Persamaan Diferensial Biasa
|
|
- Iwan Setiabudi
- 6 tahun lalu
- Tontonan:
Transkripsi
1 Persamaan Diferensial Biasa Titik Tetap dan Sistem Linear Toni Bakhtiar Departemen Matematika IPB Oktober 2012 Toni Bakhtiar PDB Oktober / 31
2 Titik Tetap SPD Mandiri dan Titik Tetap Tinjau SPD berikut: ẋ(t) = f (x(t)), dengan x = (x 1, x 2,..., x n ) T dan f = (f 1, f 2,..., f n ) T. SPD di atas disebut SPD mandiri (autonomous) karena f tidak bergantung secara eksplisit pada t. Vektor x = x(t) disebut sebagai vektor keadaan (state vector) dan mendefinisikan titik x di bidang fase. Jika variabel bebas t berubah, maka x juga berubah hingga membentuk lintasan (path, trajectory, orbit) di bidang fase. Solusi PD dengan demikian dapat dipandang sebagai vektor keadaan yang bergerak di sepanjang lintasan di bidang fase. Titik x yang memenuhi f (x ) = 0 disebut titik kesetimbangan (equilibrium point) atau titik tetap (steady state point). Titik yang bukan titik tetap disebut titik biasa (regular point). Toni Bakhtiar (m@thipb) PDB Oktober / 31
3 Titik Tetap SPD Mandiri dan Titik Tetap Di titik tetap berlaku ẋ = 0. Dengan demikian, titik tetap merupakan titik di mana gerakan vektor keadaan terhenti (variabel waktu t sudah tidak berpengaruh lagi). Jika sistem ẋ = f (x) memiliki nilai awal x 0 = x, maka sistem memiliki solusi konstan x(t) = x. Oleh karena itu titik tetap sering disebut sebagai solusi kesetimbangan. Seringkali semua titik di sekitar titik tetap bergerak menuju titik tetap tersebut. Titik tetap ini disebut sebagai titik tetap stabil (stable equilibrium point) atau atraktor (attractor). Selain atraktor, ada titik tetap yang bersifat siklus limit (limit cycle), yaitu ketika semua lintasan di sekitar titik tetap menuju atau konvergen ke suatu gelung tutup (closed-loop). Toni Bakhtiar (m@thipb) PDB Oktober / 31
4 Titik Tetap Lintasan Diberikan SPD dua persamaan berikut: ẋ = f (x, y), ẏ = g(x, y). Ada beberapa cara untuk menentukan lintasan: Example Mengeliminasi variabel t dari solusi: Jika solusi (x(t), y(t)) dapat diperoleh dan jika t dapat dieliminasi dari solusi x = x(t) atau y = y(t), maka dapat diperoleh lintasan y = y(x) atau x = x(y). Solusi SPD ẋ = x dan ẏ = 2y dapat diperoleh secara terpisah, yaitu x(t) = c 1 e t dan y(t) = c 2 e 2t. Dari x = c 1 e t diperoleh e t = x c 1, sehingga diperoleh lintasan y = c 2 ( x c 1 ) 2 = cx 2. Toni Bakhtiar (m@thipb) PDB Oktober / 31
5 Titik Tetap Lintasan Example Mengganti variabel bebas: Dari SPD dapat diperoleh ẏ ẋ = g(x, y) f (x, y) dy dx = g(x, y) f (x, y), yang diharapkan dapat diselesaikan sehingga diperoleh solusi y = y(x). Dari SPD ẋ = y(x 2 + 1) dan ẏ = 2xy 2 dapat diperoleh dy dx = sehingga diperoleh lintasan 2xy x y dy = y = c(x 2 + 1). 2x x dx, Toni Bakhtiar (m@thipb) PDB Oktober / 31
6 Lintasan Sistem Linear Titik Tetap Example Pengintegralan langsung Diberikan PD taklinear berikut: ẍ + ẍ = d(ẋ) dt x 1+x 2 = 0. Aturan rantai memberikan = d(ẋ) dx sehingga PD di atas dapat ditulis menjadi dengan y = ẋ. dẋ dx ẋ + x 1 + x 2 = 0 dx dt = dẋ dx ẋ, ẋ dẋ = x 1 + x 2 dx 1 2 ẋ 2 = 1 2 ln(1 + x 2 ) y 2 = ln(1 + x 2 ), Toni Bakhtiar (m@thipb) PDB Oktober / 31
7 Titik Tetap Sistem Linear Tinjau SPD linear homogen dengan dua persamaan berikut: ẋ 1 = a 11 x 1 + a 12 x 2, ẋ 2 = a 21 x 1 + a 22 x 2. Solusi SPD di atas bergantung pada nilai eigen dan vektor eigen matriks [ a11 a A = 12, a 21 a 22 ditulis x(t) = c 1 ξ 1 e λ 1t + c 2 ξ 2 e λ 2t, dengan λ i adalah nilai eigen dan ξ i vektor eigen padanannya. Di sini diasumsikan A taksingular (det A = 0) sehingga x = 0 merupakan satu-satunya solusi bagi Ax = 0. Dengan kata lain, x = 0 merupakan satu-satunya titik tetap bagi ẋ = Ax. Toni Bakhtiar (m@thipb) PDB Oktober / 31
