BAB 2 PDB Linier Order Satu 2
|
|
- Handoko Susanto
- 6 tahun lalu
- Tontonan:
Transkripsi
1 BAB Konsep Dasar
2 BAB 2 PDB Linier Order Satu 2
3 BAB 3 Aplikasi PDB Order Satu 3
4 BAB 4 PDB Linier Order Dua 4
5 BAB 5 Aplikasi PDB Order Dua 5
6 BAB 6 Sistem PDB 6
7 BAB 7 PDB Nonlinier dan Kesetimbangan Dalam fenomena riel sedikit sekali model PDB muncul dalam bentuk linier. Sebaliknya persamaan itu muncul dengan model nonlinier yang sulit diselesaikan secara analitik. Suatu metoda yang terus berkembang pesat adalah metoda numerik. Namun demikian secara teoritis maupun praktis metoda ini memerlukan pemahaman khusus terutama menyangkut pembuatan komputer programming. Metoda sederhana namun cukup berarti adalah menghampiri persamaan nonlinier dengan persamaan linier termasuk didalamnya menganalisa perubahan koe- sien dan syarat awalnya. Teknik ini dikenal dengan analisa kualitatif, yaitu mencoba menganalisa solusi PDB nonlinier secara gras. Beberapa aspek penting untuk memahami teknik penyelesaian dengan cara ini dapat dijelaskan dalam bahasan berikut. 78
8 BAB 7. PDB NONLINIER DAN KESETIMBANGAN Sistem Linier Suatu sistem PDB order satu dengan n persamaan yang disajikan sebagai dx dt dx2 dt = a x + a 2 x a n x n = a 2 x + a 22 x a 2n x n. dx dt = a x + a 2 x a n x n dapat ditulis dalam bentuk dx dt = Ax: (7.) Misal solusi persamaan ini adalah x = e rt dan x 0 = re rt maka re rt = Ae rt (A ; ri) = 0 Denisi 7.. Misal A 2 R nn maka vektor 2 R n disebut vektor eigen bila A = r dimana r adalah nilai eigen. Untuk memperoleh nilai eigen dapat dipakai formulasi det(a ; ri) = 0 yang sekaligus merupakan persamaan karakteristik dari sistem PDB linier diatas. Selanjutnya bila persamaan (7.) sama dengan nol, yaitu dx dt = Ax = 0 maka solusi sistem PDB linier akan mencapai titik kritis (titik kesetimbangan). Suatu contoh, diberikan sistem PDB x 0 = ;x + x2 x2 0 = ;x ; x2. Titik kritis dapat diperoleh dengan menyelesaikan sistem ;x + x2 = 0 ;x ; x2 = 0
9 BAB 7. PDB NONLINIER DAN KESETIMBANGAN 80 dimana titik yang memenuhi adalah (0 0) sehingga titik kesetimbangannya adalah (0 0). 7.2 Sistem Otonomus dan Trayektori Dalam hal ini akan dibahas sistem PDB dengan dua variabel terikat x x2. Denisi 7.2. Suatu PDB yang berbentuk dx dt dx2 dt = f (x x 2 ) (7.2) = f 2 (x x 2 ) (7.3) adalah merupakan sistem otonomus karena f (x x 2 ) dan f 2 (x x 2 ) bebas dari t. Dengan demikian bila sarat Lipschitz dipenuhi oleh persamaan diatas maka x = x (t) x 2 = x 2 (t) (7.4) merupakan solusinya dan memenuhi sarat awal x (t 0 ) = (x ) 0 x 2 (t 0 ) = (x 2 ) 0. Jelas penyelesaian (7.4) menentukan sebuah kurva diruang tiga-dimensi t x x 2. Jika kita pandang t sebagai parameter, maka bila t berubah dalam selang interval tertentu a < t < b, titik (x (t) x 2 (t)) akan menelusuri sebuah kurva yang disebut trayektori atau orbit dari penyelesaian (7.4) di bidang xx2. Dalam kajian dari sistem sis, pasangan (x x 2 ) disebut fase dari sistem oleh karena itu bidang xx2 pada umumnya disebut bidang fase (phase plan), sedangkan gambar semua trayektori yang berpautan dalam bidang fase disebut potret fase. Untuk menentukan trayektori dari persamaan ( ) dapat digunakan aturan rantai sebagai berikut: dx 2 = dx 2 dt = f 2(x x 2 ) dx dt dx f (x x 2 ) (7.5)
10 BAB 7. PDB NONLINIER DAN KESETIMBANGAN 8 Kemudian dengan menyelesaikan PDB ini akan diperoleh persamaan trayektori yang melalui titik-titik pada domain D. Misal f 2 (x x 2 ) 6= 0 maka persamaan trayektori yang melalui titik-titik lain misal S adalah dx = f (x x 2 ) dx 2 f 2 (x x 2 ) Titik-titik ((x ) 0 (x 2 ) 0 ) dalam bidang fase yang membuat f dan f 2 sama dengan nol merupakan titik setimbang dari sistem ( ) dan x (t) = (x ) 0 x 2 (t) = (x 2 ) 0 adalah penyelesaian untuk semua t. Contoh 7.2. Tentukan titik kritis sistem PDB 0 dx B@ 0 ; dt = 0 CA x dan gambar keluarga trayektori yang berpautan dengan solusi yang memenuhi syarat awal x (0) = x 2 (0) = p 3. Contoh Tentukan titik kritis sistem PDB 0 dx B@ 0 ; dt = 0 CA x dan gambar keluarga trayektori yang berpautan dengan solusi yang memenuhi syarat awal x (0) = x 2 (0) = p 3. Penyelesaian 7.2. Titik kritis ditentukan dengan 0 B@ 0 ; 0 CA x = 0 sehingga (0 0) adalah satu-satunya titik kritis. Kemudian dengan menggunakan persamaan (7.5) maka persamaan trayektori didapat dari menyelesaikan PDB dx2 dx = ;x x 2 x 2 6= 0
11 BAB 7. PDB NONLINIER DAN KESETIMBANGAN 82 dimana penyelesaian umumnya adalah x 2 +x2 2 = c2, suatu lingkaran yang berpusat di (0 0). Dengan menerapkan sarat awal, maka solusi khusus didapat sebagai x 2 + x2 2 = 4. Trayektori dari solusi ini adalah berupa lingkaran yang berpusat di (0 0), dimana gerakannya dapat dianalisis dari solusi x 2 2 = 4 ; x2. Semakin besar nilai x semakin kecil nilai x 2 -nya, dengan demikian gerakan titik berlawanan dengan arah jarum jam, lihat Gambar (7.). x2 2 x Gambar 7.: Trayektori sistem PDB dengan variasi nilai awal. 7.3 Kestabilan Titik Kritis dari Sistem Otonomus Persamaan otonomus yang ditulis dalam sistem berikut dx dt dx2 dt = f (x x 2 ) (7.6) = f 2 (x x 2 ) (7.7)
12 BAB 7. PDB NONLINIER DAN KESETIMBANGAN 83 akan mempunyai ((x ) 0 (x 2 ) 0 ) sebagai titik kritis (atau kesetimbangan) dari sistem ( ) apabila f ((x ) 0 (x 2 ) 0 ) = 0 dan f 2 ((x ) 0 (x 2 ) 0 ) = 0. Karena turunan suatu konstanta sama dengan nol, akibatnya jika titik ((x ) 0 (x 2 ) 0 ) merupakan titik kritis dari sistem ini, maka sepasang fungsi konstan x(t) = (x ) 0 x2(t) = (x 2 ) 0 (7.8) merupakan penyelesaian dari sistem ( ) untuk semua nilai t. Dalam banyak keadaan, sangat penting mengetahui apakah setiap penyelesaian dari sistem ( ) yang memulai cukup dekat dengan penyelesaian (7.8) pada t = 0 akan tetap dekat dengan (7.8) untuk seluruh t > 0 berikutnya. Jika demikian halnya, penyelesaian (7.8), atau titik kritis ((x ) 0 (x 2 ) 0 ) disebut stabil. Untuk lebih jelasnya diberikan denisi berikut. Denisi 7.3. Titik kritis ((x ) 0 (x 2 ) 0 ) atau penyelesaian konstan (7.8) dari sistem ( ) disebut stabil jika untuk setiap bilangan e > 0 terdapat suatui bilangan > 0 sedemikian hingga setiap penyelesaian (x (t) x 2 (t)) yang pada t = 0 memenuhi [x (0) ; (x ) 0 ] 2 + [x 2 (0) ; (x 2 ) 0 ] 2 < (7.9) ujud dan memenuhi [x (t) ; (x ) 0 ] 2 + [x 2 (t) ; (x 2 ) 0 ] 2 < (7.0) untuk semua t 0. Denisi Titik kritis ((x ) 0 (x 2 ) 0 ) atau penyelesaian konstan (7.8) disebut stabil asimtotik jika titik itu stabil dan sebagai tambahan terdapat 0 sedemikian
