Application of Physics to Finance and Economics: Quantum Field Theory in Forward Rates and Hedging. Abstract

Transkripsi

1 Applicaio o Pysics o Fiac ad Ecoomics: Quaum Fild ory i Forward Ras ad Hdgig Ari Hidaya Nidaul Hidaya Bram Hadiao 3 parm o Pysics Educaio UPI (Uivrsias Pdidika Idosia) Badug -Idosia 3 FPOK UPI (Uivrsias Pdidika Idosia) Badug -Idosia parm o Ecoomics Uivrsias Kris Maraaa Badug-Idosia isaariidaya@yaoo.com Absrac Quaum ory i pysics is usd o modl scodary iacial marks. Corary o socasic dscripio ormalism mpasizs imporac o radig i drmiig valu o scuriy. All possibl ralizaio o ivsors oldig scuriis ad cas is as basis o Hilbr spac o mark sas. asympoic volailiy o a sock rlad o log-rm probabiliy a is radd. is papr ivsigas volailiy o orward ras i scodary iacial mark. I rc ormulaio o a quaum ild ory o orward ras volailiy o orward ras was ak o b drmiisic. ild ory o orward ras is gralizd o cas o socasic volailiy. wo cass ar aalyzd irsly w volailiy is ak o b a ucio o orward ras ad scodly w volailiy is ak o b a idpd quaum ild. Sic volailiy is a posiiv quaum ild ull ory urs ou o b a iracig o-liar quaum ild i wo dimsios. sa spac ad Hamiloia or iracig ory ar obaid ad sow o av a orivial srucur du o maiold mov wi cosa vlociy. o arbirag codiio ad dgig is rormulad i rms o Hamiloia o sysm ad solvd or oliar iracig cas. Kywords : volailiy orward ras quaum ild ory arbirag. Absraksi ori Mda Kuaum dalam isika diguaka uuk mmodlka pasar iasial skudr. Brbda dga dskripsi sokasik prumusa mgguaka ori mda kuaum mkaka pada pigya akiias prdagaga dalam muka ilai dari suau skurias. Smua kmugkia yag dapa mmpgarui ivsor da kuaga mrupaka basis dalam Ruga Hilbr dari kadaa pasar. Asimpois volailias mujukka probabilias jagka pajag dari saam da produk drivai yag diprdagagka. Makala ii mmbaas mgai volailias laju korak orward (orward ras) dalam pasar skudr. Volailias orward ras pada ori sblumya la diijau sbagai suau variabl yag drmiisik. ori mda kuaum dalam papr ii kmudia dikaji gralisasiya uuk kasus volailias yag sokasik. Kmudia diaalisis dua kasus: prama kika volailias diijau sbagai ugsi dari orward ras da yag kdua mijau volailias sbagai suau mda kuaum yag idpd. Kara volailias ori mda kuaum brilai posii maka ori yag sluruya brlaku adala iraksi o-liir ori mda kuaum dua dimsi. iprol dskripsi ruag kadaa da Hamiloia uuk iraksiya da mujukka mmiliki suau srukur o-rivial slama maiold brgrak dga kcpaa kosa. Kmudia dirumuska juga Hamiloia sism uuk kadaa apa arbiras da dgig (lidug ilai) kmudia dipcaka scara ksak uuk kasus iraksi o-liir. Kaa kuci: volailias orward ras ori mda kuaum arbiras dgig.

2 . PENAHULUAN rdapa uju isrum dalam pasar modal yaiu saam obligasi obligasi kovribl rigs warra rksadaa sra as back scuriis. isampig iu ada pula isrum driaiya mlipui opios (baik yag brbasi orward aaupu yag brbasis uurs) sra swap. Makala ii aka mkaka kpada orward valua asig. Korak orward di pasar valua asig rjadi aara suau bak dga asabaya (mugki juga ssama bak) uuk mspakai pgirima pada aggal ru sjumla maa uag da kursya diapka pada waku korak dispakai. Smaki bsar ilai valua (as) yag di-orward-ka maka aka smaki iggi kmugkia prbdaa dga arga kskusi (baik iu aik aaupu uru) iila yag kmudia bayak disbu sbagai volailias. Volailias palig srig mjadi rrsi dalam al sadar dvasi dari prubaa ilai isrum kuaga radap waku. Volailias juga dapa mggambarka igka rsiko kuaga pada suau masa ru. Uuk isrum yag mgikui Gaussia Radom Walk da Pross Wir maka volailias aka aik sirig dga brambaya waku. Scara kosp al ii rjadi kara sirig brambaya waku maka bramba pula kmugkia arga isrum kuaga iu brgrak mjau dari arga mulamula. Forward ras dga volailiasya mrupaka sala sau aspk yag ssi dalam pasar uag (db mark) sra bayak di pakai dalam al iasial ruama uuk korak iasial jagka pajag sampai masa jau mpo ru (maurias) da juga diguaka dalam mkaism dgig (lidug ilai). Modl mgai orward ras yag diguaka umum slama ii adala modl Ha-Jarrow-Moro (HJM) [] da pada prkmbagaya ada sjumla cara dimaa modl HJM ii digralisasi. alam rrsi [] da [3] la diprkalka mgai korlasi aara orward ras dga maurias yag brvariasi da pada [4] [5] orward ras dimodlka sbagai suau srig sokasik. Prapa kik-kik isika dalam iasial [6] [7] la dibukika brmaaa dalam aplikasiya kususya pgguaa kik igral liasa dalam brbagai masala iasial [8]. alam [9] kik igral liasa la dapa dirapka dalam mmplajari suau produk skurias dga volailias sokasik. alam [] modl HJM digralisir dga mijau orward ras sbagai suau mda kuaum. Sudi mpiris yag dilakuka ol [] mujukka bawa modl ori mda kuaum uuk orward ras kika dibadigka dga daa pasar ryaa cocok.

