BAB 2 LANDASAN TEORI. yang dibicarakan yang akan digunakan pada bab selanjutnya. Bentuk umum dari matriks bujur sangkar adalah sebagai berikut:
|
|
- Surya Yuwono
- 7 tahun lalu
- Tontonan:
Transkripsi
1 BAB 2 LANDASAN TEORI Pada bab ini dibicarakan mengenai matriks yang berbentuk bujur sangkar dengan beberapa definisi, teorema, sifat-sifat dan contoh sesuai dengan matriks tertentu yang dibicarakan yang akan digunakan pada bab selanjutnya. 2.1 Matriks Matriks adalah susunan elemen-elemen yang disusun menurut baris dan kolom sehingga berbentuk persegi panjang dengan panjang dan lebar menunjukkan banyak baris dan banyak kolom. Matriks yang memiliki m baris dan n kolom disebut matriks berukuran m n. Matriks yang memiliki banyak baris dan banyak kolom sama disebut matriks bujur sangkar. Bentuk umum dari matriks bujur sangkar adalah sebagai berikut: a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A =. baris ke i..... a n1 a n2 a nn kolom ke j Elemen yang menempati baris ke-i dan kolom ke-j disebut entri i, j dan ditulis sebagai A = [a ij ]. Matriks yang terdiri dari 1 baris dan n kolom ditulis 1 n disebut dengan matriks baris atau vektor baris dan yang terdiri atas n baris dan 1 kolom disebut matriks kolom atau vektor kolom. 2.2 Perkalian Matriks Definisi Diberikan matriks A = [a ij ] berukuran n p dan matriks B = [ij] berukuran p n, maka perkalian matriks A dan B yaitu AB adalah matriks
2 6 yang berukuran n n. Anggap perkalian matriks AB sebagai matriks C = [c ij ] didefinisikan sebagai : c ij = a i1 b 1j + a i2 b 2j a ip b pj Perkalian A dan B terdefinisi hanya jika banyak kolom matriks A sama dengan banyak baris matriks B. 2.3 Eliminasi Gauss dan Eliminasi Gauss-Jordan Pada dasarnya eliminasi Gauss dan eliminasi Gauss-Jordan digunakan dalam mencari solusi persamaan linier. Tetapi dalam tulisan ini eliminasi Gauss dan eliminasi Gauss-Jordan digunakan dalam aturan perkalian determinan. Definisi Operasi berikut disebut dengan operasi baris elementer, antara lain 1 Pertukaran dua baris. 2 Perkalian suatu baris dengan skalar tak nol. 3 Penjumlahan baris yang dikalikan dengan skalar tak nol dengan baris yang lain. Definisi Suatu matriks dikatakan dalam bentuk eshelon baris dan akan disebut row-echelon form atau ref bila memenuhi hal-hal berikut : 1 Jika suatu baris tidak terdapat entri nol, maka entri tak nol pertama baris tersebut adalah 1 entri 1 ini disebut sebagai leading entry atau pivot. 2 Jika terdapat baris yang semua entrinya nol maka baris tersebut diletakkan dibagian bawah matriks. 3 Setiap leading entri 1 terletak disebelah kanan leading entri 1 yang terletak di bagian atas. Definisi Row-echelon form dikatakan reduced row-echelon form atau rref jika memenuhi kondisi row-echelon form dengan setiap kolom terdiri atas leading entri 1 dan nol untuk entri yang lain.
3 7 2.4 Determinan Diberikan sutu matriks A berukuran 2 2 sebagai berikut : a b A = c d Skalar ad bc disebut determinan dari A yang dinotasikan dengan deta atau A. Determinan matriks adalah berupa skalar yang hanya terdefinisi untuk matriks bujur sangkar. Berikut diberikan definisi determinan secara umum. Definisi Diberikan matriks A = [a ij ] berukuran n n dan determinan dari A dinyatakan dengan skalar yaitu sebagai berikut deta = p σpa 1p1 a 2p2...a npn penjumlahan dilakukan sampai n! permutasi p = p 1, p 2,..., p n dari 1, 2,..., n. Setiap a 1p1 a 2p2...a npn memuat tepat satu entri dari setiap baris dan setiap kolom dari A. Jika σp = +1 dikatakan permutasi genap yaitu jumlah inversi seluruhnya adalah sebuah bilangan bulat yang genap dan σp = 1 dikatakan permutasi ganjil yaitu jumlah inversi seluruhnya adalah sebuah bilangan bulat yang ganjil. Contoh 1 : Diberikan matriks A = Carilah deta dengan menggunakan Definisi determinan. Jawab: Karena n = 3 dan 3! = 6, berarti ada 6 permutasi dari 1,2,3 dengan ketentuan ekspansi dari deta ditunjukkan sebagai berikut:
4 8 p = p 1, p 2, p 3 σp a 1p1 a 2p2...a npn 1,2, = 45 1,3, = 48 2,1, = 72 2,3, = 84 3,1, = 96 3,2, = 105 Sehingga diperoleh: deta = p σpa 1p1 a 2p2...a npn = = 0. Untuk matriks A berukuran n n dengan deta = 0 maka matriks A dikatakan singular, selain itu dikatakan nonsingular. Berikut diberikan beberapa sifat-sifat dari determinan : Teorema 2.1 Diberikan matriks A dan B berukuran n n, dan berlaku det AB =deta det B. Bukti. Asumsikan satu dari matriks A atau B mempunyai det = 0, berakibat deta detb = 0. Jika detb = 0 maka Bx = 0, untuk x 0. Persamaan ini mempunyai tak berhingga banyaknya solusi. Kalikan Bx = 0 dengan matriks A di ruas kiri sehingga ABx = 0 menunjukkan bahwa perkalian matriks AB tidak invertible. Oleh karena itu dipenuhi detab = deta detb. Jika detb 0 dan deta = 0, maka ada suatu vektor y 0 memenuhi persamaan Ay = 0. Ambil x = B 1 y maka ABx = Ay. Karena Ay = 0 berarti perkalian matriks AB tidak invertible. Asumsikan matriks A dan B berupa matriks invertible berakibat C = AB adalah invertible. Dengan cara reduced row-echelon form rref didapat rrefa = rrefb = I. Denngan menggunakan matriks elementer I = rrefa = E 1 E 2...E k A 1 dan I = rrefb = F 1 F 2...F l B 1. Maka A B = E 1 E 2...E k F 1 F 2...F l. Karena detex = dete detx untuk E matriks elementer dan X sebarang matriks bujur sangkar. Sehingga diperoleh : deta = dete 1 dete 2...detE k dan detb = detf 1 detf 2...detF k. Jadi detab = deta det B.
