REPRESENTASI DAN TEORI APOS UNTUK MENGEKSPLORASI PEMAHAMAN MATEMATIKA MAHASISWA PADA KONSEP LIMIT

Transkripsi

1 1 REPRESENTASI DAN TEORI APOS UNTUK MENGEKSPLORASI PEMAHAMAN MATEMATIKA MAHASISWA PADA KONSEP LIMIT Disusun ole: Ela Nurlaela Jurusan Pendidikan Matematika UNIVERSITAS PENDIDIKAN INDONESIA A. Pendauluan Penelitian pemaaman maasiswa untuk suatu konsep matematika dapat didekati melalui pembagian pengetauan menjadi bagian-bagian yang bermakna yaitu pengetauan prosedural dan pengetauan konseptual (Hiebert & Carpenter, 1992; Hiebert & Lefervre, 1986). Sala satu cara melakukan ini adala dengan memperatikan langka-langka proses konstruksi suatu konsep dengan menggunakan Teori APOS (Asiala, M. et al 1997; Cottrill, et al 1996). Teori APOS tela terbukti berguna untuk mendisain pembelajaran, sebagai conto, Asiala et.al (1997) dan Repo (1996) menemukan bawa maasiswa yang mempelajari Konsep Turunan yang dirancang dengan menggunakan Teori APOS lebi berasil daripada maasiswa dari kelompok tradisional. Teori APOS juga digunakan dalam menganalisa pemaaman maasiswa. Sebagai conto Santos dan Tomas (2003) tela mengkonstruksi suatu kerangka kerja berdasarkan representasi untuk mengetaui Konsep Turunan secara representasi simbolik, representasi grafik, dan representasi numerik yang dibagi menjadi orentasi prosedur, orentasi process, orentasi object, orentasi concept, dan dimensi pengetauan yang luas. Tetapi maasiswa mungkin berada pada tingkat yang dan representasi yang berbeda dan ubungan antara representasi adala komponen utama dalam pemaaman sebagaimana dikemukakan dalam kerangka kerja Santos dan Tomas (2003). Dengan demikian penelitian mengenai pemaaman arus juga bertujuan untuk pada pendugaan representasi internal dan kaitan-kaitan diantara mereka (Goldin, 1998; Goldin & Kaput, 1996). Penelitian ini mengeksplorasi pemaaman maasiswa tentang turunan dengan menggunakan pendekatan yang dikemukakan di atas dan fokusnya anya

2 2 pada representasi dari limit pada pembagian selisi. Analisis awal dari presentasi yang lain dilaporkan ole Hakioniemi (2004) dan aturan dari representasi ini dalam pembelajaran turunan didiskusikan dalam Hakioniemi. B. Pemaaman dalam Matematika Menurut Hiebert dan Carpenter (1992) dan Hiebert dan Lefevre (1986), Pengetauan Konseptual adala pengatuan yang diubungkan dengan bagian yang lain dari pengetauan, dan pemilik pengetauan itu juga mengetaui ubungan-ubungannya. Hubungan antara bagian-bagian pengetauan sepenting bagian-bagina itu sendiri. Pengetauan Prosedural terdiri dari baasa formal, aturan-aturan, algoritma, dan prosedur matematika yang digunakan untuk menyelesaikan persoalan-persoalan matematika (Hiebert & Lefevre, 1986). Objekobjek dari tindakan prosedur dapat dismbolkan atau tidak. Demikian juga koneksi dalam pengetauan prosedural, tetapi koneksi ini berbentuk linier dan anya mengindikasikan bawa suatu langka mengikuti yang lainnya. Seingga memungkinkan untuk mempelajari prosedurnya dengan diafal di luar kepala, tetapi belajar prosedur dengan bermakna diubungkan dengan pengetauan kenseptual. Menurut Hiebert dan Lefevre (1986), koneksi antara pengetauan konseptual