3 Volailias orward ras mrupaka suau priuga yag sral gua muka draja lukuasi orward ras. alam modl yag diplajari di [] volailias yag diambil dalam orward ras mrupaka variabl yag drmiisik. Prayaa kmudia mucul sirig dga prkmbaga aka bawa volailias ssugguya mrupaka suau kuaias radom yag slalu brlukuasi. Sia Radom volailias ii kmudia dapa muka sjau maa volailias brlukuasi. aa pasar uuk urodullar uurs myajika suau priuga yag akura uuk orward ras da uuk imbal balikya (yild) juga mrupaka ugsi radom dari volailias orward ras. Flukuasi dalam orward ra dalam [7] brkisar % da ii cukup sigiika. ari al rsbu disiimpulka bawa volailias orward ras buu uuk diijau sbagai suau mda kuaum (srig kuaum) yag slalu brlukuasi. Pmbaasa mdalam mgai al ii la dilakuka ol modl HJM [] yag kmudia dikmbagka lbi laju ol [] uuk mgiug volailias sokasik. Ami da Ng [3] mmplajari daa pasar dari opsi Eurodollar uuk mmprol implikasi dari laju orward ras yag volailisik smara Boucaud [4] mgaalisis laju volailias dari orward ras uuk korak uurs. Kdua rrsi iu kmudia myimpulka bawa bayak al-al di dalam pasar kususya volailias sokasik dari kurva orward ras yag idak dapa dijlaska dga modl HJM. Modl ag orward ras yag diajuka dalam [] adala modl ori mda kuaum yag diajuka Baaqui [7] yag mrupaka gralisasi dari modl HJM da mmugkika uuk mgmbagka modl ii gua muka volailias soksaik orward ras. Brlawaa dga ori mda kuaum prumusa orward ras sbagai suau srig sokasik di [4] [5] idak dapa dikmbagka dalam kasus volailias adala sokasik slama ambaa-ambaa o liarias idak diagai scara baik.

4 . EORI MEAN KUANUM UNUK FORWAR RAES ENGAN VOLAILIAS SOKASIK Forward ras sdiri rdiri aas skumpula laju buga uuk korak brjagka yag mulai brlaku pada waku uuk jau mpo pada waku. Pada saa ru korak brjagka ii aka ksis dalam pasar orward ras uuk slag waku FR di masa mdaag; Sbagai coo jika mgacu ada waku skarag kmudia orward rasya aka brlagsug dalam slag waku sampai dga waku + FR. alam pasar FR biasaya maksimal 3 au. Umumya pada saa smua orward ras aka ksis sampai pada waku + FR []. Forward ras pada waku dilambagka dga dga kurva orward ras. dga FR yag kmudia di sbu Kara pada waku ssaa rdapa bayak orward ras maka al ii mirip dga kuaum srig (o rlaivisik) sigga dibuuka sjumla variabl idpd dalam mdskripsika volusi acakya. Kuaias yag dapa mdskripsika scara grik adala sism mda kuaum[5]. Uuk mmodlka orward ras da obligasi dalam makala ii diguaka sudi ori mda kuaum dua dimsi dalam domai uclidia brigga. Kika mijau orward ras sbagai suau mda kuaum; maka diambil sbagai suau variabl idpd yag acak uuk iap da iap. Sbagai pydraaa oasi maka diijau kdua da adala koiu da pdiskriisasia paramr ii aya dilakuka kika prlu uuk mdiskusika volusi waku dari sism uuk yag lbi dail... LAGRANGIAN FORWAR RAES ENGAN VOLAILIAS EERMINISIK Prama aka dibaas scara sigka ag pigya ori mda orward ras dga volailias drmiisik. Sbagai buk kokrya misalka orward ras di mulai dari waku i sampai pada masa mdaag di. Kara smua orward ras slalu uuk masa mdaag maka dalam al ii ol kara iu mda kuaum didiisika sbagai mda dga domai brbuk jajara gjag Ρ yag dibaasi ol garis-garis sjajar FR dalam ara sumbu maurias ; sra garis i da sbagaimaa digambarka dalam gambar 3.. dibawa ii: da dalam ara sumbu waku

5 i i + F + F Gambar 3.. omai P Forward R Ras R Siap iik dalam domai P mrprsasika suau variabl igrasi yag idpd. Irprasi ori mda pada volusi orward ras sbagaimaa diyaaka dalam domai P yaiu suau srig kuaum (o-rlaivisik) yag brpida dga saua kcpaa dalam ara. ari modl HJM orward ras mmiliki kcpaa dri da volailias da kdua kuaias ii aka ampak dalam prsamaa Lagragia uuk orward ras. Gua mdiiska Lagragia prama kia mmbuuka suku kiik yag dilambagka dga L kiik gua mdiisika sadar waku volusi orward ras. Gua mdiisika Lagragia maka prlu diprkalka suku lai sbagai gaggua yag mruba buk orward ras dalam ara sumbu. Aalogi dga al ii dalam srig biasa adala suku posial dalam Lagragia yag mmbua buk rucig dalam srig kara buk srig sdiri sbarya mgadug suku posial. Uuk mmodlka sia-sia yag mirip dga srig pada orward ras idak dapa mgguaka suku urua dalam Lagragiaya kara al ii aya brlaku pada kodisi apa kadira arbiras saja. Kodisi apa arbisras diprluka ii agar Lagragia mgadug suku urua dga ord yag lbi iggi kususya suku dga buk yag mirip dga sism srig yag mmiliki rigidias brigga. Isila spri ii dalam Lagragia orward ras diamaka L rigidias dga paramr baru dibrika ol yag mujukka kuaias lukuasi dari orward ras radap waku dalam ara sumbu. Jika ;

