MATRIKS A = ; B = ; C = ; D = ( 5 )
|
|
- Ratna Indradjaja
- 6 tahun lalu
- Tontonan:
Transkripsi
1 MATRIKS A. DEFINISI MATRIKS Matriks adalah suatu susunan bilangan berbentuk segi empat dari suatu unsur-unsur pada beberapa sistem aljabar. Unsur-unsur tersebut bisa berupa bilangan dan juga suatu peubah. Nama matriks menggunakan huruf besar seperti A, B, C dst. Sedangkan anggota (elemen) dari matriks yang berupa huruf dituliskan menggunakan huruf kecil. Tanda yang digunakan untuk mengurung elemen-elemen matriks menggunakan tanda atau. Contoh 1.1: A = ; B = ; C = ; D = ( 5 ) Elemen-elemen matriks pada garis horizontal disebut dengan baris, dan elemen-elemen pada garis vertical disebut dengan kolom. Ukuran dari suatu matriks yang disebut dengan Dimensi atau Ordo ditentukan oleh banyaknya baris di kali dengan banyaknya kolom yang ada didalam suatu matriks. Contoh 1.2: E = baris kolom Nama Matriks Tanda kurung matriks
2 Pada Matriks E mempunyai 3 baris dan dan 2 kolom yaitu adalah baris pertama, adalah baris kedua dan adalah baris ketiga, sedangkan adalah kolom pertama dan adalah kolom kedua. Sehingga dimensi atau ordo dari matriks E adalah 3x2 (dibaca: tiga kali dua). Notasi A =, untuk menyatakan matrik secara umum dan menunjukkan letak suatu elemen matriks. Dengan i menunjukkan letak baris dan j menunjukkan letak kolom. Contoh 1.3 A= Perhatikan matriks A, elemen adalah elemen pada baris pertama kolom kedua; sedangkan elemen adalah elemen pada baris kedua kolom ketiga, dan seterusnya. Sehingga matriks A mempunyai 4 baris dan 3 kolom, dimensi dari A adalah 4x3 dapat ditulis dengan A 4x3. Sehingga bentuk umum dari suatu matriks adalah sebagai berikut: A = Matriks A di atas mempunyai m baris dan n kolom. Dalam notasi yang lebih singkat, A dapat ditulis dengan: A = ( dimana i = 1, 2, 3,., m j = 1, 2, 3,., n sehingga dimensi A adalah mxn yang bisa ditulis dengan A mxn.
3 B. JENIS JENIS MATRIKS (Bagian I) 1. Matriks Baris dan Matriks Kolom Matriks Baris adalah suatu matriks yang hanya mempunyai satu baris saja. Matriks kolom adalah suatu matriks yang hanya mempunyai satu kolom saja. Contoh 1.4 : A = B = adalah matriks baris berdimensi 1x3 adalah matriks kolom berordo 2x1 2. Matriks Persegi (Square Matriks) Suatu matriks A = disebut sebagai matrik persegi (matriks bujur sangkar) bila i = j = 1, 2, 3, n. atau dengan kata lain banyaknya baris dan banyaknya kolom suatu matriks sama. Matriks persegi mempunyai dimensi nxn. Bentuk umum dari matriks persegi adalah sebagai berikut: A = Pada matriks persegi A diatas elemen,,, disebut sebagai diagonal utama dari matriks A. jumlah dari semua elemen-elemen diagonal dari suatu matriks persegi disebut dengan trace. Sehingga trace A = + + ) = 3. Matriks Nol (Zero Matriks) Suatu matriks yang semua elemennya adalah 0 (nol) disebut dengan matriks nol. Matriks nol dilambangkan dengan O. Contoh 1.5: ; 4. Matriks Identitas Suatu matriks persegi yang semua elemen diagonalnya adalah 1 dan selain elemen diagonal adalah 0 maka dinamakan matriks identitas. Matriks identitas biasanya dinotasikan dengan I. Karena matriks I berdimensi n, sehingga dinotasikan dengan I n.
4 Jadi, 5. Matriks Bagian (Sub-Matriks) Sebuah matriks dapat dibagi atau dipartisi menjadi matriks-matriks yang lebih kecil dengan menghilangkan salah satu atau lebih vektor-vektor baris dan atau vektorvektor kolom yang sudah ditentukan. Matriks-matriks yang dihasilkan dari partisi tersebut dinamakan submatriks atau matriks bagian. Contoh 1.6 : Diketahui matriks M = diperoleh matriks bagian dengan menghilangkan vektor kolom ketiga. Menghilangkan vektor baris pertama dan vektor kolom kedua diperoleh matriks bagian matriks bagian dari M? dan seterusnya. Berapa banyaknya Contoh 1.7: Andaikan matriks persegi Q=. Menghilangkan vektor baris kedua dan kolom kedua diperoleh submatriks. Menghilangkan vektor baris pertama dan ketiga serta vektor kolom pertama dan ketiga diperoleh submatriks (2) dan seterusnya. Perhatikan bahwa diagonal matriks Q= tetap menjadi diagonal pada submatriks dan (2). Submatriks yang diperoleh disebut dengan matriks bagian utama (submatriks principal). Sehingga dan (2) disebut sebagai submatriks principal. Submatriks principal yang lain dari matriks Q adalah dan (6).
5 C. Operasi Matriks 1. Kesamaan Dua Matriks Definisi: Dua matriks didefinisikan sama jika keduanya mempunyai ukuran atau dimensi yang sama dan elemen-elemen yang berpadanan sama. Dalam notasi matriks, jika A = ( dan B = ( mempunyai ukuran yang sama maka A=B jika dan hanya jika, atau secara ekuivalen, untuk semua i dan j. Contoh 1.8: Diketahui matriks B=, C= D= Jika x = 5, maka B=C, tetapi untuk nilai x yang lainnya matriks B dan C tidak sama. Tidak ada nilai x yang membuat B = D karena B dan D mempunyai ukuran atau dimensi yang berbeda. 2. Penjumlahan dan Pengurangan Matriks Definisi: jika A dan B adalah matriks-matriks berukuran (berdimensi) sama, maka jumlah A+B adalah matriks yang diperoleh dengan menambahkan elemen-elemen A dengan elemen-elemen B yang letaknya bersesuaian, dan selisih A-B adalah matriks yang diperoleh dengan mengurangkan elemen-elemen A dengan elemen-elemen B yang letaknya bersesuaian. Matriks-matriks yang berukuran berbeda tidak dapat ditambahkan atau dikurangkan. Contoh 1.9: Andaikan A =, B=, C= A+B = + = = A-B = - = = Perhatikan bahwa matriks A dan B masing-masing berdimensi 3x2 sehingga dapat dilakukan operasi penjumlahan dan pengurangan matriks dan matriks hasil operasinya juga tetap berdimensi 3x2. Tidak dapat dilakukan operasi penjumlahan B+C sebab dimensi kedua matriks tidak sama.
