4-1 Proses Bernoulli (1)

Transkripsi

1 4 isribusi Variabel Radom iskri Proses Beroulli isribusi Biomial isribusi Geomerik isribusi Hiergeomerik Proses & isribusi Poisso Pedekaa uuk isribusi Biomial /7/4 TI-3 Teori Probabilias - I 4- Proses Beroulli Percobaa Beroulli adalah ercobaa yag memeuhi kodisi-kodisi beriku:. Sau ercobaa dega ercobaa yag lai ideede. Ariya, sebuah hasil idak memegaruhi mucul aau idak muculya hasil yag lai.. Seia ercobaa memberika dua hasil yag mugki, yaiu sukses* da gagal. Kedua hasil ersbu bersifa muually eclusive da ehausive. 3.Probabilias sukses, disimbolka dega, adalah ea aau kosa. Probabilias gagal, diyaaka dega q, adalah q -. * Isilah sukses da gagal adalah isilah saisik yag idak memiliki imlikasi osiif aau egaif. /7/4 TI-3 Teori Probabilias - I

2 Proses Beroulli Beberaa disribusi yag diladasi oleh roses Beroulli adalah : isribusi biomial, isribusi geomerik, da isribusi hiergeomerik. ermasuk kaegori ersebu adalah disribusi muliomial da egaif biomial. /7/4 TI-3 Teori Probabilias - I 3 isribusi Biomial Sebuah variabel radom,, meyaaka jumlah sukses dari ercobaa Beroulli dega adalah robabilias sukses uuk seia ercobaa, dikaaka megikui disribusi diskri robabilias biomial dega arameer jumlah sukses da robabilias sukses. Selajuya, variabel radom disebu variabel radom biomial. /7/4 TI-3 Teori Probabilias - I 4

3 isribusi Biomial Sebuah sisem roduksi meghasilka roduk dari dua mesi A da B dega keceaa yag sama. iambil 5 roduk dari laai roduksi da yaaka sebagai jumlah roduk yag dihasilka dari mesi A. Ada 5 3 urua yag mugki sebagai ouu dari mesi A da B sukses da gagal yag membeuk ruag samle ercobaa. iaara hasil ersebu, ada hasil yag memua ea roduk dari mesi A : AABBB ABABB ABBAB ABBBA BAABB BABAB BABBA BBAAB BBABA BBBAA Probabilias roduk dari mesi A dari 5 roduk yag diambil adalah q 3 / / 3 /3, robabilias dari hasil ersebu adalah : P * /3 /3.35 /3 Jumlah hasil dimaa dihasilka dari mesi A Probabilias bahwa sebuah hasil memiliki roduk dari mesi A /7/4 TI-3 Teori Probabilias - I 5 isribusi Biomial 3 P * /3 /3.35 Perhaika bahwa robabilias ersebu dihasilka dari: Secara umum:. Probabilias dari sukses dari ercobaa dega robabilias sukses da robabilias gagal q adalah: q - /3 Jumlah hasil dimaa dihasilka dari mesi A Probabilias bahwa sebuah hasil memiliki roduk dari mesi A. Jumlah urua dari ercobaa yag meghasilka ea sukses adalah jumlah iliha eleme dari oal eleme: C!!! /7/4 TI-3 Teori Probabilias - I 6

4 isribusi Biomial 4 isribusi robabilias biomial : P q!!! q dimaa : robabilias sukses sebuah ercobaa, q -, jumlah ercobaa, da jumlah sukses. Jumlah sukses 3 M Probabilias P! q!!! q!!! 3 q 3! 3!! q!! M! q!! 3. /7/4 TI-3 Teori Probabilias - I 7 isribusi Biomial isribusi robabilias kumulaif biomial da disribusi robabilias variabel radom biomial A, jumlah roduk yag dihasilka oleh mesi A.5 dalam 5 roduk yag diambil. a Fh Ph Peeua ilai robabilias dari robabilias kumulaif F P P i P F - F Cooh P 3 F 3 F /7/4 TI-3 Teori Probabilias - I 8 : all - i

5 isribusi Biomial 6 6% dari roduk yag dihasilka adalah semura. Sebuah samle radom sebayak 5 diambil. Beraa robabilias bahwa alig bayak ada iga roduk yag semura? F P P i all i F 3 P 3. /7/4 TI-3 Teori Probabilias - I 9 isribusi Biomial 7 - Ecel /7/4 TI-3 Teori Probabilias - I