dan pengetauan prosedural dapat meningkatkan pembelajaran dari kedua pengetauan tersebut. Dalam penelitian ini, konsep representasi digunakan untuk memperole pemaaman mendalam pada pengetauan konseptual. Representasi adala sesuatu yang menyajikan sesuatu dan dapat eksternal atau internal (Goldin & Kaput, 1996). Tindakan representasi adala kompleks dan sering sulit untuk dikatakan apa yang sedang direpresentasikan dan apa yang direpresentasikan (Goldin & Kaput, 1996). Representasi internal dapat dipikirkan menjadi asosiasi mental dari sesuatu (Dreyfus, 1991). Menurut Goldin (1998) sitem internal representasi dapat menjadi a) verbal/ sintatik, b) dibayangkan, c) notasi formal, d) strategi dan euristik, dan e) afektif. Suatu konsep dipelajari ketika bermacam-macam representasi internal yang bersesuaian tela dibangun dengan ubungan fungsional diantaranya (Goldin, 1998). Juga Deyfrus (1991) menekankan representasi internal penting berubungan secara kuat sedemikian seingga dalam problem solving seseorang dapat secara mair beruba dari suatu representasi ke representasi yang lain. Tapi tidak begitu

3 3 banyak literatur atau penelitian bagaimana kaitan antara representasi-representasi itu dan kaitan yang mana yang lebi berguna antara yang satu dengan yang lainnya. Meskipun demikian, menurut Goldin dan Kaput )1996,. 401), dapat diubungkan antara dua representasi eksternal, antara dua representasi internal, atau representasi eksternal dan internal sedemikian seingga yang satu merepresentasikan yang lainnya. Goldin dan Kaput (1996) juga menganalisa kaitan antara beberapa representasi. Menurut mereka, dua representasi eksternal tidak bole diubungkan secara fisik tetapi bisa diubungkan secara internal dalam pikiran seseorang yang mengasilkan atau membacanya. Kaitan itu lema jika individu anya dapat memprediksi, mengidentifikasi, atau mengasilkan representasi eksternal lain seperti yang diberikan. Suatu kaitan akan kuat ketika diberikan suatu aksi pada suatu representasi eksternal, maka individu itu akan memprediksi, mengidentifikasi, atau mengasilkan suatu asil berkaitan dengan aksi yang sesuai pada representasi ekternal. Dalam penelitian ini, kaitan, ubungan, dan koneksi antara representasi-representasi digunakan secara sinonim dan selalu berarti sebagai suatu ubungan internal. Karena reperesentasi internal seseorang anya dapat di duga dari represetasi eksternalnya, dalam penelitian ini kata representasi digunakan untuk mengartikan reprsentasi internal yang bagaimanapun berupa representasi eksternal seseorang. C. Metodologi Penelitian Wawancara teradap maasiswa dilaksanakan selama periode perkuliaan musim semi taun 2003 pada mata kulia Kalkulus Diferensial 1. Periode perkuliaan terdiri dari lima pertemuan pertama untuk materi turunan. Representasi yang berbeda dan Problem Solving terbuka ditekankan dalam pembelajaran. Untuk mengenalkan konsep turunan, maasiswa diberikan soal berikut: Bagaimana menunjukkan kecepatan sesaat dari suatu titik tertentu yang beruba? Beberapa penyelesain yang berbeda didiskusikan dalam kelas. Satu estimasi adala menggambar suatu garis tangen pada suatu titik dan mengitung kemiringan dari tangen. Cara yang lain adala mengitung rata-rata kecepatan pada interval yang berbeda-beda dan menentukan bilangan mana yang didekati. Ratarata kecepatan yang menjadi peratian adala kemiringan yang meruapakan secant dan sering disebut pembagian selisi. Akirnya nilai limit ditentukan secara

