FUNGSI KABUR. Tugas Akhir Diajukan untuk memenuhi Salah Satu Syarat Memperoleh Gelar Sarjana Sains Program Studi Matematika

Transkripsi

1 FUNGSI KBUR Tugas kir Diajukan untuk memenui Sala Satu Syarat Memperole Gelar Sarjana Sains Program Studi Matematika Disusun ole: Nama : Retno Triyanti NIM : 4 PROGRM STUDI MTEMTIK FKULTS SINS DN TEKNOLOGI UNIVERSITS SNT DHRM YOGYKRT 8

2 FUZZY FUNCTION FINL SSIGNMENT Presented or te Partial Fulillment o te Requirement To Obtain te Sarjana Sains Degree Study Program o Matematics By: Name : Retno Triyanti Student Number : 4 STUDY PROGRM OF MTHEMTICS SINS ND TECHNOLOGY FCULTY SNT DHRM UNIVERSITY YOGYKRT 8

3 ii

4 iii

5 HLMN PERSEMBHN Kegagalan bukan berarti anda gagal Tetapi anda belum sukses Kegagalan bukan berarti anda tak mencapai apa-apa Tetapi anda tela mempelajari sesuatu Kegagalan bukan berarti anda bodo karena perna mencoba Itu pertanda anda berani, berati tegu, bersemangat baja Maka berbanggala dengan diri anda sendiri Kegagalan bukan berarti anda tidak akan sukses Tetapi dibutukan kesabaran Kegagalan bukan berarti anda suda berakir Tetapi anda masi punya peluang untuk memulainya kembali, dan berusaa mencari sesuatu yang baru Kegagalan bukan berarti Tuan tela meninggalkan anda Tetapi Dia punya rencana yang lebi baik Jadi berarti bawa kegagalan tidak akan perna berakir Dr. Robert Sculler Tugas kir ini aku persembakan kepada:. Kedua orangtua tercinta. Kakak-kakakku semua dan dek Tarra tersayang. Keluarga besarku iv

6 v

7 BSTRK Fungsi kabur diklasiikasikan menjadi tiga kelompok, yaitu ungsi tegas dengan kendala kabur, ungsi tegas yang menularkan kekaburan dari variabel bebas ke variabel tak bebas, dan ungsi pengaburan dengan variabel tegas. Untuk menentukan nilai maksimum ungsi tegas dengan daera asal tegas maupun kabur dipakai impunan pemaksimum dan impunan peminimum. Integral kabur diklasiikasikan menjadi dua macam yaitu integral ungsi kabur pada interval tegas dan integral ungsi tegas pada interval kabur. Dierensial ungsi tegas pada impunan kabur dikerjakan dengan menggunakan prinsip perluasan. vi

8 BSTRCT Fuzzy unctions can be classiied into tree groups, namely crisp unctions wit uzzy constraint, crisp unctions tat propagate uzziness o independent variable to dependent variable, and uzziying unctions o crisp variable. To ind te maimum value o crisp unction wit crisp or uzzy domain we use maimizing set and minimizing set. Fuzzy integration is classiied into two groups, namely integration o uzzy unction on crisp interval and integration o crisp unction on uzzy interval. Dierentiation o crisp unction on uzzy set is carried out using etension principle. vii

9

10 KT PENGNTR lamdullilairobil alamin, puji syukur kepada lla SWT yang tela memberikan anugera, kekuatan, kesabaran, keseatan, dan kebaagiaan seingga penulis dapat menyelesaikan penyusunan tugas akir yang berjudul FUNGSI KBUR. Tugas akir ini disusun guna memenui sala satu syarat memperole gelar Sarjana Sains Program Studi Matematika. Dalam kesempatan ini, penulis mengucapkan terima kasi yang sebesarbesarnya kepada:. Romo Frans Susilo, S.J., selaku dosen pembimbing yang tela memberikan bimbingan dan pengaraan dalam penulisan tugas akir ini.. Romo Ir. Gregorius Heliarko, S.J., S.S., B.S.T., M.., M.Sc, selaku Dekan Fakultas Sains dan Teknologi. Ibu Lusia Krismiyati Budiasi, S.Si, M.Si, selaku Ketua Program Studi Matematika. 4. Bapak Ir. Ig. ris Dwiatmoko, M.Sc, selaku Dosen Pembimbing kademik. 5. Bapak dan Ibu dosen Fakultas Sains dan Teknologi, kususnya Program Studi Matematika. 6. Segenap karyawan Universitas Sanata Darma yang berada di perpustakaan, Sekretariat Fakultas Sains dan Teknologi, B, dan UK. 7. Bapak dan Ibu, yang tela memberikan kasi sayang, kepercayaan, doa, semangat, dan kesabaran menunggu kelulusan saya. viii

11 8. Semua kakakku dan dik Tarra terima kasi atas kasi sayang, dukungan dan doanya. 9. Teman-teman angkatan, terima kasi atas dukungan dan doanya.. Semua piak yang tela membantu penulis dalam menyelesaikan tugas akir ini. Penulis menyadari bawa tugas akir ini masi banyak kesalaan dan kekurangan yang arus diperbaiki, ole karena itu kritik dan saran sangat penulis arapkan demi kesempurnaan tugas akir ini. Yogyakarta,. 8 Penulis Retno Triyanti i

12 DFTR ISI HLMN JUDUL... i HLMN PERSETUJUN PEMBIMBING... ii HLMN PENGESHN... iii HLMN PERSEMBHN. iv PERNYTN KESLIN KRY. v BSTRK.. vi BSTRCT... vii KT PENGNTR viii DFTR ISI.. DFTR TBEL.. ii DFTR GMBR. iii BB I PENDHULUN Latar belakang Masala B. Rumusan Masala.... C. Batasan Masala.. D. Tujuan Penulisan E. Metode Penulisan..... F. Manaat Penulisan.... G. Sistimatika Penulisan BB II FUNGSI TEGS DN HIMPUNN KBUR Fungsi Tegas Pengertian Fungsi,,.. 5. Nilai maksimum dan Minimum Fungsi.. 8. Dierensial Integral... 6 B. Himpunan Kabur..... Pengertian Himpunan Kabur.. Fungsi Keanggotaan Operasi pada Himpunan kabur...

13 4. Potongan-α dari Himpunan Kabur Prinsip Perluasan.. 4 BB III FUNGSI KBUR Jenis- jenis Fungsi Kabur Fungsi Tegas dengan Kendala Kabur Penularan Kekaburan ole Fungsi Tegas.. 9. Fungsi Pengaburan dengan Variabel Tegas.. 4 B. Ekstrim Kabur dari Fungsi. 44. Himpunan Pemaksimum dan Peminimum Nilai Maksimum dari Fungsi tegas a. Daera sal Tegas b. Daera sal Kabur.. 48 C. Integral dan Dierensial Kabur Integral a. Integral Fungsi Kabur dengan Interval tegas.. 5 b. Integral Fungsi Tegas dengan Interval kabur Dierensial. 56 D. Soal soal. 58 BB IV KESIMPULN... 7 DFTR PUSTK i

14 DFTR TBEL Tabel.. Integral Kabur. 56 Tabel.. Integral Kabur dari ungsi + 64 ii

15 DFTR GMBR Gambar.. Fungsi yang mempunyai nilai maksimum relati di c.. 8 Gambar.. Fungsi yang mempunyai nilai minimum relati di c Gambar.. Fungsi s - g. 5 Gambar.4. Sebua partisi dari [a, b] dengan titik-titik sampel i.. 8 Gambar.5. Graik ungsi keanggotaan impunan kabur bilangan real yang dekat dengan Gambar.6. Graik ungsi keanggotaan impunan kabur bilangan real yang dekat dengan 4. 7 Gambar.7. Graik ungsi keanggotaan Segitiga;, 6, Gambar.8. Graik ungsi keanggotaan Trapesium;, 6, 9, Gambar.9. Graik ungsi keanggotaan Gauss;8,8.... Gambar.. Graik ungsi keanggotaan Caucy;4,, Gambar.. Fungsi pengaburan Gambar.. Himpunan kabur ungsi-ungsi tegas Gambar.. Conto impunan pemaksimum Gambar.4. Himpunan pemaksimum dari ungsi sinus Gambar.5. Nilai maksimum dengan daera asal tegas Gambar.6. Nilai maksimum sebagai skalar Gambar.7. Nilai maksimum dari + dengan daera asal kabur.. 5 Gambar.8. Nilai maksimum cos dengan daera asal kabur... 5 iii