6 isribusi Biomial 8 - Ecel jumlah roduk semura dari sebuah samle radom berjumlah 5 roduk isribusi Biomial 5,.6 P P < Probabiliy Produk semura # Produk semura 5 /7/4 TI-3 Teori Probabilias - I isribusi Biomial 9 Mea dari disribusibiomial: µ E Variasidari disribusibiomial: σ V q eviasisadar dari disribusibiomial: σ S q A adalah jumlah roduk dari mesi A dalam5 roduk : µ E H H σ V H H σ S H.5.77 H /7/4 TI-3 Teori Probabilias - I

7 isribusi Biomial..3.5 Biomial Probabiliy: 4. Biomial Probabiliy: 4.3 Biomial Probabiliy: P P P Biomial Probabiliy:. Biomial Probabiliy:.3 Biomial Probabiliy:.5 P P P Biomial Probabiliy:. Biomial Probabiliy:.3 Biomial Probabiliy:.5 P. P. P isribusi biomial cederug mejadi simeris dega meigkaya da.5. /7/4 TI-3 Teori Probabilias - I 3 isribusi Hiergeomerik isribusi biomial diguaka ada oulasi yag idak erbaas, sehigga roorsi sukses diasumsika dikeahui. isribusi robabilias hiergeomerik diguaka uuk meeuka robabilias kemucula sukses jika samlig dilakuka aa egembalia. Variabel radom hiergeomerik adalah jumlah sukses dalam iliha, aa egembalia, dari sebuah oulasi erbaas, dimaa diaaraya adalah sukses da - adalah gagal. /7/4 TI-3 Teori Probabilias - I 4

8 isribusi Hiergeomerik Peurua fugsi disribusi hiergeomerik diuruka dega meghiug kombiasi-kombiasi yag erjadi. Kombiasi yag daa dibeuk dari oulasi berukura uuk samel berukura adalah kombiasi C,. Jika sebuah variabel radom diskri meyaaka jumlah sukses, selajuya daa dihiug kombiasi dieroleh sukses dari sejumlah sukses dalam oulasi yag dikeahui yaiu C,, da demikia ula halya daa dicari - kombiasi gagal dari sisaya -, yaiu kombiasi C-,-. /7/4 TI-3 Teori Probabilias - I 5 isribusi Hiergeomerik 3 ega demikia: sukses C,. C-,- aau yag dieroleh dari oal kombiasi yag mugki C, aau /7/4 TI-3 Teori Probabilias - I 6

9 /7/4 TI-3 Teori Probabilias - I 7 isribusi Hiergeomerik 4 Sebuah variabel radom diskri meyaaka jumlah sukses dalam ercobaa beroulli da oal jumlah sukses dikeahui dari sebuah oulasi berukura, maka dikaaka megikui disribusi hiergeomerik dega fugsi kemugkia : isribusi kemugkia hiergeomerik serig ula disimbolka dega h;;;. oherwise,,mi,,, K /7/4 TI-3 Teori Probabilias - I 8 isribusi Hiergeomerik 4 Parameer emusaa da eyebara adalahsebagai beriku : E, mi / / jika besar maka / Uuk kasus dimaa <, maka eksekasi ersebu adalah E. Karea!!!, maka dieroleh E.

10 /7/4 TI-3 Teori Probabilias - I 9 isribusi Hiergeomerik 5 Trasformasika y-, maka beuk di aas berubah mejadi y y y E, karea y y da!!! maka dieroleh y y y E Karea ejumlaha ersebu meghasilka ilai sau sifa disribusi kemugkia, maka E. /7/4 TI-3 Teori Probabilias - I isribusi Hiergeomerik 6 aa dibukika bahwa E. Eksekasi erkalia da - adalah ] [ E E E. Karea E da E, maka ] [ E. Variasi µ σ E, hal ii berari ] [ µ µ σ + E aau ruas kaa mejadi +. ega egaura kembali dieroleh variasi disribusi kemugkia hiergeomerik adalah V σ uuk yag besar hasil ii medekai q.

