ρ = sehingga momen pertama dan kedua BAB 2 TEORI DASAR 2.1 Random Walk ρi = ε) = q= 1 p. Posisi suku bunga bergerak pada

Transkripsi

1 BAB EORI DASAR Uuk meeuka ieres rae differeial, peulis aka membahas erlebih dahulu beberapa eori yag berkaia dega proses sokasik Pergeraka suau parikel yag bergerak secara acak aau disebu juga megikui proses sokasik dibahas dalam eori radom walk da gerak Brow Sisem diamik yag diguaka pada pegopimala biaya iesasi berbeuk persamaa diferesial sokasik sehigga peulis aka membahas solusi persamaa diferesial sokasik sedagka pedekaa dalam medapaka solusi persamaa diferesial biasa orde bisa melalui persamaa Bellma yag diuruka dari pemrograma diamik Peeua biaya iesasi yag opimal megguaka eori korol opimal dega ideks performasi aau fugsi ogkos berupa liier kuadraik regulaor Radom Walk Misalka suku buga berada pada sumbu x pada saa = 0 dapa bergerak aik aau uru dega jarak yag sama yaiu sepajag ε saua lagkah ρ i dapa diyaaka sebagai suku buga pada lagkah ke-i yag berilai +ε pada saa bergerak aik da -ε pada saa bergerak uru Uuk suku buga yag bergerak aik mempuyai peluag sebesar P( ρ = ε) =, sedagka peluag suku buga r i p bergerak uru sebesar P( r ρi = ε) = q= p Posisi suku buga bergerak pada lagkah ke- yaiu: ρ = sehigga mome perama da kedua ρ ρ ρ dari ρ i, uuk i =,,, yaiu: ( ρ ) ε ε ε, E = p q = p q () i p q E i p q pq ar ρi = ε + ε ρ = ε ε = 4 ε () 4

2 BAB EORI DASAR 5 Berdasarka sifa dari ρ i yag salig bebas erhadap sau sama lai, maka persamaa () da () dapa diyaaka sebagai beriku E E E p q i= i= ( ρ ) = ρi = ( ρi) = ( ) ε, (3) Var ρ = 4pqε (4) Defiisika bahwa ieral erhadap perubaha waku adalah Δ = Dega ρ = demikia, persamaa (3) da (4) mejadi E( ) ( p q) ε Var ( ρ ) = 4 pq Beriku ii adalah ilusrasi pergeraka suku buga Δ ε Δ da q p 0 ( x ) ε xε ( x + ) ε Gambar : Ilusrasi pergeraka suku buga Uuk x lagkah dapa diyaaka p ( + xε ) da q ( xε ) sehigga beuk ariasi di aas dapa diaggap sebesar 4pq da uuk selag wakuya yag diperkecil sehigga lim ε Δ 0 ε Δ = σ Melalui beuk ekspekasi suku buga yag ε μ elah dikeahui sehigga ( p q) = μ mejadi ( p q) x ε = σ Akibaya, Δ σ μ ilai x dapa dieuka yaiu x = Dega demikia, peluag suku buga σ

3 BAB EORI DASAR 6 μ bergerak aik da uru masig-masig sebesar p + ε σ da μ q ε σ Gerak Brow (Browia Moio) Proses sokasik { } W di uuk [0, ) dikaaka gerak Brow (sadar) aau proses Wieer jika memeuhi kodisi dibawah ii, yaiu: W 0 = 0 W adalah fugsi koiu 3 Bila 0 = 0 < < < < dega W sasioer da keaika dari W yaiu Y = W W Y = W W maka 0 Y = W W YYY,,,, Y salig bebas da berdisribusi ormal a) 3 b) E Y j = 0, uuk seiap j c) ( Yj) j j Misalka ar =, uuk seiap j W adalah sebuah proses wieer sehigga perubaha pada W yaiu erhadap ieral waku Δ, memeuhi kodisi beriku: Δ W, Hubuga aara Δ W da Δ yaiu Δ W = Y Δ, dimaa Y adalah peubah acak yag berdisribusi ormal dega meaya adalah 0 da sadar deiasiya adalah Dega demikia, E( dw ) = 0 da = = Var dw E dw d

