Bab 2 TEORI DASAR. . Oleh karena itu, pada Bab 2 ini akan dibahas mengenai konsep dasar dari ketiga teori kontrol optimal tersebut.

Transkripsi

1 Bab 2 TEORI DASAR Penempatan pole (Pole Placement) dan Linear Quadratic Regulator merupakan strategi-strategi klasik untuk mencari pengontrol dari sistem Kelemahan dari strategi - strategi ini adalahtidakdapat mengatasi ketidakpastian dari model sistem ataupun gangguan dari luar Untuk mengatasi kelemahan - kelemahan ini muncullah teori kontrol modern seperti prinsip maksimum pontryagin, teori kontrol H 2,teorikontrol H Kelebihan ketiga teori tersebut adalah mampu mengurangi ketidakpastian dari model sistem ataupun gangguan dari luar Karena alasan inilah, ketiga metode pengontrol tersebut digunakan untuk mencari strategi yang optimal dalam meningkatkan perolehan minyak Akan tetapi sebelum menerapkan ketiga metode kontrol tersebut, kita perlu mengetahui bagaimana strategi pengoptimalan prinsip maksimum pontryagin, mencari pengontrol H 2 dan mencari pengontrol suboptimal H Oleh karena itu, pada Bab 2 ini akan dibahas mengenai konsep dasar dari ketiga teori kontrol optimal tersebut Konsep penting yang akan dibahas adalah kalkulus variasi yang merupakan teori fundamental untuk prinsip maksimum pontryagin kontinu maupun diskrit yang akan dibahas pada subbab 21 Kemudian setelah itu pada subbab 22 akan dibahas teori mengenai prinsip maksimum diskrit dan pada subbab 23 akan dibahas teori mengenai prinsip maksimum kontinu Pada subbab 24 akan dibahas teori kontrol H 2 dan teori kontrol H 7

2 BAB 2 TEORI DASAR 8 21 Kalkulus Variasi Contoh fungsi yang sederhana adalah J(x) = t0 x(t)dt, (21) dengan x (t) fungsi kontinu dari t yang terdefinisi di interval [t 0, t f ] Jika x (t) dan δx adalah 2 fungsi dimana fungsi J terdefinisi maka ΔJ didefinisikan ΔJ(x, δx) =J(x + δx) J(x), (22) dimana δx disebut variasi dari fungsi x Dengan demikian kenaikan fungsi dapat ditulis sebagai ΔJ(x, δx) Variasi pertama dari fungsi ditulis δx Kenaikan dari fungsi dapat ditulis sebagai berikut: ΔJ(x, δx) =δj(x + δx)+g(x, δx) δx, (23) dimana δj linier di δx Jika Lim g(x, δx) = 0 maka fungsi J terdiferensialkan dix δx 0 dan δj adalah variasi pertama dari J dievaluasikan dari fungsi x(t) Misalkan fungsi objektifnya adalah J(x) = t0 F (x(t), ẋ(t),t)dt, (24) kita akan mencari variasi pertama dari fungsi J Fungsi x(t) kontinu dan terdiferensialkan pada interval [t 0, t f ] Fungsi F kontinu di x(t), ẋ(t),t dan punya turunan parsial yang kontinu terhadap x(t),ẋ(t) Variasi pertama untuk persamaan (24) adalah ΔJ(x) = t0 F (x + δx, ẋ + δx, tf t)dt F (x, ẋ,t)dt (25) t0 atau ΔJ(x) = t0 [F (x + δx, ẋ + δx, t) F (x, ẋ,t)]dt (26)

3 BAB 2 TEORI DASAR Konsep Deret Taylor Fungsi y = f(x) terdiferensialkan di x Df, dimanadf adalah suatu domain selang buka dan dimana dy = f (x)dx sehingga Diferensial sebagai hampiran pertama f (x) = dy dx (27) f(x 0 +Δx) =f(x 0 )+f (x 0 )Δx + EΔx, (28) dimana Δx = dx dengan Lim Δx 0 E = 0 Selisih nilai f(x 0 +Δx)dengan f(x 0 )+ f (x 0 )Δx cukup kecil untuk Δx yang kecil Persamaan (29) diatas menjadi f(x 0 +Δx) f(x 0 )+f (x 0 )Δx (29) Kita akan mengekspansi F (x + δx, ẋ + δx, t)dalam deret taylor, sehingga menjadi F (x + δx, ẋ + δx, t) =F (x, ẋ,t)+df dx δx + df δx +O 2 (δx, δx) (210) dx Persamaan (210) kita substitusikan ke persamaan (26) sehingga persamaannya menjadi ΔJ(x) = t0 ΔJ(x) = [F (x, ẋ,t)+df dx δx + df dx t0 [ df dx δx + df dx δx +O 2 (δx, δx) F (x, ẋ,t)]dt δx]dt + t0 [O 2 (δx, δx)]dt (211) δx, δx 0, dikarenakan fungsi x(t) danf yang mulus, sehingga O 2 (δx, δx) 0 bila δx, δx 0 Didapatkan persamaan variasi pertama dari fungsi J, yaitu δj = t0 [ df dx δx + df dx 212 Fungsi Ekstrim dan Variasi Pertama δx]dt (212) Sebuah fungsi J dengan daerah asal X mempunyai sebuah ekstrim relative x jika ε >0 sedemikian sehingga x X yang memenuhi x x <εmaka kenaikan ΔJ bertanda sama

4 BAB 2 TEORI DASAR 10 1 Jika ΔJ(x) = J(x) J(x ) 0makaJ(x ) adalah minimum relatif Jika persamaan ini dipenuhi untuk sebarang nilai ε yang besar, maka J(x ) adalah minimum absolut 2 Jika ΔJ(x) = J(x) J(x ) 0makaJ(x ) adalah maksimum relatif Jika persamaan ini dipenuhi untuk sebarang nilai ε yang besar, maka J(x ) adalah maksimum absolut Fungsi x disebut ekstrim dari suatu fungsi dan J(x ) adalah nilai ekstrimnya Misalkan x adalah ekstrim, syarat perlu agar nilai J maksimum adalah variasi pertama dari J harus nol terhadap x(t), yaitu δj(x,δx)= 0untuksemuaδx yang diperkenankan Arti dari δx yang diperkenankan adalah x + δx juga harus anggota dari X Dengan demikian, jika X himpunan fungsi kontinu, x(t) danδx keduanya harus kontinu 22 Prinsip Maksimum Pontryagin Diskrit Pada tahun 1962, Pontryagin mengembangkan prinsip maksimum, yaitu memaksimumkan suatu fungsi objektif yang menyertakan variable kontrol dengan kendala Akan dibahas solusi umum dari masalah optimasi untuk sistem waktu diskrit Misalkan sistem dijelaskan oleh persamaan dinamis waktu diskrit non-linier sebagai berikut: x n+1 = f(x n,u n ), (213) dengan syarat awal x 0 Kontrol u n dibatasi, yaitu hanya boleh bila u n merupakan anggota dari suatu himpunan U yang diperkenankan, sebut u n U ad Misalkan keadaan x n suatu vector di R n dan input control u n suatu vektor di R m x n+1 adalah variable keadaan pada lokasi spasial diskrit yang dievaluasi pada waktu baru, n +1, dan x n adalah variable keadaan yang dievaluasi pada waktu lama, n Persamaan (213) yang menentukan keadaan pada waktu n + 1 dengan kontrol dan keadaan