16 Gambar.9. Integral ungsi kabur dengan interval tegas Gambar.. Interval kabur.. 54 iv

17 BB I PENDHULUN. Latar Belakang Masala Dalam keidupan seari-ari sering kita jumpai gejala kekaburan, yaitu suatu impunan yang tidak mempunyai batasan yang jelas. Misalkan kita ambil conto dalam keidupan nyata, manusia dapat dibagi menjadi dua yaitu laki-laki dan perempuan. Batasan laki-laki dan perempuan adala jelas, tetapi tidak demikian dengan perempuan yang cantik dan perempuan tidak cantik. Himpunan perempuan yang cantik merupakan impunan dengan obyek-obyek yang keanggotaanya tidak dapat ditentukan dengan tegas karena impunan perempuan yang cantik dan impunan perempuan yang tidak cantik mempunyai batasan yang tidak jelas. Karena impunan perempuan yang cantik itu tergantung ole penilaian seseorang. Misalnya menurut nton mungkin Krisdayanti itu cantik sekali, tetapi menurut Budi itu mungkin anya biasa saja. Jadi tidak jelas mana yang merupakan anggota impunan dan mana yang bukan merupakan anggota impunan. Dengan adanya permasalaan yang tidak dapat diselesaikan dengan impunan tegas, maka diperlukan konsep impunan kabur. Konsep impunan kabur diperkenalkan ole Loti sker Zade, seorang guru besar di University o Caliornia, Berkeley, merika Serikat. Konsep impunan kabur tersebut memperluas konsep impunan tegas menjadi konsep impunan kabur. Dalam teori klasik, impunan dideinisikan sebagai suatu kumpulan obyek-obyek yang terdeinisi secara tegas, yaitu dapat ditentukan apaka obyek tersebut merupakan anggota im-

18 punan itu atau tidak. Himpunan tegas dapat dideinisikan menggunakan ungsi χ dengan nilai pada impunan {,},yang disebut ungsi karakteristik dari impunan. Di mana nilai ungsi dari χ adala: χ jika jika untuk setiap X. Dengan memperluas konsep ungsi karakteristik tersebut, impunan kabur dideinisikan dengan menggunakan ungsi keanggotaan, yang nilainya berada dalam selang tertutup [, ]. Seingga keanggotaan dalam impunan kabur tidak lagi merupakan sesuatu yang tegas, melainkan sesuatu yang berderajat secara kontinu. Dalam perkuliaan tela dipelajari konsep impunan tegas dan ungsi tegas, termasuk integral dan dierensial suatu ungsi. Dalam penulisan makala ini akan dibaas tentang apaka ungsi kabur serta jenis-jenisnya, penggunaan impunan pemaksimum dan peminimum, selain itu juga integral dan dierensial kabur. B. Rumusan Masala Permasalaan yang akan dibaas dalam tulisan ini dapat dirumuskan sebagai berikut. Jenis-jenis dari ungsi kabur dan pengertiannya?. pa yang dimaksud dengan impunan pemaksimum dan peminimum dan bagaimana menentukan nilai maksimumnya?. pa yang dimaksud integral dan dierensial kabur?

19 C. Batasan Masala Pembaasan masala dalam penulisan makala ini anya dibatasi pada teori ungsi kabur serta integral dan dierensial kabur. D. Tujuan Penulisan Penulisan makala ini bertujuan untuk memenui sala satu persyaratan untuk memperole gelar Sarjana Sains dalam bidang Matematika. Selain itu penulisan makala ini bertujuan untuk:. Memaami dan memperdalam tentang jenis jenis ungsi kabur dan pengertiannya.. Mengetaui apa yang dimaksud impunan pemaksimum dan peminimum.. Mengetaui apa yang dimaksud integral dan dierensial kabur. E. Metode Penulisan Penulisan makala ini menggunakan metode studi pustaka yaitu dengan mempelajari bagian materi dari buku-buku yang berkaitan dengan ungsi kabur. F. Manaat Penulisan Manaat yang diarapkan dalam penulisan makala ini adala:. Dapat memperdalam pemaaman mengenai ungsi kabur.. Dapat memperdalam pemaaman tentang impunan pemaksimum dan peminimum, serta integral dan dierensial kabur.

20 4 G. Sistematika Penulisan BB I Pendauluan Menjelaskan tentang latar belakang masala, perumusan masala, pembatasan masala, tujuan penulisan, metode penulisan, manaat penulisan serta sistematika penulisan. BB II Teori impunan kabur dan Fungsi Menguraikan tentang teori impunan kabur dan ungsi tegas. Dalam impunan kabur akan dibaas tentang pengertian dari teori kabur dan operasi- operasi dalam impunan kabur serta prinsip perluasan. Sedangkan dalam ungsi akan dibaas tentang penegertian dari ungsi, nilai maksimum dan minimum dari suatu ungsi, intergral dan dierensial. BB III Fungsi Kabur Menguraikan tentang masala yang diangkat dalam penulisan ini yaitu tentang ungsi kabur, yang di dalamnya berisi tentang pegertian dari ungsi kabur, jenis-jenis ungsi kabur, impunan pemaksimum dan peminimum serta menentukan nilai maksimum, integral dan dierensial kabur. BB IV Kesimpulan

21 BB II FUNGSI TEGS DN HIMPUNN KBUR. Fungsi Tegas Banyak conto yang terjadi dalam keidupan seari-ari di mana nilai suatu besaran bergantung pada nilai besaran lainnya. Misalnya balas jasa seseorang bergantung pada banyaknya jam kerja; jarak yang ditempu ole mobil bergantung pada waktu sejak bergerak dari suatu titik tertentu; taanan suatu kabel listrik dengan panjang tertentu bergantung pada garis tenganya, dan lain-lain. Hubungan di antara besaran-besaran tersebut dapat dinyatakan dengan suatu ungsi.. Pengertian Fungsi Suatu ungsi melibatkan tiga al, yaitu sebua impunan tak kosong yang disebut daera asal ungsi, sebua impunan tak kosong lainnya yang disebut daera kawan ungsi, dan suatu aturan pengaitan yang menentukan elemen dalam daera kawan yang dikaitkan dengan tiap elemen dalam daera asal. Deinisi. Fungsi adala suatu aturan pengaitan antara elemen-elemen dua impunan tak kosong, yaitu daera asal dan daera kawan ungsi, yang mengaitkan tiap elemen dalam daera asal dengan tepat satu elemen dari daera kawan. Dengan kata lain sebua ungsi memetakan tiap elemen di daera asal ke tepat satu elemen di daera kawan. 5

22 6 Fungsi biasanya disajikan dengan urur-uru seperti, g, F, φ, ψ. Jika elemen dalam daera asal, maka adala elemen dalam daera kawan yang dikaitkan dengan. Elemen ini dinamakan nilai ungsi di, atau peta dari. Himpunan semua nilai ungsi disebut daera nilai range dari ungsi itu. Daera nilai merupakan impunan bagian dari daera kawan. Suatu ungsi dapat ditulis sebagai berikut: :. Deinisi. Misalkan suatu ungsi ditentukan ole persamaan y, maka dinamakan variabel bebas independent variable atau argumen dari, sedangkan y dinamakan variabel tak bebas dependent variable. Suatu ungsi membangun impunan pasangan terurut, sedemikian seingga dalam tiap pasangan elemen yang pertama adala elemen daera asal ungsi dan elemen yang kedua adala nilai ungsi itu yang berkaitan dengan elemen pertama tersebut. Sekarang akan kita deinisikan operasi-operasi pada ungsi, yaitu operasi jumla, selisi, asil kali, dan asil bagi dari ungsi-ungsi.

