Setiap mahasiswa yang pernah mengambil kuliah kalkulus tentu masih ingat dengan turunan fungsi yang didefenisikan sebagai

Transkripsi

1 Bab 7 Turunan Numerik Lebi banyak lagi yang terdapat di langit dan di bumi, Horatio, daripada yang kau mimpikan di dalam ilosoimu. (Hamlet) Setiap maasiswa yang perna mengambil kulia kalkulus tentu masi ingat dengan turunan ungsi yang dideenisikan sebagai '(x) lim ( x + ) ( x) (P.7.) Persoalan mengitung turunan ungsi cukup banyak muncul dalam bidang rekayasa. Misalnya dalam bidang pengolaan citra (image processing), turunan ungsi diterapkan untuk mendeteksi sisi (edge) obyek pada suatu citra (liat bagian terakir bab ini). Sementara dalam peritungan numerik sendiri, turunan ungsi dalam orde yang lebi tinggi, ', ", "',..., kadang-kadang diperlukan. Misalnya untuk mengitung batas-batas galat interpolasi polinom dengan rumus ( )( )( ) ( ) ( n+ x x... ) x x x x x x ( ) E(x) ( n + )! n ξ, x ξ x n atau untuk mengitung galat integrasi numerik dengan aturan trapesium : E(x) (b-a) "(t), a t b Bila persamaan ungsi (x) diberikan secara eksplisit, maka kita dapat menentukan ungsi turunannya, '(x), "(x),..., (n+) (x), lalu menggunakannya untuk mengitung nilai turunan ungsi di x t. 35 Metode Numerik

2 Seringkali ungsi (x) tidak diketaui secara eksplisit, tetapi kita anya memiliki beberapa titik data saja. Pada kasus seperti ini kita tidak dapat menemukan nilai turunan ungsi secara analitik. Sebaliknya, pada kasus lain, meskipun (x) diketaui secara eksplisit tetapi bentuknya rumit seingga menentukan ungsi turunannya merupakan pekerjaan yang tidak mangkus dan tidak praktis, misalnya pada ungsi-ungsi berikut ini : (i) (x) sin cos ( x ) + x tan( 3x) x ( x) + e x / cos( x) (ii) (x) x e (x + ) ln (4x ), (iii) dan sebagainya. Untuk kedua kasus terakir, peritungan nilai turunan dapat dikerjakan secara numerik (numerical dierentiation atau numerical derivative). Nilai turunan yang diperole merupakan nilai ampiran. Sebagaimana alnya pada integrasi numerik, peritungan turunan numerik juga menggunakan nilai-nilai diskrit. Karena itu, ungsi dalam bentuk tabel merupakan bentuk alami untuk peritungan turunan., 7. Persoalan Turunan Numerik Persoalan turunan numerik iala menentukan ampiran nilai turunan ungsi yang diberikan dalam bentuk tabel. Meskipun metode numerik untuk mengitung turunan ungsi tersedia, tetapi peritungan turunan sedapat mungkin diindari. Alasannya, nilai turunan numerik umumnya kurang teliti dibandingkan dengan nilai ungsinya. Dalam kenyataannya, turunan adala limit dari asil bagi selisi: yaitu pengurangan dua bua nilai yang besar ( (x+) - (x) ) dan membaginya dengan bilangan yang kecil (). Pembagian ini dapat mengasilkan turunan dengan galat yang besar. Lagi pula, jika ungsi diampiri ole polinom interpolasi p, selisi nilai ungsi mungkin kecil tetapi turunannya bole jadi sangat berbeda dengan nilai turunan sejatinya. Hal ini masuk akal sebab turunan numerik bersiat "alus", dan ini berlawanan dengan integrasi numerik, yang tidak banyak dipengarui ole ketidaktelitian nilai ungsi, karena integrasi pada dasarnya adala proses pengalusan [KRE88]. 7. Tiga Pendekatan dalam Mengitung Turunan Numerik Misal diberikan nilai-nilai x di x -, x, dan x +, serta nilai ungsi untuk nilainilai x tersebut. Titik-titik yang diperole adala (x -, - ), (x, ), dan (x, ), yang dalam al ini x - x - dan x x +. Terdapat tiga pendekatan dalam mengitung nilai '(x ): Bab 7 Turunan Numerik 35