5 BAB 2 TEORI DASAR 11 pada waktu n yang diberikan, merupakan fungsi kendala yang diberikan Misalkan terdapat fungsi objektif skalar yang diasosiasikan dengan sistem persamaan (213) yaitu: J = N 1 dengan [i, N] interval waktu yang diamati L(x n,u n ), (214) L(x n,u n ) suatu fungsi umum dari keadaan dan input kontrol pada masing masing waktu tenggang n di [i, N] Masalah kontrol optimum adalah menentukan kontrol u n pada interval [i, N] yang dapat menggerakkan sistem persamaan (213) sepanjang lintasan x n sedemikian sehingga fungsi objektif (214) dapat dimaksimumkan Penentuan barisan kontrol optimum u i,u i+1,u i+2, u N 1 yang memaksimumkan J, menggunakan metode pengali Lagrange Masing masing kendala mempunyai satu pengali Lagrange Terdapat fungsi kendala f(x n,u n ) pada masing masingwaktun di interval [i, N], sehingga diperlukan pengali Lagrange pada masing masing waktu Misalkan p n R n, kita bentuk fungsi performansi augmented J A, yang menyertakan kesamaan kendala (213), N 1 J A = [L(x n,u n ) p T n+1 [x n+1 f(x n,u n )]], (215) p n+1 adalah variable keadaan bantu atau pengali Lagrange Suatu fungsi kendala f dikalikan dengan pengali Lagrange p n+1, bukan p n, dengan tujuan keuntungan hindsight yang akan membuat solusi lebih baik Persamaan (215) mempunyai ekstrim yang sama dengan persamaan (214) apabila hubungan kesamaan kendala (213) dipenuhi Kita definisikan fungsi Hamiltonian sebagai berikut: H n = L(x n,u n )+p T n+1 f(x n,u n ), (216) sehingga J A dapat ditulis kembali sebagai berikut: N 1 J A = [H n p T n+1 x n+1] (217)

6 BAB 2 TEORI DASAR 12 Membangun syarat perlu untuk ekstrim dari fungsi (217), dari teori kalkulus variasi sebelumnya dapat kita tulis variasi pertama dari J A sebagai: ( ) T ( ) T ( ) T JA JA JA δj A = δx n + δu n + δp n, (218) x n δu n δp n δx n, δu n,δp n adalah variasi peubah keadaan, kontrol dan keadaan bantu Dengan demikian variasi pertamanya adalah δj A = + N 1 N 1 [ Hn p n+1 [ Hn x n ] T δx n + N 1 ] T δp n+1 N 1 Persamaan (219) dapat disederhanakan menjadi δj A = + N 1 N 1 [ Hn x n [ ] T Hn δu n u n ] T δx n + N 1 p T n+1 δx n+1 N 1 [ ] T Hn δu n u n [ ] T N 1 Hn x n+1 δp n+1 p n+1 δp T n+1 x n+1 (219) p T n+1δx n+1 (220) Kita akan menyederhanakan hasil persamaan (220), kita akan mencari hubungan antara δx n+1 dan δx n, atau dengan persamaan N 1 N 1 p T n+1 δx n+1 = N +1 p T n+1 δx n+1 = p T N δx N p T i δx i + p T n δx n (221) N 1 p T n δx n, (222) sehingga persamaan variasi pertama dari persamaan (217) adalah sebagai berikut: δj A = p T Nδx N + p T i δx i + + N 1 [ Hn u n ] δu n + N 1 N 1 [ ] Hn p n δx n x n [ ] Hn x n+1 δp n+1 (223) p n+1

7 BAB 2 TEORI DASAR 13 Dari kalkulus variasi, syarat perlu ekstrim dari suatu fungsi saat kontrol berada di U ad adalah variasi pertamanya sama dengan nol atau ditulis sebagai berikut: δj A =0 (224) Jika kontrol berada pada batas U ad, syarat perlu untuk maksimum adalah: δj A 0 (225) Persamaan (224) dan persamaan (225) di atas akan memberikan syarat perlu untuk prinsip maksimum diskrit Syarat Perlu Karena variasi δx n dan δp n+1 bebas dan tidak dibatasi, maka perlu: H n x n = p n,n= i,, N 1 (226) H n = x n+1,n= i,, N 1 (227) p n+1 Persamaan (226) dan (227) diatas dapat dituliskan kembali dalam bentuk : p n = H ( ) T n f = p n+1 + L n = i,, N 1 (228) x n x n x n x n+1 = H n = f(x n,u n ),n= i,, N 1 (229) p n+1 Persamaan (229) disebut persamaan kendala atau persamaan sistem, dan merupakan rekursi untuk keadaan x n yang maju terhadap waktu Selanjutnya persamaan (228) yang disebut persamaan sistem adjoin, merupakan rekursi untuk p n yang mundur terhadap waktu Pengali Lagrange disebut keadaan bantu atau costate Kedua persamaan terakhir mendefinisikan suatu masalah nilai batas dua titik, karena syarat batas yang diperlukan untuk mendapatkan solusi adalah keadaan awal x 0 dan keadaan bantu akhir p N Selanjutnya, saat kontrol berada di U ad,variasi δu n adalah bebas, sehingga syarat perlu H n u n =0,n= i,, N 1 (230)

8 BAB 2 TEORI DASAR 14 Apabila kontrol berada pada batas U ad,variasiδu n tidak bebas, sehingga syarat perlu untuk maksimum adalah: atau dengan kata lain N 1 [ Hn u n ] δu n 0, (231) H(x n,u n,p n+1,n)= suph(x n,u n,p n+1,n) (232) u n U Syarat perlu yang lainnya adalah p T N δx N =0, (233) p T i δx i =0 (234) Persamaan (233) hanya berlaku untuk waktu akhir N, sedangkan persamaan (234) hanya berlaku pada waktu awal i, dengan demikian menjelaskan syarat batas yang diperlukan untuk menyelesaikan masalah rekursi (228), (229), (230) Ada dua kemungkinan yang ada untuk persamaan (233) dan (234) Bila keadaaan awal x i ditentukan, x i tidak bebas bervariasi sehingga δx i = 0 Dengan demikian persamaan (234) dipenuhi Bila keadaan awal tidak ditentukan, maka variasi δx i bebas, sehingga (234) mensyaratkan p T i =0, (235) untuk kasus keadaan akhir yang ditentukan, x N tidak bebas bervariasi untuk menentukan solusi optimum sehingga δx N = 0 Dengan demikian, persamaan (233) berlaku Apabila x N tidak ditentukan, variasi δx N bebas Untuk kasus keadaan akhir bebas, persamaan (233) mensyaratkan p N =0 (236)

9 BAB 2 TEORI DASAR 15 Untuk masalah injeksi surfactant polymer, sistem dimulai dengan keadaan awal diketahui dan keadaan akhir tidak ditentukan Secara ringkas, prinsip maksimum diskrit dijelaskan sebagai berikut: Model Sistem: x n+1 = f(x n,u n ),n= i,, N 1, Fungsi Objektif: Hamiltonian: J = N 1 L(x n,u n ), H n = L(x n,u n )+p T n+1f(x n,u n ), Pengontrol Optimum: Persamaan Keadaan: x n+1 = H n p n+1 = f(x n,u n ), Persamaan Costate: p n = H ( ) T n f = p n+1 + L, x n x n x n Syarat Stasioner: ( ) T Hn u n = f pn+1 u n + L u n N 1 Syarat Batas: =0,untuku U ad [ H n u n ] T δun 0, untuk u di batas U ad x i diketahui p N =0

