwani, 009 Tectonic Eartquake Density Function Estimation in Java Bali Te Faculty of Matematics and Natural Sciences, Sebelas Maret University Te tectonic eartquake wic was appened in Java Bali would give a significant impact Te eartquake as a distribution function wic describes eartquake caracteristic One of metod to estimate distribution function is kernel nonparametric approac Te aims of tis researc are to find density function of magnitude and to find eartquake s frequency every mont In order to determine te estimation density function, te data wic used are magnitude Rs wit te dept ᆪ 70 km and frequency of eartquake every mont Based on discussion, te density function estimation of eartquake magnitude is f x 598 x X i = exp 66, 4796 i= 0,78394, te tectonic eartquakes appened in Java Bali in ave magnitude estimation between Rs Density function estimator of frequency of eartquake every mont is f x 504 x X i = exp 47,984 i= 0,8808 Te tectonic eartquake every mont appened in Java Bali in ave frequency 0 6 times Key words : density function, tectonic eartquake

4 PERSEMBAHAN Karya sederana ini penulis persembakan untuk Bapak dan ibu tercinta Sebagai wujud terima kasi atas doa, cinta dan dukungannya Kakak kakak dan keponakan Yang selalu memberiku semangat Seseorang yang aku sayangi Yang selalu memberiku dukungan Saabat saabat sejati Yang selalu memotivasi penulis untuk menjadi lebi baik

5 KATA PENGANTAR Assalamu alaaikum Wr Wb Puji syukur keadirat Alla SWT yang tela melimpakan ramat dan idaya Nya, seingga penulis dapat menyelesaikan skripsi dengan judul Estimasi Fungsi Densitas Gempa Tektonik di Jawa Bali Penulis menyadari bawa tanpa bantuan dan dukungan dari semua piak, maka penulis tidak mungkin dapat menyelesaikan skripsi dengan baik Pada kesempatan ini penulis menyampaikan rasa terima kasi dan pengargaan kepada Dra Respatiwulan, M Si, Dosen Pembimbing I yang penu peratian dan kesabaran membimbing dan mengarakan penulis ingga terselesaikannya skripsi ini Dra Sri Sulistijowati, M Si, Dosen Pembimbing II yang tela banyak membantu ingga terselesaikannya skripsi ini 3 Dra Sri Kuntari, M Si, Pembimbing Akademik yang tela banyak memberi bimbingan dan pengaraan 4 Tuning dan Rina, yang memberikan masukkan dan semangatnya 5 Saabat saabatku, Pipit, Saptini, Surya, Agung yang memberikkan semangat dan bantuannya seingga skripsi dapat terselesaikan 6 Seluru teman angkatan 004 dan semua piak yang tela membantu terselesaikannya skripsi ini yang tidak dapat penulis tuliskan satu persatu Penulis berarap semoga skripsi ini bermanfaat Amin Wassalamu alaaikum Wr Wb Penulis

6 DAFTAR ISI HALAMAN JUDUL i HALAMAN PENGESAHAN ii ABSTRAK iii ABSTRACT iv MOTTO v PERSEMBAHAN vi KATA PENGANTAR vii DAFTAR ISI viii DAFTAR TABEL x DAFTAR GAMBAR xi DAFTAR SIMBOL DAN NOTASI xii BAB I PENDAHULUAN Latar Belakang Masala Rumusan Masala 3 3 Batasan Masala 3 4 Tujuan 3 5 Manfaat 3 BAB II LANDASAN TEORI 4 Tinjauan Pustaka 4 Konsep Dasar Statistika 4 Sifat sifat Estimator 6 3 Fungsi Kernel 7 Kerangka Pemikiran 8 BAB III METODE PENELITIAN 9 BAB IV PEMBAHASAN 0 4 Deskripsi Data 0 4 Estimasi Densitas Kernel 43 Estimator Densitas Kernel Magnitude 5 Halaman