3 . Hampiran selisi-maju (orward dierence approximation) '(x ) ( x + ) ( x ) (P.7.). Hampiran selisi-mundur (backward dierence approximation) '(x ) ( x ) ( x ) (P.7.3) 3. Hampiran selisi-pusat (central dierence approximation) '(x ) ( x + ) ( x ) (P.7.3) Tasiran geometri dari ketiga pendekatan di atas diperliatkan pada Gambar 7.. y y y y y y (x) y (x) y - x - x x x x - x x x (a) Hampiran selisi-maju (b) Hampiran selisi-mundur y y y (x) y - x x - x - (c) Hampiran selisi-pusat Gambar 7. Tiga pendekatan dalam peritungan turunan numerik 35 Metode Numerik

4 Rumus-rumus turunan numerik untuk ketiga pendekatan tersebut dapat diturunkan dengan dua cara, yaitu:. Dengan bantuan deret Taylor. Dengan ampiran polinom interpolasi Kedua cara tersebut mengasilkan rumus yang sama. 7.3 Penurunan Rumus Turunan dengan Deret Taylor Misalkan diberikan titik-titik (x i, i ), i,,,..., n, yang dalam al ini x i x + i dan i (x i ). Kita ingin mengitung '(x), yang dalam al ini x x + s, s R dengan ketiga pendekatan yang disebutkan di atas (maju, mundur, pusat). (a) Hampiran selisi-maju Uraikan (x i+ ) di sekitar x i : ( x ) i x ( + i x ) i+ xi (x i+ ) (x i ) + '(x i ) +!! "(x i ) +... i+ i + i ' + / i " +... (P.7.4) i ' i+ - i - / i " +... i ' i+ i - / i " i ' i+ i + O() yang dalam al ini, O() / "(t), x i < t < x i+ Bab 7 Turunan Numerik 353

5 Untuk nilai-nilai di x dan x persamaan rumusnya menjadi: ' + O( ) (P.7.5) yang dalam al ini O() / "(t), x i < t < x i+. (b) Hampiran selisi-mundur Uraikan (x i- ) di sekitar x i : ( x ) i x ( + i x ) i+ xi (x i- ) (x i ) + '(x i ) +!! "(x i ) +... i- i - i ' + / i " +... (P.7.6) i ' i - i- + / i " +... i ' i i - / i " +... i ' i i + O(), yang dalam al ini, O() - / "(t), x i- < t < x i Untuk nilai-nilai di x dan x - persamaan rumusnya menjadi: ' + O( ) (P.7.7) yang dalam al ini, O() - / "(t), x i+ < t < x i. (c) Hampiran selisi-pusat Kurangkan persamaan (P.7.4) dengan persamaan (P.7.6): i+ - i- i ' + 3 /3 i "' +... i ' i+ - i- - 3 /3 i "' Metode Numerik

6 i ' i ' i+ i - /6 i "' +... i+ i + O( ), yang dalam al ini, O( ) - /6 "'(t), x i- < t < x i+ Untuk nilai-nilai di x - dan x persamaan rumusnya menjadi: o ' + O( ) (P.7.8) yang dalam al ini, O( ) - /6 "'(t), x i- < t < x i+. Peratikan, bawa ampiran selisi-pusat lebi baik daripada dua ampiran sebelumnya, sebab orde galatnya adala O( ). Rumus untuk Turunan Kedua, (x), dengan Bantuan Deret Taylor (a) Hampiran selisi-pusat Tambakan persamaan (P.7.4) dengan persamaan (P.7.6) di atas : i+ + i- i + i " + 4 / (4) i +... i+ - i + i- i " + 4 / (4) i Jadi, i i " + i + i - / i (4) i " i+ i + i + O( ), yang dalam al ini, O( ) - / (4) (t), x i- < t < x i+ Bab 7 Turunan Numerik 355