6 dibrlakuka limi aka diprol asil yag sama dga modl HJM yag juga aka mirip dga srig dga rigidias ak igga. Aksi dari orward ras dibrika ol prsamaa : S d d L () FR i ga rapa Lagragia P L () L dibrika ol : L L L. (3) kiik rigidias (4) Adaya suku kdua dalam prsamaa aksi yag dibrika prsamaa (3) idak dicaumka dalam [4] kika kodisiya apa arbiras da sudi mpiris yag dilakuka [] mguaka buki bawa suku ii mrupaka suku volusi orward ras. Sigkaya muru [] orward ras brlaku spri srig kuaum dga ruag da waku brgaug kpada kcpaa dri massa kiya dibrika ol da rigidias srig sbadig dga. Kara ori mda didiisika dalam dalam domai Ρ maka prlu uuk mspsiikasi syara baas uuk sluru mpa baas jajara gjag rsbu. a. Kodisi rika iricl (awal da akir) Syara baas awal da akir uuk kodisi iricl dalam ara sumbu dibrika ol : : (5) i i FR i yag mlipui kurva orward ras dari awal sampai akir. b. Kodisi Bbas Numa

7 alam mspsiikasi syara baas dalam ara sumbu prlu mgaalisis aksi yag dibrika ol prsamaa () gua muka bawa dalam kodisi iu aksi idak mgadug suku prmukaa. Aalisis ii kmudia mgasilka kodisi Numa dga vrsi sbagai briku : i (6) da aau (7) FR Forward ras dalam ori mda kuaum didiisika ol Igral Liasa Fyma dga mgigrasika radap smua koigurasi yag mugki da asil uuk adala: Z S (8) P d (9) Praika bawa S kika dibuk igral ugsioal. Z adala probabilias uuk koigurasi mda yag brbda yag rjadi. Lagragia Forward Ras dga Volailias Sokasik Uuk myaaka ugsi volalias ( ) sokasik dalam ormalism ori mda kuaum prlu uuk maikka ( ) dari ugsi yag drmiisik k dalam ugsi yag radom. Ada dua cara yag dapa diguaka gua maikka volailias mjadi kuaias yag sokasik yaiu: a. Mijau volailias sbagai suau ugsi dari orward ras b. Mijau volalias sbagai suau mda kuaum yag idpd dalam makala ii aka dikaji kmugkia kduaya.

8 ... Volailias sbagai Fugsi Forward Ras alam [3] la diidikasika bawa volailias sbarya mrupaka ugsi dari orward ras. Modl sadar mgguaka pdkaa ii dga prsamaa volailias scara rigkas dibrika ol : v () dga kara volailias ( ) adala ugsi drmiisik () > maka juga > brlawaa dga prsamaa (4) diprol: ; () dga > kara orward ras di pasar iasial slalu posii da al ii aka dipakai dalam priuga slajuya. ga limi dalam prsamaa () aka mgasilka cakupa volailias modl HJM. Adapu padaga-padaga mpiris volailias sblumya muru [3] dibrika dalam abl 3.. briku: Modl Volailias Ho da L (986) CIR (985) Courado (98) Vasick (997) p Ha-Jarrow-Moro / HJM (99) abl 3.. Brbagai Rumusa Volailias

9 Makala ii aka mmbaas buk umum Lagragia dalam prsamaa (3) uuk kasus orward ras yag slalu posiip. Irprasi Lagragia dalam prsamaa (3) aka valid jika smua orward ras mdkai ilai ru. Ol kara iu mgasilka prsamaa: (3) O (4) ol kara iu dibua mappig sbagai briku: (5) Prsamaa (3) kmudia digralisir mjadi : rigidias L kiik L L v v (6) aiya dalam purua Hamiloia- sism aka mmrluka priuga dga solusi rivial dalam igrasiya Fugsi Parisi didiisika scara ori ol Igral Liasa Fyma sbagai briku: v S Z (7) P v v d (8) dga syara baas yag dibrika uuk dalam prsamaa (5) da (6) ap brlaku uuk mmpraaka volailias sokasik dalam Lagragia di prsamaa (6).

10 ... Volailias sbagai Suau Mda Kuaum yag Idpd Skarag aka dibaas asumsi yag kdua yaiu jika volailias diijau sbagai suau mda kuaum yag idpd. Kara aya dapa muka k dari volailias pada orward ras maka sluru k-k dari volailias sokasik aka dimaisasika aya mlalui prilaku orward ras saja. Gua pydraaa diijau orward ras sbagai suau mda kuaum sbagaimaa dalam prsamaa (4) dga: : (9) kara ugsi volaliias slalu posii yaiu kuaum lai dga ubuga sbagai briku : maka diprkalka sbua mda () ada (gai) diambil brujua uuk myakika scara oasi saja. Skarag sism rdiri aas dua mda kuaum yag salig briraksi diamaka dga da sra mgikui aura-aura sbagai briku : Paramr adala kuaias yag muka bawa mda aka mmbkuka smua lukuasi mda Limi ugsi yag drmiisik. Paramr brugsi mgdalika lukuasi idak drmiisik. Suau da mrduksiya mjadi dalam ara sumbu yag al ii sama dga paramr yag mgdalika lukuasi dari orward ras juga. dalam ara sumbu Paramr dga: adala kuaias korlasi mda kuaum orward ras dga mda kuaum volailias. Suku dri dari volailias diamaka dimaa aalog dga suku dri orward ras. uuk Lagragia uuk sism yag briraksi di sii idak uik ariya ada sjumla pilia yag dapa mmui kodisi di aas. Suau Lagragia yag mugki uuk sism yag briraksi

11 diuliska dga aalogi Lagragia uuk kasus volailias sokasik pada skurias uggal di [9] yaiu : L () dga prsamaa aksi : P L S () disii prlu uuk mspsiikasi syara baas bagi sism yag briraksi. Kodisi awal da akir dari orward ras yag dibrika ol prsamaa (5) ap dipraaka uuk kasus sism yag briraksi da uuk mda volailias syara baasya mirip sbagai briku : a. Syara Baas rika iricl (awal da akir) Nilai awal dispsiikasi dari daa sbagai briku: i FR i (3) yag brlaku kusus kurva volalias awal da akir. Syara baas dalam ara sumbu uuk orward ras sbagaimaa dalam prsamaa (6) ap dipraaka pada kasus sism yag briraksi da uuk mda volailias syaraya sbagai briku : b. Syara Baas Bbas Numa ; i (4) FR aau ; (5) uuk kprlua kuaisasi mda volailias syara baas orward ras yag dibrika ol prsamaa (6) sbarya idak biasa. Gua mmcaka kodisi apa arbiras