23 7 Deinisi. Diberikan dua bua ungsi dan g dengan daera asal dan daera kawan B yang merupakan impunan semua bilangan real. Maka i. + g + g ii. g g iii.. g. g iv., g g g untuk setiap. Deinisi.4 ndaikan suatu ungsi dari ke B dan g adala ungsi dari B ke C. Komposisi ungsi dari dua ungsi itu adala ungsi g o dari ke C yang dideinisikan sebagai berikut g o g untuk setiap. Conto. Misalkan diberikan daera asal adala impunan semua bilangan real tak negati dan daera asal dari g adala impunan semua bilangan asli. Fungsi dan g dideinisikan ole dan g 4 tentukan F jika F o g, dan tentukan daera asal F.

24 8 Jawab: F o g g 4 4 Jadi daera asal F adala impunan bilangan real sedemikian seingga 4, yaitu semua bilangan real dalam selang [, ].. Nilai Maksimum dan Minimum Fungsi Deinisi.5 Misalkan [a, b] adala daera asal ungsi yang memuat titik c dan B daera kawan ungsi adala impunan semua bilangan real. Fungsi dikatakan mempunyai nilai maksimum relati di c jika c untuk semua di. Gambar. menunjukkan sebagian graik suatu ungsi yang mempunyai nilai maksimum di c. Gambar.. Fungsi yang mempunyai nilai maksimum relati di c

25 9 Deinisi.6 Misalkan [a, b] adala daera asal ungsi yang memuat titik c dan B daera kawan ungsi adala impunan semua bilangan real. Fungsi dikatakan mempunyai nilai minimum relati di c jika c untuk semua di. Gambar. menunjukkan sebagian graik suatu ungsi yang mempunyai nilai minimum di c. Gambar.. Fungsi yang mempunyai nilai minimum relati di c Bila suatu ungsi mempunyai nilai maksimum relati atau nilai minimum relati di c, maka dikatakan mempunyai nilai ekstrim relati di c.. Dierensial Deinisi.7 Diberikan ungsi dengan daera asal dan daera kawan impunan bilangan real. Turunan ungsi adala ungsi yang nilainya untuk sebarang elemen adala lim Δ + Δ Δ jika limit itu ada dan Δ adala pertambaan sebarang nilai.

26 Jika suatu ungsi mempunyai turunan di, maka ungsi tersebut dikatakan terdierensialkan terturunkan di. Jika, y suatu titik pada graik, maka y, dan y juga digunakan untuk menyatakan turunan dari. Dengan ungsi dideinisikan y, dapat diperole Δ y + Δ di mana Δy adala pertambaan dari y dan menyatakan suatu perubaan nilai ungsi bila beruba sebesar Δ. Ole karena itu dapat diganti dengan: dy d Δy lim. Δ Δ dy d dinyatakan sebagai notasi turunan, dalam al ini berarti y, yaitu turunan d d dari y teradap. Pengambilan turunan dari adala pengoperasian pada yang mengasilkan. Seringkali kita memakai uru D untuk menunjukkan operasi ini, seingga dapat dituliskan D atau D. Teorema. Jika k dengan k suatu konstanta, maka Bukti:. + k k lim lim lim.

27 Teorema. Jika, dengan n bilangan bulat positi, maka n n n. Bukti: n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n... lim... lim lim lim n n. Teorema. Misalkan suatu ungsi, k suatu konstanta, dan g adala ungsi yang dideinisikan ole g k.. Jika ada, maka. k g. Bukti: k k k k g g g lim lim lim lim k. PLGIT MERUPKN TINDKN TIDK TERPUJI

28 Teorema.4 Misalkan dan g adala ungsi dan F adala ungsi yang dideinisikan ole g F +. Jika dan g ada, maka g F +. Bukti: g g g g g g F F F lim lim lim lim lim g +. Conto. Diberikan ungsi. Tentukan turunan dari ungsi tersebut. + Jawab:. + Teorema.5 Jika dideinisikan pada selang [a, b], mempunyai ekstrim relati di c, dan ada, maka c c. Bukti: Jika c nilai maksimum relati pada [a, b], maka atau ], [, b a c ], [, b a c. PLGIT MERUPKN TINDKN TIDK TERPUJI

29 Untuk < c atau - c < diperole c c. Jika limitnya ada, maka lim c c c. Untuk > c atau - c > diperole c c. Jika limitnya ada, maka lim c c c. Dari dan, diperole c. Jika c nilai minimum relati pada [a, b], maka ], [, b a c atau ], [, b a c. Untuk > c atau - c > diperole c c. Jika limitnya ada, maka lim c c c. Untuk < c atau - c < diperole c c. Jika limitnya ada, maka PLGIT MERUPKN TINDKN TIDK TERPUJI

30 4 lim c c c. 4 Dari dan 4, diperole c. Teorema.6 Jika kontinu pada selang [a, b] dan terdierensial pada selang a, b, sedangkan a b, maka ada bilangan c pada a, b sedemikian seingga c. Bukti: Karena kontinu pada selang [a, b], maka ungsi mempunyai nilai maksimum maupun nilai minimum pada [a, b]. Jika kedua nilai tersebut sama dengan, maka pada [a, b], akibatnya untuk semua dalam a, b. pabila sala satu nilai maksimum atau nilai minimum tidak sama dengan dan a b, maka nilai ekstrim tersebut dicapai pada suatu titik c a, b. Karena terdierensial pada selang a, b, maka menurut Teorema.5 c. Teorema.7 Jika kontinu pada selang [a, b] dan terdierensial pada titik-titik dalam a, b, maka terdapat bilangan c dalam a, b sedemikian seingga b a c. b a

31 5 Bukti: Gambar.. Fungsi s - g Misalkan ungsi s - g, dengan g adala garis yang melalui a, a dan b, b. Karena garis g ini mempunyai kemiringan b a/b - a dan melalui a, a, maka persamaannya adala a a b a b a g seingga a a b a b a s. Fungsi s kontinu dalam [a, b] karena merupakan selisi dua ungsi kontinu, dan sa sb. Fungsi s terdierensialkan dalam a, b, karena s mempunyai turunan di setiap titik dalam a, b yaitu a b a b s. Maka terdapat suatu bilangan, b a c sedemikian seingga c s. Jadi a b a b c a b a b c c s PLGIT MERUPKN TINDKN TIDK TERPUJI

32 6 b a c. b a 4. Integral Deinisi.8 Fungsi F disebut anti turunan dari ungsi pada suatu selang I jika untuk setiap I berlaku F. Pengintegralan merupakan cara untuk mendapatkan impunan semua anti turunan dari suatu ungsi yang diberikan. Pengintegralan tersebut dideinisikan sebagai berikut: d F + C dan disebut integral tak tentu, di mana menyatakan lambang integral dan C merupakan konstanta sembarang. Teorema.8 Misalkan r adala sebarang bilangan rasional kecuali, maka r+ r d + C. r + Bukti: r + r + r+ r D + C r + r.

33 7 Teorema.9 Misalkan suatu ungsi dan c suatu konstanta, maka Bukti: d] cd d D [ c c d c d. c. Teorema. Misalkan dan g mempunyai anti turunan, maka + g d g d d + d g d g d Bukti: D d g d] D d + [ + D g d + g. D [ d g d] D D D d + D d + D g d d D g d g d g.

34 8 Conto. Tentukan intergral dari ungsi + +. Jawab: Integral dari ungsi tersebut adala d d + + c. Misalkan sebua ungsi dideinisikan pada selang tertutup [a, b]. Pandang suatu partisi P pada selang [a, b] yang terdiri dari n selang bagian yang memakai titik-titik a < < <... < n < n b dan andaikan Δ. Pada tiap selang bagian, ], ambil sebarang titik i i i [ i i i yang disebut titik sampel untuk selang bagian ke-i. Conto partisi dapat diliat dalam Gambar.9 dengan n 6. Gambar.4. Sebua partisi dari [a, b] dengan titik-titik sampel i Bentuk jumlaan sebagai berikut R p n i Δ i i yang disebut jumla Riemann untuk dengan partisi P.