5 9 Teorema 2.2 Diberikan matriks A berukuran n n non-singular. Untuk matriks c dan d berukuran n 1, pernyataan berikut dipenuhi : 1 deti + cd t = 1 + d t c 2 deta + cd t = deta1 + d t A 1 c Bukti. 1 Dengan mengaplikasikan perkalian matriks berikut diperoleh I 0 I + cd t c I 0 I c = d t d t d t c Apabila dideterminankan matriks ruas kiri dan kanan diperoleh : I 0 I + cd t c I 0 d t d t 1 = I c d t c sehingga didapat: deti deti + cd t det I = det I1 + d t c 1 deti + cd t 1 = 1 + d t c deti atau deti + cd t = 1 + d t c. 2 Dari bentuk matriks A + cd t = AI + A 1 cd t. Karena untuk sebarang matriks A dan B berukuran n n berlaku detab = det A det B, sehingga deta + cd t = det A det I + A 1 cd t = det A1 + d t A 1 c Contoh 2 : Diberikan matriks 1 + λ λ A = λ n Untuk λ i 0, tentukanlah det A. Solusi : Anggap bentuk matriks A = D + ee t, dengan D = diagλ 1, λ 2,..., λ n dan e t = , sehingga n det D + ee t = det D1 + e t D 1 e = i=1 λ i 1 + n i=1 1 λ i
6 10 Himpunan yang beranggotakan matriks berukuran n n atas lapangan dinotasikan dengan M n F. Salah satu contoh himpunan matriks atas lapangan adalah matriks yang entrinya atas himpunan bilangan kompleks C dan matriks yang entrinya atas himpunan bilangan riil R, dengan kata lain M n F = {A n n A = [a ij ], a ij F, i, j = 1, 2,..., n} Untuk suatu A matriks berukuran m n yang entrinya atas himpunan bilangan kompleks atau A M m n C dengan α {1, 2,..., m} dan β {1, 2,..., n}, dapat dibuat matriks baru dengan indeks α menyatakan baris dan indeks β menyatakan kolom sehingga [α, β] ditentukan dari baris α dan kolom β yang saling bersesuaian atau saling berpotongan. Matriks baru yang terbentuk ini disebut submatriks dari A yang dinotasikan dengan A[α, β]. Contoh 3 : Diberikan matriks 1 i i+1 A = i 3 -i 1-i -i 4 jika α = {1, 3} dan β = {1, 2, 3} maka α = {1, 3} menyatakan baris dan β = {1, 2, 3} menyatakan kolom sehingga dari baris α dan kolom β yang saling berpotongan diperoleh submatriks berikut : A[α, β] = 1 i 1 + i i 3 i 1 i -i 4 1 i 1 + i [{1, 3}, {1, 2, 3}] = 1 i -i 4 Jika α = β maka A[α, β] = A[α], submatriks A[α] disebut submatriks utama dari A. Determinan dari submatriks utama A disebut minor utama A. Dari contoh di atas untuk α = β = {1, 3} diperoleh : 1 i 1 + i i A[α] = i 3 i [{1, 3}] = 1 i 4 1 i -i 4
7 Invers Matriks Suatu matriks A mempunyai invers atau tidak mempunyai invers dapat dilakukan dengan memperlihatkan determinan dari matriks A tersebut tidak nol. Dengan kata lain deta 0 berarti matriks A invertible. Definisi Diberikan matriks A dan B berukuran n n, sehingga berlaku AB = BA = I, maka A dikatakan invertibel atau nonsingular dan B dikatakan invers dari A. Karena A adalah invers dari A maka B = A 1. Jadi AA 1 = A 1 A = I. Sifat-sifat dari invers matriks diberikan pada teorema-teorema berikut ini : Teorema 2.3 Untuk matriks A dan B berukuran n n non-singular maka diperoleh : 1 A 1 1 = A 2 Perkalian AB juga nonsingular dan AB 1 = B 1 A 1 3 A 1 t = A t 1 Bukti. 1 Dari Definisi, A 1 adalah invers dari A sehingga A 1 A = AA 1 = I. Berakibat A 1 1 adalah invers dari A 1 sehingga A 1 A 1 1 = I. Karena A 1 A 1 1 = A 1 A = I n maka A 1 1 = A. 2 Anggap X = B 1 A 1 dan menunjukkan bahwa ABX = I n. Diperoleh ABX = ABB 1 A 1 = ABB 1 A 1 = AI n A 1 = AA 1 = I n. 3 Anggap X = A 1 t dan menunjukkan bahwa A t X = I n. Dengan membentuk A t X = A t A 1 t = A 1 A t = I t n = I n. Oleh karena itu,a t 1 = X = A 1 t. Teorema 2.4 Untuk matriks A yang nonsingular, berlaku det A 1 = 1/detA.
8 12 Bukti. Karena AA 1 = I n, jika dideterminankan ruas kiri dan kanan maka deta A 1 = det I n. Dari sifat determinan diperoleh detaa 1 = deta det A 1. Karena deti n = 1 berakibat deta det A 1 = 1. Kemudian bagi kedua sisi dengan deta, maka deta 1 = 1/detA. Perkalian dua matriks yang berukuran sama biasanya tidak komutatif. Tetapi pernyataan berikut selalu memperlihatkan sifat komutatif berlaku. Teorema 2.5 Jika A adalah matriks berukuran n n sedemikian hingga matriks I A non-singular maka AI A 1 = I A 1 A. Bukti. Untuk matriks A yang berukuran n n sedemikian hingga matriks I A nonsingular berarti I A 1 ada. Akan ditunjukkan bahwa : AI A = I AA AI A = AI AA = I A A A = I AA Karena AI A = I AA maka dengan mengalikan kedua persamaan di sebelah kanan dengan I A 1 diperoleh A = I AAI A 1. Kalikan kembali kedua persamaan di sebelah kiri dengan I A 1 dan diperoleh I A 1 A = AI A Matriks Uniter dan Hermite Untuk suatu matriks dengan entri berupa bilangan kompleks atau a + bi memiliki sekawan atau konjugat a + bi = a bi maka suatu matriks A memiliki sekawan dinotasikan dengan A dan transpos sekawan yang didefinisikan sebagai berikut : A = A t.
9 13 Contoh 4 :Diberikan matriks 1 + i i 0 A = 2 3 2i i sehingga transpos sekawan A diperoleh sebagai berikut : 1 i i 0 A = i i Definisi Suatu matriks bujur sangkar A dengan entri-entri berupa bilangan kompleks dikatakan uniter jika A 1 = A atau berlaku sifat AA = A A = I. Definisi Matriks bujur sangkar A dengan entri-entri berupa bilangan kompleks dikatakan hermite jika A = A. Contoh 5 : Diberikan matriks 1 i 1 + i A = i 5 2 i 1 i 2 + i 3 diperoleh sekawan atau konjugat A sebagai berikut : 1 i 1 i A = i i 1 + i 2 i 3 sehingga diperoleh : 1 i 1 + i A = A t = i 5 2 i 1 i 2 + i 3 yang berarti bahwa A adalah hermite. Untuk mengenali suatu matriks hermit merupakan suatu hal yang tidak sulit yaitu dengan pemeriksaan entri-entri pada diagonal utama berupa bilangan riil dan entri-entri di atas dan di bawah diagonal utama matriks tersebut berupa komplek sekawanannya.
10 Matriks Similar atau Serupa Dalam teori matriks ada yang dikenal dengan matriks similar. Suatu matriks A dikatakan similar dengan B jika dan hanya jika matriks A dan B similar. Definisi Diberikan matriks A dan B berupa matriks bujur sangkar, maka disebut bahwa B similar dengan A jika terdapat suatu matriks R yang dapat diinvertible sehingga A = R 1 BR Dari Definisi persamaan A = R 1 BR dapat juga ditulis B = RAR 1 atau B = R 1 1 AR 1. Dengan mengasumsikan Q = R 1 maka diperoleh B = Q 1 AQ yang menyatkan bahwa A similar dengan B. Contoh 6 : Diberikan matriks 1 1 A = 2 4 Tentukanlah matriks similar dari A. Jawab: Anggap λ eigenvalue dari matriks A yang bersesuaian dengan vektor x 0 memenuhi persamaan Ax = λx atau A λix = 0. Karena x 0 maka A λi = 0 adalah singular yaitu deta λi = 0. A λi = 1 λ λ = 1 λ4 λ + 2 = λ2 5λ + 6 = 0. atau λ 2λ 3 = 0, diperoleh λ 1 = 2 dan λ 2 = 3. Untuk λ 1 = 2 maka dari persamaan A λx = 0 diperoleh : 1 1 x1 0 A 2Ix = = x 2 Dari persamaan tersebut diperoleh x 1 = x 2. x1 1 Ambil x 1 = 1 maka X 1 = = x 2 1 Untuk λ 2 = 3 maka dari persamaan A λx = 0 diperoleh :
11 x1 0 A 3Ix = 2 1 x 2 = 0 Dari persamaan tersebut diperoleh x 2 = 2x 1. x1 1 Ambil x 1 = 1 maka X 2 = = x Sehingga diperoleh suatu matriks R = X 1 X 2 = Maka R 1 AR = = Jadi A = similar dengan B = = B Teorema 2.6 Jika matriks bujur sangkar A dan B adalah similar maka matriks A dan B mempunyai eigenvalue yang sama. Bukti : Dari diketahui matriks A similar dengan matriks B maka ada suatu matriks invertibel R sedemikian hingga B = R 1 AR. Kemudian dicari eigenvalue dari kedua sisi persamaan dan diperoleh : detb λi = detr 1 AR λi dengan memanipulasi persamaan diperoeh : detb λi = det R 1 AR R 1 λir = detr 1 AR λir = detr 1 A λir = detr 1 deta λi detr = deta λi. 2.8 Spektrum dan Radius Spektral Definisi Untuk suatu matriks A berukuran n n, persamaan matriks Ax = λx dengan λ skalar disebut eigenvalue dari A dan x n 1 0 disebut eigenvektor dari A dapat dibawa ke bentuk A λi x = 0. Jika deta λi = 0 maka matriks A λi singular. Dari matriks A λi yang singular dapat dicari eigenvalue-eigenvalue dari A. Himpunan semua eigenvalue-eigenvalue yang berbeda dari A disebut spektrum dari A dan dinotasikan dengan σa dan di-
12 16 peroleh hubungan sebagai berikut: λ σa A λi singular deta λi = 0 Contoh 7 : Diberikan matriks 2 2i A = i 3 maka det A λi = 0 diperoleh :λ 1 = 1 dan λ 2 = 4 sehingga spektrum dari A atau σa = {λ 1, λ 2 } = {1, 4} Melalui konsep spektrum matriks dapat dicari determinan matriks tersebut. Hal ini dinyatakan melalui teorema berikut. Teorema 2.7 Untuk matriks A berukuran n n. Jika λ 1, λ 2,..., λ n eigenvalue-eigenvalue dari A maka det A = λ 1.λ 2...λ n. Bukti. Anggap matriks A similar dengan suatu matriks diagonal D = diag{λ 1, λ 2,..., λ n } sehingga A dapat dinyatakan menjadi A = R 1 DR untuk R adalah suatu matriks invertibel. Kemudian kedua sisi dideterminankan dan diperoleh deta = detr 1 DR. Dari sifat determinan berakibat deta = detr 1 detd detr = 1/detR deta detr atau deta = detd = λ 1 λ 2...λ n = n λ i. i=1 Teorema 2.8 Diberikan suatu matriks bujur sangkar A nonsingular dan λ suatu eigenvalue dari A maka 1/λ eigenvalue dari A 1. Bukti. Karena matriks A nonsingular akibatnya ada A 1. Untuk A 1 dan vektor x 0 dapat ditulis A 1 x = A 1 1x = A 1 1/λ λx = 1/λA 1 λx. Untuk λ eigenvalue dari A yang bersesuaian dengan vektor x 0 memenuhi persamaan Ax = λx maka A 1 x = 1/λA 1 Ax = 1/λA 1 Ax = 1/λx. Ini menunjukkan 1/λ adalah eigenvalue dari matriks A 1.