11 isribusi Hiergeomerik 7 Cooh: Sebuah dealer oomoif meerima lo berukura dimaa haya 5 diaaraya yag medaa emeriksaa kelegkaa. 5 kedaraa diambil secara radom. ikeahui ada kedaraa dari lo berukura yag idak legka. Beraa kemugkia sekuragya ada kedaraa dari 5 kedaraa yag dieriksa eryaa idak legka? P P ! 8! 5!! 4! 4!. 556! 9 5! 5!! 8!!! 3! 5!.! 9 Sehigga, P + P ! 5! /7/4 TI-3 Teori Probabilias - I isribusi Hiergeomerik 4 jumlah kedaraa dalam samle berukura 5 yag eryaa idak legka isribusi Hiergeomerik,, 5 P P < Probabiliy Pemeriksaa kedaraa # kedaraa idak legka /7/4 TI-3 Teori Probabilias - I

12 isribusi Muliomial isribusi robabilias biomial diguaka uuk sejumlah sukses dari ercobaa yag ideede, dimaa seluruh hasil oucomes dikaegorika ke dalam dua kelomok sukses da gagal. isribusi robabilias muliomial diguaka uuk eeua robabilias hasil yag dikaegorika ke dalam lebih dari dua kelomok. Fugsi disribusi robabilias muliomial:! P...,,.., k!!... k! k k /7/4 TI-3 Teori Probabilias - I 3 isribusi Muliomial Berdasarka laora sebuah eeliia ahu 995, diaara roduk mikrorosesor eium geerasi erama dikeahui erdaa caca yag megakibaka kesalaha dalam oerasi arimaika. Seia mikrorosesor daa dikaegorika sebagai baik, rusak da caca daa diguaka dega kemugkia mucul kesalaha oerasi arimaika. ikeahui bahwa 7% mirkorosesor dikaegorika baik, 5% caca da 5% rusak. Jika sebuah samle radom berukura diambil, beraa robabilias diemuka 5 mikrorosesor baik, 3 caca da rusak?! P 5, 3, 5!!! /7/4 TI-3 Teori Probabilias - I 4

13 isribusi Geomerik Berkaia dega ercobaa Beroulli, dimaa erdaa ercobaa ideede yag memberika hasil dalam dua kelomok sukses da gagal, variabel radom geomeric megukur jumlah ercobaa samai dieroleh sukses yag erama kali. Fugsi disribusi robabilias P q geomerik: dimaa,,3,..., da q adalah arameer robabilias sukses da gagal. Raa- raa da variasi disribudirobabilias geomerik adalah: µ σ q /7/4 TI-3 Teori Probabilias - I 5 isribusi Geomerik Pada suau daerah, P-Cola meguasai agsa asar sebesar 33.% badigka dega agsa asar sebesar 4.9% oleh C-Cola. Seorag mahasiswa melakuka eeliia eag roduk cola baru da memerluka seseorag yag erbiasa memium P-Cola. Resode diambil secara radom dari emium cola. Beraa robabilias resode erama adalah emium P-cola, beraa robabilias ada resode kedua, keiga aau keema? P P P P Probabilias lulus maa kuliah eori robabilias adalah 95%, beraa robabilias ada lulus ahu ii, ahu dea da seerusya? /7/4 TI-3 Teori Probabilias - I 6

14 isribusi Biomial egaif Variabel radom biomial, meyaaka: Jumlah sukses dari ercobaa ideede Beroulli. adalah robabilias sukses ea uuk seia ercobaa Jika igi dikeahui: Pada ercobaa keberaa sejumlah sukses c daa dicaai dalam ercobaa Beroulli. /7/4 TI-3 Teori Probabilias - I 7 isribusi Biomial egaif Perimbagka sebuah roses iseksi uuk meemuka roduk caca kaegori sukses dega robabilias.. Baas sebuah eolaka sebuah lo adalah jika diemuka 4 buah caca. iemuka bahwa sebuah lo diolak seelah dilakuka iseksi ada roduk. Sebuah kemugkia adalah GGGGGG. ega eori mulilikasi, robabilias urua ersebu adalah Karea ercobaa ersebu ideede, aa memerhaika urua, robabilias dieroleh 4 caca dari ercobaa adalah /7/4 TI-3 Teori Probabilias - I 8

15 isribusi Biomial egaif Karea krieria eolaka adalah diemukaya 4 roduk caca, maka osisi ke- adalah asi roduk caca. Sehigga jumlah urua yag mugki adalah kombiasi 3 dari 9, 9. Probabilias dierluka ercobaa uuk meghasilka 4 sukses adalah: 9! !6! isribusi robabilias egaif biomial: c c c, dimaa c, c +, c +,... 3 /7/4 TI-3 Teori Probabilias - I 9 isribusi Biomial egaif 3 Perhaika disribusi kumulaif: r c c c c dimaa ruas kaa adalah: r r r c- r r yag daa dieroleh dari disribusi kumulaif biomial c B c ; r; /7/4 TI-3 Teori Probabilias - I 3

