menentukan bentuk pengendali yang indeks perfomansinya adalah norm H 2.

Transkripsi

1 BAB II Teori Kontrol H 4 BAB II Teori Kontrol H Bab ini akan membahas teori kontrol H yang tujuannya adalah menentukan bentuk pengendali yang indeks perfomansinya adalah norm H Untuk itu pertama-tama akan dijelaskan tentang norm H selanjutnya akan mencari plant diperumumnya yang kemudian dilanjutkan dengan mencari fungsi transfer loop tertutupnya dan yang terakhir akan ditentukan kontrol yang diperkenankan dan optimal Secara ringkas suatu kontrol H dapat dinyatakan sebagai berikut : mencari pengontrol K yang proper dan real-rational yang menstabilkan plant yang diperumum G secara internal dan meminimumkan norm H dari matriks transfer dari masukan w ke keluaran z T zw Norm H Mula-mula pada subbagian ini dihitung norm H yang selanjutnya akan kita minimalkan Oleh sebab itu pertama-tama kita butuhkan definisi yang berkaitan dengan norm H Definisi : Ruang Hardy H adalah ruang bagian (tertutup) dari H ( j ) dengan fungsi matrik G(s) analitik pada bidang Re(s)> artinya setiap elemen matrik dari fungsi matrik G(s) analitik pada bidang Re(s)> Ruang bagian real rasional dari H yang dinotasikan RH yang terdiri dari seluruh matrik transfer yang stabil yang real rasional dan strictly proper

2 BAB II Teori Kontrol H 5 sebagai: Norma yang berkaitan dengan ruang H dari suatu fungsi G didefinisikan G : sup [ ( ) ( )] trace G σ j ω G σ j ω d = + + ω σ π > G : [ ( ) ( )] trace G j ω G j ω d = ω π () () Contoh : G : [ () ()] π j trace G s G s ds = G = { trace g ( t) g( t)} ds Misalkan terdapat suatu sistem dinamik yang mempunyai (3) (4) Gs () = CsI ( A) B dengan A = ; = ; = [ ] B C dan akan dihitung Jawab Diketahui untuk mencari G A= ; B= ; C = [ ] G sebagai contoh akan digunakan dua buah cara: Dengan menggunakan persamaan 3 dimana G : [ () ()] π j trace G s G s ds = Untuk itu sebelumnya akan dicari Gs () dan G () s terlebih dahulu Mula-mula akan dihitung Gs () dimana (5)

3 BAB II Teori Kontrol H 6 Gs () = CsI ( A) B Dengan mensubstitusi A B dan C sehingga s Gs () = [ ] s Berikutnya didapat dan karena s Gs () = [ ] s + s s+ = s+ s + s+ s maka diperoleh s + Gs () = [ ] s + s+ s Dengan menggunakan operasi perkalian pada matriks Gs diperoleh Gs () = s = [ s+ ] s + s+ () s + + s+ (6) (7) (8) (9) () () Yang kedua akan dicari G ( s) dimana T G () s = G ( s) () sehingga G s + () s = s s+ (3) Setelah Gs ( ) dan G ( s ) didapat Dari persamaan (3) diperoleh G dapat dihitung G : [ () ()] π j trace G s G s ds =

4 BAB II Teori Kontrol H 7 s+ s+ G = trace ds π j s s s s (3) s G = trace ds 4 π j s + s + sehingga diperoleh G s = ds 4 π j s + s + (4) (5) Selanjutnya akan diselesaikan persamaan (5) dimana akan dipergunakan teorema residu s + i 3 i 3 + i 3 i 3 Pole-pole adalah dan 4 s + s + dimana semuanya itu berderajat satu Selanjutnya akan dihitung residu-residu dari masing pole Pada + i 3 s = adalah a + i 3 s = lim s + i 3 s i 3 i 3 + s s s + s+ dimana diperoleh ( ) (6) a 3 i 3 i 3 + = i 3 3() ( + i ) (7) Pada i 3 s = b i 3 s = lim s i 3 s i 3 i 3 + s s s + s+ ( ) (8)

5 BAB II Teori Kontrol H 8 dimana diperoleh b 3 i 3 i 3 + = i 3 3() ( i ) (9) Pada s = + i 3 c + i 3 s = lim s + i 3 s + i 3 i 3 ( s s+ ) s s () dimana diperoleh c 3 i 3 i 3 + = i 3 3 ( ) ( + i ) () Pada s = i 3 d i 3 s = lim s i 3 s + i 3 i 3 ( s s+ ) s s () dimana diperoleh d 3 i 3 i 3 + = i 3 3 ( ) ( i ) (3)