4 4 aljabar dan turunan daru fungsi f pada titik a didefinisikan sebagai f ( ) f ( a) f '( a) lim. a a D. Pertanyaan Penelitian Penelitian ini mengeksplorasi cara untuk menjelaskan pemaaman siswa pada konsep limit pembagian selisi. Berkaitan dengan kerangka kerja yang bertujuan untuk mempelajari representasi maasiswa dan bagaimana mereka mendapatkan pengetauan prosedural dan pengetauan konseptual. Berikut adala pertanyaan-pertanyaan penelitian yang disusun: 1. Bagaimana maasiswa dapat mengitung limit dari pembagian selisi? 2. Representasi apaka yang maasiswa miliki dalam proses peritungan limit? 3. Bagaimana maasiswa mengubungkan representasi dari proses peritungan limit menjadi limit dari pembagian selisi? E. Pengumpulan Data Data dikumpulkan dari wawancara kepada lima orang maasiswa yang mengikuti perkuliaan. Wawancara teradap maasiswa Tommi dan Niina dilaksanakan diakir materi perkuliaan ini. Samuel diwawancara satu kali, Susanna 3 kali dan Daniel diwawancara 5 kali setela perkuliaan materi ini berakir. Setela itu dosen melanjutkannya dengan konsep turunan fungsi dan dengan aturan pendiferensialan. Sebagai seorang pengajar dari maasiswa yang mengikuti perkuliaan sebelumnya, maka penulis adapat mengklasifikasikan maasiswa tersebut secara kasar, sebagai berikut; Niina dan Susanna lema dalam matematika, Tommi dan Samual berada pada kleompok rata-rata dan Daniel berada klasifikasi baik. Merupakan suatu al yang kebetulan bawa maasiswa yang lema adala perempuan. Sekitar 45 menit wawancara tugas-tugas yang paling penting didiskusikan adala; 1. Mengestimasi setepat mungkin nilai tuturan dari fungsi f ( ) 2 pada titik = 1.

5 5 2. a. Dari gambar (1) Interpretasikan apa arti dari pembagian f (1 ) b. Dari gambar (1) apa arti dari f (1 ) lim 0 Bentuk pembagian selisi no.4 tidak termasuk dalam perkuliaan. F. Pemaaman Maasiswa teradap Konsep Limit Pembagian Selisi Pengetauan prosedural dan pengetauan konseptual maasiswa dari konsep limit pembagian selisi dianalisis dengan menggunakan Teori APOS dan dengan koneksi antara representasi-representasi. Pemaaman Susanna Pemaaman Susanna tentang konsep limit pembagian selisi muncul ketika dia mencoba memaami untuk mengestimasi turunan dari fungsi f 2 ( ) pada titik = 1. Pertama dia mencoba menggunakan aturan pendiferensialan dan ketika dia menggambar grafik dan mengestimasi turunan sebagai kemiringan dari tangen. Dia bepikir bawa ini tidak begitu tepat. Seingga dai ditanya apaka dia dapat menggambarkan estimasi yang lebi tepat. Susanna : Hitung nilai limit dari dua ara pada nilai 2. Saya maksud 1, dari kedua ara nilai 1. Sebagai conto 0,5 dan 1,5 (menandai titik yang dimaksud pada sumbu ). Dan selanjutnya menggambar ( menandai titik-titik pada grafik dan mengubungkan dua titik tersebut sebagai secant). Kamu tidak memperole nilai yang begitu tepat dengan menggambar