12 dimuka bawasaya mrupaka ugsioal brbuk kuadraik dari mda volailias. Ol kara iu syara baas dalam prsamaa (6) ssugguya adala buk iraksi aara mda da mda. alam al ii prlu mdiisika priuga igrasi uuk mda uuk sism yag briraksi adala sbagai briku :. Hamiloia P d d (6) P d d (7) Fugsi parisi ori mda kuaum uuk orward ras dga volailias sokasik didiisika ol Igral Liasa Fyma sbagai briku : Z (8) Nilai pasar yag diamai ol suau isrum kuaga disbu O myaaka ilai raa-raa isrum kuaga yag mligkupi smua ilai-ilai yag mugki dari mda kuaum da -dioasika dga O - dga rapa probabilias dibrika ol aksi (yag la diormalisasi) dga simbol : S O O (9) Z Jika diijau limiya volailias aka rsduksi mjadi ugsi yag drmiisik dimaa uuk limi ii ilai mmiliki limi : da. Suku kiik mda dalam aksi di prsamaa () lim p P P P (3) yag mgimplikasika bawa: (3)

13 ' ' O p d (3).3. Hamiloia da Ruag Kadaa Igral Liasa Fyma yag dibrika di prsamaa (7) da (8) brugsi uuk mgiug ilai kspkasi dari mda kuaum. Gua mmplajari volusi waku dari kuaiaskuaias laju buga maka prlu uuk muruka Hamiloia sism dari prsamaa Lagragiaya. Cara yag dimpu dalam makala ii aka brlawaa dga cara [9] dimaa dalam [9] Lagragia uuk arga saam dga volailias sokasik jusru diuruka dari Hamiloia sismya. Ruag kadaa dari ori mda adala ruag kadaa vkor liir yag dioasika dga V rdiri aas sjumla ugsioal mda koigurasi pada waku rika [9]. ua ruag kadaa dari V dioasika dga V ragkap - rdiri aas smua pmaa liir dari V mjadi bilaga komplks yag juga mrupaka ruag vkor liir. ijau sbua lm V dioasika ol g da sbua lm V ragkap dioasika ol p ; maka p g adala suau bilaga komplks. alam al ii diijau V da V ragkap sbagai ruag kadaa suau sism. H opraor Hamiloia yag dalam kuaum aalog dga rgi- adala sbua lm sor produk ruag V Vragkap. Mariks lm H adala bilaga komplks yag dibrika ol p g. alam kasus ii aka diplajari lbi laju mgai ruag kadaa da Hamiloia orward ras. Uuk mudaya oasi diijau mda kuaum orward ras mda kuaum da mmui. Kara Lagragia di prsamaa () mrupaka urua prama radap waku saja maka aka ada sbua graor iiisimal yag disbu dga amiloia H. Mrumuska amiloia uuk orward ras adala al yag suli kara domai P mmiliki srukur o-rivial da mda kuaum orward ras aka mmiliki ruag kadaa yag brbda-bda uuk iap waku ssaa. Uuk mgaasiya prlu mdiskriisasi baik da dalam suau kisi yag brigga dga ruag kisi mlipui ara da dioasika dga (uuk sbua srig yag brgrak dga kcpaa maurias kisi aka brjarak ). alam kisi ii waku miimum suau korak brjagka dioasika dga waku; da uuk aplikasiya = ari. omai yag baru P adala sbagai briku:

14 i iisi diskri dari domai P dibrika ol : Gambar 3.. omai diskri P l dga l igr (33) N N N i FR (34) i ln N l N i FR kisi P : (35) l FR (36) l l l l ; (37) ugsi parisiya skarag brupa igral lipa brigga yag diamaka: Z l P d l S S S (39) (38) Skarag ijau dua irisa kisi yag brdkaa yag dibri labl da sbagaimaa diujukka dalam gambar 3.3 dibawa ii. pada dua irisa waku ii. S adala aksi yag brkaia dga orward ras +

15 Gambar 3.3.Pooga dua kisi uuk da apa dilia dalam Gambar 3.3 uuk irisa kisi waku ii ada dua mpa kisi di sudu yag idak sbadig kisi pada lokasi kisi pada waku da pada waku idak umum. Kia aka mgisolasi variabl yag idak sbadig ii sbagai briku: Variabl-variabl pada waku brlaku: F ; F l N (4) l Variabl-variabl yag brada pada waku brlaku : F ; F l N FR FR N l FR (4) Praika bawasaya mskipu variabl F mgacu kpada waku api ap diaraka lablya dga waku sblumya uuk pmbukia lbi laju. ari gambar 3.3 sjumla variabl F da F mligkupi lokasi kisi yag sama dalam ara yaiu pada l N FR da ol kara iu mmiliki jumla orward ras yag sama yag diamaka N FR N FR. Hamiloia aka dapa diksprsika dalam ugkapa variabl-variabl ii. ari urua diskri waku yag didiisika di prs (37) aksi diskri S mgadug suku-suku yag brpasaga kara adaya iik-iik brsama dalam kisi uuk irisa kisi waku yag ama-ama variablya dimiliki ol sjumla F ; F. Uuk iu aksiya adala: l l S l L (4) F F S L ; (43) l sbagaimaa diujukka dalam gambar 3.4 aksi uuk sluru domai P yag diujukka ol gambar 3. dapa dibagu dga mgulag kosruksi di gambar 3.3 da mjumlaka sluru aksi S radap smua waku Ni N.