6 BAB II Teori Kontrol H 9 Sehingga s s + s + ds = π j a 4 + b + c + d [ ] (4) Dan setelah mensubstitusi dengan hasil dari persamaan (7) (9) () dan (3) maka diperoleh s s + s + sehingga didapat ds = π j 4 s s + s + ds = 4 [ ] π j Selanjutnya kembali ke persamaan (5) G s = ds 4 π j s + s + dan berikutnya mensubstitusi persamaan (6) (5) (6) (7) G = ( π j) π j (8) sehingga diperoleh dimana G = G = dan normnya didapat sebagai G = (9) (3) (3) Perhitungan dengan menggunakan definisi di atas dirasakan cukup rumit sehingga untuk mempermudah dalam perhitungan diperlukan lemma berikut Lemma : Misalkan matriks transfer

7 BAB II Teori Kontrol H A B Gs () = C dengan A stabil Maka didapat ( ) ( ) G = trace B QB = trace CPC (3) (33) dimana Q merupakan matriks keteramatan Gramian dan P merupakan matriks keterkontrolan Gramian yang didapat dari persamaan Lyapunov berikut ini: + + = + + = AP PA BB A Q QA C C (34) Bukti Karena G stabil maka didapat At ( Ce B t gt () = L G) = t < (35) Matrik keterobservasian At = At dan keterkontrolan Q e C Ce dt At At P = e BB e dt memenuhi persamaan Lyapunov sebagai berikut dan + + = AP PA BB + + = AQ QA CC (36) (37) Hal ini dapat diperoleh sebagai berikut ini Pertama perhatikan matriks keteramatan Q At At Q= e C Ce dt Seperti yang telah diketahui bahwa d e At C Ce At A e At C Ce At e At C Ce At A dt = + Selanjutnya kedua ruas diintegralkan diperoleh At At At At At At d( e C Ce ) = A ( e C Ce ) dt+ ( e C Ce ) dta (38) (39) (4)

8 BAB II Teori Kontrol H Sekarang yang dikerjakan selanjutnya adalah menyelesaikan persamaan (4) diatas Mula-mula menyelesaikan ruas kiri dari persamaan tersebut terlebih dahulu s At At At At de ( CCe ) = lim de ( CCe ) s At At At At de ( CCe ) = lim( e CCe ) s A t At A s As de ( CCe ) = lim( e CCe ) CC s s (4) (4) (43) Karena A stabil diperoleh As As lim( e C Ce ) = s (44) Setelah mensubstitusi persamaan (44) ke dalam persamaan (43) maka hasil ruas kiri didapat ( At At de CCe ) = CC (45) Proses berikutnya adalah menyelesaikan ruas kanan dari persamaan (4) dengan mensubstitusi persamaan (38) ke ruas kanannya tersebut sehingga A t At A t At A ( e CCe ) dt+ ( e CCe ) dta= AQ+ QA (46) Selanjutnya setelah ruas kiri dan kanan dari persamaan (4) didapat maka menjadi (47a) CC= AQ+ QA Setelah menambahkan AQ+ QA+ CC = CC pada kedua ruas diperoleh (47b) Kedua perhatikan matriks keterkontrolan P dimana At A t P = e BB e dt Seperti yang telah diketahui bahwa (48a)

9 BAB II Teori Kontrol H d e At BB e At Ae At BB e At e At BB e At A dt = + Selanjutnya kedua ruasnya diintegralkan sehingga (48b) At At At At At At d( e BB e ) = A ( e BB e ) dt + ( e BB e ) dta (49) Dalam menyelesaikan persamaan (49) mula-mula menyelesaikan ruas kiri dari persamaan tersebut dimana s At A t At A t de ( BBe ) = lim de ( BBe ) s At A t At A t d( e BB e ) = lim( e BB e ) s At A t At A t d( e BB e ) = lim( e BB e ) BB Karena A stabil diperoleh A t s At lim( e BB e ) = s s (5) (5) (5) (53) Setelah mensubstitusi persamaan (53) ke dalam persamaan (5) maka didapat At A t de ( BBe ) = BB (54) Proses berikutnya adalah menyelesaikan ruas kanan dari persamaan (49) dengan mensubstitusi persamaan (48) ke ruas kanannya tersebut sehingga At At At At A ( e BB e ) dt + ( e BB e ) dta = AP + PA (55) Selanjutnya setelah ruas kiri dan kanan dari persamaan (49) didapat maka diperoleh (56) BB = AP+ PA Setelah menambahkan didapat BB pada kedua ruas pada persamaan () maka