13 BAB 7. PDB NONLINIER DAN KESETIMBANGAN 84 hingga setiap penyelesaian (x (t) x 2 (t)) yang pada t = 0 memenuhi [x (0) ; (x ) 0 ] 2 + [x 2 (0) ; (x 2 ) 0 ] 2 < 0 (7.) ujud untuk semua t 0 dan memenuhi lim t! x (t) = 0 lim t! x 2(t) = 0 (7.2) Denisi Sebuah titik yang tidak stabil disebut tak stabil. Secara singkat dikatakan, stabilitas berarti perubahan kecil dalam syarat awal hanya menyebabkan pengaruh kecil pada penyelesaian, stabil asimtotik berarti pengaruh dari perubahan kecil cendrung menghilang sama sekali (tidak berpengaruh) sedangkan ketakstabilan berarti suatu perubahan kecil pada syarat awalnya akan berakibat perubahan besar pada penyelesaian. Konsep mengenai titik stabil, stabil asimtotik dan tak stabil masing-masing digambarkan dalam Gambar 7.2. Gambar 7.2: Potret fase sistem PDB dengan MAPLE
14 BAB 7. PDB NONLINIER DAN KESETIMBANGAN 85 Contoh 7.3. Buktikan titik kritis (0 0) sistem PDB adalah stabil. 0 dx B@ 0 ; dt = 0 CA x Penyelesaian 7.3. Misal diberikan > 0. Pilih =. Solusi sistem ini adalah x (t) = c cos t + c 2 sin t (7.3) x 2 (t) = c cos t ; c 2 sin t (7.4) dimana c c 2 adalah sebarang konstan. Karena titik kritis (0 0) maka (x ) 0 = (x 2 ) 0 = 0 dan x (0) = c x 2 (0) = ;c 2, dan jelas [x (0) ; (x ) 0 ] 2 + [x 2 (0) ; (x 2 ) 0 ] 2 < (c ; 0) 2 + (c 2 ; 0) 2 < c 2 + c2 2 < : Selanjutnya apakah [x (t) ; (x ) 0 ] 2 + [x 2 (t) ; (x 2 ) 0 ] 2 < : Substitusikan penyelesaian diatas didapat (c cos t + c 2 sin t) 2 + (c cos t ; c 2 sin t) 2 < c 2 cos2 t + 2c cos tc 2 sin t + c 2 2 sin2 t + c 2 cos2 t ; 2c cos tc 2 sin t + c 2 2 sin2 t < c 2 + c2 2 < = : Lengkaplah pembuktian bahwa titik kritis (0 0) adalah stabil. Kita tahu bahwa trayektori sistem PDB ini merupakan persamaan lingkaran yang berpusat di
15 BAB 7. PDB NONLINIER DAN KESETIMBANGAN 86 (0 0), dengan demikian lingkaran itu tidak menghampiri titik kritis pada saat t!. Ini berarti persamaan (7.2) tidak berlaku, oleh karena itu titik kritis (0 0) bukan stabil asimtotik. Contoh Buktikan titik kritis (0 0) sistem PDB adalah stabil asimtotik. 0 dx B@ ; 0 dt = 0 ; CA x Penyelesaian Mula-mula harus dibuktikan bahwa (0 0) adalah stabil. Misal diberikan > 0. Pilih =. Solusi umum sistem pada soal ini adalah x (t) = c e ;t (7.5) x 2 (t) = c 2 e ;t (7.6) dimana c c 2 adalah sebarang konstan. Disini (x ) 0 = (x 2 ) 0 = 0 dan x (0) = c x 2 (0) = c 2, dan jelas [x (0) ; (x ) 0 ] 2 + [x 2 (0) ; (x 2 ) 0 ] 2 < (c ; 0) 2 + (c 2 ; 0) 2 < c 2 + c2 2 < : Selanjutnya apakah [x (t) ; (x ) 0 ] 2 + [x 2 (t) ; (x 2 ) 0 ] 2 < : Substitusikan penyelesaian diatas didapat (c e ;t ) 2 + (c 2 e ;t ) 2 < (c 2 + c2 2 )e;2t < c 2 + c2 2 < =
16 BAB 7. PDB NONLINIER DAN KESETIMBANGAN 87 dengan demikian titik (0 0) adalah stabil. Karena untuk sebarang c c 2 berlaku lim x (t) = lim c e ;t = 0 lim x 2(t) = lim c 2e ;t = 0 t! t! t! t! maka titik (0 0) adalah stabil asimtotik. Contoh Buktikan titik kritis (0 0) sistem PDB adalah takstabil. 0 dx B@ ;3 4 dt = ;2 3 CA x Penyelesaian Misal titik (0 0) adalah stabil maka untuk > 0 terdapat > 0 sedemikian hingga memenuhi persamaan ( ). Perhatikan bentuk penyelesaian sistem ini x (t) = x 2 (t) = Disini (x ) 0 = (x 2 ) 0 = 0 dan x (0) = x 2 (0) = p ( 2 )2 + ( Selanjutnya apakah p (7.7) 2 et p (7.8) 2 et p 2, dan p 2 )2 < 2 < : [x (t) ; (x ) 0 ] 2 + [x 2 (t) ; (x 2 ) 0 ] 2 < : Substitusikan penyelesaian diatas didapat p p ( ) 2 + ( ) 2 2 et 2 et < 2 e2t < :
17 BAB 7. PDB NONLINIER DAN KESETIMBANGAN 88 Jelas ini tidak akan berlaku untuk semua nilai t 0, sehingga titik kristis (0 0) adalah takstabil. Selanjutnya sifat-sifat kestabilan secara umum dari sistem otonomus linier 0 dx B@ dt = a c b d CA x dapat dianalisa dari nilai eigen matriknya. Bila ad ; bc 6= 0 maka titik kritis (0 0) adalah satu-satunya titik kristis sistem ini dan solusinya akan berbentuk x (t) = Ae t x 2 (t) = Be t : dan sifat-sat kestabilan dapat dilihat dalam teorema berikut. Teorema 7.3. Titik kritis (0 0) dari sistem PDB otonomus akan stabil jika dan hanya jika kedua nilai eigennya riel dan negatif atau mempunyai bagian riel yang takpositif. akan stabil asimtotik jika dan hanya jika kedua nilai eigennya riel dan negatif atau mempunyai bagian riel yang negatif. akan takstabil jika dan hanya jika salah satu atau kedua nilai eigennya riel dan positif atau paling sedikit satu nilai eigen mempunyai bagian riel yang positif. Ketiga contoh yang diberikan semuanya adalah sistem otonomus linier. Dalam contoh (7.3.) persamaan kuadratik nilai eigen (persamaan karakteristik) 2 + = 0. Akar-akarnya adalah 0 i, jelas mempunyai bagin riel yang tak positif (yaitu 0) maka menurut teorema titik kritis ini (0 0) adalah stabil. Dalam contoh
18 BAB 7. PDB NONLINIER DAN KESETIMBANGAN 89 (7.3.2) persamaan karakteristiknya berbentuk = 0. Akar-akarnya = ; = 2. Karena akar-akarnya riel dan negatif maka titik kritis (0 0) adalah stabil asimtotik. Terakhir contoh (7.3.3) persamaan karakteristiknya 2 ; = 0 akar-akarnya = dan = ; sehingga titik kritisnya takstabil. Sekarang perhatikan kembali sistem otonomus ( ). Misal titik kritis itu ((x ) 0 (x 2 ) 0 ) mengalami transformasi karena pemetaan yang berbentuk X = x ; (x ) ; 0 dan X 2 = x 2 ; (x 2 ) ; 0, dan memetakan sistem otonomus kedalam sistem sepadan dengan (0 0) sebagai titik kritis, tanpa mengurangi perumuman, dimana (0 0) juga merupakan titik kritis sistem ( ) maka inilah suatu teknik untuk menghampiri bentuk sistem non linier dengan sistem linier. Sistem hampiran ini akan menjadi sistem yang hampir linier dengan bentuk umum sebagai berikut 0 dx B@ a dt = c b d CA x + F (x x 2 ) dengan ad ; bc 6= 0 dan F (0 0) = 0. Jadi (0 0) tetap merupakan titik kritis sistem ini. Kemudian bila fungsi-fungsi F 2 C (I) didekat titik kritis asal, dan juga terjadi bahwa lim x!0 x 2!0 F (x x 2 ) p x 2 + x2 2 = 0 (7.9) dikatakan bahwa sistem linier 0 dx B@ a dt = c b d CA x merupakan hampiran yang baik terhadap sistem PDB hampir linier diatas. Selanjutnya berkenaan dengan kestabilan titik kritis akan mengikuti teorema berikut.
