BAB II LANDASAN TEORI
|
|
- Yuliani Budiono
- 6 tahun lalu
- Tontonan:
Transkripsi
1 BAB II LANDASAN TEORI A. Matriks 1. Pengertian Matriks Definisi II.A.1 Matriks didefinisikan sebagai susunan persegi panjang dari bilangan-bilangan yang diatur dalam baris dan kolom. Contoh II.A.1: Bilangan-bilangan yang terdapat dalam suatu matriks disebut elemen matriks. Elemen- elemen mendatar membentuk baris dan elemen- elemen vertikal membentuk kolom. Banyaknya baris dan kolom suatu matriks menyatakan ukuran matriks tersebut. Apabila dalam suatu matriks terdapat m baris dan n kolom maka ukuran matriks tersebut adalah m x n. Notasi indeks rangkap digunakan untuk menyatakan elemen suatu matriks. Simbol a ij menyatakan elemen yang muncul pada baris ke-i dan kolom ke-j, dimana 1 i m dan 1 j n. Simbol i dinamakan indeks baris sedangkan simbol j dinamakan indeks kolom. Sebuah matriks A mxn dituliskan sebagai berikut : 4 Aplikasi Bentuk Kanonik..., Sugiarti, FKIP UMP 214
2 a11 a 21 A =... a m1 a a a m a1n a 2n... a mn 2. Operasi pada Matriks 1) Penjumlahan dan Pengurangan Matriks Definisi II.A.2 Misalkan A dan B adalah matriks-matriks berukuran sama, maka jumlah A+B adalah matriks C yaitu matriks yang diperoleh dengan menambahkan elemen-elemen B dengan elemen-elemen A yang berpadanan, dan selisih A-B adalah matriks D yaitu matriks yang diperoleh dengan mengurangkan elemen-elemen A dengan elemen-elemen B yang berpadanan. Matriks-matriks berukuran berbeda tidak bisa ditambahkan atau dikurangkan. Dalam notasi matriks, apabila A= [a ij ] dan B= [b ij ] mempunyai ukuran yang sama maka A + B = C dimana cc iiii = aa iiii + bb iiii A - B = D dimana dd iiii = aa iiii bb iiii 2) Perkalian Matriks dengan Skalar Definisi II.A.3 Misalkan A adalah sebarang matriks dan c adalah sebuah skalar,maka hasil kali skalar c dengan matriks A adalah Aplikasi Bentuk Kanonik..., Sugiarti, FKIP UMP 214
3 matriks B yaitu matriks yang diperoleh dengan mengalikan c dengan setiap elemen A. [b ij Dalam notasi matriks, apabila A=[ a ij ] maka : ca = B dimana ij ] = [ca ]. Contoh II.A A = 3 4 B = maka A B = = ) Perkalian Matriks dengan Matriks Definisi II.A.4 Misalkan A adalah sebuah matriks berukuran m x n dan B adalah sebuah matriks berukuran n x r, maka hasil kali A dan B adalah matriks C berukuran m x r yang elemen-elemennya didefinisikan sebagai berikut: untuk mencari elemen baris ke-i dan kolom ke-j dari matriks C caranya adalah dengan memilih baris i dari matriks A dan kolom j dari matriks B. Kemudian mengalikan elemen-elemen yang berpadanan dari baris dan kolom secara bersama-sama dan menjumlahkan hasil kalinya. Aplikasi Bentuk Kanonik..., Sugiarti, FKIP UMP 214
4 Dalam notasi matriks, apabila A= [a ij ] dan B= [b ij ] maka n A x B = C, dimana [c ] = a b i = 1,...,m j = 1,..., r. ij k= 1 ik 4) Perpangkatan Matriks Definisi II.A.5 Misalkan A adalah suatu matriks persegi orde n maka pangkat dari A didefinisikan sebagai berikut: AA 2 = AA AA, AA 3 = AA 2 AA,..., AA nn+1 = AA nn AA,... dan AA = II Contoh II.A.5: kj Misalkan A adalah matriks Penyelesaian : maka hitunglah AA 2 dan AA 3. 1 A = maka AA 2 = AA AA dan AA 3 = AA 2 AA = = = = 45 1 Aplikasi Bentuk Kanonik..., Sugiarti, FKIP UMP 214
5 3. Macam- Macam Matriks 1) Matriks Persegi Definisi II.A.6 Matriks persegi adalah suatu matriks dimana banyaknya baris sama dengan banyaknya kolom (m = n). Disebut juga matriks persegi berordo n. Contoh II.A.6 : 5 6 a) Matriks A= 1 2 adalah matriks persegi orde 2. 7 b) Matriks B= adalah matriks persegi orde 3. Pada matriks persegi elemen-elemen yang terletak pada garis penghubung a 11 dengan a nn dinamakan diagonal utama. 2) Matriks Identitas Definisi II.A.7 Matriks identitas adalah suatu matriks persegi dimana elemen-elemennya 1 pada diagonal utamanya dan pada tempat-tempat lain diluar diagonal utama. Matriks tersebut dinyatakan dengan simbol I. Contoh II.A.7 : 1 I = 1 1 Aplikasi Bentuk Kanonik..., Sugiarti, FKIP UMP 214
6 3) Matriks Diagonal Definisi II.A.8 Matriks diagonal adalah suatu matriks persegi dimana semua elemen di luar diagonal utamanya mempunyai nilai nol dan paling tidak satu elemen pada diagonal utamanya tidak sama dengan nol. Biasanya diberi simbol D. Contoh II.A.8 : 1 1) 2 2) ) Matriks Transpose Definisi II.A.9 Jika A = aa iiii berukuran mm nn maka transpose dari A adalah matriks AA TT berukuran nn mm dengan AA TT = aa jjjj. Contoh II.A.9 : 1 2 1) Matriks A = 4 5 maka AA TT = ) Matriks B = maka BB TT = Aplikasi Bentuk Kanonik..., Sugiarti, FKIP UMP 214
7 5) Matriks Nilpoten Definisi II.A.1 Jika N adalah matriks persegi dan berlaku NN qq = untuk q bilangan bulat positif maka N disebut matriks nilpoten. Contoh II.A N = 6 kemudian NN 2 = dan NN 3 = Maka matriks N disebut matriks nilpoten dengan q = 3. B. Determinan Matriks, Invers Matriks dan Rank Matriks 1. Determinan Matriks Determinan matriks merupakan suatu fungsi dengan aturan det (A) = ± aa 1jj1 aa 2jj2 aa nnnn nn dengan A adalah matriks persegi berukuran nn nn. Definisi II.B.1 Jika A matriks persegi, maka minor elemen aa iiii dinyatakan oleh MM iiii dan didefinisikan menjadi determinan sub matriks yang tetap setelah baris ke i dan kolom ke j dihilangkan dari A. Bilangan ( 1) ii+jj MM iiii dinyatakan oleh CC iiii dan dinamakan kofaktor elemen aa iiii. Aplikasi Bentuk Kanonik..., Sugiarti, FKIP UMP 214