7 44 Estimator Densitas Kernel Banyak Kejadian Gempa Tiap Bulan 6 BAB V PENUTUP 8 5 Kesimpulan 8 5 Saran 8 DAFTAR PUSTAKA 9 LAMPIRAN 0

8 DAFTAR TABEL Tabel 4 Nilai probabilitas magnitude 6 Tabel 4 Nliai probabilitas untuk banyaj kejadian gempa tiap bulan 7

9 DAFTAR GAMBAR Gambar 4 Plot magnitude gempa Gambar 4 Plot banyak kejadian gempa tiap bulan Gambar 43 Estimasi densitas kernel Gaussian magnitude dengan = Gambar 44 Estimasi densitas kernel Gaussian banyak kejadian gempa dengan =

10 DAFTAR SIMBOL DAN NOTASI S P c : untuk setiap : terdapat : ruang sampel : ruang parameter : peluang observasi : mendekati sama dengan : konstanta : anggota impunan, elemen : arga mutlak : norma (norm) : sigma, operator penjumlaan n X : pi : xi, interval : jumla data observasi berukuran n : variabel random X, X, K, X n : sampel random x f F : titik estimasi : mean : lebar interval (binwidt) : fungsi densitas probabilitas : fungsi distribusi kumulatif f E Var : estimator fungsi densitas dengan pengaru lebar interval : arga arapan : variansi

11 MSE MISE A MISE K : mean squared error : mean integrated squared error : asymptotic mean integrated squared error : fungsi kernel

12 BAB I PENDAHULUAN Latar Belakang Masala Menurut Hutagalung [3], panas di inti bumi merupakan sumber energi yang menyebabkan terjadinya gunung berapi, gempa bumi dan retakan atau pataan pada bagian batuan yang lema Retakan ini membuat bumi seola ola terpisa dan berkelompok membentuk lempengan yang mengapung di atas permukaan astenosfer Gempa bumi adala proses pelepasan energi panas ole batuan bumi yang mengalami regangan atau tekanan setela mengalami akumulasi dalam jangka waktu tertentu Semakin tinggi kekuatan batuan menaan regangan atau tekanan semakin besar pula energi yang dilepaskan Menurut [7] magnitude gempa adala parameter gempa yang berubungan dengan besarnya kekuatan gempa di sumbernya Pengukuran magnitude gempa yang dilakukan di tempat berbeda memberikan nilai sama walaupun gempa yang dirasakan berbeda Skala Ricter (sr) yang dikembangkan ole Carles Ricter taun 935 digunakan sebagai ukuran kekuatan gempa Intensitas merupakan parameter gempa yang diukur berdasarkan kerusakan yang terjadi Intensitas gempa berbeda untuk setiap daera walaupun pusat gempanya sama, Waluyo [8] Hal ini berbeda dengan magnitude, dimana ukuran magnitude gempa yang sama dari tempat yang berbeda mengakibatkan dampak yang berbeda juga Berdasarkan Lee dan Steward [5], gempa dengan magnitude sr dapat menyebabkan kerusakan dalam area yang luas ( 60 km) Di sisi lain bila kedalaman fokus yang merupakan sumber gempa dari permukaan bumi adala ᆪ 70 km, terjadila gempa dangkal yang menimbulkan efek goncangan lebi dasyat dibandingkan dengan kedalaman fokus ᆪ 70 km Indonesia yang merupakan daera aktif gempa berada disepanjang pertemuan lempeng tektonik Eurasia dengan Indo Australia yang membentuk busur dari Sumatra, Jawa, Bali, Nusa Tenggara sampai Maluku dan lempeng Pasifik di bagian utara Irian Menurut Lea [4] wilaya tersebut merupakan daera pertemuan tiga lempeng tektonik yaitu lempeng tektonik Eurasia, lempeng Indo Australia dan lempeng Pasifik Karena gempa tektonik adala gempa yang terjadi akibat pergeseran lempeng tektonik, wilaya tersebut merupakan daera gempa tektonik