13 17 Teorema 2.9 Diberikan suatu matriks A berukuran n n, untuk λ eigenvalue dari A dan x vektor tak nol. Jika λ 1 maka matriks I + A invertible untuk I matriks identitas berukuran n n. Bukti. Asumsikan matriks I + A tidak invertible berarti deti + A = 0. Untuk x vektor tak nol dapat dipenuhi persamaan I + Ax = 0 atau Ax = x yang bersesuaian dengan persamaan Ax = λx, skalar λ eigenvalue dari A. Dari persamaan tersebut, berarti λ = 1. Jadi dipenuhi untuk λ 1 maka matriks I + A invertible. Dari konsep spektrum matriks A yang berukuran n n diperoleh eigenvalueeigenvalue yang berbeda. Jika eigenvalue-eigenvalue ini didefinisikan nilai modulusnya dan dipilih yang terbesar, maka nilai modulus eigenvalue yang terbesar disebut sebagai radius spektral dari A dan dinotasikan dengan ρa. Atau ditulis ρa = max { λ } λ σa 2.9 Kelas-kelas Matriks yang Bersifat Positip Berikut ini diberikan kelas dari matriks yang semua eigenvalue dan semua minor utamanya selalu positip P -matriks. Definisi Matriks berukuran n n dikatakan P-matriks jika semua minor utama matriks A positip. Contoh 7 : Diberikan suatu matriks : A = 1 i 1 + i i 3 i 1 i -i 4 akan ditunjukkan matriks A adalah P-matriks dengan menunjukkan semua
14 18 minor utama dari matriks A adalah positif, yakni Ada 3 minor utama berorde 1 dari matriks A: A[{1}] = 1 = 1, A [{2}] = 3 = 3, A [{3}] = 4 = 4 Ada 3 minor utama berorde 2 dari matriks A : A[{1, 2}] = 1 i i 3 = = 4 A[{1, 3}] = i 1 i 4 = 4 2 = 2 A[{2, 3}] = 3 i i 4 = = 13 Ada 1 minor utama berorde 3 dari matriks A : A[{1, 2, 3}] = 1 i 1 + i i 3 i 1 i i 4 = 13 Untuk matriks A M n C yang berbentuk P-matriks diperoleh karakteristik berikut: Teorema 2.10 Sebarang submatriks utama dari P-matriks adalah P-matriks. Bukti. Ambil β {1, 2, 3,..., n} sebarang. Dibentuk A[β] submatriks utama dari A. Ambil β 1 β sebarang dan bentuk A[β 1 ] submatriks utama dari A[β] berarti A[β 1 ] juga submatriks utama dari A. Karena A berupa P-matriks maka deta[β 1 ] > 0. Dari β 1 β sebarang dengan deta[β 1 ] > 0 berarti A[β] atau submatriks utama dari A adalah P-matriks.
15 19 Teorema 2.11 Untuk matriks A M n R diperoleh pernyataan berikut ekivalen: 1 A berbentuk P-matriks. 2 semua minor utama matriks A positip. 3 Semua eigenvalue riil dari submatriks utama A positip. Bukti. 1 2 Dari Definisi diperoleh bahwa untuk A berbentuk P-matriks berarti semua minor utama dari matriks A adalah positip. 2 3 Karena semua minor utama dari A positip berarti A berupa P matriks. Ambil A[α] submatriks utama dari A untuk α {1, 2,..., n} sebarang. Karena A[α] berupa P matriks berarti A[α] > 0. Ambil λ σa[α] sebarang. Untuk x vektor taknol, bentuk A[α]x = λx atau x A[α]x = x λx. Karena perkalian x dan x nilainya merupakan perkalian entri-entri konjugatenya yang selalu bernilai positip yaitu a + bi a bi = a 2 + b 2 benilai positip sehingga diperoleh λ = x A[α]x/x x > Untuk A[α] sebarang submatriks utama dari A dan λ σb[α] sebarang dengan λ > 0. Berarti untuk setiap eigenvalue dari A bernilai positip, dan untuk setiap eigenvalue dari A[α] juga positip. Akibatnya det A[α] > 0, sehingga A berupa P matriks Matriks Definit Positip. Suatu matriks A berukuran n n disebut definit positip jika dipenuhi x Ax > 0 untuk semua x 0 dan x C n 1 dengan x = x t. Contoh 9 : Diberikan suatu vektor dan suatu matriks x = Sehingga : 2i i, A =
16 20 x A x = 2i 4 1 i i i = 54 > 0. Berikut diberikan beberapa karakterisasi dari matriks definit positip : Teorema 2.12 Sebarang submatriks utama dari suatu matriks definit positip merupakan matriks definit positip. Bukti. Ambil β {1, 2,.., n} sebarang. Bentuk A[β] submatriks utama dari A dan deta[β] adalah minor utama dari A. Ambil x C n 1 vektor tak nol dengan entri sebarang dan x[β] menyatakan vektor yang diperoleh dari x yang bersesuaian dengan β diperoleh : x[β] A[β]x[β] = x A x > 0 Karena x[β] 0 sebarang, berarti A[β] definit positip. Contoh 10 : Diberikan suatu vektor dan suatu matriks 2i x = 4, A = i Ambil β = {1, 3} maka diperoleh vektor baru dan submatriks dari dari A sebagai berikut : 2i 5 3 x[{1, 3}] =, A[{1, 3}] = 1 + i 3 3 dan x [{1, 3}] = 2i 1 i Sehingga diperoleh berikut ini : x [{1, 3}]A[{1, 3}]x[{1, 3}] = 2i 1 i i 1 + i = 14 > 0. Teorema 2.13 Setiap eigenvalue dari suatu matriks definit positip berupa bilangan riil positip.