10 BAB 2 TEORI DASAR Prinsip Maksimum Pontryagin Kontinu Misalkan fungsi objektif yang akan dimaksimumkan adalah J = t 0 L(x, u, t)dt, (237) terhadap suatu kendala dan kontrol x = f(x, u, t) (238) u(t) U ad (239) Misalkan U ad merupakan subset dari R m, keadaan x(t) R n dan input kontrol u(t) R m Asumsikan f(x, u, t) danl(x, u, t) fungsi fungsi terhadap waktu sehingga u(t) juga fungsi terhadap waktu Kontrol optimum u menyebabkan fungsi J akan mempunyai maksimum relatif atau minimum relatif Fungsi J yang mempunyai maksimum relatif: ΔJ(x) =J(x) J(x ) 0, (240) kenaikan fungsi J dapat dijelaskan sebagai ΔJ(x) =δj(u, δu)+g(u, δu) δu (241) Karena norm δu menuju nol, fungsi g yang merupakan variasi dari J dengan orde yang lebih tinggi juga menuju nol Sekarang tulis fungsi objektif augmented sebagai J A = [L(x, u, t)+p T (t)(f(x, u, t) ẋ)]dt, (242) t 0 dengan p merupakan pengali Lagrange Fungsi Hamiltonian didefinisikan sebagai berikut: H(x, u, t) =L(x, u, t)+p T (t)f(x, u, t), (243)

11 BAB 2 TEORI DASAR 17 sehingga persamaan (242) dapat ditulis sebagai berikut: J A = [H(x, u, t) p T (t) ẋ]dt (244) t 0 Menurut teori Lagrange, maksimum dari J dengan kendala adalah ẋ = f(x, u, t), dicapai pada maksimum dari J A yang tanpa kendala Hal ini dapat dipenuhi saat δj A = 0 Dengan membuat koefisien koefisien δx, δu, δp menjadi nol, didapatkan syarat perlu untuk maksimum Syarat maksimum relatif sudah dijelaskan di atas pada sub-bab ekstrim fungsi adalah t 0 δj A (u, δu) 0 (245) Kenaikan dari J A sebagai suatu fungsi dari kenaikan terhadap x, ẋ, p, u dan t adalah [ ] T H tf [ ] T H tf [ ] T H δj A = δxdt + δudt + δpdt x u p + t 0 [ ] T H tf δtdt δp T ẋ dt P T t t 0 t 0 Persamaan terakhir diatas dapat disederhanakan menjadi t 0 t 0 δx dt (246) δj A =(H P T ẋ)δt tf (H P T ẋ)δt t0 + t 0 [ [ H ] T δx + x [ ] T [ ] H δu P T δx T H + δp] u p ẋ dt (247) Untuk mengeliminasi variasi terhadap ẋ, dilakukan integrasi parsial sebagai berikut: P T t 0 δx dt = P T δx tf + P T δx t0 + t 0 P T δxdt, (248) karena waktu awal dan keadaan awal diketahui, variasi dari x dan t pada saat t = t 0 adalah nol Untuk t t 0, variasi δx dan δp bebas dan tak dibatasi, sehingga syarat syarat perlu pada kontrol optimum diskrit masih merupakan syarat perlu kasus kontinu Bila syarat syarat perlu tersebut dipenuhi, variasi pertama dari J A disederhanakan menjadi δj A (u, δu) = t 0 [ ] T H δudt (249) u

12 BAB 2 TEORI DASAR 18 Bila kontrol dalam himpunan kontrol yang diperkenankan U ad,variasiδu bebas, sehingga syarat perlu untuk maksimum adalah H =0 (250) u Tapi bila kontrol berada pada batas U ad,variasiδu tidak bebas Kita tulis [ ] T H δu = H(u + δu) H(u), (251) u sehingga syarat perlu adalah atau dapat dituliskan δj A (u, δu) = t 0 [H(u + δu) H(u)] dt 0, (252) H(x, p, u) H(x, p, u + δu) (253) Prinsip maksimum pontryagin kontinu menyatakan bahwa kontrol optimum yang memaksimumkan fungsi objektif J juga harus memaksimumkan fungsi Hamiltonian H Secara ringkas, prinsip maksimum pontryagin kontinu dijelaskan sebagai berikut: Model Sistem x = f(x, u, t), Fungsi Objektif Hamiltonian J = t 0 L(x, u, t)dt, H(x, u, t) =L(x, u, t)+p T (t)f(x, u, t), Pengontrol optimum: Persamaan Keadaan : Persamaan Costate: Syarat stasioner: x = H p = f(x, u, t), P = H ( ) T f x = p L x x,

13 BAB 2 TEORI DASAR 19 H = ( ) f T u u p + L = 0 untuk u di U u ad H(x, p, u) H(x, p, u + δu) untuk u di batas U ad Syarat batas p(t f )=0 H(t f )=0 24 Teori Kontrol H 2 dan Teori Kontrol H Tujuan dari teori kontrol H 2 adalah menentukan bentuk pengendali yang indeks performansinya adalah norma H 2 dari fungsi transfer loop tertutup Teori kontrol H adalah menentukan bentuk pengendali yang indeks performansinya adalah norm H Berkaitan dengan hal tersebut, pertama-tama akan dijelaskan tentang kelinearan sistem, pengertian ruang Hilbert yang mendasari keberadaan ruang Hardy H 2 dan ruang H Pembahasan selanjutnya adalah tentang norma H 2 dan H serta contoh perhitungannya Lalu dilanjutkan dengan mencari plant diperumumnya, yang kemudian dilanjutkan dengan mencari fungsi transfer loop tertutupnya dan akan ditentukan bentuk kontrol H 2 dan H yang optimal dan tunggal 241 Sistem Linier Misalkan suatu sistem dinamik digambarkan oleh persamaan differensial sebagai berikut: ẋ(t) =Ax(t)+Bu(t), x(t 0 )=x 0 (254) y(t) =Cx(t)+Du(t), (255) dimana x(t) R n disebut peubah keadaan, x(t 0 ) disebut kondisi awal sistem, y(t) R t adalah keluaran sistem dan u(t) R m adalah masukan sistem, memiliki diagram blok dibawah ini, dengan A, B, C, dan D adalah matriks real konstan

14 BAB 2 TEORI DASAR 20 D + B U + Ẋ x A C + Y Gambar 21: Diagram blok sistem dinamika linier Matriks transfer dari u(t) ke y(t) didefinisikan sebagai Y (s) =G(s)U(s), dengan U(s) dany (s) adalah hasil transformasi Laplace dari u(t) dany(t) dengan syarat awal x(t 0 )=x 0 Matriks transfer G(s) dariu(t) dany(t) dapat diperoleh dengan melakukan transformasi Laplace pada persamaan (254) dan (255), diperoleh G(s) =C (si A) 1 B + D Sistem persamaan (254) dan (255) dapat dituliskan ke dalam bentuk matriks sebagai berikut: ẋ(t) = A B x(t), y(t) C D u(t) atau bisa juga kita gunakan notasi G(s) = A B = C(sI A) 1 B + D C D Definisi 21 Persamaan sistem dinamik (254) atau pasangan (A, B) dikatakan terkontrol jika untuk kondisi awal x(t 0 )=x 0, t 1 > 0 dan kondisi akhir x 1, terdapat input u(t) sedemikian sehingga solusi (254) memenuhi x(t 1 )=x 1 Jika tidak, maka