6 Andaikan dua buah matriks A = (, B = ( dan C = ( yang dapat dilakukan operasi penjumlahan memenuhi sifat-sifat: a. Komutatif; A+B = B+A Bukti: b. Asosiatif; (A+B)+C = A + (B+C) Bukti: c. Identitas Penjumlahan Untuk setiap matriks A = ( berdimensi mxn selalu ada matriks nol (0) berdimensi mxn, demikian sehingga: A+0 = 0+A = A. matriks 0 ini disebut matriks identitas penjumlahan. Bukti: d. Invers Aditif (invers penjumlahan) Untuk setiap matriks A = ( berdimensi mxn selalu ada matriks -A = (- sedemikian hingga A + (-A) = (-A) + (A) = 0, dimana 0 adalah matriks nol yang berdimensi sama dengan matriks A. Matriks -A disebut dengan lawan atau negatif dari matriks A, atau invers penjumlahan dari A. Dari sifat yang terakhir ini, dapat dipahami bahwa jika dua matriks A dan B yang mempunyai dimensi yang sama, maka: A-B = A + (-B). jadi mengurangi matriks A dengan matriks yang lain adalah sama saja menambah matriks A tersebut dengan negatif dari matriks yang lain. 3. Perkalian Skalar Definisi: jika A adalah sembarang matriks dan c adalah sembarang scalar, maka hasil kali ca adalah matriks yang diperoleh dengan mengalikan setiap elemen A dengan c. Dalam notasi matriks, jika A = (, maka ca = c ( Contoh 1.10: Untuk matriks-matriks: A=, B=, C= 2A = 2 =
7 (-1)B = (-1) = = Sifat-sifat perkalian skalar dengan matriks: a. Andaikan k dan s adalah skalar dan A = ( matriks, maka: (k+s) A = ka + sa Bukti: b. Andaikan k skalar dan A = ( serta B = ( adalah dua matriks yang berdimensi sama, maka: k (A+B) = ka +kb Bukti: c. Andaikan k dan s skalar serta matriks A = (, maka: K (sa) = (ks) A Bukti: d. Andaikan k skalar, dan matriks A = (, maka ka = Ak Bukti: e. Jika skalar k =1, maka 1A = A Sehubungan dengan sifat ini maka (-1) A = -A 4. Perkalian Matriks Definisi: jika A adalah sebuah matriks m x r dan B adalah sebuah matriks r x n, maka hasil kali AB adalah matriks m x n yang elemen-elemennya didefinisikan sebagai berikut. Untuk mencari elemen dalam baris i dan kolom j dari AB, pilih baris i dari matriks A dan kolom j dari matriks B. Kalikan elemen-elemen yang bersesuaian dari baris dan kolom secara bersama-sama dan kemudian jumlahkan hasil kalinya. Andaikan matriks baris A = ( dan matriks B = Jika AB = C, maka:
8 C = ( = ( C = AB = Perhatikan bahwa dimensi matriks A adalah 1xn dan dimensi dari matriks kolom B adalah nx1 sehingga matriks C= AB mempunyai dimensi 1x1. Untuk matriks yang bukan matriks baris atau matriks kolom, operasinya adalah sebagai berikut. Andaikan A=, dan B= Atau: A = ( ; i = 1, 2, 3,, m; j = 1, 2, 3,,p B = ( ; i = 1, 2, 3, p; j= 1, 2, 3, n AB = C = ( = ; i = 1, 2, 3,, m; j= 1, 2, 3,, n. Dimana: Dua matriks dapat dilakukan operasi perkalian jika banyaknya elemen dari matriks baris A harus sama dengan banyaknya elemen dari matriks kolom B. Oleh karena itu perkalian matriks sering juga disebut dengan perkalian baris kali kolom. Contoh 1.11: Diketahui D=, E= Hitunglah DE dan ED!
9 DE = = = ED = = Apa yang dapat disimpulkan dari contoh 1.11? Sifat-sifat perkalian matriks: Andaikan A = (, B = ( dan C = ( adalah matriks-matriks yang dimensinya sesuai untuk perkalian dan penjumlahan, maka perkalian matriks bersifat: a. Distributif 1) A (B+C) = AB + AC distributif kiri 2) (A+B) C = AC +BC distributif kanan Bukti b. Asosiatif; A(BC) = (AB) C Bukti D. JENIS JENIS MATRIKS (Bagian II) 1. Matriks Eselon Matriks A, untuk A = ( berdimensi mxn disebut matriks eselon baris atau matriks eselon jika dan hanya jika memenuhi sifat: a. Setiap baris yang semua elemennya nol terletak sesudah baris yang mempunyai elemen tidak nol b. Pada setiap baris yang mempunyai elemen tidak nol; elemen tidak nol yang pertama harus terletak dikolom sebelah kanan elemen tidak nol baris sebelumnya. Elemen tidak nol pertama dari suatu baris disebut unsure utama atau elemen pivot. Contoh 1.12:
10 A = ; B= Elemen yang dilingkari menunjukkan elemen pivot. 2. Matriks Segitiga a. Matriks Segitiga Atas Matriks A, untuk A = ( berdimensi nxn dan elemen-elemen = 0 untuk i > j disebut dengan matriks segitiga atas. Atau dengan kata lain Matriks segitiga atas merupakan matriks persegi dengan semua elemen di bawah diagonalnya adalah. Secara umum matriks segitiga atas berbentuk: Contoh : Misalkan b. Matriks Segitiga Bawah Matriks A = ( berdimensi nxn dan elemen-elemen = 0 untuk i < j disebut dengan matriks segitiga bawah. Atau dengan kata lain Matriks segitiga bawah merupakan matriks persegi dengan semua elemen di atas diagonalnya adalah. Secara umum matriks segitiga bawah berbentuk: Contoh: 3. Matriks Diagonal Matriks A, untuk A = ( berdimensi nxn dan elemen-elemen = 0 untuk i > j dan i < j disebut dengan matriks diagonal. Suatu matriks yang memenuhi sifat matriks segitiga atas maupun segitiga bawah disebut matriks diagonal. Atau dengan kata lain
11 suatu matriks persegi yang semua elemen selain diagonalnya adalah 0 dinamakan matriks diagonal. Matriks Diagonal dinotasikan dengan D. Secara umum matriks segitiga atas berbentuk: Perhatikan bahwa semua elemen-elemen diluar posisi elemen diagonal nilainya 0 (nol) Contoh 1.13: B= 4. Matriks Identitas Dari matriks diagonal D = jika nilai = dimana k adalah sebuah skalar, maka matriks ini disebut matriks skalar. Jika k= 1 maka matriks dinamakan matriks identitas. Contoh 1.14: S =, matriks skalar. Untuk k = 1 I=, matriks identitas berdimensi 4 Secara umum matriks I berdimensi n, dinotasikan dengan:
12 Matriks-matriks I dinamakan matriks identitas untuk perkalian matriks karena untuk sembarang matriks A berdimensi mxn selalu ada matriks identitas untuk perkalian dengan A, sedemikian hingga IA = AI = A (coba buktikan!) 5. Matriks Komutatif, Idempoten dan Periodik Dua matriks persegi A = ( dan B = ( yg berdimensi sama disebut komutatif (commute) jika berlaku AB = BA. Sebaliknya, disebut anti komutatif (anticommute) jika berlaku AB = - BA. Matriks persegi A = ( yang berlaku A k+1 = A, dengan k bilangan bulat positif, disebut matriks periodik. Untuk k = 1, berarti A 2 = A, maka A disebut matriks idempoten. Matriks persegi A = ( yang berlaku A p = 0, untuk p bilangan bulat positif disebut matriks nilpoten. Contoh: 1. Andaikan matriks B = B 2 = = B 3 =B 2 B= = =B Tampak bahwa B 3 = B 2+1 = B ini berarti matriks B adalah periodic dengan periode Matriks E = E 2 = EE = = = E Tampak bahwa E 2 = E, berarti matriks E adalah matriks idempoten. 3. Matriks F = F 2 = FF = = F 3 =F 2 F = = = O Karena F 3 = O, maka F adalah nilpoten indeks 3
13 6. Matriks Invers Andaikan A = ( dan B = ( dua matriks persegi berdimensi sama sehingga berlaku : AB = BA = I, maka B disebut invers A ditulis dengan B = A -1. Atau A invers B ditulis dengan A = B -1. Dengan demikian bentuk: AB = BA = I A A -1 = A -1 A=I atau juga B -1 B=B B -1 =I Suatu matriks yang mempunyai invers disebut matriks yang invertible atau matrik non singular. Contoh: Matriks dan saling invers, sebab: = = I Andaikan invers dari matriks A adalah A -1 dan invers dari matriks B adalah B -1 maka berlaku sifat (AB) -1 = B -1 A Transpose Matriks Transpose matriks diperoleh dengan menukar baris menjadi kolom seletak, atau sebaliknya. Transpose dari matriks biasanya dinotasikan dengan. Dalam notasi adalah sebagai berikut: A = A T = dimana = Misalkan dengan Transpose dari, yaitu Dengan demikian bila matriks A = berdimensi mxn, maka matriks A T =( akan berdimensi nxm.
