BAB III FORMULA PENENTUAN HARGA OPSI ASIA

Transkripsi

1 3 BAB III FORMULA PEETUA HARA OPSI ASIA Pada Bab III ii aka dibahas megeai opsi Asia da aalisisya, di maa yag aka dibahas hayalah beberapa ipe opsi Asia, da erbaas pada eis Europea call saa. Jeis-eis opsi Asia yag aka dibahas di sii aara lai average value da average srike opio dega raa-raa arimaika koiu, average value opio dega raa-raa geomerik, sera average value opio dega raa-raa arimaika diskri. Perama-ama, aka erlebih dahulu didefiisika apakah iu suau Asia Opio. Asia Opio adalah sebuah averagig opios, yaki opsi yag payoffya bergaug pada suau beuk raa-raa dari harga uderlyig asse selama sebagia aau seluruh waku berlakuya opsi ersebu. Feomea payoff dari opsi eis ii diilai oleh sebagia pihak saga meguugka, salah sau alasaya karea opsi eis ii lebih ama dibadigka vaiila opio. Jika eradi maipulasi harga ase meelag mauriy ime, perubaha yag eradi pada payoffya (dibadigka ika idak eradi maipulasi harga ase idak aka sebesar yag mugki eradi pada vailla opio. Peeua Harga Opsi Asia Riswa Harapa (34

2 Berdasarka eis payoffya, erdapa kelas uama dari Asia Opio, yaki (uuk eis call opio:. Average value call opio, yaiu call opio yag payoffya berbeuk : max ( A X, (3.. Average srike call opio, yaiu call opio yag payoffya berbeuk : max ( ST A, (3. dega A adalah suau beuk raa-raa harga saham. Adapu beuk raa-raa harga saham yag biasa diguaka aara lai:. Raa-raa arimaika diskri, yaiu A S (3.3 i. Raa-raa geomerik diskri, yaiu 3. Raa-raa arimaika koiu, yaiu i A S( i (3.4 i A T 4. Raa-raa geomerik koiu, yaiu A T Sd ( T T (3.5 T exp l T T T Sd ( Formulasi persamaa diferesial Asia Opio Persamaa diferesial Asia Opio aka diguaka dalam meeuka harga beberapa ipe dari Asia Opio, eruama pada eis opsi yag idak memiliki ilai eksak. Perama, misalka raa-raa harga saham diuliska dalam beuk: A f( S, τ dτ (3.7 o di maa f ( S, τ dipilih berdasarka ipe raa-raa yag dipilih pada sebuah Asia Opio (perlu dikeahui bahwa medefiisika f ( S, τ idak selalu mudah uuk semua eis opsi Asia. Harga sebuah opsi Asia merupaka Peeua Harga Opsi Asia Riswa Harapa (34 4

3 sebuah fugsi erhadap waku da dua variabel, yaiu S (harga saham da A. Berdasarka eorema ilai raa-raa, da lim f ( S, τ dτ Δ lim f ( S, τ* d, < τ* < +Δ Δ +Δ f( S, d sehigga da bersifa deermiisik. Oleh karea iu, hedgig apa resiko yag igi dilakuka pada Asia Opio haya membuuhka elimiasi resiko dari resiko yag dikadug asse. Misalka erdapa sebuah porofolio yag erdiri dari sebuah Asia Opio da asse sebayak Δ. aiya kia aka memilih Δ sehigga usur sokasik yag erdapa pada opsi da uga pada asse aka salig meghilagka. Misalka pergeraka harga asse megikui persamaa: [ μ (, ] ds S D S d +σ SdZ, (3.8 di maa : - dz adalah suau gerak Brow sadar, - D(S, adalah divide yag dihasilka dari asse ersebu, - μ adalah ekspekasi dari rae of reur, da - σ adalah volailias dari harga saham Misalka V( S, A, adalah harga dari Asia Opio da Π adalah ilai dari porofolio yag elah dielaska di aas. Jadi, kia mempuyai Π V( S, A, Δ (3.9 da dega megguaka Lemma Io, didapa V V V σ V d d + f ( S, d + ds + S d ΔdS ΔD( S, d A S (3. Peeua Harga Opsi Asia Riswa Harapa (34 5