16 Gambar 3.4. Mrupaka rkosruksi kisi dari dua irisa waku Hamiloia dari orward ras adala sbua opraor yag bkrja pada ruag kadaa orward ras; ol kara iu prlu uuk muka koordia-koordia dari ruag kadaaya. ijau lagi irisa waku yag brurua da + dari Gambar 3.4. Skarag irprasika orward ras ssaa pada irisa waku yag brurua F da F N FR yag dibrika di prsamaa (4) - yag ampak dalam prsamaa aksi di (4)- sbagai koordia ruag kadaa V da V dual Uuk iap waku ssaa ada sjumla ruag kadaa V dav ragkap. Koordia-kordia ruag kadaa V da V dibrika ol sor produk dari ruag kadaa uuk siap iik maurias l yag diamaka: ln FR l F (44) yaiu koordia kadaa uuk V ragkap l F N l N (45) FR FR yaiu koordia kadaa uuk V Vkor kadaa F milik yag ruag kadaa V api kmbali diirprasika bawa F sbagai ruag kadaa F pada waku sblum maka dari irprasi ii dapa diplajari sism scara ssaa mgguaka ormalism Hamiloia. Ruag kadaa V rdiri dari smua usur kmugkia ugsi N orward ras F. Ruag kadaa V ii brbda uuk iap R yag brbda kara sjumla orward ras brisi sjumla variabl yag idpd.

17 Mskipu ruag kadaa V da V idak idik ada suau irisa dua ruag ii yag disbu V V yag mligkupi irval yag sama dalam ara maurias da rkopl ol aksi S. Irisa ii mgasilka sbua ruag kadaa F dimaa didalamya brlagsug Hamiloia volusi orward ras. alam simbol-simbolya kia mmiliki : V F (46) N FR V ragkap. Fragkap (47) H : F F H Vragkap V (48) Hamiloia H adala lm produk sor ruag yag diligkupi ol opraor F F pamaa opraor ruag dibrika ol F Fragkap. Ruag vkor V da Hamiloia H bkrja pada ruag spri diujukka dalam Gambar 3.5 briku V H V H V Gambar 3.5. : Propagasi Hamiloia H dalam Ruag Forward ras V Praika bawa kdua kadaa F da F mmiliki ruag kadaa yag sama F da dga mgguaka aura puar uuk mgidikasika dua kadaa ii brbda; sbagai coo dua kada da mgidikasika bawa sau kadaa adala ragkap dari kadaa laiya. Sla dikaji smua kmugkia ilai orward ras da ˆ maka skarag prlu uuk mgkaji basis lgkap dari ruag kadaa V ruama opraor uuk V dilambagka I yag

18 mrlksika bawa basis ruag kadaa adala lgkap. Prsamaaya muru [9] dibrika ol: I d l (49) ln FR d ; F (5). df ; F Hamiloia sism H didiisika ol Formulasi Fyma (sampai di ormalisasi) dari prsamaa (4) yaiu: L l l l H F F (5) N FR dimaa scara umum adala suau suku mda idpd. ga mgguaka sia aksi diskri yag dibrika di prsamaa (43) kia prol: L l F F H F F (5) H F N FR F (53) Bragka dari prsamaa (5) k prsamaa (53) ryaa ubuga irisa kisi waku da masig-masig idak mgadug variabl da NFR. Hal ii mjadika Hamiloia idak brgaug pada variabl-varibl ii. Irprasi prsamaa (53) adala bawa Hamiloaia mmpropagasi kadaa awal F dalam waku mjadi kadaa akir F. Praika ubuga ii: H H F F N F F FR (54) mujukka bawa ada suau asimri dalam ara waku dga Hamiloia masi idak brgaug pada orward ras palig awal N FR di kadaa mula-mula da orward ras rakir di kadaa akir. Iila asimri dalam propagasi orward ras yag mgasilka domai jajara gjag P di gambar 3. da mrlksika bawa orward ras ksis uuk. aya

19 Gua pydraaa oasi mulai skarag diguaka oasi koiu kmbali kususya ruag kadaa dilablka dga V vkor kadaa ol. Elm dari ruag kadaa orward ras V mcakup smua isrum kuaga yag diprdagagka di pasar pada waku. alam oasi koiu dari prsamaa (45) diprol: F (55) FR (56) FR dalam oasi koiu prbdaa aara vkor kadaa da F aya di prsamaa (56) yaiu saa iik idak rmasuk dalam sor produk uuk yag koiu. Fugsi pasisi Z yag dibrika di prsamaa (38) dapa dirkosruksi dari Hamiloia dga mrapka scara rkursi prosdur yag dibaas uuk dua irisa kisi waku yag brurua. Maka uuk oasi koiu kia prol: S Z (57) mulamula p d akir H i (58) dimaa simbol dalam prsamaa diaas brkduduka sbagai opraor waku (o-commu) dalam argum dga waku palig mula-mula dilakka di kiri..3.. Vkor Kadaa Obligasi Vkor kadaa yag palig pig dalam kuaga adala kupo obligasi biasa da obligasi apa buga (zro coupo bods). ijau sbua obligasi apa buga bbas rsiko yag jau mpo (maurias) pada waku dga pmbayara sbsar $. Harga obligasi pada waku dibrika ol : P d P ; (59)

20 vkor kadaa diuliska sbagai briku: P adala sbua lm ruag kadaa V. vkor kadaa saam dapa P P (6) d (6) vkor kadaa yag lai adala kupo obligasi biasa B dga pmbayara sjumla cl pada saa l da pmbayara akir L pada waku. Vkor kadaa obligasi biasa adala suprposisi liir dga zro coupo bod da dibrika ol prsamaa: c P L P B (6) l l l.4. Hamiloia uuk Forward Ras dga Volailias Sokasik Sblumya la diprol prsamaa umum uuk Hamiloia da ugkapa suku aksi S sbagaimaa dalam prsamaa (53) da prlu uuk mrapka ormula ii dalam kasus kusus Largagia orward ras gua mmprol prsamaa Hamiloiaya scara ksplisi. ari prsamaa (53) diprol prsamaa sbagai briku: S l H H ; F F L (63) H H ; F F ; H (64) dimaa dalam prsamaa diaas scara ksplisi suda mmua volailias mda kuaum. Uuk pydraa oasi ijau sumbu ara maurias adala koiu da ijau aya waku yag diskri. alam oasi koiu kbradaa variabl waku da diiug da di aalisis variabl yag ampak pada baas irval. Aksi S uuk sbagai briku: S L (65) FR FR d (66)

