Matematika dan Statistika

Transkripsi

1 ISSN Volume 2, Juni 22 MAJALAH ILMIAH Matematika dan Statistika DITERBITKAN OLEH: JURUSAN MATEMATIKA FMIPA UNIVERSITAS JEMBER

2 Majala Ilmia Matematika dan Statistika Volume 2, Juni 22 PROFIL PENDERITA DEMAM BERDARAH YANG BERKAITAN DENGAN LAJU PERTUMBUHAN POPULASI Kusbudiono Jurusan Matematika FMIPA Uniersitas Jember Abstact: Troug tis researc, we will consider and analyze te influence of birt rate of dengue emorragic feer epidemic. Furtermore, using Hemorragic dengue transmission model we will simulate te model wit multiple birt rate increased. Te results of tis researc in numeric sows a significant influence birt rate against te maximum alue of x and y. Te maximum alue Increase in birt rate times te normal cause te maximum x alue increases from 2227 to 473 people person and a maximum alue of y from 9547 to 8 6 people. Keywords:Dengue Hemorragic Feer dan Logistic Growt. I. PENDAHULUAN Perubaan jumla populasi populasi setiap waktu merupakan sala satu penanda terjadinya pertumbuan populasi yang dipengarui ole jumla kelairan, kematian dan migrasi. Sala satu model pertumbuan adala model pertumbuan kontinu kususnya model logistik. Dimana model pertumbuan logistik tersebut tentunya mempunyai kelebian dan kekurangan. Dengan diketauinya banyaknya kelairan, kematian dan migrasi maka laju perubaan populasi dapat diitung. Kembali pada model pertumbuan logistik, model ini merupakan pengembangan dari model pertumbuan eksponensial yang pertama kali dicetuskan ole Maltus. [2] Laju kelairan dan kematian tidak anya berpengaru teradap perubaan jumla populasi. Akan tetapi keduanya juga berpengaru teradap epidemi penyakit. Sala satunya adala penyakit demam berdara Dengue. Pada daera dengan tingkat kepadatan penduduk tinggi maka akan meningkatkan angka kejadian. []. Selama ini antara pertumbuan penduduk dengan epidemik suatu penyakit dianggap sebagai sesuatu yang terpisa. Ole karena itu, pada kesempatan kali ini penulis akan mencoba mengaitkan antara laju pertumbuan populasi dari model pertumbuan populasi logistik dengan epidemi penyakit demam berdara Dengue. 65

3 Profil Penderita Demam Berdara (65 74) II. HASIL DAN PEMBAHASAN 2. Kajian Pustaka Demam berdara ditularkan kepada manusia ole nyamuk Aedes aegypti betina. Beberapa fakta diketaui tentang nyamuk Aedes aegypti dan proses transmisi adala sebagai berikut [5]: a. Nyamuk menggigit terjadi pada siang ari, b. Waktu idup nyamuk adala sekitar ari, c. Jarak terbng nyamuk adala sekitar meter, d. Nyamuk bertelur di lingkungan air bersi, e. Telur nyamuk menetas dalam 6-8 ari, tetapi bisa bertaan dalam periode lebi lama dan menetas setela kontak pertama kali dengan air, f. Tingkat kelangsungan idup dari telur sampai dewasa sangay renda, g. Masa inkubasi adala sekitar 4 ari,. Virus idup dalam tubu manusia untuk sekitar 7 ari dan kemudian mati secara alami, i. Transmisi ertikal di nyamuk adala insgnificant. Sedangkan menurut [4] sistem dinamik untuk manusia dan nyamuk dinyatakan sebagai berikut: d bβ S = α N SI µ S T d bβ I = SI ( µ + ri ) Dengan kondisi-kondisi: d R = ri µ R d bβ S = D SI µ S d bβ S = D SI µ S d bβ I = SI µ I N S I R T = + + dan N = S + I () 66