seperti ini. Pewawancara : Dapatka akamu memunculkan sesuatu seingga akan mengasilkan yang lebi tepat? Susanna : Baikla, jika anda mengambil kapur, dan selanjutnya menggerakkan nilai menuju 1. Ekspresi (menulis lim f ( ) 2, maka anda dapat mengganti secara langsung disana mengganti 1 dan selanjutnya akan menjadi 2. Susanna anya memaami sedikit pengetauan prosedural tentang limit pembagian selisi sebab dia memaami algoritmanya secara sala. Selanjutnya dia mengetaui bawa terdapat algoritma yang dapat digunakan untuk menunjukkan turunan pada suatu titik dan berikutnya dia juga menunjukkan bawa algoritma ini memberikan nilai yang tepat dari turunan. Dengan demikian berdasarkan Teori

6 6 APOS, Susanna anya berada pada tingkat Action. Susanna menunjukkan bawa dia memaami sedikit pengetauan konseptual dari konsep limit pembagian selisi. Setela mengitung kemiringan dari tangen dia mulai menggunakan representasinya tentang secant untuk tangen sedemikian seingga titik-titik umum dari secant dan gambar untuk mendekatinya dari dua sisi. Representasi ini tidak menolong dia untuk mengestiamsi lebi baik sebab representasi adala grafik seperti tangen. Dari keadaan ini, dia menguba limes-formula dimana dia dengan jelas dia memikirkannya menjadi limit dari pembagian selisi. Ini sepertinya bawa Susanna mengetaui bawa secant mendekati representasi tangen yang sama dengan rumus limit pembagian selisi. Tetapi representasi tidak saling menjelaskan yang lainnya. Pemaaman Niina Ketika mengestimasi turuna suatu fungsi f 2 ( ) pada titik 1, pertamatama Niina meragukan apaka turunan dapat diestimasi ole kemiringan tangen tetapi dia tidak begitu yakin akan al ini. Ini menunjukkan bawa dia sedang berpikir bawa limit pembagian selisi kemiringan yang dia ketaui menjadi derifatif. sebagai suatu cara untuk mengitung Saya arus meliat bawa rumus tertentu. yaitu, dimana anda mengitungnya. Atau yang dikansel itu saya maksudkan bawa pembagian selisi ( pewawancara memberikan rumus) anda arus menggantinya dengan titik. Ini menunjukkan bawa representasi Niina tentang limit pembagian selisi ditempati ole rumus dari buku. Ketika rumus diberikan pada dia tidak dapat menggambarkan bagaimana menggunakannya, tapi dia mengetaui beberapa tindakan yang arus dikerjakan, seperti mensubstitusikan sautu titik pada rumus. Seingga Niina memiliki sedikit pengetauan prosedural tentang limit pembagian selisi dan berdasarkan Teori APOS dia anya berada pada tingkat Action. Niina juga memiliki sedikit pengetauan konseptual, karena dia mengubungkan kemiringan tangen dengan asil dari rumus. Tetapi dia tidak menjelaskan kemiringan dengan tangen atau dalam cara yang lain. Niina mempunyai suatu representasi dari proses limit ketika dia menggunakan kecepatan rata-rata untuk mengestimasi kecepatan sesaat dari suatu