10 BAB II Teori Kontrol H 3 = AP + PA + BB Setelah melihat dari pertama dan kedua di atas matriks keteramatan Q dan matriks keterkontrolan P terbukti memenuhi dan AP + PA + BB = AQ+ QA+ CC= (57) (58) (59) Dari persamaan (4) pada Definisi G = trace{ g ( t) g( t)} dt At At G = trace{ B e C Ce B} dt (6) (6) At ( At G = trace B e C Ce B ) dt At At G = trace( B ( e C Ce ) dtb) (6) (63) G = trace( B QB) (64) G = trace{ g( t) g ( t)} dt At A t G = trace{ Ce BB e C } dt (65) (66) At A t G = trace { Ce BB e C } dt At A t G = trace( C { e BB e } dtc ) G = trace( CPC ) Sehingga terpenuhi bahwa ( ) ( ) G = trace B QB = trace CPC (67) (68) (69) (7) Contoh :

11 BAB II Teori Kontrol H 4 Misalkan terdapat suatu sistem dinamik yang mempunyai Gs () = CsI ( A) B dengan A = ; = ; = [ ] B C Akan dihitung Jawab: Diketahui G A = ; = ; = [ ] B C Dari lemma diperoleh ( ) = G trace CPC dimana P merupakan matrik keterkontrolan Gramian yang memenuhi AP + PA + BB = P P P P + + [ ] = P P P P (7) (7) (73) P P P P P + = (74) P P P P P P P Selanjutnya dengan menyelesaikan persamaan didapat (74) sehingga diperoleh P = P = dan P = dan karena maka P Dari lemma P P P P = P = (75) (76)

12 BAB II Teori Kontrol H 5 ( ) = G trace CPC dengan mensubstitusi nilai C dan P kedalam persamaan tersebut maka diperoleh sehingga G G dan didapat = trace [ ] [ ] trace G = = (77) (78) (79) (8) Plant yang diperumum Pada subbab ini akan dicari plant diperumum G(s) dari suatu model dinamik plant P dan beberapa fungsi bobotnya Pertama misalkan suatu sistem dinamik P digambarkan persamaan diferensial berikut: ( t ) = A x ( t ) + B u ( t ) x ( t ) = x y ( t ) = C x ( t ) + D u ( t ) n dimana: xt () R disebut variabel keadaan; x ( t ) r y( t) R adalah keluaran sistem; dan ut () R m () disebut kondisi awal sistem; adalah masukan sistem () dengan: A merupakan matrik n x n merupakan matriks keadaan; B merupakan matrik n x m merupakan matriks masukan; C merupakan matrik r x m merupakan matriks keluaran; D merupakan matrik r x m merupakan matriks transmisi langsung masukan - keluaran

13 BAB II Teori Kontrol H 6 Seperti yang telah disebutkan diatas bahwa plant diperumum G terdiri dinamik P dan beberapa fungsi bobotnya Untuk menggabungkannya diperlukan operasi pada sistem Oleh sebab itu selanjutnya akan diperkenalkan beberapa operasi pada sistem Operasi Pada Sistem Pada bagian ini kita akan menunjukan fakta-fakta mengenai interkoneksi pada sistem Misalkan terdapat suatu sistem dinamik P dengan diagram bloknya sebagai berikut y u P Gambar () : Diagram blok P dan persamaan ruang keadaan dari sistem dinamik P tersebut seperti diuraikan pada persamaan () dan persamaan () Keterhubungan antara persamaan ruang keadaan dengan matriks transfernya sebagai berikut A B = = + C D P( s ) C( si A ) B D Misalkan P dan P merupakan dua subsistem dengan representasi ruang keadaannya A B A B P = P C D = C D Pertama kita akan memperkenalkan koneksi seri atau cascade Pada koneksi seri ini output dari subsistem kedua menjadi input pada subsistem pertama seperti yang ditunjukan pada diagram blok berikut ini : y s P P u