35 9 Deinisi.9 Misalkan ungsi dideinisikan pada selang tertutup [a, b]. Jika i n i i P Δ lim ada, maka ungsi dikatakan terintegralkan pada [a, b], di mana P yang disebut norma P, adala panjang selang bagian yang terpanjang dari partisi P. Selanjutnya, i n i i P b a d Δ lim disebut integral tentu ungsi dalam [a, b]. Teorema. Integral tentu ungsi dalam [a, b] adala a F b F d b a di mana F adala anti turunan dari ungsi. Bukti: Misalkan b a P n n i < < < < <... : adala sebarang partisi dari [a, b], maka ]. [ n i i i n n n n F F F F F F F F a F b F Menurut Teorema.6, terdapat, i i i sedemikian seingga F F F i i i i i i Δ. PLGIT MERUPKN TINDKN TIDK TERPUJI

36 Jadi F b F a i Δ. pabila kedua ruas diambil limitnya untuk n i n b P i a P, maka diperole F b F a lim i Δ d. Conto.4 Diketaui ungsi +. Hitunga integral tentu dari ungsi tersebut dalam interval [, ]. Jawab: + d B. Himpunan Kabur. Pengertian Himpunan Kabur Kita tela mengenal impunan tegas, yaitu impunan yang terdeinisi secara tegas dalam arti bawa untuk setiap elemen dalan suatu semesta pembicaraan selalu dapat ditentukan secara tegas apaka elemen tersebut termasuk anggota impunan itu atau tidak. da batas yang tegas antara elemen yang termasuk anggota dan yang tidak termasuk anggota impunan itu. Suatu impunan tegas dapat dinyatakan dalam ungsi karakteristik, yaitu ungsi dari semesta X ke dalam im-

37 punan {,}. Suatu impunan dalam semesta X dapat dinyatakan dengan ungsi karakteristik χ : X {, } yang dideinisikan dengan χ jika jika untuk setiap X. Sedangkan dalam impunan kabur, keanggotaannya dideinisikan dengan menggunakan suatu ungsi yang menyatakan derajat kesesuaian antara elemenelemen dalam semesta dengan konsep yang merupakan syarat keanggotaan impunan tersebut. Fungsi itu disebut ungsi keanggotaan, sedangkan nilai ungsinya disebut derajat keanggotaan suatu elemen dalam impunan itu. Derajat keanggotaan itu dinyatakan dengan suatu bilangan real dalam interval tertutup [,]. Deinisi. Suatu impunan kabur dalam semesta X adala impunan yang mempunyai ungsi keanggotaan yang dinyatakan dalam pemetaan μ dari X ke interval [,], ditulis: μ : X [,]. Nilai ungsi μ menyatakan derajat keanggotaan elemen X dalam impunan kabur. Nilai ungsi sama dengan menyatakan keanggotaan penu, sedangkan nilai ungsi sama dengan menyatakan sama sekali bukan anggota dari impunan kabur tesebut. Ole karena itu impunan tegas dapat dipandang sebagai kejadian kusus dari impunan kabur, yaitu impunan kabur yang ungsi keanggotaanya anya mempunyai nilai atau saja.

38 Himpunan kabur dalam semesta X dapat dinyatakan sebagai impunan pasangan terurut, yaitu {, μ X} di mana μ adala ungsi keanggotaan dari impunan kabur. pabila semesta X adala impunan yang kontinu, maka impunan kabur dapat dinyatakan dengan μ / X di mana bukan merupakan lambang integral, tetapi melambangkan impunan semua elemen X bersama dengan derajat keanggotaanya dalam impunan kabur. Sedangkan bila semesta X adala impunan yang diskret, maka impunan kabur dapat dinyatakan dengan μ / X di mana bukan merupakan lambang operator jumla, tetapi melambangkan impunan semua elemen X bersama dengan derajat keanggotaanya dalam impunan kabur. Conto.5 Dalam semesta X{-, -, -,,,, }, adala impunan bilangan bulat yang dekat dengan nol dapat dinyatakan dengan μ X /./- +./- +.5/- + / +.5/ +./ +./.

39 Deinisi. Pendukung dari impunan kabur adala impunan tegas yang memuat semua elemen semesta yang memiliki derajat keanggotaan taknol dalam, yang dilam- bangkan dengan Pend, dinyatakan dengan Pend { X μ > }. Himpunan kabur disebut impunan kabur elemen tunggal bila pendukungnya adala impunan dengan elemen tunggal singleton. Deinisi. Tinggi dari impunan kabur, dilambangkan dengan Tinggi, adala Tinggi sup { μ }. Himpunan kabur yang tingginya sama dengan disebut impunan kabur normal, sedangkan yang tingginya kurang dari disebut impunan kabur subnormal. X Deinisi. Titik silang suatu impunan kabur adala elemen dari semesta pembicaraan impunan kabur itu yang mempunyai derajat keanggotaan sama dengan.5. Deinisi.4 Teras dari impunan kabur adala impunan dari semua elemen dari semesta pembicaraan yang mempunyai derajat keanggotaan sama dengan, yang dilam- bangkan dengan Teras, yaitu

40 4 Teras { X μ }. Deinisi.5 Pusat dari impunan kabur dideinisikan sebagai berikut: Jika nilai purata dari semua titik di mana ungsi keanggotaan impunan kabur itu mencapai maksimum adala beringga, maka pusat impunan kabur itu adala nilai purata tersebut. Jika nilai puratanya takingga positi atau negati, maka pusat impunan kabur itu adala yang terkecil atau terbesar di antara semua titik yang mencapai nilai ungsi keanggotaan maksimum. Conto.6 Himpunan kabur dalam Conto.5 di atas Pend {-, -, -,,,, } Tinggi Titik silang dari adala - dan Teras {} Pusat dari adala. Deinisi.6 Dua bua impunan kabur dan B dalam semesta X dikatakan sama, dinotasikan dengan B, bila dan anya bila μ μ B

41 5 untuk setiap X. Deinisi.7 Himpunan kabur disebut impunan bagian dari impunan kabur B, dinotasikan dengan B, bila dan anya bila μ μ B untuk setiap X. Conto.7 Dalam semesta X {,,,4,5,6,7}, dideinisikan impunan kabur sebagai berikut:./ +./ +.5/ +./4 +.5/5 +./6 +./7 B./ +.4/ +./4 +.4/5 +./6 maka B.. Fungsi Keanggotaan Himpunan kabur dinyatakan dengan ungsi keanggotaan. da beberapa cara untuk menyatakan impunan kabur dengan ungsi keanggotaannya. Untuk impunan ingga diskret, dengan menggunakan cara datar, yaitu mendatar anggota-anggota impunan dengan derajat keanggotaannya. Misalnya dalam semesta X {ndi, Budi, Iwan, Nanda, nton}yang terdiri dari anak-anak dengan tinggi berturut-turut 75, 68, 7, 7, dan 69, impunan kabur

42 6 impunan anak-anak yang tinggi dapat dinyatakan dengan cara datar berikut ini:.9/ndi +.4/Budi +.6/Iwan +.7/Nanda +.5/nton. Sedangkan untuk impunan takingga yang kontinu, cara yang biasa dipakai adala cara analitik yaitu untuk merepresentasikan ungsi keanggotaan impunan kabur dalam suatu bentuk rumus matematis yang dapat dinyatakan dalam bentuk graik. Misalkan adala impunan kabur bilangan real yang dekat dengan 4, maka dapat dinyatakan dengan 4 e R / di mana μ e 4 merupakan ungsi keanggotaan yang digambarkan dalam bentuk graik berikut Gambar.5. Graik ungsi keanggotaan impunan kabur bilangan real yang dekat dengan 4

43 7 Bilangan 4 mempunyai derajat keanggotaan sama dengan, yaitu μ, sedangkan dan 5 mempunyai derajat keanggotaan.7, yaitu μ μ 5.7. Himpunan kabur bilangan real yang dekat dengan 4, juga dapat dinyatakan dengan ungsi keanggotaan berikut μ 5 graiknya adala sebagai berikut untuk 4 untuk 4 selainnya 5 Gambar.6. Graik ungsi keanggotaan impunan kabur bilangan real yang dekat dengan 4 Selanjutnya akan diperkenalkan beberapa impunan kabur dengan ungsi keanggotaan yang sering digunakan.