4 BAB EORI DASAR 7 Peubah acak Y yag beruru-uru salig bebas sehigga [ ] 0 EYY = uuk s Maka ilai Δ W dari uuk seiap ieral waku yag berbeda adalah salig bebas Selajuya peulis aka membahas beberapa jeis gerak Brow s Gerak Brow Arimaik (Arihmaic Browia) Gerak Brow sadar yag mempuyai ekspekasi perubaha pada W adalah 0 da olailiasya adalah Secara umum perubaha suku buga dapa dikaaka bahwa dimaa ρ ρ = μξ + σ ξ (5) + h Y+ ξ ρ berdisribusi ormal da parameer ξ meyaaka periode pedek dari waku Misalka ξ = /, =0, da h= sehigga persamaa (5) mejadi Yi ξ ρ ρ0 = μ + σyi ξ = μ + σ i= i= (6) Uuk meuju ak higga, dega megguaka eorema limi pusa suku di sisi kaa aka berdisribusi ormal yaiu N(0, ) sehigga persamaa (6) dapa diuliska yaiu ρ ρ = μ + σ (7) 0 W Dega demikia, beuk diferesial dari persamaa (7) adalah dρ = μd+ σdw, (8) dimaa suku μ meyaaka peyimpaga perubaha suku buga da σ meyaaka olailias suku buga Proses Orsei-Uhlebeck Beberapa iesor asig yag meyakii bahwa suku buga domesik cederug uuk kembali ke ilai yag eap megakibaka perluya uuk melakuka modifikasi dari proses gerak Brow Arimaik yaiu proses Orsei-Uhlebeck, biasa dikeal dega mea reesio Secara garis besar, proses ii meyaaka bahwa jika suku buga saa iu lebih kecil dari ilai yag dieapka maka suku

5 BAB EORI DASAR 8 buga ersebu aka cederug uuk aik kembali Sebalikya, jika suku bugaya lebih besar dari ilai yag dieapka maka suku buga ersebu aka cederug uuk uru kembali Suku buga ersebu aka meuju ke ilai yag eap da biasaya meuju suku buga ierasioal Dega demikia, persamaa (8) dapa dimodifikasi mejadi dρ = ω ρ ρ d+ σ dw (9) Persamaa (9) meyaaka bahwa jika ρ lebih besar dari ρ maka suku peyimpaga ω ρ ρ d mejadi berilai egaif Jika ρ lebih kecil dari ρ maka suku peyimpaga mejadi berilai posiif Parameer ω meyaaka ukura kecepaa peyimpaga meuju ilai yag eap yaiu ρ Jika ω besar, maka ρ aka bergerak lebih cepa meuju ilai yag eap Dalam hal ii, diharapka ρ meuju ρ σ meyaaka olailias dari suku buga Uuk lebih jelasya, dapa diliha dari gambar () di bawah ii Gambar : Ilusrasi proses Orsei-Uhlebeck 3 Persamaa Diferesial Sokasik Misalka suau sisem diamik megikui persamaa diferesial sebagai beriku dρ = μρ d+ σρ dw, (0)