15 BAB 2 TEORI DASAR 21 sistem atau pasangan (A, B) dikatakan tak terkontrol Definisi 22 Suatu sistem dinamik ẋ(t) = Ax(t) + Bu(t) dikatakan stabil jika semua nilai eigen matriks A berada di bidang sebelah kiri sumbu imajiner, yaitu Reλ(A) < 0 Matriks A yang memenuhi sifat ini dikatakan stabil Definisi 23 Persamaan sistem dinamik (254) atau pasangan (A, B) dapat distabilkan jika terdapat state feedback u = Fx sedemikian sehingga sistem stabil (A + BF stabil) Definisi 24 Sistem dinamik yang diberikan oleh persamaan (254) dan persamaan (255) atau pasangan (C, A) dikatakan teramati jika t 1 > 0, kondisi awal x(t 0 )=x 0 dapat ditentukan dari input u(t) danoutput y(t) dalam interval [0,t 1 ] Jika tidak, maka sistem atau (C, A) dikatakan tak teramati Definisi 25 Suatu sistem, sepasang matriks (C, A)disebut terdeteksi jika A + LC stabil untuk suatu L 242 Ruang Hibert Hasil kali dalam (inner product) vektor pada ruang Euclid C n didefinisikan sebagai berikut: n x, y = x y = x i y i, x = i=1 Panjang vektor x C n didefinisikan x = x, x x 1,y = y 1 x n y n C n Definisi 26 Misalkan V adalah ruang vektor atas C Hasil kali dalam pada V adalah fungsi kompleks yang didefinisikan sebagai berikut:, : VxV C

16 BAB 2 TEORI DASAR 22 sedemikian sehingga untuk x, y, z V dan α, β C, berlaku (i) x, αy + βz = α x, y + β x, z, (ii) x, y = y, x, (iii) x, y > 0jikax 0 Ruang vektor V dengan hasil kali dalam dinamakan ruang hasil kali dalam Hasil kali dalam di atas menginduksi norma x = x, x 243 Ruang H 2 dan H Definisi 27 Ruang Hilbert adalah ruang hasil kali dalam dengan norma yang diinduksi oleh hasil kali dalamnya Salah satu contoh ruang Hilbert adalah L 2 [a, b] dengan hasil kali dalam yang didefinisikan sebagai f,g = b a f(t) g(t)dt, f, g L 2 [a, b] Hasil kali dalam dari fungsi matriks didefinisikan sebagai f,g = b a trace [f(t) g(t)dt] L 2 = L 2 (, ) adalah ruang hilbert dari fungsi fungsi pada R dengan hasil kali dalam didefinisikan sebagai f,g = b a trace [f(t) g(t)dt] L 2+ = L 2 [0, ) adalah ruang bagian dari L 2 dengan fungsi bernilai nol untuk t<0 L 2 = L 2 (, 0] adalah ruang bagian dari L 2 dengan fungsi bernilai nol untuk t>0 Transformasi Laplace menghasilkan hubungan isomorfik antara ruang L 2 di domain waktu dan ruang L 2 di domain frekuensi Hubungan ini dikenal dengan hubungan parseval (parseval s relation), sehingga ketiga macam ruang L 2 di domain waktu di

17 BAB 2 TEORI DASAR 23 atas dapat dikaitkan dengan tiga macam ruang L 2 di domain waktu sebagai berikut: L 2 = L 2 (, ) adalah ruang L 2 di domain waktu yang isomorfik dengan L 2 (jr) di domain frekuensi L 2+ = L 2 [0, ) adalah ruang L 2 di domain waktu yang isomorfik dengan H 2 di domain frekuensi L 2 = L 2 (, 0] adalah ruang L 2 di domain waktu yang isomorfik dengan H 2 domain frekuensi Teorema 21 Jika f (s) terdefinisikan dan kontinu pada himpunan S yang tertutup dan terbatas, serta analitik pada interior (titik dalam) S, maka f (s) tidak dapat mencapai maksimum pada interior S, kecuali jika f (s) bernilai konstan Teorema 21 di atas memberikan arti bahwa f (s) hanya dapat mencapai nilai maksimumnya pada batas S, yaitu: maks f (s) = maks f (s), s S s S dimana S adalah batas S L merupakan ruang banach dari fungsi fungsi skalar atau matriks yang terbatas pada jr, dengan norm F = ess sup σ [F (jω)] ω R RL merupakan ruang bagian rasional dari L yang terdiri dari matriks transfer yang real rasional dan proper dengan tidak ada pole di sumbu imajiner di 244 Norma H 2 dan H Definisi 28: Ruang Hardy H 2 adalah ruang bagian (tertutup) dari L 2 (jr) dengan fungsi matrik G (s) analitik pada bidang Re (s) > 0, artinya setiap elemen matrik dari fungsi matrik G (s) analitik pada bidang Re (s) > 0 Ruang bagian real rasional dari H 2, yang dinotasikan RH 2 yang terdiri dari seluruh matrik transfer yang stabil yang real rasional dan strictly proper Norma yang berkaitan dengan ruang H 2 ini didefinisikan sebagai: G 2 2 := sup σ>0 ( 1 ) trace[g (σ + jω)g(σ + jω)]dω, 2π

18 BAB 2 TEORI DASAR 24 ) trace[g (jω)g(jω)]dω, G 2 2 := ( 1 2π G 2 2 := ( 1 2πj ) trace[g (s)g(s)]ds Contoh : Misalkan G (s) = 1, τ>0 Titik pole pada bidang Re (s) < 0dari τs+1 G (s)g(s) adalah di titik s = 1 Residu di titik pole ini sama dengan τ maka G 2 = 1 2τ lim x 1 τ ( s + 1 τ ) 1 1 τs+1τs+1 = 1 2τ, Ruang Hardy H2 adalah komplemen ortogonal dari H 2 di L 2, yaitu ruang bagian (tertutup) dari fungsi di L 2 yang analitik di Re (s) < 0 Ruang bagian real rasional dari H2, RH 2, terdiri dari semua matriks transfer rasional proper dengan semua pole (pembuat nol dari penyebut) berada di Re (s) > 0 Ruang H merupakan ruang bagian L dengan fungsi fungsi yang analitik dan terbatas di bidang Re (s) > 0 Norm H didefinisiskan sebagai : F = sup Re(s)>0 σ [F (s)] = sup σ [F (jω)] ω R RH merupakan ruang bagian H yang terdiri atas matriks transfer yang real, rasional, stabil dan proper Ruang H merupakan ruang bagian di L dengan fungsi fungsi yang analitik dan terbatas di bidang Re (s) < 0 Norm H F = sup Re(s)<0 didefinisikan oleh σ [F (s)] = sup σ [F (jω)] ω R RH merupakan ruang bagian real rasional dari H yang terdiri dari matriks transfer yang proper real rasional dan anti stabil (semua pole berada di bidang Re (s) > 0)

19 BAB 2 TEORI DASAR 25 Misalkan G(s) RL dengan norm didefinisikan sebagai G =supσ [G (jω)], ω R dalam rekayasa kendali, norm dari fungsi transfer G adalah jarak dari titik (0, 0) ke titik terjauh pada nyquist plot di bidang kompleks, dan juga berupa nilai maksimum (peak value) pada bode magnitude plot dari G (jω), sehingga norm dari fungsi transfer ini dapat pula ditentukan secara grafik Untuk mendapatkan taksirannya, ambil titik titik frekuensi {ω 1,ω 2,ω 3,, ω N }, kemudian taksiran untuk G adalah G = maks σ [G (jω k)] Nilainya biasanya bisa kita baca langsung 1 k N pada bode singular value plot Lemma 21 Misalkan γ>0dang(s) = A B RL,maka G <γjika C D dan hanya jika σ (D) < γ dan matriks Hamiltonian H tidak memiliki nilai eigen di sumbu imajiner, dimana H = A + BR 1 D C BR 1 B, C (I + DR 1 D ) C (A + BR 1 D C ) dan R = γ 2 I D D Contoh : Jika kita memiliki matriks transfer sebagai berikut: dengan perintah Matlab 70 G (s) = 10(s+1) s 2 +02s+100 s+2 s 2 +01s+10 >> G11 = nd2sys ([10, 10], [1, 02, 100]) ; >> G12 = nd2sys (1, [1, 1]) ; >> G21 = nd2sys ([1, 2], [1, 01, 10]) ; >> G22 = nd2sys ([5, 5], [1, 5, 6]) ; >> G = sbs (abv (G11,G21),abv(G12,G22)) ; 1 s+1 5(s+1) (s+2)(s+3), Frekuensi respon dari G dan nilai singular dari G (jω) akan dihitung dengan perintah:

20 BAB 2 TEORI DASAR 26 >> w =logspace (02, 200) ;% terdapat 200 titik frekuensi antara 1 dan 100 >> Gf = frsp(g, w) ; % menghitung frekuensi respon >> [u, s, v] = vsvd (Gf); % singular value decomposition pada tiap frekuensi respon >> vplot ( liv, lim,s),grid % plot nilai singular dan frekuensi >> pkv norm (s) % menentukan norm dari frekuensi respon nilai singular >> h inf norm (G, 00001) % menghitung norm H dengan error Kita dapatkan normnya antara dan Persamaan Aljabar Riccati Misalkan A, Q, R, matriks real berukuran nxndengan Q dan R simetri, yaitu Q = Q dan R = R Definisikan matriks Hamiltonian 2n x2n: H = A R Q A Asumsikan H tidak mempunyai nilai eigen pada sumbu imajiner, maka H haruslah mempunyai n nilai eigen di Re (s) < 0dann nilai eigen di Re (s) > 0 Misalkan χ (H) adalah subruang spectral berdimensi n yaitu pembentuk subruang tersebut merupakan subruang invariant yang berkaitan dengan nilai nilai eigen di Re (s) < 0 Dengan mencari basis dari χ (H), kemudian menyusunnya menjadi sebuah matriks, dan mempartisi matriks tersebut, maka akan diperoleh χ (H) =Im X 1 X 2 dengan X 1,X 2 C nxn Jika X 1 nonsingular, atau ekivalen dengan jika dua buah subruang, χ (H),Im 0 I, saling komplementer, maka kita dapat memisalkan X = X 2 X1 1 dan X ditentukan oleh H secara tunggal yaitu H X adalah sebuah fungsi y, disimbolkan dengan

21 BAB 2 TEORI DASAR 27 Ric Jadi, X = Ric (H) Kita akan mengambil domain dari Ric, disimbolkan dengan dom (Ric), terdiri dari matriks matriks Hamiltonian H dengan dua buah sifat yaitu H tidak mempunyai nilai eigen pada sumbu imajiner dan dua buah subruang saling komplementer Lemma 22 Misalkan H dom (Ric) danx = Ric (H), maka 1 X simetri 2 X memenuhi persamaan aljabar Riccati, yaitu A X + XA + XRX Q =0 3 A + RX stabil Lemma 23 Misalkan H tidak mempunyai nilai nilai eigen imajiner, R semidefinit positif atau semidefinit negatif, dan (A, R) terstabilkan maka H dom (Ric) Lemma 24 Misalkan H mempunyai bentuk H = A BB CC A, dengan (A, B) terstabilkan dan (C, A) terdeteksi, maka H dom (Ric), X = Ric (H) =0,danker(X) χ 246 Penentuan Kontrol H 2 dan H yang diperkenankan Bentuk dasar dari sistem kontrol yang dibahas pada tulisan ini adalah seperti pada gambar 21 di bawah ini: dimana G adalah plant yang diperumum (Generalized Plant) yang terdiri dari dua buah input yaitu input dari luar (Exogeneous Input) w misalnya berupa gangguan (disturbance) dan input kontrol u G juga memiliki dua buah output yang diukur y dan output yang dibangun (regulated output) z K adalah pengontrol yang akan didesain Realisasi matriks transfer G dalam bentuk ruang keadaan dapat juga dituliskan

22 BAB 2 TEORI DASAR 28 w G(s) z u y K(s) Gambar 22: Fungsi Loop Tertutup dalam bentuk: G(s) = A B 1 B 2 C 1 0 D 12 C 2 D 21 0 = G 11(s) G 21 (s) G 12 (s) G 22 (s), G ij =[A, B j,c i,d ij ], i, j =1, 2, dengan asumsi sebagai berikut: (A, B 2 ) terstabilkan ekivalen dengan pernyataan berikut ini: 1 Matriks [A λi, B 2 ] memiliki rank baris penuh untuk semua Re (λ) 0 2 Untuk semua λ dan x sedemikian sehingga x A = x λ dan Re (λ) 0, maka x B Terdapat matriks F sedemikian sehingga A + B 2 F stabil (C 2,A) terdeteksi ekivalen dengan pernyataan berikut ini: 1 matriks A λi memiliki rank kolom penuh untuk semua Re (λ) 0 C 2 2 Untuk semua λ dan x sedemikian sehingga Ax = λx dan Re (λ) 0, maka Cx 0 3 Terdapat martriks L sedemikian sehigga A + LC 2 4 (A,C2 ) terstabilkan

23 BAB 2 TEORI DASAR 29 [ ] [ ] D12 C 1 D 12 = 0 I B 1 D 21 D21 = 0 I Lemma 25 Terdapat pengontrol K (Proper) yang mencapai stabilitas secara internal jika dan hanya jika (A, B 2 ) dapat distabilkan dan (C 2,A) dapat dideteksi Lebih lanjut, misalkan terdapat F dan L sedemikian sehingga A+B 2 F dan A+LC 2 stabil Maka pengontrol dinyatakan oleh: K(s) = A c C c B c D c = A + B 2F + LC 2 L F 0 Bukti : (<=) Dengan asumsi dapat distabilkan dan dapat dideteksi, terdapat F dan L sedemikian sehingga A + B 2 F dan A + LC 2 stabil Misalkan K (s) adalah pengontrol yang diberikan pada lemma, maka matriks transfer dari w ke z, T zw,diturunkan sebagai berikut: Dinamika plant diperumum G (s) dapat dituliskan dalam bentuk: ẋ(t) =Ax(t)+B 1 w(t)+b 2 u(t), (256) z(t) =c 1 x(t)+d 12 u(t), (257) y(t) =c 2 x(t)+d 21 w(t) (258) Sedangkan dinamika pengontrol K (s) dapat dituliskan dalam bentuk: ˆx(t) =Âkˆx(t)+ ˆB k y(t), (259) u(t) =ĉ kˆx(t)+ ˆD k y(t) (260) Kita substitusikan persamaan (260) dan (258) ke persamaan (256) diperoleh ẋ(t) =(A + B 2 ˆDC2 )x(t)+b 2 C kˆx(t)+(b 1 + B 2 D k D 21 )w(t) (261) Kita substitusikan persamaan (259) ke persamaan (260) diperoleh ˆx(t) =B k C 2 x(t)+a kˆx(t)+b k D 21 w(t) (262)

