MODEL MATEMATIKA SIS-SI DALAM PENYEBARAN PENYAKIT MALARIA DENGAN VAKSINASI TAKSEMPURNA

Transkripsi

1 MODEL MATEMATIKA SIS-SI DALAM PENYEBARAN PENYAKIT MALARIA DENGAN VAKSINASI TAKSEMPURNA N FAJRI, P SIANTURI, T BAKHTIAR Abstrak Dalam penelitian ini, dibaas sebua model penyebaran penyakit malaria tipe SIS-SI Model ini membaas tentang penyebaran penyakit malaria e Vaksin dikatakan dengan memperatikan aksin taksempurna berasil jika e, dan dikatakan tidak berasil jika e Model SIS- SI mempunyai dua titik tetap yaitu, titik tetap tanpa penyakit dan titik tetap endemik Dengan menggunakan bilangan reproduksi dasar R, maka diperole bawa titik tetap tanpa penyakit bersifat stabil global, jika R dan titik tetap endemik bersifat stabil global, jika R Selain itu, digunakan juga analisis bifurkasi yang bertujuan untuk mengetaui eksistensi dan jumla titik tetap endemik pada model untuk setiap parameter yang diberikan Jika pada model terjadi bifurkasi maju, maka titik tetap endemik bersifat stabil, dan jika terjadi bifurkasi mundur maka titik tetap endemik bersifat takstabil Selanjutnya, jika efektiitas aksin ditingkatkan, maka manusia terinfeksi akan menurun Kata Kunci: penyakit malaria, model SIS-SI, bifurkasi, aksinasi PENDAHULUAN Malaria merupakan penyakit menular yang disebabkan ole parasit yang dikenal dengan Plasmodium Perantara atau pembawa parasit Plasmodium ini adala nyamuk Anopeles betina yang menyebabkan rusaknya sel-sel dara mera pada manusia dan ewan melalui gigitannya Malaria dapat ditularkan melalui transfusi dara, pemakaian jarum suntik, maupun bawaan Pada taun, WHO menyatakan bawa sekitar 4 miliar penduduk di dunia berisiko terkena malaria dengan 8% di antaranya merupakan penduduk benua Afrika dan Asia [4] Untuk itu perlu dilakukan treatment pencegaan malaria untuk mengendalikan tingkat infeksi maupun penyebaran penyakit malaria Metode yang paling sering digunakan untuk mencega penyakit malaria adala obat-obatan, penyemprotan nyamuk, dan pencegaan gigitan Sampai saat ini, belum ada aksin malaria yang benar-benar ampu untuk penyakit malaria Pada tanggal 8 Oktober ditemukan aksin malaria pertama buatan GlaxoSmitKline Berdasarkan percobaan paling akir aksin tersebut mampu memberi kekebalan ingga empat taun pada anak-anak [] dan mampu Maasiswa S Program Studi Matematika Terapan, Sekola Pascasarjana IPB, Jalan Meranti Kampus IPB Dramaga Bogor, nurfajri,ifar@yaoocom Departemen Matematika, Fakultas Ilmu Matematika dan Pengetauan Alam, Jalan Meranti Kampus IPB Dramaga Bogor, psianturi5@gmailcom Departemen Matematika, Fakultas Ilmu Matematika dan Pengetauan Alam, Jalan Meranti Kampus IPB Dramaga Bogor, tonibaktiar@yaoocom