44 8 Fungsi keanggotaan impunan kabur disebut ungsi keanggotaan segitiga jika memiliki tiga parameter, yaitu a, b, c R dengan a < b < c, yang dinyatakan sebagai Segitiga ; a, b, c dengan aturan sebagai berikut: a untuk a b b a c Segitiga ; a, b, c untuk b c c b selainnya Fungsi keanggotaan itu juga dapat dinyatakan sebagai berikut: a c Segitiga ; a, b, c ma min,, b b c b Conto.8 Misalkan diketaui ungsi keanggotaan Segitiga;, 6, 5, maka graik ungsi keanggotaan tersebut adala Gambar.7. Graik ungsi keanggotaan Segitiga;, 6, 5

45 9 Fungsi keanggotaan impunan kabur disebut ungsi keanggotaan trapesium jika memiliki empat parameter, yaitu a, b, c, d R dengan a < b < c < d, yang dinyatakan sebagai Trapesium ; a, b, c, d dengan aturan sebagai berikut: a b a Trapesium ; a, b, c, d d d c untuk a b untuk b c untuk c d selainnya Fungsi keanggotaan itu juga dapat dinyatakan sebagai berikut: a c Trapesium ; a, b, c, d ma min,,,. b b c b Conto.9 Misalkan diketaui ungsi keanggotaan Trapesium;, 6, 9,5, maka graik ungsi keanggotaan tersebut adala Gambar.8. Graik ungsi keanggotaan Trapesium;, 6, 9,5

46 Fungsi keanggotaan impunan kabur disebut ungsi keanggotaan Gauss jika memiliki dua parameter, yaitu a, b R, yang dinyatakan dengan Gauss ; a, b jika memenui Gauss ; a, b e a b di mana a adala pusat dan b menentukan lebar dari ungsi keanggotaan tersebut. Gambar.5 merupakan graik sebua ungsi Gauss;8,8. Gambar.9. Graik ungsi keanggotaan Gauss;8,8. Fungsi keanggotaan impunan kabur disebut ungsi keanggotaan Caucy jika memiliki tiga parameter, yaitu a, b, c R, yang dinyatakan dengan Caucy ; a, b, c jika memenui Caucy ; a, b, c c + a b

47 di mana c merupakan pusat dan a menentukan lebar, dan b menentukan kemiringan slope di titik silang dari ungsi keanggotaan Caucy. Misalkan diberikan conto sebua ungsi keanggotaan Caucy;4,,8, diperliatkan dalam Gambar.6 berikut ini Gambar.. Graik ungsi keanggotaan Caucy;4,,8 Fungsi keanggotaan impunan kabur disebut ungsi keanggotaan Sigmoid jika memiliki dua parameter, yaitu jika memenui a, c R, dinyatakan dengan Sigmoid ; a, c Sigmoid + e ; a, c a c di mana a menentukan kemiringan ungsi keanggotaan sigmoid di titik silang c. Masi banyak ungsi-ungsi keanggotaan lain yang dapat dibuat untuk memenui keperluan dalam penerapan tertentu. Fungsi keanggotaan sangat penting dalam teori impunan kabur. Dalam setiap penerapan, arus disesuaikan

48 ungsi keanggotaan dari impunan kabur yang akan digunakan untuk menyatakan istila linguistik yang akan dipakai.. Operasi Pada Himpunan Kabur Dalam impunan kabur juga dikenal operasi-operasi antar impunan, seperti dalam impunan tegas. Karena impunan kabur dinyatakan dengan ungsi keanggotaan, maka operasi pada impunan kabur juga dinyatakan dengan menggunakan ungsi keanggotaan. Misalkan dan B adala dua bua impunan kabur dalam semesta X. Deinisi.8 Komplemen dari impunan kabur adala impunan kabur ' dengan ungsi keanggotaan μ μ ' untuk setiap X. Deinisi.9 Gabungan dua bua impunan kabur dan B adala impunan kabur B dengan ungsi keanggotaan μ ma{ μ, μ } B B untuk setiap X.

49 Deinisi. Irisan dua bua impunan kabur dan B adala impunan kabur B dengan ungsi keanggotaan μ min{ μ, μ } B B untuk setiap X. Conto. Misalkan dalam semesta X {-, -,,,,, 4} diketaui impunan-impunan kabur Maka:./- +./- +.5/ +.7/ +.5/ +./4 B.4/- +./ +.8/ +.7/ +.4/4 '.8/- +.7/- +.5/ +./ +./ +.5/ B './- +.6/- +.7/ +./ +./ +./ +.6/4 B./- +.4/- +.5/ +.8/ +.7/ +.7/ +./4 B./- +./ +.5/ +.4/4 Operasi-operasi yang tela dideinisikan di atas, yaitu komplemen, gabungan, dan irisan dalam impunan kabur itu disebut operasi baku. Yang merupakan perampatan dari deinisi operasi-operasi bersesuaian pada impunan tegas.

50 4 4. Potongan-α dari Himpunan Kabur Untuk suatu bilangan α [, ], potongan-α dari suatu impunan kabur, yang dinotasikan dengan α, adala impunan tegas yang memuat semua anggota dari semesta dengan derajat keanggotaan dalam yang lebi besar atau sama dengan α, yaitu { X μ α}. α Sedangkan potongan-α kuat dari impunan kabur adala impunan tegas { X μ α}. α > Conto. Dari Conto. potongan-α dari impunan kabur, untuk α. 4 adala {,,,4} Prinsip Perluasan Misalkan diberikan suatu ungsi tegas : X Y, maka ungsi tersebut dapat diperluas menjadi ungsi : P X P Y, di mana P X dan PY berturut-turut adala impunan kuasa dari semesta X dan Y, yaitu dengan aturan :{ y Y y } untuk setiap PX. Demikian juga invers dari ungsi : X Y dapat diperluas menjadi ungsi : P Y P X dengan aturan B :{ X B}

51 5 untuk setiap B PY. Himpunan dan B juga dapat dinyatakan dengan menggunakan ungsi karateristik yaitu sebagai berikut: χ y sup { χ } y jika X y jika X y χ χ. B B Suatu ungsi tegas : X Y dikatakan dikaburkan bila ungsi itu diperluas menjadi ungsi : F X F Y, di mana F X dan FY berturut-turut adala impunan kuasa dari semesta X dan Y, yaitu impunan semua impunan kabur dalam X dan Y. Selain itu invers dari : X Y juga dapat dikaburkan dengan memperluasnya menjadi ungsi : F Y F X. Prinsip yang digunakan untuk mengaburkan ungsi tegas disebut dengan prinsip perluasan. Deinisi. Suatu ungsi tegas : X Y dapat dikaburkan dengan memperluas ungsi terse- but menjadi ungsi : F X F Y dengan aturan: F X, merupakan impunan kabur dalam FY dengan ungsi keanggotaan μ sup { μ } jika X y y y jika X y Invers dari ungsi tegas : X Y dapat dikaburkan dengan memperluas menjadi ungsi : F Y F X dengan aturan: B F Y, B merupakan impunan kabur dalam FX dengan ungsi keanggotaan

52 6 μ μ B B Misalkan adala suatu pemetaan satu-satu, maka ungsi keanggotaan impunan kabur adala μ μ y jika X y jika X y Jadi prinsip perluasan merupakan suatu prinsip yang mendasar dalam teori impunan kabur. Seingga dengan prinsip perluasan tersebut kita dapat mengaburkan konsep matematik yang tegas menjadi konsep yang kabur. Conto. Misalkan diberikan X {,,, 4, 5, 6} dan Y {7, 8, 9, }. Pemetaan : X Y dideinisikan sebagai berikut: 7, 9, Misalkan diberikan impunan kabur.6 /+. / +.7 / +.5/ 4 + / / 6 dan impunan kabur B./ /8 +.9 / 9 +.5/. Dengan prinsip perluasan diperole / 9 6 Jadi impunan kaburnya adala sup{.6 / 7 +. / 7}.6 / 7 sup{.5 / + / +.9 /} /.6 / / 9 + / B./+./ +.9 / +.5 / / / 6.