19 BAB 7. PDB NONLINIER DAN KESETIMBANGAN 90 Teorema Titik kritis (0 0) dari sistem PDB hampir linier akan stabil asimtutik jika titik kritis (0 0) dari sistem PDB linier adalah stabil asimtutik. akan takstabil jika titik kritis (0 0) dari sistem PDB linier adalah takstabil. Contoh Buktikan bahwa titik kritis (0 0) sistem PDB hampir linier x 0 = ;x + x 2 + (x 2 + x2 2 ) x 0 2 = ;2x 2 ; (x 2 + x2 2 )3=2 adalah stabil asimtutik. Penyelesaian Di sini a = ; b = c = 0 d = ;2, dan ad ; bc = 2 6= 0 sedang F (x x 2 ) = (x 2 + x2 2 ) F 2(x x 2 ) = (x 2 + x2 2 )2. Juga F (0 0) = F 2 (0 0) = 0, sehingga syarat (7.9) terpenuhi. Dengan demikian sistem liniernya sekarang adalah x 0 = ;x + x 2 x 0 2 = ;2x 2 Persamaan karakteristik persamaan ini adalah = 0, dimana akarakarnya adalah = ; dan = ;2. Karena kedua akarnya bernilai riel dan negatif maka titik kritis sistem linier ini adalah adalah stabil asimtutik yang berakibat bahwa sistem yang hampir linier itu juga stabil asimtutik. Contoh Buktikan bahwa titik kritis (0 0) sistem PDB hampir linier x 0 = ;3x + 4x 2 + (x 2 ; x 2 2 ) x 0 2 = ;2x + 3x 2 ; x x 2
20 BAB 7. PDB NONLINIER DAN KESETIMBANGAN 9 adalah stabil asimtutik. Penyelesaian Di sini a = ;3 b = 4 c = ;2 d = 3, dan ad ; bc = 2 6= 0 sedang F (x x 2 ) = (x 2 ; x 2 2 ) F 2(x x 2 ) = ;x x 2, juga F (0 0) = F 2 (0 0) = 0. Kita nyatakan x dan x 2 dalam koordinat polar: x = r cos x 2 = r sin maka (syarat x! 0 dan x! 0 sepadan dengan r! 0). Maka F (x x 2 ) lim p r!0 x 2 + x2 2 F 2 (x x 2 ) lim p r!0 x 2 + x2 2 r 2 (cos 2 ; sin 2 ) = lim r!0 r = lim ; r2 (cos sin ) r!0 r = lim r cos 2 = 0 r!0 = lim ;r cos sin = 0: r!0 Jadi syarat (7.9) terpenuhi, sehingga kajian difokuskan pada bagian sistem linier x 0 = ;3x + 4x 2 x 0 2 = ;2x + 3x 2 dimana nilai eigennya adalah = dan 2 = ;. Karena salah satu akarnya adalah positif dan titik (0 0) adalah titik kritis dari sistem linier ini sehingga menjadi takstabil maka sistem hampir linier diatas merupakan sistem PDB dengan titik keritis takstabil. 7.4 Potret Fase Sistem Otonomus Sebagaimana dijelaskan sebelumnya, gambar semua trayektori yang berpautan dari suatu sistem PDB disebut potret fase. Bila sistem PDB itu adalah otonomus linier 0 dx B@ a dt = c b d CA x
21 BAB 7. PDB NONLINIER DAN KESETIMBANGAN 92 maka solusi umumnya adalah x (t) = Ae rt x 2 (t) = Be rt dimana r adalah nilai eigen dari matrik 0 B@ a c b d CA : yaitu, r merupakan akar dari persamaan karakteristik det(a ; ri) = 0: (7.20) Potret fase dari sistem otonomus linier diatas hampir seluruhnya tergantung pada akar-akar r r 2 dari persamaan (7.20). Tabel (7.) merupakan rangkuman potret fase sistem PDB dengan sifat-sifat stabilitasnya. Sedangkan tipe-tipe titik kritis x 0 = Ax det(a ; ri) = 0 det A 6= 0 Nilai eigen Tipe titik kritis Stabilitas r > r 2 > 0 Simpul Tidak stabil r < r 2 < 0 Simpul Stabil asimtotik r < 0 > r 2 Titik plana Tidak stabil r = r 2 > 0 Simpul sempurna atau tak sempurna Tidak stabil r = r 2 < 0 Simpul sempurna atau tak sempurna Stabil asimtotik r r 2 = i Titik spiral (Fokus) > 0 Tidak stabil < 0 Stabil asimtotik r = i r 2 = ;i Pusat Stabil Tabel 7.: Potret fase dan stabilitas sistem PDB otonomus linier pada kolom dua dapat dijelaskan melalui Gambar 7.3. Contoh 7.4. Buatlah gambar potret fase dari sistem otonomus linier x 0 = ;2x + x 2 (7.2) x 0 2 = x ; 2x 2 (7.22)
22 BAB 7. PDB NONLINIER DAN KESETIMBANGAN 93 x 2 x 2 x 2 (( x), ( x ) ) (a) x x (b) x (c) Gambar 7.3: Ringkasan potret fase Penyelesaian 7.4. Akar-akar karakteristik sistem ini adalah r = ; dan r 2 = ;3, sehingga penyelesaian umumnya adalah x (t) = c e ;t + c 2 e ;3t (7.23) x 2 (t) = c e ;t ; c 2 e ;3t : (7.24) Akan ditentukan trayektori dari semua penyelesaian yang diberikan oleh penyelesaian umum ini untuk semua nilai c c 2 yang berbeda. Bila c = c 2 = 0 maka didapat penyelesaian x = x 2 = 0 dimana trayektorinya merupakan titik asal (0 0). Bila c 6= 0 dan c 2 = 0 didapat penyelesaian x (t) = c e ;t (7.25) x 2 (t) = c e ;t (7.26) dan bila c = 0 dan c 2 6= 0 didapat penyelesaian x (t) = c 2 e ;3t (7.27) x 2 (t) = ;c 2 e ;3t : (7.28) Untuk c > 0 semua penyelesaian ( ) mempunyai trayektori yang sama, y = x > 0. Demikian pula untuk c < 0, trayektorinya adalah y = x < 0. Pada persamaan ( ) bila c 2 > 0 dan c 2 < 0, berturut-turut akan diperoleh
23 BAB 7. PDB NONLINIER DAN KESETIMBANGAN 94 trayektori y = ;x < 0 dan y = ;x > 0. Keempat trayektori ini akan berupa setengah garis-garis lurus sebagaimana terlihat dalam Gambar 7.4. Panah-panah pada setengah garis itu menunjukkan arah gerakan pada trayektori bila t bertambah. Untuk mendapatkan trayektori lainnya secara eksplisit kita harus mengeliminasi t pada persamaan ( ) dan menyelidiki semua kurva yang diperoleh untuk nilai konstanta c c 2 yang tidak nol. Bila ini sulit dilakukan maka dapat dianalisa dari ( ), jelas bahwa bila t! setiap trayektori dari sistem PDB pada soal ini akan menuju (0 0). Selanjutnya, untuk c 6= 0 dan c 2 6= 0, kita punyai x lim t! y = lim y t! x = c ;t e ; c 2 e ;3t c e ;t + c 2 e ;3t = lim t! c ; c 2 e ;2t = () y = x: ;2t c + c 2 e Jadi, semua trayektori ini menuju titik asal dan menyinggung garis y = x. Gambar 7.4 menunjukkan beberapa potret fase sistem ( ). y = x >0 y y = x >0 x y = x < 0 y = x <0 Gambar 7.4: Potret fase untuk nilai awal tertentu Selanjutnya dengan MAPLE potret fase ini dapat digambar dengan mudah melalui fungsi DEplot.