14 Contoh : Misalkan maka transpose dari adalah Dari definisi transpose matriks tersebut diturunkan beberapa sifat yang berhubungan dengan transpose matriks, yaitu: 1. (A T ) T = A 2. (A + B) T = A T + B T 3. (AB) T = B T A T Bukti: 8. Matriks Simetri dan Matriks Simetri Miring Andaikan A = adalah matriks persegi berdimensi n. Matriks A dikatakan Matriks simetri yang memenuhi. Contoh : Misalkan maka. Berarti matriks A adalah matriks simetri. Sedangkan untuk matriks A = dikatakan Matriks simetri miring yang memenuhi adalah matriks persegi berdimensi n. Matriks A. Karena untuk setiap I dan j. khusus untuk diagonal (i=j), maka artinya elemen diagonal suatu matriks miring adalah berupa bilangan yang sama dengan negatifnya, bilangan tersebut adalah bilangan 0. Contoh : C = ; C T = = - = -C Karena C T = -C maka C adalah matriks simetri miring. 9. Conjugate Matriks Misalkan adalah matriks dengan elemen-elemen dalam matriksnya merupakan bilangan kompleks. Untuk bilangan kompleks z = a+bi maka conjugate bilangan kompleks z dinotasikan dengan =. Conjugate dari adalah dirinya sendiri.. Jadi conjugate dari conjugate bilangan kompleks adalah
15 Andaikan A adalah suatu matriks dengan elemen-elemen bilangan kompleks, maka conjugate dari matriks dinotasikan dengan adalah suatu matriks yang diperoleh dengan mencari conjugate dari setiap elemen-elemen matriks A. Contoh: A = ; Andaikan A = dan B = adalah matriks-matriks yang mempunyai elemen bilangan kompleks, dan masing-masing conjaget dari A dan B, serta k adalah skalar dengan adalah conjugate dari k, maka: a. b. c. d. e. notasi untuk transpose dari conjugate (conjugate dari transpose) suatu matriks A adalah A H. Jadi dalam hal ini A H = atau A H =. 10. Matriks Hermitian dan Skew Hermitian Matriks persegi A = berdimensi n dikatakan Matriks Hermitian jika dan hanya jika berlaku A H = A. berdasarkan definisi tersebut matriks A adalah hermitian jika unsure-unsurnya berlaku hubungan untuk setiap i dan j. Khusus untuk elemen diagonal, i=j maka haruslah yang berarti menggambarkan suatu bilangan yang sama dengan conjugatenya. Jadi elemen diagonal dari matriks hermitian adalah bilangan real. Contoh: Tunjukkan bahwa A = adalah hermitian! Solusi: =A
16 Matriks persegi A = berdimensi n dikatakan Matriks Skew Hermitian jika dan hanya jika berlaku A H =- A. berdasarkan definisi tersebut matriks A adalah hermitian jika unsure-unsurnya berlaku hubungan untuk setiap i dan j. Khusus untuk elemen diagonal, i=j maka haruslah yang berarti menggambarkan suatu bilangan yang sama dengan negatif conjugatenya. Jadi elemen diagonal dari matriks hermitian adalah bilangan 0 atau bilangan imajiner. Contoh: Tunjukkan bahwa C = adalah skew hermitian! Solusi: = -C 11. Matriks Ortogonal Matriks persegi A = berdimensi n disebut Matriks ortogonal jika dan hanya jika memenuhi AA T =I=A T A. Disisi lain pada pembahasan tentang matriks invers, untuk matriks persegi A yang non-singular maka ada invers A, ditulis sehingga berlaku Contoh: Tunjukkan bahwa matriks B = matriks orthogonal! Solusi:
17 B T = B B T = = = I Jadi B adalah matriks orthogonal. 12. Matriks Uniter Matriks persegi A = berdimensi n dengan elemen matriks adalah bilangan kompleks. Matriks disebut Matriks uniter jika berlaku A H A= I = AA H. Sehubungan dengan matriks invers maka matriks uniter adalah matriks yang mempunyai invers sana dengan conjugate transposenya A H. Contoh: Tunjukkan bahwa matriks C = adalah uniter! Solusi: ; C H = C H C= = =I CC H = = =I Jadi, C adalah uniter. 13. Matriks Normal Matriks persegi A = berdimensi n yang memenuhi AA T = A T A (untuk anggotaanggota A adalah bilangan real); atau A H A=AA H (untuk anggota-anggota A adalah dari bilangan kompleks) disebut matriks normal. Berdasarkan pengertian tersebut
18 jelas bahwa matriks orthogonal dan matriks uniter adalah salah satu contoh dari matriks normal. Contoh: Apakah matriks A = matriks normal? Solusi: A T = A A T = = A T A = = Jadi, A adalah matriks normal.
BAB I MATRIKS DEFINISI : NOTASI MATRIKS :
BAB I MATRIKS DEFINISI : Matriks adalah himpunan skalar (bilangan riil atau kompleks) yang disusun/dijajarkan berbentuk persegi panjang (menurut baris dan kolom). Skalar-skalar itu disebut elemen matriks.
Lebih terperinciPelabelan matriks menggunakan huruf kapital. kolom ke-n. kolom ke-3
MATRIKS a. Konsep Matriks Matriks adalah susunan bilangan yang diatur menurut aturan baris dan kolom dalam suatu jajaran berbentuk persegi atau persegipanjang dan diletakkan di dalam kurung biasa ( ) atau
Lebih terperinciLEMBAR AKTIVITAS SISWA MATRIKS
Nama Siswa Kelas : : LEMBAR AKTIVITAS SISWA MATRIKS Notasi dan Ordo Matriks Lengkapilah isian berikut! Suatu matriks biasanya dinotasikan dengan huruf kapital, misalnya: A. PENGERTIAN MATRIKS 1) Tabel
Lebih terperinci2. MATRIKS. 1. Pengertian Matriks. 2. Operasi-operasi pada Matriks
2. MATRIKS 1. Pengertian Matriks Matriks adalah himpunan skalar yang disusun secara empat persegi panjang menurut baris dan kolom. Matriks diberi nama huruf besar, sedangkan elemen-elemennya dengan huruf
Lebih terperinciMATRIKS. 3. Matriks Persegi Matriks persegi adalah matriks yang mempunyai baris dan kolom yang sama.