14 BAB II Teori Kontrol H 7 Gambar () : Diagram blok untuk rangkaian seri atau cascade Untuk diagram blok pada gambar () persamaan ruang keadaan untuk plant P dinyatakan sebagai berikut: = Ax + Bs ; (3) y= Cx+ Ds (4) dan persamaan ruang keadaan untuk plant P dinyatakan sebagai berikut : = Ax + Bu (5) s = Cx + Du (6) Diagram blok pada gambar () di atas akan dibentuk menjadi seperti diagram blok pada gambar () Setelah mensubstitusi persamaan (6) pada persamaan ruang keadaan untuk plant P ke persamaan (3) dan (4) untuk persamaan ruang keadaan untuk plant P diperoleh = Ax + BC x+ BDu (7) y= C x + DC x + DD u (8) Representasi dari sistem seri ini merupakan gabungan persamaan (7) (5) dan (8) dimana berturut-turut ditunjukan sebagai = Ax + BC x+ BDu = Ax+ Bu y= C x + DC x + DD u maka persamaan persamaan tersebut dapat ditulis dalam bentuk matriks yang dituliskan sebagai berikut : A BC BD x A B x = (8) y C DC DD u Sehingga representasi untuk sistem seri ini merupakan A B A B = C D C D PP dimana dapat ditunjukan pula sebagai: (9)

15 BAB II Teori Kontrol H 8 A BC BD PP = A B C DC DD () Yang kedua yang akan diperkenalkan adalah koneksi paralel atau penjumlahan dari P dan P dimana dapat ditunjukan dari diagram blok berikut ini: y y P u u y P u Gambar 3 : Diagram blok untuk rangkaian paralel Untuk diagram blok pada gambar (3) di atas persamaan ruang keadaan untuk plant P dinyatakan sebagai berikut: = Ax + Bu () y = C x + Du () dan persamaan ruang keadaan untuk plant P dinyatakan sebagai berikut : = Ax + Bu (3) y = Cx + Du (4) Selanjutnya P dan P akan digabung dengan menggunakan operasi paralel atau penjumlahan Adapun pada operasi paralel ini yang mengalami perubahan adalah pada outputnya dimana y= y+ y (5) dan setelah mensubstitusi dengan persamaan () dan persamaan (4) maka outputnya diperoleh y= Cx+ Cx + ( D+ D) u (6) Sedangkan untuk fungsi keadaan dan tidak mengalami perubahan seperti yang berturut turut ditunjukan persamaan berikut ini (7)

16 BAB II Teori Kontrol H 9 = Ax + Bu = Ax + Bu Berikutnya persamaan (7) (8) dan (6) dapat dituliskan dalam bentuk matriks sebagai berikut A B x A B x = (9) y C C D+ D u A B dimana A B C C D+ D didapat (8) merupakan hasil dari operasi paaralel dari P dan P Sehingga secara umum koneksi paralel atau penjumlahan dari P dan P A B A B P+ P = C D + C D dimana diperoleh A B P+ P = A B C C D+ D () () Selanjutnya akan digunakan operasi diatas untuk mencari plant diperumum dari suatu sistem dinamik dengan beberapa fungsi bobotnya Dalam hal ini dimisalkan ada plant P dengan fungsi bobot masukan W i dan fungsi bobot keluaran W o yang diilustrasikan seperti pada diagram blok berikut ini u w w s W i P W o z Gambar 4 : Diagram blok P dan beberapa fungsi bobotnya Dari diagram blok diatas persamaan dinamik untuk W i sebagai berikut ()

17 BAB II Teori Kontrol H = Ax + Bu i i i i w= C x + Du i i i Sedangkan persamaan dinamik untuk P dinyatakan sebagai berikut: = Ax + Bw+ Bw p p p p p s = C x + D w+ D w p p p p dan persamaan dinamik untuk W u dinyatakan sebagai berikut: = Ax + Bs o o o o z = C x + D s o o o (3) (4) (5) (6) (7) Selanjutnya akan disubstitusi persamaan (3) ke dalam persamaan (4) ( ) = Ax + B Cx+ Du + Bw p p p p i i i p sehingga setelah diuraikan diperoleh = Ax + BCx+ BDu+ Bw p p p p i i p i p dan juga mensubstitusi persamaan (3) ke dalam persamaan (5) (8) (9) ( ) s = C x + D C x + Du + D w p p p i i i p sehingga setelah diuraikan juga diperoleh s = C x + D C x + D Du+ D w p p p i i p i p (3) (3) Dari hasil di atas selanjutnya akan disubstitusi hasil persamaan (3) tersebut ke persamaan (6) sehingga didapat ( ) = Ax + B C x + DCx+ DDu+ Dw o o o o p p p i i p i p dan setelah mengalikan dengan yang didalam kurung sehingga diperoleh = Ax + BC x + BDCx+ BDDu+ BDw o o o o p p o p i i o p i o p (3) (3) Di samping itu hasil persamaan (3) akan disubstitusi ke dalam persamaan (7) ( ) z = C x + D C x + D C x + D Du+ D w o o o p p p i i p i p (33) dan setelah diuraikan maka persamaan (33) menjadi (34)

