MATHunesa (Volume 3: No 2) 2014

Transkripsi

1 MATHunesa (Volume 3: No 2) 214 ANALISIS STABILITAS MODEL SEL IMUN-TUMOR DENGAN TUNDAAN WAKTU Pungky Zanuar Arizona Jurusan Maemaika, Fakulas Maemaika dan Ilmu Pengeahuan Alam, Universias Negeri Surabaya pungky.mah@gmail.com Yusuf Fuad Jurusan Maemaika, Fakulas Maemaika dan Ilmu Pengeahuan Alam, Universias Negeri Surabaya unesayfuad213@yahoo.com Absrak Tumor erdiri aas umor jinak (benigna umor) dan umor ganas (malignan umor). Tumor ganas lebih dikenal sebagai kanker. Melalui model maemaika dan simulasi dapa dikaji pola perumbuhan sel umor dan sel normal secara kompleks. Di dalam proses perumbuhan umor dapa kia amai suau proses penundaan yang bisa disebabkan oleh beberapa hal, anara lain sel umor membuuhkan waku unuk melepaskan racun, panjangnya fase-fase perumbuhan, dan keerlambaan reaksi sisem kekebalan ubuh. Peneliian ini ermasuk sudi lieraur yang berujuan unuk merekonsruksi model maemaika sel imun-umor dengan undaan waku, menenukan iik ekuilibrium dari sisem persamaan dan menenukan kesabilan dari iik ekuilibrium sisem persamaan. Model sel imun-umor dengan undaan waku dapa direkonsruksi dan kesabilan model dikaji pada kondisikondisi di mana model sabil. Kaa Kunci: pemodelan maemaika, sel umor, sel imun, nilai eigen, undaan. Absrac Tumor is consis of benign umor and malignan umor. Malignan umor is knew as cancer. By using mahemaical modeling and simulaion one can be sudied a complexiy of he behavior of umor cells and he growh of normal cells. In he umor cells growh process, we can see a delay process, due o many reason such as umor cells aking ime o release oxin, due o he lengh of inerphase and oo lae reacion of of immune sysem. This sudy is belonging o a lieraure sudy ha aims o reconsruc a mahemaical model of immune-umor wih delay ime, deermine he equilibrium poin of he sysem of equaions and deermine he sabiliy of he equilibrium poin. Model of immune-umor wih delay ime is esablished and is sabiliy is based on some condiions where he model sable. Keywords: mahemaical modeling, umor cell, immune cell, eigen value, delay. I. PENDAHULUAN Tumor merupakan isilah umum yang melipui umor jinak (benigna umor) dan umor ganas (malignan umor). Tumor merupakan masalah kesehaan yang sanga serius sebagai penyebab kemaian uama di dunia sekaligus secara ilmiah memiliki anangan yang besar dan kompleks. Tumor diawali dari proses muasi DNA, kendali regulasi perumbuhan sel - sel normal yang erganggu sehingga erjadi poliferasi (pembelahan) sel yang ak erkendali dan apoposis (kemaian sel). Organisasi kesehaan dunia (WHO) memperkirakan, seiap ahun penderia umor dunia berambah 6,25 jua orang. Dalam 1 ahun mendaang diperkirakan 9 jua orang meninggal seiap ahun akiba umor. Berbagai sudi klinis dan eksperimenal memberikan pemecahan baru yang berguna unuk mengeahui pengaruh dinamika umor dan perawaan yang epa. Permasalahanpermasalahan yang semakin kompleks ersebu menunu unuk dicari solusinya. Pemecahan ersebu dapa dilakukan secara maemais dengan menggunakan pemodelan maemaika. Melalui model maemaika dan simulasi dapa dikeahui pola perumbuhan sel umor dan sel normal secara kompleks. Perilaku sisem dapa diperkirakan dengan mengubah nilai parameer sehingga mampu memproyeksikan jumlah populasi pada waku erenu. Di dalam proses perumbuhan umor dapa diamai suau proses penundaan yang bisa disebabkan oleh beberapa hal, anara lain sel umor membuuhkan waku unuk melepaskan racun, panjangnya fase-fase perumbuhan, dan keerlambaan reaksi sisem kekebalan ubuh. Terinspirasi oleh arikel dari Devi dan Ghosh (213) yang mengkonsruksi model maemaika sel imun-umor dengan undaan waku sera analisis kesabilan solusi dari 31