MATRIKS Matriks adalah susunan berbeda dalam bentuk persegi panjang yang diatur pada baris dan kolom. NOTASI MATRIKS DAN ORDO MATRIKS Notasi matriks biasanya dituliskan dalam huruf kapital (huruf besar)
Lebih terperinciOperasi Pada Matriks a. Penjumlahan pada Matriks ( berlaku untuk matriks matriks yang berukuran sama ). Jika A = a ij. maka matriks A = ( a ij)
MATRIKS a a a... a n a a a... an A a a a... a n............... am am am... a mn Matriks A dengan m baris dan n kolom (A m n). Notasi Matriks : a, dimana a adalah elemen pada baris ke i kolom ke j Kesamaan
Lebih terperinciMATRIKS. a A mxn = 21 a 22 a 2n a m1 a m2 a mn a ij disebut elemen dari A yang terletak pada baris i dan kolom j.
MATRIKS A. Definisi Matriks 1. Definisi Matriks dan Ordo Matriks Matriks adalah susunan bilangan (elemen) yang disusun menurut baris dan kolom dan dibatasi dengan tanda kurung. Jika suatu matriks tersusun
Lebih terperinciLEMBAR AKTIVITAS SISWA MATRIKS
Nama Siswa Kelas : : LEMBAR AKTIVITAS SISWA MATRIKS Notasi dan Ordo Matriks Lengkapilah isian berikut! Suatu matriks biasanya dinotasikan dengan huruf kapital, misalnya: A. PENGERTIAN MATRIKS 1) Tabel
Lebih terperinciMATRIKS. Definisi: Matriks adalah susunan bilangan-bilangan yang berbentuk segiempat siku-siku yang terdiri dari baris dan kolom.
Page- MATRIKS Definisi: Matriks adalah susunan bilangan-bilangan yang berbentuk segiempat siku-siku yang terdiri dari baris dan kolom. Notasi: Matriks dinyatakan dengan huruf besar, dan elemen elemennya
Lebih terperinciMATRIKS. 2. Matriks Kolom Matriks kolom adalah matriks yang hanya mempunyai satu kolom. 2 3 Contoh: A 4 x 1 =
NAMA : KELAS : 1 2 MATRIKS Matriks adalah susunan berbeda dalam bentuk persegi panjang yang diatur pada baris dan kolom. NOTASI MATRIKS DAN ORDO MATRIKS Notasi matriks biasanya dituliskan dalam huruf kapital
Lebih terperinciKonsep Dasar. Modul 1 PENDAHULUAN
Modul 1 Konsep Dasar M PENDAHULUAN Drs. Suryo Guritno, M.Stats., Ph.D. ateri yang akan dibahas dalam modul ini adalah konsep-konsep dasar aljabar matriks yang meliputi pengertian matriks, vektor dan skalar;
Lebih terperinciMETODE MATRIKS (MATRIKS) Mekanika Rekayasa IV. Norma Puspita, ST. MT. a 11 a 12 a 13 a 1n a 21 a 22 a 23 a 2n
METODE MATRIKS (MATRIKS) Mekanika Rekayasa IV Norma Puspita, ST MT Matriks Matriks adlah susunan bilangan (elemen) yang disusun menurut baris dan kolom sehingga berbentuk persegi panjang Matriks dinotasikan
Lebih terperinciPengolahan Dasar Matriks Bagus Sartono
Pengolahan Dasar Matriks Bagus Sartono bagusco@gmail.com Departemen Statistika FMIPA IPB Notasi Dasar Matriks A mxn, m A n, [a ij ] mxn : matriks berukuran m x n (m baris, n kolom) a ij adalah elemen matriks
Lebih terperinciLEMBAR AKTIVITAS SISWA MATRIKS
Nama Siswa Kelas : : LEMBAR AKTIVITAS SISWA MATRIKS Notasi dan Ordo Matriks Lengkapilah isian berikut! Suatu matriks biasanya dinotasikan dengan huruf kapital, misalnya: A. PENGERTIAN MATRIKS 1) Tabel
Lebih terperinciMATRIKS. Notasi yang digunakan NOTASI MATRIKS
MATRIKS Beberapa pengertian tentang matriks : 1. Matriks adalah himpunan skalar (bilangan riil atau kompleks) yang disusun atau dijajarkan secara empat persegi panjang menurut baris-baris dan kolom-kolom.
Lebih terperinciBAB II TINJAUAN PUSTAKA
5 BAB II TINJAUAN PUSTAKA A Matriks 1 Pengertian Matriks Definisi 21 Matriks adalah kumpulan bilangan bilangan yang disusun secara khusus dalam bentuk baris kolom sehingga membentuk empat persegi panjang
Lebih terperinciBAB II DETERMINAN DAN INVERS MATRIKS
BAB II DETERMINAN DAN INVERS MATRIKS A. OPERASI ELEMENTER TERHADAP BARIS DAN KOLOM SUATU MATRIKS Matriks A = berdimensi mxn dapat dibentuk matriks baru dengan menggandakan perubahan bentuk baris dan/atau
Lebih terperinciPELATIHAN INSTRUKTUR/PENGEMBANG SMU 28 JULI s.d. 12 AGUSTUS 2003 MATRIKS. Oleh: Drs. M. Danuri, M. Pd.
PELATIHAN INSTRUKTUR/PENGEMBANG SMU JULI s.d. AGUSTUS MATRIKS Oleh: Drs. M. Danuri, M. Pd. DEPARTEMEN PENDIDIKAN NASIONAL DIREKTORAT JENDERAL PENDIDIKAN DASAR DAN MENENGAH PUSAT PENGEMBANGAN PENATARAN
Lebih terperinciDIKTAT MATEMATIKA II
DIKTAT MATEMATIKA II (MATRIK) Drs. A. NABABAN PURNAWAN, S.Pd.,M.T JURUSAN PENDIDIKAN TEKNIK MESIN FAKULTAS PENDIDIKAN TEKNOLOGI DAN KEJURUAN UNIVERSITAS PENDIDIKAN INDONESIA 2004 MATRIKS I. PENGERTIAN
Lebih terperinciMATRIKS DAN OPERASINYA. Nurdinintya Athari (NDT)
MATRIKS DAN OPERASINYA Nurdinintya Athari (NDT) MATRIKS DAN OPERASINYA Sub Pokok Bahasan Matriks dan Jenisnya Operasi Matriks Operasi Baris Elementer Matriks Invers (Balikan) Beberapa Aplikasi Matriks
Lebih terperinciMATRIK dan RUANG VEKTOR
MATRIK dan RUANG VEKTOR A. Matrik. Pendahuluan Sebuah matrik didefinisikan sebagai susunan persegi panjang dari bilangan bilangan yang diatur dalam baris dan kolom. Matrik ditulis sebagai berikut: a a
Lebih terperinci8 MATRIKS DAN DETERMINAN
8 MATRIKS DAN DETERMINAN Matriks merupakan pengembangan lebih lanjut dari sistem persamaan linear. Oleh karenanya aljabar matriks sering juga disebut dengan aljabar linear. Matriks dapat digunakan untuk
Lebih terperinciAljabar Linier Elementer. Kuliah 1 dan 2
Aljabar Linier Elementer Kuliah 1 dan 2 1.3 Matriks dan Operasi-operasi pada Matriks Definisi: Matriks adalah susunan bilangan dalam empat persegi panjang. Bilangan-bilangan dalam susunan tersebut disebut
Lebih terperinciMatematika Teknik INVERS MATRIKS
INVERS MATRIKS Dalam menentukan solusi suatu SPL selama ini kita dihadapkan kepada bentuk matriks diperbesar dari SPL. Cara lain yang akan dikenalkan disini adalah dengan melakukan OBE pada matriks koefisien
Lebih terperinciBanyaknya baris dan kolom suatu matriks menentukan ukuran dari matriks tersebut, disebut ordo matriks
MATRIKS DEFINISI Matriks adalah susunan bilangan real atau bilangan kompleks (atau elemen-elemen) yang disusun dalam baris dan kolom sehinggga membentuk jajaran persegi panjang. Matriks memiliki m baris
Lebih terperinciMatriks. Baris ke 2 Baris ke 3
Matriks A. Matriks Matriks adalah susunan bilangan yang diatur menurut aturan baris dan kolom dalam suatu jajaran berbentuk persegi atau persegi panjang. Susunan bilangan itu diletakkan di dalam kurung
Lebih terperinciALJABAR LINIER MAYDA WARUNI K, ST, MT ALJABAR LINIER (I)
ALJABAR LINIER MAYDA WARUNI K, ST, MT ALJABAR LINIER (I) 1 MATERI ALJABAR LINIER VEKTOR DALAM R1, R2 DAN R3 ALJABAR VEKTOR SISTEM PERSAMAAN LINIER MATRIKS, DETERMINAN DAN ALJABAR MATRIKS, INVERS MATRIKS
Lebih terperinciVektor. Vektor. 1. Pengertian Vektor
Universitas Muhammadiyah Sukabumi Artikel Aljabar Vektor dan Matriks Oleh : Zie_Zie Vektor Vektor 1. Pengertian Vektor a. Definisi Vektor adalah suatu besaran yang mempunyai nilai (besar) dan arah. Contohnya
Lebih terperinciMATRIKS Nuryanto, ST., MT.