17 21 Bukti. Untuk A berupa matriks definit positip dan λ σa, anggap x suatu eigenvektor dari A yang bersesuaian dengan λ sehingga diperoleh : x Ax = x λx = λx x Karena perkalian x dan x nilainya merupakan perkalian entri-entri konjugatenya yang selalu bernilai positip yaitu a + bi a bi = a 2 + b 2 benilai positip oleh karena itu, λ = x Ax / x x bernilai positip karena merupakan perbandingan dua bilangan positip Transformasi Cayley Suatu fungsi C yang didefinisikan atas M n C dan bernilai di M n C, yaitu: suatu matriks bujur sangkar A atas himpunan bilangan kompleks sedemikian hingga dapat dibuat matriks I + A invertible sehingga dapat dibentuk matriks baru CA = I + A 1 I A juga atas himpunan bilangan kompleks. Matriks CA seperti ini disebut sebagai transformasi Cayley pada matriks A. Contoh 11 : Diberikan matriks 1 i A = i 3 Diperoleh : 2 i 4 1 I + A = I + A 1 9 = i 9 i 4 1i i I A = i 2 Maka Transformasi Cayley dari matriks A adalah: 4 1 I + A I A = i 0 i 1i = 2 i i 9 2i Transformasi Cayley untuk suatu matriks berukuran n n pertama kali diperkenalkan oleh Cayley, melalui matriks skew-hermite. Matriks A M n C dikatakan skew-hermit jika A = A, dan matriks A dikatakan uniter jika ter-
18 22 dapat suatu matriks kompleks U berukuran sama sehingga dari Definisi berlaku U U = UU = I n. Hubungan matriks skew-hermit dengan transformasi cayley diperlihatkan pada pernyataan berikut ini. Teorema 2.14 Jika A matriks skew-hermit maka transformasi Cayley CA uniter. Bukti. Untuk A matriks skew-hermit dan dapat dibuat matriks I +A invertible sedemikian hingga dapat dibentuk transformasi cayley CA = I + A 1 I A. Dari Teorema 2.5 dengan mengganti matriks A dengan matriks A, diperoleh AI + A 1 = I + A 1 A, sehingga I AI + A 1 = I + A 1 AI + A 1 = I + A 1 I A. Bentuk matriks U = I + A 1 I A, berarti U = I A I + A 1. Sehingga untuk A matriks skew-hermit, diperoleh perkalian matriks U U = I A I + A 1 I + A 1 I A = I A I + A 1 I + A 1 I A = I + AI A 1 I + A 1 I A = I + AI A 1 I AI + A 1 = I + AI + A 1 = I n Dua pernyataan berikut merupakan pernyataan dasar yang berkenaan dengan transformasi Cayley. Lemma 2.15 Diberikan suatu matriks A M n C sedemikian hingga 1 / σa. Maka A = CF = I + F 1 I F, untuk F = CA. Bukti. Karena 1 / σa maka matriks I + A non-singular artinya I + A invertible. Sehingga diperoleh transformasi Cayley CA. Anggap CA = F sehingga F = I + A 1 I A dan I + F bukan matriks nol. Untuk persamaan F x = λx, dengan x 0 dan λ = 1 maka diperoleh I + F x = 0 artinya x = 0,
19 23 suatu kontradiksi. Jadi, harusnya 1 / σf akibatnya I + F invertible dan diperoleh A = I F I + F 1 = I + F 1 I F. Lemma 2.16 Diberikan suatu matriks A M n C sedemikian hingga 1 / σa dan F = CA. Maka I + F = 2I + F 1 dalam penjumlahan, dan jika A adalah invertible maka I F = 2I + A 1 1. Bukti. Karena 1 / σa maka matriks I + A non-singular artinya I + A invertible. Sehingga diperoleh transformasi Cayley CA. Anggap CA = F, sehingga F = I + A 1 I A. Diperoleh I + F = I + I + A 1 I A = 2I +A 1, dengan cara yang sama I F = I +I +A 1 I A = 2I +A 1 A. Jika A invertible diperoleh I F = 2A 1 I + A 1 = 2I + A 1 1
MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR
MUHG3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR TIM DOSEN Determinan Matriks Determinan Matriks Sub Pokok Bahasan Permutasi dan Determinan Matriks Determinan dengan OBE Determinan dengan Ekspansi Kofaktor Beberapa Aplikasi
Lebih terperinciBAB II KAJIAN PUSTAKA. operasi matriks, determinan dan invers matriks), aljabar max-plus, matriks atas
BAB II KAJIAN PUSTAKA Pada bab ini akan diuraikan mengenai matriks (meliputi definisi matriks, operasi matriks, determinan dan invers matriks), aljabar max-plus, matriks atas aljabar max-plus, dan penyelesaian
Lebih terperinciPart III DETERMINAN. Oleh: Yeni Susanti
Part III DETERMINAN Oleh: Yeni Susanti Perhatikan determinan matriks ukuran 2x2 berikut: Pada masing-masing jumlahan dan Terdapat wakil dari setiap baris dan setiap kolom. Bagaimana dengan tanda + (PLUS)
Lebih terperinciTrihastuti Agustinah
TE 467 Teknik Numerik Sistem Linear Trihastuti Agustinah Bidang Studi Teknik Sistem Pengaturan Jurusan Teknik Elektro - FTI Institut Teknologi Sepuluh Nopember O U T L I N E OBJEKTIF 2 3 CONTOH 4 SIMPULAN
Lebih terperinciAljabar Linier Elementer. Kuliah 1 dan 2
Aljabar Linier Elementer Kuliah 1 dan 2 1.3 Matriks dan Operasi-operasi pada Matriks Definisi: Matriks adalah susunan bilangan dalam empat persegi panjang. Bilangan-bilangan dalam susunan tersebut disebut
Lebih terperinciBAB II TINJAUAN PUSTAKA
5 BAB II TINJAUAN PUSTAKA A Matriks 1 Pengertian Matriks Definisi 21 Matriks adalah kumpulan bilangan bilangan yang disusun secara khusus dalam bentuk baris kolom sehingga membentuk empat persegi panjang
Lebih terperinciDeterminan. Untuk menghitung determinan ordo n terlebih dahulu diberikan cara menghitung determinan ordo 2
Determinan Determinan Setiap matriks bujur sangkar A yang berukuran (nxn) dapat dikaitkan dengan suatu skalar yang disebut determinan matriks tersebut dan ditulis dengan det(a) atau A. Untuk menghitung
Lebih terperinciNILAI EIGEN DAN VEKTOR EIGEN disebut vektor eigen dari matriks A =
NILAI EIGEN DAN VEKTOR EIGEN >> DEFINISI NILAI EIGEN DAN VEKTOR EIGEN Jika A adalah sebuah matriks n n, maka sebuah vektor taknol x pada R n disebut vektor eigen (vektor karakteristik) dari A jika Ax adalah
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN. 3) Untuk mengetahui apa yang dimaksud dengan invers matriks. 4) Untuk mengetahui apa yang dimaksud dengan determinan matriks
1.1 LATAR BELAKANG BAB I PENDAHULUAN Teori matriks merupakan salah satu cabang ilmu aljabar linier yang menjadi pembahasan penting dalam ilmu matematika. Sejalan dengan perkembangan ilmu pengetahuan, aplikasi
Lebih terperinciAljabar Linier Elementer. Kuliah 7
Aljabar Linier Elementer Kuliah 7 Materi Kuliah Ekspansi kofaktor Aturan Cramer 2 2.4 Espansi Kofaktor; Aturan Cramer Definisi: Jika A adalah matriks bujur sangkar, maka minor dari entri a ij dinyatakan
Lebih terperinciBAB II LANDASAN TEORI
BAB II LANDASAN TEORI A. Matriks 1. Pengertian Matriks Definisi II.A.1 Matriks didefinisikan sebagai susunan persegi panjang dari bilangan-bilangan yang diatur dalam baris dan kolom. Contoh II.A.1: 9 5
Lebih terperinciBAB II DETERMINAN DAN INVERS MATRIKS
BAB II DETERMINAN DAN INVERS MATRIKS A. OPERASI ELEMENTER TERHADAP BARIS DAN KOLOM SUATU MATRIKS Matriks A = berdimensi mxn dapat dibentuk matriks baru dengan menggandakan perubahan bentuk baris dan/atau
Lebih terperinciJURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA FMIPA UNIVERSITAS NEGERI YOGYAKARTA
CATATAN KULIAH ALJABAR LINEAR MUSTHOFA JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA FMIPA UNIVERSITAS NEGERI YOGYAKARTA 20 SISTEM PERSAMAAN LINEAR Tujuan : Menyelesaikan sistem persamaan linear. OPERASI BARIS ELEMENTER
Lebih terperinci6 Sistem Persamaan Linear
6 Sistem Persamaan Linear Pada bab, kita diminta untuk mencari suatu nilai x yang memenuhi persamaan f(x) = 0. Pada bab ini, masalah tersebut diperumum dengan mencari x = (x, x,..., x n ) yang secara sekaligus
Lebih terperinciAljabar Linear. & Matriks. Evangs Mailoa. Pert. 5
Aljabar Linear & Matriks Pert. 5 Evangs Mailoa Pengantar Determinan Menurut teorema 1.4.3, matriks 2 x 2 dapat dibalik jika ad bc 0. Pernyataan ad bc disebut sebagai determinan (determinant) dari matriks
Lebih terperinciMATRIKS. a A mxn = 21 a 22 a 2n a m1 a m2 a mn a ij disebut elemen dari A yang terletak pada baris i dan kolom j.