4 Kemudia, aka dipilih V Δ sehigga usur sokasik dalam persamaa S di aas (yaki yag megadug usur ds aka salig meghilagka. Lalu, eorema o arbirage meyaaka di maa r adalah suku buga. dπ rπ d, (3. Dega megguaka persamaa (3. da (3., aka didapa V V V V V V V d f ( S, d ds σ S d ds D( S, d r( V S d A S S S S V V σ V V V + f( S, + S D( S, rv rs (3. A S S da akhirya dihasilka persamaa umum uuk V( S, A,, yaki V σ V V V + S + [ rs D( S, ] + f( S, rv (3.3 S S A dimaa kodisi uuk syara baas maupu syara awalya bergaug pada sifa-sifa spesifik dari opsi ersebu. 3. Average Srike Asia Opio dega raa-raa arimaika koiu Misalka ada sebuah Europea call opio dega srike price X, di maa X adalah raa-raa harga uderlyig asse selama masa hidup ECO ersebu [,T], di maa X diformulasika sebagai: T A( T X S d T τ τ T dega A( S( τ dτ Jika kia megasumsika idak ada pembayara divide pada saham ersebu, maka persamaa umum Asia Opio pada persamaa (3.3 diuliska kembali meadi V σ V V V S S A S rs S rv (3.4 (3.5 Peeua Harga Opsi Asia Riswa Harapa (34 6

5 Kemudia aka dicari syara-syara uuk persamaa diferesial di aas:. pada saa di-exercise, ilai opsi sama dega ilai payoff, yaki AT V( S, A, T max S, T. ika S, maka opsi idak aka di-exercise, sehigga didapa V(, A, 3. ika A, maka opsi uga idak aka di-exercise, sehigga didapa lim V( S, A, A 4. uuk S, maka opsi hampir pasi aka di-exercise, da karea maka didapa AT V( S, A, T S, T V lim V ( S, A, S S Pada persamaa (3.5, urua parsial erhadap peubah acak A haya erdapa sampai urua perama, sehigga syara baas uuk A haya dibuuhka sau saa. Selai iu, persamaa da syara baas di aas bersifa homoge (dega orde sau erhadap S da A, yag ariya AT V( S, A, T max S, T λ AT V( λs, λa, T max λs, T AT λmax S, λv( S, A, T T Dega memafaaka sifa ersebu, kia dapa meuliska V( S, A, T A( y,, dega y S A da kia aka meemuka bahwa: V. A S A y y Peeua Harga Opsi Asia Riswa Harapa (34 7

6 . V A 3. V y S S A y V 4. A y y sehigga persamaa (3.5 bisa diuliska kembali meadi σ + y + ry + y y r y y y σ + y + ( ry y + ( y r y y (3.6 dega syara baas uuk persamaa (3.6 adalah sebagai beriku:. (,. lim ( y,, da y 3. yt (, max y, T Sebagai caaa, sifa-sifa di aas berlaku uga uuk ipe average value opio. Sau caaa lai, persamaa diferesial di aas idak bisa diubah meadi persamaa dega koefisie kosa (seperi persamaa Black- Scholes, sehigga suli sekali uuk mecari solusi eksakya, adi yag mugki dikeraka adalah membua aproksimasi dari solusiya (dega pedekaa umerik. 3.3 Average Value Opio dega raa-raa arimaika koiu Misalka ada sebuah Europea Call Opios dega payoffya : V( S, AT, max AT X, (3.7 di maa T merupaka waku expiraio, X adalah srike price, da A( S( τ dτ, T T T T < < T (3.8 Peeua Harga Opsi Asia Riswa Harapa (34 8