13 Pulau Jawa dan Bali merupakan pulau yang penting bagi negara Indonesia Pulau Jawa merupakan pulau yang mempunyai jumla penduduk yang terbanyak dibandingkan pulau yang lain Pulau Jawa juga merupakan pusat pemerintaan Indonesia Candi Borobudur dan objek wisata terkenal lainnya terletak di pulau Jawa Pulau Bali merupakan objek wisata terkenal lainnya Dengan demikian, pulau Jawa Bali merupakan pusat ekonomi yang berpenduduk relatif terbesar Gempa bumi di pulau Jawa Bali mengakibatkan kerugian yang cukup besar Gempa bumi yang terjadi di Jawa Bali memerlukan suatu model matematis yang dapat menggambarkan karakteristik gempa tersebut Menurut Hardle [], karakteristik dasar dari suatu variabel random dapat diliat melalui fungsi densitas probabilitasnya Dalam penelitian ini variabel randomnya adala magnitude dan banyak kejadian gempa tiap bulan Fungsi densitas dapat diestimasi dengan dua metode, yaitu pendekatan parametrik dan pendekatan nonparametrik Pendekatan nonparametrik dapat digunakan ketika data tidak memberikan cukup informasi tentang bentuk fungsi densitas yang sebenarnya Estimasi densitas kernel merupakan sala satu metode pendekatan fungsi densitas nonparametrik Pada penulisan skripsi ini akan dikaji ulang tentang estimasi fungsi densitas melalui kernel Selanjutnya estimasi fungsi densitas yang diperole akan diterapkan pada data magnitude gempa dan banyak kejadian gempa tiap bulan Rumusan Masala Berdasarkan latar belakang masala di atas, maka rumusan masalanya sebagai berikut () Bagaimana estimasi fungsi densitas magnitude gempa tektonik di Pulau Jawa Bali dengan magnitude sr dan kedalaman fokus ᆪ 70 km? () Bagaimana estimasi fungsi densitas banyak kejadian gempa tektonik tiap bulan di Pulau Jawa Bali? 3 Batasan Masala Dalam penulisan ini, estimasi densitas kernel diasumsikan bawa fungsi densitas termuat dalam kelas fungsi yang mempunyai turunan Kernel yang akan digunakan dalam penelitian ini adala kernel Gaussian

14 4 Tujuan Tujuan dari penulisan ini adala menentukan fungsi densitas magnitude dan banyak kejadian gempa tektonik tiap bulan di Pulau Jawa Bali 5 Manfaat Manfaat yang diarapkan dari penulisan ini adala menamba wawasan dan pengetauan tentang fungsi distribusi kernel dan penerapannya pada data gempa bumi yang terjadi di Jawa Bali taun

15 BAB II LANDASAN TEORI Bab ini dibagi menjadi dua subbab, yaitu tinjauan pustaka dan kerangka pemikiran Tinjauan pustaka mengandung beberapa asil penelitian yang tela dilakukan ole peneliti terdaulu yang disajikan dalam bentuk definisi, teorema dan pengertian yang berubungan dengan pembaasan Kerangka pemikiran menggambarkan langka dan ara penulisan dalam mencapai tujuan penulisan Tinjauan Pustaka Skripsi ini memerlukan beberapa definisi, teorema dan pengertian yang berubungan dengan pembaasan Pembaasan didasarkan pada teori tentang konsep dasar statistika dan estimasi densitas kernel Konsep Dasar Statistika Untuk menunjang materi dalam pembaasan diperlukan konsep dasar statistika mengenai ruang sampel, dan variabel random, fungsi densitas probabilitas yang diambil dari Bain and Engelardt [] Definisi Himpunan dari semua asil (outcome) yang mungkin dari suatu eksperimen disebut sebagai ruang sampel (sample space), dinotasiakan dengan S Ruang sampel dapat berupa ruang sampel diskrit, yaitu ruang sampel dengan jumla elemen ingga atau elemen tak ingga teritung dan ruang sampel kontinu, yaitu ruang sampel dengan elemen titik titik dalam interval pada garis bilangan real Definisi Variabel random X adala suatu fungsi yang memetakan setiap asil yang mungkin e pada ruang sampel S dengan suatu bilangan real x, sedemikian ingga X (e) = x Variabel random dibedakan menjadi dua, yaitu variabel random diskrit dan variabel random kontinu Definisi 3 Jika impunan semua nilai yang mungkin dari variabel random X merupakan impunan beringga x, K, xn atau x, x, K, maka X disebut variabel random diskrit Fungsi f x P X x, untuk x, x, K

