Bab 2 TEORI KONTROL H

Transkripsi

1 Bab 2 TEORI KONTROL H Penempatan pole (Pole Placement) danlinear Quadratic Regulator merupakan strategi-strategi klasik untuk mencari pengontrol dari sistem. Kelemahan dari strategistrategi ini adalah tidak dapat mengatasi ketidakpastian dari model sistem ataupun gangguan dari luar. Untuk mengatasi kelemahan-kelemahan ini muncullah teori kontrol modern seperti teori kontrol H. Kelebihan dari teori kontrol H ini adalah mampu mengurangi ketidakpastian dari model sistem ataupun gangguan dari luar. Karena alasan inilah, strategi untuk mencari pengontrol H pada sistem manipulator fleksibel digunakan. Akan tetapi, sebelum menerapkan teori kontrol H pada manipulator fleksibel, kita perlu mengetahui bagaimana mencari pengontrol H ini. Oleh karena itu, pada Bab 2 ini akan dibahas mengenai konsep dasar dari teori kontrol H. Konsep penting dari kontrol H adalah Aljabar Riccati yang akan dibahas pada Subbab 2.2. Akan tetapi, sebelum membahas Aljabar Riccati terlebih dahulu akan dijelaskan mengenai sistem dinamika linear pada Subbab 2.1 yaitu merupakan konsep dasar dalam teori kontrol. Sedangkan untuk teori kontrol H akan dibahas pada Subbab

2 BAB 2. TEORI KONTROL H Sistem Dinamika Linear Persamaan ruang keadaan (state space equation) dari suatu sistem dinamika dapat diekspesikan oleh persamaan diferensial berikut: ẋ(t) =Ax(t)+Bu(t), x(t 0 )=x 0, (2.1) y(t) =Cx(t)+Du(t), (2.2) dengan x(t) R n disebut state sistem, x(t 0 ) disebut syarat awal dari sistem, u(t) R m disebut input sistem, dan y(t) R p disebut output sistem. Sedangkan A, B, C, dan D adalah matriks real konstan. Matriks transfer dari u(t) ke y(t) didefinisikan sebagai Y (s) =G(s)U(s), dengan U(s) dan Y(s) adalah hasil transformasi Laplace dari u(t) dan y(t) dengan syarat awal nol (x(0) = 0). Matriks transfer G(s) dariu(t) key(t) dapat diperoleh dengan melakukan transformasi Laplace pada persamaan (2.1) dan (2.2), diperoleh G(s) =C(sI A) 1 B + D. Sistem persamaan (2.1) dan (2.2) dapat dituliskan ke dalam bentuk matriks sebagai berikut: ẋ(t) = A B x(t). y(t) C D u(t) Untuk mempercepat perhitungan yang melibatkan matriks transfer, kita akan gunakan notasi sebagai berikut: A C B D := C(sI A) 1 B + D. Selanjutnya akan diperkenalkan beberapa definisi yang cukup penting dalam teori kontrol H [1]. Definisi 2.1 Sistem dinamika pada persamaan (2.1) atau sepasang matriks (A,B)