4 Majala Ilmia Matematika dan Statistika Volume 2, Juni 22 dimana: S = subpopulasi seat yang dapat terinfeksi demam berdara dengue. I = subpopulasi indiidu yang terinfeksi ole irus demam berdara dengue. R = subpopulasi indiidu yang sembu dari penyakit demam berdara dengue. S = subpopulasi nyamuk seat yang rentan terinfeksi. I = subpopulasi nyamuk yang terinfeksi. Sedangkan nilai dari parameter-parameter yang digunakan dalam model ini diberikan pada Tabel. [3]. Tabel. Nilai Parameter Model Transmisi epidemi Demam Berdara Simbol Definisi Nilai µ Harapan idup manusia 7 taun µ Harapan idup nyamuk 4 ari k r Rata-rata periode infeksi dalam tubu manusia 5 ari β Rata-rata gigitan nyamuk perari x peluang transmisi [,5] dari nyamuk ke manusia β Rata-rata gigitan nyamuk perari x peluang transmisi [,5] sukses dari nyamuk ke manusia 2.2 Analisis Data dan Hasil Pembaasan Untuk mengetaui dinamika epidemi penyakit demam berdara Dengue, dapat dilakukan analisa kualitatif dengan menganalisa kestabilan di titik setimbangnya. Untuk menentukan titik kesetimbangan, dilakukan dengan membuat nol persamaan (), seingga diperole: a. P = (,,) adala titik kesetimbangan bebas penyakit dan, b. * * * P = ( S, I, I ) adala titik kesetimbangan endemik penyakit. dengan dan I S I * * * = L + β = β + LA A = β + LA β A ( A ) ( β + L) 67

5 Profil Penderita Demam Berdara (65 74) untuk bβ µ + r β =, L = dan A µ µ b ββn = µ µ 2 ( + r) Untuk menentukan stabilitas lokal dari titik kesetimbangan endemik, terlebi daulu diitung matriks Jacobian dari sisi kanan persamaan (2). Jika semua nilai eigen yang diperole dengan mendiagonalkan matriks Jacobian mempunyai bagian real negatif maka solusi keseimbangan adala stabilitas lokal. Diagonalisasi Jacobian untuk titik kesetimbangan endemik, persamaan karakteristik diberikan ole persamaan ( J ηi) det =. Dengan J adala matriks Jacobian untuk titik kesetimbangan endemik, η adala nilai eigen, dan I adala matriks identitas. Dengan Seingga didapat nilai-nilai eigen dengan menyelesaikan persamaan berikut: 2 η η η e + e + e2 = β+ LA L+ β ( L+ β ) ( β + LA ) β + LA µµβ L ( L+ β ) ( )( β + LA ) e = µ + µ L+ µ A e = µ + µµ A + A e 2 ( ) = µµ L A 2 Kriteria Rout-Hurwitz digunakan untuk mencari kestabilan lokal dari titik kesetimbangan endemik. Jika koefisien e, e dan e2 memenui ketidaksamaan berikut: e >, e > dan ee > e2 maka titik kestimbangan adala stabil lokal. Dengan kata lain titik kesetimbangan endemik adala stabil lokal untuk A > dengan A b ββn = µ µ 2 ( + r) Selanjutnya akan dijelaskan nilai basic reproductie number yaitu banyaknya ratarata dari kasus sekunder latent mengasilkan satu indiidu terinfeksi baru yang berasal dari indiidu suscebtible. Nilai R bergantung secara linier teradap β (laju transmisi penyakit) dan ratarata periode infeksi ( ). Jika laju transmisi penyakit besar dan periode infeksi juga besar, γ. (2) maka R juga akan membesar atau akan terjadi waba. Begitu juga dengan sebaliknya. 68