16 menyatakan probabilitas setiap nilai x yang mungkin disebut fungsi densitas probabilitas diskrit (discrete probability function) f x ᆪ 0 Jika f (x) merupakan fungsi densitas probabilitas diskrit maka mempunyai sifat, untuk semua f xi x, dan i xi Jika f (x) merupakan fungsi densitas probabilitas kontinu maka f x 0 mempunyai sifat, untuk semua x dan ᆪ f xdx Definisi 4 Fungsi distribusi kumulatif (cumulative distribution function) dari variabel random diskrit X didefinisikan untuk setiap bilangan real x sebagai F x P X x Definisi 5 Jika X suatu variabel random diskrit dengan fungsi densitas probabilitas f (x), maka arga arapan (expected value) dari X didefinisikan sebagai E X xf x x Definisi 6 Variabel random X disebut variabel kontinu jika terdapat fungsi f (x) yang merupakan fungsi densitas probabilitas dari X, seingga fungsi distribusi kumulatifnya dapat dinyatakan dengan BAB III METODE PENELITIAN Metode yang digunakan dalam penulisan skripsi ini adala studi kasus Studi kasus dilakukan dengan mengumpulkan dan mempelajari referensi berupa artikel, buku, dan jurnal yang dapat mendukung pembaasan tentang estimasi fungsi densitas gempa kemudian menerapkannya pada masala penentuan fungsi densitas gempa Langka langka yang diambil dalam mengestimasi fungsi BAB IV PEMBAHASAN

17 Karakteristik dari suatu variabel random X dapat diketaui melalui fungsi densitas probabilitasnya Sampel yang diambil secara random dari suatu populasi dapat dianalisis melalui pendekatan parametrik dan pendekatan nonparametrik Pendekatan parametrik dilakukan dengan memberikan asumsi bawa data berdistribusi tertentu Pendekatan nonparametrik dilakukan tanpa memberikan asumsi bawa data berdistribusi tertentu Data magnitude gempa akan dianalisis menggunakan estimasi densitas kernel 4 Deskripsi Data Data yang digunakan dalam penelitian ini adala data gempa tektonik di Jawa Bali pada taun 964 sampai taun 005 Data diperole dari lab seismik, Departemen Geofisika dan Meteorologi ITB Data yang diperole meliputi waktu kejadian, magnitude, dan kedalaman gempa Magnitude diklasifikasikan menjadi micro eartquake, small eartquake, moderate eartquake, dan major eartquake Kedalaman gempa dikelompokkan menjadi sallow eartquake dan deep eartquake Sallow eartquake memberikan efek goncangan yang lebi dasyat dibandingkan deep eartquake, al itu dikarenakan sumber gempa lebi dekat dengan permukaan bumi Dalam penelitian ini diambil untuk magnitude sr (moderate eartquake) dan kedalaman ᆪ 70 km (sallow eartquake) Plot data untuk magnitude sr dan kedalaman ᆪ 70 km dapat diliat pada Gambar 4 Plot data untuk banyak gempa yang terjadi tiap bulan dapat diliat pada Gambar Frekuensi Magnitude Gambar 4 Plot magnitude gempa