MateMatika ekonomi MATRIKS TUJUAN INSTRUKSIONAL KHUSUS Setelah mempelajari bab ini, anda diharapkan dapat : 1. Pengertian matriks 2. Operasi matriks 3. Jenis matriks 4. Determinan 5. Matriks invers 6.
Lebih terperinciBAB II TINJAUAN PUSTAKA
6 BAB II TINJAUAN PUSTAKA A. Bilangan Kompleks Bilangan merupakan suatu konsep dalam matematika yang digunakan untuk pencacahan dan pengukuran. Sistem bilangan yang dikenal saat ini merupakan hasil perkembangan
Lebih terperinciMatriks Jawab:
Matriks A. Operasi Matriks 1) Penjumlahan Matriks Jika A dan B adalah sembarang Matriks yang berordo sama, maka penjumlahan Matriks A dengan Matriks B adalah Matriks yang diperoleh dengan cara menjumlahkan
Lebih terperinciPertemuan 2 Matriks, part 2
Pertemuan 2 Matriks, part 2 Beberapa Jenis Matriks Khusus 1. Matriks Bujur Sangkar Suatu matriks dengan banyak baris = banyak kolom = n disebut matriks bujur sangkar berukuran n (berordo n). Barisan elemen
Lebih terperinciDIAGONALISASI MATRIKS KOMPLEKS
Buletin Ilmiah Mat Stat dan Terapannya (Bimaster) Volume 04, No 3 (2015), hal 337-346 DIAGONALISASI MATRIKS KOMPLEKS Heronimus Hengki, Helmi, Mariatul Kiftiah INTISARI Matriks kompleks merupakan matriks
Lebih terperinciMatriks adalah susunan segi empat siku-siku dari objek yang diatur berdasarkan baris (row) dan kolom (column). Objek-objek dalam susunan tersebut
Matriks adalah susunan segi empat siku-siku dari objek yang diatur berdasarkan baris (row) dan kolom (column). Objek-objek dalam susunan tersebut dinamakan entri dalam matriks atau disebut juga elemen
Lebih terperinciPart II SPL Homogen Matriks
Part II SPL Homogen Matriks SPL Homogen Bentuk Umum SPL homogen dalam m persamaan dan n variabel x 1, x 2,, x n : a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = 0 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a 2n x n = 0 a m1 x 1 + a
Lebih terperinciMATRIKS. Perhatikan tabel yang memuat data jumlah siswa di suatu sekolah Tabel Jumlah Siswa Kelas Laki-laki Wanita
MATRIKS A. Pengertian Matriks. Pengertian Matriks dan Ordo Matriks Perhatikan tabel yang memuat data jumlah siswa di suatu sekolah Tabel Jumlah Siswa Kelas Laki-laki Wanita Ι ΙΙ ΙΙΙ Dari tabel di atas,
Lebih terperinci1.1 MATRIKS DAN JENISNYA Matriks merupakan kumpulan bilangan yang berbentuk segi empat yang tersusun dalam baris dan kolom.
Bab MATRIKS DAN OPERASINYA Memahami matriks dan operasinya merupakan langkah awal dalam memahami buku ini. Beberapa masalah real dapat direpresentasikan dalam bentuk matriks. Masalah tersebut antara lain
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN. 3) Untuk mengetahui apa yang dimaksud dengan invers matriks. 4) Untuk mengetahui apa yang dimaksud dengan determinan matriks
1.1 LATAR BELAKANG BAB I PENDAHULUAN Teori matriks merupakan salah satu cabang ilmu aljabar linier yang menjadi pembahasan penting dalam ilmu matematika. Sejalan dengan perkembangan ilmu pengetahuan, aplikasi
Lebih terperinciBAB II KAJIAN PUSTAKA. operasi matriks, determinan dan invers matriks), aljabar max-plus, matriks atas
BAB II KAJIAN PUSTAKA Pada bab ini akan diuraikan mengenai matriks (meliputi definisi matriks, operasi matriks, determinan dan invers matriks), aljabar max-plus, matriks atas aljabar max-plus, dan penyelesaian
Lebih terperinciBAB II KAJIAN TEORI. yang diapit oleh dua kurung siku sehingga berbentuk empat persegi panjang atau
BAB II KAJIAN TEORI Pada bab ini akan diberikan kajian teori mengenai matriks dan operasi matriks, program linear, penyelesaian program linear dengan metode simpleks, masalah transportasi, hubungan masalah
Lebih terperinciTUGAS MANDIRI MATRIKS. Mata Kuliah : Matematika ekonomi
TUGAS MANDIRI MATRIKS Mata Kuliah : Matematika ekonomi NamaMahasiswa : Suriani NIM : 140610098 Kode Kelas Dosen : 141-MA112-M6 : NeniMarlinaPurbaS.Pd UNIVERSITAS PUTERA BATAM 2014 KATA PENGANTAR Puji syukur
Lebih terperincia11 a12 x1 b1 Kumpulan Materi Kuliah #1 s/d #03 Tahun Ajaran 2016/2016: Oleh: Prof. Dr. Ir. Setijo Bismo, DEA.