18 BAB II Teori Kontrol H z= Cx + DC x + DDCx+ DDDu+ DDw o o o p p o p i i o p i o p Persamaan () (9) (3) dan (33) akan digabung dimana i = Ax i i + Bu (35) i = A x + B C x + B Du+ B w (36) p p p p i i p i p = Ax + BC x + BDCx+ BDDu+ BDw o o o o p p o p i i o p i o p z= Cx + DC x + DDCx+ DDDu+ DDw o o o p p o p i i o p i o p (37) (38) Dari keempat persamaan tersebut didapat persamaan ruang keadaan i i i A B xi BC p i Ap BD p p i x B p p = + w BDC o o p i BC o p Ao BDD o p i x BD o o p z DDC o p i DC o p Co DDD o p i u DD o p (39) Persamaan (39) dapat dipecah menjadi dan i Ai xi B i = p BpCi Ap x = p + BpDi u+ Bp w o BoDpCi BoCp A o x o BoDpD i BoD p (39) xi z= DDC o p i DC o p C o x p DDD o p u DD + + o pw x o (39)

19 BAB II Teori Kontrol H 3 Fungsi transfer loop tertutup Subbab ini akan dicari fungsi transfer loop tertutup dari plant diperumum G(s) dari suatu model dinamik plant dan beberapa fungsi bobotnya yang digabungkan dengan pengontrol K(s) seperti yang dilustrasikan seperti pada diagram blok berikut z G w y u K Gambar 3 Diagram blok dari plant diperumum G yang digabungkan dengan pengontrol K Misalkan suatu plant diperumum G(s) dari suatu model dinamik plant dan beberapa fungsi bobotnya secara umum sebagai berikut (3)

20 BAB II Teori Kontrol H 3 () t = Ax() t + Bw() t + B u() t zt () = cxt () + D wt () + Dut () y() t = c x() t + D w() t + D u() t Sedangkan pengontrol K(s) dari model tersebut dapat ditulis dalam bentuk berikut (34) xˆ & () t = Aˆ xˆ() t + Bˆ y() t k ut () = cxt ˆˆ() + Dyt ˆ () Dengan x R k n y R z R q u R p m w R v R k l k k merupakan variabel keadaan merupakan keluaran merupakan keluaran terkontrol merupakan masukan kontrol merupakan gangguan merupakan pengontrol keadaan (3) (33) (35) Persamaan (3) (3) dan (33) dapat ditulis dalam bentuk matriks transfer sebagai berikut: A B B G( s) C D D G ( s) G ( s) = = G( s) G ( s) C D D Sehingga realisasi matriks transfer G dari persamaan (3) (3) dan (33) dapat dituliskan dalam bentuk ruang keadaan sebagai berikut: A B B Gs () C D D G () s G () s = = G() s G () s C D D Dari plant diperumum G(s) dan pengontrol K(s) (Persamaan (3) sampai (35) ):