2 5 N FAJRI, P SIANTURI, T BAKHTIAR memberikan efektiitas kekebalan ingga 67% teradap laki-laki di Kenya ole Uniersitas Oxford Inggris [] Penelitian ini bertujuan untuk memodifikasi model SIR-SI dari Abdullai [] menjadi model SIS-SI dengan meliat efek dari aksinasi taksempurna Model epidemi dengan aksinasi taksempurna mengacu pada model Safan [] Selanjutnya menganalisis kestabilan dari setiap titik tetap, baik kestabilan lokal maupun global dan menganalisis bifurkasi untuk mengetaui perubaan kualitatif sistem akibat perubaan parameter tertentu MODEL MATEMATIKA Misalkan, populasi manusia N dibagi menjadi tiga kelas yaitu manusia yang rentan (susceptible) S, manusia terinfeksi (infected) I dan manusia teraksinasi (accination) V sedangkan populasi nyamuk N dibagi menjadi dua kelas, yaitu nyamuk rentan (susceptible) S dan nyamuk terinfeksi (infected) I Manusia yang lair memiliki laju konstan sebesar Proporsi manusia rentan yang baru lair langsung diberi aksin sebesar p Manusia yang berada di kelas rentan dapat berpinda ke kelas terinfeksi akibat transfusi dara dengan laju N atau akibat gigitan nyamuk terinfeksi dengan laju b N Indiidu di kelas rentan dapat berpinda ke kelas aksinasi dengan laju Manusia di kelas rentan mati dengan laju kematian sebesar Lairnya bayi terinfeksi akibat bawaan pada kelas terinfeksi memiliki laju sebesar Manusia di kelas terinfeksi dapat berpinda ke kelas rentan karena penggunaan obat-obatan anti-malaria dengan laju sebesar Manusia di kelas terinfeksi dapat mati dengan laju kematian sebesar Manusia di kelas aksinasi dapat berpinda ke kelas terinfeksi dengan laju eb N di mana e adala efektiitas aksin Manusia di kelas teraksinasi dapat mati dengan laju kematian sebesar Gambar Skema penyebaran malaria dan efektiitas aksinasi tak sempurna Ket: ( ) menyatakan perpindaan indiidu ( ) menyatakan pengaru antar kompartemen

3 JMA, VOL 5, NO, DECEMBER 6, Selanjutnya, nyamuk yang lair memiliki laju konstan sebesar Nyamuk di kelas rentan dapat berpinda ke kelas terinfeksi karena menggigit manusia terinfeksi dengan laju N atau dapat mati dengan laju kematian sebesar Selanjutnya, nyamuk di kelas terinfeksi juga dapat mati dengan laju kematian Pola penyebaran penyakit malaria secara skematis dapat digambarkan pada Gambar Skema pada Gambar dapat dituliskan dalam sistem persamaan diferensial sebagai berikut: ds b p N I V I I S, N N () di b b I I S I e V I, N N N dv b p N S V e V I N N S I V, ds, N I S N di I S I, N N S I dengan memisalkan S I V S I S, I, V, S, I N N N N N maka sistem persamaan () dapat disederanakan menjadi di I I I V I e V I, dv p I V V e V I, di I I I dengan, dan b n n N N, () HASIL DAN PEMBAHASAN Penentuan Titik Tetap Titik tetap pada sistem dinamik () diperole berdasarkan: di dv di Dari SPD () diperole dua titik tetap yaitu titik tetap tanpa penyakit xdfe tetap endemik x ee dan titik

4 54 N FAJRI, P SIANTURI, T BAKHTIAR Titik tetap tanpa penyakit xdfe I, V, I, V, di mana p V Titik tetap endemik xee I, V, I I, V, I di mana V sedangkan untuk p I e I I dan I I, I akan diperole melalui persamaan bifurkasi Analisis Kestabilan Lokal Titik Tetap Tanpa Penyakit x dfe Untuk mengetaui kestabilan lokal dari titik tetap tanpa penyakit x dfe, dapat dilakukan dengan mengealuasi matriks Jacobian f f f I V I a a a g g g J x a dfe 4 a5 a6 I V I a7 a8 a 9 I V I xdfe di mana a V ; a ; a V e V ; a ; 4 a5, a6 e V ; a7, a8 ; a9 Nilai eigen matriks Jacobi dapat ditentukan dengan menyelesaikan det J I atau dapat ditulis sebagai x dfe a a a a a Dengan demikian diperole nilai eigen, dan Untuk a5 selalu bernilai negatif, sedangkan bernilai negatif jika dan anya jika aa9 dan aa 9 aa7 ; dan bernilai negatif jika dan anya jika aa9 Titik tetap negatif [] x dfe bersifat stabil lokal jika dan anya jika Eksistensi Kestabilan Global, dan bernilai Selain kestabilan lokal dari titik tetap, pada penelitian ini juga meliat kestabilan global dari titik tetap Kestabilan global adala kestabilan dalam waktu jangka panjang Untuk mengetaui eksistensi kestabilan global dari sistem persamaan diferensial () pada daera Σ, di mana I, V, I : I, V, I V, I dan Σ R, maka dengan menggunakan Kriteria Bendixson [5], diperole