8 Titik Tetap Definition Diberikan sistem ẋ = f (x). Titik tetap x disebut stabil jika untuk sembarang ε > 0 yang diberikan, ada δ > 0 sedemikian sehingga jika setiap solusi x = x(t) memenuhi x(0) x < δ pada saat t = 0 maka x(t) x < ε untuk semua t 0. Definition Titik tetap yang tidak stabil disebut takstabil. Definition Titik tetap x disebut stabil asimtotik jika ia stabil dan ada δ 0, dengan 0 < δ 0 < δ, sedemikian sehingga jika solusi x = x(t) memenuhi x(0) x < δ 0 pada saat t = 0 maka lim t x(t) = x. Toni Bakhtiar (m@thipb) PDB Oktober / 31
9 Titik Tetap Titik tetap stabil: semua solusi yang bermula cukup dekat dengan x (dengan jarak δ) akan tetap cukup dekat dengan x (dengan jarak ε) ketika variabel waktu t membesar. Titik tetap stabil asimtotik: semua solusi yang bermula cukup dekat dengan x tidak hanya tetap cukup dekat dengan x tetapi pada akhirnya akan menuju ke x ketika t. Toni Bakhtiar (m@thipb) PDB Oktober / 31
10 Nilai Eigen Real, Berbeda, Sama Tanda λ 1, λ 2 R : λ 1 < λ 2 < 0 Solusi umum SPD: x(t) = c 1 ξ 1 e λ 1t + c 2 ξ 2 e λ 2t. Karena semua nilai eigen negatif maka lim t x(t) = 0, sehingga solusi stabil menuju titik tetap. Jika solusi bergerak dari titik awal x 0 = kξ 1 maka c 2 = 0, sehingga solusi menuju titik tetap mengikuti arah ξ 1. Solusi di atas dapat ditulis: x(t) = e λ 2 (c 1 ξ 1 e (λ 1 λ 2 )t + c 2 ξ 2 ). Perhatikan bahwa λ 1 λ 2 < 0. Sepanjang c 2 = 0, jika t maka suku c 1 ξ 1 e (λ 1 λ 2 )t dapat diabaikan dibandingkan suku c 2 ξ 2, sehingga solusi menuju mengikuti arah ξ 2. Karena λ 1 < λ 2, maka suku c 2 ξ 2 e λ 2t lebih mendominasi. Disebut simpul taksejati (improper node) dan bersifat stabil. Toni Bakhtiar (m@thipb) PDB Oktober / 31
11 Nilai Eigen Real, Berbeda, Sama Tanda λ 1, λ 2 R : λ 1 < λ 2 < 0 Diagram fase dan grafik solusi: λ 1, λ 2 R : 0 < λ 1 < λ 2 Lintasan berbentuk simpul taksejati (improper node) dan bersifat takstabil. Tanda panah pada garis fase menjauhi titik tetap. Toni Bakhtiar (m@thipb) PDB Oktober / 31
12 Nilai Eigen Real, Berbeda, Sama Tanda Example Diberikan SPD-SPD homogen: [ 2 0 SPD1: ẋ = 0 3 [ 2 0 x, SPD2: ẋ = 0 3 x. SPD1: λ 1 = 2 < 0 dan λ 2 = 3 < 0 (simpul taksejati stabil). SPD2: λ 1 = 2 > 0 dan λ 2 = 3 > 0 (simpul taksejati takstabil). Toni Bakhtiar (m@thipb) PDB Oktober / 31
13 Nilai Eigen Real dan Beda Tanda λ 1, λ 2 R : λ 2 < 0 < λ 1 Solusi umum SPD: x(t) = c 1 ξ 1 e λ 1t + c 2 ξ 2 e λ 2t. Karena λ 1 > 0 maka lim t x(t) = (kecuali solusi yang bergerak dari titik awal x 0 = kξ 2 ). Jika solusi bergerak dari titik awal x 0 = kξ 1 maka c 2 = 0, sehingga solusi menjauhi titik tetap (karena λ 1 > 0) mengikuti arah ξ 1. Jika solusi bergerak dari titik awal x 0 = kξ 2 maka c 1 = 0, sehingga solusi menuju titik tetap mengikuti arah ξ 2. Disebut titik pelana (saddle point) dan bersifat takstabil. Toni Bakhtiar (m@thipb) PDB Oktober / 31
14 Nilai Eigen Real dan Beda Tanda λ 1, λ 2 R : λ 2 < 0 < λ 1 Diagram fase dan grafik solusi: Toni Bakhtiar (m@thipb) PDB Oktober / 31
15 Nilai Eigen Real dan Beda Tanda Example SPD ẋ = [ x memiliki nilai eigen λ 1 = 2 < 0 dan λ 2 = 2 > 0 (titik pelana takstabil). Toni Bakhtiar (m@thipb) PDB Oktober / 31
16 Nilai Eigen Real dan Sama λ 1, λ 2 R : λ 1 = λ 2 = λ < 0 Solusi umum SPD: Diperoleh Dua vektor eigen bebas linear x(t) = c 1 ξ 1 e λt + c 2 ξ 2 e λt = e λt (c 1 ξ 1 + c 2 ξ 2 ). x 2 (t) x 1 (t) = c 1ξ 12 + c 2 ξ 22 c 1 ξ 11 + c 2 ξ 21 x 2 (t) = Cx 1 (t), sehingga semua lintasan berupa garis lurus menuju titik tetap: simpul sejati (proper node) stabil. Toni Bakhtiar (m@thipb) PDB Oktober / 31
17 Nilai Eigen Real dan Sama λ 1, λ 2 R : λ 1 = λ 2 = λ < 0 Solusi umum SPD: Satu vektor eigen bebas linear x(t) = c 1 ξe λt + c 2 e λt (ξt + η), dengan ξ merupakan satu-satunya vektor eigen bebas linear dari A dan η merupakan nilaieigen yang diperumum, yaitu (A λi )ξ = η. Solusi dapat ditulis menjadi x(t) = ((c 1 ξ + c 2 η) + c 2 ξt)e λt = ye λt, dengan y := (c 1 ξ + c 2 η) + c 2 ξt. Vektor y menentukan arah vektor solusi x sedangkan e λt menentukan magnitudonya. Jika t maka c 2 ξte λt menjadi suku dominan dengan lim t x(t) = 0. Lintasan berbentuk simpul taksejati (improper node) dan bersifat stabil. Toni Bakhtiar (m@thipb) PDB Oktober / 31