8 Contoh II.B A = minor elemen aa 11 adalah MM 11, yaitu MM 11 = = 5 6 = kofaktor elemen aa 11 adalah CC 11, yaitu CC 11 = ( 1) 1+1 MM 11 = ( 1) 2 (16) = 16 Definisi II.B.2 Determinan matriks persegi A yang berukuran n n dapat dihitung dengan mengalikan elemen-elemen dalam suatu baris (atau kolom) dengan kofaktor-kofaktornya dan menambahkan hasil kali yang dihasilkan, maka det (A) = aa 1jj CC 1jj + aa 2jj CC 2jj aa nnnn CC nnnn, untuk 1 j n (ekspansi kofaktor sepanjang kolom ke j) dan det (A) = aa ii1 CC ii1 + aa ii2 CC ii aa iiii CC iiii, untuk 1 i n (ekspansi kofaktor sepanjang baris ke i) Misalkan terdapat matriks A berordo 3 x 3, yaitu : aa 11 aa 12 aa 13 A = aa 21 aa 31 aa 22 aa 32 aa 23 aa 33 Aplikasi Bentuk Kanonik..., Sugiarti, FKIP UMP 214
9 Dengan menggunakan definisi determinan ditunjukkan bahwa det (A) = aa 11 aa 22 aa 33 + aa 12 aa 23 aa 31 + aa 13 aa 21 aa 32 aa 13 aa 22 aa 31 aa 12 aa 21 aa 33 aa 11 aa 23 aa 32 = aa 11 (aa 22 aa 33 aa 23 aa 32 ) + aa 21 (aa 13 aa 32 aa 12 aa 33 ) + aa 31 (aa 12 aa 23 aa 13 aa 22 ) Pernyataan yang ada dalam tanda kurung di atas tidak lain berturut-turut adalah CC 11, CC 21, CC 31 sehingga det(a) = aa 11 CC 11 + aa 21 CC 21 + aa 31 CC 31. Persamaan ini memperlihatkan bahwa determinan A dapat dihitung dengan mengalikan elemen-elemen dalam kolom pertama A dengan kofaktor-kofaktorya dan menambahkan hasil kalinya. Metode ini dinamakan ekspansi kofaktor sepanjang kolom pertama A. Contoh II.B.2 : Tentukan determinan matriks berikut : a) 1 A = b) B = Penyelesaian : a) 1 A = det(a) = aa 11 CC 11 + aa 21 CC 21 + aa 31 CC 31 Aplikasi Bentuk Kanonik..., Sugiarti, FKIP UMP 214
10 CC 11 = ( 1) 1+1 MM 11 = ( 1) = ( 1) 2 ( 17) = 17 CC 21 = ( 1) 2+1 MM 21 = ( 1) = ( 1) 3 ( 4) = 4 CC 31 = ( 1) 3+1 MM 31 = ( 1) = ( 1) 4 (5) = 5 maka det(a) = aa 11 CC 11 + aa 21 CC 21 + aa 31 CC 31 = 1 ( 17) + 3 (4) + 2 (5) = b) B = det(b) = aa 11 CC 11 + aa 12 CC 12 + aa 13 CC 13 + aa 14 CC 14 Aplikasi Bentuk Kanonik..., Sugiarti, FKIP UMP 214
11 CC 11 = ( 1) 1+1 MM = ( 1) = ( 1) 2 ( 11) = 11 CC 12 = ( 1) 1+2 MM = ( 1) = ( 1) 3 ( 4) = 4 CC 13 = ( 1) 1+3 MM = ( 1) = ( 1) 4 (25) = 25 CC 14 = ( 1) 1+4 MM = ( 1) = ( 1) 5 ( 6) = 6 maka det(b) = aa 11 CC 11 + aa 12 CC 12 + aa 13 CC 13 + aa 14 CC 14 = 1 ( 11) + 2 (4) + 3 (25) + 4 (6) = 96 Aplikasi Bentuk Kanonik..., Sugiarti, FKIP UMP 214
12 2. Invers Matriks Definisi II.B.3 Jika A adalah suatu matriks persegi dengan n baris dan n kolom serta II nn adalah matriks identitas berukuran n n maka terdapat matriks persegi AA 1 sehingga berlaku AAA 1 = AA 1 A = I, maka AA 1 disebut invers matriks A. Teorema II.B.1 Jika P adalah matriks nonsingular (det (P) ), maka PP 1 = 1 det (PP) adj (P) dengan adj (P) adalah transpose dari kofaktor matriks P. Contoh Teorema II.B.1 A = AA 1 = 1 det (AA) adj (A) det(aa) = 3 2 = 1 Adj (A) = AA 1 = = Aplikasi Bentuk Kanonik..., Sugiarti, FKIP UMP 214
13 3. Rank Matriks Definisi II.B.4 Jika matriks A paling sedikit terdapat satu minor determinan yang tidak sama dengan nol dan ternyata terdiri dari r baris, akan tetapi untuk minor yang determinannya sama dengan nol apabila minor matriksnya terdiri dari (r+1) baris, maka matriks A dikatakan mempunyai rank sebesar r. Biasanya diberi simbol rank(a) = r(a). Untuk mempermudah di dalam mencari nilai rank suatu matriks, dapat menggunakan transformasi elementer yang menunjukkan kepada baris dan kolom dari matriks yang bersangkutan. Besarnya nilai rank suatu matriks dapat dilihat secara langsung dengan cara melihat determinan yang tidak sama dengan nol dari minor matriks dengan jumlah baris dan kolom tertentu. Jumlah baris (kolom) itulah yang menunjukkan besarnya nilai rank atau banyaknya baris yang masih mengandung elemen tidak sama dengan nol setelah transformasi elementer baik terhadap baris maupun kolom. Aplikasi Bentuk Kanonik..., Sugiarti, FKIP UMP 214
14 Contoh II.B A = maka rank (A) adalah : A = bb 1 3bb AA 1 = bb AA 2 = 1 2 Maka nilai rank (A) adalah 2. C. Nilai Eigen, Vektor Eigen dan Persamaan Karakteristik Definisi II.C.1 Jika A adalah matriks n x n maka vektor taknol x di dalam R n dinamakan vektor eigen dari A jika Ax adalah kelipatan skalar dari x yaitu Ax = λx untuk suatu skalar. Skalar λ dinamakan nilai eigen Contoh : dari A dan x dinamakan vektor eigen yang bersesuaian dengan λ. Vektor 1 3 x = adalah vektor eigen dari A = 2 yang bersesuaian dengan nilai eigen λ = 3 karena Ax = = = 3x Untuk mencari nilai eigen matriks A yang berukuran n x n maka dituliskan kembali AAAA = λλ xx sebagai AAAA = λλ II xx atau secara ekuivalen (AA λλ II)xx =. Supaya λ menjadi nilai eigen, maka harus ada pemecahan taknol dari persamaan (AA λλ II)xx =. Dan persamaan ini akan mempunyai Aplikasi Bentuk Kanonik..., Sugiarti, FKIP UMP 214
15 pemecahan taknol jika dan hanya jika det( A λi) =. Ini dinamakan persamaan karakteristik A, skalar yang memenuhi persamaan ini adalah nilai eigen dari A. Bila diperluas, maka det( A λi) adalah polinom λ yang dinamakan polinom karakteristik dari A. Jika A adalah matriks n x n, maka polinom karakteristik A harus memenuhi n dan koefisien λ n adalah 1. Jadi, polinom karakteristik dari matriks n x n mempunyai bentuk n n 1 det(a - λι) = λ + c1λ c n. Contoh II.C.1 : Diketahui matriks 3 2 A = maka tentukan nilai eigen matriks A. 1 Penyelesaian : det (AA λλλλ) = det 3 2 λλ = 3 2 λλ 1 λλ = 3 λλ 2 1 λλ = (3 λλ) ( λλ) ( 2) = λλ 2 3λλ + 2 = Jadi persamaan karakteristik dari A adalah λ 2 3λ + 2 =. Penyelesaian persamaan ini adalah λ = 1 dan λ = 2. Selanjutnya disebut nilai-nilai eigen dari A. Aplikasi Bentuk Kanonik..., Sugiarti, FKIP UMP 214
16 D. Ruang Eigen Suatu Matriks Dan Basisnya Definisi II.D.1 Vektor eigen A yang bersesuaian dengan nilai eigen λ adalah vektor taknol dalam ruang pemecahan dari (λi-a)x =. Selanjutnya ruang pemecahan ini dikatakan sebagai ruang eigen dari A yang bersesuaian dengan λ. Contoh : Carilah vektor eigen matriks berikut 3 A = Pemecahan : Ax = λx ( λi - A)x = det( λi - A) = λ det 2 λ - 3 = λ - 5 (λ 3) ((λ 3)(λ 5) ) ( 2) (( 2)(λ 5) ) + ( ( 2) (λ 3) ) = (λ 3)(λ 2 8λ + 15) + 2( 2λ + 1) + = λ 3λ 8λ + 24λ + 15λ 45 4λ + 2 = λ 3 11λ λ - 25 = (λ -1)(λ - 5)(λ - 5) = Aplikasi Bentuk Kanonik..., Sugiarti, FKIP UMP 214