7 7 mobil dari gambar menggunakan representasi yang dia pikirkan menjadi garafik waktu-jarak. Dia juga garis lurus lokal untuk proses limit ketika dia menjelaskan mengapa turunan nol pada puncak dan dasar dari kurva. Jika anda memperbesar disini sebagai conto, ini akan lurus untuk sesaat (menggambar garis dengan jari), tapi tidak disana. Tetapi dia tidak menunjukkan koneksi-koneksi dari representasi ini teradap konsep limit pembagians selisi. Pemaaman Tommi Tommi keliatannya dapat menjelaskan langka-langka dari prosedur dan memunculkannya dengan fasi. Dengan demikian berdasrkan Teori APOS, Tomi tela interiorized konsep limit perbandingan selisi sebagai suatu Process. Hal ini dibuktikan ketika dia mencoba mengitung turunan dari fungsi titik = 1 dengan limit pembagian selisis, sebagai berikut; f 2 ( ) pada Anda dapat mengitung ini secara tepat, Saya misalkan ( menulis f ( ) f '(1) ). Misalkan ( menambakan lim ke bagian depan dari pembagian selisi) mendekati 1 ( menambakan = lim ). Bagaimana 1 1 menggeluarkan sukunya? Ini sala. Maka tentu anda dapat memulai suatu pendekatan dari dua sisi. Tapi saya tidak mengingatnya, sebab saya anya mengingat rumus itu, percayala saya tidak dapat mengerjakannya! Dalam persoalan problem solving itu Tommi menguba representasi limit pembagian selisi ke representasi pendekatan dari dua sisi. Setela itu, dia mengubanya menjadi representasi dari kemiringan tangen. Setela dia berasil mngestimasi turunan dengan kemiringan, dia masi meragukan bagaimana menggunakan limit pembagian selisi dari dua sisi. Ketika ditanya, dia menjelaskan apa yang dia maksud dengan pendekatan dari dua sisi dia tidak dapat menggambarkan bagaimana itu terjadi; Anda dapat mengitung rata-rata kecepatan dengan menguba nilai titik pada 1,1 dan 0,9 dan seterusnya mendekati 1. Akirnya akan ditemukan benar-benar mendekati 1. saya tidak mengingat secara keseluruan bagaimana itu diitung. Ini menunjukkan bawa Tommi mengasosiasikanproses simbolik untuk mengitung limit pembagian selisi menjadi rata-rata kecepatan yang beruba setela intervalnya beruba-uba. Juga kemiringan tangen terliat diasosiakan pada konsep

8 8 itu. Hal ini menunjukkan pula bawa Tommi mengetaui bawa representasirepresentasi itu menunjukkan al yang sama, tapi dia tidk mengerti bagaimana representasi itu diubungkan dan dia tidak menggunakan suatu conto untuk menjelaskannya. Dengan demikian Tommi memeliki nbanyak pengetauan prosedural tetapi sedikit pengetauan konseptual tentang konsep itu. Hal ini ditunjukkan juga ketika dia menginterpretasikan apa arti dari dengan grafik fungsi f (1 lim 0 ) ; Itu menyerupai turunan, tetapi (nilai dari penyebut) mungkin bernilai negatif, negatif satu. Itu mungkin derivatif suatu fungsi pada titik 1. Bagaimana anda dapat nilai disana, penyebut mendekati nol, itu sesuatu yang tidak baik. Hal ini menunjukkan bawa Tommi menginterpretasikan rumus turunan pada titik 1 sebab menyerupai rumus limit pembagian selisis ( f '(1) f ( ) lim 1 ). Dia 1 mengemukakan bawa searusnya bilangan pada penyebut adala -1 seperti yang diketaui dalam rumus. Dia juga mulai meragukan bagaimana melakukan proses kanselasi. Dengan demikian interpretasinya sangat prosedural. Ketia pewawancara membimbing dia untuk memperatikan pada kasus kusus = 0,5 dan memperatikan perubaan pada nilai dan y, dia dapat menginterpretasikan pembagian f (1 0,5) 0,5 1,2 sebagai rata-rata perubaan dan menggambarkan garis secant yang bersesuaian. Jadi Tommi dapat menginterpretasikan secara atepat apa