a11 a12 x1 b1 a a x b 21 22 2 2 Kumpulan Materi Kuliah #1 s/d #03 Tahun Ajaran 2016/2016: Oleh: Prof. Dr. Ir. Setijo Bismo, DEA. a11 a12 x1 b1 a a x b 21 22 2 2 a11 a12 x1 b1 a a x b 21 22 2 2 Setijo Bismo
Lebih terperinciBAB MATRIKS. Tujuan Pembelajaran. Pengantar
BAB II MATRIKS Tujuan Pembelajaran Setelah mempelajari materi bab ini, Anda diharapkan dapat: 1. menggunakan sifat-sifat dan operasi matriks untuk menunjukkan bahwa suatu matriks persegi merupakan invers
Lebih terperinciMATRIKS. Matriks adalah himpunan skalar (bilangan riil/kompleks) yang disusun secara empat persegi panjang (menurut baris dan kolom)
MTRIKS DEFINISI Bentuk umum =(aij),i=,,...m J=,,...m a a a n baris a a..a n baris MTRIKS Matriks adalah himpunan skalar (bilangan riil/kompleks) yang disusun secara empat persegi panjang (menurut baris
Lebih terperinciMODUL ALJABAR LINEAR 1 Disusun oleh, ASTRI FITRIA NUR ANI
214 MODUL ALJABAR LINEAR 1 Disusun oleh, ASTRI FITRIA NUR ANI Astri Fitria Nur ani Aljabar Linear 1 1/1/214 1 DAFTAR ISI DAFTAR ISI... i BAB I MATRIKS DAN SISTEM PERSAMAAN A. Pendahuluan... 1 B. Aljabar
Lebih terperinciAnalisa Numerik. Matriks dan Komputasi
Analisa Numerik Matriks dan Komputasi M AT R I K S Matriks adalah suatu susunan angka atau bilangan, variabel, atau parameter yang berbentuk empat persegi dan biasanya ditutup dengan tanda kurung K O N
Lebih terperinciPertemuan 4 Aljabar Linear & Matriks
Pertemuan 4 Aljabar Linear & Matriks 1 Notasi : huruf besar tebal misalnya A, B, C Merupakan array dari bilangan, setiap bilangan disebut elemen matriks (entri matriks) Bentuk umum : m : jumlah baris (mendatar)
Lebih terperinciBAB II LANDASAN TEORI. yang biasanya dinyatakan dalam bentuk sebagai berikut: =
BAB II LANDASAN TEORI 2.1 Matriks Definisi 2.1 (Lipschutz, 2006): Matriks adalah susunan segiempat dari skalarskalar yang biasanya dinyatakan dalam bentuk sebagai berikut: Setiap skalar yang terdapat dalam
Lebih terperinciII. M A T R I K S ... A... Contoh II.1 : Macam-macam ukuran matriks 2 A. 1 3 Matrik A berukuran 3 x 1. Matriks B berukuran 1 x 3
11 II. M A T R I K S Untuk mencari pemecahan sistem persamaan linier dapat digunakan beberapa cara. Salah satu yang paling mudah adalah dengan menggunakan matriks. Dalam matematika istilah matriks digunakan
Lebih terperinciAljabar Linear Elementer MA SKS. 07/03/ :21 MA-1223 Aljabar Linear 1
Aljabar Linear Elementer MA SKS 7//7 : MA- Aljabar Linear Jadwal Kuliah Hari I Hari II jam jam Sistem Penilaian UTS 4% UAS 4% Quis % 7//7 : MA- Aljabar Linear Silabus : Bab I Matriks dan Operasinya Bab
Lebih terperinciII. TINJAUAN PUSTAKA. negatifnya. Yang termasuk dalam bilangan cacah yaitu 0,1,2,3,4, sehingga
II. TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Bilangan Bulat Bilangan Bulat merupakan bilangan yang terdiri dari bilangan cacah dan negatifnya. Yang termasuk dalam bilangan cacah yaitu 0,1,2,3,4, sehingga negatif dari bilangan
Lebih terperinciMatriks. Modul 1 PENDAHULUAN
Modul 1 Matriks Drs. H. Karso, M. M.Pd. M PENDAHULUAN odul pertama dari mata kuliah Aljabar Linear ini merupakan materi prasyarat untuk mempelajari konsep-konsep dalam Aljabar Linear berikutnya. Pendahuluan
Lebih terperinciSISTEM PERSAMAAN LINEAR
SISTEM PERSAMAAN LINEAR BAB 1 Dr. Abdul Wahid Surhim POKOK BAHASAN 1.1 Pengantar Sistem Persamaan Linear (SPL) 1.2 Eliminasi GAUSS-JORDAN 1.3 Matriks dan operasi matriks 1.4 Aritmatika Matriks, Matriks
Lebih terperinciSistem Persamaan Linier dan Matriks
Sistem Persamaan Linier dan Matriks 1.1 Pendahuluan linier: Sebuah garis pada bidang- dapat dinyatakan secara aljabar dengan sebuah persamaan Sebuah persamaan jenis ini disebut persamaan linier dalam dua
Lebih terperinci(Departemen Matematika FMIPA-IPB) Matriks Bogor, / 66
MATRIKS Departemen Matematika FMIPA-IPB Bogor, 2012 (Departemen Matematika FMIPA-IPB) Matriks Bogor, 2012 1 / 66 Topik Bahasan 1 Matriks 2 Operasi Matriks 3 Determinan matriks 4 Matriks Invers 5 Operasi
Lebih terperinciALJABAR LINIER DAN MATRIKS
ALJABAR LINIER DAN MATRIKS MATRIKS (DETERMINAN, INVERS, TRANSPOSE) Macam Matriks Matriks Nol (0) Matriks yang semua entrinya nol. Ex: Matriks Identitas (I) Matriks persegi dengan entri pada diagonal utamanya
Lebih terperinciMATRIKS. kolom, sehingga dapat dikatakan matriks berordo 3 1 Penamaan suatu matriks biasa menggunakan huruf kapital
MATRIKS A. Pengertian, Notasi dan Ordo Suatu Matriks Matriks adalah susunan bilangan yang diatur berdasarkan baris dan kolom sehingga membentuk persegi panjang. Ukuran panjang dan lebar matriks ditentukan
Lebih terperinciMATRIKS. LA - WB (Lembar Aktivitas Warga Belajar) MATEMATIKA PAKET C TINGKAT VI DERAJAT MAHIR 2 SETARA KELAS XII. Oleh: Hj. ITA YULIANA, S.Pd, M.
LA - WB (Lembar Aktivitas Warga Belajar) MATRIKS Oleh: Hj. ITA YULIANA, S.Pd, M.Pd MATEMATIKA PAKET C TINGKAT VI DERAJAT MAHIR 2 SETARA KELAS XII Created By Ita Yuliana 15 Matriks Kompetensi Dasar 1. Menggunakan
Lebih terperinciMatriks - 1: Beberapa Definisi Dasar Latihan Aljabar Matriks
Matriks - 1: Beberapa Definisi Dasar Latihan Aljabar Matriks Kuliah Aljabar Linier Semester Ganjil 2015-2016 MZI Fakultas Informatika Telkom University FIF Tel-U Agustus 2015 MZI (FIF Tel-U) Matriks -
Lebih terperinciMUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR
MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR TIM DOSEN 1 Matriks dan Operasinya MATRIKS DAN OPERASINYA Sub Pokok Bahasan Matriks Jenis-jenis Matriks Operasi Matriks Operasi Baris Elementer Matriks Invers (Balikan)
Lebih terperinciMATRIKS VEKTOR DETERMINAN SISTEM LINEAR ALJABAR LINEAR
MATRIKS VEKTOR DETERMINAN SISTEM LINEAR ALJABAR LINEAR 7.1 Matriks DEFINISI Susunan bilangan (fungsi) berbentuk persegi panjang yang ditutup dengan tanda kurung. Bilangan (fungsi) disebut entri-entri matriks.