24 BAB 7. PDB NONLINIER DAN KESETIMBANGAN 95 %Menggunakan fungsi DEplot with(detools): ode:=di(x(t),t)=-2*x(t)+x2(t) ode2:=di(x2(t),t)=x(t)-2*x2(t) DEplot(ode,ode2,[x(t),x2(t)],t=-3..3,x=-3..3,x2=-3..3) Hasil dari menjalankan fungsi ini dapat dilihat pada gambar dibawah ini. Gambar 7.5: Potret fase sistem secara umum Contoh Buatlah gambar potret fase dari sistem otonomus linier x 0 = 3x ; 2x 2 (7.29) x 0 2 = 2x ; 2x 2 (7.30) Penyelesaian Akar-akar karakteristik sistem ini adalah r = ; dan r 2 = 2, sehingga penyelesaian umumnya adalah x (t) = c e ;t + c 2 e 2t (7.3) x 2 (t) = 2c e ;t + 2 c 2e 2t : (7.32)
25 BAB 7. PDB NONLINIER DAN KESETIMBANGAN 96 Bila c = c 2 = 0 maka didapat penyelesaian x = x 2 = 0 dimana trayektorinya merupakan titik asal (0 0). Bila c 6= 0 dan c 2 = 0 didapat penyelesaian x (t) = c e ;t (7.33) x 2 (t) = 2c e ;t (7.34) dan bila c = 0 dan c 2 6= 0 didapat penyelesaian x (t) = c 2 e 2t (7.35) x 2 (t) = ;c 2 e 2t : (7.36) Untuk c > 0 trayektori sistem persamaan ( ) berupa setengah garis lurus x 2 = 2x > 0, sedangkan untuk c < 0, trayektorinya adalah setengah garis x 2 = 2x < 0. Kemudian untuk c 2 > 0 dan c 2 < 0, berturut-turut akan diperoleh trayektori setengah garis x 2 = 2 x > 0 dan x 2 = 2 x < 0. Arah gerakan titiknya menuju ke titik asal sebagaimana terlihat dalam Gambar 7.4. Untuk c 6= 0 dan c 2 6= 0, kita peroleh x 2 2c e ;t + 2 lim = lim c 2e 2t t! x t! c e ;t + c 2 e 2t dan untuk 2c e ;3t + 2 = lim c 2 = t! c e ;3t + c 2 2 () x 2 = 2 x : x 2 2c e ;t + 2 lim = lim c 2e 2t 2c + 2 = lim c 2e 3t = 2 () x 2 = 2x : t!; x t!; c e ;t + c 2 e 2t t!; c + c 2 e 3t Hal ini menyatakan bahwa untuk t! semua trayektori asimtotis ke garis x 2 = 2 x, sedangkan untuk t! ; semua trayektori asimtotis ke garis x 2 = 2x. Gambar 7.4 menggambarkan beberapa trayektori dari potret fase sistem ( ), dan menunjukkan bahwa hanya ada dua trayektori yang menuju titik asal, selebihnya menjauhi yaitu menuju bila t!. Selanjutnya melalui penerapan fungsi DEplot didapat potret fase umum berikut.
26 BAB 7. PDB NONLINIER DAN KESETIMBANGAN 97 y y = 2x > 0 y = x > 0 2 x y = x < 0 2 y = 2x < 0 Gambar 7.6: Potret fase untuk nilai awal tertentu Gambar 7.7: Potret fase sistem secara umum
27 BAB 7. PDB NONLINIER DAN KESETIMBANGAN 98 Latihan Tutorial 2. Tentukan titik kritis dan persamaan trayektori dari penyelesaian sistem berikut. (a) x 0 = ;x x 0 2 = 2x 2 (b) x 0 = ;x 2 x 0 2 = ;4 sin x (c) x 0 = ;x x 0 2 = 2x 2 (d) x 0 = ;x + x 2 x 0 2 = ;x ; x 2 (e) x 0 = x 2 x 0 2 = ; sin x (f) x 0 = x ; x x 2 x 0 2 = ;x 2 + x x 2 2. Transformasikan PDB berikut kedalam sistem PDB order satu dan hitung persamaan trayektorinya (a) x 00 + x = 0 (b) x 00 + sin x = 0 (c) x 00 ; x + x 3 = 0 3. Tentukan apakah titik kritis (0 0) merupakan titik stabil, stabil asimtutik atau tak stabil. (a) x 0 = x 2 x 0 2 = ;x (b) x 0 = ;x + x 2 x 0 2 = ;2x 2 (c) x 0 = ;x + x 2 x 0 2 = ;x ; x 2 (d) x 0 = 5x ; 6x 2 x 0 2 = 6x ; 7x 2
28 BAB 7. PDB NONLINIER DAN KESETIMBANGAN 99 (e) x 0 = ;3x + 4x 2 x 0 2 = ;2x + 3x 2 (f) x 0 = 5x ; 6x 2 + x x 2 x 0 2 = 6x ; 7x 2 ; x x 2 (g) x 0 = x 2 + x 2 ; x x 2 x 0 2 = ;2x + 3x 2 + x 2 2 (h) x 0 = 3x ; 2x 2 + (x 2 + x2 2 )2 x 0 2 = 4x ; x 2 + (x 2 ; x 2 2 )2 4. Misal sistem x 0 = 5x ; 6x 2 + x 0 2 = 6x ; 7x 2 + menunjukkan dua populasi yang berlomba, dimana x adalah populasi yang diperlukan dan x 2 adalah populasi parasit. Buktikan bahwa titik kritis (0 0) dari sistem ini adalah stabil asimtotik dan karena itu kedua populasi ini akan menuju kepunahan.
BAB II LANDASAN TEORI
BAB II LANDASAN TEORI 2.1 Aljabar Linear Definisi 2.1.1 Matriks Matriks A adalah susunan persegi panjang yang terdiri dari skalar-skalar yang biasanya dinyatakan dalam bentuk berikut: [ ] Definisi 2.1.2
Lebih terperinciBAB 2 PDB Linier Order Satu 2
BAB 1 Konsep Dasar 1 BAB 2 PDB Linier Order Satu 2 BAB 3 Aplikasi PDB Order Satu 3 BAB 4 PDB Linier Order Dua 4 BAB 5 Aplikasi PDB Order Dua 5 BAB 6 Sistem PDB 6 BAB 7 PDB Nonlinier dan Kesetimbangan 7
Lebih terperinciSISTEM DINAMIK KONTINU LINEAR. Oleh: 1. Meirdania Fitri T 2. Siti Khairun Nisa 3. Grahani Ayu Deca F. 4. Fira Fitriah 5.
SISTEM DINAMIK KONTINU LINEAR Oleh: 1. Meirdania Fitri T 2. Siti Khairun Nisa 3. Grahani Ayu Deca F. 4. Fira Fitriah 5. Lisa Risfana Sari Sistem Dinamik D Sistem dinamik adalah sistem yang dapat diketahui
Lebih terperinciI. Sistem Persamaan Diferensial Linier Orde 1 (Review)
I. Sistem Persamaan Diferensial Linier Orde (Review) November 0 () I. Sistem Persamaan Diferensial Linier Orde (Review) November 0 / 6 Teori Umum Bentuk umum sistem persamaan diferensial linier orde satu
Lebih terperinciPersamaan Diferensial Biasa
Persamaan Diferensial Biasa Titik Tetap dan Sistem Linear Toni Bakhtiar Departemen Matematika IPB Oktober 2012 Toni Bakhtiar (m@thipb) PDB Oktober 2012 1 / 31 Titik Tetap SPD Mandiri dan Titik Tetap Tinjau
Lebih terperinciSistem Hasil Kali Persamaan Diferensial Otonomus pada Bidang
Sistem Hasil Kali Persamaan Diferensial Otonomus pada Bidang SKRIPSI Diajukan Kepada Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Negeri Yogyakarta untuk Memenuhi Sebagian Persyaratan Guna
Lebih terperinciBAB II TINJAUAN PUSTAKA
7 BAB II TINJAUAN PUSTAKA Dalam bab ini akan dibahas beberapa poin tentang sistem dinamik, kestabilan sistem dinamik, serta konsep bifurkasi. A. Sistem Dinamik Secara umum Sistem dinamik didefinisikan
Lebih terperinciCreated By Aristastory.Wordpress.com BAB I PENDAHULUAN. Teori sistem dinamik adalah bidang matematika terapan yang digunakan untuk
BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Teori sistem dinamik adalah bidang matematika terapan yang digunakan untuk memeriksa kelakuan sistem dinamik kompleks, biasanya dengan menggunakan persamaan diferensial
Lebih terperinciBAB PDB Linier Order Satu
BAB 1 Konsep Dasar 1 BAB PDB Linier Order Satu BAB 3 Aplikasi PDB Order Satu 3 BAB 4 PDB Linier Order Dua Untuk memulai pembahasan ini terlebih dahulu akan ditinjau beberapa teorema tentang konsep umum
Lebih terperinciBAB 1 Konsep Dasar 1
BAB 1 Konsep Dasar 1 BAB 2 Solusi Persamaan Fungsi Polinomial 2 BAB 3 Interpolasi dan Aproksimasi Polinomial 3 BAB 4 Metoda Numeris untuk Sistem Nonlinier 4 BAB 5 Metoda Numeris Untuk Masalah Nilai Awal
Lebih terperinciBAB 1. KONSEP DASAR. d y ; 3x = d3 y ; y = 3 d y ; x = @u @z 5 6. d y = 7 y x Dalam bahan ajar ini pemba
BAB 1 Konsep Dasar 1.1 Klasikasi Persamaan Difrensial Pada umumnya dikenal dua jenis persamaan difrensial yaitu Persamaan Difrensial Biasa (PDB) dan Persamaan Difrensial Parsial (PDP). Untuk mengetahui
Lebih terperinciBAB I DASAR-DASAR PEMODELAN MATEMATIKA DENGAN PERSAMAAN DIFERENSIAL
BAB I DASAR-DASAR PEMODELAN MATEMATIKA DENGAN PERSAMAAN DIFERENSIAL Pendahuluan Persamaan diferensial adalah persamaan yang memuat diferensial Kita akan membahas tentang Persamaan Diferensial Biasa yaitu
Lebih terperinciBAB 1 Konsep Dasar 1
BAB Konsep Dasar BAB Solusi Persamaan Fungsi Polinomial BAB Interpolasi dan Aproksimasi Polinomial BAB 4 Metoda Numeris untuk Sistem Nonlinier Suatu tekanan p dibutuhkan untuk menancapkan suatu plat sirkuler
Lebih terperinciANALISIS KESTABILAN SISTEM GERAK PESAWAT TERBANG DENGAN MENGGUNAKAN METODE NILAI EIGEN DAN ROUTH - HURWITZ (*) ABSTRAK
ISBN : 978-979-7763-3- ANALISIS KESTABILAN SISTEM GERAK PESAWAT TERBANG DENGAN MENGGUNAKAN METODE NILAI EIGEN DAN ROUTH - HURWITZ (*) Oleh Ahmadin Departemen Matematika, Fakultas Sains dan Teknologi, Universitas
Lebih terperinciI::: 1: J mempunyai persamaan karakteristik sebagai - - x,, matriks berukuran nxn.