18 Nilai Eigen Real dan Sama λ 1, λ 2 R : λ 1 = λ 2 = λ < 0 Diagram fase dan grafik solusi: Satu vektor eigen bebas linear Toni Bakhtiar (m@thipb) PDB Oktober / 31
19 Nilai Eigen Real dan Sama Example Diberikan SPD-SPD berikut [ 2 0 SPD1: ẋ = 0 2 [ 1 1 x, SPD2: ẋ = 1 3 SPD1: λ 1 = λ 2 = 2 < 0 dan dua vektor eigen bebas linear [ [ 1 0 ξ 1 =, ξ 0 2 =. 1 x. SPD2: λ 1 = λ 2 = 2 > 0 dan satu vektor eigen bebas linear ξ dan dapat ditemukan satu vektor eigen diperumum η [ 1 ξ = 1 [ 0, η = 1. Toni Bakhtiar (m@thipb) PDB Oktober / 31
20 Nilai Eigen Real dan Sama Example (lanjutan) Diagram fase: Toni Bakhtiar PDB Oktober / 31
21 Nilai Eigen Kompleks Konjugat SPD berikut [ a b ẋ = b a x, memiliki nilai eigen kompleks konjugat: λ 1 = a + ib dan λ 2 = a ib. Transformasi ke sistem koordinat kutub: x x 2 2 = r 2 2x 1 ẋ 1 + 2x 2 ẋ 2 = 2rṙ x 1 ẋ 1 + x 2 ẋ 2 = rṙ x 1 (ax 1 + bx 2 ) + x 2 ( bx 1 + ax 2 ) = rṙ a(x x 2 2 ) = rṙ ṙ = ar. Toni Bakhtiar (m@thipb) PDB Oktober / 31
22 Nilai Eigen Kompleks Konjugat Transformasi ke sistem koordinat kutub: tan θ = x 2 x 1 (sec 2 θ) θ = ẋ2x 1 x 2 ẋ 1 x 2 1 θ = cos 2 θ ẋ2x 1 x 2 ẋ 1 x 2 1 θ = x 2 1 r 2 ẋ2x 1 x 2 ẋ 1 x 2 1 θ = ( bx 1 + ax 2 )x 1 x 2 (ax 1 + bx 2 ) θ = b. r 2 Jadi, [ a b ẋ = b a [ ṙ x θ = [ a 0 0 b [ r θ. Toni Bakhtiar (m@thipb) PDB Oktober / 31
23 Nilai Eigen Kompleks Konjugat SPD [ ṙ θ = [ a 0 0 b [ r θ, [ r(0) θ(0) = [ r0 θ 0. memiliki solusi r(t) = r 0 e at, θ(t) = bt + θ 0. Jika b > 0 maka θ turun ketika t naik sehingga lintasan bergerak searah jarum jam. Jika b < 0 maka θ naik ketika t naik sehingga lintasan bergerak berlawanan arah jarum jam. Jika a < 0 maka lim t r(t) = 0 sehingga solusi stabil. Jika a > 0 maka lim t r(t) = sehingga solusi takstabil. Lintasan berbentuk spiral. Toni Bakhtiar (m@thipb) PDB Oktober / 31
24 Nilai Eigen Kompleks Konjugat Toni Bakhtiar PDB Oktober / 31
25 Nilai Eigen Kompleks Konjugat Example SPD ẋ = [ x memiliki nilai eigen kompleks konjugat λ 1 = 1 + i dan λ 2 = 1 i. Karena a = 1 > 0 dan b = 1 < 0 maka lintasan takstabil dengan gerakan berlawanan arah jarum jam. Toni Bakhtiar (m@thipb) PDB Oktober / 31
26 Nilai Eigen Imajiner Murni SPD berikut ẋ = [ 0 b b 0 x, memiliki nilai eigen kompleks konjugat imajiner murni: λ 1 = ib dan λ 2 = ib. Transformasi ke sistem koordinat kutub memberikan [ [ [ [ ṙ 0 0 r r(0) =, = θ 0 b θ θ(0) dengan solusi r(t) = r 0, θ(t) = bt + θ 0. [ r0 Lintasan berbentuk lingkaran dengan gerakan searah jarum jam jika b > 0, atau berlawanan arah jarum jam jika b < 0. Lintasan disebut pusat (center) dan bersifat stabil. Toni Bakhtiar (m@thipb) PDB Oktober / 31 θ 0.
27 Nilai Eigen Imajiner Murni Toni Bakhtiar PDB Oktober / 31
28 Nilai Eigen Imajiner Murni Example SPD ẋ = [ x memiliki nilai eigen kompleks konjugat λ 1 = 3i dan λ 2 = 3i. Karena b = 3 > 0 maka lintasan stabil dengan gerakan searah jarum jam. Toni Bakhtiar (m@thipb) PDB Oktober / 31
29 Nilai Eigen 0 SPD. ẋ = [ x, Pasangan eigen: ( [ 1 λ 1 = 0, ξ 1 = 1 ), ( [ 0 λ 2 = 1, ξ 2 = 1 ). Titik tetap (k, k), k R, membentuk garis kesetimbangan x 2 = x 1. Solusi umum: Lintasan berupa garus lurus. x 1 (t) = c 1 x 2 (t) = c 1 + c 2 e t = x 1 (t) + c 2 e t. Toni Bakhtiar (m@thipb) PDB Oktober / 31
30 Nilai Eigen 0 Sistem Linear Toni Bakhtiar (m@thipb) PDB Oktober / 31
31 Sistem Linear Nilai eigen Jenis Titik Tetap λ 1 > λ 2 > 0 Simpul taksejati Takstabil λ 1 < λ 2 < 0 Simpul taksejati Stabil asimtotik λ 2 < 0 < λ 1 Pelana Takstabil λ 1 = λ 2 > 0 Simpul (sejati/taksejati) Takstabil λ 1 = λ 2 < 0 Simpul (sejati/taksejati) Stabil asimtotik λ 1,2 = a ± ib (a > 0) Spiral Takstabil λ 1,2 = a ± ib (a < 0) Spiral Stabil asimtotik λ 1,2 = ±ib Pusat Stabil Toni Bakhtiar (m@thipb) PDB Oktober / 31
SISTEM DINAMIK KONTINU LINEAR. Oleh: 1. Meirdania Fitri T 2. Siti Khairun Nisa 3. Grahani Ayu Deca F. 4. Fira Fitriah 5.