Lebih terperinciuiopasdfghjklzxcvbnmqwertyuiopasd fghjklzxcvbnmqwertyuiopasdfghjklzx wertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwertyui opasdfghjklzxcvbnmqwertyuiopasdfg
uiopasdfghjklzxcvbnmqwertyuiopasd Qwertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwerty cvbnmqwertyuiopasdfghjklzxcvbnmq fghjklzxcvbnmqwertyuiopasdfghjklzx wertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwertyui opasdfghjklzxcvbnmqwertyuiopasdfg
Lebih terperinciMODUL E LEARNING SEKSI -1 MATA KULIAH : ALJABAR LINIER KODE MATA KULIAH : ESA 151 : 5099 : DRA ENDANG SUMARTINAH,MA
MODUL E LEARNING SEKSI - MATA KULIAH : ALJABAR LINIER KODE MATA KULIAH : ESA DOSEN : : DRA ENDANG SUMARTINAH,MA TUJUAN MATA KULIAH : A.URAIAN DAN TUJUAN MATA KULIAH : Mahasiswa mempelajari Matriks, Determinan,
Lebih terperinciBAB II LANDASAN TEORI
BAB II LANDASAN TEORI A. Matriks 1. Pengertian Matriks Definisi II.A.1 Matriks didefinisikan sebagai susunan persegi panjang dari bilangan-bilangan yang diatur dalam baris dan kolom. Contoh II.A.1: 9 5
Lebih terperinciPenyelesaian SPL dalam Rangkaian Listrik
Penyelesaian SPL dalam Rangkaian Listrik Harry Octavianus Purba (13514050) Program Studi Teknik Informatika Sekolah Teknik Elektro dan Informatika Institut Teknologi Bandung, Jl. Ganesha 10 Bandung 40132,
Lebih terperinci02-Pemecahan Persamaan Linier (1)
-Pemecahan Persamaan Linier () Dosen: Anny Yuniarti, M.Comp.Sc Gasal - Anny Agenda Bagian : Vektor dan Persamaan Linier Bagian : Teori Dasar Eliminasi Bagian 3: Eliminasi Menggunakan Matriks Bagian 4:
Lebih terperinciTujuan. Mhs dapat mendemonstrasikan operasi matriks: penjumlahan, perkalian, dsb. serta menentukan matriks inverse
Matriks Tujuan Mhs dapat mendemonstrasikan operasi matriks: penjumlahan, perkalian, dsb. serta menentukan matriks inverse Pengertian Matriks Adalah kumpulan bilangan yang disajikan secara teratur dalam
Lebih terperinciJURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA FMIPA UNIVERSITAS NEGERI YOGYAKARTA
CATATAN KULIAH ALJABAR LINEAR MUSTHOFA JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA FMIPA UNIVERSITAS NEGERI YOGYAKARTA 20 SISTEM PERSAMAAN LINEAR Tujuan : Menyelesaikan sistem persamaan linear. OPERASI BARIS ELEMENTER
Lebih terperinciP2.1 Teori. Secara umum, matriks Amxn = Pada matriks A di atas a23 menyatakan elemen matriks A pada baris ke-2 dan kolom ke Jenis-Jenis Matriks
Pertemuan 2 Matriks Objektif: 1. Praktikan memahami konsep matriks. 2. Praktikan dapat mencari penjumlahan matriks, perkalian matriks dari 2 buah matriks. 3. Praktikan dapat membuat program tentang penjumlahan
Lebih terperinciBagian 2 Matriks dan Determinan
Bagian Matriks dan Determinan Materi mengenai fungsi, limit, dan kontinuitas akan kita pelajari dalam Bagian Fungsi dan Limit. Pada bagian Fungsi akan mempelajari tentang jenis-jenis fungsi dalam matematika
Lebih terperinciModul 2.2 Matriks dan Sistem Persamaan Linear (Topik 3) A. Pendahuluan Matriks dan Sistem Persamaan Linear
Modul 2.2 Matriks dan Sistem Persamaan Linear (Topik 3) A. Pendahuluan Salah satu kajian matematika sekolah menengah yang memiliki banyak aplikasinya dalam menyelesaikan permasalahan yang ada dalam kehidupan
Lebih terperinciMATEMATIKA. Sesi MATRIKS A. DEFINISI MATRIKS B. UKURAN ATAU ORDO SUATU MATRIKS
MATEMATIKA KELAS XII - KURIKULUM GABUNGAN 09 Sesi N MATRIKS A. DEFINISI MATRIKS Dalam matematika, matriks adalah kumpulan bilangan, simbol, atau ekspresi, berbentuk persegi panjang yang disusun menurut
Lebih terperinci& & # = atau )!"* ( & ( ( (&
MATRIKS ======PENGERTIAN====== Matriks merupakan Susunan bilangan-bilangan yang membentuk segi empat siku-siku. Susunan bilangan-bilangan tersebut dinamakan entri dalam matriks. Matriks dinotasikan dengan
Lebih terperinciBAB 2 LANDASAN TEORI. yang dibicarakan yang akan digunakan pada bab selanjutnya. Bentuk umum dari matriks bujur sangkar adalah sebagai berikut:
BAB 2 LANDASAN TEORI Pada bab ini dibicarakan mengenai matriks yang berbentuk bujur sangkar dengan beberapa definisi, teorema, sifat-sifat dan contoh sesuai dengan matriks tertentu yang dibicarakan yang
Lebih terperinciBAB II KERANGKA TEORITIS. komposisi biner atau lebih dan bersifat tertutup. A = {x / x bilangan asli} dengan operasi +
5 BAB II KERANGKA TEORITIS 2.1 Struktur Aljabar Struktur aljabar adalah salah satu mata kuliah dalam jurusan matematika yang mempelajari tentang himpunan (sets), proposisi, kuantor, relasi, fungsi, bilangan,
Lebih terperinciMatriks. Modul 1 PENDAHULUAN
Modul Matriks Dra. Sri Haryatmi Kartiko, M.Sc. I PENDAHULUAN lmu pengetahuan dewasa ini menjadi semakin kuantitatif. Data numerik dengan skala besar, hasil pengukuran berupa angka sering dijumpai oleh
Lebih terperinciModul 2.2 Matriks dan Sistem Persamaan Linear (Topik 2) A. Pendahuluan Matriks dan Sistem Persamaan Linear
Modul 2.2 Matriks dan Sistem Persamaan Linear (Topik 2) A. Pendahuluan Salah satu kajian matematika sekolah menengah yang memiliki banyak aplikasinya dalam menyelesaikan permasalahan yang ada dalam kehidupan
Lebih terperinciG a a = e = a a. b. Berdasarkan Contoh 1.2 bagian b diperoleh himpunan semua bilangan bulat Z. merupakan grup terhadap penjumlahan bilangan.
2. Grup Definisi 1.3 Suatu grup < G, > adalah himpunan tak-kosong G bersama-sama dengan operasi biner pada G sehingga memenuhi aksioma- aksioma berikut: a. operasi biner bersifat asosiatif, yaitu a, b,
Lebih terperinciPENGERTIAN RING. A. Pendahuluan
Pertemuan 13 PENGERTIAN RING A. Pendahuluan Target yang diharapkan dalam pertemuan ke 13 ini (pertemuan pertama tentang teori ring) adalah mahasiswa dapat : a. membedakan suatu struktur aljabar merupakan
Lebih terperinciBab 7 Sistem Pesamaan Linier. Oleh : Devie Rosa Anamisa
Bab 7 Sistem Pesamaan Linier Oleh : Devie Rosa Anamisa Pendahuluan Bentuk umum dari aljabar linier sebagai berikut: a11x1 + a12a 12X2 +... + a1na 1nXn = b1b a21x1 + a22a 22X2 +... + a2na 2nXn = b2b...............