yang dimasud atau apa arti dari pembagian pada grafik ketika limit disajiakn sebagai suatu persoalan; (Menggambar garis secant melalui titik 0,1 dan 1.5 pada grafik) Jika diambil sebagai conto pada 0,1, maka sebela san akan berniali 1,1. Dan ini akan lebi kecil daripada itu ( menunjukkan pada grafik mendekati titik 1). ( menggunakan penggaris untuk menemukan titik yang berkorespondensi pada f (1,1) 1,2 1,09 1,2 sumbu Y yaitu titik 1,1, menulis = = 1,1). Ini 0,1 0,1 merupakan nilai rata-rata yang beruba apabilai suatu nilai mendekati nol ( titik pada grafik mendekati nol) maka mendekati 1 ( menunjukkan pada grafik pada 1). Tommi mengetaui bawa mendekati nol dan dia dapat mengasilkan representasi simbolik dari pendekatan ini tapi dia agak kabur ketika

9 9 menginterpretasikan apa yang dimasudkannya pada gambar. Ini menunjukkn bawa representasi Tommi tentang konsep limit pembagian selisi dan perubaan rata-rata tidak saling berkaitan. Pemaaman Daniel Daniel tidak memperatikan pembagian selisi dalam wawancara sebelum dia menginterpretasikannya dari grafik fungsi apa yang dimaskud dengan f (1 ). Misalkan nilai adala 1. maka disini adala menjadi jarak ( menunjukan pada sumbu pada [1,2]). Dari niali itu ( menunjukkan pada grafik di titik 2) kami mengurangi niali itu( menunjukkan pada grafik pada titik 2), dengan demikian ini merupakan suatu interval, selisi dari nilai-nilai ini (menunjukkan poada sumbu Y pada [1,2 ; 3,2]). Akibatnya pembagian dengan bagian yang lebi renda (menunjukkan pada interval [1,2]). Bagaimana al ini bisa terjadi? Saya mengasumsikan pasti dapat diubungkan dengan garis (menggambar sketsa secant di udara). O ya.. selanjtnya ini? Apa yang dimaksud dengan pembagians selisi? Ini pasti mendekati pembagian selisi (menggambar secant). Ini mendefsnisikan tangen jugfa. Saya tidak begitu yakin,tidak mengingat bawa rumus pembagians selisi seperti ini, selenjutnya ini akan menjadi kemiringan dari suatu garis (menggambar secant). Ini muncul dari ini juga. Jarak ini ( menunjuk pada sumbu Y pada [1,2;3,2] dibagi ole (menunjuk pada sumbu pada [1,2]) (menggambar secant). Ini menjadi kemiringan dari suatu garis. Ya seperti itu, rata-rata turunan dari interval itu. Daniel menggunakan secant untuk mendekati tangen dan rata-rata turunan ( dimana dia mengartikan sebagai sesuatu seperti perubaan rata-rata) sebagai representasi dari proses limit. Dia juga menggunakan kemiringan suatu garis melalui titik 1 dan 1 + untuk memaami pembagian. Konsep itu dan tangen diubungkan melalui pembagian selisi. Dia menggunakan verbalisasinya sendiri turunan rata-rata untuk menjelaskannya. Setyela itu dia dapat menginterpretasikan apa yang dimaksud dengan limit sebagai pembagian menuju nol; Apa artinya limit? Jika menuju nol. Lebi jelasnya turunan pada titik ini (menunjuk pad sumbu pada =1) adala yang diinginkan. Sebab adala jarak ini dan jika menuju nol maka a akan nol disini (menunjuk grafik pada 1), seingga akan memperole titik ini, anda akan mendapat nilai tangen disini (menggambarkan tangen), kemiringan akan muncul dari rumus itu (menunjuk pada rumus yang diinginkan). Seingga anda akan memperole turunan disini.