21 .4..Hamiloia uuk Forward Ras dga Volailias Sokasik Sblumya la diprol Hamiloia uuk kasus sdraa dari volailias sbagai suau ugsi orward ras. Mgiga kmbali Lagragia sism yag dibrika ol : rigidias L kiik L L v v (67) Pada diskriisasi Lagragia yag diprol mgguaka syara baas prsamaa (6) bawa: A A S L (68) A (69) Skarag kmbali muliska prsamaa (68) mgguaka Igrasi Gaussia aka diprol : (kosaa yag idak brubuga diabaika) S A p i p p dp ' '; p (7) dga ' '; mrupaka syara baas kodisi Numa. Sbua urua ksplisi didiisika dari propagaor ; ' mgasilka : FR FR FR ' cos ' cos si '; (7) ijau diisika suku yag didiisika sbagai briku:

22 dga mskala kmbali (7) p sbagai briku : p p (73) maka aka diprol: S dpp i p p '; p' (74) Iga kmbali prsamaa (53) bawa Hamiloia didiisika sbagai: S H (75) p H i p (76) a dga mgilagka dalam Hamiloia orward ras mjadi: H '; ' (77) ' Hamiloia adala o-rmiia dga ilai ig komplks. Mskipu al ii mrupaka masala dalam isika al ii idak rjadi di iasial kara Hamiloia bukala bsara kuaias (spri rgi) yag mmiliki ilai ig yag obsrvabl da ol kara iu idak arus mmiliki ilai ig yag ral..4. Hamiloia uuk Forward Ras da Volailias Mda Kuaum Skarag ijau kasus kika lukuasi orward ras da volailias yag dirprsasika sbagai mda kuaum yag rpisa sblumya mguji Lagragia yag dibrika dalam prsamaa () yaiu:

23 L (78) kmudia iga kmbali (79) dga mlakuka diskriisasi waku da uuk pydraaa oasi waku da maurias maka diuliska Lagragia dalam oasi mariks briku: ' '; B A B A S M (8) dimaa: ' '; M (8) da A (8) B (83) Praika bawa dalam mmprol prsamaa (8) uuk S la mgguaka syara baas kodisi mda yag dibrika dalam prsamaa (6) da (4). Skarag kmbali muliska prsamaa (8) mgguaka Igrasi Gaussia da mmprol (abaika kosaa yag idak rlva):

24 B A q p i q p q p dq dp S p M (84) mgiga dari prsamaa (37) bawa Igral Liasa Fyma mmiliki priuga o-rivial dalam mgiug da dalam mmprol Hamiloia priuga ii aka dilibaka. iisika suku priuga dga: (85) da dga mskala variabl p da q dalam prsamaa (84) uuk iap : p p (86) q q (87) kmudia diprol dari prsamaa (84) : q p i q p q p pq S p M (88) mujuka bawa priuga di aas dapa dibaalka. Kmudia sblumya diprol: S ; ; H (89) q i p i pq H (9) da yag mgasilka Hamiloia uuk orward ras sra volailias sbagai suau mda kuaum idpd dibrika ol prsamaa briku : i i i i M H (9) dari prsamaa (8) diprol:

25 r r r r c '; M dimaa : 4 c (9) 4 r (93) '; ' r dga kodisi baas Numa (94) Uuk mmcaka kadaa apa kadira arbiras dibuuka : G ' ; ' ; M (95) r r 4 (96).5. Prumusa Hamiloia uuk Kadaa apa Kadira Arbiras Prisip kadaa apa kadira arbisras adala pusa dari ori iasial da igral liasa yag mmbaas ormulasi prisip ii dibrika dalam []. Uuk kasus volailias drmiisik Lagragia orward ras yag dibrika ol prsamaa (3) adala kuadrais da kmudia kodisi apa kadira arbiras dapa dipcaka dga pa dga mlakuka Igrasi Liasa Gaussia []. Sdagka uuk kasus volailias yag sokasik Lagragiaya adala o-liir da kmudia kodisi apa kadira arbiras idak dapa dipcaka scara ksplisi mgguaka igral liasa; uuk alasa iila kmudia aka kmbali dirumuska kodisi apa kadira arbiras mgguaka Hamiloia. Prumusa Hamiloia uuk ori o-liir dari orward ras dga volailias sokasik mmui solusi yag ksak uuk kadaa apa arbiras.

26 Prama aka muruka prumusa Hamiloia uuk kasus skurias uggal S kara uuk produk urua uuk orward ras aka lbi komplks.4. Skurias uggal apa Arbiras ijau suau opsi dalam sbua skurias S yag aka jau mpo pada waku da mmiliki ugsi payo dibrika ol g K dimaa K adala srik pric. Sbagaimaa la didiskusika dalam [] volusi bbas rsiko suau skurias dibrika ol Hamiloia dga ilai opsi pada waku dibrika ol: r H s d' ' g' H s (97) dimaa r adala suau kosaa laju buga bbas rsiko ssaa) Kodisi marigal uuk volusi bbas rsiko dari suau skurias mrupaka pooga volusi dari arga mdaag skurias iu pada waku mdaag ru sbu saja *. Nilai ii adala sama pada saa raa-raa dga arga skurias kika waku mula-mula. Prsamaa kodisi marigal myaaka bawa: S E dimaa oasi Y E * * r S * * (98) mrupaka raa-raa dari ilai Y uuk smua variabl sokasik dalam irval waku *. ari prsamaa (97) dapa diprol : S r * ' ' ' * H s d S (99) S d H s r ' ' S ' * () dga mgguaka klgkapa prsamaa uuk skurias uggal yag dibrika ol : I d () ari prsamaa () aka mgasilka prsamaa opraor yaiu :