7 Untuk nilai-nilai di x -, x, dan x persamaan rumusnya menjadi: " + + O( ) (P.7.9) yang dalam al ini O( ) - / (4) (t), x i- < t < x i+. (b) Hampiran selisi-mundur Dengan cara yang sama seperti (a) di atas, diperole : i " i i + i + O(), yang dalam al ini O() "(t), x i- < t < x i Untuk nilai-nilai di x -, x -, dan x persamaan rumusnya : + " + O( ), (P.7.) yang dalam al ini, O() "(t), x i- < t < x i (c) Hampiran selisi-maju Dengan cara yang sama seperti di atas, diperole : i " i + i+ + i + O(), yang dalam al ini, O() - "(t), x i < t < x i+ Untuk nilai-nilai di x, x, dan x persamaan rumusnya : + " + O( ), (P.7.) yang dalam al ini, O() - "(t), x < t < x i Metode Numerik

8 7.4 Penurunan Rumus Turunan Numerik dengan Polinom Interpolasi Misalkan diberikan titik-titik data berjarak sama, dan x i x + i, i,,,..., n, x x o + s, s R adala titik yang akan dicari nilai interpolasinya. Polinom Newton-Gregory yang menginterpolasi seluru titik data tersebut adala : (x) p n (x) + s! + s(s-) s(s-)(s-)...(s- n+) F(s)! n n! + s(s-)(s-) 3 3! + yang dalam al ini, s (x-x )/. Turunan pertama dari (x) adala : ' (x) d /dx df ds ds dx ( + + (s- /) + (s / - s + /3) ) / / ( + (s- /) + galat) (P.7.) Berdasarkan (P.7.), diperole rumus turunan numerik dengan ketiga pendekatan (maju, mundur, pusat) sebagai berikut: (a) Hampiran selisi-maju - bila digunakan titik-titik x dan x : '(x ) / ( ) (P.7.3) Bab 7 Turunan Numerik 357

9 - bila digunakan titik-titik x, x, dan x : '(x ) / ( + (s- /) ) untuk titik x s (x - x )/, seingga '(x ) / ( - / ) / ( - /( - ) ) / (3/ - / ) / (3/ - 3/ - / + / ) / (-3/ + - / ) ' ( x ) (P.7.3) (b) Hampiran selisi-mundur - polinom interpolasi: Newton-Gregory mundur - bila digunakan titik-titik x dan x - : '(x ) / ( ) (P.7.4) (c) Hampiran selisi-pusat - digunakan tiga titik x, x, dan x : '(x ) / ( + (s - /) ) untuk titik x s (x - x )/ /, seingga '(x ) / ( + / ) / ( + /( - ) ) / (/ + / ) / ( ) 358 Metode Numerik

10 untuk titik x -, x, dan x : '(x ) (P.7.5) Rumus untuk Turunan Kedua, "(x), dengan Polinom Interpolasi Turunan kedua adala d dx d ds d dx ds dx / ( + + (s - ) 3 ). / / ( + ( s - ) 3 ) Misalkan untuk ampiran selisi-pusat, titik-titik yang digunakan x, x, dan x : - pada titik x s (x - x )/ /, seingga "(x ) / ( + ( - ) 3 ) / ( ) / ( - ) / ( ) / ( - + ) - untuk titik x -, x, dan x : "( x ) (P.7.6) + Bab 7 Turunan Numerik 359