18 80 60 Frekuensi Banyak kejadian gempa tiap bulan Gambar 4 Plot banyak kejadian gempa tiap bulan 4 Estimasi Densitas Kernel Menurut Hardle [], estimasi densitas kernel dapat digunakan untuk mengestimasi fungsi densitas probabilitas nonparametrik dari suatu variabel random Estimasi densitas kernel untuk estimasi nilai densitas f (x) pada titik x adala sebagai berikut Kernel K didefinisikan sebagai n i n i f x K x X (4) x K x K (4) Persamaan (4) disubstitusikan ke dalam persamaan (4), seingga diperole n x X i f x K n i dimana K disebut fungsi kernel dan adala bandwit (43) f x Teorema 4 (Hardle) Jika diberikan ole persamaan (4) dan X i identik maka Bukti : E f x f x K s ds f x, 0

19 Jika u x s dan 0 maka n i E f x E K x X n i E K x X ᆪ K x u f u du ᆪ K s f x s ds E f x f x K s ds f x f x Teorema 4 (Hardle) Jika diberikan ole persamaan (4) maka bias dinyatakan sebagai " Bias f x f x K o, ᆪ 0 (44) Bukti : ᆪ Bias f x K s f x s ds f x K s K s ds dimana ᆪ dan s ᆪK s f x sf x f x o ds f x ' " f x f x K o f x " f " x K o x X s i Dalam persamaan (44) diperole kuadrat, seingga untuk menurunkan nilai bias dipili nilai yang kecil Variansi estimasi densitas kernel diitung untuk mendapatkan kestabilan estimasi

20 f x Teorema 43 (Hardle) Jika diberikan ole persamaan (4) maka variansi dinyatakan sebagai Bukti : Var f x K f x o n n (45) n Var f x Var K x X i n i n = Var K x X i n i = Var K x X i n = E K x X i E K x X i n E Jika K x X f x o x u K f u du f x o n K s f x s ds f x o ᆪ n K f x o f x o n dari persamaan (44) dan K s f x s ds K s ds f x o K f x o Seingga untuk n diperole Var f x K f x o n n Variansi nilainya akan menurun jika dipili nilai yang besar Variansi yang minimum dapat diperole dengan menaikkan nilai Hal ini kontradiksi dengan bias yang mempunyai nilai minimum jika nilai kecil Nilai yang terlalu besar akan menyebabkan estimasi densitas yang terlalu mulus Sedangkan nilai yang terlalu kecil akan menyebabkan estimasi densitas yang tidak mulus Nilai minimum MSE teradap merupakan langka untuk mengatasi permasalaan tersebut karena MSE f x merupakan jumlaan dari bias kuadrat dan variansi Melalui pendekatan bias dan variansi dari

21 diperole dan 4 4 MSE f x f x K f " x K o o n 4 n untuk 0 dan n 4 4 MISE f x K K f " o o n 4 n Jika bagian yang berorder tinggi, yaitu asymptotic mean squared error (A MISE), yaitu o 4 A MISE f x K K f o n diabaikan, maka didefinisikan sebagai 4 " n 4 opt Bandwit didapatkan dapat diperole dengan menurunkan A MISE teradap parameter, seingga 4 A MISE f x K K f " n 4 ᆪ ᆪ ᆪ ᆪ n 3 K K f " karena fungsi f kontinu dan diferensiabel, maka meminimumkan ᆪ A MISE f x ᆪ dilakukan dengan membuat nilai ᆪ A MISE f x ᆪ menjadi nol seingga diperole ᆪ A MISE f x 0 ᆪ 3 K K f " 0 n

22 n 3 K K f " 5 n K K f '' opt 5 K 5 ᆪ n f " K n Bandwidt optimal digunakan untuk mengestimasi fungsi densitas data seingga diperole estimator fungsi densitas kernel 43 Estimator Densitas Kernel Magnitude opt Estimator densitas kernel didefinisikan dalam persamaan (4) Nilai untuk data magnitude sr dan kedalaman fokus 70 km adala opt ,78394 Ole karena itu dari persamaan (43) dapat dibentuk estimator densitas kernel magnitude sr dan kedalaman fokus ᆪ 70 km sebagai berikut 598 x X i f x K 66, 4796 i= 0,78394 (46) Data diola menggunakan software S Plus 3 dengan langka yang disajikan dalam lampiran Estimasi densitas kernel dengan fungsi kernel Gaussian K x e x pada data gempa tektonik di Pulau Jawa Bali dengan magnitude sr dan kedalaman fokus estimasi densitas kernel pada Gambar km mengasilkan grafik