27 S ˆ * Hs r S () Kara * adala waku arbiras maka diprol: r S H (3) s.5.. Prumusa Forward Ras apa Kadira Arbisras Prisip apa kadira arbiras myaaka bawa arga dari obligasi P waku di masa mdaag ol laju buga bbas rsiko r dimaa Y E * E P * pada * adala sama dga arga obligasi iu pada waku di poog. ga kaa lai : * r d P (4) * * mujukka ilai raa-raa Y yag mlipui sluru variabl sokasik dalam irval waku *. alam kaiaya dga Igral Liasa Fyma Prsamaa (4) mgasilka (diiug uuk ): P * r d S (5) P * rdapa dua domai yag dilibaka dalam igral liasa di prsamaa (5) disbu dga domai dari rasury bod yag juga brada di dalam domai orward ras. omai ii diujukka ol gambar 3.6 briku: * i i + F Gambar 3.6. omai apa Arbiras uuk rasury Bods R

28 Mskipu diuliska dalam buk igral kodisi prsamaa (5) sbarya mrupaka suau dirsial kara mgadug buk * kmudia diambil *. Alasa prlu uuk mijau prubaa yag iiisimal saja uuk orward ras adala kara ruag kadaa mmiliki sia brgaug radap waku. Uuk volusi waku iisimal ugsi dalam prsamaa (5) gagal uuk mgigrasika radap variabl waku akir pada waku kisi sigga: P L ; P (6) kmudia diuliska kmbali prsamaa diaas dalam baasa vkor kadaa yag diamaka dga: V H P P (7) la dimiliki dari klgkapa yag dibrika prsamaa (49) bawa : I (8) kmudia dari prsamaa (7) bawa : H P P (9) H P P () dapa dibukika dga mgguaka rprsasi zro coupo bod scara ksplisi dari prsamaa (6) bawa : P P () kmudia kia puya: H P P () P H (3)

29 Prumusa dirsial uuk ak ada arbiras yag diamaka zro coupo bod yag juga brlaku uuk iap zro coupo bod- diaiilasi ol Hamiloia Ĥ yaiu : P H uuk smua (4) Praika similarias prsamaa diaas dga kasus uuk skurias uggal dalam prsamaa (3). Adaya kasus pmooga rlia saga brbda uuk kdua kasus. Spo ra r mrupaka suau kosaa dalam kasus skurias uggal smara dalam kasus orward ras pmooga ol spo ra mrupaka suau akor yag dibuuka uuk mrasormasika waku mdaag dari obligasi P k waku sblumya yag diamaka P.6. Kodisi ak Ada Arbiras uuk Volailias Sokasik ga mgguaka Hamiloia uuk orward ras dga volailias sokasik yag dibrika dalam prsamaa (77) da (9) dapa diaplikasika pada kadaa apa arbiras yag diprol di prsamaa (4) yaiu: P H (5) aau scara lbi ksplisi lagi adala : d H (6) P H.6. Kodisi ak Ada Arbiras Uuk Volailias Sbagai Suau Fugsi Forward ras i ijau kmbali prsamaa zro coupo bod yag dibrika ol : p d P (7) yag kmudia mgasilka : P P (8)

30 Smara dari prsamaa (6) da (77) dapa diprol: d d' ' d P '; ' ' d' '; ' (9) mrupaka prsamaa uuk kodisi apa arbisras Praika bawa kodisi apa arbiras yag dibrika di aas idak rkadug dalam solusi modl HJM uuk kcpaa dri yag smuaya brbuk kuadrais dalam mda-mda volailias [3]. Kadira orward ras scara lagsug dalam kcpaa dri mucul scara alamia dalam ormulasi ori mda kuaum da al ii mujukka bawa suku kiik dalam Lagragia uuk kasus. - yag disbu Scara aka dapa dibukika suau asil yag lbi umum dari aksi - digaika ol uuk S uuk kasus dimaa volailias sokasik mrupaka ugsi dari orward ras. iuliska Lagragia scara umum sbagai : L umum L U W () U W : arbiras lokal yag mrupaka ugsi dari () kmudia dari kadaa apa arbiras mgasilka : W U () suku si srig dalam Lagragia aka mmiliki buk: W (3) dimaa al ii idak diijika dalam kadaa apa arbiras.

31 .6.. Kadaa apa Arbiras Uuk Volailias Sbagai Mda Kuaum Yag Idpd ari Hamiloia yag dibrika dalam prsamaa (9) dapa dilia bawa sbagaimaa dalam kasus di bawa brilai ol dalam prsamaa (6) kara dalam zro coupo bod idak brgaug scara ksplisi pada mda volailias. ga mgguaka aka bawa : m m d d m (4) kmudia dari mggabugka prsama (6) (9) da (4) diprol: dd' G '; ' d P d' G '; ' (5) mrupaka prsamaa uuk kodisi apa arbiras Kara idak ada isrum dalam pasar iasial skarag ii yag dapa myajika prdagaga dalam volalias dari orward ras scara lagsug maka suli uuk mgaplikasika kodisi marigal dari mda volailias kususya kcpaa dri dari mda volailias yag disbu dga mjadi ugsi mda lai da paramr-paramr ori laiya. ari alasa iila kmudia arus diuka scara mpiris dari pasar. Uuk mmprol limi volailias drmiisik maka prlu uuk mgambil limi da. ari sii aka diprol: (6) r (7) r (8) '; ' G ; (9)