6 BAB EORI DASAR 9 dega dw = Y d, dimaa Y berdisribusi ormal baku Perhaika fugsi dega peubah acak: V = V(ρ,) Dega memafaaka dere aylor pada V,diperoleh V V V V V dv = dρ+ d + ( dρ) + ( d) + dρd + ρ ρ ρ Persamaa (0) disubsiusika ke persamaa (), diperoleh () V V V dv ( μρ d σρ = + dw ) + d + ( d dw ) ρ ρ μρ + σρ V V + ( d) + ( μρd + σρdw ) d + () ρ Selajuya dari persamaa () haya diambil suku dega orde d sehigga dρd μρd σρdw d μρ d σρdy d = ( + ) = + 0 (3) ρ μρ σρ μ ρ μσρ σ ρ 3/ ( d ) = ( d+ dw) = ( d) + ( d) Y + Y ( d) σ ρ Yd (4) Persamaa (3) da (4) disubsiusi ke persamaa () sehigga diperoleh V V V V dv = + μρ + σ ρ Y d σρdw + dega Y N(0,) ρ ρ ρ (5) Beriku ii adalah perluasa Lemma Io uuk medapaka solusi dari persamaa diferesial sokasik dv = μv d + σv dw, (6) Asumsika bahwa f (, V) mempuyai urua parsial kedua yag koiu Beuk dere aylor uuk f (, V ) adalah ( +, ) (, ) = (, ) + (, ) f dw f W f W d f W dw + d + f, W d + f, W ddw + f, W dw + (7) Uuk peyederhaaa peulisa pada persamaa (7), oasi beriku uuk urua parsial dari f(,v), yaiu

7 BAB EORI DASAR 0 fi (, V) = f(, ), i =, i =, = V fij (, V) = f (, ), i=, i j =, = V (8) (9) Dega megabaika orde yag iggi da mesubsiusika persamaa (8) da (9) ke persamaa (7) maka persamaa (7) mejadi (, ) (, ) f W f s W = s s f ( VW, ) + f ( VW, ) dv+ f ( VW, ) dw, s< V V V V s Persamaa (6) dapa dibeuk mejadi (0) σ, [ 0, ] () V = V + μ V ds+ V dws 0 s s 0 0 Misalka V f ( W, ) = maka persamaa (0) mejadi V V = + f ( s, W ) + f ( s, W ) ds+ f ( s, W ) dw 0 s s s s 0 0 () Dega meyamaka ruas kiri da kaa dari persamaa () da () diperoleh μ f (, V) = f(, V) + f(, V), (3) σ f (, V) = f(, V) (4) Dega megacu persamaa (8) da (9) sehigga persamaa (4) dapa dikaaka bahwa σ f (, V) = f(, V) (5) Dari persamaa (4) da subsiusi dari persamaa (5) ke persamaa (3) mejadi ( μ 05 σ ) f (, V) f(, V), σ f(, V) f(, V) = = (6)

8 BAB EORI DASAR Sebagai pedekaa dalam mecari solusi maka beuk f(,v) dapa diuliska sebagai beuk dari perkalia buah fugsi yaiu f(,v)=g l V, sehigga persamaa (6) mejadi μ σ = σ = (7) 05 g g, lv lv Persamaa (7) dapa diselesaika dega megguaka meode separasi ariabel, yaiu ( 05 ) V g g e μ = σ, l = l e σ sehigga f(,v) dapa yaaka 0 V 0 ( 05 ) V f(, V) = g l e μ σ + σ, dega V0 = f(0,0) = g0l0 Dega demikia, solusi 00 persamaa diferesial sokasik pada persamaa (6) yaiu ( μ 05σ ) + σw V = f(, W ) = V e, 0, (8) 0 [ ] 4 Pemrograma Diamik (Dyamic Programmig) Pemrograma diamik elah dikembagka oleh REBellma pada akhir 950a ekik ii merupaka ekik dasar uuk memecahka masalah pegopimala diamik yag diguaka oleh iesor uuk pegambila kepuusa yag opimal Permasalaha ersebu dibeuk dari permasalaha umum secara koiu erhadap waku sehigga dega proses rekursif didapaka persamaa Bellma yag meyaaka hubuga aara besarya iesasi pada suau saa dega reur yag didapaka oleh iesor asig 4 Permasalaha Umum Aar-waku (A Geeral Ieremporal Problem) Perhaika beriku ii permasalaha umum opimisasi aarwaku dibawah keidakpasia yag dihadapi iesor asig Misalka adalah ekor ( ) dari ariabel keadaa V (sae) pada saa = 0,,, + Misalka u adalah ekor ( k ) dari ariabel korol U pada saa = 0,, Masalah yag dihadapi adalah memilih u0, u,, u,,, + uuk memaksimumka sebuah fugsi objekif M ( 0, u0, u,,,, u, + ), (9)