2.1 Sistem Persamaan Diferensial Linear Mandiri Perhatikan sistem persamaan diferensial (SPD) berikut ini: 11. LANDASAN TEOR n111... "',, dengan fungsi ~(x) mempunyai sifat X = h (xi (tb... >X.(f)) lim,,,
Lebih terperinciBAB II KAJIAN TEORI. pada penulisan bab III. Materi yang diuraikan berisi tentang definisi, teorema, dan
BAB II KAJIAN TEORI Pada bab ini akan dibahas beberapa hal yang digunakan sebagai landasan pada penulisan bab III. Materi yang diuraikan berisi tentang definisi, teorema, dan beberapa kajian matematika,
Lebih terperinciBAB II LANDASAN TEORI
BAB II LANDASAN TEORI 2.1 Sistem Persamaan Diferensial Banyak sekali masalah terapan dalam ilmu teknik, ilmu fisika, biologi, dan lain-lain yang telah dirumuskan dengan model matematika dalam bentuk pesamaan
Lebih terperinciPembahasan Seleksi Nasional Masuk Perguruan Tinggi Negeri (SNMPTN)
Pembahasan Seleksi Nasional Masuk Perguruan Tinggi Negeri (SNMPTN) Bidang Matematika Kode Paket 578 Oleh : Fendi Alfi Fauzi 1. Diketahui vektor u = (a,, 1) dan v = (a, a, 1). Jika vektor u tegak lurus
Lebih terperinciBAB III PEMODELAN PERSAMAAN INTEGRAL PADA ALIRAN FLUIDA
BAB III PEMODELAN PERSAMAAN INTEGRAL PADA ALIRAN FLUIDA 3.1 Deskripsi Masalah Permasalahan yang dibahas di dalam Tugas Akhir ini adalah mengenai aliran fluida yang mengalir keluar melalui sebuah celah
Lebih terperinciPersamaan Di erensial Orde-2
oki neswan FMIPA-ITB Persamaan Di erensial Orde- Persamaan diferensial orde-n adalah persamaan yang melibatkan x; y; dan turunan-turunan y; dengan yang paling tinggi adalah turunan ke-n: F x; y; y ; y
Lebih terperinciBAB 4 MODEL DINAMIKA NEURON FITZHUGH-NAGUMO
BAB 4 MODEL DINAMIKA NEURON FITZHUGH-NAGUMO 4.1 Model Dinamika Neuron Fitzhugh-Nagumo Dalam papernya pada tahun 1961, Fitzhugh mengusulkan untuk menerangkan model Hodgkin-Huxley menjadi lebih umum, yang
Lebih terperinciLANDASAN TEORI. Model ini memiliki nilai kesetimbangan positif pada saat koordinat berada di titik
LANDASAN TEORI Model Mangsa Pemangsa Lotka Volterra Bagian ini membahas model mangsa pemangsa klasik Lotka Volterra. Model Lotka Volterra menggambarkan laju perubahan populasi dua spesies yang saling berinteraksi.
Lebih terperinciSoal-Soal dan Pembahasan Matematika IPA SNMPTN 2012 Tanggal Ujian: 13 Juni 2012
Soal-Soal dan Pembahasan Matematika IPA SNMPTN 01 Tanggal Ujian: 13 Juni 01 1. Lingkaran (x + 6) + (y + 1) 5 menyinggung garis y 4 di titik... A. ( -6, 4 ). ( -1, 4 ) E. ( 5, 4 ) B. ( 6, 4) D. ( 1, 4 )
Lebih terperinciKarena v merupakan vektor bukan nol, maka A Iλ = 0. Dengan kata lain, Persamaan (2.2) dapat dipenuhi jika dan hanya jika,
BAB II KAJIAN TEORI Pada bab ini akan dibahas mengenai definisi-definisi dan teorema-teorema dari nilai eigen, vektor eigen, dan diagonalisasi, sistem persamaan differensial, model predator prey lotka-voltera,
Lebih terperinciSoal-soal dan Pembahasan Matematika Dasar SBMPTN - SNMPTN 2007
Soal-soal dan Pembahasan Matematika Dasar SBMPTN - SNMPTN 007. Jika a > 0 dan a memenuhi a 4 b ( ) a, maka log b A. B. C. D. E. a a 4 b ( ) a 4 ( b a ) a 4 b a b 4 4 log b log 4 log ( ) log log. Jawabannya
Lebih terperinciKeep running VEKTOR. 3/8/2007 Fisika I 1
VEKTOR 3/8/007 Fisika I 1 BAB I : VEKTOR Besaran vektor adalah besaran yang terdiri dari dua variabel, yaitu besar dan arah. Sebagai contoh dari besaran vektor adalah perpindahan. Sebuah besaran vektor
Lebih terperinciBAB II LANDASAN TEORI
BAB II LANDASAN TEORI. Sistem Pendulum Terbalik Dalam penelitian ini diperhatikan sistem pendulum terbalik seperti pada Gambar di mana sebuah pendulum terbalik dimuat dalam motor yang bisa digerakkan.