7 di maa selag [ T T adalah selag di maa ilai raa-raa harga saham o, diperhiugka. Caa bahwa ika T ] A( merupaka raa-raa yag sebearya. Selai iu, kia masih megasumsika bahwa idak ada divide yag dibayarka pada asse ii. Persamaa umum uuk Asia Opio eis ii adalah V σ V V V + S + rs + S rv S S T T A dega S >, A>, T < < T Uuk meeuka ilai opsi ii, erdapa dua kemugkia, yaki pada saa ii (, berlaku A( X aau berlaku A( (3.9 < X. Selauya erlebih dahulu aka dibahas bagaimaa opio pricig uuk kasus yag perama. Misalka pada saa ii (yaiu pada saa, berlaku A( X. Karea A( merupaka fugsi aik, maka dapa dipasika opsi aka di-exercise pada saa mauriy ime. Payoff pada saa ersebu dapa diuliska meadi: T T S( τ dτ X S( τ dτ X + S( τ dτ T T T T T T T T A ( X+ S( τ dτ T T (3. Payoff seperi di aas uga bisa didapaka dega meerapka sraegi selffiacig duplicaig porfolio. Misalka seorag ivesor megivesasika rt ( ( A ( X e saua uag ke suau riskless bod sehigga pada saa T, dia aka memiliki uag sebayak A( X. Agar bisa meuupi resiko ersebu, ia harus merasfer ke riskless bod seumlah T T buah asse seiap selag waku ( τ, τ τ rt ( τ e Δτ + Δ erlewai. Sehigga uuk dari waku higga T, dibuuhka asse (uuk dirasfer ke riskless bod sebayak : Peeua Harga Opsi Asia Riswa Harapa (34 9

8 T e dτ e T T T T r rt τ T rt ( τ ( r T ( rt ( T rt ( e e T e rt ( T rt ( buah. Dega prisip o-arbirage, ilai opsi aka sama dega ilai selffiacig porfolio di aas, yaki rt ( rt ( e V( S, A, ( A( X e + S, A( X rt ( T Uuk kasus yag kedua, misalka keika waku saa ii (, berlaku A( < X. Persamaa yag berlaku uuk opsi dega keadaa seperi ii adalah persamaa (3.9, di maa solusi eksakya idak dapa diselesaika secara aaliik. ilai opsi ii dapa dieuka dega megguaka kompuasi (mugki dega meode beda higga dega memafaaka syara-syara baas uuk persamaa (3.9. (3. Syara-syara ersebu adalah:. Jika S, maka dega mesubsiusikaya ke dalam persamaa ( rt ( (3.9, didapa V(, A, max A( X e,. Jika S, maka didapaka V e lim V( S, A, S S r( T T rt ( 3. Jika AX, maka dega mesubsiusikaya ke dalam persamaa rt ( e (3.9, didapa V( S, X, rt ( T S 3.4 Average Value Opio dega raa-raa geomerik Misalka raa-raa geomerik uuk opsi eis ii berlagsug pada selag waku diskri i T + iδ, i,,..., dega Δ merupaka selag waku Peeua Harga Opsi Asia Riswa Harapa (34

9 uiform da T merupaka expiry ime. Kemudia, raa-raa geomerik yag diberlakuka di sii didefiisika dega k k k S( i, k,,..., (3. i Payoff pada saa ermial dari suau Europea average value call opio dega raa-raa geomerik diskri diberika oleh di maa max ( X, (3.3 X merupaka srike price. Asumsika uga pergeraka harga asse berdisribusi logormal dega variasi σ, da raio harga asse S ( i Ri, i,,..., uga berdisribusi logormal, di maa S ( i dega r merupaka suku buga. σ l ~, Ri r Δ σ Δ (3.4 Perumusa peeua harga opsi average value call Eropa bergaug pada leak ilai saa ii (, yaki apakah berada sebelum averagig period aau berada di dalam averagig period. Averagig period adalah selag waku di maa raa-raa geomerik ( dierapka, misal [ T, T ] k Perama kali aka dibahas kasus di maa waku saa ii berada sebelum averagig period, yaki < T. Persamaa (3. dapa diuliska kembali meadi S( S( S( S( (3.5 S( S( S( S( S( aau dalam beuk logarimaya: ( ( S l l + [ l R + l R l R ] (3.6 S ( S Peeua Harga Opsi Asia Riswa Harapa (34