17 Persamaan karakterisrik dari A adalah (λ 1)(λ 5) 2 = sehingga nilai-nilai eigen dari A adalah λ = 1 dan λ = 5. Jadi diperoleh dua ruang eigen dari A. x1 x = x 2 adalah vektor eigen A yang bersesuaian dengan λ jika dan hanya x 3 jika x adalah ruang pemecahan tak trivial dari (λi-a)x =, yaitu: λ λ - 3 x x λ - 5 x = Jika λ = 5 maka menjadi xx xx 2 = xx bb 2 + bb xx xx 2 = xx 3 2xx 1 2xx 2 + xx 3 = 2xx 1 2xx 2 = 2xx 1 = 2xx 2 Diambil xx 1 = xx 2 x 1 = s maka x 2 = s dan x 3 = t. Jadi vektor-vektor eigen yang bersesuaian dengan λ = 5 adalah vektor-vektor taknol yang berbentuk: Aplikasi Bentuk Kanonik..., Sugiarti, FKIP UMP 214
18 s s 1 x = = + s = s + s 1 t t t 1 Karena 1 1 dan 1 adalah vektor-vektor bebas linier, maka vektorvektor tersebut akan membentuk basis untuk ruang eigen yang bersesuaian dengan λ = 5. Banyakya vektor dalam basis disebut dimensi. Kemudian untuk λ = 1 caranya sama seperti mencari vektor eigen pada λ = 5. E. Matriks Matriks Serupa Matriks A serupa (similar) dengan matriks T jika terdapat suatu matriks nonsingular P sehingga A = PP 1 T P. Teorema II.E.1 Diberikan matriks T dan A yang berukuran n x n. Jika T serupa dengan A, maka kedua matriks mempunyai persamaan karakteristik yang sama dan oleh sebab itu keduanya mempunyai nilai-nilai eigen yang sama. Contoh II.E.I : T = A = 3 3 Dari matriks T didapat persamaan karakteristikya det(t λλλλ) = (λλ 3) 4 sehingga nilai eigen dari T adalah λλ = 3. Jika didefinisikan A = PP 1 TT PP, maka nilai eigen A akan menjadi sama dengan nilai eigen T. Aplikasi Bentuk Kanonik..., Sugiarti, FKIP UMP 214
19 Dimana P adalah matriks nonsingular dan PP 1 adalah invers matriks nonsingular. A = PP 1 TT PP = = 3 3 Maka nilai eigen matriks A adalah λλ = 3. F. Matriks Bentuk Kanonik Jordan Definisi II.F Jika A adalah matriks persegi berukuran n n, maka matriks bentuk Kanonik Jordan dari A adalah suatu matriks persegi dimana BB 1 PP 1 BB AA PP = J = 2 dengan P adalah matriks BB kk nonsingular dan untuk setiap BB ii, i = 1, 2,..., k adalah blok Jordan. Blok Jordan adalah suatu matriks yang berbentuk λλ II 1 xx 1 dengan II 1 xx 1 adalah matriks identitas berukuran 1 1. Definisi II.F.2 Jika A adalah matriks persegi berukuran n n dan det(λλλλ AA) = (λλ rr 1 ) mm 1 (λλ rr 2 ) mm 2... (λλ rr kk ) mm kk, dimana rr 1, rr 2,..., rr kk adalah akar berbeda dari polinom karakteristik A. Jika A serupa dengan Aplikasi Bentuk Kanonik..., Sugiarti, FKIP UMP 214
20 BB 1 BB matriks 2 dengan BB ii adalah blok Jordan yang BB kk berbentuk λλ 1 λλ 1 λλ 1 λλ maka disebut matriks bentuk Kanonik Jordan dari A. Diberikan A adalah matriks persegi n n dan B adalah matriks persegi n n, maka matriks B serupa dengan matriks A jika terdapat matriks nonsingular P sehingga B = P -1 A P. T : RR nn RR nn adalah operator matriks A yang didefinisikan oleh T(xx) = A(xx) dengan A adalah matriks berukuran n x n, maka T dinamakan operator yang dibangun oleh A. T : V W adalah transformasi linear dimana V dan W adalah ruang vektor tidak nol dengan dimensi yang terbatas dari V ke W. Jika A adalah matriks dari T dengan basis αα dari V (A = [TT] αα αα ) dan B adalah matriks dari T dengan basis yang berbeda dari W (B = [TT] ββ ββ ). Hubungan antara operator dan matriks yaitu, misal diberikan operator linear T : V V dan αα = {ee 1, ee 2,..., ee nn } adalah basis untuk V sedangkan ββ = {ff 1, ff 2,..., ff nn } adalah basis yan lain untuk V. Diberikan xx dan yy yang direlasikan oleh T(xx) = yy, karena xx V maka xx dapat dinyatakan dengan xx = cc 1 ee 1 + cc 2 ee cc nn ee nn atau xx = ii=1 cc ii ee ii dan yy = dd 1 ff 1 + dd 2 ff 2 + nn... + dd nn ff nn atau yy = ii=1 dd ii ff ii nn Aplikasi Bentuk Kanonik..., Sugiarti, FKIP UMP 214
21 Dengan demikian koordinat kolom dari xx yang relative terhadap basis αα adalah [xx] αα = (cc 1, cc 2,..., cc nn ) T dan koordinat kolom dari yy adalah [yy] ββ = (dd 1, dd 2,..., dd nn ) T sehingga T(ee jj ) = ii=1 aa iiii ff ii, jj = 1, 2,..., nn. Ekuivalen dengan [T(ee jj )] ββ = (aa iiii, aa 2jj,..., aa mmmm ) T = AA jj dengan A = aa iiii = [AA 1, AA 2,..., AA nn ]. nn Definisi II.F.3 Matriks [T(ee jj )] ββ = (aa iiii, aa 2jj,..., aa mmmm ) T = AA jj dengan A = aa iiii = [AA 1, AA 2,..., AA nn ] maka matriks A dinamakan matriks standar T yang relative terhadap basis αα dan ββ dinotasikan dengan A = [T] = [T] ββ αα. Jika V = W dan αα = ββ maka matriks A= [T] αα αα. Jika T : RR nn RR nn adalah operator matriks T(X) = AX. Kemudian αα adalah basis standar untuk RR nn dan diketahui bahwa [TT] αα αα = A. Jika P adalah matriks nonsingular yang merupakan perubahan basis dari αα ke basis ββ maka diperoleh P -1 A P = P -1 [TT] αα αα P = [TT] ββ ββ = B. Aplikasi Bentuk Kanonik..., Sugiarti, FKIP UMP 214
22 G. Matriks Eksponensial Definisi II.G.1 Jika A adalah matriks n x n, maka matriks eksponensial dari A dinotasikan dengan ee AA atau exp (A) yang merupakan matriks n x n dengan deret pangkat yang didefinisikan : ee AA = I + A + AA2 2! AAkk kk! = AA kk kk= kk! Dengan I adalah matriks identitas berukuran n x n. Sesuai dengan deret maclaurin maka deret tersebut konvergen untuk setiap nilai A sehingga matriks eksponensial dari A selalu terdefinisi. Aplikasi Bentuk Kanonik..., Sugiarti, FKIP UMP 214
BAB II LANDASAN TEORI
BAB II LANDASAN TEORI A. Matriks 1. Pengertian Matriks Definisi II. A. 1 Matriks didefinisikan sebagai susunan segi empat siku- siku dari bilangan- bilangan yang diatur dalam baris dan kolom (Anton, 1987:22).