53 BB III FUNGSI KBUR Dalam bab ini akan diperkenalkan konsep ungsi kabur. Fungsi kabur terdiri dari ungsi tegas dengan kendala kabur dan ungsi yang mengaburkan. Himpunan pemaksimum dan peminimum juga diperkenalkan dan akan diaplikasikan untuk menentukan nilai maksimum dengan daera asal kabur pada ungsi tegas. Dalam bagian ini juga akan dibaas tentang integral dan dierensial kabur dengan conto-contonya.. Jenis-jenis Fungsi Kabur Fungsi kabur dapat diklasiikasikan dalam tiga kelompok, yaitu. Fungsi tegas dengan kendala kabur.. Fungsi tegas yang menularkan kekaburan dari variabel bebas ke variabel tidak bebas.. Fungsi pengaburan dengan variabel tegas.. Fungsi Tegas dengan Kendala Kabur Deinisi. Misalkan X dan Y adala impunan semesta tegas, dan : X Y adala suatu ungsi tegas. dan B adala impunan kabur yang berturut-turut dideinisikan dalam impunan semesta X dan Y. Jika ungsi memenui kondisi 7

54 8 μ μ X, maka disebut ungsi tegas dengan kendala kabur B pada daera asal dan daera asil B. Conto. Misalkan diberikan suatu ungsi y, dan ungsi mempunyai kendala kabur: Derajat keanggotaan μ dari dalam adala lebi kecil atau sama dengan μ y B dari y dalam B atau untuk setiap X. μ μ y B Jika derajat keanggotaan dari dalam adala a, maka derajat keanggotaan y dalam B tidak lebi kecil dari a. Conto. Diberikan dua impunan kabur {,.5,,.8} dan B {,.7,4,.9}, dan ungsi, maka ungsi memenui kondisi μ μ, X. B Diberikan ungsi-ungsi yang memenui kendala kabur : X Y, g : Y Z dan, B, dan C adala impunan kabur dalam X, Y, dan Z berturutturut. Komposisi kedua ungsi tersebut asilnya adala ungsi kabur

55 9 g o : X Z yang kondisinya adala μ μ g, X. C. Penularan Kekaburan ole Fungsi Tegas Deinisi. Fungsi perluasan kabur menularkan kekaburan dari variabel bebas ke variabel takbebas. Jika adala ungsi tegas dari X ke Y, ungsi perluasan kabur mendeinisikan bayangan kabur dal am Y dari impunan kabur dalam X, yaitu di mana y μ sup y μ jika y y adala bayangan invers dari y. jika φ y φ Conto.4 Misalkan ada suatu ungsi tegas +, dan {,.9,,.8,,.7,,. 6, 4,. 5} dan B [, ] Variabel bebas mempunyai kekaburan dan kekaburannya itu ditularkan ke impunan tegas B, seingga diperole impunan kabur B dalam B, yaitu B {,.9, 4,.8, 7,.7,,.6,,.5}.

56 4. Fungsi Pengaburan dengan Variabel Tegas Fungsi pengaburan dengan variabel tegas adala suatu ungsi yang mengasilkan bayangan dari daera asal tegas berupa suatu impunan kabur. Deinisi. Fungsi Pengaburan Tunggal Fungsi pengaburan dari X ke Y adala pemetaan dari X ke impunan kuasa ka- bur P Y : X PY yaitu pemetaan dari daera asal tegas ke daera asil yang elemen-elemennya adala impunan-impunan kabur. Conto.5 Diberikan du a impunan tegas {,, 4} dan B {,, 4, 6, 8, 9, }. Suatu ungsi kabur memetakan angg ota-anggota dalam ke impunan kuasa P B dengan aturan berikut ini B B, B, 4 di mana P B { B, B, B } dengan B {,.5, 4,,,.5}, 6 B {,.5, 6,, 9,.5}, dan B {4,.5, 8,,,.5 }. Secara detail, ubungan dalam peme taan tersebut disajikan dalam Gambar..

57 4 Gambar.. Fungsi pengaburan

58 4 Jika kita aplikasikan operasi potongan-α pada ungsi pengaburan tersebut, akan diperole : : {, 4, 6} {4} untuk α.5 untuk α dengan cara yang sama : : {, 6, 9} {6} untuk α.5 untuk α kemudian : 4 : 4 {4, {8} 8, } untuk α.5 untuk α Deinisi.4 Himpunan kabur ungsi-ungsi tegas dari X ke Y dideinisikan sebagai impunan kabur ungsi-ungsi tegas i i,..., n} dan dinotasikan sebagai {, μ : X Y, i,..., n} i i i i ungsi tegas pada X. Fungsi tersebut mengasilkan impunan kabur. Conto.6 Jika ungsi-ungsi tegasnya adala, dan, maka impunan kabur ungsiungsi tersebut dengan daera asal X {,, } adala {,,.4,,.7,,,.5} +

59 4 dari dari dari, diperole {,.4,,.4,,.4}, diperole {,.7, 4,.7, 9,.7}, diperole {,.5,,.5,,.5} maka dapat kita ringkas keluarannya sebagai berikut: {,.4,,.7,,.5} {,.5,,.7} {,.4, 4,.7,,.5} {,.4, 4,.7,,.5} {,.4, 9,.7,,.5} {,.4, 9,.7,,.5} Dapat kita liat bawa ungsi kabur tersebut memetakan ke dengan derajat keanggotaan.4 dengan memakai ungsi, ke 4 dengan derajat keanggotaan.7 memakai ungsi, dan ke dengan derajat keanggotaan.5 dengan ungsi. Hasil tersebut digambarkan ole di atas. Conto.7 Misalkan ada suatu impunan kabur dengan ungsi kontinu pada Gambar. {,.4,,.7,,.5},, + X [, ] Fungsi kabur tersebut memetakan.5 ke.5 dengan derajat keanggotaan.4 dengan memakai ungsi, ke.5 dengan derajat keanggotaan.7 dengan memakai, dan ke.5 dengan derajat keanggotaan.5 memakai. Jadi.5 {.5,.4,.5,.7,.5,.5}.

60 44 Gambar.. Himpunan kabur ungsi-ungsi tegas B. Ekstrim Kabur dari Fungsi. Himpunan Pemaksimum dan Peminimum Deinisi.5 Himpunan Pemaksimum Misalkan adala ungsi dengan nilai real dalam X dan nilai terbesar dan terkecil dari adala sup dan in berturut-turut. Himpunan pemaksimum M dideinisikan sebagai impunan kabur dengan ungsi keanggotaan in μ M, X sup in yaitu impunan pemaksimum M adala suatu impunan kabur dengan derajat keanggotaan X dideinisikan sebagai derajat kemungkinan mengasilkan nilai maksimum su p. Kemungkinan berada dalam M dideinisikan dari posisi normal relati dalam interval [in, sup ]. Interval [in, sup ] adala

61 45 daera asil yang mungkin dari. Himpunan peminimum dari dideinisikan sebagai impunan pemaksimum dari. Conto.8 Misalkan suatu ungsi Gambar. dengan interval nilai sebagai berikut [in,sup ] [, ],. Jika 5, maka 5. Derajat keanggotaan dari 5 dalam impunan pemaksimum M dapat diitung sebagai berikut: μ M Jika 8, maka 9, dan μ M 5 5 / 5/ / 9 /.9 μ M menyatakan kemungkinan mengasilkan nilai maksimum dari. Dapat dikatakan bawa 5 dan 8 mengasilkan nilai maksimum dengan kemungkinan.5 dan.9 berturut-turut. Gambar.. Conto impunan pemaksimum

62 46 Conto.9 Diberikan suatu ungsi sin π seperti dalam Gambar.4. Himpunan pemaksimum M dari ungsi tersebut mempunyai ungsi keanggotaan μ M sin insin supsin insin sin sin + sin + Jika π, maka sinπ. Kemungkinan bawa adala nilai maksimum dari ungsi sinus adala. a sin b Himpunan pemaksimum M Gambar.4. Himpunan pemaksimum dari ungsi sinus