Lebih terperinciBAB II TINJAUAN PUSTAKA. Pengertian dari persamaan diferensial biasa (PDB) yaitu suatu
5 BAB II TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Persamaan Diferensial Biasa Pengertian dari persamaan diferensial biasa (PDB) yaitu suatu persamaan yang melibatkan turunan pertama atau lebih dari suatu fungsi yang telah
Lebih terperinciBAB VII MATRIKS DAN SISTEM LINEAR TINGKAT SATU
BAB VII MATRIKS DAN SISTEM LINEAR TINGKAT SATU Sistem persamaan linear orde/ tingkat satu memiliki bentuk standard : = = = = = = = = = + + + + + + + + + + Diasumsikan koefisien = dan fungsi adalah menerus
Lebih terperinciBAB II KAJIAN TEORI. representasi pemodelan matematika disebut sebagai model matematika. Interpretasi Solusi. Bandingkan Data
A. Model Matematika BAB II KAJIAN TEORI Pemodelan matematika adalah proses representasi dan penjelasan dari permasalahan dunia real yang dinyatakan dalam pernyataan matematika (Widowati dan Sutimin, 2007:
Lebih terperinciBAB II LANDASAN TEORI
BAB II LANDASAN TEORI Pada bab II ini dibahas teori-teori pendukung yang digunakan untuk pembahasan selanjutnya yaitu tentang Persamaan Nonlinier, Metode Newton, Aturan Trapesium, Rata-rata Aritmatik dan
Lebih terperinciSISTEM DINAMIK DISKRET. Anggota Kelompok: 1. Inggrid Riana C. 2. Kharisma Madu B. 3. Solehan
SISTEM DINAMIK DISKRET Anggota Kelompok: 1. Inggrid Riana C. 2. Kharisma Madu B. 3. Solehan SISTEM DINAMIK Kontinu Sistem Dinamik Diskret POKOK BAHASAN SDD OTONOMUS NON-OTONOMUS 1-D MULTI-D LINEAR NON-LINEAR
Lebih terperinciBIFURKASI HOPF PADA SISTEM PREDATOR PREY DENGAN FUNGSI RESPON TIPE II
BIFURKASI HOPF PADA SISTEM PREDATOR PREY DENGAN FUNGSI RESPON TIPE II SKRIPSI Diajukan kepada Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Negeri Yogyakarta untuk Memenuhi Sebagian Persyaratan
Lebih terperinciPertemuan Minggu ke Bidang Singgung, Hampiran 2. Maksimum dan Minimum 3. Metode Lagrange
Pertemuan Minggu ke-11 1. Bidang Singgung, Hampiran 2. Maksimum dan Minimum 3. Metode Lagrange 1. BIDANG SINGGUNG, HAMPIRAN Tujuan mempelajari: memperoleh persamaan bidang singgung terhadap permukaan z
Lebih terperinci1/32 FISIKA DASAR (TEKNIK SIPIL) KINEMATIKA. menu. Mirza Satriawan. Physics Dept. Gadjah Mada University Bulaksumur, Yogyakarta
1/32 FISIKA DASAR (TEKNIK SIPIL) KINEMATIKA Mirza Satriawan Physics Dept. Gadjah Mada University Bulaksumur, Yogyakarta email: mirza@ugm.ac.id Definisi KINEMATIKA Kinematika adalah cabang ilmu fisika yang
Lebih terperinci: D C adalah fungsi kompleks dengan domain riil
BAB 4. INTEGRAL OMPLES 4. Integral Garis ompleks Misalkan ( : D adalah fungsi kompleks dengan domain riil b D [ a, b], maka integral (, dimana ( x( + iy( dapat dengan mudah a b dihitung, yaitu a i contoh
Lebih terperinciBAB II LANDASAN TEORI
BAB II LANDASAN TEORI 2.1 Sistem Persamaan diferensial Persamaan diferensial adalah suatu persamaan yang di dalamnya terdapat turunan-turunan. Jika terdapat variabel bebas tunggal, turunannya merupakan
Lebih terperinciKESTABILAN SISTEM PREDATOR-PREY LESLIE
Jurnal Matematika Murni dan Terapan Vol. 3 No. Desember 009: 51-59 KESTABILAN SISTEM PREDATOR-PREY LESLIE Dewi Purnamasari, Faisal, Aisjah Juliani Noor Program Studi Matematika Universitas Lambung Mangkurat
Lebih terperinciBAB II PENGANTAR SOLUSI PERSOALAN FISIKA MENURUT PENDEKATAN ANALITIK DAN NUMERIK
BAB II PENGANTAR SOLUSI PERSOALAN FISIKA MENURUT PENDEKATAN ANALITIK DAN NUMERIK Tujuan Instruksional Setelah mempelajari bab ini pembaca diharapkan dapat: 1. Menjelaskan cara penyelesaian soal dengan
Lebih terperinciIV PEMBAHASAN. jika λ 1 < 0 dan λ 2 > 0, maka titik bersifat sadel. Nilai ( ) mengakibatkan. 4.1 Model SIR
9 IV PEMBAHASAN 4.1 Model SIR 4.1.1 Titik Tetap Untuk mendapatkan titik tetap diperoleh dari dua persamaan singular an ) sehingga dari persamaan 2) diperoleh : - si + s = 0 9) si + )i = 0 didapat titik
Lebih terperinciBAB II LANDASAN TEORI
BAB II LANDASAN TEORI 2.1 Sistem Persamaan diferensial Persamaan diferensial merupakan persamaan yang melibatkan turunanturunan dari fungsi yang tidak diketahui (Waluya, 2006). Contoh 2.1 : Diberikan persamaan
Lebih terperinciBab II Teori Pendukung
Bab II Teori Pendukung II.1 Sistem Autonomous Tinjau sistem persamaan differensial berikut, = dy = f(x, y), g(x, y), (2.1) dengan asumsi f dan g adalah fungsi kontinu yang mempunyai turunan yang kontinu
Lebih terperinciBAB II LANDASAN TEORI. dalam penulisan skripsi ini. Teori-teori yang digunakan berupa definisi-definisi serta
BAB II LANDASAN TEORI Pada bab ini akan diuraikan beberapa teori-teori yang digunakan sebagai acuan dalam penulisan skripsi ini. Teori-teori yang digunakan berupa definisi-definisi serta teorema-teorema
Lebih terperinciMA1201 MATEMATIKA 2A Hendra Gunawan
MA101 MATEMATIKA A Hendra Gunawan Semester II, 016/017 1 Maret 017 Bab Sebelumnya 9.1 Barisan Tak Terhingga 9. Deret Tak Terhingga 9.3 Deret Positif: Uji Integral 9.4 Deret Positif: Uji Lainnya 9.5 Deret
Lebih terperinciBAB II TINJAUAN PUSTAKA. kestabilan model predator-prey tipe Holling II dengan faktor pemanenan.
BAB II TINJAUAN PUSTAKA Dalam bab ini akan dibahas mengenai dasar teori untuk menganalisis simulasi kestabilan model predator-prey tipe Holling II dengan faktor pemanenan. 2.1 Persamaan Diferensial Biasa
Lebih terperinciMA1201 KALKULUS 2A (Kelas 10) Bab 8: Bentuk Tak Tentu d
MA1201 KALKULUS 2A (Kelas 10) Bab 8: dan Do maths and you see the world ? Pengantar Bentuk tak tentu? Bentuk apa? Bentuk tak tentu yang dimaksud adalah bentuk limit dengan nilai seolah-olah : 0 0 ; ; 0
Lebih terperinciPecahan Parsial (Partial Fractions)
oki neswan (fmipa-itb) Pecahan Parsial (Partial Fractions) Diberikan fungsi rasional f (x) p(x) q(x) f (x) r(x) : Jika deg p deg q; maka r (x) ^p (x) q(x) ; dengan deg r < deg q: p (x) q (x) r (x) ^p (x)
Lebih terperinciPersamaan Parametrik
oki neswan (fmipa-itb) Persamaan Parametrik Kita telah lama terbiasa dengan kurva yang dide nisikan oleh sebuah persamaan yang menghubungkan koordinat x dan y: Contohnya persamaan eksplisit seperti y x
Lebih terperinciPembahasan Matematika IPA SNMPTN 2012 Kode 132
Tutur Widodo Pembahasan Matematika IPA SNMPTN 0 Pembahasan Matematika IPA SNMPTN 0 Kode Oleh Tutur Widodo. Lingkaran (x 6) + (y + ) = menyinggung garis x = di titik... (, 6) d. (, ) (, 6) e. (, ) c. (,
Lebih terperinciMA1201 KALKULUS 2A Do maths and you see the world
Catatan Kuliah MA20 KALKULUS 2A Do maths and you see the world disusun oleh Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Kelompok Keilmuan STATISTIKA - FMIPA Institut Teknologi Bandung 203 Catatan kuliah ini ditulis
Lebih terperinciBAB IV PEMBAHASAN. 4.1 Analisis Kestabilan Model Matematika AIDS dengan Transmisi. atau Ibu menyusui yang positif terinfeksi HIV ke anaknya.