Lebih terperinciBAB II TINJAUAN PUSTAKA
5 BAB II TINJAUAN PUSTAKA A Matriks 1 Pengertian Matriks Definisi 21 Matriks adalah kumpulan bilangan bilangan yang disusun secara khusus dalam bentuk baris kolom sehingga membentuk empat persegi panjang
Lebih terperinciAPLIKASI BENTUK KANONIK JORDAN DALAM MENGHITUNG MATRIKS EKSPONENSIAL SKRIPSI. Diajukan Untuk Memenuhi Sebagian Syarat Mencapai Gelar Sarjana S1
APLIKASI BENTUK KANONIK JORDAN DALAM MENGHITUNG MATRIKS EKSPONENSIAL SKRIPSI Diajukan Untuk Memenuhi Sebagian Syarat Mencapai Gelar Sarjana S1 Disusun Oleh : SUGIARTI 0701060008 PROGRAM STUDI PENDIDIKAN
Lebih terperinciNILAI EIGEN DAN VEKTOR EIGEN disebut vektor eigen dari matriks A =
NILAI EIGEN DAN VEKTOR EIGEN >> DEFINISI NILAI EIGEN DAN VEKTOR EIGEN Jika A adalah sebuah matriks n n, maka sebuah vektor taknol x pada R n disebut vektor eigen (vektor karakteristik) dari A jika Ax adalah
Lebih terperinciBanyaknya baris dan kolom suatu matriks menentukan ukuran dari matriks tersebut, disebut ordo matriks
MATRIKS DEFINISI Matriks adalah susunan bilangan real atau bilangan kompleks (atau elemen-elemen) yang disusun dalam baris dan kolom sehinggga membentuk jajaran persegi panjang. Matriks memiliki m baris
Lebih terperinciMATRIKS. a A mxn = 21 a 22 a 2n a m1 a m2 a mn a ij disebut elemen dari A yang terletak pada baris i dan kolom j.
MATRIKS A. Definisi Matriks 1. Definisi Matriks dan Ordo Matriks Matriks adalah susunan bilangan (elemen) yang disusun menurut baris dan kolom dan dibatasi dengan tanda kurung. Jika suatu matriks tersusun
Lebih terperinciBAB II DETERMINAN DAN INVERS MATRIKS
BAB II DETERMINAN DAN INVERS MATRIKS A. OPERASI ELEMENTER TERHADAP BARIS DAN KOLOM SUATU MATRIKS Matriks A = berdimensi mxn dapat dibentuk matriks baru dengan menggandakan perubahan bentuk baris dan/atau
Lebih terperinci8 MATRIKS DAN DETERMINAN
8 MATRIKS DAN DETERMINAN Matriks merupakan pengembangan lebih lanjut dari sistem persamaan linear. Oleh karenanya aljabar matriks sering juga disebut dengan aljabar linear. Matriks dapat digunakan untuk
Lebih terperinciTujuan. Mhs dapat mendemonstrasikan operasi matriks: penjumlahan, perkalian, dsb. serta menentukan matriks inverse
Matriks Tujuan Mhs dapat mendemonstrasikan operasi matriks: penjumlahan, perkalian, dsb. serta menentukan matriks inverse Pengertian Matriks Adalah kumpulan bilangan yang disajikan secara teratur dalam
Lebih terperinciBAB I MATRIKS DEFINISI : NOTASI MATRIKS :
BAB I MATRIKS DEFINISI : Matriks adalah himpunan skalar (bilangan riil atau kompleks) yang disusun/dijajarkan berbentuk persegi panjang (menurut baris dan kolom). Skalar-skalar itu disebut elemen matriks.
Lebih terperinciOperasi Pada Matriks a. Penjumlahan pada Matriks ( berlaku untuk matriks matriks yang berukuran sama ). Jika A = a ij. maka matriks A = ( a ij)
MATRIKS a a a... a n a a a... an A a a a... a n............... am am am... a mn Matriks A dengan m baris dan n kolom (A m n). Notasi Matriks : a, dimana a adalah elemen pada baris ke i kolom ke j Kesamaan
Lebih terperinciMatriks adalah susunan segi empat siku-siku dari objek yang diatur berdasarkan baris (row) dan kolom (column). Objek-objek dalam susunan tersebut
Matriks adalah susunan segi empat siku-siku dari objek yang diatur berdasarkan baris (row) dan kolom (column). Objek-objek dalam susunan tersebut dinamakan entri dalam matriks atau disebut juga elemen
Lebih terperinciMUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR
MUHG3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR TIM DOSEN Determinan Matriks Determinan Matriks Sub Pokok Bahasan Permutasi dan Determinan Matriks Determinan dengan OBE Determinan dengan Ekspansi Kofaktor Beberapa Aplikasi
Lebih terperinciMETODE MATRIKS (MATRIKS) Mekanika Rekayasa IV. Norma Puspita, ST. MT. a 11 a 12 a 13 a 1n a 21 a 22 a 23 a 2n
METODE MATRIKS (MATRIKS) Mekanika Rekayasa IV Norma Puspita, ST MT Matriks Matriks adlah susunan bilangan (elemen) yang disusun menurut baris dan kolom sehingga berbentuk persegi panjang Matriks dinotasikan
Lebih terperinciTrihastuti Agustinah
TE 467 Teknik Numerik Sistem Linear Trihastuti Agustinah Bidang Studi Teknik Sistem Pengaturan Jurusan Teknik Elektro - FTI Institut Teknologi Sepuluh Nopember O U T L I N E OBJEKTIF 2 3 CONTOH 4 SIMPULAN
Lebih terperinciALJABAR LINIER MAYDA WARUNI K, ST, MT ALJABAR LINIER (I)
ALJABAR LINIER MAYDA WARUNI K, ST, MT ALJABAR LINIER (I) 1 MATERI ALJABAR LINIER VEKTOR DALAM R1, R2 DAN R3 ALJABAR VEKTOR SISTEM PERSAMAAN LINIER MATRIKS, DETERMINAN DAN ALJABAR MATRIKS, INVERS MATRIKS
Lebih terperinciMATRIKS A = ; B = ; C = ; D = ( 5 )
MATRIKS A. DEFINISI MATRIKS Matriks adalah suatu susunan bilangan berbentuk segi empat dari suatu unsur-unsur pada beberapa sistem aljabar. Unsur-unsur tersebut bisa berupa bilangan dan juga suatu peubah.
Lebih terperinciBAB II LANDASAN TEORI. Pada bab ini, akan diuraikan definisi-definisi dan teorema-teorema yang
BAB II LANDASAN TEORI Pada bab ini, akan diuraikan definisi-definisi dan teorema-teorema yang akan digunakan sebagi landasan pembahasan untuk bab III. Materi yang akan diuraikan antara lain persamaan diferensial,
Lebih terperinciBAB 2 LANDASAN TEORI. yang dibicarakan yang akan digunakan pada bab selanjutnya. Bentuk umum dari matriks bujur sangkar adalah sebagai berikut:
BAB 2 LANDASAN TEORI Pada bab ini dibicarakan mengenai matriks yang berbentuk bujur sangkar dengan beberapa definisi, teorema, sifat-sifat dan contoh sesuai dengan matriks tertentu yang dibicarakan yang
Lebih terperinciMatriks - Definisi. Sebuah matriks yang memiliki m baris dan n kolom disebut matriks m n. Sebagai contoh: Adalah sebuah matriks 2 3.