10 Karea di maa l R i ( ( S l S S l Ri, i,,..., da l berdisribusi ormal da uga salig S bebas, maka dapa disimpulka bahwa l S ( berdisribusi ormal dega raa-raa σ σ σ + i r ( T + r Δ i r ( T + ( T T (3.7 da variasi ( + ( + σ ( T + σ Δ i σ ( T + T T. i 6 (3.8 Kemudia misalka τ T adalah ime o expiry, ika diulis ( + ( + ( στ σ τ T T 6 σ σ μ τ r τ ( T T (3.9 (3.3 maka fugsi pada peluag dari diberika harga ase S, uuk < T adalah pada saa T (dega erlebih dahulu ψ σ l l S( + μ τ ; exp στ πσ τ ( S( (3.3 Dega megguaka risk eural discoued expecaio approach, harga dari suau average value call Eropa dega raa-raa geomerik diskri diberika oleh Peeua Harga Opsi Asia Riswa Harapa (34

11 di maa rτ ( (, τ ( ψ X c S e X ; S d rτ μ ( τ τ (3.3 c S, e S e d X d, τ > T T (3.33 d σ S l + μ + τ X, da d d σ τ σ τ Lalu kia megguaka hasil di aas uuk kasus yag eksrim, yaki ika aau. Perama, ika, maka σ μ + da στ masigmasig aka berubah meadi σ r Δda σ τ, yag ariya ika, maka harga call meadi sama dega vailla opio. Lalu keika, σ μ + da στ masig-masig aka meuu ke beuk σ T T r τ da σ τ ( 3 T T, da raa-raa geomerik diskri berubah meadi raa-raa geomerik koiu. Sehigga, kia bisa medapaka ilai coiuous average value call saa T, yaki ( r σ + ( T T 6 rt ( T c S T, T T S T e d Xe ( d (3.34 dega d S T σ l + r + ( T T X 6 T T, da d d σ 3 σ 3 T T Lalu, iau kasus kedua, di maa waku saa ii berada di dalam selag averagig period, yaki T, di maa + ξδdega k suau bilaga k Peeua Harga Opsi Asia Riswa Harapa (34 3

12 bula, k, da ξ <. Pada saa ii, ilai-ilai ( S, S,, S k adalah ilai-ilai yag elah dikeahui, buka lagi merupaka peubah acak. Sedagka raio harga asse ( k ( ( k ( S + S + S,,, S S S k+ merupaka peubah acak yag berdisribusi logormal da salig bebas. Jadi kia dapa meyaaka ( k k S S S k+ ( S S S k S (3.35 S S S sehigga l l R + l R ( k l Rk+ + ( k l S ( R (3.36 dega S( S( S( S( S( S k k + k da R (. ( S Misalka raaa da variasi dari l S ( masig-masig diyaaka oleh σ μ τ da σ τ, di maa ( k ( k ( k( k σ τ σ Δ ξ + 6 (3.37 da σ σ k k k μ τ r Δ ( ξ + (3.38 Dega cara yag sama (seperi pada persamaa (3.33, ilai dari average value call opio berbeuk: di maa rτ μτ ( ( τ c S, e S e d X d, T, (3.39 Peeua Harga Opsi Asia Riswa Harapa (34 4