3 BAB 2. TEORI KONTROL H 6 disebut terkontrol (controllable) jikauntuksetiapstate awal x(0) = x 0,t 1 > 0dan state akhir x 1 terdapat (piecewise continues) input u( ) sedemikian sehingga solusi dari persamaan (2.1) memenuhi x(t 1 )=x 1. Definisi 2.2 Suatu sistem dinamika ẋ(t) = Ax(t) dikatakan stabil jika semua nilai eigen dari A terletak pada setengah bidang kompleks buka sebelah kiri, yaitu Reλ(A) < 0. Matriks A dengan sifat tersebut dikatakan stabil atau Hurwitz. Sebaliknya, jika Reλ(A) > 0 maka matriks A dikatakan antistabil. Definisi 2.3 Sistem dinamika pada persamaan (2.1) atau sepasang matriks (A,B) disebut terstabilkan (stabilizable) jika terdapat state feedback u = Fx sedemikan sehingga sistem tersebut stabil (yaitu A + BF stabil). Definisi 2.4 Sistem dinamika pada persamaan (2.1) dan (2.2) atau sepasang matriks (C,A) disebut terobservasi (observable) jikauntuksetiapt 1 > 0, state awal x(0) = x 0 dapat ditentukan dari time history dari input u(t) dan output y(t) dalam interval [0, t 1 ]. Definisi 2.5 Suatu sistem, atau sepasang matriks (C,A) disebut terdeteksi (detectable) jikaa+lc stabil untuk suatu L. 2.2 Operator Riccati Misalkan A, Q, R matriks real berukuran n x n dengan Q dan R simetri, yaitu Q = Q dan R = R. Definisikan matriks Hamiltonian 2n x2n : H := A R. Q A Asumsikan H tidak mempunyai nilai eigen pada sumbu imajiner, maka H haruslah mempunyai n nilai eigen di Re s < 0dann nilai eigen di Re s > 0. Misalkan

4 BAB 2. TEORI KONTROL H 7 χ (H) adalah subruang spectral berdimensi n yaitu pembentuk subruang tersebut merupakan subruang invariant yang berkaitan dengan nilai-nilai eigen di Re s < 0. Dengan mencari basis dari χ (H), kemudian menyusunnya menjadi sebuah matriks, dan mempartisi matriks tersebut, maka akan diperoleh χ (H) =Im X 1 X 2, dengan X 1,X 2 C n n. Jika X 1 nonsingular, atau ekivalen dengan jika dua buah subruang χ (H),Im 0 I (2.3) saling komplementer, maka kita dapat memisalkan X := X 2 X1 1 dan X ditentukan oleh H secara tunggal yaitu H X adalah sebuah fungsi y, disimbolkan dengan Ric. Jadi, X =Ric(H ). Kita akan ambil domain dari Ric, disimbolkan dengan dom (Ric), terdiri dari matriks-matriks Hamiltonian H dengan dua buah sifat yaitu H tidak mempunyai nilai eigen pada sumbu imajiner dan dua buah subruang pada (2.3) saling komplementer. Sifat yang pertama disebut sifat stabilitas dan sifat yang kedua disebut sifat kekomplementeran. Lemma 2.1 Misalkan H dom(ric) dan X =Ric(H ). Maka 1. X simetri. 2. X memenuhi persamaan aljabar Riccati, yaitu A X + XA + XRX Q =0. 3. A+RX stabil. Lemma 2.2 Misalkan H tidak mempunyai nilai-nilai eigen imajiner, R semidefinit positif atau semidefinit negatif, dan (A,R) terstabilkan maka H dom(ric).

5 BAB 2. TEORI KONTROL H 8 Lemma 2.3 Misalkan H mempunyai bentuk H = A BB CC A, dengan (A,B) terstabilkan dan (C,A) terdeteksi. MakaH dom(ric), X =Ric(H ) =0,danker(X ) χ. 2.3 Masalah Kontrol H Salah satu pengukur unjuk kerja performance dalam teori kontrol optimal adalah menggunakan norm H yang didefinisikan dalam suatu domain frekuensi untuk suatu matriks transfer stabil G(s), yaitu G := sup σ max [G (jω)] ω (σ max := nilai singular maksimum). Misalkan suatu sistem digambarkan oleh diagram blok sebagai berikut: Gambar 2.1: Diagram blok dengan G adalah plant diperumum dan K adalah pengontrol (controller ). Plant diperumum terdiri dari plant suatu masalah kontrol ditambah dengan semua fungsi bobot untuk masalah kontrol tersebut. Sinyal w terdiri dari semua input dari luar, termasuk gangguan (disturbance) dan sensor noise; output z adalah sinyal error; y adalah variabel pengukur; dan u adalah input kontrol. Fungsi transfer lup tertutup dari w ke z dilambangkan dengan T zw Plant diperumum G dan pengontrol K kita asumsikan real rasional dan proper. Model ruang keadaan untuk G dan K kita