5 JMA, VOL 5, NO, DECEMBER 6, f f f (i) f sup I I V V f f f f (ii) sup V I I I Dengan demikian, berdasarkan Kriteria Bendixson, sistem persamaan diferensial () tidak memiliki solusi periodik pada daera Σ, seingga selalu memiliki titik tetap yang bersifat stabil global, jika memenui atau 4 Penentuan Bilangan Reproduksi Dasar Bilangan reproduksi dasar yang dinotasikan dengan R merupakan nilai arapan terjadinya infeksi yang diasilkan ole satu indiidu terinfeksi, di mana jika R, maka jumla manusia terinfeksi akan menurun pada infeksi berikutnya seingga penyakit tidak akan menyebar, sedangkan jika R, maka jumla manusia terinfeksi akan meningkat seingga penyakit akan menyebar Untuk menentukan bilangan reproduksi dasar dilakukan dengan pendekatan Matriks Next Generation K Matriks Next Generation K untuk model penyebaran penyakit dapat didefinisikan sebagai K FV Untuk SPD () diperole matriks F dan V sebagai berikut V ev F dan V Dengan demikian, diperole matriks K sebagai V ev K Bilangan reproduksi dasar merupakan nilai eigen dengan modulus terbesar matriks K [], seingga diperole di mana k R k k kk 4 V ev, k dan k Berdasarkan teorema Bendixson, sistem persamaan diferensial () selalu memiliki titik tetap yang bersifat stabil global, jika memenui atau Dengan demikian, jika kondisi atau (4)

6 56 N FAJRI, P SIANTURI, T BAKHTIAR terpenui maka dapat disimpulkan bawa jika R, maka sistem persamaan diferensial () akan bersifat stabil global ke titik tetap bebas penyakit x Jika R, maka sistem persamaan diferensial () akan bersifat dfe stabil global ke titik tetap endemik x ee 5 Persamaan Bifurkasi Dan Ara Kura Bifurkasi Bifurkasi adala perubaan kestabilan titik tetap akibat perubaan parameter Pada bagian ini anya akan dilakukan analisis bifurkasi teradap di parameter Persamaan bifurkasi dapat ditentukan dengan membuat I dv seingga diperole I dan seingga diperole I p I V Selanjutnya, dengan mensubstitusikan I dan V e I di ke persamaan maka diperole persamaan bifurkasi untuk parameter sebagai dengan e a - F, I a I b I ci d b e e e e e e p (5) c ep e e e e e e p d ep e p Persamaan bifurkasi digunakan untuk menentukan I seingga V dan I pada persamaan (5) dapat ditentukan Dengan demikian, titik tetap endemik dapat diperole dari setiap parameter yang diberikan Dalam al ini, nilai parameter dianggap sebagai peuba sedangkan nilai parameter lainnya dianggap konstan Nilai

7 JMA, VOL 5, NO, DECEMBER 6, yang mengakibatkan eksistensi titik tetap endemik ole Ruang dan Wei [9] diberikan ole kasus-kasus di bawa ini Jika d, maka SPD () paling sedikit memiliki satu titik tetap endemik positif; Jika d, maka SPD () memiliki titik tetap endemik positif jika dan anya jika I b b ac dan FI ; selain itu a SPD () tidak terdapat titik tetap endemik positif Dengan demikian daera yang memberikan titik tetap endemik diberikan ole o Kasus : Untuk d, ekuialen dengan ep e p seingga diperole nilai interal di mana q ep e yang memberikan titik tetap endemik pada q p ; Kasus : d, I b b ac dan F a, I Untuk d, diperole, (6) q p, (7) di mana q ep e ; Solusi untuk I b b ac dan F a I anya akan dilakukan peritungan pada bagian simulasi I dapat diperole melalui Ara bifurkasi pada titik, F di, I d F Jika di d, maka titik bifurkasi, I mengalami I, I