MATRIKS Pokok Bahasan Matriks definisi Notasi matriks Matriks yang sama Panambahan dan pengurangan matriks Perkalian matriks Transpos suatu matriks Matriks khusus Determinan suatu matriks bujursangkar
Lebih terperinciBAB II LANDASAN TEORI. dalam matriks (Anton, 2000:45). kolom (garis vertikal) yang dikandungnya. Suatu matriks dengan hanya
BAB II LANDASAN TEORI A. Matriks. Pengertian Matriks Definisi II.A. Matriks adalah suatu susunan bilangan-bilangan berbentuk segiempat. Bilangan-bilangan dalam susunan itu disebut anggota dalam matriks
Lebih terperinciBAB II TINJAUAN PUSTAKA. tegak, perlu diketahui tentang materi-materi sebagai berikut.
BAB II TINJAUAN PUSTAKA Sebelum pembahasan mengenai irisan bidang datar dengan tabung lingkaran tegak, perlu diketahui tentang materi-materi sebagai berikut. A. Matriks Matriks adalah himpunan skalar (bilangan
Lebih terperinciDeterminan. Untuk menghitung determinan ordo n terlebih dahulu diberikan cara menghitung determinan ordo 2
Determinan Determinan Setiap matriks bujur sangkar A yang berukuran (nxn) dapat dikaitkan dengan suatu skalar yang disebut determinan matriks tersebut dan ditulis dengan det(a) atau A. Untuk menghitung
Lebih terperinciPertemuan 1 Sistem Persamaan Linier dan Matriks
Matriks & Ruang Vektor Pertemuan Sistem Persamaan Linier dan Matriks Start Matriks & Ruang Vektor Outline Materi Pengenalan Sistem Persamaan Linier (SPL) SPL & Matriks Matriks & Ruang Vektor Persamaan
Lebih terperinci(Departemen Matematika FMIPA-IPB) Matriks Bogor, / 66
MATRIKS Departemen Matematika FMIPA-IPB Bogor, 2012 (Departemen Matematika FMIPA-IPB) Matriks Bogor, 2012 1 / 66 Topik Bahasan 1 Matriks 2 Operasi Matriks 3 Determinan matriks 4 Matriks Invers 5 Operasi
Lebih terperinciEdy Sarwo Agus Wibowo, Yuni Yulida, Thresye
Jurnal Matematika Murni dan Terapan εpsilon Vol.7 No.2 (2013) Hal. 12-19 PENYELESAIAN SISTEM PERSAMAAN DIFERENSIAL LINIER MELALUI DIAGONALISASI MATRIKS Edy Sarwo Agus Wibowo, Yuni Yulida, Thresye Program
Lebih terperinciAljabar Linier Elementer. Kuliah 7
Aljabar Linier Elementer Kuliah 7 Materi Kuliah Ekspansi kofaktor Aturan Cramer 2 2.4 Espansi Kofaktor; Aturan Cramer Definisi: Jika A adalah matriks bujur sangkar, maka minor dari entri a ij dinyatakan
Lebih terperinciBAB 2. DETERMINAN MATRIKS
BAB. DETERMINAN MATRIKS DETERMINAN MATRIKS . Definisi DETERMINAN Determinan : produk (hasil kali) bertanda dari unsur-unsur matriks sedemikian hingga berasal dari baris dan kolom yang berbeda, kemudian
Lebih terperinciMODUL ALJABAR LINEAR 1 Disusun oleh, ASTRI FITRIA NUR ANI
214 MODUL ALJABAR LINEAR 1 Disusun oleh, ASTRI FITRIA NUR ANI Astri Fitria Nur ani Aljabar Linear 1 1/1/214 1 DAFTAR ISI DAFTAR ISI... i BAB I MATRIKS DAN SISTEM PERSAMAAN A. Pendahuluan... 1 B. Aljabar
Lebih terperinciHerlyn Basrina, Yuni Yulida, Thresye Program Studi Matematika Fakultas MIPA Universitas Lambung Mangkurat
Jurnal Matematika Murni dan Terapan εpsilon SOLUSI DARI PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA LINIER ORDE 2 DALAM BENTUK POLINOMIAL TAYLOR Herlyn Basrina, Yuni Yulida, Thresye Program Studi Matematika Fakultas MIPA
Lebih terperinci6- Operasi Matriks. MEKANIKA REKAYASA III MK Unnar-Dody Brahmantyo 1
6- Operasi Matriks Contoh 6-1 : Budi diminta tolong oleh ibunya untuk membeli 2 kg gula dan 1 kg kopi. Dengan uang Rp. 10.000,- Budi mendapatkan uang kembali Rp. 3.000,-. Dihari yang lain, Budi membeli
Lebih terperinciBAB 3 : INVERS MATRIKS
BAB 3 : INVERS MATRIKS PEMBAGIAN MATRIKS DAN INVERS MATRIKS Pada aljabar biasa, bila terdapat hubungan antara 2 besaran a dengan x sedemikian sehingga ax1, maka dikatakan x adalah kebalikan dari a dan
Lebih terperinciBAB 2 LANDASAN TEORI
BAB 2 LANDASAN TEORI Dalam bab ini akan diberikan beberapa materi yang akan diperlukan di dalam pembahasan, seperti: matriks secara umum; matriks yang dipartisi; matriks tereduksi dan taktereduksi; matriks
Lebih terperinciMatriks. Baris ke 2 Baris ke 3
Matriks A. Matriks Matriks adalah susunan bilangan yang diatur menurut aturan baris dan kolom dalam suatu jajaran berbentuk persegi atau persegi panjang. Susunan bilangan itu diletakkan di dalam kurung
Lebih terperinciPart III DETERMINAN. Oleh: Yeni Susanti
Part III DETERMINAN Oleh: Yeni Susanti Perhatikan determinan matriks ukuran 2x2 berikut: Pada masing-masing jumlahan dan Terdapat wakil dari setiap baris dan setiap kolom. Bagaimana dengan tanda + (PLUS)
Lebih terperinciBAB II TINJAUAN PUSTAKA
BAB II TINJAUAN PUSTAKA A. Aljabar Max-Plus Himpunan bilangan riil (R) dengan diberikan opersai max dan plus dengan mengikuti definisi berikut : Definisi II.A.1: Didefinisikan εε dan ee 0, dan untuk himpunan
Lebih terperinciBAB II TINJAUAN PUSTAKA. Aljabar dapat didefinisikan sebagai manipulasi dari simbol-simbol. Secara
4 BAB II TINJAUAN PUSTAKA A. Aljabar Definisi II.A.: Aljabar (Wahyudin, 989:) Aljabar dapat didefinisikan sebagai manipulasi dari simbol-simbol. Secara historis aljabar dibagi menjadi dua periode waktu,
Lebih terperincia11 a12 x1 b1 Kumpulan Materi Kuliah #1 s/d #03 Tahun Ajaran 2016/2016: Oleh: Prof. Dr. Ir. Setijo Bismo, DEA.
a11 a12 x1 b1 a a x b 21 22 2 2 Kumpulan Materi Kuliah #1 s/d #03 Tahun Ajaran 2016/2016: Oleh: Prof. Dr. Ir. Setijo Bismo, DEA. a11 a12 x1 b1 a a x b 21 22 2 2 a11 a12 x1 b1 a a x b 21 22 2 2 Setijo Bismo
Lebih terperinciPAM 252 Metode Numerik Bab 3 Sistem Persamaan Linier
PAM 252 Metode Numerik Bab 3 Sistem Persamaan Linier Mahdhivan Syafwan Jurusan Matematika FMIPA Universitas Andalas Semester Genap 2013/2014 1 Mahdhivan Syafwan Metode Numerik: Sistem Persamaan Linier
Lebih terperinciAljabar Matriks. Aljabar Matriks
Aljabar Matriks No No Unit Unit Kompetensi 1 Menerapkan keamanan web dinamis 2 Membuat halaman web dinamis dasar 3 Membuat halaman web dinamis lanjut 4 Menerapkan web hosting 5 Menerapkan konten web memenuhi
Lebih terperinciMatriks Jawab:
Matriks A. Operasi Matriks 1) Penjumlahan Matriks Jika A dan B adalah sembarang Matriks yang berordo sama, maka penjumlahan Matriks A dengan Matriks B adalah Matriks yang diperoleh dengan cara menjumlahkan
Lebih terperinci2. MATRIKS. 1. Pengertian Matriks. 2. Operasi-operasi pada Matriks
2. MATRIKS 1. Pengertian Matriks Matriks adalah himpunan skalar yang disusun secara empat persegi panjang menurut baris dan kolom. Matriks diberi nama huruf besar, sedangkan elemen-elemennya dengan huruf
Lebih terperinciBAB II KAJIAN PUSTAKA. operasi matriks, determinan dan invers matriks), aljabar max-plus, matriks atas
BAB II KAJIAN PUSTAKA Pada bab ini akan diuraikan mengenai matriks (meliputi definisi matriks, operasi matriks, determinan dan invers matriks), aljabar max-plus, matriks atas aljabar max-plus, dan penyelesaian
Lebih terperinciMATRIKS Nuryanto, ST., MT.