63 47. Nilai Maksimum dari Fungsi Tegas a. Daera sal Tegas Misalkan adala nilai variabel bebas yang membuat ungsi mencapai nilai maksimum dalam daera asal D. Kita dapat menggunakan impunan pemaksimum M untuk menemukan nilai, yaitu adala elemen yang membuat μ M menjadi nilai maksimum: μ M sup μ D μ M adala ungsi keanggotaan impunan pemaksimum. Nilai maksimum dari adala. μ dapat ditulis sebagai berikut dengan daera asal D suatu impunan tegas: M μ sup μ M D sup min[ μ, μ ]. X M Peratikan bawa daera asal D digantikan ole impunan semesta X dalam rumus di atas. Kemungkinan berada dalam D dinotasikan dengan μ D. M M D Conto. Diberikan suatu ungsi dan daera asalnya: cos, D [, π ] μ M cos incos supcos incos cos cos + cos +

64 48 μ D untuk π selainnya Nilai maksimum dicapai di di mana μ M sup min[ μ, μ ] π sup μ π M untuk M D atau π. Maka nilai maksimum dicapai ketika atau π. Gambar.5. Nilai maksimum dengan daera asal tegas b. Daera sal Kabur Sekarang dibaas cara mendapatkan nilai maksimum jika daera asalnya dideinisikan dalam impunan kabur. gar mencapai nilai maksimum di, dua kondisi berikut arus dipenui: - μ M maksimum - μ D maksimum

65 49 Elemen yang mengasilkan nilai maksimum arus memenui dua kondisi di atas. Kemungkinan mengasilkan nilai maksimum dari ditentukan ole minimum dari μ M dan D μ yaitu: Titik min[ μ M, μ D ]. yang membuat ungsi menjadi maksimum dideinisikan sebagai berikut: sup min[ μ, μ ] X M D di mana μ M adala ungsi keanggotaan impunan pemaksimum dan μ D adala ungsi keanggotaan daera asal kabur Gambar.6. Perbandingan dengan dalam Gambar.6, kemungkinan mengasilkan maksimum untuk lebi besar dari : > atau μ > μ. M M Tetapi karena μ jau lebi kecil dari pada μ, maka dipili D sebagai nilai maksimum. D Gambar.6. Nilai maksimum sebagai skalar

66 5 Conto. Diberikan suatu ungsi dengan daera asal kabur Gambar.7: +, D μ D untuk yang lainnya Fungsi keanggotaan impunan pemaksimum: + μ M +. Dari persamaan sup min[ μ, μ ] X M D titik diperole ketika μ M μ + D,.6 Maka kita mempunyai nilai maksimum.4 untuk. 6.

67 5 Gambar.7. Nilai maksimum dari + dengan daera asal kabur Conto. Misalkan diberikan suatu ungsi tegas dan daera asal kaburnya D: cos, seperti dalam Gambar.8. Maka D min[, ] untuk π μ D π untuk lainnya μ M cos + ma min[ μ, μ ] X M D diperole ketika π dan. Gambar.8. Nilai maksimum cos dengan daera asal kabur C. Integral dan Dierensial Fungsi Kabur. Integral Sekarang kita akan membaas integral ungsi kabur pada interval tegas dan pada interval kabur.

68 5 a. Integral Fungsi Kabur pada Interval Tegas Deinisi.6 Integral Fungsi Kabur Dalam interval tegas [ a, b], misalkan ungsi kabur mempunyai nilai kabur untuk [ a, b]. Integral I a, b dari ungsi kabur dalam [ a, b] dideinisikan sebagai berikut I a, b { b a α d + b a + α d, α α [, ]} + di mana dan adala ungsi potongan-α dari. Tanda + dalam rumus α α di atas menggambarkan keseluruan unsur-unsur dalam impunan kabur, bukan penjumlaan aritmetika. Selanjutnya, integral total diperole dengan mengumpulkan semua integral dari setiap ungsi potongan-α. Jika kita mengerjakan operasi potongan-α untuk ungsi kabur, diperole α atau + α seingga kita dapat mengitung integral dari masing-masing ungsi itu: b I α α d dan + α a b + I α a d Jadi dapat dikatakan bawa kemungkinan integral total I a, b adala α. I atau I + α α adala anggota dari Conto. Misalkan ada suatu impunan kabur dari ungsi-ungsi dan kita akan mengitung integralnya pada [, ]:

69 5 {,.4,,.7,,.4} X [, ],, + i. Untuk α.7 I α, d 7 Hasil integralnya adala 7 dengan kemungkinan.7 7 Maka I.7, {,.7}. ii. Untuk α.4 ada dua ungsi + + I I α α,, d + d + 5 Hasil integralnya adala dengan kemungkinan.4 dan 5 dengan kemungkinan.4. Maka I,.4 seingga kita mempunyai integral total 5 {,.4,,.4}

70 I, {,.7,,.4,,.4}. Gambar.9. Integral ungsi kabur dengan interval tegas b. Integral Fungsi Tegas pada Interval kabur Selanjutnya akan diuraikan integral ungsi tegas pada interval kabur [, B] yang batasnya ditentukan ole dua impunan kabur dan B Gambar.. Gambar.. Interval kabur

71 55 Deinisi.7 Integral pada interval kabur Integral I, B dari ungsi tegas pada interval kabur [, B] dideinisikan sebagai berikut μ, ma min[ μ, μ B ]. I a b, y y z u du Conto.4 Berikut ini ditunjukkan integral dari ungsi pada interval kabur [, B]. {4,.8, 5,, 6,.4} B {6,.7, 7,, 8,.}, [4, 8] B I, B d d Liat Tabel.. Diperole integral I, B. B

72 56 Tabel.. Integral Kabur [, B] b a d min[ μ a, μ b] B [4, 6] 4.7 [4, 7] 6.8 [4, 8] 8. [5, 6].7 [5, 7] 4 [5, 8] 6. [6, 6].4 [6, 7].4 [6, 8] 4. I, B {,.4,,.7, 4,, 6,.8, 8,.} Sebagai conto, integral dalam [6, 6], diperole sebagai nilai integral dengan kemungkinan.4. Sedangkan dalam interval [5, 6] dan [6, 7], diperole nilai integral dengan kemungkinan.7 dan.4. Jadi kemungkinan nilai integralnya adala ma[.7,.4].7.. Dierensial

73 57 Selanjutnya akan diperkenalkan dierensial ungsi tegas pada interval kabur. Deinisi.8 Dierensial pada impunan kabur Dengan prinsip perluasan, dierensial dari ungsi tegas pada impunan kabur dideinisikan sebagai berikut μ y ma μ. y Conto.5 Misalkan ungsi, maka dierensial dari ungsi tersebut pada impunan kabur {-,.4,,,,.6}: {,.4,,, {,,,.6}.,.6} Conto.6 Diberikan suatu ungsi kabur {,.4,,.7,,.4},, + Kita perole

74 58,.5.5, jika α.4 jika α jika α.4 d d {,.4,,.7,.75,.4} {,.7,.75,.4}. D. Soal soal. Tunjukkan bawa ungsi berikut y,, y B {,.5,,.4} B {4,.4,,.5, 7,.5} memenui kondisi μ μ y. B Jawab: Untuk, maka y, sedangkan μ.5 dan μ.5. B Jadi μ μ y. Untuk, maka y 7, sedangkan μ.4 dan μ 7.5. B B Jadi μ μ y. B Jadi ungsi memenui kondisi μ μ y. B. Tunjukkan bawa ungsi berikut adala suatu ungsi pengaburan.