10 10 Seperti dapat diliat bawa Daniel memeiliki koneksi yang kuat antara proses limit dan limit pembagian selisi. Daniel menggunakan proses limit dan rumus yang diberikan (limit pembagian selisi) untuk dapat saling menjelaskan. Seingga Daniel memiliki banyak pengetauan konseptual, tetapi dia memiliki pengetauan prosedural yang lema. Dia tidak menggunakan limit pembagians selisi untuk mengitung turunan selama berlangsungnya wawancara. Dan sebelumnya dia berasil menginterpretasikan dia ditanya apaka dia dapat mengitung turunan fungsi f 2 ( ) pada titik = 1 berdasarkan interpretasinya, ternyata dia tidak dapat menggunakan limit pembagian selisi. Dengan demikian berdasarkan Teori APOS Daniel anya berada pada tingkat Action. Pemaaman Samuel Pada waktu wawancara Samuel pertama-tama menggunakan metode untuk mengestimasi fungsi f 2 ( ) pada titik = 1. sebagai berikut; f ( ) 2 2 (Menulis rumus Df ( ) ). Anda tidak dapat 1 1 meyederanakan bentuk saat ini (menunjuk pada pembiolang dan penyebut), sebab nilai ini akan berniali nol. Anda arus menemukan faktor umum disini (menunjuk pada penyebut). jika anda dapat menemukan faktor umum disini dan faktor lain akan menjadikan minus 1, maka anda dapat mengkanselasi. selanjutnya anda dapat mengsubstitusi 1 ole yang berada di sebela kiri. Dari wawancara tersebut tercermin bawa Samuel mengetaui bagaimana menggunakan limit pembagian selisis dan dia dapat menjelaskan langka demi langka walaupun notasinya tidak cukup. Berdasarkan teori APOS dia berada pada tingkat Process. Samuel memiliki pengetauan prosedural yang baik tentang konsep limit pembagian selisi tapi dia juga memiliki banyak pengetauan konseptual sebab walaupun proses kanselasinya tidak berasil dia dapat mengestimasi niali turunan. Dia mengitung pembagian selisi berdasar interval [0,9;1], [0,99;1], dan [0,999;1] dan asil estimasinya mendekati 1,4. Setela dia menggunakan tangen untuk menjelaskan limit pembagian selisi dan menggunakan secant untuk nilai tangen untuk menjelaskan pembagian selisi; Pewawancara : Menceritakan apa ( pembagian selisi atas interval) pada suatu fungsi? Jika ini (limit pembagian selisis) adala turunan dan ini bukan benar-benar turunan, Apa artinya?

11 11 Samuel : (Menggambar grafik dan suatu tangen). Ini berarti begini ( Menggambar tiga garis secant yang mendekati garis tangen). Mereka mendekati secara konstan untuk turunan yang tepat. Pewawancara Samuel : Ya..ya, Apa anda memliki penjelasan lain? : Tidak, baik, ini disebabkan anda tidak bisa mensubstitusi nilai 1 di sini, sebab ini akan mengakibatkan nol disini, tapi ini dapat diganti anya untuk yang mendekati ya mendekati satu, tapi tidak perna bernilai satu(menunjuk pada 0,999), selanjutnya ini tidak akan menjadi nol dan anda dapat mengitung ini, ole karena itu mengapa ini didekati. Representasi yang kuat ini tentang proses limit memungkin Samuel mengestimasi turunan dengan sangat tepat dan dia juga memaami bagaimana representasi ini berkaitan dengan representasi simbolik dari limit pembagian selisi. Samuel menggunakan representasi dan koneksi yang sama ketika dia menginterpretasikan dari grafik fungsi ke arti dari bentuk f (1 ) ; Sebagai conto 0,2, maka nilainya adala 1,2 (menunjuk pada 1+ pada rumus). Ini atau pada titik satu. Maka ini 1,2 (Diam). Ya.. Ini akan menjadi turunan (menggambar tangen pada titik 1). Serlanjutnya. Mm. Jika ini bernilai 1,2 maka nilai ini menuju Jika kita sumsikan bawa ini adala 0,2, maka nilai fungsinya 1,2 (menunjuk pada 1 + pada rumus). Maka ini ( menunjuk pada penyebut) adala 1,2 kurang 1 adala 0,2, niali ini adala. Ini bukan turunan, tapi ini sesuatu yang mungkin bernilai apa saja. Dan mungkin berniali negatif. Baikla ini sesuatu melalui ini dan meungkin melampauinya sekitar