23 Gambar 43 Estimasi Densitas Kernel Gaussian Magnitude dengan = Dari Gambar 4, dapat diliat bawa data berkelompok pada magnitude sr Hal ini berarti bawa sebagian besar gempa tektonik yang terjadi di pulau Jawa Bali pada taun mempunyai estimasi magnitude sebesar sr Estimasi densitas kernel untuk magnitude MSE f x mempunyai nilai MSE sebesar Kesimpulan tersebut didukung ole nilai probabilitas pada interval tertentu Jumla observasi yang berada dalam suatu interval a, b diitung sebagai ᆪ P a x b f x dx a Densitas juga menginformasikan letak observasi berkelompok maupun pada interval mana obsrevasi muncul dengan frekuensi relatif tertinggi Tabel 4 Nilai frekuensi relatif magnitude b Interval (sr) Frekuensi relatif Dari Tabel 4 nilai frekuensi relatif yang terbesar terletak di antara nilai magnitude sr

24 44 Estimator Densitas Kernel Banyak Kejadian Gempa Tiap Bulan opt Estimator densitas kernel didefinisikan dalam persamaan (4) Nilai kejadian gempa tiap bulan adala untuk data banyak opt ,8808 Ole karena itu dari persamaan (43) dapat dibentuk estimator densitas kernel banyak kejadian gempa tiap bulan sebagai berikut 504 x X i f x = K 45,984 i= 0,8808 (47) Data diola menggunakan software S Plus 3 dengan langka yang disajikan dalam lampiran Estimasi densitas kernel dengan fungsi kernel Gaussian K x e x pada data gempa tektonik di Pulau Jawa Bali untuk data banyak kejadian gempa tiap bulan mengasilkan grafik estimasi densitas kernel pada Gambar 44 Gambar 44 Estimasi Densitas Kernel Gaussian banyak kejadian gempa dengan = Dari Gambar 44 menunjukkan bawa data berkelompok untuk banyak kejadian gempa antara 0 6 kali Hal ini berarti bawa setiap bulannya pada taun di pulau Jawa Bali terjadi gempa sebanyak 0 6 kali Estimasi densitas kernel untuk banyak kejadian gempa tiap bulan mempunyai nilai MSE f x MSE sebesar

25 Tabel 4 Nilai frekuensi relatif untuk banyak kejadian gempa tiap bulan Interval frekuensi relatif M M Dari Tabel 4 terliat bawa semakin besar nilai intervalnya maka probabilitasnya semakin kecil dan mendekati nol Seingga dapat disimulkan bawa setiap bulannya terjadi gempa sebanyak 0 6 kali densitas gempa adala menyeleksi data gempa yang mempunyai magnitude sr dan kedalaman fokus 70 km, mengitung banyak kejadian gempa tiap bulan, 3 estimasi fungsi densitas magnitude gempa dengan kernel Gaussian, 4 estimasi fungsi densitas banyak kejadian gempa tiap bulan dengan kernel Gaussian, 5 penarikan kesimpulan dan interpretasi dari estimasi fungsi distribusi yang diperole F x x f t dt Definisi 7 Jika X suatu variabel random kontinu dengan fungsi densitas probabilitas f(x), maka arga arapan dari X didefinisikan sebagai ᆪ E X ᆪxf xdx ᆪ Definisi 8 Variansi dari variabel random X adala Var X E X Teorema Variansi dari variabel random X dinyatakan dengan