75 59 : P B di mana {,, }, B {,,, 4, 6}, P B B, B, B} B B B B {,.9,,.5} B {,.5, 4..9} B {,., 6,.5} Jawab: Fungsi adala ungsi pengaburan, sebab : B {,.9,,.5} : B {,.5, 4,.9} : B {,., 6,.5}. Jadi menurut deinisi. ungsi tersebut adala ungsi pengaburan.. Diberikan impunan kabur ungsi-ungsi tegas dengan daera asal X {,, 4}: +,, {,.4,,.5,,.9}. + Tentukan,, 4. Jawab:

76 6 Untuk, maka, 4, 5 Untuk, maka 4, 9, Untuk 4 maka 4 5, 4 6, 4 7 Jadi {,.4, 4,.5, 5,.9} {4,.4, 9,.5,,.9} 4 {5,.4, 6,.5, 7,.9}. 4. Diberikan suatu ungsi, D [, ]. Tentukan impunan pemaksimum kabur dan impunan peminimum kabur, dan itung kemungkinan dalam setiap impunan tersebut. Jawab: a. Himpunan pemaksimum kabur adala impunan kabur M dengan ungsi keanggotaan μ M in sup in Untuk nilai kemungkinannya adala

77 6 μ M b. Himpunan peminimum kabur adala impunan kabur M dengan ungsi keanggotaan μ M in sup in Untuk nilai kemungkinannya adala μ M Tentukan impunan pemaksimum kabur dan impunan peminimum kabur dari π cos, dan tentukan kemungkinan dan π mengasilkan nilai maksimum dan minimum. Jawab: a. Himpunan pemaksimum kabur

78 6 μ M in sup in cos cos + cos + Untuk π nilai kemungkinannya adala μ M π π cos + dan untuk μ M π nilai kemungkinannya adala π cosπ + +. b. Himpunan peminimum kabur μ M in sup in cos cos cos + +. Untuk π nilai kemungkinannya adala

79 6 μ M π dan untuk μ M cos π + π nilai kemungkinannya adala π cosπ Hitungla nilai maksimum dari ungsi berikut a. di mana D [, ], μ. b. di mana D [, ], μ D D Jawab: a., di mana D [, ], μ. D in μ M sup in Nilai maksimum dicapai di titik di mana μ M sup min[ μ, μ ] sup min[,] sup[ untuk M. Jadi kita perole nilai maksimum untuk. D ]

80 64 b., di mana D [, ], μ D. Dari soal di atas tela didapatkan μ M. Nilai maksimum dicapai di titik di mana μ M μ D atau Jadi nilai maksimum dicapai untuk. 7. Misalkan diberikan ungsi +. Integralkan ungsi tersebut dalam interval [, B], di mana {,.5,,.9}dan B {8,., 9,.5}. Jawab: +, [, 9] B B d + I, B d Tabel.. Integral Kabur dari ungsi + [ a, b] + b a min[ μ a, μ b] B [, 8] [, 9]

81 65 [, 8] 74. [, 9] 47.5 Seingga diperole I, B {74,., 77,., 47,.5, 5,.5}. 8. Diberikan ungsi 5 +. Dierensialkan ungsi tersebut pada impunan kabur {,.5,,.9,,.}. Jawab: 5 + Jadi {,.5,,.9,,.}. 9. Diketaui impunan kabur dari ungsi-ungsi tegas {,.4,,.9,,.5, 4,.4}

82 66 D [, ] +,, Tentukan impunan kabur dan. + Jawab: Untuk, maka Untuk, maka Jadi diperole impunan-impunan kabur dan yaitu {,.4, 5,.9,.5,.5, 5.5,.4} {4,.4,,.9,,.5, 5,.4}.

83 67. Tentukan impunan pemaksimum kabur M dan nilai maksimumnya dari ungsi berikut: Jawab: μ M sin +, μ D π D untuk π untuk lainnya sin + insin + supsin + insin + sin + sin + Nilai maksimum dicapai dititik di mana μ M sin μ D + π π sin Jadi nilai maksimum dicapai untuk π. +. Diketaui ungsi kabur dengan {,.4,,.5,,.4, 4,.9}, D [, ] +, +, 4 Hitungla integral dari ungsi tersebut dalam [, ]. Jawab:

84 68 a. Intrgral untuk α. 5 : I, d.5 Jadi integralnya adala dengan kemungkinan.5. b. Intrgral untuk α. 9 : 4 I, d 6.9 Jadi integralnya adala 6 dengan kemungkinan.9. c. Intrgral untuk α. 4 ada dua ungsi: + + I I, + d + 5.4, + d Jadi integralnya adala 6 dengan kemungkinan.4, dan dengan kemungkinan.4. Maka integral totalnya adala I, {6,.4,,.5, 6,.9,,.4}.

85 69. Diberikan suatu ungsi kabur dengan {,.5,,.9,,.5} +, + +,. Dierensialkan ungsi tersebut di. Jawab: +, + +,, +, Dierensial ungsi untuk adala dengan α.5 dengan α.9 dengan α.5 d {4,.5, 6,.9,,.5}. d

86 BB IV KESIMPULN Fungsi kabur dapat diklasiikasikan dalam tiga kelompok, yaitu ungsi tegas dengan kendala kabur, ungsi tegas yang menularkan kekaburan dari variabel bebas ke variabel tak bebas, dan ungsi pengaburan dengan variabel tegas. Fungsi tegas dengan kendala kabur adala suatu ungsi yang memenui kondisi μ μ X, di mana X dan Y adala impuan semesta tegas dan B dan B adala impunan kabur yang dideinisikan dalam semesta tegas tersebut. Fungsi perluasan kabur menularkan kekaburan dari variabel bebas ke variabel tak bebas. Jika adala ungsi tegas dari X ke Y, maka ungsi perluasan kabur mendeinisikan bayangan kabur dalam Y dari impunan kabur dalam X, yaitu μ sup y y μ jika jika y φ y φ di mana adala bayangan invers dari y. Sedangkan ungsi pengaburan dengan variabel tegas adala suatu ungsi yang mengasilkan bayangan dari daera asal tegas berupa suatu impunan kabur. Untuk menentukan nilai maksimum ungsi tegas dengan daera asal tegas maupun kabur dipakai impunan pemaksimum dan impunan peminimum. Himpunan pemaksimum M dideinisikan sebagai impunan kabur dengan ungsi keanggotaan 7

87 7 in μ M, X. sup in Himpunan pemaksimum M tersebut adala suatu impunan kabur dengan derajat keanggotaan X dideinisikan sebagai derajat kemungkinan mengasilkan nilai maksimum sup. Sedangkan impunan peminimum dari dideinisikan sebagai impunan pemaksimum dari. Nilai maksimum dari ungsi tegas adala, di mana suatu titik yang membuat ungsi mencapai nilai maksimum dalam daera asal tegas D. Dengan impunan pemaksimum M dapat ditemukan nilai, yaitu elemen yang membuat μ M mencapai nilai maksimum: μ sup μ M D sup min[ μ, μ ]. X M Sedangkan nilai maksimum dari ungsi tegas dalam daera asal kabur dicapai M D ketika ada titik sebagai yang membuat ungsi menjadi maksimum yang dideinisikan sup min[ μ, μ ] X M D di mana μ M adala ungsi keanggotaan impunan pemaksimum dan μ D adala ungsi keanggotaan daera asal kabur. Integral ungsi kabur diklasiikasikan dalam dua kelompok, yaitu integral ungsi kabur pada interval tegas dan integral ungsi kabur pada interval kabur. Integral ungsi kabur dalam interval tegas [a, b] dideinisikan sebagai b I a, b { a d + a b a + a d, α α [,]}

88 7 + di mana dan adala ungsi potongan-α dari. Integral total diperole a a dengan mengumpulkan semua integral dari setiap ungsi potongan-α. Selanjutnya integral I, B dari ungsi tegas pada interval kabur [, B] dideinisikan sebagai berikut μ, ma min[ μ, μ B ]. I B, y y z u du Sedangkan dierensial dari ungsi tegas pada impunan kabur dideinisikan sebagai berikut μ ma μ. y

89 7 DFTR PUSTK Baisuni, H. M. Hasyim Kalkulus. Jakarta: Penerbit Unversitas Indonesia. Lee, Kwang H. 5. First Course on Fuzzy Teory and pplications. New York: Springer Verlag. Purcell, J. Edwin. and Varberg, Dale Kalkulus dan Geometri nalitis. Jakarta: Erlangga. Susilo, F.. Pengantar Himpunan dan Logika Kabur serta plikasinya. Yogyakarta: Penerbit Universitas Sanata Darma. Zimmermann, H.-J. 99. Fuzzy Set Teory and Its pplications. Boston: Kluwer cademic Publiser.