2 model sel imun dan sel umor di iik ekuilibrium dan simulasinya. Dalam sudi ini, penulis erarik unuk memahami perilaku perumbuhan umor yang kompleks dengan mengubah nilai parameer dari lieraur erkai, sehingga analisis sabilias model maemaika sel imunumor dari model maemaika sel imun-umor dengan undaan waku menjadi pokok permasalahan pada sudi ini. II. DASAR TEORI 2.1. Persamaan Diferensial Tundaan Persamaan diferensial undaan adalah suau persamaan diferensial fungsional yang sederhana dan lebih sering muncul dalam persoalan nyaa. Hal ini berari bahwa persamaan yang menyaakan beberapa urunan dari x pada waku, erhadap x dan urunan-urunannya yang lebih rendah pada waku, dan pada beberapa waku sebelumnya ( τ), dengan τ menyaakan besarnya undaan waku. Persamaan diferensial undaan mempunyai benuk sebagai beriku : Tundaan waku (ime delay aau ime lag) pening dalam pemodelan masalah riil sebab kepuusan biasanya dibua berdasarkan informasi pada keadaan sebelumnya. Hal ini pening unuk diperimbangkan dalam memodelkan perumbuhan populasi karena laju perumbuhan populasi idak hanya berganung pada jumlah populasi pada waku sekarang () eapi juga berganung pada jumlah populasi pada waku sebelumnya. Sebagai conoh, laju perumbuhan populasi manusia pada saa sekarang berganung pada jumlah populasi 9 bulan yang lalu sebab seorang ibu membuuhkan waku 9 bulan unuk melahirkan anak. Jadi sebenarnya jumlah populasi manusia berganung pada kapan seorang wania posiif hamil. (Forys & Czochra, 23) 2.2. Model Logisik dengan Tundaan Waku Model logisik unggal dengan undaan waku adalah dengan adalah sebuah waku unda dan bernilai posiif. Suau iik equilibrium posiif dari model ini adalah K. Hal ini diusulkan oleh Huchinson dan Gopalsamy. Model (2.2.1) bisa digunakan pada model perumbuhan populasi jenis dinamik unggal erhadap keahanan level K, dengan sebuah konsana laju perumbuhan inrinsik r. Benuk pada model (2.2.1) merupakan sebuah kepadaan erganung pada mekanisme pengaruh arus balik yang mengambil sauan waku unuk menanggapi perubahan pada kepadaan populasi diwakili pada model (2.2.1) oleh x. Model logisik dengan undaan waku (2.2.1) dikenal sebagai persamaan undaan Verhuls aau persamaan Huchinson dan elah dipelajari di beberapa jurnal dan buku. Unuk menganalisis sabilias dari iik ekuilibrium model (2.2.1), digunakan sebuah meode sandar yaiu linierisasi disekiar iik ekuilibrium. Misalkan maka. Subiusi ke persamaan (2.2.1) dan diperoleh Karena cukup deka ke K, maka dapa dieliminasi. Selanjunya didapakan suau model linier Unuk memahami sabilias iik ekuilibrium dari model (2.2.1), diperimbangkan persamaan karakerisik pada model (2.2.3). Misalkan adalah nilai karakerisik dari persamaan (2.2.3) maka dengan mensubiusikan ke model (2.2.3) menghasilkan persamaan karakerisik, maka Unuk dan, jika maka persamaan (2.2.4) memiliki akar-akar persamaan karakerisik negaif. Jika, dan maka akar dari persamaan karakerisik (2.2.4) adalah komplek konjuga dengan bagian riil negaif. Analisis ini dikenal dengan analisis kesabilan Huchinson, sehingga memberikan Teorema Huchinson sebagai beriku, Teorema Huchinson (Ruan, 26 : 4) (i) Jika, maka iik ekuilibrium posiif (ii) Jika dari persamaan (2.2.1) sabil asimoik. maka iik ekuilibrium posisif dari persamaan (2.2.1) idak sabil..