8 58 N FAJRI, P SIANTURI, T BAKHTIAR di bifurkasi mundur atau memiliki kemiringan negatif dan jika d, maka titik bifurkasi, I mengalami bifurkasi maju atau memiliki kemiringan positif 4 SIMULASI Nilai-nilai parameter yang digunakan pada bagian simulasi ini adala 4,, 4, /, 5, dan / 7, p 8, 4,, [] I 5 e, I 5, V 977 dan Simulasi Bifurkasi Dengan menggunakan parameter di atas, maka diperole persamaan bifurkasi sesuai pers (5) sebagai F, I 97 I 8 I 8 66 I 79 6 Parameter-parameter yang digunakan pada simulasi ini memenui, seingga berdasarkan kriteria Bendixson, sistem persamaan () selalu memiliki titik tetap yang bersifat stabil global Selang yang memberikan titik tetap endemik pada sistem persamaan diferensial () berdasarkan kasus satu iala 477, (8) sedangkan untuk kasus dua diperole (9) Dari kedua kasus tersebut, maka selang yang memberikan titik tetap endemik untuk sistem persamaan diferensial () iala pada 46

9 JMA, VOL 5, NO, DECEMBER 6, I R < R > β = 477 β = 46 β = 477 β Gambar Kura bifurkasi untuk parameter teradap dua akar F I, yang terbesar Simulasi kura bifurkasi untuk parameter teradap dua akar F, I yang terbesar ditunjukkan pada Gambar 4 Pada Gambar 4, kura yang berwarna biru memberikan solusi F I, yang mengalami bifurkasi maju Dalam al ini, kura tersebut memberikan titik tetap endemik yang bersifat stabil Sementara itu, kura berwarna kuning memberikan solusi F, I yang mengalami bifurkasi mundur dan diperole bawa kura tersebut memberikan titik endemik yang bersifat takstabil Kura berwarna mera bukan merupakan titik tetap endemik karena memberikan nilai I Akar-akar persamaan (5) yang lain diberikan pada Gambar 4, di mana pada kura tersebut tidak terdapat selang yang memberikan titik tetap endemik yang ditandai dengan I I β Gambar Kura bifurkasi untuk parameter teradap akar yang lain dari persamaan F I,

10 6 N FAJRI, P SIANTURI, T BAKHTIAR Simulasi efektiitas aksinasi Pada bagian simulasi ini, anya diamati dinamika populasi dalam kondisi ketika R Simulasi ini dilakukan untuk menunjukkan pengaru efektiitas aksin taksempurna e teradap proporsi manusia dan proporsi nyamuk Dalam al ini, akan ditunjukkan bawa peningkatan dan penurunan nilai parameter e dapat menguba bilangan reproduksi dasar R yang didefinisikan pada persamaan (6) Adapun nilai e yang digunakan pada simulasi ini diberikan pada Tabel Tabel Hasil simulasi efektiitas aksin pada manusia teradap bilangan reproduksi dasar Parameter e (Safan et al 4) Bilangan reproduksi dasar e 4 R 9 e 6 R e 8 R = Pada populasi manusia sebagaimana ditunjukkan dalam Gambar 4, jika efektiitas aksin pada manusia diperbesar, maka menyebabkan semakin berkurangnya proporsi manusia di kelas terinfeksi Efektiitas aksin yang diberikan kepada manusia, juga memberikan dampak pada proporsi nyamuk terinfeksi sebagaimana ditunjukkan pada Gambar 44 Jika aksin yang diberikan kepada manusia memiliki efektiitas yang besar, maka dapat menyebabkan proporsi nyamuk di kelas terinfeksi semakin menurun Gambar 4 Dinamika proporsi populasi manusia untuk beberapa efektiitas aksinasi