Lebih terperinciBAB 2 LANDASAN TEORI
BAB 2 LANDASAN TEORI 2.1 Sistem Persamaan Linier Sistem Persamaan dengan m persamaan dan n bilangan tak diketahui ditulis dengan : Dimana x 1, x 2, x n : bilangan tak diketahui a,b : konstanta Jika SPL
Lebih terperinciModul Praktikum. Aljabar Linier. Disusun oleh: Machudor Yusman IR., M.Kom. Ucapan Terimakasih:
Modul Praktikum Aljabar Linier Disusun oleh: Machudor Yusman IR., M.Kom. Ucapan Terimakasih: David Abror Gabriela Minang Sari Hanan Risnawati Ichwan Almaza Nuha Hanifah Riza Anggraini Saiful Anwar Tri
Lebih terperinciBab 2 LANDASAN TEORI
17 Bab 2 LANDASAN TEORI 2.1 Aljabar Matriks 2.1.1 Definisi Matriks Matriks adalah suatu kumpulan angka-angka yang juga sering disebut elemen-elemen yang disusun secara teratur menurut baris dan kolom sehingga
Lebih terperinciMUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR
MUHG3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR TIM DOSEN Determinan Matriks Determinan Matriks Sub Pokok Bahasan Permutasi dan Determinan Matriks Determinan dengan OBE Determinan dengan Ekspansi Kofaktor Beberapa Aplikasi
Lebih terperinciMATEMATIKA INFORMATIKA 2 TEKNIK INFORMATIKA UNIVERSITAS GUNADARMA FENI ANDRIANI
MATEMATIKA INFORMATIKA 2 TEKNIK INFORMATIKA UNIVERSITAS GUNADARMA FENI ANDRIANI SAP (1) Buku : Suryadi H.S. 1991, Pengantar Aljabar dan Geometri analitik Vektor Definisi, Notasi, dan Operasi Vektor Susunan
Lebih terperinciDIKTAT PERKULIAHAN. EDISI 1 Aljabar Linear dan Matriks
DIKTAT PERKULIAHAN EDISI 1 Aljabar Linear dan Matriks Penulis : Ednawati Rainarli, M.Si. Kania Evita Dewi, M.Si. JURUSAN TEKNIK INFORMATIKA UNIVERSITAS KOMPUTER INDONESIA BANDUNG 011 IF/011 1 DAFTAR ISI
Lebih terperinci6- Operasi Matriks. MEKANIKA REKAYASA III MK Unnar-Dody Brahmantyo 1
6- Operasi Matriks Contoh 6-1 : Budi diminta tolong oleh ibunya untuk membeli 2 kg gula dan 1 kg kopi. Dengan uang Rp. 10.000,- Budi mendapatkan uang kembali Rp. 3.000,-. Dihari yang lain, Budi membeli
Lebih terperinciSoal dan Jawaban Tes
lampiran 38 Lampiran1 Soal dan jawaban tes Soal dan Jawaban Tes 1. Santi dan Hasna mengikuti dua kali tes matematika dan bahasa inggris. Tes yang pertama santi dan hasna mendapat nilai 80 untuk pelajaran
Lebih terperinciBAB 2 LANDASAN TEORI
BAB 2 LANDASAN TEORI Pada bab ini akan dipaparkan mengenai konsep dasar tentang matriks meliputi definisi matriks, jenis-jenis matriks, operasi matriks, determinan, kofaktor, invers suatu matriks, serta
Lebih terperinciII. TINJAUAN PUSTAKA. nyata (fenomena-fenomena alam) ke dalam bagian-bagian matematika yang. disebut dunia matematika (mathematical world).
5 II. TINJAUAN PUSTAKA 2.1. Pemodelan Matematika Definisi pemodelan matematika : Pemodelan matematika adalah suatu deskripsi dari beberapa perilaku dunia nyata (fenomena-fenomena alam) ke dalam bagian-bagian
Lebih terperinciMatematika Teknik I: Matriks, Inverse, dan Determinan. Oleh: Dadang Amir Hamzah STT DR. KHEZ MUTTAQIEN 2015
Matematika Teknik I: Matriks, Inverse, dan Determinan Oleh: Dadang Amir Hamzah STT DR. KHEZ MUTTAQIEN 2015 Dadang Amir Hamzah (STT) Matematika Teknik I Semester 3, 2015 1 / 33 Outline 1 Matriks Dadang
Lebih terperinciE-learning matematika, GRATIS
A. Pengertian Matriks Editor Penusun : Sulistowati, S.Pd. ; Sumani, S.Pd. : Drs. Keto Susanto, M.Si. M.T. ; Istijab, S.H. M.Hum. Imam Indra Gunawan, S.Si.. Pengertian Matriks dan Ordo Matriks Matriks ang
Lebih terperinciMatriks - Definisi. Sebuah matriks yang memiliki m baris dan n kolom disebut matriks m n. Sebagai contoh: Adalah sebuah matriks 2 3.
MATRIKS Pokok Bahasan Matriks definisi Notasi matriks Matriks yang sama Panambahan dan pengurangan matriks Perkalian matriks Transpos suatu matriks Matriks khusus Determinan suatu matriks bujursangkar
Lebih terperinciAljabar Linear Elementer MUG1E3 3 SKS
// ljabar Linear Elementer MUGE SKS // 9:7 Jadwal Kuliah Hari I Selasa, jam. Hari II Kamis, jam. Sistem Penilaian UTS % US % Quis % // 9:7 M- ljabar Linear // Silabus : Bab I Matriks dan Operasinya Bab
Lebih terperinciBAB II LANDASAN TEORI
BAB II LANDASAN TEORI A. Matriks 1. Pengertian Matriks Definisi II. A. 1 Matriks didefinisikan sebagai susunan segi empat siku- siku dari bilangan- bilangan yang diatur dalam baris dan kolom (Anton, 1987:22).
Lebih terperinciMATRIKS. Slide : Tri Harsono PENS - ITS. 1 Politeknik Elektronika Negeri Surabaya (PENS) - ITS
MATRIKS Slide : Tri Harsono PENS - ITS 1 Sifat Matriks Perkalian dua matriks tidak komutatif Perkalian dua matriks bersifat assosiatif dan distributif tidak komutatif AB BA (AB)C = A(BC) A(B+C) = AB +
Lebih terperinciPertemuan 8 Aljabar Linear & Matriks
Pertemuan 8 Aljabar Linear & Matriks 1 Jika A adl matriks nxn yg invertible, untuk setiap matriks b dgn ukuran nx1, maka sistem persamaan linier Ax = b mempunyai tepat 1 penyelesaian, yaitu x = A -1 b
Lebih terperinciAljabar Linear dan Matriks (Persamaan Linear dan Vektor) Instruktur : Ferry Wahyu Wibowo, S.Si., M.Cs.
Aljabar Linear dan Matriks (Persamaan Linear dan Vektor) Instruktur : Ferry Wahyu Wibowo, S.Si., M.Cs. . Matriks dan Sistem Persamaan Linear Definisi Persamaan dalam variabel dan y dapat ditulis dalam
Lebih terperinci03-Pemecahan Persamaan Linier (2)
-Pemecahan Persamaan Linier () Dosen: Anny Yuniarti, M.Comp.Sc Gasal - Anny Agenda Bagian : Matriks Invers Bagian : Eliminasi = Faktorisasi: A = LU Bagian : Transpos dan Permutasi Anny Bagian MATRIKS INVERS
Lebih terperinciSISTEM BILANGAN BULAT
SISTEM BILANGAN BULAT A. Bilangan bulat Pengertian Bilangan bulat adalah bilangan yang tidak mempunyai pecahan desimal, misalnya 8, 21, 8765, -34, 0. Berlawanan dengan bilangan bulat adalah bilangan riil
Lebih terperinci