3 MATHunesa (Volume 3: No 2) 214 (iii) Jika iik ekuilibrium. maka erjadi bifurkasi Hopf pada Beriku adalah kurva dari solusi model logisik dengan beberapa nilai undaan berbeda (Firia, 212:44) : dengan. Dan parameer model diaas yaiu K = daya kapasias r = laju perumbuhan inrinsik prey c = laju kemaian jika predaor anpa prey = laju perpindahan dari prey ke predaor = laju perpindahan dari predaor ke prey Model di aas dibenuk dengan analisis sebagai beriku ini : Dimulai dengan memperhaikan apa yang erjadi pada populasi predaor keika idak adanya prey, anpa sumber makanan, bilangannya diharapkan berkurang secara eksponensial, dideskripikan oleh persamaan di bawah ini : Gambar 2.1. Solusi model logisik dari persamaan (2.2.1) dengan K=1, r =1 dan nilai perambahan masing-masing dan 2.3. Model Populasi Predaor-Prey Dalam subbab ini dibahas enang model sederhana dari predaor-prey, yang didefinisikan sebagai konsumsi predaor erhadap prey. Model predaor-prey yang paling sederhana didasarkan pada model Loka-Volerra (Loka, 1932 ; Volerra, 1926) dalam Claudia (24 :76). Model Loka-Volera ersusun dari pasangan persamaan diferensial yang mendeskripsikan predaor-prey dalam kasus yang paling sedehana. Model ini membua beberapa asumsi : 1. Populasi prey akan umbuh secara eksponen keika idak adanya predaor. 2. Populasi predaor akan mai kelaparan keika idak adanya populasi prey. 3. Predaor dapa mengkonsumsi prey dengan jumlah yang ak erhingga. 4. Tidak adanya lingkungan yang lengkap (dengan kaa lain, kedua populasi berpindah secara acak melalui sebuah lingkungan yang homogen). Selanjunya benuk verbal ini dierjemahkan ke dalam sebuah sisem persamaan diferensial. Diasumsikan bahwa populasi prey berkurang keika predaor membunuhnya dan berahan hidup (idak mengurangi populasi prey) keika predaor hanya menyerangnya. Model dengan laju perubahan dari populasi prey (x) dan populasi predaor (y) adalah : Persamaan ini menggunakan hasil kali dari bilangan predaor (y) dan kelajuan kemaian predaor (c). Unuk mendeskripsikan penurunan kelajuan (karena anda negaif pada bagian kanan persamaan) dari populasi predaor dengan pengaruh waku. Dengan adanya prey bagaimanapun juga pengurangan ini dilawan oleh laju kelahiran predaor, yang dienukan oleh laju konsumsi (βxy). Dimana laju penyerangan (β) dikalikan dengan bilangan y dan bilangan x. Bilangan predaor dan prey naik keika peremuan predaor dan prey lebih sering, eapi laju akual dari konsumsi akan erganung pada laju penyerangan (β). Persamaan populasi predaor menjadi Perkalian adalah anggapan predaor secara numerik aau peningkaan perkapia dari fungsi prey yang melimpah. Dan unuk perkalian menunjukkan bahwa kenaikan populasi predaor sebanding dengan perkalian dan prey yang melimpah. Pada populasi prey, anpa serangan predaor, bilangan prey akan naik secara eksponensial. Persamaan di bawah ini mendeskripsikan laju kenaikan populasi prey dengan pengaruh waku, dimana r adalah laju perumbuhan inrinsik prey dan x adalah jumlah dari populasi prey. Di hadapan predaor, bagaimanapun juga populasi prey dicegah dari peningkaan eksponensial secara erus-menerus. Karena model 33