SISTEM DINAMIK KONTINU LINEAR Oleh: 1. Meirdania Fitri T 2. Siti Khairun Nisa 3. Grahani Ayu Deca F. 4. Fira Fitriah 5. Lisa Risfana Sari Sistem Dinamik D Sistem dinamik adalah sistem yang dapat diketahui
Lebih terperinciCreated By Aristastory.Wordpress.com BAB I PENDAHULUAN. Teori sistem dinamik adalah bidang matematika terapan yang digunakan untuk
BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Teori sistem dinamik adalah bidang matematika terapan yang digunakan untuk memeriksa kelakuan sistem dinamik kompleks, biasanya dengan menggunakan persamaan diferensial
Lebih terperinciSISTEM DINAMIK DISKRET. Anggota Kelompok: 1. Inggrid Riana C. 2. Kharisma Madu B. 3. Solehan
SISTEM DINAMIK DISKRET Anggota Kelompok: 1. Inggrid Riana C. 2. Kharisma Madu B. 3. Solehan SISTEM DINAMIK Kontinu Sistem Dinamik Diskret POKOK BAHASAN SDD OTONOMUS NON-OTONOMUS 1-D MULTI-D LINEAR NON-LINEAR
Lebih terperinciBab II Teori Pendukung
Bab II Teori Pendukung II.1 Sistem Autonomous Tinjau sistem persamaan differensial berikut, = dy = f(x, y), g(x, y), (2.1) dengan asumsi f dan g adalah fungsi kontinu yang mempunyai turunan yang kontinu
Lebih terperinciBAB 2 PDB Linier Order Satu 2
BAB Konsep Dasar BAB 2 PDB Linier Order Satu 2 BAB 3 Aplikasi PDB Order Satu 3 BAB 4 PDB Linier Order Dua 4 BAB 5 Aplikasi PDB Order Dua 5 BAB 6 Sistem PDB 6 BAB 7 PDB Nonlinier dan Kesetimbangan Dalam
Lebih terperinciPersamaan Diferensial Biasa
Persamaan Diferensial Biasa Pendahuluan, Persamaan Diferensial Orde-1 Toni Bakhtiar Departemen Matematika IPB September 2012 Toni Bakhtiar (m@thipb) PDB September 2012 1 / 37 Pendahuluan Konsep Dasar Beberapa
Lebih terperinciKarena v merupakan vektor bukan nol, maka A Iλ = 0. Dengan kata lain, Persamaan (2.2) dapat dipenuhi jika dan hanya jika,
BAB II KAJIAN TEORI Pada bab ini akan dibahas mengenai definisi-definisi dan teorema-teorema dari nilai eigen, vektor eigen, dan diagonalisasi, sistem persamaan differensial, model predator prey lotka-voltera,
Lebih terperinciBAB II LANDASAN TEORI
BAB II LANDASAN TEORI 2.1 Aljabar Linear Definisi 2.1.1 Matriks Matriks A adalah susunan persegi panjang yang terdiri dari skalar-skalar yang biasanya dinyatakan dalam bentuk berikut: [ ] Definisi 2.1.2
Lebih terperinciBAB II TINJAUAN PUSTAKA
7 BAB II TINJAUAN PUSTAKA Dalam bab ini akan dibahas beberapa poin tentang sistem dinamik, kestabilan sistem dinamik, serta konsep bifurkasi. A. Sistem Dinamik Secara umum Sistem dinamik didefinisikan
Lebih terperinciLANDASAN TEORI. Model ini memiliki nilai kesetimbangan positif pada saat koordinat berada di titik
LANDASAN TEORI Model Mangsa Pemangsa Lotka Volterra Bagian ini membahas model mangsa pemangsa klasik Lotka Volterra. Model Lotka Volterra menggambarkan laju perubahan populasi dua spesies yang saling berinteraksi.
Lebih terperinciKontrol Optimum. MKO dengan Horizon Takhingga, Syarat Cukup. Toni Bakhtiar. Departemen Matematika IPB. Februari 2014
Kontrol Optimum MKO dengan Horizon Takhingga, Syarat Cukup Toni Bakhtiar Departemen Matematika IPB Februari 2014 tbakhtiar@ipb.ac.id (IPB) MAT332 Kontrol Optimum Februari 2014 1 / 23 Outline MKO dengan
Lebih terperinciBAB II KAJIAN TEORI. Persamaan diferensial sangat penting dalam pemodelan matematika khususnya
BAB II KAJIAN TEORI 2.1 Persamaan Diferensial Persamaan diferensial sangat penting dalam pemodelan matematika khususnya untuk pemodelan yang membutuhkan solusi dari sebuah permasalahan. Pemodelan matematika
Lebih terperinciBAB I DASAR-DASAR PEMODELAN MATEMATIKA DENGAN PERSAMAAN DIFERENSIAL
BAB I DASAR-DASAR PEMODELAN MATEMATIKA DENGAN PERSAMAAN DIFERENSIAL Pendahuluan Persamaan diferensial adalah persamaan yang memuat diferensial Kita akan membahas tentang Persamaan Diferensial Biasa yaitu
Lebih terperinciBAB II LANDASAN TEORI
BAB II LANDASAN TEORI 2.1 Sistem Persamaan diferensial Persamaan diferensial adalah suatu persamaan yang di dalamnya terdapat turunan-turunan. Jika terdapat variabel bebas tunggal, turunannya merupakan
Lebih terperinciKalkulus Variasi. Persamaan Euler, Masalah Kalkulus Variasi Berkendala, Syarat Batas. Toni Bakhtiar. Departemen Matematika IPB.