9 BAB EORI DASAR dimaa 0 diberika da kedala dari sisem yag meghubugka ariabel korol da sae, dapa diuliska dalam beuk implisi, yaiu C (, u,, u,,, u, + ) 0 (30) 0 0 Permasalaha ii dapa diselesaika dega megguaka Lagrage da memaksimumka fugsi objekif erhadap kedalaya, yaiu J = M(, u,, u,,, u, ) + λc(, u,, u,,, u, ), (3) dimaa λ adalah pegali Lagrage dega ekor ( ) + Solusi dari permasalaha ii dapa diyaaka sebagai himpua dari fugsi u0 = H0( 0), u = H( 0),, u = H( 0) da himpua dari = w ( 0), = w ( 0),, += w +( 0) Dega demikia, kia dapa meeuka ilai opimal dari u da dari solusi yag bersifa rekursif 4 Permasalaha Rekursif Dari persamaa (9) da (30), dapa diuliska kembali pemiliha ( u,, u,,, u, + ) mejadi 0 θ0( 0, u0) + θ(, u) + + θ (, u) + W0( + ), (3) k dimaa 0 diberika Misalka himpua {,, u : c(, u), u + + R } sehigga kedala yag diuliska pada persamaa (30) dapa diuliska ke dalam beuk persamaa rasisi = c (, u ) = c (, u ) = + c(, u) (33) Fugsi θ (, u ) disebu juga fugsi reur sau periode pada saa, sedagka fugsi c(, u) disebu fugsi rasisi pada saa Selajuya, dega megguaka Lagrage dari persamaa (3) da (33) mejadi L = θ0( 0, u0) + θ(, u) + + θ (, u) + W0( + )

10 BAB EORI DASAR 3 + λ0[ c0( 0, u0) - ] + λ[ c(, u) - ] + + λ [ c(, u) - + ], (34) dimaa λ adalah ekor ( ) dari pegali Lagrage uuk = 0,, dega demikia, beuk urua orde perama erhadap masig-masig parameer yag erliba di persamaa (34) adalah (, u ) L θ c = (, u) + λ = 0, = 0,,, u u u (, u ) L θ c = + (, u) λ λ = 0, =,,, L + ( ) = W λ = 0, 0 + (35a) (35b) (35c) = c, u, = + 0,,,, (35d) Dari persamaa (35b) dega megubah waku mejadi maju sau periode, sehigga (, u ) c (, u ) θ λ = λ + (36) Dega megguaka persamaa (36) da (35c) secara rekursif uuk meghilagka usur λ, = 0,, da dari persamaa (35a) da (35d) sehigga dapa diyaaka sebagai beriku: (, ) θ c u c c c (, u ) θ θ θ u u c + W0( + ) = 0, = 0,, (37a) = c, u, = +,, (37b) θ u (, ) c u, u + W = 0, 0 + u = + c, u (37c) (37d) Berdasarka persamaa (37a)-(37d), diguaka sraegi rekursif mudur Misalka diberika, persamaa (37d) dapa dibeuk mejadi