4 predaor prey memiliki waku yang koninu dan mengisyarakan enang model perumbuhan populasi maka ermasuk dalam model logisik. Jadi persamaan di aas menjadi: Dengan adanya predaor bagaimanapun juga kenaikan ini dilawan oleh laju kemaian prey karena adanya penyerangan dari predaor, yang dienukan oleh laju konsumsi (αxy). Di mana laju penyerangan (α) dikalikan dengan bilangan y dan bilangan x. Bilangan predaor dan prey urun keika peremuan predaor dan prey lebih sering, eapi laju akual dari konsumsi akan erganung pada laju penyerangan (α). Persamaan populasi prey menjadi : penonakifan sel imun, yang dapa dimodelkan sebagai beriku : dan Karena model perumbuhan umor dengan undaan waku diberikan oleh persamaan (4.1.3) maka dari iu model perumbuhan sel imun dan sel umor dengan undaan waku dapa direpresenasikan sebagai beriku (Ghosh dan Devi, 213:2) : III. METODE PENELITIAN Peneliian ini merupakan sudi lieraur, hasil dari lieraur dilakukan analisa dan diperoleh sisem unuk merekonsruksi model perumbuhan sel umor. Analisis kesabilan dengan dilakukan secara analiik dan simulaif dengan beberapa nilai parameer erpilih. IV. HASIL DAN PEMBAHASAN 4.1. Rekonsruksi Model dengan Tundaan Waku Misalkan pada waku menunjukkan banyaknya sel imun dan menunjukkan banyaknya sel umor. Dalam berineraksi, sel imun dan sel umor berperilaku seperi model predaor-prey. Dalam keadaan normal aau idak adanya sel umor, sel imun akan mai dengan laju dan adanya sel umor akan mensimulasi perumbuhan sel imun. Jika adanya simulasi dari sel umor idak diikui dengan adanya respon dari sel imun maka sel umor akan umbuh secara inrinsik dengan laju a. Perumbuhan dan beruru-uru dimodelkan sebagai beriku : dengan parameer-parameer sebagai beriku : = banyaknya sel imun yang elah ada dalam ubuh manusia, = laju penyerangan sel imun ke sel umor, = banyaknya sel normal dalam ubuh manusia, = laju penonakifan sel efekor (imun) oleh sel umor, = laju kemaian alami sel imun, = laju perumbuhan inrinsik sel umor, = daya kapasias populasi umor, = laju kemaian sel umor oleh sel imun, = waku unda Tiik Ekuilibrium Model dengan Tundaan Waku Berdasarkan persamaan (4.1.7), iik ekuilibrium dari sisem ersebu diperoleh dengan membua nol ruas kanan persamaan, dan kia perhaikan unuk dan. maka, aau dan unuk diberikan oleh, dengan dan adalah konsana posiif. Persamaan (4.1.2) merupakan model persamaan logisik unuk perumbuhan sel umor. Berdasarkan asumsi bahwa perumbuhan sel umor mengalami proses penundaan sehingga persamaan (4.1.2) berubah menjadi, yang merupakan model persamaan logisik dengan undaan waku. Selanjunya, ineraksi anara sel imun dan sel umor dapa menyebabkan mainya sel umor aau sehingga diperoleh dan. Selanjunya subsiusikan ke persamaan (4.1.6) mengakibakan, maka