6 BAB 2. TEORI KONTROL H 9 asumsikan tersedia (available) dan realisasi dari model ruang keadaan kita asumsikan terstabilkan (stabilizable) dan terdeteksi (detectable). Realisasi matriks transfer G kita ambil berbentuk A B 1 B 2 G(s) = C 1 0 D 12 C 2 D 21 0 dengan asumsi sebagai berikut: 1. (A,B 1 ) terkontrol dan (C 1,A) terobservasi. 2. (A,B 2 ) terstabilkan dan (C 2,A) terdeteksi. 3. D12 [C 1 D 12 ]= [0 I]. 4. B 1 D21 = 0. D 21 I Asumsi (1) dan (2) dibuat untuk menjamin bahwa dua buah persamaan aljabar Riccati mempunyai solusi terstabilkan definit positif. Asumsi (2) merupakan syarat cukup dan syarat perlu untuk plant G agar terstabilkan secara internal. Misalkan realisasi pengontrol K dapat dituliskan sebagai berikut: K(s) = Â ˆB Ĉ ˆD.

7 BAB 2. TEORI KONTROL H 10 Fungsi transfer lup tertutup dari w ke z yaitu T zw dapat dicari dengan cara menuliskan G dan K kedalam persamaan ruang keadaan, sebagai berikut: ẋ = Ax + B 1 w + B 2 u G(s) : z = C 1 x +0w + D 12 u, (2.4) y = C 2 x + D 21 w +0u v = Âv + ˆBy K(s) :. (2.5) u = Ĉv + ˆDy Kemudian substitusikan u dari persamaan (2.5) kedalam persamaan (2.4), diperoleh ẋ = Ax + B 1 w + B 2 (Ĉv + ˆDy) z = C 1 x + D 12 (Ĉv + ˆDy), (2.6) y = C 2 x + D 21 w dengan mengeliminasi y pada persamaan (2.6) maka akan diperoleh ẋ = Ax + B 1 w + B 2 Ĉv + B 2 ˆD(C2 x + D 21 w), (2.7) z = C 1 x + D 12 Ĉv + D 12 ˆD(C2 x + D 21 w) atau ẋ =(A + B 2 ˆDC2 )x + B 2 Ĉv +(B 1 + B 2 ˆDD21 )w z =(C 1 + D 12 ˆDC2 )x + D 12 Ĉv + D 12 ˆDD21 w. (2.8) Selanjutnya substitusikan y dari persamaan (2.4) kedalam persamaan (2.5), diperoleh v = Âv + ˆB(C 2 x + D 21 w) = Âv + ˆBC 2 x + ˆBD. (2.9) 21 w

8 BAB 2. TEORI KONTROL H 11 Kita tuliskan persamaaan (2.8) dan (2.9) dalam bentuk matriks ẋ = A + B ˆDC 2 2 B 2 Ĉ x + B 1 + B 2 ˆDD21 w = A C x + B C w v ˆBC 2 Â v ˆBD 21 [ ] z = C 1 + D 12 ˆDC2 D 12 Ĉ x + D 12 ˆDD21 w = C C x + D C w. v (2.10) Jadi, fungsi transfer lup tertutup dari w ke z adalah T zw (s) =C C (si A C ) 1 B C + D C. (2.11) Suatu sistem lup tertutup dikatakan stabil secara internal jika dan hanya jika nilainilai eigen dari A C = A + B ˆDC 2 2 B 2 Ĉ, ˆBC 2 Â terletak pada setengah bidang kompleks buka kiri, yaitu Reλ(A C ) < 0. Suatu pengontrol dikatakan diperkenankan (admissible) jika pengontrol tersebut menyetabilkan sistem secara internal. Oleh karena itu, kestabilan adalah syarat paling dasar agar suatu sistem dapat bekerja. Secara umum masalah kontrol optimal H dapat dinyatakan sebagai berikut : Kontrol Optimal H : Mencari semua pengontrol K(s) yang diperkenankan sehingga T zw minimum. Untuk kasus sistem MIMO (Multi Input Multi Output) pengontrol optimal H tidaklah tunggal. Lebih jauh lagi bahwa mencari pengontrol optimal H sangatlah rumit baik secara numerik maupun secara teoritis. Oleh karena itu, dalam praktiknya cukup dicari pengontrol dengan norm yang sangat dekat dengan norm pengontrol optimal. Pengontrol yang demikian disebut pengontrol suboptimal. Masalah kontrol suboptimal H dapat dinyatakan sebagai berikut : Kontrol Suboptimal H : Diberikan γ>0, menentukan semua pengontrol yang