13 d σ S l + μ + τ X, da d d σ τ σ τ Sekali lagi, dega megambil ilai eksrim, beuk raa-raa geomerik diskri aka berubah meadi raa-raa geomerik koiu, sehigga didapa lim σ T T σ T 3 σ σ T T lim μ r ( T T lim S ( S( T T (, di maa ( exp l S( τ dτ T T T Harga dari suau average value call opio dega raa-raa geomerik koiu dapa dieuka dega mesubsiusika ilai-ilai limi di aas ke dalam persamaa ( Average Value Opio dega raa-raa arimaika diskri Opsi Asia dega raaa arimaika diskri merupaka eis opsi Asia yag palig erkeal. Formula peeua opsi eis ii cukup suli karea umlah dari kompoe-kompoe logormal idak bisa direpreseasika dega mudah. Perama, kia aka medeskripsika secara formal opsi eis ii. Misal raaa harga saham dikalkulasi selama selag waku [, ] sera pada iik i + iδ,,,,, da Δ mauriy ime. Sedagka raa-raa yag masih berala didefiisika (pada waku, di maa m+, sebagai: m, (di maa adalah waku m A( S( i, m (3.4 + m i Peeua Harga Opsi Asia Riswa Harapa (34 5

14 da A(, ( uuk <. Fugsi payoff uuk sebuah average value opio dega ipe raa-raa { X } arimaika diskri ii adalah A merupaka srike price. max,, uuk eis call, di maa X Pada pembahasa selauya, aka dilakuka modifikasi dalam cara meliha payoff akhir, yaki dalam beuk A (,, di maa m A + (, A( A( S( i, + + (3.4 + i m merupaka raa-raa dari kompoe-kompoe harga saham yag belum dikeahui ilaiya selama masa berlaku raa-raa. Dega memadag beuk ii, maka payoff opsi ii (eis call dapa diulis kembali dalam beuk dega srike price-ya meadi * { A ( X } max,, (3.4 * m + X X A + Perlu dicaa bahwa disribusi dari A(, ( idak dapa dikeahui dega elas. Cara palig baik yag harus dilakuka adalah melakuka pedekaa erhadap disribusi A( dega megaproksimasiya megguaka, disribusi lai, yaiu disribusi logormal melalui ekspasi dere Edgeworh ([],[5]. Ekspasi ii mirip dega ekspasi dere Taylor yag diguaka uuk megaproksimasi sebuah fugsi. (3.43 Ekspasi Dere Edgeworh Misalka erdapa suau disribusi F (s yag igi kia dekai oleh suau disribusi aproksimasi F a (s (sebu F (s sebagai disribusi sesugguhya. Asumsika kedua disribusi di aas ermasuk ke dalam kelompok disribusi Peeua Harga Opsi Asia Riswa Harapa (34 6

15 yag fugsi pada peluagya koiu, di maa df a ( s ds a ( s f keduaya ada. df s ds ( s f da Perama, aka didefiisika persamaa beriku:. Fugsi karakerisik dari suau disribusi F is φ F, e f sds, di maa i (3.44. Raw mome ke- dari disribusi F α F s f s ds ( Ceral mome ke- dari disribusi F α ds (3.46 μ F s F f s 4. Fugsi pembagki cumula dari disribusi F i (3.47! + ( l φ F, k F o Formula fugsi pembagki cumula ([4] Misalka Y suau peubah acak yag memiliki fugsi karakerisik φ. is is Kemudia, dikeahui φ ( F, e f ( s ds E( e ( is ( is 3 is E ( e E + is + + +! 3!, da i i + E s i+ E s + + E s +!. Fugsi pembagki cumula : i i F k F + o + E s l φ, l!! Kemudia, dikeahui bahwa ika z a+ bi, i, maka Peeua Harga Opsi Asia Riswa Harapa (34 7