11 7.5 Menentukan Orde Galat Pada penurunan rumus turunan numerik dengan deret Taylor, kita dapat langsung memperole rumus galatnya. Tetapi dengan polinom interpolasi kita arus mencari rumus galat tersebut dengan bantuan deret Taylor. Contonya, kita menentukan rumus galat dan orde dari rumus turunan numerik ampirin selisi-pusat: ' (x ) + E Nyatakan E (galat) sebagai ruas kiri persamaan, lalu ekspansi ruas kanan dengan deret Taylor di sekitar x : E '(x ) - ( - - )/ ' - / [ ( + ' + / " + 3 /6 "' +...) - ( - ' + / " - 3 /6 "' +...) ] ' - / ( ' + 3 /3 "' +... ) ' - ' - /6 "' /6 "' /6 "'(t), x - < t < x (P.7.7) O( ) Jadi, ampiran selisi-pusat memiliki galat E - /6 "'(t), x - < t < x, dengan orde O( ). 7.6 Program Mengitung Turunan Program mengitung turunan numerik sangat sederana. Rumus-rumus turunan dinyatakan sebagai ungsi. Di bawa ini tiga bua ungsi mengitung turunan pertama dengan rumus ampiran selisi-maju, ampiran selisi mundur, dan ampiran selisi-pusat. 36 Metode Numerik

12 Program 7. Mengitung turunan pertama dengan rumus ampiran selisi-maju, ampiran selisimundur, dan ampiran selisi-pusat. unction Aksen_maju(,, : real):real; { Mengitung (x) dengan rumus ampiran selisi-maju } begin Aksen_maju:(-)/; end; unction Aksen_mundur(_,, : real):real; { Mengitung (x) dengan rumus ampiran selisi-mundur } begin Aksen_mundur:(-_)/; end; unction Aksen_pusat(_,, : real):real; { Mengitung (x) dengan rumus ampiran selisi-pusat } begin Aksen_pusat:(-_)/(*); end; 7.7 Ringkasan Rumus-Rumus Turunan Di bawa ini dirangkum beberapa rumus peritungan turunan secara numerik, baik untuk turunan pertama, turunan kedua, dan seterusnya. Disertakan juga orde dari setiap rumus, dalam notasi O-besar. Rumus turunan dengan orde yang semakin tinggi menunjukkan nilai turunannya semakin teliti, namun jumla komputasinya makin banyak (jumla titik data yang diperlukan juga lebi banyak).. Rumus untuk turunan pertama ' + O() (selisi-maju) ' ' + O() (selisi-mundur) + O( ) (selisi-pusat) Bab 7 Turunan Numerik 36

13 ' O( ) (selisi-maju) ' O( 4 ) (selisi-pusat). Rumus untuk turunan kedua " + + O( ) (selisi-pusat) " + + O() (selisi-mundur) " + + O() (selisi-maju) " O( ) (selisi-maju) " O( 4 ) (selisi-pusat) 3. Rumus untuk turunan ketiga "' O() (selisi-maju) "' O( ) (selisi-pusat) 4. Rumus untuk turunan keempat (iv) (iv) O() (selisi-maju) O( ) (selisi-pusat) 4 36 Metode Numerik

14 7.8 Conto Peritungan Turunan Conto 7. Diberikan data dalam bentuk tabel sebagai berikut : x (x) (a) Hitungla '(.7) dengan rumus ampiran selisi-pusat orde O( ) dan O( 4 ) (b) Hitungla '(.4)dengan rumus ampiran selisi-pusat orde O( ) (c) Rumus apa yang digunakan untuk mengitung '(.3) dan '(.5)? Penyelesaian: (a) Orde O( ): ' Ambil titik-titik x -.5 dan x.9, yang dalam al ini x.7 terletak di tenga keduanya dengan.. '(.7) (.) 5.5 (empat angka bena) Orde O( 4 ): ' Bab 7 Turunan Numerik 363