MATRIKS A. Definisi Matriks 1. Definisi Matriks dan Ordo Matriks Matriks adalah susunan bilangan (elemen) yang disusun menurut baris dan kolom dan dibatasi dengan tanda kurung. Jika suatu matriks tersusun
Lebih terperinciLampiran 1 Pembuktian Teorema 2.3
LAMPIRAN 16 Lampiran 1 Pembuktian Teorema 2.3 Sebelum membuktikan Teorema 2.3, terlebih dahulu diberikan beberapa definisi yang berhubungan dengan pembuktian Teorema 2.3. Definisi 1 (Matriks Eselon Baris)
Lebih terperinci6- Operasi Matriks. MEKANIKA REKAYASA III MK Unnar-Dody Brahmantyo 1
6- Operasi Matriks Contoh 6-1 : Budi diminta tolong oleh ibunya untuk membeli 2 kg gula dan 1 kg kopi. Dengan uang Rp. 10.000,- Budi mendapatkan uang kembali Rp. 3.000,-. Dihari yang lain, Budi membeli
Lebih terperinciSISTEM PERSAMAAN LINEAR
SISTEM PERSAMAAN LINEAR BAB 1 Dr. Abdul Wahid Surhim POKOK BAHASAN 1.1 Pengantar Sistem Persamaan Linear (SPL) 1.2 Eliminasi GAUSS-JORDAN 1.3 Matriks dan operasi matriks 1.4 Aritmatika Matriks, Matriks
Lebih terperinci1.1 MATRIKS DAN JENISNYA Matriks merupakan kumpulan bilangan yang berbentuk segi empat yang tersusun dalam baris dan kolom.
Bab MATRIKS DAN OPERASINYA Memahami matriks dan operasinya merupakan langkah awal dalam memahami buku ini. Beberapa masalah real dapat direpresentasikan dalam bentuk matriks. Masalah tersebut antara lain
Lebih terperinciMatematika Teknik INVERS MATRIKS
INVERS MATRIKS Dalam menentukan solusi suatu SPL selama ini kita dihadapkan kepada bentuk matriks diperbesar dari SPL. Cara lain yang akan dikenalkan disini adalah dengan melakukan OBE pada matriks koefisien
Lebih terperinciBAB 2 LANDASAN TEORI
BAB 2 LANDASAN TEORI 2.1 Sistem Persamaan Linier Sistem Persamaan dengan m persamaan dan n bilangan tak diketahui ditulis dengan : Dimana x 1, x 2, x n : bilangan tak diketahui a,b : konstanta Jika SPL
Lebih terperinciModul 2.2 Matriks dan Sistem Persamaan Linear (Topik 3) A. Pendahuluan Matriks dan Sistem Persamaan Linear
Modul 2.2 Matriks dan Sistem Persamaan Linear (Topik 3) A. Pendahuluan Salah satu kajian matematika sekolah menengah yang memiliki banyak aplikasinya dalam menyelesaikan permasalahan yang ada dalam kehidupan
Lebih terperinciMATRIKS A = ; B = ; C = ; D = ( 5 )
MATRIKS A. DEFINISI MATRIKS Matriks adalah suatu susunan bilangan berbentuk segi empat dari suatu unsur-unsur pada beberapa sistem aljabar. Unsur-unsur tersebut bisa berupa bilangan dan juga suatu peubah.
Lebih terperinciMODUL ALJABAR LINEAR 1 Disusun oleh, ASTRI FITRIA NUR ANI
214 MODUL ALJABAR LINEAR 1 Disusun oleh, ASTRI FITRIA NUR ANI Astri Fitria Nur ani Aljabar Linear 1 1/1/214 1 DAFTAR ISI DAFTAR ISI... i BAB I MATRIKS DAN SISTEM PERSAMAAN A. Pendahuluan... 1 B. Aljabar
Lebih terperinciTujuan. Mhs dapat mendemonstrasikan operasi matriks: penjumlahan, perkalian, dsb. serta menentukan matriks inverse
Matriks Tujuan Mhs dapat mendemonstrasikan operasi matriks: penjumlahan, perkalian, dsb. serta menentukan matriks inverse Pengertian Matriks Adalah kumpulan bilangan yang disajikan secara teratur dalam
Lebih terperinciPart II SPL Homogen Matriks
Part II SPL Homogen Matriks SPL Homogen Bentuk Umum SPL homogen dalam m persamaan dan n variabel x 1, x 2,, x n : a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = 0 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a 2n x n = 0 a m1 x 1 + a
Lebih terperinciMatematika Teknik I: Matriks, Inverse, dan Determinan. Oleh: Dadang Amir Hamzah STT DR. KHEZ MUTTAQIEN 2015
Matematika Teknik I: Matriks, Inverse, dan Determinan Oleh: Dadang Amir Hamzah STT DR. KHEZ MUTTAQIEN 2015 Dadang Amir Hamzah (STT) Matematika Teknik I Semester 3, 2015 1 / 33 Outline 1 Matriks Dadang
Lebih terperinciAljabar Linier Lanjut. Kuliah 1
Aljabar Linier Lanjut Kuliah 1 Materi Kuliah (Review) Multiset Matriks Polinomial Relasi Ekivalensi Kardinal Aritmatika 23/8/2014 Yanita, FMIPA Matematika Unand 2 Multiset Definisi Misalkan S himpunan
Lebih terperinci5. PERSAMAAN LINIER. 1. Berikut adalah contoh SPL yang terdiri dari 4 persamaan linier dan 3 variabel.
1. Persamaan Linier 5. PERSAMAAN LINIER Persamaan linier adalah suatu persamaan yang variabel-variabelnya berpangkat satu. Disamping persamaan linier ada juga persamaan non linier. Contoh : a) 2x + 3y
Lebih terperinciBAB II LANDASAN TEORI. yang biasanya dinyatakan dalam bentuk sebagai berikut: =
BAB II LANDASAN TEORI 2.1 Matriks Definisi 2.1 (Lipschutz, 2006): Matriks adalah susunan segiempat dari skalarskalar yang biasanya dinyatakan dalam bentuk sebagai berikut: Setiap skalar yang terdapat dalam
Lebih terperinciI PENDAHULUAN II LANDASAN TEORI
I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Matriks merupakan istilah yang digunakan untuk menunjukkan jajaran persegi panjang dari bilangan-bilangan dan setiap matriks akan mempunyai baris dan kolom. Salah satu
Lebih terperinci03-Pemecahan Persamaan Linier (2)
-Pemecahan Persamaan Linier () Dosen: Anny Yuniarti, M.Comp.Sc Gasal - Anny Agenda Bagian : Matriks Invers Bagian : Eliminasi = Faktorisasi: A = LU Bagian : Transpos dan Permutasi Anny Bagian MATRIKS INVERS
Lebih terperinciM AT E M AT I K A E K O N O M I MATRIKS DAN SPL I N S TITUT P ERTA N I A N BOGOR
M AT E M AT I K A E K O N O M I MATRIKS DAN SPL TO N I BAKHTIAR I N S TITUT P ERTA N I A N BOGOR 2 0 1 2 Kesetimbangan Dua Pasar Permintaan kopi bergantung tidak hanya pada harganya tetapi juga pada harga
Lebih terperinciII. M A T R I K S ... A... Contoh II.1 : Macam-macam ukuran matriks 2 A. 1 3 Matrik A berukuran 3 x 1. Matriks B berukuran 1 x 3
11 II. M A T R I K S Untuk mencari pemecahan sistem persamaan linier dapat digunakan beberapa cara. Salah satu yang paling mudah adalah dengan menggunakan matriks. Dalam matematika istilah matriks digunakan
Lebih terperinci02-Pemecahan Persamaan Linier (1)
-Pemecahan Persamaan Linier () Dosen: Anny Yuniarti, M.Comp.Sc Gasal - Anny Agenda Bagian : Vektor dan Persamaan Linier Bagian : Teori Dasar Eliminasi Bagian 3: Eliminasi Menggunakan Matriks Bagian 4:
Lebih terperinci(Departemen Matematika FMIPA-IPB) Matriks Bogor, / 66
MATRIKS Departemen Matematika FMIPA-IPB Bogor, 2012 (Departemen Matematika FMIPA-IPB) Matriks Bogor, 2012 1 / 66 Topik Bahasan 1 Matriks 2 Operasi Matriks 3 Determinan matriks 4 Matriks Invers 5 Operasi
Lebih terperinciOperasi Pada Matriks a. Penjumlahan pada Matriks ( berlaku untuk matriks matriks yang berukuran sama ). Jika A = a ij. maka matriks A = ( a ij)
MATRIKS a a a... a n a a a... an A a a a... a n............... am am am... a mn Matriks A dengan m baris dan n kolom (A m n). Notasi Matriks : a, dimana a adalah elemen pada baris ke i kolom ke j Kesamaan
Lebih terperinciMUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR
MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR TIM DOSEN 1 Matriks dan Operasinya MATRIKS DAN OPERASINYA Sub Pokok Bahasan Matriks Jenis-jenis Matriks Operasi Matriks Operasi Baris Elementer Matriks Invers (Balikan)
Lebih terperinciMATRIKS DAN OPERASINYA. Nurdinintya Athari (NDT)
MATRIKS DAN OPERASINYA Nurdinintya Athari (NDT) MATRIKS DAN OPERASINYA Sub Pokok Bahasan Matriks dan Jenisnya Operasi Matriks Operasi Baris Elementer Matriks Invers (Balikan) Beberapa Aplikasi Matriks
Lebih terperinciALJABAR LINIER DAN MATRIKS
ALJABAR LINIER DAN MATRIKS MATRIKS (DETERMINAN, INVERS, TRANSPOSE) Macam Matriks Matriks Nol (0) Matriks yang semua entrinya nol. Ex: Matriks Identitas (I) Matriks persegi dengan entri pada diagonal utamanya
Lebih terperinciMATRIKS Nuryanto, ST., MT.