9 BAB 2. TEORI KONTROL H 12 diperkenankan K(s), jika ada, sehingga T zw <γ. Solusi dari H terkait dengan dua matriks Hamiltonian sebagai berikut : H = A γ 2 B 1 B 1 B 2B 2 C 1C 1 A,J = A γ 2 C 1 C 1 C 2 C 2 B 1 B 1 A. Teorema 2.1 Terdapat pengontrol yang diperkenankan sehingga T zw <γjika dan hanya jika tiga kondisi berikut dipenuhi: 1. Matriks Hamiltonian H dom(ric) dan Ric(H ) > Matriks Hamiltonian J dom(ric) dan Ric(J ) > ρ(x Y ) <γ 2. Jika ketiga kondisi ini terpenuhi, salah satu pengontrol K mempunyai realisasi sebagai berikut: dengan K sub (s) := Â Z L F 0 Â := A + γ 2 B 1 B 1 X + B 2F + Z L C 2, F := B 2 X, L := Y C 2, Z := (I γ 2 X Y ) 1., Untuk membuktikan Teorema 2.1 kita memerlukan beberapa lemma dan teorema pendukung. Lemma 2.4 Misalkan X R n n, Y R n n, dengan X = X > 0, dan Y = Y > 0. Misalkan r adalah bilangan bulat positif, maka terdapat matriks X 12 R n r, X 2 R r r X 2 R r r sehingga X 2 = X2, X X 12 X12 X 2 > 0dan X X 12 X12 X 2 1 = Y,

10 BAB 2. TEORI KONTROL H 13 jika dan jika X 0danrank Y X Y n + r. Bukti: ( ) Berdasarkan asumsi, terdapat matriks X 12 R n r sehingga X Y 1 = X 12 X12. Definisikan X 2 = I r, maka bukti telah lengkap. ( ) Gunakan Schur Complement, Y = X 1 + X 1 X 12 (X 2 X12 X 1 X 12 ) 1 X12 X 1, invers-kan persamaan diatas diperoleh Y 1 = X X 12 X 1 2 X 12. Jadi, X Y 1 = X 12 X2 1 X12 0danrank(X Y 1 )=rank(x 12 X2 1 X12 ) r. Lemma 2.5 (Bounded Real Lemma) Misalkan γ>0, G(s) = A B C D dan H := A + BR 1 D C C (I + DR 1 D )C BR 1 B (A + BR 1 D C), dengan R = γ 2 I D D, maka pernyataan- pernyataan berikut ekivalen: 1. G <γ. 2. σ(d) <γdan H tidak mempunyai nilai eigen pada sumbu imajiner. 3. σ(d) <γdan H dom(ric). 4. σ(d) <γdan H dom(ric) dan Ric(H) = 0 (Ric(H ) > 0 jika (C,A) terobservasi).