15 Ambil titik-titik x -.3 dan x -.5, x.9, dan x., yang dalam al ini x.7 terletak di pertengaannya. '(.7) ( ) 8( 4.48) (.) (4 angka bena) (b) Orde O( ): Ambil titik-titik x -.3 dan x.5, yang dalam al ini x.4 terletak di tenganya dan.. '(.4) (.) 4.65 (4 angka bena) (c) Untuk mengitung '(.3) digunakan rumus ampiran selisi-maju, sebab x.3 anya mempunyai titik-titik sesudanya (maju), tetapi tidak memiliki titik-titik sebelumnya. Sebaliknya, untuk mengitung nilai '(.5) digunakan rumus ampiran selisi-mundur, sebab x.5 anya mempunyai titik-titik sebelumnya (mundur). Hampiran selisi-maju : ' '(.3) + O() Hampiran selisi-mundur : ' '(.5) + O() Metode Numerik

16 7.9 Ekstrapolasi Ricardson Ekstrapolasi Ricardson juga dapat diterapkan pada turunan numerik untuk memperole solusi yang lebi teliti. Misalkan D() dan D() adala ampiran '(x ) dengan mengambil titik-titik masing-masing sejarak dan. Misalkan untuk mengitung '(x ) digunakan rumus ampiran beda- pusat orde O( ) : D() / ( - - ) + O( ) ' + C +... (P.7.8) x - x x x - x - x x x D() ( ) ( - - ) + O(() ) ' + C() +... ' + 4C +... (P.7.9) Kurangi persamaan (P.7.8) dengan persamaan (P.7.9), mengasilkan : D() - D() -3C dari sini, C D ( ) D( ) 3 (P.7.) Sulikan (P.7.) ke dalam persamaan (P.7.8) : D() ' + [ D( ) D( ) ] 3 ' - /3 [ D() - D() ] atau ' D() + /3 [ D() - D() ] (P.7.) Ekstrapolasi Ricardson dapat diperluas penggunaannya untuk mendapatkan nilai turunan ungsi yang lebi baik (improve). Berdasarkan persamaan (P.7.) di atas dapat ditulis aturan: Bab 7 Turunan Numerik 365

17 D( ) + [ D( ) D( )] (P.7.) n ' yang dalam al ini n adala orde galat rumus yang dipakai. Misalnya digunakan rumus ampiran selisi-pusat orde O( ) dalam mengitung D() dan D(), maka n, seingga rumus ekstrapolasi Ricardsonnya adala seperti pada persamaan (P.7.). Catat juga bawa setiap perluasan ekstrapolasi Ricardson akan menaikkan orde galat dari O( n ) menjadi O( n+ ) (liat baasan esktrapolasi Ricardson pada Bab Integrasi Numerik). Conto 7. Diberikan data dalam bentuk tabel sebagai berikut : x (x) Tentukan '(.5) dengan ekstrapolasi Ricardson bila D() dan D() diitung dengan rumus ampiran selisi-pusat orde O( ) sampai 5 angka bena. Penyelesaian: D() selang titik yang dipakai: [.4,.6] dan. x -.4, x.5, x.6 D() ( ) (.) D() selang titik yang dipakai: [.3,.7] dan Metode Numerik

18 x -.3, x.5, x.7 D() ( ) (.) D(4) selang titik yang dipakai: [.,.9] dan.4 x -4., x.5, x 4.9 D(4) 4 4 (.45.59) (.4) D() dan D() keduanya diitung dengan rumus orde O( ), maka n, seingga '(.5) ' D() + /( - ) [ D() - D() ] /3 ( ) -.3 mempunyai galat orde O( 4 ) D() dan D(4) keduanya diitung dengan rumus orde O( ), maka n, seingga '(.5) ' D() + /( - ) [ D() - D(4) ] /3 ( ) -.35 mempunyai galat orde O( 4 ) D() -.3 dan D(4) -.35 mempunyai galat orde O( 4 ), maka n 4, seingga '(.5) ' D() + /( 4 - ) [ D() - D(4) ] /5 ( ) -.3 mempunyai galat orde O( 6 ) Tabel Ricardson : O( ) O( 4 ) O( 6 ) Jadi, '(.5) -.3. Bab 7 Turunan Numerik 367