BAB IV PEMBAHASAN Pada bab ini dilakukan analisis model penyebaran penyakit AIDS dengan adanya transmisi vertikal pada AIDS. Dari model matematika tersebut ditentukan titik setimbang dan kemudian dianalisis
Lebih terperinciMA1201 MATEMATIKA 2A Hendra Gunawan
MA1201 MATEMATIKA 2A Hendra Gunawan Semester II, 2016/2017 8 Maret 2017 Kuliah yang Lalu 10.1-2 Parabola, Elips, dan Hiperbola 10.4 Persamaan Parametrik Kurva di Bidang 10.5 Sistem Koordinat Polar 11.1
Lebih terperinciPembahasan Soal SIMAK UI 2012 SELEKSI MASUK UNIVERSITAS INDONESIA. Disertai TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS. Matematika IPA
Pembahasan Soal SIMAK UI 0 SELEKSI MASUK UNIVERSITAS INDONESIA Disertai TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS Matematika IPA Disusun Oleh : Pak Anang Kumpulan SMART SOLUTION dan TRIK SUPERKILAT Pembahasan
Lebih terperinciTeori kendali. Oleh: Ari suparwanto
Teori kendali Oleh: Ari suparwanto Minggu Ke-1 Permasalahan oleh : Ari Suparwanto Permasalahan Diberikan sistem dan sinyal referensi. Masalah kendali adalah menentukan sinyal kendali sehingga output sistem
Lebih terperinciSoal-Soal dan Pembahasan Matematika IPA SNMPTN 2012 Tanggal Ujian: 13 Juni 2012
Soal-Soal dan Pembahasan Matematika IPA SNMPTN 01 Tanggal Ujian: 13 Juni 01 1. Lingkaran (x + 6) + (y + 1) 5 menyinggung garis y 4 di titik... A. ( -6 4 ). ( -1 4 ) E. ( 5 4 ) B. ( 6 4) D. ( 1 4 ) BAB
Lebih terperinciPREDIKSI UAN MATEMATIKA SESUAI KISI-KISI PEMERINTAH
PREDIKSI UAN MATEMATIKA SESUAI KISI-KISI PEMERINTAH. Apabila P dan q kalimat pernyataan, di mana ~p q kalimat bernilai salah, maka kalimat yang benar berikut ini, kecuali (d) p q (~p ~q) (~p ~q) ~ (~p
Lebih terperinciNILAI EIGEN DAN VEKTOR EIGEN disebut vektor eigen dari matriks A =
NILAI EIGEN DAN VEKTOR EIGEN >> DEFINISI NILAI EIGEN DAN VEKTOR EIGEN Jika A adalah sebuah matriks n n, maka sebuah vektor taknol x pada R n disebut vektor eigen (vektor karakteristik) dari A jika Ax adalah
Lebih terperinciPENGANTAR MATEMATIKA TEKNIK 1. By : Suthami A
PENGANTAR MATEMATIKA TEKNIK 1 By : Suthami A MATEMATIKA TEKNIK 1??? MATEMATIKA TEKNIK 1??? MATEMATIKA TEKNIK Matematika sebagai ilmu dasar yang digunakan sebagai alat pemecahan masalah di bidang keteknikan
Lebih terperinciBola dan bidang Rata
1 KEGIATAN BELAJAR 9 Bola dan Bidang Rata Setelah mempelajari kegiatan belajar 9 ini, mahasiswa diharapkan mampu menentukan persamaan bidang singgung bola dan titik kuasa bola. Pernahkah Anda memperhatikan
Lebih terperinciII. TINJAUAN PUSTAKA. Sistem dinamik adalah sistem yang berubah dari waktu ke waktu (Farlow,et al.,
II. TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Sistem Dinamik Sistem dinamik adalah sistem yang berubah dari waktu ke waktu (Farlow,et al., 2002). Salah satu tujuan utama dari sistem dinamik adalah mempelajari perilaku dari
Lebih terperinciII LANDASAN TEORI 2.1 Sistem Persamaan Diferensial Definisi 1 [Sistem Persamaan Diferensial Linear (SPDL)]
II LANDASAN TEORI 2.1 Sistem Persamaan Diferensial Definisi 1 [Sistem Persamaan Diferensial Linear (SPDL)] Suatu sistem persamaan diferensial dinyatakan sebagai berikut: A adalah matriks koefisien konstan
Lebih terperinciBAB 2 TINJAUAN PUSTAKA
BAB 2 TINJAUAN PUSTAKA Pada bab ini dibahas mengenai tinjauan pustaka yang digunakan dalam penelitian ini, khususnya yang diperlukan dalam Bab 3. Teori yang dibahas adalah teori yang mendukung pembentukan
Lebih terperinciPersamaan diferensial adalah suatu persamaan yang memuat satu atau lebih turunan fungsi yang tidak diketahui.
1 Persamaan diferensial adalah suatu persamaan yang memuat satu atau lebih turunan fungsi yang tidak diketahui. Jika persamaan diferensial memiliki satu peubah tak bebas maka disebut Persamaan Diferensial
Lebih terperinciBAB II TINJAUAN PUSTAKA
BAB II TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Sistem Persamaan Diferensial Definisi 2.1.1 Persamaan Diferensial Persamaan diferensial adalah persamaan yang memuat variabel bebas, variabel tak bebas dan derivative-derivatif
Lebih terperinciPengantar Metode Perturbasi Bab 1. Pendahuluan
Pengantar Metode Perturbasi Bab 1. Pendahuluan Mahdhivan Syafwan Jurusan Matematika FMIPA Universitas Andalas PAM 454 KAPITA SELEKTA MATEMATIKA TERAPAN II Semester Ganjil 2016/2017 Review Teori Dasar Terkait
Lebih terperinciPENYELESAIAN PERSAMAAN DIFFERENSIAL ORDE 1 - I
PENYELESAIAN PERSAMAAN DIFFERENSIAL ORDE 1 - I 1. Pendahuluan Pengertian Persamaan Diferensial Metoda Penyelesaian -contoh Aplikasi 1 1.1. Pengertian Persamaan Differensial Secara Garis Besar Persamaan
Lebih terperinciBAB MATRIKS. Tujuan Pembelajaran. Pengantar
BAB II MATRIKS Tujuan Pembelajaran Setelah mempelajari materi bab ini, Anda diharapkan dapat: 1. menggunakan sifat-sifat dan operasi matriks untuk menunjukkan bahwa suatu matriks persegi merupakan invers
Lebih terperinciPAM 252 Metode Numerik Bab 2 Persamaan Nonlinier
PAM 252 Metode Numerik Bab 2 Persamaan Nonlinier Mahdhivan Syafwan Jurusan Matematika FMIPA Universitas Andalas Semester Genap 2016/2017 1 Mahdhivan Syafwan Metode Numerik: Persamaan Nonlinier Solusi persamaan
Lebih terperinciHendra Gunawan. 5 Maret 2014
MA101 MATEMATIKA A Hendra Gunawan Semester II, 013/014 5 Maret 014 Kuliah yang Lalu 10.1 Parabola, aboa, Elips, danhiperbola a 10.4 Persamaan Parametrik Kurva di Bidang 10.5 SistemKoordinatPolar 11.1 Sistem
Lebih terperinciTRY OUT MATEMATIKA PAKET 2A TAHUN 2010
TRY OUT MATEMATIKA PAKET A TAHUN 00. Diketahui premis premis () Jika hari hujan terus menerus maka masyarakat kawasan Kaligawe gelisah atau mudah sakit. () Hujan terus menerus. Ingkaran kesimpulan premis
Lebih terperinciBAB III HASIL DAN PEMBAHASAN. analitik dengan metode variabel terpisah. Selanjutnya penyelesaian analitik dari
BAB III HASIL DAN PEMBAHASAN Pada bab ini akan dibahas penurunan model persamaan panas dimensi satu. Setelah itu akan ditentukan penyelesaian persamaan panas dimensi satu secara analitik dengan metode
Lebih terperinciOleh Nara Riatul Kasanah Dosen Pembimbing Drs. Sri Suprapti H., M.Si
Oleh Nara Riatul Kasanah 1209100079 Dosen Pembimbing Drs. Sri Suprapti H., M.Si JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT TEKNOLOGI SEPULUH NOPEMBER SURABAYA 2014 PENDAHULUAN
Lebih terperinciPERSAMAAN GARIS LURUS
1 KEGIATAN BELAJAR 3 PERSAMAAN GARIS LURUS Setelah mempelajari kegiatan belajar 3 ini, mahasiswa diharapkan mampu: 1. menentukan persamaan gradien garis lurus, 2. menentukan persamaan vektoris dan persamaan
Lebih terperinciSOAL&PEMBAHASAN MATEMATIKATKDSAINTEK SBMPTN. yos3prens.wordpres.com
SOAL&PEMBAHASAN MATEMATIKATKDSAINTEK SBMPTN 05 yosprens.wordpres.com SOAL DAN PEMBAHASAN MATA UJI MATEMATIKA TKD SAINTEK SBMPTN 05 Berikut ini 5 soal mata uji matematika beserta pembahasannya yang diujikan
Lebih terperinciBagian 2 Matriks dan Determinan
Bagian Matriks dan Determinan Materi mengenai fungsi, limit, dan kontinuitas akan kita pelajari dalam Bagian Fungsi dan Limit. Pada bagian Fungsi akan mempelajari tentang jenis-jenis fungsi dalam matematika