26 Var X E X E X E X Variansi merupakan suatu ukuran dari keragaman atau penyebaran di dalam distribusi dari variabel random Sifat sifat Estimator Diberikan definisi tentang statistik, estimator tak bias, estimator bias, dan MSE T t X Definisi 9 Statistik, X, K, X n yang digunakan untuk mengestimasi nilai dari disebut estimator dari t t x dan nilai dari statistik, x, K, x n disebut estimasi dari Selanjutnya estimator T dinotasikan dengan Definisi 0 Misal adala ruang parameter Estimator dikatakan sebagai estimator tak bias dari jika E untuk semua Jika tidak demikian, dikatakan sebagai estimator bias dari Definisi Jika adala estimator dari, maka bias dinyatakan dengan dan mean square error (MSE) dari b E dinyatakan dengan MSE E Teorema Jika adala estimator dari, maka

27 MSE Var b MSE merupakan jumlaan dari variansi dan bias kuadrat serta digunakan sebagai ukuran keakuratan suatu estimasi 3 Estimasi Densitas Kernel Menurut Menardi [6], estimator fungsi densitas kernel untuk estimasi nilai densitas f x pada titik x didefinisikan sebagai berikut n i n i f x K x X n x X i K n i dengan K disebut fungsi kernel dan adala bandwit Sala satu fungsi kernel yang sering digunakan adala kernel Gaussian Bentuk kernel Gaussian adala sebagai berikut K x e x Kerangka Pemikiran Karakteristik dari suatu variabel random X dapat diketaui melalui fungsi densitas probabilitasnya Estimasi dari fungsi densitas yang tidak diketaui dapat dilakukan melalui pendekatan nonparametrik yaitu menggunakan kernel Estimasi fungsi densitas kernel tergantung pada pemilian lebar jendela dan fungsi kernel K Estimasi fungsi densitas yang diperole akan diterapkan pada data magnitude dan banyak kejadian gempa tektonik di Jawa Bali

28 BAB V PENUTUP 5 Kesimpulan Berdasarkan uraian dalam pembaasan diperole kesimpulan tentang estimasi fungsi densitas magnitude dan banyak kejadian gempa tektonik tiap bulan di Jawa Bali sebagai berikut Estimator fungsi densitas kernel Gaussian untuk magnitude sr dan kedalaman fokus 70 km adala DAFTAR PUSTAKA [] Bain, L J and M Engelardt, Introduction to probability and matematical statistics, ed, Duxbury Press Belmont, California, 99 [] Hardle, W, Smooting tecniques wit implementation in S, Springer Verlag, New York, 990 [3] Hutagalung, R, Prediksi tentang gempa tsunami di Bali, ttp:// www dbriptek ristek go id/cgi/gempa, 007 [4] Lea, Menguak misteri gempa di pulau Jawa, wwwtecnologyindonesiacom/ downlodpp? file=gempa, 008 [5] Lee, W H K and S W Steward, Principles and applications of microeartquake networks, Academic Press, Inc, New York, 98 [6] Menardi, G, Variable kernel density function, ttp://geovanimenardinet/ variable kernel density functionspontanee%0006_579_58pdf, 008 [7] Waluyo, Gempa, Hand out kulia, Geofisika, UGM, Jogjakarta, 006 [8] Ricter magnitude scale, ttp://enwikipediaorg/wiki Ricter magnitude scale, x X i f x K 66, 4796 i= 0,78394 Menurut plot estimator fungsi densitas magnitude gempa tektonik yang terjadi di Jawa Bali pada taun mempunyai estimasi magnitude antara sr Estimator fungsi densitas kernel Gaussian untuk banyak kejadian gempa tektonik tiap bulan adala

29 504 x X i f x = K 45,984 i= 0,8808 Menurut plot estimator fungsi densitas untuk banyak kejadian gempa tiap bulan yang terjadi di Jawa Bali pada taun mempunyai estimasi frekuensi terjadi gempa sebesar 0 6 kali tiap bulan 5 Saran Dalam tulisan ini penulis mengkaji tentang estimasi fungsi densitas dengan menggunakan kernel Gaussian Kepada pembaca yang ingin mengembangkan estimasi densitas, penulis memberikan saran menggunakan estimasi densitas kernel menyesuaikan (Adaptive Kernel Density Estimation) atau menggunakan istogram WARPing untuk membandingkan metode mana yang lebi baik