turunan yang benar (menggambar dua garis secant). Ini bisa juga banyak, jika anda menamba banyak bilangan disini. Sesuatu yang selanjutnya akan mendekati turunan yang benar. Di atas adala ide kunci dari pemaaman Samuel bawa = Jika digambarkan kembali, dia keliatannya memandang bentuk f ( 1,2) 1,2 1 f (1 ) sebagai yang merupakan pembagian selisi menurut dia. Dan pembagian selisis sangat kuat berkoneksi pada garis secant yang mendekati garis tangen. Dia juga menginterpretasikan limit pembagians elisi menjadi turunan dari soal 2b. Samuel meiliki koneksi dari limit pembagian pada tangen, tetapi tidak mengitung algoritmanya berdasarkan geometri analitik dalam mengitung kemiringan dari tangen karena dia mencoba untuk mengestimasi nilai limit pembagian pada 2b oel

12 12 lim 0 f (1 ) f ( 1 0,1) =, tapi tidak dengan kemiringan dari garis 0,1 tangen. Juga situasi lain selama wawancara dia tidak mengetaui bagaimana menitung kemiringan dari gambar tangen tanpa mengitung turunannya. G. Kesimpulan Kelima maasiswa mempunyai beberpa pengetauan prosedural dari limit pembagian selisi. Menurut Teori APOS Susanna, Niina dan Daniel berada anya pada tingkat Action, tetapi Tommi dan Samuel berada pada tingkat Process. Teori APOS ditemukan berguna untuk menganalisa prosuder pemaaman maasiswa pada reprsentasi tertentu pada suatu konsep (limit pembagian selisi) tetapi pemaaman dari keseluruan konsep (turunan) mungkin terlalu luas untuk dianalisa menggunakan Teori APOS. Sebagai conto Hakioniemi (2004) menemukan bawa seorang maasiswa yang mungkin berada pada tingkat yang berbeda dalam Teori APOS dengan representasi yang berbeda pada konsep yang sama. Ketika menganalisa pengetauan konseptual representasi yang berbeda dan koneksinya arus diperiksa lebi jau. Sebagaimana kami liat, kelima maasiswa memiliki reprsentasi yang berbeda tentaas proses limit tetpai mereka juga memiliki koneksi yangberbeda untuk representasi simbolik unruk konsep tersebut. Paling tidak dua macam koneksi tela diobservasi dalam wawancara. Susanna dan Tomi tela mengasosiasikan prosedur limit pembagian selisi kepada pendekatan representasinya. Koneksi ini seperti yang dikemukakan ole Goldin dan Kaput (1996) adala ubungan yang lema karena maasiswa anya dapat memprediksi, mengidentifikasi, atau mengasilkan suatu kaitan dari representasi yang diberikan. Maasiswa-maasiswa tersebut mengetaui bawa dua representasi menyajiakn al yang sama tetapi mereka tidak mengerti bagaimana bisa terjadi. Berbeda dengan Daniel dan samuel yang menggunakan reprsentasinya untuk menjelaskan representasi simbolik untuk konsep tersebut. Koneksi ini dapat dibandingkan dengan Goldin dan kaput (1996) adala ubungan yang kuat karena ketika diberikan suatu aksi pada suatu representasi, maasiswa dapat memprediksikan, mengidentifikasi, atau mengasilkan suatu asil yang berkaitan dengan aksi. Koneksi semacam ini berarti bawa maasiswa juga memaami pada tingkat yang sama mengapa reprsentasi merepresentasikan al yang sama.

13 13 Analisa pemaaman maasiswa dengan cara ini, menemukan bawa maasiswa memiliki pemaaman yang berbeda tentang limit pembagian selisi. Kususnya perbandingan antara Daniel dan Tommi merupakan al yang menarik sebab Tommi memiliki banyak pengetauan prosedural tetapi memiliki sedikit pengetauan konseptual, tetapi Daniel memiliki sebaliknya. Sememtara Niina dan Sussana memiliki sedikit keduanya dan Samuel memiliki kedua pengetauan, ini memungkinkan untuk memiliki setiap kombinasidari kedua pengetauan tersebut. Catatan : Makala ini merupakan terjemaan dari jurnal yang berjudul Is Tere a limit in Te derivative? Eploring Students Understanding of Te Limit of Te Difference Quotient yang ditulis ole Markus Hakioniemi dari University of Jyvaskyla, Finlandia taun 2004.