MateMatika ekonomi MATRIKS TUJUAN INSTRUKSIONAL KHUSUS Setelah mempelajari bab ini, anda diharapkan dapat : 1. Pengertian matriks 2. Operasi matriks 3. Jenis matriks 4. Determinan 5. Matriks invers 6.
Lebih terperinciDefinisi : det(a) Permutasi himpunan integer {1, 2, 3,, n}:
Definisi : Determinan dari matrik bujursangkar A berorde n adalah jumlah semua permutasi n (n!) hasil kali bertanda dari elemen-elemen matrik. Dituliskan : det(a) atau A (jr j r...j n ).a jr a j r...am
Lebih terperinciuiopasdfghjklzxcvbnmqwertyuiopasd fghjklzxcvbnmqwertyuiopasdfghjklzx wertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwertyui opasdfghjklzxcvbnmqwertyuiopasdfg
uiopasdfghjklzxcvbnmqwertyuiopasd Qwertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwerty cvbnmqwertyuiopasdfghjklzxcvbnmq fghjklzxcvbnmqwertyuiopasdfghjklzx wertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwertyui opasdfghjklzxcvbnmqwertyuiopasdfg
Lebih terperinciDIKTAT MATEMATIKA II
DIKTAT MATEMATIKA II (MATRIK) Drs. A. NABABAN PURNAWAN, S.Pd.,M.T JURUSAN PENDIDIKAN TEKNIK MESIN FAKULTAS PENDIDIKAN TEKNOLOGI DAN KEJURUAN UNIVERSITAS PENDIDIKAN INDONESIA 2004 MATRIKS I. PENGERTIAN
Lebih terperinciBAB MATRIKS. Tujuan Pembelajaran. Pengantar
BAB II MATRIKS Tujuan Pembelajaran Setelah mempelajari materi bab ini, Anda diharapkan dapat: 1. menggunakan sifat-sifat dan operasi matriks untuk menunjukkan bahwa suatu matriks persegi merupakan invers
Lebih terperinciDIAGONALISASI MATRIKS ATAS RING KOMUTATIF DENGAN ELEMEN SATUAN INTISARI
Buletin Ilmiah Mat. Stat. dan Terapannya (Bimaster) Volume 02, No. 3 (2013), hal. 183-190 DIAGONALISASI MATRIKS ATAS RING KOMUTATIF DENGAN ELEMEN SATUAN Fidiah Kinanti, Nilamsari Kusumastuti, Evi Noviani
Lebih terperinciALJABAR LINIER MAYDA WARUNI K, ST, MT ALJABAR LINIER (I)
ALJABAR LINIER MAYDA WARUNI K, ST, MT ALJABAR LINIER (I) 1 MATERI ALJABAR LINIER VEKTOR DALAM R1, R2 DAN R3 ALJABAR VEKTOR SISTEM PERSAMAAN LINIER MATRIKS, DETERMINAN DAN ALJABAR MATRIKS, INVERS MATRIKS
Lebih terperinciMatriks. Baris ke 2 Baris ke 3
Matriks A. Matriks Matriks adalah susunan bilangan yang diatur menurut aturan baris dan kolom dalam suatu jajaran berbentuk persegi atau persegi panjang. Susunan bilangan itu diletakkan di dalam kurung
Lebih terperinci8 MATRIKS DAN DETERMINAN
8 MATRIKS DAN DETERMINAN Matriks merupakan pengembangan lebih lanjut dari sistem persamaan linear. Oleh karenanya aljabar matriks sering juga disebut dengan aljabar linear. Matriks dapat digunakan untuk
Lebih terperinciDIAGONALISASI MATRIKS KOMPLEKS
Buletin Ilmiah Mat Stat dan Terapannya (Bimaster) Volume 04, No 3 (2015), hal 337-346 DIAGONALISASI MATRIKS KOMPLEKS Heronimus Hengki, Helmi, Mariatul Kiftiah INTISARI Matriks kompleks merupakan matriks
Lebih terperinciMETODE MATRIKS (MATRIKS) Mekanika Rekayasa IV. Norma Puspita, ST. MT. a 11 a 12 a 13 a 1n a 21 a 22 a 23 a 2n
METODE MATRIKS (MATRIKS) Mekanika Rekayasa IV Norma Puspita, ST MT Matriks Matriks adlah susunan bilangan (elemen) yang disusun menurut baris dan kolom sehingga berbentuk persegi panjang Matriks dinotasikan
Lebih terperinciBAB II SISTEM PERSAMAAN LINEAR. Sistem persamaan linear ditemukan hampir di semua cabang ilmu
BAB II SISTEM PERSAMAAN LINEAR Sistem persamaan linear ditemukan hampir di semua cabang ilmu pengetahuan. Di bidang ilmu ukur, diperlukan untuk mencari titik potong dua garis dalam satu bidang. Di bidang
Lebih terperinciAljabar Matriks. Aljabar Matriks
Aljabar Matriks No No Unit Unit Kompetensi 1 Menerapkan keamanan web dinamis 2 Membuat halaman web dinamis dasar 3 Membuat halaman web dinamis lanjut 4 Menerapkan web hosting 5 Menerapkan konten web memenuhi
Lebih terperinciModul Praktikum. Aljabar Linier. Disusun oleh: Machudor Yusman IR., M.Kom. Ucapan Terimakasih:
Modul Praktikum Aljabar Linier Disusun oleh: Machudor Yusman IR., M.Kom. Ucapan Terimakasih: David Abror Gabriela Minang Sari Hanan Risnawati Ichwan Almaza Nuha Hanifah Riza Anggraini Saiful Anwar Tri
Lebih terperinciBAB II MATRIKS POSITIF. Pada bab ini akan dibahas mengenai Teorema Perron, yaitu teori hasil kontribusi
BAB II MATRIKS POSITIF Pada bab ini akan dibahas mengenai Teorema Perron, yaitu teori hasil kontribusi dari seorang matematikawan German, Oskar Perron. Perron menerbitkan tulisannya tentang sifat-sifat
Lebih terperinciEigen value & Eigen vektor
Eigen value & Eigen vektor Hubungan antara vektor x (bukan nol) dengan vektor Ax yang berada di R n pada proses transformasi dapat terjadi dua kemungkinan : 1) 2) Tidak mudah untuk dibayangkan hubungan
Lebih terperinciMATRIKS. Matematika. FTP UB Mas ud Effendi. Matematika
MATRIKS FTP UB Mas ud Effendi Pokok Bahasan Transpos suatu matriks Matriks khusus Determinan suatu matriks bujursangkar Invers suatu matriks bujursangkar Penyelesaian set persamaan linier Nilai-eigen dan
Lebih terperinciG a a = e = a a. b. Berdasarkan Contoh 1.2 bagian b diperoleh himpunan semua bilangan bulat Z. merupakan grup terhadap penjumlahan bilangan.