11 BAB EORI DASAR 4 f( ), u + l( ), (38) dimaa f ( ) c[, u = l ( )] Selajuya dari persamaa (37a) da (37b) dega = - mejadi (, ) θ c u θ c (, u ) + + (, u) W0( + ) = 0, u u = c, u (39) (40) Dari persamaa (38) sehigga persamaa (40) dapa diyaaka dalam beuk: = f Melalui proses rekursif, persamaa (38) mejadi u = l ( ),,,,,0 = Dega demikia, u = l ( ), = f ( ) meyelesaika persamaa (39) da (40) yaiu θ c θ c θ c θ c u u (, u ) c + W0( ) + = 0, = 0,, (4) da = cs( s, us), uuk s =, + +,, (4) 43 Persamaa Bellma Defiisika fugsi ilai kekayaa uuk permasalaha sau periode W { θ ( + )} 0 u yaiu W ( ) = max, u + W, (43) = yag didapaka dari persamaa (4) dega + erhadap c ( u ), diberika Dega megguaka Lagrage uuk permasalaha diaas, maka dari persamaa (4) dapa diyaaka sebagai beriku θ u (, ) c u, u + W = 0 (44) 0 + u Misalka dega melakuka subsiusi u = l ( ) pada persamaa (44) da subsiusi persamaa (37d) ke persamaa (43) mejadi

12 BAB EORI DASAR 5 [ ] ( [ ]) W ( ) = θ, l ( ) + W c, l ( ) 0 Dega urua perama dari persamaa (45) sebagai beriku: [ ] [ ] ( [ ]) 0 (45) θ c W ( ) =, l ( ) +, l ( ) W c, l ( ) (46) Defiisika bahwa fugsi ilai kekayaa uuk dua periode W ( - ) sebagai { θ } W ( ) = max, u + W, (47) u erhadap = c-( -, u-), dega diberika, megacu pada persamaa (44) mejadi (, ) c u, + = 0 Jika formula (46) θ u W u u diguaka uuk W, persamaa ersebu mejadi θ u (, u ) (, ) c u + u θ c [, l( ) ] + [, l( ) ] W0 ( c [, l( ) ]) = 0 (48) Persamaa (48) da rasisi =c - ( -,u - ) aka diselesaika oleh u - =l - ( - ), =f - ( - ) Maka urua perama dari persamaa (47) mejadi c W ( ), l ( ) W c, l ( ), (49) θ = + [ ] ( [ ]) aau dega megguaka persamaa (46) mejadi c W ( ), l ( ), l ( ) θ = + [ ] [ ] dimaa didapaka dari = f - ( - )= c - [ -,l - ( - )] (50) Dega demikia, dari persamaa (49) da (50) dapa membeuk pola rekursif dari persamaa-persamaa diaas dega melakuka ierasi dari persamaa beriku { θ } W ( ) = max, u + W, (5) j+ j j j j j+ u j

13 BAB EORI DASAR 6 erhadap -j+ = c -j ( -j,u -j ) diberika urua perama uuk rekursifya uuk j=0,,,- adalah, c W l W ( c, l ( ) ) θ j j j+ j = j j j + j j j j j j j (5) Dari peurua persamaa Bellma yag elah dilakuka melalui pemrograma diamik, persamaa (5) disebu juga persamaa Bellma dega ideya melalui rekursif mudur begiu juga dega persamaa (5) Persamaa Bellma meyaaka hubuga aara iesasi (sae) da reur (sae yag berhasil) Dega fugsi reur diyaaka dalam persamaa beriku Θ = θ + αθ + α θ = θ + α θ + αθ = θ + αθ + +, dimaa α adalah discou facor Meuru [Simo Jaklisch, Mahias Huber], persamaa Bellma dapa diuliska sebagai beriku ( ρ ) = { Θ ρ = ρ} = { θ+ + α ( ρ+ ) ρ = ρ} V E E V 5 eori Korol Opimal Liier-Kuadraik pada Sisem Deermiisik Misalka suau sisem diamik sebagai beriku V AV + BU, (53) dega ideks performasi aau fugsi ogkos yaiu J V S V ( V QV U OU ), (54) N i = N N N + + = i dimaa Q mariks defii ak egaif, da O mariks defii posiif u sebagai ariabel ipu yag merupaka kompoe dari U berdimesi r Dari permasalaha ersebu, maka aka dicari suau korol opimum u * selama waku yag elah dieapka sepajag [i,n] yag memiimalka J i Aggap bahwa adalah kompoe dari V dega keadaa (sae) awal 0 diberika da keadaa (sae)