19 7. Terapan Turunan Numerik dalam Bidang Pengolaan Citra Citra (image) merupakan kumpulan elemen gambar (picture element pixel) yang secara keseluruan merekam suatu adegan (scene) melalui pengindera visual (kamera) [DUL96]. Citra intensitas iala citra yang setiap pixel merekam intensitas caaya yang dipantulkan dari setiap titik di objek, misalnya citra biner, graylevel, berwarna, dan banyak-alur (multi-cannel). Untuk kebutuan pengolaan dengan komputer, citra disajikan dalam bentuk diskrit yang disebut citra digital. Citra digital dapat disajikan ole matriks yang berukuran M N dengan bentuk: M M M M M... N n M MN (P.7.) Tiap elemen matriks adala bilangan bulat dalam rentang [..55] untuk citra 8 bit. Sala satu proses yang terdapat dalam pengolaan citra iala pendeteksian tepi. Tepi merupakan eature yang penting pada suatu citra. Tepi dideinisikan sebagai perubaan intensitas yang besar dalam jarak yang singkat. Perbedaan intensitas inila yang menampakkan rincian pada gambar. Tepi biasanya terdapat pada batas antara dua daera berbeda pada suatu citra. Tepi memberikan inormasi batas-batas objek dengan lingkungannya atau dengan objek yang lain, eature untuk mengidentiikasi objek, dan untuk terapan penapisan citra. Pendeteksian tepi merupakan langka pertama untuk melingkupi inormasi di dalam citra. Tepi mencirikan batas-batas objek dan karena itu tepi berguna untuk proses segmentasi dan identiikasi objek di dalam citra. Tujuan operasi pendeteksian tepi adala untuk meningkatkan penampakan garis batas suatu daera atau objek di dalam citra. Sala satu pendekatamyang dipakai dalam pendeteksian sisi adala dengan kemiringan dierensial (dierential gradient). Secara matematis perubaan intensitas yang besar dalam jarak yang sangat singkat dapat dipandang sebagai suatu ungsi yang memiliki kemiringan yang besar. Pengukuran kemiringan suatu ungsi dilakukan dengan mengitung turunan pertamanya. Dalam citra digital, pendeteksian tepi dapat dilakukan dengan cara yang mirip, yaitu dengan turunan pertamanya secara parsial dalam ruang diskrit: 368 Metode Numerik

20 (x, y) / x / y x y (P.7.3) yang dalam al ini kedua turunan parsial dideinisikan sebagai D (x) D ( y) ( x y), x ( x y), y ( x x, y) + ( x, y) x ( x, y y) + ( x, y) y (P.7.4) (P.7.5) Biasanya x y, seingga persamaan turunan pertama menjadi: ( x, y) D ( x) ( x +, y) ( x, y) x ( x, y) D ( y) ( x, y + ) ( x, y) y Kekuatan tepi pada setiap pixel citra diitung dengan rumus: G[(x,y)] x + y (P.7.6) atau dengan rumus G[(x,y)] max ( x, y ) (P.7.7) Suatu pixel dianggap sebagai pixel sisi jika kekuatan tepinya di atas nilai ambang (tresold) tertentu. D (x) dan D ( y) merupakan ampiran selisi-maju. Hampiran lain yang dipakai adala ampiran selisi-pusat, yaitu: D (x) ( x y), x ( x + x, y) ( x x, y) x (P.7.8) D (y) ( x y), y ( x, y + y) ( x, y y) y (P.7.9) Gambar 7. adala conto asil deteksi semua tepi citra Lena, citra Camera, dan citra botol. Bab 7 Turunan Numerik 369