Lebih terperinciSuatu sistem persamaan diferensial dinyatakan sebagai berikut : Misalkan suatu sistem persamaan diferensial (SPD) dinyatakan sebagai
11. TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Sistem Persamaan Diferensial Definisi 1 [ Sistem Persamaan Diferensial Linear (SPDL) ] Jika suatu sistem persamaan diferensial dinyatakan sebagai berikut : x=ax+b,x(0)=x0,x~%"
Lebih terperinciKINEMATIKA. Fisika. Tim Dosen Fisika 1, ganjil 2016/2017 Program Studi S1 - Teknik Telekomunikasi Fakultas Teknik Elektro - Universitas Telkom
KINEMATIKA Fisika Tim Dosen Fisika 1, ganjil 2016/2017 Program Studi S1 - Teknik Telekomunikasi Fakultas Teknik Elektro - Universitas Telkom Sasaran Pembelajaran Indikator: Mahasiswa mampu mencari besaran
Lebih terperinciPERSAMAAN BIDANG RATA
1 KEGIATAN BELAJAR 5 PERSAMAAN BIDANG RATA Setelah mempelajari kegiatan belajar 5 ini, mahasiswa diharapkan mampu: 1. Menentukan persamaan vektoris bidang rata 2. Menentukan persamaan linier bidang rata
Lebih terperinciFUNGSI dan LIMIT. 1.1 Fungsi dan Grafiknya
FUNGSI dan LIMIT 1.1 Fungsi dan Grafiknya Fungsi : suatu aturan yang menghubungkan setiap elemen suatu himpunan pertama (daerah asal) tepat kepada satu elemen himpunan kedua (daerah hasil) fungsi Daerah
Lebih terperinciPAM 252 Metode Numerik Bab 2 Persamaan Nonlinier
PAM 252 Metode Numerik Bab 2 Persamaan Nonlinier Mahdhivan Syafwan Jurusan Matematika FMIPA Universitas Andalas Semester Genap 2013/2014 1 Mahdhivan Syafwan Metode Numerik: Persamaan Nonlinier Solusi persamaan
Lebih terperinciSUDUT DAN JARAK ANTARA DUA BIDANG RATA
1 KEGIATAN BELAJAR 6 SUDUT DAN JARAK ANTARA DUA BIDANG RATA Setelah mempelajari kegiatan belajar 6 ini, mahasiswa diharapkan mampu: 1. Menentukan sudut antara dua bidang rata 2. Menentukan jarak sebuah
Lebih terperinciMODUL 3 BIDANG RATA. [Program Studi Pendidikan Matematika STKIP PGRI Sumatera Barat]
1 MODUL 3 BIDANG RATA Setelah mempelajari modul 1 dan 2 anda akan melanjutkan mempelajari modul 3 tentang bidang rata. Materi bidang rata ini berkaitan dengan materi pada modul sebelumnya. Pada modul 3
Lebih terperinciPERSAMAAN KUADRAT. Persamaan. Sistem Persamaan Linear
Persamaan Sistem Persamaan Linear PENGERTIAN Definisi Persamaan kuadrat adalah kalimat matematika terbuka yang memuat hubungan sama dengan yang pangkat tertinggi dari variabelnya adalah 2. Bentuk umum
Lebih terperinciPRAKTIKUM 2 SOLUSI MATEMATIKA DENGAN MAPLE (BAGIAN 1)
PRAKTIKUM SOLUSI MATEMATIKA DENGAN MAPLE (BAGIAN 1) 1. MINGGU KE : 3. PERALATAN : LCD, E-LEARNING 3. SOFTWARE : MAPLE 4. TUJUAN Dengan menggunakan Maple, mahasiswa dapat menyelesaikan masalah: Menentukan
Lebih terperinciI. PENDAHULUAN. dan kotoran manusia atau kotoran binatang. Semua polutan tersebut masuk. ke dalam sungai dan langsung tercampur dengan air sungai.
I. PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang dan Masalah Dalam kehidupan, polusi yang ada di sungai disebabkan oleh limbah dari pabrikpabrik dan kotoran manusia atau kotoran binatang. Semua polutan tersebut masuk
Lebih terperinciBAB 3 PENYELESAIAN PERSAMAAN NON LINIER
BAB 3 PENYELESAIAN PERSAMAAN NON LINIER 3.. Permasalahan Persamaan Non Linier Penyelesaian persamaan non linier adalah penentuan akar-akar persamaan non linier.dimana akar sebuah persamaan f(x =0 adalah
Lebih terperinciBAB II LANDASAN TEORI. pada bab pembahasan. Materi-materi yang akan dibahas yaitu pemodelan
BAB II LANDASAN TEORI Pada bab ini akan dijelaskan mengenai landasan teori yang akan digunakan pada bab pembahasan. Materi-materi yang akan dibahas yaitu pemodelan matematika, teorema Taylor, nilai eigen,
Lebih terperinciPembahasan Matematika IPA SNMPTN 2012 Kode 483
Tutur Widodo Pembahasan Matematika IPA SNMPTN 0 Pembahasan Matematika IPA SNMPTN 0 Kode 8 Oleh Tutur Widodo. Di dalam kotak terdapat bola biru, 6 bola merah dan bola putih. Jika diambil 8 bola tanpa pengembalian,
Lebih terperinciDASAR SINUSOIDAL SEBAGAI REFLEKTOR GELOMBANG
h Bab 3 DASAR SINUSOIDAL SEBAGAI REFLEKTOR GELOMBANG 3.1 Persamaan Gelombang untuk Dasar Sinusoidal Dasar laut berbentuk sinusoidal adalah salah satu bentuk dasar laut tak rata yang berupa fungsi sinus
Lebih terperinciIII PEMBAHASAN. μ v. r 3. μ h μ h r 4 r 5
III PEMBAHASAN 3.1 Perumusan Model Model yang akan dibahas dalam karya ilmiah ini adalah model SIDRS (Susceptible Infected Dormant Removed Susceptible) dari penularan penyakit malaria dalam suatu populasi.
Lebih terperinciBab 4 DINDING SINUSOIDAL SEBAGAI REFLEKTOR GELOMBANG
Bab 4 DINDING SINUSOIDAL SEBAGAI REFLEKTOR GELOMBANG Pada bab sebelumnya telah dibahas mengenai dasar laut sinusoidal sebagai reflektor gelombang. Persamaan yang digunakan untuk memodelkan masalah dasar
Lebih terperinci3. ORBIT KEPLERIAN. AS 2201 Mekanika Benda Langit. Monday, February 17,
3. ORBIT KEPLERIAN AS 2201 Mekanika Benda Langit 1 3.1 PENDAHULUAN Mekanika Newton pada mulanya dimanfaatkan untuk menentukan gerak orbit benda dalam Tatasurya. Misalkan Matahari bermassa M pada titik
Lebih terperinciKalkulus II. Institut Teknologi Kalimantan
Tim Dosen Kalkulus II Tahun Persiapan Bersama Institut Kalkulus Teknologi II Kalimantan January 31, () 2018 1 / 71 Kalkulus II Tim Dosen Kalkulus II Tahun Persiapan Bersama Institut Teknologi Kalimantan
Lebih terperinci( ) 2. Nilai x yang memenuhi log 9. Jadi 4x 12 = 3 atau x = 3,75
Here is the Problem and the Answer. Diketahui premis premis berikut! a. Jika sebuah segitiga siku siku maka salah satu sudutnya 9 b. Jika salah satu sudutnya 9 maka berlaku teorema Phytagoras Ingkaran
Lebih terperinciBAB I VEKTOR DALAM BIDANG
BAB I VEKTOR DALAM BIDANG I. KURVA BIDANG : Penyajian secara parameter Suatu kurva bidang ditentukan oleh sepasang persamaan parameter. ; dalam I dan kontinue pada selang I, yang pada umumnya sebuah selang
Lebih terperinciSoal-Soal dan Pembahasan SNMPTN Matematika IPA Tahun Pelajaran 2010/2011
Soal-Soal dan Pembahasan SNMPTN Matematika IPA Tahun Pelajaran 00/0 Tanggal Ujian: 0 Juni 0. Diketahui vektor u (a, -, -) dan v (a, a, -). Jika vektor u tegak lurus pada v, maka nilai a adalah... A. -
Lebih terperinciSRI REDJEKI KALKULUS I
SRI REDJEKI KALKULUS I KLASIFIKASI BILANGAN RIIL n Bilangan yang paling sederhana adalah bilangan asli : n 1, 2, 3, 4, 5,. n n Bilangan asli membentuk himpunan bagian dari klas himpunan bilangan yang lebih
Lebih terperinciKoordinat Polar (Ch )
Koordinat Polar (Ch.10.-10.) O (the pole) ray (polar axis) Dalam beberapa hal, lebih mudah mencari lokasi/posisi suatu titik dengan menggunakan koordinat polar. Koordinat polar menunjukkan posisi relatif
Lebih terperinciMASALAH SYARAT BATAS (MSB)
Program Studi Pendidikan Matematika FKIP Unmuh Ponorogo PENDAHULUAN MODEL KABEL MENGGANTUNG DEFINISI MSB Persamaan diferensial (PD) dikatakan berdimensi 1 jika domainnya berupa himpunan bagian pada R 1.
Lebih terperinciTURUNAN DALAM RUANG DIMENSI-n
TURUNAN DALAM RUANG DIMENSI-n A. Fungsi Dua Variabel atau Lebih Dalam subbab ini, fungsi dua variabel atau lebih dikaji dari tiga sudut pandang: secara verbal (melalui uraian dalam kata-kata) secara aljabar
Lebih terperinci