14 BAB EORI DASAR 7 akhir N bersifa bebas Sebagai permulaa, misalka = N da dari persamaa (54) didapaka J * N NSNN = (55) Selajuya beuk dari meuju N- dari persamaa (54) dapa diuliska mejadi JN = N QN N + un ON un + NSNN (56) Sehigga subsiusi dari persamaa (53) ke persamaa (56) mejadi JN = N QN N + un ON un + ( AN + BuN ) SN ( AN + BuN ) (57) Miimum dari J N- dari persamaa (57) uuk medapaka korol opimal dapa diperoleh melalui J N 0 = = OuN + B SN AN + BuN un Peyelesaia uuk korol opimal dari persamaa (58) meghasilka * N N N N (58) u = B S B+ O B S A (59) Defiisika Kalma Gai dari persamaa (59) sebagai beriku Δ N N N k = B S B + R B S A (60) Maka dari persamaa (60) diperoleh korol opimal pada persamaa (59) yag diuliska mejadi u k * N = N N Dega mesubsiusika persamaa (6) kedalam (57) diperoleh J = ( A Bk ) S ( A Bk ) + k Ok + Q * N N N N N N N N Defiisika bahwa Δ N ( N ) N ( N ) N N (6) (6) S = A Bk S A Bk + k Ok + Q (63) Persamaa (63) disebu dega persamaa Riccai Subsiusi persamaa (63) ke persamaa (63) sehigga diperoleh

15 BAB EORI DASAR 8 * J N = N SN N (64) Uuk =N-,seperi persamaa (56), ideks performasi dapa diuliska mejadi JN = N QN N + un ON un + N SN N (65) Jika persamaa (64) da (65) megikui lagkah seperi pada persamaa (57) sampai (63) maka uuk seiap = N-,,,0 aka diperoleh sebagai beriku: k = B S B+ O B S A (66) u + + = k * N + (67) S = A Bk S A Bk + k Ok + Q (68) J * S = (69) dimaa kodisi akhir S N uuk persamaa (69) diberika oleh persamaa (55) 6 eori Korol Opimal Liier-Kuadraik pada Sisem Sokasik Suau sisem diamik dalam beuk sokasik diyaaka sebagai beriku dv = a V, d+ B V, Ud+ G V, dw (70) dega diberika V o sebagai ekor acak, dimaa a(,) da B(,) pada persamaa (70) masig-masig adalah ekor da mariks V uuk seiap adalah aggoa dari ruag keadaa R, ipu aau korol U uuk seiap berada di dalam himpua U ad R p, da { W, } 0 adalah ariabel acak yag salig bebas dega dimesi r Misalka u sebagai ariabel ipu yag merupaka kompoe dari U da adalah kompoe dari V γ(,,u) adalah fugsi dari [ 0,] x R x R p da Γ() adalah fugsi dari R Permasalaha korol adalah uuk mecari proses sokasik { u, } 0 sehigga JU = E γ ( V,, U) d+γ( V), (7) 0 miimum

16 BAB EORI DASAR 9 Dega megguaka pemrograma diamik maka sebagai lagkah awal uuk peyederhaaa adalah dega megkoersika masalah korol sokasik yag diformulasika diaas ke dalam beuk masalah korol deermiisik Meode solusi ersebu diperbicagka pada Flemig da Rischel (975) Sehubuga dega persamaa diferesial sokasik pada sisem dv = f (, V ) d + G(, V ) dw, dimaa Δ didefiisika f (, ) a (, ) B (, ) φ(, ) Δ U () = φ(, V ()) = + mempuyai solusi uggal { V, } da 0 Dega megubah beuk persamaa diferesial sokasik mejadi deermiisik dapa melalui fugsi pembagki diferesial yag didefiisika oleh Δ χ χ Lu (,, ) χ= a (, ) + Bu (, ) + (, ), [ ] σ (7) i ij i= i i, j= i j dimaa σ ij adalah kompoe ke-ij dari mariks GG Meuru Friedma (964), persamaa diferesial paarsial parabolik aau lebih dikeal dega Hamilo- Jacobi- Bellma, yaiu χ + mi [ Lu (,, ) χ + γ( u,, )] = 0, (73) u U ad dega kodisi akhir χ (, ) = Γ( ) mempuyai solusi χ (, ) Beuk khusus dari model sisem sokasik pada persamaa (70) sebagai beriku: dv = AV d + BU d + D(, V ) dw, (74) 0 Uuk mecocoka model pada persamaa (74) dega model yag umum pada persamaa (70), kia yaaka a(,)=a, B(,)=B, G(,)= i= D i i() Uuk krieria fugsi J(U) diberika pada persamaa (7) dega