2. Grup Definisi 1.3 Suatu grup < G, > adalah himpunan tak-kosong G bersama-sama dengan operasi biner pada G sehingga memenuhi aksioma- aksioma berikut: a. operasi biner bersifat asosiatif, yaitu a, b,
Lebih terperinciBAB II LANDASAN TEORI
BAB II LANDASAN TEORI A. Matriks 1. Pengertian Matriks Definisi II. A. 1 Matriks didefinisikan sebagai susunan segi empat siku- siku dari bilangan- bilangan yang diatur dalam baris dan kolom (Anton, 1987:22).
Lebih terperinciMatriks Jawab:
Matriks A. Operasi Matriks 1) Penjumlahan Matriks Jika A dan B adalah sembarang Matriks yang berordo sama, maka penjumlahan Matriks A dengan Matriks B adalah Matriks yang diperoleh dengan cara menjumlahkan
Lebih terperinciBAB 2 LANDASAN TEORI
BAB 2 LANDASAN TEORI Pada bab ini akan dipaparkan mengenai konsep dasar tentang matriks meliputi definisi matriks, jenis-jenis matriks, operasi matriks, determinan, kofaktor, invers suatu matriks, serta
Lebih terperinciBAB I MATRIKS DEFINISI : NOTASI MATRIKS :
BAB I MATRIKS DEFINISI : Matriks adalah himpunan skalar (bilangan riil atau kompleks) yang disusun/dijajarkan berbentuk persegi panjang (menurut baris dan kolom). Skalar-skalar itu disebut elemen matriks.
Lebih terperinciBAB II KAJIAN TEORI. yang diapit oleh dua kurung siku sehingga berbentuk empat persegi panjang atau
BAB II KAJIAN TEORI Pada bab ini akan diberikan kajian teori mengenai matriks dan operasi matriks, program linear, penyelesaian program linear dengan metode simpleks, masalah transportasi, hubungan masalah
Lebih terperinciDETERMINAN. Determinan matriks hanya didefinisikan pada matriks bujursangkar (matriks kuadrat). Notasi determinan matriks A: Jika diketahui matriks A:
DETERMINAN Definisi Determinan Matriks Determinan matriks adalah bilangan tunggal yang diperoleh dari semua permutasi elemen matriks bujur sangkar.jika subskrip permutasi elemen matriks adalah genap (inversi
Lebih terperinciMatriks - Definisi. Sebuah matriks yang memiliki m baris dan n kolom disebut matriks m n. Sebagai contoh: Adalah sebuah matriks 2 3.
MATRIKS Pokok Bahasan Matriks definisi Notasi matriks Matriks yang sama Panambahan dan pengurangan matriks Perkalian matriks Transpos suatu matriks Matriks khusus Determinan suatu matriks bujursangkar
Lebih terperinciPertemuan 2 Matriks, part 2
Pertemuan 2 Matriks, part 2 Beberapa Jenis Matriks Khusus 1. Matriks Bujur Sangkar Suatu matriks dengan banyak baris = banyak kolom = n disebut matriks bujur sangkar berukuran n (berordo n). Barisan elemen
Lebih terperinciALJABAR LINEAR ELEMENTER
BAHAN AJAR ALJABAR LINEAR ELEMENTER Disusun oleh : Indah Emilia Wijayanti Al. Sutjijana Jurusan Matematika Fakultas MIPA Universitas Gadjah Mada Desember, 22 ii Daftar Isi Sistem Persamaan Linear dan Matriks.
Lebih terperinciBAB 2. DETERMINAN MATRIKS
BAB. DETERMINAN MATRIKS DETERMINAN MATRIKS . Definisi DETERMINAN Determinan : produk (hasil kali) bertanda dari unsur-unsur matriks sedemikian hingga berasal dari baris dan kolom yang berbeda, kemudian
Lebih terperinci2. MATRIKS. 1. Pengertian Matriks. 2. Operasi-operasi pada Matriks
2. MATRIKS 1. Pengertian Matriks Matriks adalah himpunan skalar yang disusun secara empat persegi panjang menurut baris dan kolom. Matriks diberi nama huruf besar, sedangkan elemen-elemennya dengan huruf
Lebih terperinciMATRIKS VEKTOR DETERMINAN SISTEM LINEAR ALJABAR LINEAR
MATRIKS VEKTOR DETERMINAN SISTEM LINEAR ALJABAR LINEAR 7.1 Matriks DEFINISI Susunan bilangan (fungsi) berbentuk persegi panjang yang ditutup dengan tanda kurung. Bilangan (fungsi) disebut entri-entri matriks.
Lebih terperinciBAB 2 LANDASAN TEORI
BAB 2 LANDASAN TEORI Dalam bab ini akan diberikan beberapa materi yang akan diperlukan di dalam pembahasan, seperti: matriks secara umum; matriks yang dipartisi; matriks tereduksi dan taktereduksi; matriks
Lebih terperincia11 a12 x1 b1 Kumpulan Materi Kuliah #1 s/d #03 Tahun Ajaran 2016/2016: Oleh: Prof. Dr. Ir. Setijo Bismo, DEA.
a11 a12 x1 b1 a a x b 21 22 2 2 Kumpulan Materi Kuliah #1 s/d #03 Tahun Ajaran 2016/2016: Oleh: Prof. Dr. Ir. Setijo Bismo, DEA. a11 a12 x1 b1 a a x b 21 22 2 2 a11 a12 x1 b1 a a x b 21 22 2 2 Setijo Bismo
Lebih terperincia11 a12 x1 b1 Lanjutan Mencari Matriks Balikan dengan OBE
a11 a12 x1 b1 a a x b 21 22 2 2 Lanjutan Mencari Matriks Balikan dengan OBE a11 a12 x1 b1 a a x b 21 22 2 2 Untuk DIPERHATIKAN! a A c Untuk mencari Matriks INVERS ordo 2, rumus: 1 1 d b A a d b c c a b
Lebih terperinciMATEMATIKA INFORMATIKA 2 TEKNIK INFORMATIKA UNIVERSITAS GUNADARMA FENI ANDRIANI
MATEMATIKA INFORMATIKA 2 TEKNIK INFORMATIKA UNIVERSITAS GUNADARMA FENI ANDRIANI SAP (1) Buku : Suryadi H.S. 1991, Pengantar Aljabar dan Geometri analitik Vektor Definisi, Notasi, dan Operasi Vektor Susunan
Lebih terperinciAnalisis Matriks. Ahmad Muchlis
Analisis Matriks Ahmad Muchlis January 22, 2014 2 Notasi Pada umumnya matriks yang kita bicarakan dalam naskah ini adalah matriks kompleks. Himpunan semua matriks kompleks [real] berukuran m n dinyatakan
Lebih terperinciTUGAS MANDIRI MATRIKS. Mata Kuliah : Matematika ekonomi
TUGAS MANDIRI MATRIKS Mata Kuliah : Matematika ekonomi NamaMahasiswa : Suriani NIM : 140610098 Kode Kelas Dosen : 141-MA112-M6 : NeniMarlinaPurbaS.Pd UNIVERSITAS PUTERA BATAM 2014 KATA PENGANTAR Puji syukur
Lebih terperinciAljabar Linear Elementer MA SKS. 07/03/ :21 MA-1223 Aljabar Linear 1
Aljabar Linear Elementer MA SKS 7//7 : MA- Aljabar Linear Jadwal Kuliah Hari I Hari II jam jam Sistem Penilaian UTS 4% UAS 4% Quis % 7//7 : MA- Aljabar Linear Silabus : Bab I Matriks dan Operasinya Bab
Lebih terperinciMATRIKS. 3. Matriks Persegi Matriks persegi adalah matriks yang mempunyai baris dan kolom yang sama.