Kalkulus Variasi Persamaan Euler, Masalah Kalkulus Variasi Berkendala, Syarat Batas Toni Bakhtiar Departemen Matematika IPB Februari 214 tbakhtiar@ipb.ac.id (IPB) MAT332 Kontrol Optimum Februari 214 1
Lebih terperinciBIFURKASI HOPF PADA MODEL SILKUS BISNIS KALDOR-KALECKI TANPA WAKTU TUNDA
BIFURKASI HOPF PADA MODEL SILKUS BISNIS KALDOR-KALECKI TANPA WAKTU TUNDA NURRACHMAWATI 1) DAN A. KUSNANTO 2) 1) Mahasiswa Program Studi Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Institut
Lebih terperinciKontrol Optimum. Syarat Transversalitas, Current-valued Hamiltonian. Toni Bakhtiar. Departemen Matematika IPB. Februari 2014
Kontrol Optimum Syarat Transversalitas, Current-valued Hamiltonian Toni Bakhtiar Departemen Matematika IPB Februari 2014 tbakhtiar@ipb.ac.id (IPB) MAT332 Kontrol Optimum Februari 2014 1 / 37 Outline Syarat
Lebih terperinciBAB II LANDASAN TEORI. dalam penulisan skripsi ini. Teori-teori yang digunakan berupa definisi-definisi serta
BAB II LANDASAN TEORI Pada bab ini akan diuraikan beberapa teori-teori yang digunakan sebagai acuan dalam penulisan skripsi ini. Teori-teori yang digunakan berupa definisi-definisi serta teorema-teorema
Lebih terperinciKalkulus Variasi. Masalah Kalkulus Variasi, Fungsional Objektif, Variasi, Syarat Perlu Optimalitas. Toni Bakhtiar. Departemen Matematika IPB
Kalkulus Variasi Masalah Kalkulus Variasi, Fungsional Objektif, Variasi, Syarat Perlu Optimalitas Toni Bakhtiar Departemen Matematika IPB Februari 2014 tbakhtiar@ipb.ac.id (IPB) MAT332 Kontrol Optimum
Lebih terperinciBAB 4 MODEL DINAMIKA NEURON FITZHUGH-NAGUMO
BAB 4 MODEL DINAMIKA NEURON FITZHUGH-NAGUMO 4.1 Model Dinamika Neuron Fitzhugh-Nagumo Dalam papernya pada tahun 1961, Fitzhugh mengusulkan untuk menerangkan model Hodgkin-Huxley menjadi lebih umum, yang
Lebih terperinciKalkulus Variasi. Syarat Cukup, Masalah Kalkulus Variasi dengan Horizon Takhingga. Toni Bakhtiar. Departemen Matematika IPB.
Kalkulus Variasi Syarat Cukup, Masalah Kalkulus Variasi dengan Horizon Takhingga Toni Bakhtiar Departemen Matematika IPB Februari 2014 tbakhtiar@ipb.ac.id (IPB) MAT332 Kontrol Optimum Februari 2014 1 /
Lebih terperinciI::: 1: J mempunyai persamaan karakteristik sebagai - - x,, matriks berukuran nxn.
2.1 Sistem Persamaan Diferensial Linear Mandiri Perhatikan sistem persamaan diferensial (SPD) berikut ini: 11. LANDASAN TEOR n111... "',, dengan fungsi ~(x) mempunyai sifat X = h (xi (tb... >X.(f)) lim,,,
Lebih terperinciMasalah Kalkulus Variasi, Fungsional Objektif, Variasi, Syarat Perlu Optimalitas
Masalah Kalkulus Variasi, Fungsional Objektif, Variasi, Syarat Perlu Optimalitas Slide II Toni Bakhtiar Departemen Matematika IPB February 2012 TBK (IPB) Kalkulus Variasi February 2012 1 / 37 Masalah Brachystochrone
Lebih terperinciBAB II TINJAUAN PUSTAKA. kestabilan model predator-prey tipe Holling II dengan faktor pemanenan.
BAB II TINJAUAN PUSTAKA Dalam bab ini akan dibahas mengenai dasar teori untuk menganalisis simulasi kestabilan model predator-prey tipe Holling II dengan faktor pemanenan. 2.1 Persamaan Diferensial Biasa
Lebih terperinciBAB II KAJIAN TEORI. representasi pemodelan matematika disebut sebagai model matematika. Interpretasi Solusi. Bandingkan Data
A. Model Matematika BAB II KAJIAN TEORI Pemodelan matematika adalah proses representasi dan penjelasan dari permasalahan dunia real yang dinyatakan dalam pernyataan matematika (Widowati dan Sutimin, 2007:
Lebih terperinciBIFURKASI SADDLE-NODE PADA SISTEM INTERAKSI NONLINEAR SEPASANG OSILATOR TANPA PERTURBASI
BIFURKASI SADDLE-NODE PADA SISTEM INTERAKSI NONLINEAR SEPASANG OSILATOR TANPA PERTURBASI Yolpin Durahim 1 Novianita Achmad Hasan S. Panigoro Diterima: xx xxxx 20xx, Disetujui: xx xxxx 20xx o Abstrak Dalam
Lebih terperinciKeep running VEKTOR. 3/8/2007 Fisika I 1
VEKTOR 3/8/007 Fisika I 1 BAB I : VEKTOR Besaran vektor adalah besaran yang terdiri dari dua variabel, yaitu besar dan arah. Sebagai contoh dari besaran vektor adalah perpindahan. Sebuah besaran vektor
Lebih terperinciPembahasan Matematika IPA SNMPTN 2012 Kode 483
Tutur Widodo Pembahasan Matematika IPA SNMPTN 0 Pembahasan Matematika IPA SNMPTN 0 Kode 8 Oleh Tutur Widodo. Di dalam kotak terdapat bola biru, 6 bola merah dan bola putih. Jika diambil 8 bola tanpa pengembalian,
Lebih terperinciPengintegralan Fungsi Rasional
Pengintegralan Fungsi Rasional Ahmad Kamsyakawuni, M.Kom Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Jember 25 Maret 2014 Pengintegralan Fungsi Rasional 1 Pengintegralan Fungsi Rasional 2
Lebih terperinciPenentuan Bifurkasi Hopf Pada Predator Prey
J. Math. and Its Appl. ISSN: 9-65X Vol., No., Nov 5, 5 Penentuan Bifurkasi Hopf Pada Predator Prey Dian Savitri Jurusan Teknik Sipil, Fakultas Teknik Universitas Negeri Surabaya d savitri@yahoo.com Abstrak