16 Proses & isribusi Poisso Percobaa beroulli meghasilka variabel radom yag berilai umerik, yaiu jumlah sukses yag erjadi. Jika egamaa dilakuka ada ada suau reag ierval waku, maka daa diamai bahwa variabel radom adalah erjadiya sukses selama waku ereu. Jika erhaia diujuka ada kejadia sukses yag mucul lahir ada suau reag yag kecil, maka erjadi sebuah roses kelahira birh aau arrival rocess aau dikeal sebagai roses Poisso Poisso rocess. /7/4 TI-3 Teori Probabilias - I 3 Proses & isribusi Poisso Sifa-sifa Proses Poisso: Jumlah sukses yag erjadi dalam suau selag waku aau daerah ereu idak diegaruhi ideede erhada kejadia ada selag waku aau daerah yag lai. Kemugkia erjadiya suau sukses uggal dalam ierval waku yag edek medekai ol sebadig dega ajag ierval da idak ergaug ada bayakya sukses yag erjadi di luar ierval ersebu. Kemugkia erjadiya lebih dari sau sukses dalam ierval waku yag edek daa diabaika. /7/4 TI-3 Teori Probabilias - I 3

17 isribusi Probabilias Poisso isribusi robabilias Poisso bermafaa dalam eeua robabilias dari sejumlah kemucula ada reag waku aau luas/volume ereu. Variabel radom Poisso meghiug kemucula ada ierval waku yag koiyu. Fugsi disribusi robabilias Poisso : α α e P uuk!,,3,... dimaa α adalah raa-raa disribusi yag juga meruaka variasi da e adalah bilaga logarimik aural e /7/4 TI-3 Teori Probabilias - I 33 isribusi Probabilias Poisso Fugsi disribusi oisso daa diuruka dega memerhaika asumsi-asumsi beriku: Jumlah kedaaga ada ierval yag idak salig umag idih ooverlaig ierval adalah variabel radom ideede. Ada ilai arameer λ osiif sehigga dalam sebuah ierval waku yag kecil aka dieroleh : i Kemugkia bahwa erjadi ea sau kedaaga ada ierval waku adalah λ. ii Kemugkia bahwa erjadi ea ol kedaaga ada ierval waku adalah λ. /7/4 TI-3 Teori Probabilias - I 34

18 /7/4 TI-3 Teori Probabilias - I 35 isribusi Probabilias Poisso 3 Perhaika osisi da reag waku beriku: + Uuk suau iik waku yag ea fied, kemugkia erjadi ol kedaaga diformulasika sebagai beriku : [ ] + λ. ega melakuka eyusua kembali aka dieroleh + λ. Jika ierval waku saga kecil medekai ol, maka daa diguaka diferesial beriku : lim ' λ +. /7/4 TI-3 Teori Probabilias - I 36 isribusi Probabilias Poisso 4 Hal yag sama daa dilakuka jika erdaa kedaaga >, sehigga daa diformulasika kemugkia beriku [ ] + + λ λ. ega melakuka eyusua kembali aka dieroleh. + λ λ Jika ierval waku saga kecil medekai ol, maka daa diguaka diferesial beriku : lim ' λ λ +.

19 isribusi Probabilias Poisso 5 ari dua ersamaa diferesial yag dieroleh uuk ol kedaaga da ada kedaaga >, dieroleh solusi λ beriku λ e /!. Karea iik waku adalah ea fied, maka daa diguaka oasi α λ, sehigga disribusi robabilias oisso yag dieroleh adalah: α e α /!,,,, K laiya Parameer emusaa da eyebara adalah: α α α e α e E α da V α α.!! /7/4 TI-3 Teori Probabilias - I 37 isribusi Probabilias Poisso 6 Perusahaa eleo memberika iliha esawa eleo sebagai kombiasi wara, ye, fugsi, dll. Sebuah erusahaa membuka cabag baru da ersedia sambuga elo dimaa seia karyawa boleh memilih esawa eleo sesuka haiya. Asumsika bahwa ke- iliha ersebu adalah equally likely. Beraa robabilias bahwa sebuah iliha idak diilih, diilih oleh seorag, dua orag aau iga orag karyawa? ; /. ; α.... e P.887!.. e P.637!.. e P.64! 3.. e P 3. 3! /7/4 TI-3 Teori Probabilias - I 38