MateMatika ekonomi MATRIKS TUJUAN INSTRUKSIONAL KHUSUS Setelah mempelajari bab ini, anda diharapkan dapat : 1. Pengertian matriks 2. Operasi matriks 3. Jenis matriks 4. Determinan 5. Matriks invers 6.
Lebih terperinciBAB 2 LANDASAN TEORI
BAB 2 LANDASAN TEORI 2.1 Manajemen Sumber Daya Manusia Perusahaan adalah lembaga yang diorganisir dan dijalankan untuk menyediakan barang dan jasa dengan tujuan memperoleh keuntungan.manajemen merupakan
Lebih terperinciMATRIKS. Perhatikan tabel yang memuat data jumlah siswa di suatu sekolah Tabel Jumlah Siswa Kelas Laki-laki Wanita
MATRIKS A. Pengertian Matriks. Pengertian Matriks dan Ordo Matriks Perhatikan tabel yang memuat data jumlah siswa di suatu sekolah Tabel Jumlah Siswa Kelas Laki-laki Wanita Ι ΙΙ ΙΙΙ Dari tabel di atas,
Lebih terperinciALJABAR LINIER DAN MATRIKS
ALJABAR LINIER DAN MATRIKS MATRIKS (DETERMINAN, INVERS, TRANSPOSE) Macam Matriks Matriks Nol (0) Matriks yang semua entrinya nol. Ex: Matriks Identitas (I) Matriks persegi dengan entri pada diagonal utamanya
Lebih terperinciuiopasdfghjklzxcvbnmqwertyuiopasd fghjklzxcvbnmqwertyuiopasdfghjklzx wertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwertyui opasdfghjklzxcvbnmqwertyuiopasdfg
uiopasdfghjklzxcvbnmqwertyuiopasd Qwertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwerty cvbnmqwertyuiopasdfghjklzxcvbnmq fghjklzxcvbnmqwertyuiopasdfghjklzx wertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwertyui opasdfghjklzxcvbnmqwertyuiopasdfg
Lebih terperinciJurnal Matematika Murni dan Terapan Epsilon Juni 2014 Vol. 8 No. 1 METODE KARMARKAR SEBAGAI ALTERNATIF PENYELESAIAN MASALAH PEMROGRAMAN LINEAR
Jurnal Matematika Murni dan Terapan Epsilon Juni 204 Vol. 8 No. METODE KARMARKAR SEBAGAI ALTERNATIF PENYELESAIAN MASALAH PEMROGRAMAN LINEAR Bayu Prihandono, Meilyna Habibullah, Evi Noviani Program Studi
Lebih terperinciGARIS-GARIS BESAR PROGRAM PEMBELAJARAN
GARIS-GARIS BESAR PROGRAM PEMBELAJARAN Mata Kuliah : Aljabar Linear Kode / SKS : TIF-5xxx / 3 SKS Dosen : - Deskripsi Singkat : Mata kuliah ini berisi Sistem persamaan Linier dan Matriks, Determinan, Vektor
Lebih terperinciEigen value & Eigen vektor
Eigen value & Eigen vektor Hubungan antara vektor x (bukan nol) dengan vektor Ax yang berada di R n pada proses transformasi dapat terjadi dua kemungkinan : 1) 2) Tidak mudah untuk dibayangkan hubungan
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN. 3) Untuk mengetahui apa yang dimaksud dengan invers matriks. 4) Untuk mengetahui apa yang dimaksud dengan determinan matriks
1.1 LATAR BELAKANG BAB I PENDAHULUAN Teori matriks merupakan salah satu cabang ilmu aljabar linier yang menjadi pembahasan penting dalam ilmu matematika. Sejalan dengan perkembangan ilmu pengetahuan, aplikasi
Lebih terperinci7. NILAI-NILAI VEKTOR EIGEN. Nilai Eigen dan Vektor Eigen Diagonalisasi Diagonalisasi Ortogonal
7. NILAI-NILAI VEKTOR EIGEN Nilai Eigen dan Vektor Eigen Diagonalisasi Diagonalisasi Ortogonal Nilai Eigen, Vektor Eigen Diketahui A matriks nxn dan x adalah suatu vektor pada R n, maka biasanya tdk ada
Lebih terperinciLEMBAR AKTIVITAS SISWA MATRIKS
Nama Siswa Kelas : : LEMBAR AKTIVITAS SISWA MATRIKS Notasi dan Ordo Matriks Lengkapilah isian berikut! Suatu matriks biasanya dinotasikan dengan huruf kapital, misalnya: A. PENGERTIAN MATRIKS 1) Tabel
Lebih terperinciBAB 2 LANDASAN TEORI
BAB 2 LANDASAN TEORI 2.1 Evaporasi 2.1.1 Pengertian Evaporasi adalah salah satu komponen siklus hidrologi, yaitu peristiwa menguapnya air dari permukaan air, tanah,dan bentuk permukaan bukan dari vegetasi
Lebih terperinciSATUAN ACARA PERKULIAHAN UNIVERSITAS GUNADARMA
Mata Kuliah : Matematika Diskrit 2 Kode / SKS : IT02 / 3 SKS Program Studi : Sistem Komputer Fakultas : Ilmu Komputer & Teknologi Informasi. Pendahuluan 2. Vektor.. Pengantar mata kuliah aljabar linier.