5 MATHunesa (Volume 3: No 2) 214 sehingga adalah iik ekuilibrium dari sisem di aas. Dan idak memberikan yang bersesuaian. Dengan kaa lain idak berpengaruh pada persamaan (4.1.6) Analisis Sabilias Model di Tiik Ekuilibrium Sehingga muncul implikasi sebagai beriku. Jika maka sisem idak sabil, yang berari bahwa pemberian oba idak berpengaruh pada perumbuhan sel umor karena perumbuhan sel umor idak erkendali. 4.4 Analisis Sabilias Model di Tiik Ekuilibrium Persamaan (4.1.6) dan (4.1.7) merupakan sisem persamaan nonlinier yang dapa disajikan dalam benuk mariks seperi di bawah ini. Perhaikan bahwa idak memberikan pengaruh erhadap persamaan (4.1.6). Kemudian unuk persamaan (4.1.6) dapa kia ulis kembali sebagai beriku ini : unuk menganalisis kesabilannya maka sisem dilinerisasi di sekiar sehingga memberikan sisem persamaan linier sebagai beriku : Persamaan (4.4.1) merupakan persamaan diferensial biasa orde sau, maka akan sabil asimoik jika Selanjunya kia injau lagi persamaan (4.1.7) sebagai beriku : Misalkan, selanjunya akan dienukan nilai eigen dari mariks A. Misalkan adalah nilai eigen dari mariks A, Karena idak memberikan pengaruh erhadap persamaan (4.1.6) maka dapa diasumsikan konsan. Misalkan Selanjunya persamaan karakerisik A, yaiu mempunyai solusi ak nol jika dan hanya jika maka, maka persamaan (4.1.7) menjadi dan Agar sisem di aas sabil, maka harus bernilai negaif, karena bernilai real dan negaif maka sisem akan sabil jika Persamaan (4.4.3) merupakan persamaan model logisik dengan undaan waku. Berdasarkan analisis persamaan Huchinson diperoleh sebagai beriku, Jika, maka akan menyebabkan persamaan (4.1.7) sabil asimoik. Jika, maka akan menyebabkan persamaan (4.1.7) idak sabil asimoik. 35

6 T() I() T() I() 4.5 Simulasi Perumbuhan Sel Tumor yang Sabil 1 Perumbuhan Sel Imun yang Sabil Gambar 4.1 Grafik perumbuhan sel umor yang sabil Gambar 4.1 menunjukkan perumbuhan sel umor anpa undaan waku yang sabil asimoik dengan. Dipilih, agar memenuhi kondisi kesabilan (4.3.1) maka nilai parameer-parameer yang lain adalah,. Berdasarkan grafik di aas, jika nilai berambah besar maka T() konvergen ke yang menunjukkan kemaian dari sel umor Gambar 4.3 Grafik perumbuhan sel imun yang sabil Gambar 4.3 menunjukkan perumbuhan sel imun dengan undaan waku yang sabil asimoik dengan. Dipilih, agar memenuhi kondisi kesabilan (4.4.2) maka nilai parameer-parameer yang lain adalah,. Berdasarkan grafik di aas, jika nilai berambah besar maka konvergen ke. Perumbuhan sel imun sabil unuk Gambar 4.2 Grafik perumbuhan sel umor yang idak sabil Gambar 4.2 menunjukkan perumbuhan sel umor anpa undaan waku yang idak sabil dengan. Dipilih, agar memenuhi kondisi idak sabil maka nilai parameer-parameer yang lain adalah,. Berdasarkan grafik di aas, jika nilai berambah besar maka nilai berambah besar pula yang menunjukkan perumbuhan sel umor yang idak erkendali Gambar 4.4 Grafik perumbuhan sel imun yang idak sabil Gambar 4.4 menunjukkan perumbuhan sel imun dengan undaan waku yang idak sabil dengan. Dipilih, agar idak memenuhi kondisi kesabilan (4.4.2) maka nilai parameer-parameer yang lain adalah,. Berdasarkan grafik di aas, jika nilai berambah besar maka nilai berambah besar pula yang menunjukkan perumbuhan sel umor yang idak erkendali.