21 BAB II Teori Kontrol H 4 Substitusi persamaan (33) dan (35) ke persamaan (3) maka diperoleh: () t = ( A+ BDC ˆ ) xt () + BCxt ˆ ˆ() + ( B+ BDD ˆ ) wt () + BDD ˆ ut () k k k k (36) Substitusi persamaan (33) ke persamaan (34) maka diperoleh: xˆ & () t = BCxt ˆ () + Axt ˆ() + BD wt () + BD ut () k k k k (37) Substitusi persamaan (33) dan (35) ke persamaan (3) maka diperoleh: ( + ) zt () = ( C+ D DC ˆ ) xt () + D Cxt ˆ ˆ() + D D DD ˆ wt () + D DD ˆ k k k k ut () (38) Dari persamaan (36) (37) dan (38) dapat dibentuk : xt &() A+ BDˆ ˆ ˆ ˆ kc BC k B+ BDD BDD k k ˆ ˆ xt () xˆ( & ) ˆ () ˆ t = BkC Ak BkD w t k u() t xt ˆ( ) + + BD zt () C ˆ ˆ ˆ ˆ + DDkC DCk D + DDk D DDk D (39) Persamaan (39) dapat pula dibentuk menjadi bentuk berikut ini ˆ ˆ ˆ ˆ x() t xt () A BDC k BC k B BDkD BD kd & + + ˆ ˆ ˆ ˆ( ) ˆ( ) ˆ x t xt & = BC A BD BD k k k k wt () zt () C ˆ ˆ ˆ ˆ + DDC k DCk D + D DkD DDk D ut () (3) Sehingga ruang keadaan matriks transfer dari masukan w ke keluaran z yang dinotasikan Tzw didapat

22 BAB II Teori Kontrol H 5 A+ BDˆ ˆ ˆ ˆ kc BCk B+ BDkD BDkD T ˆ ˆ ˆ ˆ zw = BkC Ak Bk D BD k (3) C ˆ ˆ ˆ ˆ + D DkC DCk D + DDkD DDk D Setelah fungsi transfer untuk keeadaan umum selanjutnya akan dicari fungsi transfer bentuk khusus dari model yang kita inginkan Asumsikan plant diperumum G(s) dari suatu model khusus dari dinamik plant dan beberapa fungsi bobotnya tersebut sebagai berikut: (3) () t = Ax() t + Bw() t + B u() t zt () = cxt () + Dut () y() t = c x() t + D w() t (33) (34) Sedangkan pengontrol K(s) dari model khusus tersebut xˆ & () t = Aˆ xˆ() t + Bˆ y() t k ut () = cxt ˆˆ() + Dyt ˆ () k k k (35) (36) Dari plant diperumum G(s) dan pengontrol K(s) dari bentuk khusus di atas (Persamaan (3) sampai (36) ): Substitusi persamaan (34) dan (36) ke persamaan (3) maka diperoleh: () t = ( A+ BDC ˆ ) xt () + BCxt ˆ ˆ() + ( B+ BDD ˆ ) wt () k k k Substitusi persamaan (34) ke persamaan (35) maka diperoleh: x & ˆ() t = Bˆ C x() t + Aˆ xˆ() t + Bˆ D w() t k k k (37) (38) Substitusi persamaan (34) dan (36) ke persamaan (33) maka diperoleh: zt () = ( C+ D DC ˆ ) xt () + D Cxt ˆ ˆ() + D DD ˆ wt () k k k (39) Dari persamaan (36) (37) dan (38) dapat dibentuk :

23 BAB II Teori Kontrol H 6 xt &() A+ BDˆ ˆ ˆ kc BC k B+ BDD k ˆ ˆ xt () xˆ( & ) ˆ t = BkC Ak BkD w() t xt ˆ( ) + zt () C ˆ ˆ ˆ + DDkC DCk DDk D (3) Persamaan (3) dapat dibentuk menjadi persamaan berikut xt &() A+ B ˆ ˆ ˆ DC k BC k B+ BDkD x() t ˆ() t = BC ˆ Aˆ Bˆ D xˆ() t zt () C D DC ˆ D Cˆ D Dˆ + D wt () k k k k k k (3) Sehingga ruang keadaan matriks transfer dari masukan w ke keluaran z yang dinotasikan Tzw didapat T zw A+ BDˆ ˆ ˆ kc BCk B+ BDkD = BC ˆ ˆ ˆ k Ak BD k C ˆ ˆ ˆ + D DkC DCk DDkD (3) 4 Penentuan kontrol yang diperkenankan dan optimal Setelah matriks transfer didapat selanjutnya akan masuk ke dalam penentuan kontrol yang diperkenankan dan optimal yang meliputi kestabilan internal eksistensi keterkontrolan dan pembahasan mengenai transformasi fraksional linier Seperti yang telah diuraikan diatas mengenai permasalahan kontrol H dimana akan mencari pengontrol K yang bersifat proper dan real-rational Maka selanjutnya akan diterangkan terlebih dahulu mengenai proper dan strictly-proper Definisi Proper dan Strictly Proper : G(s) dikatakan proper jika G( j ) terbatas atau jika derajat tertinggi penyebut dari G(s) lebih besar atau sama dengan derajat tertinggi pembilang G(s)