24 BAB 2 TEORI DASAR 30 Kita substitusikan persamaan (260) dan persamaan (258) ke persamaan (257) diperoleh z(t) =(C 1 + D 12 D k C 2 )x(t)+d 12 C kˆx(t)+d 12 D k D 21 w(t) (263) Menyusun kembali ketiga persamaaan terakhir diperoleh ẋ(t) A + B 2 ˆDC2 B 2 C k ˆx(t) = B k C 2 A k x(t) + ˆx(t) z(t) C 1 + D 12 D k C 2 D 12 C k B 1 + B 2 D k D 21 B k D 21 D 12 D k D 21 w(t) (264) Realisasi ruang keadaan matriks transfer dari w ke z, T zw A + B 2 ˆDC2 B 2 C k B 1 + B 2 D k D 21 T zw = B k C 2 A k B k D 21 C 1 + D 12 D k C 2 D 12 C k D 12 D k D 21 (265) Kita substitusikan kembali A c,b c,c c,d c diperoleh A = A B 2F = A + LC 2 0 LC 2 A + B 2 F + LC 2 LC 2 A + B 2 F Karena seluruh elemen matriks A stabil, maka A stabil (=>) Jika(A, B 2 )tidak dapat distabilkan dan (C 2,A) tidak dapat dideteksi maka terdapat beberapa nilai eigen dari A yang berada di bidang Re (s) > 0 sehingga tidak ada L dan F sedemikian sehingga A + LC 2 dan A + B 2 F stabil 247 Masalah Kontrol H 2 Kontrol Optimal H 2 : Mencari semua pengontrol K (s) yang proper, real rasional yang menstabilkan G (s) secara internal dan meminimumkan norm H 2 dari suatu matriks transfer T zw dari w ke z Penentuan pengontrol ini memerlukan beberapa asumsi berikut: 1 (A, B 2 ) dapat di stabilkan dan (C 2,A) dapat dideteksi,

25 BAB 2 TEORI DASAR 31 2 R 1 = D12D 12 >0danR 1 = D 21 D21>0, 3 4 A jωi B 2 C 1 D 12 A jωi B 1 C 2 D 21 mempunyai rank kolom penuh untuk semua ω, mempunyai rank baris penuh untuk semua ω Akibat dari keempat asumsi diatas maka diperoleh dua buah matriks Hamiltonian berikut: H 2 := J 2 := A B 2 R 1 1 D 12C 1 B 2 R 1 1 B 2 C1 (I D 12R1 1 D 12 )C 1 (A B 2 R1 1 D 12 C 1) (A B 1D 21 R 1 2 C 2 ) C 2 R 1 2 C 2 B 1 (I D 21R 1 2 D 21 )B 1 (A B 1 D 21R 1 2 C 2 ) dimana H 2 dan J 2 dom (Ric) dan lebih jauh, X 2 = Ric (H 2 ) 0dan Y 2 = Ric (J 2 ) 0 Definisikan dan F 2 := R1 1 (B 2 X 2 + D12 C 1),L 2 := (Y 2 C2 + B 1 D 21 )R 1 2 A F2 := A + B 2 + F 2,A L2 := A + L 2 C 2, B 1L2 := B 1 + L 2 D 21,C 1F2 := C 1 + D 12 F 2, Â 2 := A + B 2 F 2 + L 2 C 2, G c (s) = A F 2 I,G f (s) = A L 2 B 1L2 C 1F2 0 I 0 Sebelum masuk ke dalam teorema yang utama maka diperlukan lemma berikut ini: Lemma 26 Misalkan U, V RH didefinisikan sebagai: U = A F 2 B 2 R 1/2 1, V = A L2 B 1L2 C 1F2 D 12 R 1/2 1 R 1/2 2 C 2 R 1/2 2 D 21 Maka U adalah inner dan V adalah co-inner, U G c RH 2 dan G fv RH 2

26 BAB 2 TEORI DASAR 32 Bukti: Pembuktian menggunakan sifat-sifat dasar aljabar dari perkalian matriks blok Dari U diperoleh: Maka, dan U U(s) = U (s) = A F 2 C1F 2 R 1/2 1 B2 R 1/2 1 D12 U G c (s) = Dengan menggunakan transformasi similaritas A F C 1F C 1F C 1F 0 A F B 2 R 1/2 1 R 1/2 1 B2 R 1/2 1 D12 C 1F I A F C1F C 1F 0 0 A F I R 1/2 1 B2 R 1/2 1 D12 C 1F 0 I X 2 0 I pada U U maupun pada U Gc dan akibat persamaan A F 2 X 2 + X 2 A F2 + C 1F 2 C 1F2 =0 diperoleh A F 0 0 U U(s) = 0 A F B 2 R 1/2 1 = I R 1/2 1 B2 0 I A F 0 X 2 U G c (s) = 0 A F I = A F X 2 R 1/2 R 1/2 1 B2 1 B RH 2 dengan sifat dualitas, maka G f V RH 2 dan V adalah co-inner Teorema 22: Terdapat kontrol optimal yang tunggal K opt (s) := Â2 L 2 F 2 0

27 BAB 2 TEORI DASAR 33 lebih lanjut, min T zw 2 2 = G cb R 1/2 1 F 2 G f 2 2 = trace(b 1 X 2B 1 )+trace(r 1 F 2 Y 2 F 2 ) Bukti: Misalkan parameterisasi pengontrol K(s) =F l (M 2,Q) Â 2 L B 2 M 2 (s) = F 0 I C 2 I 0,Q RH 2 dengan dan misalkan diagram sistem sebagai berikut: Maka T zw = F 1 (N,Q) dengan z w G y u M 2 y 1 u 1 Q N = A F B 2 F B 1 B 2 0 A L B 1L 0 C 1F D 12 F 0 D 12 0 C 2 D 21 0 Berdasarkan teorema di atas, diperoleh bahwa F 1 (G, K) =T zw = N 11 + N 12 QN 21, dengan N 11 = G 11 + G 12 M 2 Ỹ 2 G 21,

28 BAB 2 TEORI DASAR 34 N 12 = G 12 M 2, Sehingga N 21 = M 2 G 21, M 2 (s) = A F B 2, M 2 (s) = A L L, F I C I X (s) = A F L, X (s) = A L B 1L, C 1F I F I Y (s) = A F L, Ỹ (s) = A L L F 0 F 0 T zw = N 11 + N 12 QN 21 = A B 1 + A B 2 A F B 2 A L L A B 1 C 1 0 C 1 D 12 F I F 0 C 2 D 21 + A B 2 A F B 2 Q A L L A B 1 C 1 D 12 F I C 2 D 21 C 2 D 21 = A B A B 2 F B 2 A L LC 2 LD A C 1 0 F B 2 0 A B 1 C 1 D 12 F D 12 F 0 0 A B 2 F B 2 A L LC 2 LD A F B 2 Q 0 A B 1 C 1 D 12 F D 12 C 2 C 2 D 21 B 1L = A F B 1 + A F B 2 A L C 1F 0 C 1F D 12 F 0 = A F B 1 C 1F 0 + A F B 2 C 1F D 12 B 1L F A L F 0 B 1L + A F B 2 Q A L C 1F D 12 C 2 D 21 + A F B 2 C 1F D 12 B 1L Q A L C 2 D 21 T zw = G c B 1 UR 1/2 1 FG f + UR 1/2 1 QR 1/2 2 V