Lebih terperinciBAB II LANDASAN TEORI. yang biasanya dinyatakan dalam bentuk sebagai berikut: =
BAB II LANDASAN TEORI 2.1 Matriks Definisi 2.1 (Lipschutz, 2006): Matriks adalah susunan segiempat dari skalarskalar yang biasanya dinyatakan dalam bentuk sebagai berikut: Setiap skalar yang terdapat dalam
Lebih terperinciBAB 2 LANDASAN TEORI. Analisis Komponen Utama (AKU, Principal Componen Analysis) bermula dari
BAB 2 LANDASAN TEORI 21 Analisis Komponen Utama 211 Pengantar Analisis Komponen Utama (AKU, Principal Componen Analysis) bermula dari tulisan Karl Pearson pada tahun 1901 untuk peubah non-stokastik Analisis
Lebih terperinciBAB II SISTEM PERSAMAAN LINEAR. Sistem persamaan linear ditemukan hampir di semua cabang ilmu
BAB II SISTEM PERSAMAAN LINEAR Sistem persamaan linear ditemukan hampir di semua cabang ilmu pengetahuan. Di bidang ilmu ukur, diperlukan untuk mencari titik potong dua garis dalam satu bidang. Di bidang
Lebih terperinciJURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA FMIPA UNIVERSITAS NEGERI YOGYAKARTA
CATATAN KULIAH ALJABAR LINEAR MUSTHOFA JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA FMIPA UNIVERSITAS NEGERI YOGYAKARTA 20 SISTEM PERSAMAAN LINEAR Tujuan : Menyelesaikan sistem persamaan linear. OPERASI BARIS ELEMENTER
Lebih terperinciModul Praktikum. Aljabar Linier. Disusun oleh: Machudor Yusman IR., M.Kom. Ucapan Terimakasih:
Modul Praktikum Aljabar Linier Disusun oleh: Machudor Yusman IR., M.Kom. Ucapan Terimakasih: David Abror Gabriela Minang Sari Hanan Risnawati Ichwan Almaza Nuha Hanifah Riza Anggraini Saiful Anwar Tri
Lebih terperinciBAB II TINJAUAN PUSTAKA
BAB II TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Sistem Persamaan Diferensial Definisi 2.1.1 Persamaan Diferensial Persamaan diferensial adalah persamaan yang memuat variabel bebas, variabel tak bebas dan derivative-derivatif
Lebih terperinciMATRIKS Matematika Industri I
MATRIKS TIP FTP UB Mas ud Effendi Pokok Bahasan Matriks definisi Notasi matriks Matriks yang sama Panambahan dan pengurangan matriks Perkalian matriks Transpos suatu matriks Matriks khusus Determinan suatu
Lebih terperinciPertemuan 8 Aljabar Linear & Matriks
Pertemuan 8 Aljabar Linear & Matriks 1 Jika A adl matriks nxn yg invertible, untuk setiap matriks b dgn ukuran nx1, maka sistem persamaan linier Ax = b mempunyai tepat 1 penyelesaian, yaitu x = A -1 b
Lebih terperinciDefinisi : det(a) Permutasi himpunan integer {1, 2, 3,, n}:
Definisi : Determinan dari matrik bujursangkar A berorde n adalah jumlah semua permutasi n (n!) hasil kali bertanda dari elemen-elemen matrik. Dituliskan : det(a) atau A (jr j r...j n ).a jr a j r...am
Lebih terperinciMETODE PANGKAT DAN METODE DEFLASI DALAM MENENTUKAN NILAI EIGEN DAN VEKTOR EIGEN DARI MATRIKS
METODE PANGKAT DAN METODE DEFLASI DALAM MENENTUKAN NILAI EIGEN DAN VEKTOR EIGEN DARI MATRIKS Arif Prodi Matematika, FST- UINAM Wahyuni Prodi Matematika, FST-UINAM Try Azisah Prodi Matematika, FST-UINAM
Lebih terperinciMATRIKS VEKTOR DETERMINAN SISTEM LINEAR ALJABAR LINEAR
MATRIKS VEKTOR DETERMINAN SISTEM LINEAR ALJABAR LINEAR 7.1 Matriks DEFINISI Susunan bilangan (fungsi) berbentuk persegi panjang yang ditutup dengan tanda kurung. Bilangan (fungsi) disebut entri-entri matriks.
Lebih terperinciSISTEM PERSAMAAN LINEAR ( BAGIAN II )
SISTEM PERSAMAAN LINEAR ( BAGIAN II ) D. FAKTORISASI MATRIKS D2 2. METODE ITERASI UNTUK MENYELESAIKAN SPL D3 3. NILAI EIGEN DAN VEKTOR EIGEN D4 4. POWER METHOD Beserta contoh soal untuk setiap subbab 2
Lebih terperinciModul 2.2 Matriks dan Sistem Persamaan Linear (Topik 3) A. Pendahuluan Matriks dan Sistem Persamaan Linear
Modul 2.2 Matriks dan Sistem Persamaan Linear (Topik 3) A. Pendahuluan Salah satu kajian matematika sekolah menengah yang memiliki banyak aplikasinya dalam menyelesaikan permasalahan yang ada dalam kehidupan
Lebih terperinciMATRIKS. Matematika. FTP UB Mas ud Effendi. Matematika
MATRIKS FTP UB Mas ud Effendi Pokok Bahasan Transpos suatu matriks Matriks khusus Determinan suatu matriks bujursangkar Invers suatu matriks bujursangkar Penyelesaian set persamaan linier Nilai-eigen dan
Lebih terperinciBAB 2 LANDASAN TEORI
BAB 2 LANDASAN TEORI 2.1 Sistem Persamaan Linier Sistem Persamaan dengan m persamaan dan n bilangan tak diketahui ditulis dengan : Dimana x 1, x 2, x n : bilangan tak diketahui a,b : konstanta Jika SPL
Lebih terperinciMATRIKS. Notasi yang digunakan NOTASI MATRIKS
MATRIKS Beberapa pengertian tentang matriks : 1. Matriks adalah himpunan skalar (bilangan riil atau kompleks) yang disusun atau dijajarkan secara empat persegi panjang menurut baris-baris dan kolom-kolom.
Lebih terperinciSISTEM PERSAMAAN LINEAR
Pokok Bahasan : Sistem persamaan linier Sub Pokok Bahasan : Sistem persamaan linier Eliminasi Gauss Eliminasi Gauss Jordan Penyelesaian SPL dengan invers SISTEM PERSAMAAN LINEAR Tujuan : Menyelesaikan
Lebih terperinciPart II SPL Homogen Matriks
Part II SPL Homogen Matriks SPL Homogen Bentuk Umum SPL homogen dalam m persamaan dan n variabel x 1, x 2,, x n : a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = 0 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a 2n x n = 0 a m1 x 1 + a
Lebih terperinciPelabelan matriks menggunakan huruf kapital. kolom ke-n. kolom ke-3
MATRIKS a. Konsep Matriks Matriks adalah susunan bilangan yang diatur menurut aturan baris dan kolom dalam suatu jajaran berbentuk persegi atau persegipanjang dan diletakkan di dalam kurung biasa ( ) atau
Lebih terperinciM AT E M AT I K A E K O N O M I MATRIKS DAN SPL I N S TITUT P ERTA N I A N BOGOR
M AT E M AT I K A E K O N O M I MATRIKS DAN SPL TO N I BAKHTIAR I N S TITUT P ERTA N I A N BOGOR 2 0 1 2 Kesetimbangan Dua Pasar Permintaan kopi bergantung tidak hanya pada harganya tetapi juga pada harga
Lebih terperinciTRANSFORMASI MATRIKS. Agustina Pradjaningsih, M.Si. Jurusan Matematika FMIPA UNEJ
TRANSFORMAS MATRKS Agustina Pradjaningsih, M.Si. Jurusan Matematika FMPA UNEJ agustina.fmipa@unej.ac.id Definisi : BEBAS LNER Suatu himpunan vektor-vektor v, v, v k dikatakan bebas linier jika persamaan
Lebih terperinciMenentukan Nilai Eigen Tak Dominan Suatu Matriks Definit Negatif Menggunakan Metode Kuasa Invers dengan Shift
Jurnal Penelitian Sains Volume 14 Nomer 1(A) 14103 Menentukan Nilai Eigen Tak Dominan Suatu Matriks Definit Negatif Menggunakan Metode Kuasa Invers dengan Shift Yuli Andriani Jurusan Matematika FMIPA,
Lebih terperinciMATEMATIKA INFORMATIKA 2 TEKNIK INFORMATIKA UNIVERSITAS GUNADARMA FENI ANDRIANI
MATEMATIKA INFORMATIKA 2 TEKNIK INFORMATIKA UNIVERSITAS GUNADARMA FENI ANDRIANI SAP (1) Buku : Suryadi H.S. 1991, Pengantar Aljabar dan Geometri analitik Vektor Definisi, Notasi, dan Operasi Vektor Susunan
Lebih terperinciMATRIKS Matematika Industri I
MATRIKS TIP FTP UB Mas ud Effendi Pokok Bahasan Matriks definisi Notasi matriks Matriks yang sama Panambahan dan pengurangan matriks Perkalian matriks Transpos suatu matriks Matriks khusus Determinan suatu
Lebih terperinciSUMMARY ALJABAR LINEAR
SUMMARY ALJABAR LINEAR SUMANANG MUHTAR GOZALI KBK ANALISIS UNIVERSITAS PENDIDIKAN INDONESIA BANDUNG 2010 2 KATA PENGANTAR Bismillahirrahmanirrahim Segala puji bagi Allah Rabb semesta alam. Shalawat serta
Lebih terperinciPELATIHAN INSTRUKTUR/PENGEMBANG SMU 28 JULI s.d. 12 AGUSTUS 2003 MATRIKS. Oleh: Drs. M. Danuri, M. Pd.