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN. himpunan vektor riil dengan n komponen. Didefinisikan R + := {x R x 0}
BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Masalah Misalkan R menyatakan himpunan bilangan riil. Notasi R n menyatakan himpunan vektor riil dengan n komponen. Didefinisikan R + := {x R x } dan R n + := {x= (x
Lebih terperinciII LANDASAN TEORI 2.1 Sistem Persamaan Diferensial Definisi 1 [Sistem Persamaan Diferensial Linear (SPDL)]
II LANDASAN TEORI 2.1 Sistem Persamaan Diferensial Definisi 1 [Sistem Persamaan Diferensial Linear (SPDL)] Suatu sistem persamaan diferensial dinyatakan sebagai berikut: A adalah matriks koefisien konstan
Lebih terperinciDESKRIPSI PENGARUH PARAMETER TERHADAP KESTABILAN PERILAKU SISTEM BANDUL GANDA SEDERHANA
DESKRIPSI PENGARUH PARAMETER TERHADAP KESTABILAN PERILAKU SISTEM BANDUL GANDA SEDERHANA Thoufina Kurniyati Mahasiswa Jurusan Matematika Fakultas Sains dan Teknologi UIN Maulana Malik Ibrahim Malang E-mail:
Lebih terperinciII. LANDASAN TEORI. Definisi 1 (Sistem Persamaan Diferensial Biasa Linear) Definisi 2 (Sistem Persamaan Diferensial Biasa Taklinear)
3 II. LANDASAN TEORI 2.1 Sistem Persamaan Diferensial Biasa Definisi 1 (Sistem Persamaan Diferensial Biasa Linear) Misalkan suatu sistem persamaan diferensial biasa dinyatakan sebagai = + ; =, R (1) dengan
Lebih terperinciI. Sistem Persamaan Diferensial Linier Orde 1 (Review)
I. Sistem Persamaan Diferensial Linier Orde (Review) November 0 () I. Sistem Persamaan Diferensial Linier Orde (Review) November 0 / 6 Teori Umum Bentuk umum sistem persamaan diferensial linier orde satu
Lebih terperinciKESTABILAN SISTEM PREDATOR-PREY LESLIE
Jurnal Matematika Murni dan Terapan Vol. 3 No. Desember 009: 51-59 KESTABILAN SISTEM PREDATOR-PREY LESLIE Dewi Purnamasari, Faisal, Aisjah Juliani Noor Program Studi Matematika Universitas Lambung Mangkurat
Lebih terperinciTeori kendali. Oleh: Ari suparwanto
Teori kendali Oleh: Ari suparwanto Minggu Ke-1 Permasalahan oleh : Ari Suparwanto Permasalahan Diberikan sistem dan sinyal referensi. Masalah kendali adalah menentukan sinyal kendali sehingga output sistem
Lebih terperinciVariabel Banyak Bernilai Real 1 / 1
Fungsi Variabel Banyak Bernilai Real Turunan Parsial dan Turunan Wono Setya Budhi KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB Variabel Banyak Bernilai Real 1 / 1 Turunan Parsial dan Turunan Usaha pertama untuk
Lebih terperinciKalkulus Variasi. Pendahuluan, Model Matematika, Keterkontrolan. Toni Bakhtiar. Departemen Matematika IPB. Februari 2014
Kalkulus Variasi Pendahuluan, Model Matematika, Keterkontrolan Toni Bakhtiar Departemen Matematika IPB Februari 2014 tbakhtiar@ipb.ac.id (IPB) MAT332 Kontrol Optimum Februari 2014 1 / 42 Outline Beberapa
Lebih terperinciANALISIS MODEL MATEMATIKA TENTANG PENGARUH TERAPI GEN TERHADAP DINAMIKA PERTUMBUHAN SEL EFEKTOR DAN SEL TUMOR DALAM PENGOBATAN KANKER SKRIPSI
ANALISIS MODEL MATEMATIKA TENTANG PENGARUH TERAPI GEN TERHADAP DINAMIKA PERTUMBUHAN SEL EFEKTOR DAN SEL TUMOR DALAM PENGOBATAN KANKER SKRIPSI Diajukan kepada Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Lebih terperinciPembahasan Matematika IPA SNMPTN 2012 Kode 132
Tutur Widodo Pembahasan Matematika IPA SNMPTN 0 Pembahasan Matematika IPA SNMPTN 0 Kode Oleh Tutur Widodo. Lingkaran (x 6) + (y + ) = menyinggung garis x = di titik... (, 6) d. (, ) (, 6) e. (, ) c. (,
Lebih terperinciSistem Hasil Kali Persamaan Diferensial Otonomus pada Bidang
Sistem Hasil Kali Persamaan Diferensial Otonomus pada Bidang SKRIPSI Diajukan Kepada Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Negeri Yogyakarta untuk Memenuhi Sebagian Persyaratan Guna
Lebih terperinciBAB II LANDASAN TEORI
BAB II LANDASAN TEORI 2.1 Sistem Persamaan Diferensial Banyak sekali masalah terapan dalam ilmu teknik, ilmu fisika, biologi, dan lain-lain yang telah dirumuskan dengan model matematika dalam bentuk pesamaan
Lebih terperinciLecture Notes: Discrete Dynamical System and Chaos. Johan Matheus Tuwankotta
Lecture Notes: Discrete Dynamical System and Chaos Johan Matheus Tuwankotta Departemen Matematika, FMIPA, Institut Teknologi Bandung, jl. Ganesha no., Bandung, Indonesia. mailto:theo@dns.math.itb.ac.id.
Lebih terperinciBAB 2 TINJAUAN PUSTAKA
BAB 2 TINJAUAN PUSTAKA Pada bab ini akan dibahas tinjauan pustaka yang akan digunakan untuk tesis ini, yang selanjutnya akan di perlukan pada Bab 3. Tinjauan pustaka yang dibahas adalah mengenai yang mendukung
Lebih terperinciBab 16. Model Pemangsa-Mangsa
Bab 16. Model Pemangsa-Mangsa Pada Bab ini akan dipelajari model matematis dari masalah dua spesies hidup dalam habitat yang sama, yang dalam hal ini keduanya berinteraksi dalam hubungan pemangsa dan mangsa.