29 BAB 2 TEORI DASAR 35 Dari lemma 24 diperoleh bahwa G c B 1 dan U saling orthogonal Sehingga T zw 2 2 = G cb UR 1/2 1 FG f UR 1/2 1 QR 1/2 2 V 2, 2 T zw 2 2 = G cb 1 2 R 2 + 1/2 1 FG f UR 1/2 1 QR 1/2 2 V 2 2 Dan karena G f dan V juga orthogonal menurut lemma 24 di atas, maka: T zw 2 2 = G cb R 1/2 1 FG f R 1/2 1 QR 1/2 2 V T zw 2 2 = G cb R 1/2 1 FG f R 1/2 1 QR 1/2 2 V Persamaan di atas jelas menunjukkan bahwa Q =0memberikankontrol H 2 yang optimal dan tunggal Maka K = F 1 (M 2, 0)adalah pengontrol yang optimal dan tunggal Masalah Kontrol H Kontrol Optimal H : Mencari semua pengontrol K (s) yang diperkenankan sehingga T zw minimum Pada pengontrol H kasus MIMO (Multi Input MultiOutput) tidaklah tunggal Pencarian pengontrol optimal H sangatlah rumit baik secara numerik maupun secara analitik Oleh karena itu, cukup dicari pengontrol dengan norm yang sangat dekat dengan norm pengontrol optimal, yang disebut pengontrol suboptimal Masalah kontrol suboptimal H dapat dinyatakan sebagai berikut: Kontrol Suboptimal H : Diberikan γ>0, menentukan semua pengontrol yang diperkenankan K (s), jika ada, sehingga T zw <γ Solusi dari H terkait dengan dua matriks Hamiltonian sebagai berikut: A γ H := 2 B 1 B1 B 2B2 A, J := γ 2 C1 C 1 C2 C 2 C1C 1 A B 1 B1 A Teorema 23 Terdapat pengontrol yang diperkenankan sehingga T zw <γjika dan hanya jika tiga kondisi berikut dipenuhi:

30 BAB 2 TEORI DASAR 36 1 Matriks Hamiltonian H dom (Ric) danric (H ) > 0 2 Matriks Hamiltonian J dom (Ric) danric (J ) > 0 3 ρ (X Y ) <γ 2 Jika ketiga kondisi ini terpenuhi, salah satu pengontrol K mempunyai realisasi sebagai berikut: K sub (s) :=  Z L, F 0 dengan  = A + γ 2 B 1 B1 X + B 2F + Z L C 2, F =B1 X, Z =(I γ 2 X Y ) 1, L = Y C2 Untuk membuktikan Teorema 23, kita memerlukan beberapa lemma dan teorema pendukung Lemma 27 Misalkan X R nxn, Y R nxn, dengan X = X > 0danY = Y > 0 Misalkan r adalah bilangan bulat positif, maka terdapat matriks X 12 R nxr, X 2 1 R rxr sehingga X 2 = X2 > 0, X X 12 > 0dan 12 = Y, X12 X 2 X12 X 2 jika dan jika X I n 0danrank I n n + r Y Y I n Bukti: (<=) Berdasarkan asumsi, terdapat matriks X 12 R nxr sehingga X Y 1 = X 12 X 12 Definisikan X 2 = I r, maka bukti telah lengkap (=>) Gunakan Schur Complement, Y = X 1 + X 1 X 12 ( X2 X 12X 1 X 12 ) 1 X 12 X 1, I n invers-kan persamaan di atas diperoleh Y 1 = X X 12 X 1 2 X 12 Jadi, X Y 1 = X 12 X 1 2 X 12 0danrank (X Y 1 )=rank ( X 12 X 1 2 X 12) r

31 BAB 2 TEORI DASAR 37 Lemma 28 (Bounded Real Lemma) Misalkan γ>0, G(s) = A C B D dan H = A BR 1 D C 1 C (I DR 1 D )C BR 1 B (A + BR 1 D C), dengan R = γ 2 I D D, maka pernyataan pernyataan berikut ekivalen: 1 G <γ 2 σ (D) < γdan H tidak mempunyai nilai eigen pada sumbu imajiner 3 σ (D) <γdan H dom (Ric) 4 σ (D) <γdan H dom (Ric) dan Ric (H) =0(Ric (H) > 0jika(C, A) terobservasi) 5 σ(d) < γ dan terdapat X 0 sehingga X(A + BR 1 D C) + (A + BR 1 D C) X + XBR 1 B X + C (I + DR 1 D )C = 0 dan A + BR 1 D C + BR 1 B Xtidak mempunyai nilai eigen di sumbu imajiner 6 σ(d) <γ dan terdapat X>0 sehingga X(A + BR 1 D C)+(A + BR 1 D C) X + XBR 1 B X + C (I + DR 1 D )C<0 7 Terdapat X>0sehingga XA + A X XB C B X γi D C D γi < 0 Lemma 29Terdapat pengontrol yang diperkenankan berorde r sehingga T zw <γ hanya jika tiga kondisi berikut dipenuhi :

32 BAB 2 TEORI DASAR 38 1 Terdapat Y 1 > 0 sehingga AY 1 + Y 1 A + Y 1C 1C 1 Y 1 /γ 2 + B 1B 1 γ 2 B 2 B 2 < 0 2 Terdapat X 1 > 0 sehingga X 1 A + A X 1 + Y 1B 1 B 1X 1 /γ 2 + B 1B 1 γ2 C 2 C 2 < 0 3 X 1 /γ I n 0, rank X 1 /γ I n n + r I n Y 1 / γ I n Y 1 / γ Bukti: Misalkan terdapat pengontrol K (s) berorder sehingga T zw <γ Misalkan K (s) mempunyai realisasi ruang keadaan sebagai berikut: K(s) := Â ˆB Ĉ ˆD Fungsi transfer tertutup dari w ke z pada persamaan (264) dapat dituliskan sebagai berikut: T zw = A + B 2 ˆDC2 B 2 C k B 1 + B 2 D k D 21 B k C 2 A k B k D 21 = A c C c C 1 + D 12 D k C 2 D 12 C k D 12 D k D 21 B c D c Misalkan R = γ 2 I Dc D c, R = γ 2 I Dc D c Berdasarkan bounded real lemma, terdapat X = X 1 X 12 X12 X 2 > 0 sehingga X(A C + B C R 1 DC C C)+(A C + B C R 1 DC C C) X + XBC R 1 BC X + CC R 1 C C < 0 (266) X + XB c R 1 Bc X + Cc R 1 C c < 0 (267) Setelah melalui beberapa manipulasi aljabar, diperoleh X 1 A + A X 1 + X 1B 1 B1 X 1/ γ 2 + C1 C 1 γ 2 C2 C 2 ( )( + X 1 B 1 D + X12 B + γ 2 C2 γ 2 I D ) 1 ( D X 1 B 1 D + X12 B + γ 2 C2) < 0,

33 BAB 2 TEORI DASAR 39 yang mengakibatkan bahwa X 1 A + A X 1 + X 1B 1 B 1 X 1 / γ 2 + C 1 C 1 γ 2 C 2 C 2 < 0 Dilain pihak, misalkan Ỹ = γ 2 X 1, dan partisi Ỹ sebagai maka Ỹ = Y 1 Y 12 Y12 Y 2 > 0, ( Ac + B c R 1 D cc c ) Ỹ + Ỹ ( A c + B c R 1 D cc c ) + ỸC c R 1 C c Ỹ + B c R 1 B c < 0 Ini memberikan AY 1 + Y 1 A + B 1 B1X 1 γ 2 B 2 B2 + Y 1C 1C 1 Y 1 / γ 2 + (Y 1 C 1 D + Y C 12 + γ 2 B 2 )(γ 2 I D D ) 1 ( Y 1 C1 D ) + Y C 12 + γ 2 B 2 < 0, yang mengakibatkan bahwa AY 1 + Y 1 A + B 1 B 1X 1 γ 2 B 2 B 2 + Y 1C 1C 1 Y 1 /γ 2 < 0 Berdasarkan lemma 27, diberikan X 1 > 0danY 1 > 0 terdapat X 12 dan X 2 sehingga Ỹ = γ 2 X 1 atau Ỹ/ γ = ( X/γ) 1: X 1/ γ I n I n Y 1/γ 0,rank X 1/ γ I n I n Y 1/γ n + r Untuk menunjukkan pertidaksamaan pada lemma terakhir termasuk eksistensi dari solusi stabil persamaan Riccati X dan Y, kita memerlukan teorema berikut Teorema 24 Misalkan R 0 dan andaikan (A, R) terkontrol dan terdapat X = X sehingga ϑ (X) =XA + A X + XRX + Q<0, maka terdapat solusi X + >X untuk persamaan Riccati X + A + A X + + X + RX + + Q<0,