11 BAB 2. TEORI KONTROL H σ(d) < γ dan terdapat X 0 sehingga X(A + BR 1 D C) + (A + BR 1 D C) X + XBR 1 B X + C (I + DR 1 D )C = 0 dan A + BR 1 D C + BR 1 B Xtidak mempunyai nilai eigen di sumbu imajiner. 6. σ(d) <γ dan terdapat X>0 sehingga X(A + BR 1 D C)+(A + BR 1 D C) X + XBR 1 B X + C (I + DR 1 D )C<0. 7. Terdapat X>0sehingga XA + A X XB C B X γi D C D γi < 0. Lemma 2.5 Terdapat pengontrol yang diperkenankan berorde r sehingga T zw <γ hanya jika tiga kondisi berikut dipenuhi : 1. Terdapat Y 1 > 0 sehingga AY 1 + Y 1 A + Y 1 C 1 C 1Y 1 /γ 2 + B 1 B 1 γ2 B 2 B 2 < Terdapat X 1 > 0 sehingga 3. X 1 /γ Y 1 / γ X 1 A + A X 1 + X 1 B 1 B 1X 1 /γ 2 + B 1 B 1 γ 2 C 2C 2 < 0. 0, rank X 1 /γ Y 1 / γ n + r. Bukti: Misalkan terdapat pengontrol K(s) berorder sehingga T zw <γ.misalkank(s) mempunyai realisasi ruang keadaan sebagai berikut: K(s) = Â ˆB Ĉ ˆD

12 BAB 2. TEORI KONTROL H 15 Fungsi transfer lup tertutup dari z ke w pada persamaan (2.11) dapat dituliskan sebagai A + B 2 ˆDC2 B 2 Ĉ B 1 + B 2 ˆDD21 T zw = ˆBC 2 Â ˆBD21 =: A C B C. C C D C C 1 + D 12 ˆDC2 D 12 Ĉ D 12 ˆDD21 Misalkan R = γ 2 I D CD c, R = γ 2 I D c D C. Berdasarkan bounded real lemma, terdapat X = X 1 X 12 X12 X 2 > 0 sehingga X(A C + B C R 1 D C C C)+(A C + B C R 1 D C C C) X + XBC R 1 B C X + C C R 1 C C < 0. Setelah melalui beberapa manipulasi aljabar, diperoleh (2.12) X 1 A + A X 1 + X 1 B 1 B 1 X 1/γ 2 + C 1 C 1 γ 2 C 2 C 2 +(X 1 B 1 D + X12 B + γ 2 C 2 )(γ2 I D D) 1 (X 1 B 1 D + X12 B + γ 2 C 2 ) < 0, yang mengakibatkan bahwa X 1 A + A X 1 + X 1 B 1 B 1X 1 /γ 2 + C 1C 1 γ 2 C 2C 2 < 0. Dipihak lain, misalkan Ỹ = γ 2 X 1, dan partisi Ỹ sebagai maka Ỹ = Y 1 Y 12 Y12 Y 2 > 0, (A C + B C R 1 D CC C )Ỹ + Ỹ (A C + B C R 1 D CC C ) + ỸC C R 1 C C Ỹ + B C R 1 B C < 0. (2.13)

13 BAB 2. TEORI KONTROL H 16 Ini memberikan AY 1 + Y 1 A + B 1 B 1 X 1 γ 2 B 2 B 2 + Y 1C 1 C 1Y 1 /γ 2 +(Y 1 C 1 D + Y 12 C + γ 2 B 2 )(γ 2 I D D ) 1 (Y 1 C 1 D + Y 12 C + γ 2 B 2 ) < 0, yang mengakibatkan bahwa AY 1 + Y 1 A + B 1 B 1X 1 γ 2 B 2 B 2 + Y 1 C 1C 1 Y 1 /γ 2 < 0. Berdasarkan Lemma 2.4, diberikan X 1 > 0danY 1 > 0 terdapat X 12 dan X 2 sehingga Ỹ = γ 2 X 1 atau Ỹ/γ= ( X/γ ) 1 : X 1/γ X 12 /γ X12 /γ X 2/γ 1 = Y 1/γ jika dan hanya jika X 1/γ Y 1 /γ 0,rank 1/γ Y 1 /γ n + r. Untuk menunjukkan peridaksamaan pada lemma terakhir termasuk eksistensi dari solusi stabil persamaan Riccati X dan Y, kita memerlukan teorema berikut. Teorema 2.2 Misalkan R 0 dan andaikan (A, R) terkontrol dan terdapat X= X* sehingga ϑ(x) :=XA + A X + XRX + X<0, (2.14) maka terdapat solusi X+ > X untuk persamaan Riccati X + A + A X + +X + RX + + Q = 0, (2.15) sehingga A+ RX+ antistabil. Bukti: Misalkan R = BB untuk suatu B. Perhatikanbahwa(A, R) terkontrol jika dan