17 BAB EORI DASAR 0 γ (, u, ) = Q+ uou da Γ ( ) = Q Uuk meyelesaika permasalaha korol sokasik maka persamaa (73) aka dimiimumka dega megguaka persamaa (7) sebagai beriku: Lu (,, ) χ + γ (, u, ) χ χ = f [ a (, ) Bu (, ) ] σ ij (, ) Q uou, (75) i i= i i, j= i j dimaa σ ij adalah eleme dari GG Perhaika beriku ii: χ GG (, ) (, ) = r ij i, j= i { G } (, ) G (, ) χ j { (, ) χ (, ) G } = r G = D i i() χ D i i() i= i= = r idi() χdj() j i= i= (, χ ) = Δ i j ij ( χ ) = Δ, (76) Akibaya, dari persamaa (75) da (76) diperoleh Lu (,, ) χ + γ(, u, ) = [ A + Bu ] χ + Δ (, χ) + Q + uou (77) Persamaa (77) aka dimiimumka erhadap u maka dari persamaa (77) diperoleh: B χ + Ou = 0 (78) * Dega demikia, dari persamaa (78) diperoleh korol opimal sebagai beriku: * u = O B χ (79) Subsiusi persamaa (79) ke dalam suku u pada persamaa (77) mejadi

18 BAB EORI DASAR B χ + O O B χ = 0 (80) Dari persamaa (77) da (80) disubsiusi ke persamaa (73) mejadi χ + A χ + χ A χ BO B χ + Q + Δ (, χ) = 0 4 (8) Dega kodisi akhir χ (, ) = Q (8) f Megacu kodisi akhir pada persamaa (/73) maka pedekaa solusi persamaa (8) da (8) dalam beuk kuadraik χ (, ) = P+ q, (83) χ (, ) = P, (84) χ (, ) = P (85) Subsiusi persamaa (83), (84), da (85) ke persamaa (8), diperoleh q P A P PA PB O B P+ Q+ Δ, P = 0, (86) da subsiusi persamaa (8) da (83), diperoleh P + q = Q (87) f Dega meyamaka ruas kaa da kiri maka dari persamaa (86) didapaka P + A P + PA PBO B + Q +Δ, P = 0, (88) da q = 0 (89) Selajuya dega meyamaka ruas kaa da kiri maka dari persamaa (87) didapaka P =Q f da q =0 (90) Dega megguaka persamaa (79), korol opimal yag diyaaka oleh persamaa (84) mejadi u (, ) = O B P, (9) *

19 BAB EORI DASAR aau dapa diulis juga dalam beuk u * (, ) = k dimaa k = O B P aau B P = Ok Sehigga pada suku P di persamaa (88) dapa diuliska sebagai beriku: PBO B P = PBk = k Ok (9) Megguaka persamaa (9), persamaa (88) dapa diuliska sebagai P A P PA k B P PBk + + k O k Q ( P) + + +Δ, = 0, (93) aau persamaa (93) dapa diuliska sebagai beriku: + ( ) + ( ) P A B k P P A Bk +Δ P, + k Ok+ Q= 0, persamaa ii disebu juga dega persamaa mariks Riccai