34 BAB 2 TEORI DASAR 40 sehingga A + RX + antistabil Bukti: Misalkan R = BB untuk suatu B Perhatikan bahwa (A, R) terkontrol jika dan hanya jika (A, B) terkontrol Misalkan X sedemikian sehingga ϑ (X) < 0 Karena (A, B) terkontrol maka terdapat F 0 sehingga A 0 = A BF 0 antistabil Misalkan X 0 = X 0 adalah solusi tunggal untuk persamaan Lyapunov X 0 A 0 + A 0 X 0 F 0 F 0 + Q =0 Definisikan bahwa ˆF 0 = F 0 + B X, maka kita mempunyai persamaan berikut: (X 0 X) A 0 + A 0 (X 0 X) = ˆF 0 ϑ (X) > 0 Karena A 0 antistabil, ini mengakibatkan X 0 >X Kita mulai dengan X 0 definisikan barisan tak turun matriks Hermitian {X i } Berkaitan dengan {X i }, kita definisikan juga barisan matriks antistabil {A i }dan barisan matriks {F i } Asumsikan secara induktif bahwa kita telah mendefinisikan matriks {X i }, {A i }, dan {F i } untuk i sampai n 1 sehingga X i Hermitian dan X 0 X 1 X n 1 X, A i = A BF i antistabil, i =0, 1,, n 1; Selanjutnya, kita perkenalkan F i = B X i 1, i =0, 1,, n 1; X i A i + A i X i = F i F i Q, i =0, 1,, n 1 (268) F n = B X n 1, A n = A BF n

35 BAB 2 TEORI DASAR 41 Pertama kita tunjukkan bahwa A n antistabil Gunakan persamaan (268) dengan i = n 1, kita peroleh X n 1 A n + A n X n 1 + Q Fn F n (F n F n 1 ) (F n F n 1 )=0 (269) Misalkan ˆF n = F n + B X, maka (X n 1 X) A n + A n (X n 1 X) = ϑ (X)+ ˆF n ˆF n +(F n F n 1 ) (F n F n 1 ) > 0, (270) ini mengakibatkan bahwa A n antistabil menurut teorema Lyapunov karena X n 1 X>0 Sekarang kita perkenalkan X n sebagai solusi tunggal dari persamaan Lyapunov: X n A n + A nx n = FnF n Q, (271) maka X n Hermitian Selanjutnya, kita mempunyai (X n 1 X) A n + A n (X n 1 X) = ϑ (X)+ ˆF n ˆF n > 0, dan dengan menggunakan persamaan (269), (X n 1 X) A n + A n (X n 1 X) =(F n F n 1 ) (F n F n 1 ) > 0 Karena A n antistabil maka X n 1 X n >X Kita mempunyai barisan tak turun {X i }, dan barisan terbatas dibawah oleh X i >X Oleh karena itu, limit X + = lim n X n ada dan Hermitian dan kita mempunyai X + >X Kita ambil limit n pada persamaan (269), kita peroleh ϑ (X + )=0 Jadi,X + adalah solusi dari persamaan (265) Perlu dicatat bahwa X + X 0dan (X + X) A + + A + (X + X) = ϑ (X)+(X + X) R (X + X) > 0 (272)

36 BAB 2 TEORI DASAR 42 Jadi, X + X>0danA + = A + RX + stabil Bukti (Teorema 21): ( ) 1 Karena T zw <γmaka berdasarkan Bounded Real Lemma H dom(ric) Selanjutnya dengan menggunakan lemma 26 bagian (1), kita peroleh bahwa terdapat Y 1 > 0 sehingga AY 1 + Y 1 A + Y 1 C 1 C 1Y 1 /γ 2 + B 1B 1 γ 2 B 2B 2 < 0 Dengan menggunakan Teorema (22) dapat disimpulkan bahwa terdapat Y> Y 1 > 0 sehingga AY + YA + YC 1 C 1 Y/γ2 + B 1 B 1 γ 2 B 2 B 2 = 0 (273) dan A + C 1 C 1Y/γ 2 antistabil Misalkan X = γ 2 Y 1,karenaY > 0maka X > 0 Kalikan persamaan (272) dengan Y 1 dari kanan dan dengan X dari kiri, maka diperoleh ( X A + A X + X B1 B1 / ) γ 2 B 2B2 X + C1C 1 =0 (274) Persamaan (274) dapat dituliskan sebagai ( X A + X B1 B1 / ) γ 2 B 2B2 X = A X C1C 1 X 1 X (275) Kalikan persamaan (275) dengan X 1, diperoleh ( A + B1 B1 / ) γ 2 B 2B2 X = X 1 A X X 1 C1C 1 X 1 X (276) Karena X > 0makaX 1 > 0 sedangkan A + C 1 C 1Y /γ 2 antistabil, maka ( X 1 A + C 1 C ) ( ) 1Y /γ 2 X < 0 Jadi, A + B1 B1/ γ 2 B 2 B2 X stabil 2 Dengan cara yang sama pada bagian (1) diperoleh bahwa H dom (Ric) dan berdasarkan lemma 26 bagian (2) dan teorema 24 dapat disimpulkan bahwa terdapat X>X 1 > 0 sehingga XA + A X + C 1 C 1 γ2 C 2 C 2 + XC 1 C 1X / γ 2 =0

37 BAB 2 TEORI DASAR 43 dan A + B 1B 1 X /γ 2 antistabil Misalkan Y = γ 2 X 1, kita peroleh ( ) AY + Y A + Y C 1 C 1 /γ 2 C 2C2 Y + B 1 B1 = 0 (277) ( ) dan A + C 1 C 1 / γ 2 C 2 C2 Y stabil Jadi, Y = Ric (H ) > 0 3 Berdasarkan Lemma (26) bagian (3) diperoleh 1 γy I n = X/γ I n > X/γ I n Y/γ I n Y 1 /γ I n γx 1 I n 0 Karena γy 1 I n I n γx 1 > 0danγY 1 > 0makaberdasarkanSchur Complement kita peroleh γy 1 I nγ 1 X I n > 0atauρ(X Y ) <γ 2 ( ) Untuk melengkapi bukti, kita hanya perlu menunjukkan bahwa pengontrol K sub (s) yang diberikan pada Teorema 21 mengakibatkan T zw <γ Perhatikan fungsi transfer lup tertutup dari w ke z (dengan K sub diberikan), A B 2 F B 1 T zw = Z L C 2 Â Z L D 21 =: A C B C C C D C C 1 D 12 F 0 Definisikan maka P>0 dan P = γ 2 Y 1 γ 2 (Z ) Y 1 γ 2 Y 1 Z 1 γ 2 Y 1Z 1 PA C + A C P + PB CB C P/γ2 =0, Selain itu, A C + B C BCP/γ 2 = A + B 1B1Y 1 B 2 F B 1 B1Y 1 Z 1 0 A + B 1 B1 X /γ 2 + B 2 F

38 BAB 2 TEORI DASAR 44 tidak mempunyai nilai eigen pada sumbu imajiner karena A + B 1B 1X / γ 2 + B 2 F stabil dan A+B 1 B1 Y 1 antistabil Berdasarkan Bounded Real Lemma T zw <γ Teorema (23) di atas menunjukkan bahwa pengontrol suboptimal H optimal dan tunggal