20 isribusi Probabilias Poisso 7 Raa-raa egirima baha baku ke suau abrik adalah ruk da fasilias bogkar haya mamu meerima alig bayak 5 ruk er hari. Pemasok megika agar ruk asokaya daa dibogkar ada hari yag sama. Suau hari, emasok megirimka sebuah ruk ke abrik ersebu, beraa kemugkia ruk ersebu harus bermalam karea idak daa dibogkar? adalah variabel radom bayakya ruk baha baku yag iba seia hari. ega disribusi Poisso, kemugkia sebuah ruk 5 harus bermalam adalah P > 5 P 5 ;.953 dari abel, maka kemugkia sebuah ruk harus bermalam karea idak daa dibogkar adalah /7/4 TI-3 Teori Probabilias - I 39 isribusi Probabilias Poisso 8 jumlah karyawa yag memilih esawa eleo ereu Poisso isribuio mea. P P < Probabiliy Pesawa Teleo # jumlah karyawa yag memilih esawa elo ereu /7/4 TI-3 Teori Probabilias - I 4

21 isribusi Probabilias Poisso 9 µ. µ P. P µ 4 µ..5. P. P /7/4 TI-3 Teori Probabilias - I 4 Pedekaa Biomial - Poisso Pada disribusi robabilias biomial, jika saga besar da kecil, maka erhiuga kemugkiaya suli dilakuka. Pada kodisi ersebu, erhiuga ilai kemugkia uuk variabel radom biomial daa didekai dega erhiuga aau abulasi ada disribusi oisso. Teorema : Jika adalah variabel radom biomial dega disribusi kemugkia b;,, da jika bila ukura samel, ilai roorsi sukses, da diguaka edekaa µ, maka ilai b ;, ; µ. /7/4 TI-3 Teori Probabilias - I 4

22 Pedekaa Biomial - Poisso Buki : Fugsi disribusi kemugkia biomial daa diulis sebagai beriku b q ;,!!! µ / Jika dilakuka rasformasi /7/4 TI-3 Teori Probabilias - I ! maka dieroleh... + µ µ b ;,...,! da dari defiisi bilaga aural e, dieroleh hubuga beriku / µ µ µ lim lim + e. / µ ega memerhaika syara limi di aas daa dieroleh µ e µ b ;,, dimaa,,, yaiu sebuah disribusi oisso! uuk µ α raa-raa jumlah suksesraa-raa kedaaga.. Pedekaa Biomial - Poisso 3 Cooh Besarya kemugkia diemuka caca ada hasil egelasa iik adalah.. Pada sebuah roduk hasil rakia erdaa 4 iik egelasa, beraa kemugkia diemuka lebih dari 6 caca ada sebuah roduk hasil rakia? Variabel radom biomial meyaaka jumlah caca ada hasil rakia, maka kemugkia diemuka lebih dari 6 caca ersebu adalah P Perhiuga ii suli dilakuka sehigga didekai dega erhiuga uuk fugsi disribusi kemugkia Poisso dimaa arameer adalah 6 4 α 4. 4 sebagai beriku P 6 e 4 /!. 889, maka kemugkia diemuka lebih dari 6 caca adalah /7/4 TI-3 Teori Probabilias - I 44

23 Pedekaa Biomial - Poisso 4 Cooh Sebuah roses meghasilka barag-barag dari lasik yag serig kali memiliki gelembug aau caca. ikeahui bahwa raa-raa erdaa dari barag yag dihasilka memuyai sau aau lebih caca. Beraa kemugkia bahwa dari samel acak berjumlah 8 roduk lasik aka erdaa 7 roduk yag memiliki caca gelembug? Pada dasarya, kasus roduk lasik caca ii megikui disribusi biomial dega 8 da,. Karea saga kecil da medekai ol sera saga besar, maka erhiuga ilai kemugkia daa didekai dega disribusi Poisso dega dimaa µ 8,8, sehigga kemugkia bahwa dari samel acak berjumlah 8 roduk lasik aka erdaa 7 roduk yag memiliki caca daa dihiug sebagai beriku 6 P < 7 b ;8,, ;8, /7/4 TI-3 Teori Probabilias - I 45 isribusi Probabilias Uiform isribusi robabilias diskri uiform berkaia dega variabel radom dimaa semua ilaiya memiliki kemugkia yag sama. efiisi Jika variabel radom memiliki ilai,,, k, dega kemugkia erjadi yag sama maka dikaaka bahwa variabel radom megikui disribusi uiform diskri dega fugsi disribusi kemugkia sebagai beriku f ; k, dimaa k,,, k Parameer emusaa da eyebara adalah sebagai beriku : k E µ i da i k k k i µ i V σ i i. i k i k k /7/4 TI-3 Teori Probabilias - I 46 k