PELATIHAN INSTRUKTUR/PENGEMBANG SMU JULI s.d. AGUSTUS MATRIKS Oleh: Drs. M. Danuri, M. Pd. DEPARTEMEN PENDIDIKAN NASIONAL DIREKTORAT JENDERAL PENDIDIKAN DASAR DAN MENENGAH PUSAT PENGEMBANGAN PENATARAN
Lebih terperinciMATEMATIKA. Sesi MATRIKS CONTOH SOAL A. MATRIKS SATUAN (MATRIKS IDENTITAS)
MATEMATIKA KELAS XII - KURIKULUM GABUNGAN 10 Sesi N MATRIKS A. MATRIKS SATUAN (MATRIKS IDENTITAS) Masih ingat angka 1 kan, setiap bilangan yang dikali satu apakah berubah? Tentunya tidak. Matriks satuan
Lebih terperinciInstitut Teknologi Sepuluh Nopember Surabaya. Keterkendalian (Controlability)
Institut Teknologi Sepuluh Nopember Surabaya Keterkendalian (Controlability) Contoh Soal Ringkasan Latihan Contoh Soal Ringkasan Latihan Vektor Bebas Linear Keterkendalian Keadaan Secara Sempurna dari
Lebih terperinciMATRIK dan RUANG VEKTOR
MATRIK dan RUANG VEKTOR A. Matrik. Pendahuluan Sebuah matrik didefinisikan sebagai susunan persegi panjang dari bilangan bilangan yang diatur dalam baris dan kolom. Matrik ditulis sebagai berikut: a a
Lebih terperinciTEKNIK INFORMATIKA FENI ANDRIANI
EKNIK INFORMIK FENI NDRINI Definisi: Matriks adalah sekumpulan bilangan yang disusun dalam sebuah empat persegi panjang, secara teratur, di dalam baris-baris dan kolom-kolom. a a... a n a a... a n... a
Lebih terperinciDIKTAT MATEMATIKA II
DIKTAT MATEMATIKA II (MATRIK) Drs. A. NABABAN PURNAWAN, S.Pd.,M.T JURUSAN PENDIDIKAN TEKNIK MESIN FAKULTAS PENDIDIKAN TEKNOLOGI DAN KEJURUAN UNIVERSITAS PENDIDIKAN INDONESIA 2004 MATRIKS I. PENGERTIAN
Lebih terperinciBAB 2 LANDASAN TEORI
19 BAB LANDASAN TEORI.1 Analisis Regresi Analisis regresi dalam statistika adalah salah satu metode untuk menentukan hubungan sebab-akibat antara satu variabel dengan variabel yang lain. Variabel penjelas,
Lebih terperinciMatematika Teknik I: Matriks, Inverse, dan Determinan. Oleh: Dadang Amir Hamzah STT DR. KHEZ MUTTAQIEN 2015
Matematika Teknik I: Matriks, Inverse, dan Determinan Oleh: Dadang Amir Hamzah STT DR. KHEZ MUTTAQIEN 2015 Dadang Amir Hamzah (STT) Matematika Teknik I Semester 3, 2015 1 / 33 Outline 1 Matriks Dadang
Lebih terperinciBAB II KAJIAN TEORI. yang diapit oleh dua kurung siku sehingga berbentuk empat persegi panjang atau
BAB II KAJIAN TEORI Pada bab ini akan diberikan kajian teori mengenai matriks dan operasi matriks, program linear, penyelesaian program linear dengan metode simpleks, masalah transportasi, hubungan masalah
Lebih terperinciPAM 252 Metode Numerik Bab 3 Sistem Persamaan Linier
PAM 252 Metode Numerik Bab 3 Sistem Persamaan Linier Mahdhivan Syafwan Jurusan Matematika FMIPA Universitas Andalas Semester Genap 2016/2017 1 Mahdhivan Syafwan Metode Numerik: Sistem Persamaan Linier
Lebih terperinciMATRIKS DAN OPERASINYA. Nurdinintya Athari (NDT)
MATRIKS DAN OPERASINYA Nurdinintya Athari (NDT) MATRIKS DAN OPERASINYA Sub Pokok Bahasan Matriks dan Jenisnya Operasi Matriks Operasi Baris Elementer Matriks Invers (Balikan) Beberapa Aplikasi Matriks
Lebih terperinciPerluasan Teorema Cayley-Hamilton pada Matriks
Vol. 8, No.1, 1-11, Juli 2011 Perluasan Teorema Cayley-Hamilton pada Matriks Nur Erawati, Azmimy Basis Panrita Abstrak Teorema Cayley-Hamilton menyatakan bahwa setiap matriks bujur sangkar memenuhi persamaan
Lebih terperinciKAJIAN MATRIKS JORDAN DAN APLIKASINYA PADA SISTEM LINEAR WAKTU DISKRIT
KAJIAN MATRIKS JORDAN DAN APLIKASINYA PADA SISTEM LINEAR WAKTU DISKRIT Oleh: APRILLIANTIWI NRP. 1207100064 Dosen Pembimbing: 1. Soleha, S.Si, M.Si 2. Dian Winda S., S.Si, M.Si LATAR BELAKANG Matriks dan
Lebih terperinciAljabar Linier Elementer. Kuliah 1 dan 2
Aljabar Linier Elementer Kuliah 1 dan 2 1.3 Matriks dan Operasi-operasi pada Matriks Definisi: Matriks adalah susunan bilangan dalam empat persegi panjang. Bilangan-bilangan dalam susunan tersebut disebut
Lebih terperinciKAJIAN MATRIKS JORDAN DAN APLIKASINYA PADA SISTEM LINEAR WAKTU DISKRIT
KAJIAN MATRIKS JORDAN DAN APLIKASINYA PADA SISTEM LINEAR WAKTU DISKRIT Nama Mahasiswa : Aprilliantiwi NRP : 1207100064 Jurusan : Matematika Dosen Pembimbing : 1 Soleha, SSi, MSi 2 Dian Winda Setyawati,
Lebih terperinciPertemuan 4 Aljabar Linear & Matriks
Pertemuan 4 Aljabar Linear & Matriks 1 Notasi : huruf besar tebal misalnya A, B, C Merupakan array dari bilangan, setiap bilangan disebut elemen matriks (entri matriks) Bentuk umum : m : jumlah baris (mendatar)
Lebih terperinciVektor. Vektor. 1. Pengertian Vektor
Universitas Muhammadiyah Sukabumi Artikel Aljabar Vektor dan Matriks Oleh : Zie_Zie Vektor Vektor 1. Pengertian Vektor a. Definisi Vektor adalah suatu besaran yang mempunyai nilai (besar) dan arah. Contohnya
Lebih terperinciYang dipelajari. 1. Masalah Nilai Eigen dan Penyelesaiannya 2. Masalah Pendiagonalan. Referensi : Kolman & Howard Anton. Ilustrasi
7// NILAI EIGEN dan VEKTOR EIGEN Yang dipelajari.. Masalah Nilai Eigen dan Penyelesaiannya. Masalah Pendiagonalan Referensi : Kolman & Howard Anton. Ilustrasi Misalkan t : R n R n dengan definisi t(x)
Lebih terperinciLEMBAR AKTIVITAS SISWA MATRIKS
Nama Siswa Kelas : : LEMBAR AKTIVITAS SISWA MATRIKS Notasi dan Ordo Matriks Lengkapilah isian berikut! Suatu matriks biasanya dinotasikan dengan huruf kapital, misalnya: A. PENGERTIAN MATRIKS 1) Tabel
Lebih terperinci