MATRIKS Matriks adalah susunan berbeda dalam bentuk persegi panjang yang diatur pada baris dan kolom. NOTASI MATRIKS DAN ORDO MATRIKS Notasi matriks biasanya dituliskan dalam huruf kapital (huruf besar)
Lebih terperinciLEMBAR AKTIVITAS SISWA MATRIKS
Nama Siswa Kelas : : LEMBAR AKTIVITAS SISWA MATRIKS Notasi dan Ordo Matriks Lengkapilah isian berikut! Suatu matriks biasanya dinotasikan dengan huruf kapital, misalnya: A. PENGERTIAN MATRIKS 1) Tabel
Lebih terperinciMATRIKS. 2. Matriks Kolom Matriks kolom adalah matriks yang hanya mempunyai satu kolom. 2 3 Contoh: A 4 x 1 =
NAMA : KELAS : 1 2 MATRIKS Matriks adalah susunan berbeda dalam bentuk persegi panjang yang diatur pada baris dan kolom. NOTASI MATRIKS DAN ORDO MATRIKS Notasi matriks biasanya dituliskan dalam huruf kapital
Lebih terperinciMatriks adalah susunan segi empat siku-siku dari objek yang diatur berdasarkan baris (row) dan kolom (column). Objek-objek dalam susunan tersebut
Matriks adalah susunan segi empat siku-siku dari objek yang diatur berdasarkan baris (row) dan kolom (column). Objek-objek dalam susunan tersebut dinamakan entri dalam matriks atau disebut juga elemen
Lebih terperinciSISTEM PERSAMAAN LINEAR
Pokok Bahasan : Sistem persamaan linier Sub Pokok Bahasan : Sistem persamaan linier Eliminasi Gauss Eliminasi Gauss Jordan Penyelesaian SPL dengan invers SISTEM PERSAMAAN LINEAR Tujuan : Menyelesaikan
Lebih terperinciPAM 252 Metode Numerik Bab 3 Sistem Persamaan Linier
PAM 252 Metode Numerik Bab 3 Sistem Persamaan Linier Mahdhivan Syafwan Jurusan Matematika FMIPA Universitas Andalas Semester Genap 2013/2014 1 Mahdhivan Syafwan Metode Numerik: Sistem Persamaan Linier
Lebih terperinciII. TINJAUAN PUSTAKA. Suatu matriks didefinisikan dengan huruf kapital yang dicetak tebal, misalnya A,
II. TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Konsep-konsep Matriks Definisi Matriks Suatu matriks didefinisikan dengan huruf kapital yang dicetak tebal, misalnya A, B, X, Y. Elemen-elemen di dalamnya disebut skalar yang berasal
Lebih terperinciMatriks biasanya dituliskan menggunakan kurung dan terdiri dari baris dan kolom: A =
Bab 2 cakul fi080 by khbasar; sem1 2010-2011 Matriks Dalam BAB ini akan dibahas mengenai matriks, sifat-sifatnya serta penggunaannya dalam penyelesaian persamaan linier. Matriks merupakan representasi
Lebih terperinciMAKALAH ALJABAR LINEAR TRANSFORMASI LINEAR ATAU PEMETAAN LINEAR
MAKALAH ALJABAR LINEAR TRANSFORMASI LINEAR ATAU PEMETAAN LINEAR Disusun oleh : 1. Supriyani (0903040095) 2. Sri Hartati (0903040113) 3. Anisatul M. (0903040065) TEKNIK INFORMATIKA FAKULTAS TEKNIK UNIVERSITAS
Lebih terperinciSISTEM PERSAMAAN LINEAR ( BAGIAN II )
SISTEM PERSAMAAN LINEAR ( BAGIAN II ) D. FAKTORISASI MATRIKS D2 2. METODE ITERASI UNTUK MENYELESAIKAN SPL D3 3. NILAI EIGEN DAN VEKTOR EIGEN D4 4. POWER METHOD Beserta contoh soal untuk setiap subbab 2
Lebih terperinciBAB 2 LANDASAN TEORI
BAB 2 LANDASAN TEORI Pada bab ini akan dibahas beberapa definisi dan teorema dengan atau tanpa bukti yang akan digunakan untuk menentukan regularisasi sistem singular linier. Untuk itu akan diberikan terlebih
Lebih terperinciMATEMATIKA. Sesi MATRIKS CONTOH SOAL A. MATRIKS SATUAN (MATRIKS IDENTITAS)
MATEMATIKA KELAS XII - KURIKULUM GABUNGAN 10 Sesi N MATRIKS A. MATRIKS SATUAN (MATRIKS IDENTITAS) Masih ingat angka 1 kan, setiap bilangan yang dikali satu apakah berubah? Tentunya tidak. Matriks satuan
Lebih terperinciMATRIKS Matematika Industri I
MATRIKS TIP FTP UB Mas ud Effendi Pokok Bahasan Matriks definisi Notasi matriks Matriks yang sama Panambahan dan pengurangan matriks Perkalian matriks Transpos suatu matriks Matriks khusus Determinan suatu
Lebih terperinciMATRIKS Matematika Industri I
MATRIKS TIP FTP UB Mas ud Effendi Pokok Bahasan Matriks definisi Notasi matriks Matriks yang sama Panambahan dan pengurangan matriks Perkalian matriks Transpos suatu matriks Matriks khusus Determinan suatu
Lebih terperinciBAB 2 LANDASAN TEORI
BAB 2 LANDASAN TEORI 2.1 Himpunan Konvek Definisi 2.1.1. Suatu himpunan C di R n dikatakan konvek jika untuk setiap x, y C dan setiap bilangan real α, 0 < α < 1, titik αx + (1 - α)y C atau garis penghubung
Lebih terperinciVektor. Vektor. 1. Pengertian Vektor
Universitas Muhammadiyah Sukabumi Artikel Aljabar Vektor dan Matriks Oleh : Zie_Zie Vektor Vektor 1. Pengertian Vektor a. Definisi Vektor adalah suatu besaran yang mempunyai nilai (besar) dan arah. Contohnya
Lebih terperinciPertemuan 1 Sistem Persamaan Linier dan Matriks
Matriks & Ruang Vektor Pertemuan Sistem Persamaan Linier dan Matriks Start Matriks & Ruang Vektor Outline Materi Pengenalan Sistem Persamaan Linier (SPL) SPL & Matriks Matriks & Ruang Vektor Persamaan
Lebih terperinciBanyaknya baris dan kolom suatu matriks menentukan ukuran dari matriks tersebut, disebut ordo matriks
MATRIKS DEFINISI Matriks adalah susunan bilangan real atau bilangan kompleks (atau elemen-elemen) yang disusun dalam baris dan kolom sehinggga membentuk jajaran persegi panjang. Matriks memiliki m baris
Lebih terperinciMATRIKS. kolom, sehingga dapat dikatakan matriks berordo 3 1 Penamaan suatu matriks biasa menggunakan huruf kapital
MATRIKS A. Pengertian, Notasi dan Ordo Suatu Matriks Matriks adalah susunan bilangan yang diatur berdasarkan baris dan kolom sehingga membentuk persegi panjang. Ukuran panjang dan lebar matriks ditentukan
Lebih terperinciCatatan Kuliah Aljabar Linier
Catatan Kuliah Suryadi Siregar Sekolah Tinggi Manajemen Informatika dan Komputer Bandung BANDUNG 018 Kata Pengantar Bagian pertama, buku ini membahas tentang, operasi vektor dan aplikasi perkalian vektor.
Lebih terperinciSATUAN ACARA PERKULIAHAN MATA KULIAH : ALJABAR LINIER JURUSAN : TEKNIK KOMPUTER JUMLAH SKS : Definisi, Notasi, dan Operasi Vektor 2.
SATUAN ACARA PERKULIAHAN MATA KULIAH : ALJABAR LINIER JURUSAN : TEKNIK KOMPUTER JUMLAH SKS : 3 Minggu Ke Pokok Bahasan dan TIU Sub Pokok Bahasan Sasaran Belajar Cara Pengajaran Media Tugas Referens i 1
Lebih terperinciLEMBAR AKTIVITAS SISWA MATRIKS
Nama Siswa Kelas : : LEMBAR AKTIVITAS SISWA MATRIKS Notasi dan Ordo Matriks Lengkapilah isian berikut! Suatu matriks biasanya dinotasikan dengan huruf kapital, misalnya: A. PENGERTIAN MATRIKS 1) Tabel
Lebih terperinci