24 BAB II Teori Kontrol H 7 G(s) dikatakan strictly proper jika G( j ) = atau jika derajat tertinggi pembilang G(s) sama dengan derajat tertinggi penyebut G(s) 4 Kestabilan Internal Sebelum membahas lebih lanjut mengenai stabil internal akan dijelaskan dulu beberapa istilah berikut ini (AB ) dapat distabilkan ekivalen dengan pernyataan berikut i Matrik [ A λi B ] memiliki rank baris penuh untuk semua Re( λ) ii Untuk semua x dan λ sedemikian sehingga x A= x λ dan Re( λ ) maka x B iii Terdapat matrik F sedemikian rupa sehingga A + B F stabil (C A) dapat dideteksi ekivalen dengan pernyataan berikut ini: i Matrik A λ I C memiliki rank kolom penuh untuk semua Re( λ) ii Untuk semua x dan λ sedemikian sehingga Ax = λ x dan Re( λ ) iii iv maka Cx Terdapat matrik L sedemikian sehingga A + LC stabil ( A C ) stabil Definisi : Suatu sistem seperti diagram blok di atas dikatakan stabil secara internal jika pada matrik transfer : I K ( I KG) K( I KG) = G I GI ( KG) ( I KG) maka keempat fungsi transfernya stabil I + K( I GK) G K( I GK) = ( I GK) G ( I GK) (4) (4)

25 BAB II Teori Kontrol H 8 4 Eksistensi Pengontrol Eksistensi pengontrol dinyatakan dengan lemma berikut ini : Lemma : Terdapat pengontrol K (Proper) yang mencapai stabilitas secara internal jika dan hanya jika ( AB ) dapat distabilkan dan ( C A ) dapat dideteksi Lebih lanjut misalkan terdapat F dan L sedemikian sehingga A+ BF dan A+ LC stabil maka pengontrol dinyatakan oleh Ac Bc A+ BF + LC L Ks () = = Cc Dc F (43) Bukti Lemma : (=>) Jika ( AB ) tidak dapat distabilkan dan ( C A) tidak dapat dideteksi maka terdapat beberapa nilai eigen dari A % yang berada di bidang Re(s)> sehingga tidak ada L dan F sedemikian sehingga A+ LC dan A+ BF stabil (<=) Dengan asumsi dapat distabilkan dan dapat dideteksi terdapat F dan L sedemikian sehingga A+ BF dan A+ LC stabil Misalkan K(s) adalah pengontrol yang diberikan pada lemma maka matriks transfer dari w ke z T zw didapat

26 BAB II Teori Kontrol H 9 43 Transformasi Fraksional Linier Pada bagian ini akan dibahas mengenai transformasi fraksional linier yang akan digunakan untuk parameterisasi pengontrol Parameterisasi pengontrol merupakan salah satu cara yang digunakan untuk memperoleh bentuk pengontrol K yang optimal dan tunggal Sebelum melangkah ke penentuan pengontrol yang optimal dan tunggal maka akan diberikan terlebih dahulu mengenai pengertian transformasi fraksional linier terlebih dahulu Definisi 3 : Misalkan M adalah matriks yang dipartisi sebagai berikut: M M M = p p q q M M ( + ) ( + ) (43)

27 BAB II Teori Kontrol H 3 dan misalkan Δ l q p dan Δ u q p adalah dua buah matrik yang lain maka: Lower LFT yang terkait dengan Δ l adalah pemetaan yang didefinisikan dengan: ada q p q p sebagai: F( M ): l l l l l F( M Δ ) = M + M Δ ( I M Δ ) M jika ( I M Δ ) Upper LFT yang terkait dengan Δu adalah pemetaan yang didefinisikan q p q p sebagai: F ( M ): u l dengan: F ( M Δ ) = M + M Δ ( I M Δ ) M jika u u u u MΔ l ada ( I ) Terminologi lower LFT dan upper LFT diperoleh dari diagram berikut yang merupakan representasi dari F( M Δ ) dan F ( M Δ ) l l u u a b z w y u M Δ u y u Δ l M z w Gambar 43 : a F( M Δ ) b F ( M Δ ) Selanjutnya dengan mensubstitusi kembali A c B c C c D c diperoleh: l l u u A B F A+ LC A% = = LC A BF LC LC A BF karena seluruh elemen matriks A % stabil maka A % stabil (43) Untuk penentuan pengontrol ini diperlukan beberapa asumsi berikut: a ( AB ) dapat di stabilkan dan ( C A ) dapat dideteksi b R = D D > dan R = D D >