6 Majala Ilmia Matematika dan Statistika Volume 2, Juni 22 Jika R <, maka tidak akan mungkin terjadi epidemik dan penyakit akan ilang (puna). Akan tetapi jika R > maka akan terjadi waba pada populasi tersebut. Dengan asumsi bawa populasi manusia dan nyamuk konstan mengakibatkan sistem dinamik model transmisi demam berdara pada persamaan () menjadi lebi sederana, yaitu didapat α d I R I bi ri I µ = β α µ d R = ri µ R d D I I b I I = µ α µ µ µ Prosedur mencari R pada persamaan (3) menggunakan next generation matrix R = b ( + ) ( r+ ) α N r µ p µ Dβ T α N µ µ T (3). Parameter yang bisa dikontrol di R adala b dan D dengan cara memakai obat nyamuk dan kelambu dan membasmi tempat-tempat perindukan nyamuk. Jika prosentase b dan D dikurangi maka R akan berkurang secara signifikan. Profil sebaran penderita demam berdara Perilaku model transmisi demam berdara Dengue akan diliat pada grafik asil peritungan secara numerik dengan parameter sebagai berikut: a. Dimisalkan seseorang terinfek irus Dengue jika orang tersebut mendapatkan gigitan nyamuk ribuan kali. Seingga β = =,. b. Berdasarkan rata-rata umumr manusia adala 7 taun. Seingga µ =. 7 c. Dimisalkan rata-rata umur idup nyamuk aedes aegypti 3 ari. Dengan demikian µ = = 2,67 taun. 3 ari d. Dimisalkan β =,5. e. Dimisalkan bawa nyamuk menggigi 2 kali per 3 ari seingga b = 243 gigitan/ekor/taun. f. Dimisalkan r =,2 / taun. 69

7 Profil Penderita Demam Berdara (65 74) Profil penyebaran penderita demam berdara Dengue ini akan digambarkan kedalam empat kasus sebagai berikut: a. Kasus I orang, Kondisi awal R =235 orang/taun, D = 45 ekor/taun, I = orang, I =, N T = 6.45 orang, pada kasus I didapat nilai R =,5323. R = N = 3698 ekor. Dari parameter yang disimulasikan Hasil simulasi pada kasus I terliat pada Gambar.tampak bawa tela terjadi epidemi yang ditandai dengan terjadinya penurunan nilai dengan berjalannya waktu, pada akirnya nilai S secara ekponensial. Seiring S akan konstan setela mencapai nilai kesetimbangannya. Sedangkan untuk sub populasi I pada awalnya terjadi kenaikan sampai batas maksimal kemudian akan turun ingga mencapai titik kesetimbangannya dan kemudian konstan. Selanjutnya untuk sub populasi karena terjadinya proses transmisi dari kesetimbangannya untuk kemudian konstan. I menuju ke R langsung terjadi kenaikan R ingga mencapai nilai Gambar. Grafik Simulasi Epidemi Demam Berdara untuk Kasus I b. Kasus II orang, Kondisi awal R = 235 orang/taun, D = 7 ekor/taun, I =, N T = 6.45 orang, pada kasus II didapat nilai R =,9. I = orang, R = N = 49 ekor. Dari parameter yang disimulasikan 7

8 Majala Ilmia Matematika dan Statistika Volume 2, Juni 22 Hasil simulasi kasus II pada Gambar 2. pada dasarnya sama dengan pada kasus I tetapi terjadi perubaan pada nilai kesetimbangan masing-masing sub populasi. Pada sub populasi S, terjadi penurunan nilai maksimum bila dibandingkan dengan nilai maksimum kasus II. Sedangkan pada sub populasi maksimumnya. I dan R mala terjadi kenaikan nilai Gambar 2. Grafik Simulasi Epidemi Demam Berdara untuk Kasus II Secara umum karena nilai R > maka akan terjadi epidemi sampai pada titik kesetimbangannya seperti terliat pada Gambar. dan Gambar 2. Juga tampak bawa I dan R pada mulanya naik sampai titik maksimum kemudian mengalami penurunan jumla secara ekponensial menuju ke titik kesetimbangannya. Bila dibandingkan antara kasus I dan II kenaikan nilai R menunjukkan terjadinya kenaikan nilai maksimum dari I dan tentu saja tinggi maka waktu terjadinya nilai maksimum juga makin cepat. R. Jika nilai parameter tersebut semakin Hubungan Pertumbuan Populasi dengan Epidemi Demam Berdara Dengue Dalam bagian ini akan dikaji kaitan antara pertumbuan populasi dengan epidemi penyakit demam berdara Dengue atau disingkat DBD. Hubungan ini diberikan ole pengaru laju pertumbuan populasi dalam model epidemi penyakit demam berdara. Hal ini bisa terjadi karena penyakit demam berdara dalam penyebarannya dipengarui ole adanya dinamika pertumbuan penduduk. 7