21 Gambar 7. Deteksi semua tepi citra Lena, camera, dan botol 37 Metode Numerik

22 Operator lain yang digunakan untuk mendeteksi sisi adala yang berdasarkan pada operasi turunan kedua (Gambar 7.3), yang dikenal dengan operator Laplace (Laplacian). Operator Laplace mendeteksi lokasi tepi lebi akurat kususnya pada tepi yang curam. (x) / x / x (a) Tepi landai (b) Tepi curam Gambar 7.3 Operator Laplace Pada Gambar 7.3, kurva pada baris pertama menunjukkan perubaan intensitas suatu tepi. Baris kedua adala turunan pertamanya, dan baris ketiga adala turunan keduanya. Kolom kiri (a) adala untuk sisi yang landai sedangkan kolom (b) untuk sisi yang curam. Dari Gambar 7.3 terliat juga bawa turunan kedua dari tepi yang landai tidak terdapat persilangan-nol (zerro crossing), sedangkan pada tepi yang curam terdapat persilangan-nol yang ditandai dengan titik ( ). Persilangannol iala titik perubaan dari nilai positi ke negati atau sebaliknya. Jika digunakan ampiran selisi-maju, maka operator Laplace diturunkan sebagai berikut: Bab 7 Turunan Numerik 37

23 x + y D (D (x)) + D ( D ( y)) D ( (x + x, y) - D ( (x,y)) + x x D ( (x, y)) D ( (x, y + y) y ( x + x + x, y) ( x + x, y) ( x + x, y) ( x, y) x x + ( x, y + y + y) ( x, y + y) ( x, y + y) ( x, y) y y ( x + x, y) ( x + x, y) + ( x, ) ( x) ( x, y + y) ( x, y + y) + ( x, y) ( y) y y + (P.7.3) Biasanya, x x seingga bentuk (P.7.3) menjadi lebi sederana. Gambar 7.4 memperliatkan asil pendeteksian tepi pada citra botol dengan operator Laplace. (a) (b) Gambar 7.4 (a) citra botol; (b) asil pendeteksian tepi dengan operator Laplace 37 Metode Numerik

24 Tidak ada al besar yang terjadi dengan tiba-tiba, bakan yang lebi banyak daripada setangkai anggur atau sebutir bua ara sekalipun. Perlu waktu. Mula-mula ia berbunga, kemudian menjadi bua, dan akirnya matang. (Epictetus) Soal Latian. Jika x -, x, x + [a,b], perliatkanla " ( ) + E dan E - (iv) Jika adala polinom derajat tiga dan ' a a a + a + E tentukan nilai-nilai tetapan a -, a -, a, dan a. Perliatkan juga bawa E 4 (v) Diberikan tabel yang berisi titik-titik sebua ungsi : x (x) Bab 7 Turunan Numerik 373

25 (a) Tentukan nilai '(.) dan "(.) untuk. dan. dengan rumus ampiran selisi-pusat orde O( ). (b) Tabel di atas adala tabel (x) cos(x). Bandingkan jawaban yang anda perole dengan nilai sejatinya. 4. Misalkan / ' '(x + /) adala ampiran nilai turunan dengan rumus selisi-pusat orde O( ): / ' + O( ) (a) Perliatkan bawa galat pemotongan rumus tersebut adala - "' (b) Hitung '(.5) jika diketaui anya titik-titik berikut: (.,.8333), (.4,.743), (.6,.65), dan (.8,.5556) Gunakan empat angka bena. 5. Misalkan D() dan D(4) adala ampiran '(x ) dengan lebar selang dan 4 menggunakan rumus ampiran selisi-pusat orde O( 4 ). Turunkan rumus ektrapolasi Ricardson untuk mengitung perkiraan '(x ) yang lebi baik adala: '(x ) D() + [ D( ) D( 4) ] 5 Kemudian tentukan ampiran '(.) jika diketaui ungsinya (x) e x dalam selang [.8,.6] dengan Metode Numerik