11 JMA, VOL 5, NO, DECEMBER 6, Gambar 5 Dinamika proporsi nyamuk untuk beberapa tingkat efektiitas aksin 5 SIMPULAN Rincian asil-asil utama dalam artikel ini adala sebagai berikut: Sistem persamaan diferensial () memiliki dua jenis titik tetap, yaitu titik tetap tanpa penyakit dan titik tetap endemik Jika R, maka sistem persamaan diferensial () memiliki titik tetap tanpa penyakit x dfe yang bersifat stabil global Jika R, maka sistem persamaan diferensial () memiliki titik tetap endemik x ee yang bersifat stabil global dan titik tetap bebas penyakit bersifat takstabil Berdasarkan analisis bifurkasi teradap parameter pada sistem persamaan diferensial () dapat disimpulkan bawa untuk setiap kura bifurkasi berlaku Jika terjadi bifurkasi mundur, maka titik tetap endemik bersifat takstabil Jika terjadi bifurkasi maju, maka titik tetap endemik bersifat stabil Simulasi juga menunjukkan efek dari aksinasi taksempurna e teradap perubaan nilai bilangan reproduksi dasar R Jika efektiitas aksin ditingkatkan, maka bilangan reproduksi dasar akan semakin kecil Dengan demikian, peningkatan nilai parameter ini dapat membantu menekan laju penularan penyakit dalam populasi Pada populasi manusia, semakin diperbesar efektiitas aksin, maka jumla manusia terinfeksi semakin sedikit Demikian juga pada populasi nyamuk, semakin besar efektiitas aksin, maka jumla nyamuk terinfeksi semakin sedikit Akibatnya, penyakit akan semakin cepat ilang dari populasi DAFTAR PUSTAKA [] Abdullai MB, Hasan YA, Abdulla FA A Matematical Model of Malaria and Te Effectieness of Drugs Applied Matematical Sciences 7(6): [] Burton TA 5 Volterra Integral and Difference Equations nd ed New York: Elseier [] Hill AVS, Ogwang C, Kimani D, Edwards NJ, Roberts R, Mwacaro J, Bowyer G, Bliss C, Hodgson SH, Njuguna P, Viebig NK, Nicosia A, Gitau E, Douglas S, Illingwort J, Mars K, Lawrie A, Imoukuede EB, Ewer K, Urban BC, Bejon P, Te MVVC group 5 Prime-boost accination wit cimpanzee adenoirus and modified accinia

12 6 N FAJRI, P SIANTURI, T BAKHTIAR Ankara encoding TRAP proides partial protection against Plasmodium falciparum infection in Kenyan adults Science Journal, Science Translational Medicine 7(86): 86re5 doi:6/scitranslmedaaa7 [4] Labadin C, Kon ML, Juan SFS 9 Deterministic Malaria Transmission Model wit Acquired Immunity Proceedings of te World Congress on [5] Li Y, Muldowney JS 99 On Bendixson s Criterion Journal of Differential Equetions 6: 7-9 [6] Mandal S, Sarkar RR, Sina S Matematical Models of Malaria - a Reiew Malaria Journal : -9 [7] Perko L 99 Differential Equation and Dynamical System New York: Springers- Varlag [8] Pongsumpun P 6 Transmission Model For Dengue Disease Wit And Witout Te Effect Of Extrinsic Incubation Period KMITL Science and Tecnology Journal 6(): [9] Ruan S, Wei J On Te Zeros of a Tird Degree Exponential Polynomial wit Applications to a Delayed Model for te Control of Testosterone Secretion IMA Journal of Matematics Applied in medicine and Biology 8: 4-5 [] Safan M, Rian FA 4 Matematical Analysis of an SIS Model wit Imperfect Vaccination and Backward Bifurcation Matematical and Computers in Simulation 96: 95-6 [] Te RTS,S Clinical Trials Partnersip First Results of Pase Trial of RTS,S/AS Malaria Vaccine in African Cildren Te New England Journal of Medicine 65: doi:56/NEJMoa87 [] Tu PNV 994 Dynamical Sistem New York: Springer-Verlag [] Van den Driessce P, Watmoug J 8 Capter 6: Futer Notes on te Basic Reproduction Number Matematical Epidemiology, Lecture Notes Matematics New York: Springer 945: [4] WHO Malaria [diundu pada 5 Februari 5] Tersedia pada: ttp://woint/mediacentre/news/release//world-malaria-report-/en/