16 ( z ( l + z, sehigga ( F l φ, k+ E s k k! i 3 E s i + E s + E s + + 3! i 3 i 3 E s i + E s + E s i + E s + +! i i 4 E s i + E s + E s i + E s + 3! i i i k 3 i E s i + E s + E s + +! 3! { E( s E( s( i + E( s E( s + } + 3 { E( s E( s E( s( i + } + 3 i Kemudia, koefisie! 3 dari dere di aas didefiisika sebagai cumula ke- dari disribusi F, da bisa dikeahui bahwa iga cumula perama adalah α k F E s s, k( F E( s E( s E( s μ( s,! k3 ( F E( s.. E( s E( s. + ( E( s ( E s E s E s + E s μ 3 ( F 3 + Lalu aka diasumsika bahwa cumula perama higga cumula ke- + ada, mome perama higga mome ke- dari disribusi F ada, sera Peeua Harga Opsi Asia Riswa Harapa (34 8

17 d Fa ds ( s uuk m uga ada. Misalka didefiisika sebagai mi { m, }, maka selisih dari l φ ( F, da l ( F, φ adalah i (3.48! + φ( a + ( l φ F, k F k F l F, o Kemudia dega megambil fugsi ekspoe dari persamaa di aas, da dega memperimbagka bahwa a o e + o, maka didapa (, exp φ F k F k F φ( Fa, + o( ( i (3.49! Perhaika fugsi ekspoesial pada persamaa ( F, φ di aas. Jika kia ekspasi fugsi ekspoesial ersebu ke dalam beuk poliomial dalam ( i, didapa: y i ( i exp k F k F k F k F! y! + k F k F + +!! ( i ( i k F k F i! ( ( ( i i i + k F k Fa + k( F k( Fa + + k F k Fa ( ( i i + k F k Fa + k F k F a +! ( 3 ( 3 i i + k F k Fa + k F k F a + 3! E + o! (! di maa : Peeua Harga Opsi Asia Riswa Harapa (34 9

18 E, ( ( a, ( E k F k F ( E k F k F + k F k F k F k F + E a a a da seerusya, Sehigga, persamaa (3.49 meadi: ( i φ( F E F o, φ( a, + (3.5! Sebagai lagkah erakhir, kia aka memafaaka Fourier rasform. Kia puya hubuga beriku: is f( s e φ ( F,, π d fa ( s is e ( i φ ( Fa, d, dega,,, ds π da kemudia d fa ( s ( s ( i is f( s e E φ ( Fa, o( d π +! is is e ( i φ ( Fa, E d e o( d π +! π d fa is E e o( d ds +! π d fa s d fa s is E + E ( + E ( + e o (! ds! ds! ds π d d fa ( s fa( s + E ( + ε ( s,! ds (3.5 s e o d π is di maa ε (, ( Uuk meghiug ilai opsi Asia dega raa-raa arimaika, maka aka dilakuka aproksimasi disribusi oleh disribusi piliha, dalam hal ii disribusi logormal, yaki dega meyamaka dua mome perama dari Peeua Harga Opsi Asia Riswa Harapa (34 3

19 disribusi sebearya (idak dikeahui eisya da disribusi aproksimasi (logormal, yaki α α ( F da μ μ ( F F a persamaa dere Edgeworh (3.6. meadi ε (,3 a F a, sehigga f s f s + s (3.5 di maa E α ( F α ( F da a ( a E k F k F + E. Formulasi harga opsi Average Value Arihmeic Opios Sebuah average value opio dega raa-raa arimaika diskri mempuyai payoff A * { X } max,, da ilai opsi call pada saa ii adalah * ( { } rτ c S, A, e E max A, X, (3.53 dega τ. Seperi yag elah dibahas sebelumya, disribusi dari A (, aka diaproksimasi oleh disribusi logormal, aau dega kaa lai, disribusi dari ( ( l A, aka diaproksimasi oleh disribusi ormal. Asumsika disribusi ormal ii memiliki mea ( μ da variasi σ. Kemudia, mome perama da kedua dari disribusi logormal yag aka dipakai uuk megaproksimasi adalah ( σ ( ( F μ( +, da α ( F μ( σ ( α a a +. Pemberlakua ekspasi dere Edgeworh dua suku erhadap disribusi dari A (, dilakuka dega meyamaka mome perama da kedua dari disribusi logormal di aas dega mome perama da kedua dari disribusi A (,, yaiu σ ( μ ( + l E A (, μ( + σ ( l E A (, ( ( da. Dega meyelesaikaya erhadap μ ( da σ (, didapa: Peeua Harga Opsi Asia Riswa Harapa (34 3