14 BAB 2. TEORI KONTROL H 17 hanya jika (A, B) terkontrol. Misalkan X sedemikian sehingga ϑ(x) < 0. Karena (A, B) terkontrol maka terdapat F 0 sehingga A 0 := A BF 0 antistabil. Misalkan X 0 = X 0 adalah solusi tunggal untuk persamaan Lyapunov X 0 A 0 + A 0 X 0 F 0 F 0 + Q =0. Definisikan ˆF 0 := F 0 + B X, maka kita mempunyai persamaan berikut : (X 0 X)A 0 + A 0(X 0 X) = ˆF 0 ϑ(x) > 0. Karena A 0 antistabil, ini mengakibatkan X 0 >X. Kita mulai dengan X 0, definisikan barisan tak turun matriks Hermitian {X i }. Berkaitan dengan {X i }, kita definisikan juga barisan matriks antistabil {A i } dan barisan matriks {F i }. Asumsikan secara induktif bahwa kita telah mendefinisikan matriks {X i }, {A i }, dan {F i } untuk i sampai n 1 sehingga Xi Hermitian dan X 0 X 1 X n 1 >X, A i = A BF i antistabil, i =0,...,n 1; Selanjutnya, kita perkenalkan F i = B X i 1,i=1,...,n 1; X i A i + A i X i = F i F i Q, i =0, 1,...,n 1. (2.16) F n = B X n 1, A n = A BF n.

15 BAB 2. TEORI KONTROL H 18 Pertama kita tunjukkan bahwa A n antistabil. Gunakan persamaan (2.16) dengan i = n-1, kita peroleh X n 1 A n + A n X n 1 + Q Fn F n (F n F n 1 ) (F n F n 1 )=0. (2.17) Misalkan ˆF n := F n + B X, maka (X n 1 X)A n + A n(x n 1 X) = ϑ(x)+ ˆF n ˆF n +(F n F n 1 ) (F n F n 1 ) > 0, (2.18) ini mengakibatkan bahwa A n antistabil menurut teorema Lyapunov karena X n 1 X>0. Sekarang kita perkenalkan X n sebagai solusi tunggal dari persamaan Lyapunov : X n A n + A nx n = FnF n Q, (2.19) maka X n Hermitian. Selanjutnya kita mempunyai (X n X)A n + A n (X n X) = ϑ(x)+ ˆF n ˆF n > 0, Dengan menggunakan persamaan (2.17), (X n 1 X n )A n + A n (X n 1 X n )=(F n F n 1 ) (F n F n 1 ) > 0. Karena A n antistabil maka X n 1 X n >X. Kita mempunyai barisan tak turun {X i }, dan barisan terbatas dibawah oleh X i >X. Oleh karena itu, limit X + := lim n X n ada dan Hermitian, dan kita mempunyai X + >X. Kita ambil limit n pada persamaan (2.18) kita peroleh ϑ(x + )=0. Jadi,X+ adalah solusi dari persamaan (2.15). Perlu dicatat bahwa X + X 0dan (X + X)A + + A + (X + X) = ϑ(x)+(x + X)R(X + X) > 0. (2.20)