28 BAB II Teori Kontrol H 3 A jω I B c C D mempunyai rank kolom penuh untuk semua ω d A jωi B C D mempunyai rank baris penuh untuk semua ω Akibat dari keempat asumsi diatas maka diperoleh dua buah matrik Hamiltonian berikut: H J A B R D C B R B : = C( I DR D) C ( A BR DC) ( A BD R C) CR C = B ( I DR D) B ( A BD R C) : dimana H dan J dom(ric) dan lebih jauh X Y :=Ric(J ) (433) (434) := Ric(H ) dan Definisikan F : = R ( B X + D C ) (434) dan L : = ( YC + B D ) R (435) dan juga A : = A+ B + F F F L C : = C + D F A : = A+ L C B : = B + L D L Aˆ : = A+ B F + L C (436) (437) (438) (439) (43) Sebelum masuk ke dalam teorema yang utama maka diperlukan lemma berikut ini : Lemma 3: Misalkan UV RH didefinisikan sebagai:

29 BAB II Teori Kontrol H 3 / AF B R U = dan / CF D R (43) V AL B L = / / R C R D (43) ~ dimana U adalah inner dan V adalah co-inner U G c H R dan GV f ~ R H Bukti : Pembuktian menggunakan sifat-sifat dasar aljabar dari perkalian matriks blok Dari U diperoleh: A F C ~ F U (s) = (433) / / R B R D Sehingga selanjutnya didapat dan A F CFCF CF ~ / UU(s) = AF BR / / R B R DCF I (434) A F C FC F ~ U G c(s) = AF I / / R B R D C F Dengan menggunakan transformasi similaritas I X I ~ ~ pada UU maupun pada U G dan akibat persamaan diperoleh A X + X A + C C = F F F F c (435) (436) dan A F ~ / UU(s) = AF BR = I / R B I (437)

30 BAB II Teori Kontrol H 33 AF X ~ AF X U G c(s) = AF I = R / H (438) / R B R B dengan sifat dualitas maka GV f ~ RH dan V adalah co-inner Dengan menggunakan lemma ini selanjutnya kita akan masuk ke teorema yang utama Teorema : Terdapat kontrol optimal yang tunggal dengan: K opt (): s Aˆ L = F (439) / zw c f min T = G B + R F G = trace( B X B ) + trace( R F Y F ) (43) Bukti: Misalkan parameterisasi pengontrol K(s) = F(M l Q) Q R H dengan  L B M (s) = F I C I maka T F ( N Q) zw = dengan (43) N AF BF B B A B L L = CF DF D C D Berdasarkan teorema di atas diperoleh bahwa ( ) dengan (43) F GK = T = N + N QN zw N = G + GMYG % (433)

31 BAB II Teori Kontrol H 34 N N M = G M = M % G ( s) A B F I F = AL L M% ( s) = C I ( ) X s A L F = CF I AL B L X% ( s) = F I ( ) Y s AF L = F AL L Y% ( s) = F Sehingga diperoleh T = N + N QN zw A B A B AF B AL L A B = C + C D F I F C D A B A B A L A B Q F L + C D F I C D C D A B F B A LC LD A B L = AF B A B C + C DF D F A B F B A LC LD L + AF B Q A B C DF D C C D AF B AF B AL B L AF B AL BL = Q C + C D + F C D C D F F F (434) (435) (436) (437) (438) (439) (433) (433) (433) (4333) (4334) (4335)

32 BAB II Teori Kontrol H 35 AF B AF B AL B L AF B AL BL = F Q (4336) CF + CF D F + CF D C D T = G B UR FG + UR QR V / / / zw c f (4337) Dari lemma 3 diperoleh bahwa GB c dan U saling orthogonal Sehingga / / / zw c f T = G B + UR FG UR QR V / / / zw c f T = G B + R FG UR QR V (4338) (4339) Dan karena G f dan V juga orthogonal menurut lemma 3 di atas maka: / / / zw c f T = G B + R FG R QR V / / / zw c f T = G B + R FG + R QR V (434) (434) Persamaan di atas jelas menunjukkan bahwa Q = memberikan kontrol H yang optimal dan tunggal Maka K F ( M ) optimal dan tunggal = adalah pengontrol yang