32 dga propagaor ' ; dibrika ol prsamaa (7). ga mrapka bbrapa idias propagaor ' ; yag dibrika dalam prsamaa (7) diaas bar-bar sama dga asil yag diprol dalam [] dga mgguaka kik igral. Kmudia dari kadaa apa arbiras diprol uuk kasus volailias drmiisik mgguaka Hamiloia sama dga yag diprol dga asil sblumya yag mgguaka igral liasa. Sdagka dga mmasukka yag dibrika dalam prsamaa (5) k dalam Lagragia mgasilka asil akir dalam makala ii. Sbagai oasi didiisika ugsi o-lokal dalam mda volailias briku : v d' G '; ' (3) Sigga diprol asil akir Lagragia : L v v K (3) Lagragia yag dibrika ol prsamaa diaas mrupaka dskripsi yag uu scara ori dari orward ras dga volailias sokasik. Smua paraamr dalam ori yag diamaka dga ugsi da paramr K da prlu uuk diuka dari daa pasar. Slama adaya mda v dapa diprol bawasaya Lagragia o-lokal dga ugsi G ' ; mgadug smua iormasi yag dibuuka dga asumsi idak ada arbiras. Jadi ada gralisasi yag dapa dilakuka dga Lagragia: dalam prsamaa (3) yag mujukka bawa orward ras dapa dibua posiip yaiu da yag kdua adala bawa propagaor G ' ; dapa mmua k-k lai yag lbi komplks yag daag dari dpdsi maurias radap paramr rigidias.

33 KESIMPULAN Kia la mlakuka gralisasi modl ori mda kuaum uuk orward ras dga volailias sokasik dga mmprlakuka volailias sbagai ugsi dari orward ras aau sbagai suau mda kuaum yag idpd. alam kasus kduaya Igral Liasa Fyma dapa scara baik dikmbagka uuk mgiug volailias sokasik. Uuk kasus volailias yag drmiisik la dimuka dalam [] bawa k ori mda kuaum dimsi dirduksi mjadi ori mda kuaum sau dimsi slama mmcaka sia-sia Lagragia. Bagaimaapu kika mmprlakuka volailias sbagai suau mda kuaum ori ii ap dalam dimsi da ak dapa dirduksi lagi da dari sii sia-sia ori mda kuaum brlaku. Uuk mmcaka solusi ksak dari kasus apa kbradaa arbiras uuk volailias sokasik kia mijau kodisi apa arbiras sbagai suau kodisi yag mlibaka amiloia sism. Uuk mmprol Hamiloia orward ras kia prama mgaalisis ruag kadaa sism yag kmudia mgasilka o-rivial kika mdiisika domai orward ras sbagai suau jajara gjag.hamiloia orward ras adala suau rumusa yag idpd dari ori orward ras da dapa mgugkap prilaku dari orward ras. Modl orward ras dga volailias sokasik mmiliki sjumla paramr bbas yag aya dapa diuka dga mmplajari pasar. Kia juga kmudia prlu uuk mgaalisis scara umrik modl sigga dapa mgkalibrasiya. Lagka prama k ara ii la dislidiki ol [] da priugaya skarag ga dikmbagka uuk kasus volailias yag sokasik.

34 AFAR PUSAKA [] Ha R Jarrow da A Moro. Bod Pricig ad rm Srucur o Irs Ras: A w Modology or Coig Claims Valuaio. Ecoomrica 6 77 (99) [].P. Kdy. Caracrizig Gaussia Modl o rm Srucur o Irs Ras. Mamaical Fiac 7 (997) 7-8 [3] P. Goldsi. rm Srucur o Irs Ras as a Radom Fild. Prpi Oio Sa Uivrsiy (997) [4] P. Saa-Clara da Sor. yamics o Forward Irs Ras Curv wi Socasic Srig Socks. p://.lal.gov/cod-ma/983 (997) [5]. Sor. Srig Formulaio o dyamics o Forward Irs Ra Curv. p: //.lal.gov/cod-ma/9736 [6] J-P. Boucaud ad Sor J. Pys.I Frac 4 (994) ; J.Pys.I 6 (996) [7] R.N Maga da H.E Saly. Iroducio o Ecoopysics. Cambridg Uivrsiy Prss (999) J.P. Boucaud da M. Pors. ory o Fiacial Risks. Cambridg Uivrsiy Prss () [8] M. Oo. Usig Pa Igrals o Pric Irs Ra rivaivs. p://.lal.gov/codma/9838 M. Rosa-Clo da S addi. A Pa Igral Approac o rivaiv Pricig: Formalism ad Aalyical Rsuls. p://.lal.gov/cod-ma/9977 C. Ciarlla da N. El-Hassa. Evaluaio o rivaiv Scuriy Prics i Ha- Jarrow-Moro Framwork as Pa Igrals Usig Fas Fourir rasorm ciqus. Joural o Fiacial Egirig Vol 6 o (996) [9] B.E Baaqui. A Pa Igral Approac o Opio Pricig wi Socasic Volailiy: Som Eac Rsul. Joural d Pysiqu I 7 o (997): ; p//.lal.gov/codma/97878 B. E Baaqui L.C. Kwk da S Marakai. Simulaio o Socasic Volailiy Usig Pa Igrais: Smils ad Frows. p://.lal.gov/cod-ma/837 [] B. E Baaqui. Quaum Fild ory o rasury Bods. Pysical Rviw E 64 () 6- sampai 6-6 [] B. E Baaqui da S Marakai. A Empirical Ivsigaio o A Quaum Fild ory o Forwards Ras. p://.lal.gov/cod-ma/637 ()

35 [] K. I Ami da V.K. Ng. Implid Volailiy Fucio i Arbirag-Fr rm-srucur Modls. Joural o Fiacial Ecoomics 35 (994) 4. M Waracka. A o o Socasic Volailiy i rm Srucur Modls. Naioal Uivrsiy o Sigapor Prpri () [3] K. I Ami da V.K. Ng. Irrig Fuur Volailiy rom Iormaio i Implid Volailiyi Euroollar Opios: A w Approac. Rviws o Fiacial Sudis vol o (997) 3