16 BAB 2. TEORI KONTROL H 19 Jadi, X + X>0danA + = A + RX + stabil. Bukti (Teorema 2.1): ( ) 1. Karena T zw <γmaka berdasarkan Bounded Real Lemma H dom(ric). Selanjutnya dengan menggunakan lemma 2.6 bagian (1), kita peroleh bahwa terdapat Y 1 > 0 sehingga AY 1 + Y 1 A + Y 1 C 1 C 1 Y 1/γ 2 + B 1 B 1 γ 2 B 2 B 2 < 0. Dengan menggunakan Teorema (2.2) dapat disimpulkan bahwa terdapat Y> Y 1 > 0 sehingga AY + YA + YC 1 C 1 Y/γ2 + B 1 B 1 γ 2 B 2 B 2 = 0 (2.21) dan A + C 1C 1 Y/γ 2 antistabil. Misalkan X = γ 2 Y 1,karenaY > 0maka X > 0. Kalikan persamaan (2.21) dengan Y 1 dari kanan dan dengan X dari kiri, maka diperoleh X A + A X + X (B 1 B 1/γ 2 B 2 B 2)X + C 1 C 1 =0. (2.22) Persamaan (2.22) dapat dituliskan sebagai X A + X (B 1 B 1 /γ2 B 2 B 2 )X = A X C 1 CX 1 X. (2.23) Kalikan persamaan (2.23) dengan X 1, diperoleh A +(B 1 B 1 /γ2 B 2 B 2 )X = X 1 A X X 1 C 1 CX 1 X. (2.24) Karena X > 0makaX 1 > 0, sedangkan A + C 1 C 1Y/γ 2 antistabil, maka A + C1 C 1Y/γ 2 > 0, sehingga X 1 (A + C1 CY/γ2 )X < 0. Jadi, A + (B 1 B1/γ 2 B 2 B2)X stabil. 2. Dengan cara yang sama pada bagian (1) diperoleh bahwa H dom(ric) dan berdasarkan Lemma 2.6 bagian (2) dan Teorema 2.2 dapat disimpulkan bahwa

17 BAB 2. TEORI KONTROL H 20 terdapat X>X 1 > 0 sehingga XA + A X + XB 1 B 1 X/γ2 + C 1 C 1 γ 2 C 2 C 2 =0 dan A + B 1 B 1 X/γ2 antistabil. Misalkan Y = γ 2 X 1, kita peroleh AY + Y A + Y (C 1 C 1/γ 2 C 2 C 2)Y + B 1 B 1 = 0 (2.25) dana +(C 1C 1 /γ 2 C 2C 2 )Y stabil. Jadi, Y =Ric(H ) > Berdasarkan Lemma (2.6) bagian (3) diperoleh 1 γy = X/γ > X/γ Y/γ Y 1 /γ γx 1 0 Karena γy 1 γx 1 > 0danγY 1 > 0makaberdasarkanSchur Complement kita peroleh γy 1 γ 1 X > 0atauρ(X Y ) <γ 2. ( ) Untuk melengkapi bukti, kita hanya perlu menunjukkan bahwa pengontrol K sub (s) yang diberikan pada Teorema 2.1 mengakibatkan T zw <γ. Perhatikan fungsi transfer lup tertutup dari w ke z (dengan K sub diberikan), A B 2 F B 1 T zw = Z L C 2 Â Z L D 21 =: A C B C. C C D C C 1 D 12 F 0 Definisikan maka P>0 dan P = γ 2 Y 1 γ 2 (Z ) Y 1 γ 2 Y 1Z 1 γ 2 Y 1Z 1 PA C + A CP + PB C B CP/γ 2 =0.,

18 BAB 2. TEORI KONTROL H 21 Selain itu, A C + B C BCP/γ 2 = A + B 1B1Y 1 B 2 F B 1 B1Y 1 Z 1 0 A + B 1 B1 X /γ 2 + B 2 F tidak mempunyai nilai eigen pada sumbu imajiner karena A + B 1 B 1 X /γ 2 + B 2 F stabil dan A+B 1 B1Y 1 antistabil. Berdasarkan Bounded Real Lemma maka T zw < γ. Teorema 2.1 menunjukkan eksistensi dari pengontrol H dan juga menjelaskan mengenai langkah-langkah untuk mencari pengontrol H. Masalah selanjutnya adalah bagaimana menerapkan pengontrol H ini pada sistem manipulator fleksibel. Untuk menerapkan kontrol H ini maka perlu dibuat model matematika dari sistem manipulator fleksibel kemudian mendesain sistem kontrolnya.