20 ( ( ( ( ( ( ( μ l E A, l E A, σ l E A, l E A, sehigga dega megasumsika l A(, mea μ ( da variasi σ ( (,, r τ τ (, berdisribusi ormal dega, bisa didapa ilai call sebagai beriku: * ( c S A e E A d X d (3.54 dega d ( σ ( σ ( * μ + l X, da d d σ (. Formulasi ilai call ersebu adalah pedekaa yag cukup baik disribusi (buka ilai yag eksak/sebearya. Sisa pekeraa kia dari A(, (, (, adalah meeuka formulasi dari E A ( da E A (. Misalka S( adalah harga asse pada waku, di maa m + ζδ, dega ζ <. Uuk waku >, elah dikeahui bahwa ( (, ( i i m+ E A E S +. Selai iu, uga elah dikeahui bahwa pergeraka harga saham megikui beuk ( S( d S rd + σ dz, dega r adalah suku buga da σ adalah ilai variasi. Kemudia kia puya E S( i m+ ri ( m ζ ( i S( e Δ, di maa ( ζ Δ ( ζ Δ ( ζ Δ ( ζ ri m r r e e + e + + e ( rδ rδ m rδ e e e ζδ ζδ ζδ e e e r m Δ Peeua Harga Opsi Asia Riswa Harapa (34 3

21 merupaka dere geomeri dega rasio e rδ. Karea dikeahui umlah dari dere geomeri eis ii adalah r a, di maa a adalah suku perama r dari dere, adalah umlah suku dari dere, da r adalah rasio dari dere. Sehigga didapaka : i m+ e ( ζ ( ζ ( ζ r m Δ e e rδ e, da ri m Δ r Δ r( ζ ( ζ r m Δ S e E ( A Δ (, e, rδ + e (3.55 Kemudia, uuk kasus di maa <, maka berlaku ( (, ( E A E S i, da dega prosedur yag serupa + didapaka i r ( r + Δ S e E ( A ( e rδ + e,, < (3.56 Uuk mecari mome kedua dari disribusi A ( prosedur yag serupa dega prosedur mecari E A (, (,, uga diguaka, yaiu dimulai dega pemisaha kasus, yaki kasus di maa da <. Pada kasus di maa, kia puya ( (, ( + ( + i m+ m+ i m+ m+ ( ( i S( ( ( i E A E S S da akhirya bisa didapaka ([]: ( (, S( ( + S( ( + E S + Δ + mi, i m+ m+ E A e ζr( σ ( ( m ζ ζ( r+ σ Δ e A A + A A, 3 4, (3.57 di maa Peeua Harga Opsi Asia Riswa Harapa (34 33

22 ( r+ σ Δ ( r+ σ ( m+ Δ r( m+ + σ Δ ( r+ σ ( m+ Δ e e e e A, A, rδ ( r+ σ Δ rδ ( r+ σ Δ e e e e ( 3r+ σ Δ r( m+ + σ Δ ( r+ σ Δ ( r+ σ ( m+ Δ e e e e A3, A 4 rδ ( r+ σ Δ e e e (, r+ σ Δ r+ σ Δ e Kemudia uga dega cara yag sama, uuk < didapa ([]: ( ( S( ( + ( r + σ ( + < (3.58 E A, e B B B3 B4, di maa ( σ ( σ r+ + Δ r+ + Δ r + Δ e e e B, B, rδ ( r+ σ Δ rδ ( r+ σ Δ ( e ( e ( e ( e rδ r( + Δ ( r+ σ Δ ( r+ σ ( + Δ e e e e B3, B 4, rδ ( r+ σ Δ ( r+ σ Δ r+ σ Δ e e e e Peeua Harga Opsi Asia Riswa Harapa (34 34