9 Profil Penderita Demam Berdara (65 74) Laju pertumbuan penduduk berubungan erat dengan dengan jumla kelairan dan kematian pada suatu populasi. Untuk menentukan laju pertumbuan penduduk yang dapat digunakan sebagai acuan memprediksi dinamka penduduk dimasa yang akan datang memerlukan data relatif omogen. Selanjutnya dari data laju pertumbuan ini akan diola sebagai informasi pada model epidemi penyakit demam berdara Dengue. Gambar 3. Grafik Simulasi Epidemi Demam Berdara untuk S Untuk menentukan kaitan tersebut, akan dilakukan simulasi numerik dengan 4 kejadian dan asilnya berupa gambar untuk beberapa kondisi parameter tertentu sebagai berikut: a. Kejadian I, ketika kelairan dianggap masi normal. b. Kejadian II, ketika kelairan naik dua kali dari keadaan normal. c. Kejadian III, ketika kelairan naik empat kali dari keadaan normal. d. Kejadian IV, ketika kelairan naik sepulu kali dari keadaan normal. Dari Gambar 3. dengan menggunakan parameter data seperti pada kasus II subbab sebelumnya tampak bawa S mengalami kenaikan ketika angka kelairan naik. Kemudian sejalan dengan waktu populasi turun dan kemudian naik lagi menuju ke titik kesetimbangan. 72

10 Majala Ilmia Matematika dan Statistika Volume 2, Juni 22 Gambar 4. Grafik Simulasi Epidemi Demam Berdara untuk I Gambar 5. Grafik Simulasi Epidemi Demam Berdara untuk R Pada saat laju kelairan dinaikkan menjadi dua kali lipatnya, jumla I mengalami kenaikan yang signifikan seperti yang terliat pada Gambar 4. Begitu pula pada Gambar 5. juga terliat mengalami kenaikan nilai maksimum dan kesetimbangan juga tampak bergeser kekanan bila dibandingkan dengan saat kelairan berada dalam keadaan normal. R 73

11 Profil Penderita Demam Berdara (65 74) III. KESIMPULAN Kesimpulan dari asil penelitian ini adala: a. Dari asil simulasi pada empat kasus dengan perubaan parameter yang menyebabkan kenaikan nilai R, didapat nilai maksimum nilai maksimum dan R = I =.229 dan I dan R juga semakin naik. Pada kasus I R = 7.7 dan pada kasus II nilai maksimum I = b. Kenaikan laju kelairan dapat menyebabkan kenaikan jumla maskimum dari I dan R seperti tampak dari asil dari simulasi, yaitu untuk laju kelairan normal maksimum 3.69 dan I = dan R = 9.792, laju kelairan 2 kali normal maksimum R = 2.6, laju kelairan 4 kali normal maksimum I = 4.73 dan I = R = 45.85, sedangkan untuk laju kelairan kali dari normal jumla maksimum I = dan R = 8.6. DAFTAR PUSTAKA [] Djallalluddin, Hasni, H.B., Riana. W. Dan Lisda, H. 26. Gambaran Penderita Pada Kejadian Luar Biasa Demam Berdara Dengue Di Kabupaten Banjar dan Kota Banjarbaru Taun 2., DEXA MEDIA., No. 2, Vol. 7, al [2] Mucyidin, A. 29. Model Pertumbuan Populasi dan Kaitannya dengan Epidemi Penyakit Tuberkolosis, Tesis Magister, Institut Teknologi Bandung, Bandung. [3] Nuraini, N., Soewono, E. dan Sidarto, K.A. 27, Matematical Model of Dengue Disease Transmission wit Seere DHF Compartment, Bull. Malays. Mat. Sci. Soc, Vol. 3, No. 2. al [4] Pongsumpun, P. 26. Transmission Model for Dengue Disease Wit and Witout Te Effect of Extrinsic Incubation Period, KMITL sci. Tec. J., Vol. 6, No. 2. al [5] Soewono, E. 2. Transmission Model of Dengue Feer Disease wit Periodic Recruitment Rate, MIHMI,Vol. 7, No. 3, al