Lebih terperinciMatematika Teknik Dasar-2 2 Bilangan Kompleks - 1. Sebrian Mirdeklis Beselly Putra Teknik Pengairan Universitas Brawijaya
Matematika Teknik Dasar-2 2 Bilangan Kompleks - 1 Sebrian Mirdeklis Beselly Putra Teknik Pengairan Universitas Brawijaya Simbol j Penyelesaian dari sebuah persamaan kuadratik ax 2 + bx rumus x = b± b2
Lebih terperinciTeori Dasar Gelombang Gravitasi
Bab 2 Teori Dasar Gelombang Gravitasi 2.1 Gravitasi terlinearisasi Gravitasi terlinearisasi merupakan pendekatan yang memadai ketika metrik ruang waktu, g ab, terdeviasi sedikit dari metrik datar, η ab
Lebih terperinciBab 2 TEORI DASAR. 2.1 Linearisasi Persamaan Air Dangkal
Bab 2 TEORI DASAR 2.1 Linearisasi Persamaan Air Dangkal Persamaan air dangkal merupakan persamaan untuk gelombang permukaan air yang dipengaruhi oleh kedalaman air tersebut. Kedalaman air dapat dikatakan
Lebih terperinciSIFAT-SIFAT DINAMIK DARI MODEL INTERAKSI CINTA DENGAN MEMPERHATIKAN DAYA TARIK PASANGAN
Jurnal Matematika UNAND Vol. 5 No. 2 Hal. 50 55 ISSN : 2303 2910 c Jurusan Matematika FMIPA UNAND SIFAT-SIFAT DINAMIK DARI MODEL INTERAKSI CINTA DENGAN MEMPERHATIKAN DAYA TARIK PASANGAN AIDA BETARIA Program
Lebih terperinciBIFURKASI TRANSKRITIKAL PADA SISTEM DINAMIK SKRIPSI
BIFURKASI TRANSKRITIKAL PADA SISTEM DINAMIK SKRIPSI Diajukan kepada Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Negeri Yogyakarta untuk memenuhi sebagian persyaratan guna memperoleh gelar
Lebih terperinciBAB II LANDASAN TEORI
BAB II LANDASAN TEORI 2.1 Sistem Persamaan diferensial Persamaan diferensial merupakan persamaan yang melibatkan turunanturunan dari fungsi yang tidak diketahui (Waluya, 2006). Contoh 2.1 : Diberikan persamaan
Lebih terperinciDepartment of Mathematics FMIPAUNS
Lecture 2: Metode Operator A. Metode Operator untuk Sistem Linear dengan Koefisien Konstan Pada bagian ini akan dibicarakan cara menentukan penyelesaian sistem persamaan diferensial linear dengan menggunakan
Lebih terperinciPENGANTAR MATEMATIKA TEKNIK 1. By : Suthami A
PENGANTAR MATEMATIKA TEKNIK 1 By : Suthami A MATEMATIKA TEKNIK 1??? MATEMATIKA TEKNIK 1??? MATEMATIKA TEKNIK Matematika sebagai ilmu dasar yang digunakan sebagai alat pemecahan masalah di bidang keteknikan
Lebih terperinciBab 15. Interaksi antar dua spesies (Model Kerjasama)
Bab 15. Interaksi antar dua spesies (Model Kerjasama) Dalam hal ini diberikan dua spesies yang hidup bersama dalam suatu habitat tertutup. Kita ketahui bahwa terdapat beberapa jenis hubungan interaksi
Lebih terperinciTeori Bifurkasi (3 SKS)
Teori Bifurkasi (3 SKS) Department of Mathematics Faculty of Mathematics and Natural Sciences Gadjah Mada University E-mail : f_adikusumo@gadjahmada.edu Sistem Dinamik PENGERTIAN UMUM : - Formalisasi matematika
Lebih terperinciFUNGSI dan LIMIT. 1.1 Fungsi dan Grafiknya
FUNGSI dan LIMIT 1.1 Fungsi dan Grafiknya Fungsi : suatu aturan yang menghubungkan setiap elemen suatu himpunan pertama (daerah asal) tepat kepada satu elemen himpunan kedua (daerah hasil) fungsi Daerah
Lebih terperinciBIFURKASI PADA MODEL SUSCEPTIBLE INFECTED RECOVERED (SIR) DENGAN WAKTU TUNDA DAN LAJU PENULARAN BILINEAR SKRIPSI
BIFURKASI PADA MODEL SUSCEPTIBLE INFECTED RECOVERED (SIR) DENGAN WAKTU TUNDA DAN LAJU PENULARAN BILINEAR SKRIPSI Diajukan kepada Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Negeri Yogyakarta
Lebih terperinciII. TINJAUAN PUSTAKA. Turunan fungsi f adalah fungsi lain f (dibaca f aksen ) yang nilainya pada ( ) ( ) ( )
II. TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Definisi Turunan Turunan fungsi f adalah fungsi lain f (dibaca f aksen ) yang nilainya pada sebarang bilangan c adalah asalkan limit ini ada. Jika limit ini memang ada, maka dikatakan
Lebih terperinciBIFURKASI HOPF PADA SISTEM PREDATOR PREY DENGAN FUNGSI RESPON TIPE II
BIFURKASI HOPF PADA SISTEM PREDATOR PREY DENGAN FUNGSI RESPON TIPE II SKRIPSI Diajukan kepada Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Negeri Yogyakarta untuk Memenuhi Sebagian Persyaratan
Lebih terperinciPersamaan Diferensial
TKS 4003 Matematika II Persamaan Diferensial Konsep Dasar dan Pembentukan (Differential : Basic Concepts and Establishment ) Dr. AZ Jurusan Teknik Sipil Fakultas Teknik Universitas Brawijaya Pendahuluan
Lebih terperinciPersamaan Di erensial Orde-2
oki neswan FMIPA-ITB Persamaan Di erensial Orde- Persamaan diferensial orde-n adalah persamaan yang melibatkan x; y; dan turunan-turunan y; dengan yang paling tinggi adalah turunan ke-n: F x; y; y ; y
Lebih terperinciSoal-Soal dan Pembahasan Matematika IPA SNMPTN 2012 Tanggal Ujian: 13 Juni 2012
Soal-Soal dan Pembahasan Matematika IPA SNMPTN 01 Tanggal Ujian: 13 Juni 01 1. Lingkaran (x + 6) + (y + 1) 5 menyinggung garis y 4 di titik... A. ( -6, 4 ). ( -1, 4 ) E. ( 5, 4 ) B. ( 6, 4) D. ( 1, 4 )
Lebih terperinciPAM 453 KS MATEMATIKA TERAPAN I MATEMATIKA DEMOGRAFI Topik: Model Matriks. Mahdhivan Syafwan
PAM 453 KS MATEMATIKA TERAPAN I MATEMATIKA DEMOGRAFI Topik: Model Matriks Mahdhivan Syafwan Life Table vs Model Matriks? Life Table Dikotomi antara hidup dan mati Hanya memuat peluang mati Model Matriks
Lebih terperinciPersamaan diferensial adalah suatu persamaan yang memuat satu atau lebih turunan fungsi yang tidak diketahui.