7 I() T() MATHunesa (Volume 3: No 2) Perumbuhan Sel Tumor yang Sabil T() =.1 T() =.5 T() = 1. V. PENUTUP 5.1 Simpulan Berdasarkan pembahasan didapa kesimpulan sebagai beriku : 1. Rekonsruksi model maemaika unuk perumbuhan sel imun-umor anpa undaan waku adalah Gambar 4.5 Grafik perumbuhan sel umor yang sabil dengan 3 nilai awal yang berbeda 2. Rekonsruksi model maemaika unuk perumbuhan sel imun-umor dengan undaan waku adalah Gambar 4.5 menunjukkan perumbuhan sel umor anpa undaan waku yang sabil asimoik dengan 3 nilai awal berbeda. Dipilih agar memenuhi kondisi kesabilan (4.3.1) maka nilai parameer-parameer yanng lain adalah,. Berdasarkan grafik di aas, jika nilai berambah besar maka unuk seiap nilai awal yang diberikan T() konvergen ke yang menunjukkan bahwa sebanyak apapun sel umor yang ada akan eap mengalami kemaian. 3. Tiik ekuilibrium dari model dengan undaan waku adalah dan. 4. Kondisi kesabilan model perumbuhan sel imun dan sel umor dengan undaan waku beruruuru diberikan oleh, I() =.1 I() =.5 I() = 1.5 I() = Hasil simulasi dengan menggunakan nilai parameer yang berbeda dengan arikel uama (Devi dan Ghosh, (213)) idak berpengaruh pada kondisi kesabilan model Gambar 4.6 Grafik perumbuhan sel imun yang sabil dengan 4 nilai awal yang berbeda Gambar 4.6 menunjukkan perumbuhan sel imun dengan undaan waku yang sabil asimoik dengan 4 nilai awal berbeda,,,. Dipilih, agar memenuhi kondisi kesabilan (4.4.2) maka nilai parameer-parameer yang lain adalah, dan Berdasarkan grafik di aas, jika nilai berambah besar maka unuk seiap yang diberikan konvergen ke. Perumbuhan sel imun sabil unuk. 5.2 Saran Akan menarik sekali jika model sel imun-umor dengan undaan waku diambah dengan adanya konrol pada sisem, bisa berupa pemberian oba-obaan aaupun kemoerapi sehingga permasalahan yang dimodelkan bisa lebih mendekai kenyaaan, dan memberikan konribusi yang posiif pada dunia kesehaan dan kedokeran. DAFTAR PUSTAKA Anon H. and Rorres C Elemenary Linear Algebra. Drexel Universiy. Devi, A. dan Ghosh, A On he sabiliy of immune-umor model wih one erm delay in umor (I-T D ). Inernaional Journal of Apllied Mahemaics and Compuaion. Finizio dan Ladas Penerapan Diferensial Biasa dengan Penerapan Modern. Terjemahan Widiari Sanoso. Jakara : Erlangga. 37

8 Forys, U. and Czochra, A.M. 23. Logisic equaions in umour growh modeling, In. J. Appl. Mah. Compu. Sci. 13(3): Gopalsamy Sabiliy and oscillaions in delay differenial equaions of populaion dynamics, Neherlands: Kluwer Academic Publishers. Kowalczyk, R. and Forys, U. 22. Qualiaive analysis on he iniial value problem o he logisic equaion wih delay, Mah. Comp. Model 35(1-2): Murray, J.D. Mahemaical Biology : An Inroducion, 3rd Ediion. Springer: Inerdisciplinary Applied Mahemaics, New York, 22. Neuhauser, C. 24. Calculus for Biology and Medicine. New Jersey: Pearson Educaion Olsder, G.J. and Van Woude, J.W Mahemaical Sysems Theory. Delf : Delf Universiy Press. Pamunjak, R Persamaan Deferensial Biasa. Bandung: Insiu Teknologi Bandung Ruan, S. 26. Delay Differenial Equaion in Single Species Dynamics. Berlin : Springer. Toaha, S. 28. Sabiliy Analysis and Maximum Profi of Predaor-Prey Populaion Model wih Time Delay and Consan Effor of Harvesing. Malaysia : Malaysian Journal of Mahemaical Sciences.