1 Persamaan diferensial adalah suatu persamaan yang memuat satu atau lebih turunan fungsi yang tidak diketahui. Jika persamaan diferensial memiliki satu peubah tak bebas maka disebut Persamaan Diferensial
Lebih terperinciEmpat Metode Membentuk Fungsi Lyapunov
Empat Metode Membentuk Fungsi Lyapunov Rukmono Budi Utomo, M.Sc. Email: rukmono.budi.u@mail.ugm.ac.id January 20, 2017 Empat Metode Membentuk Fungsi Lyapunov 1 Metode Pengkonstruksi Fungsi Lyapunov Latar
Lebih terperinciBAB II LANDASAN TEORI. selanjutnya sebagai bahan acuan yang mendukung tujuan penulisan. Materi-materi
BAB II LANDASAN TEORI Pada bab ini akan dibahas tentang landasan teori yang digunakan pada bab selanjutnya sebagai bahan acuan yang mendukung tujuan penulisan. Materi-materi yang diuraikan berupa definisi-definisi
Lebih terperinciPembahasan Seleksi Nasional Masuk Perguruan Tinggi Negeri (SNMPTN) Bidang Matematika. Kode Paket 634. Oleh : Fendi Alfi Fauzi 1. x 0 x 2.
Pembahasan Seleksi Nasional Masuk Perguruan Tinggi Negeri SNMPTN) Bidang Matematika Kode Paket 6 Oleh : Fendi Alfi Fauzi. lim x 0 cos x x tan x + π )... a) b) 0 c) d) e) Jawaban : C Pembahasan: lim x 0
Lebih terperinciMODEL PERTUMBUHAN EKONOMI MANKIW ROMER WEIL DENGAN PENGARUH PERAN PEMERINTAH TERHADAP PENDAPATAN
MODEL PERTUMBUHAN EKONOMI MANKIW ROMER WEIL DENGAN PENGARUH PERAN PEMERINTAH TERHADAP PENDAPATAN Desi Oktaviani, Kartono 2, Farikhin 3,2,3 Departemen Matematika, Fakultas Sains dan Matematika, Universitas
Lebih terperinciPENYELESAIAN PERSAMAAN DIFFERENSIAL ORDE 1 - I
PENYELESAIAN PERSAMAAN DIFFERENSIAL ORDE 1 - I 1. Pendahuluan Pengertian Persamaan Diferensial Metoda Penyelesaian -contoh Aplikasi 1 1.1. Pengertian Persamaan Differensial Secara Garis Besar Persamaan
Lebih terperinciBab II Konsep Dasar Metode Elemen Batas
Bab II Konsep Dasar Metode Elemen Batas II.1 II.1.1 Kalkulus Dasar Teorema Gradien Misal menyatakan domain pada ruang dimensi dua dan menyatakan batas i x + j 2 2 x 2 + 2 2 elanjutnya, penentuan integral
Lebih terperinciBAB II LANDASAN TEORI
BAB II LANDASAN TEORI. Sistem Pendulum Terbalik Dalam penelitian ini diperhatikan sistem pendulum terbalik seperti pada Gambar di mana sebuah pendulum terbalik dimuat dalam motor yang bisa digerakkan.
Lebih terperinciKontrol Optimum. MKO dengan Mixed Constraints dan Pure State Constraints. Toni Bakhtiar. Departemen Matematika IPB. Februari 2014
Kontrol Optimum MKO dengan Mixed Constraints dan Pure State Constraints Toni Bakhtiar Departemen Matematika IPB Februari 2014 tbakhtiar@ipb.ac.id (IPB) MAT332 Kontrol Optimum Februari 2014 1 / 38 Outline
Lebih terperinciSOAL-SOAL dan PEMBAHASAN UN MATEMATIKA SMA/MA IPA TAHUN PELAJARAN 2011/2012
SOAL-SOAL dan PEMBAHASAN UN MATEMATIKA SMA/MA IPA TAHUN PELAJARAN 0/0. Akar-akar persamaan kuadrat x +ax - 40 adalah p dan q. Jika p - pq + q 8a, maka nilai a... A. -8 B. -4 C. 4 D. 6 E. 8 BAB III Persamaan
Lebih terperinciPERSAMAAN DIFERENSIAL I PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA
PERSAMAAN DIFERENSIAL I PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA Persamaan Diferensial Biasa 1. PDB Tingkat Satu (PDB) 1.1. Persamaan diferensial 1.2. Metode pemisahan peubah dan PD koefisien fungsi homogen 1.3. Persamaan
Lebih terperinciProgram Perkuliahan Dasar Umum Sekolah Tinggi Teknologi Telkom Persamaan Diferensial Orde II
Program Perkuliahan Dasar Umum Sekolah Tinggi Teknologi Telkom Persamaan Diferensial Orde II [MA4] PDB Orde II Bentuk umum : y + p(x)y + g(x)y = r(x) p(x), g(x) disebut koefisien jika r(x) = 0, maka Persamaan
Lebih terperinciGerak Dua Dimensi Gerak dua dimensi merupakan gerak dalam bidang datar Contoh gerak dua dimensi : Gerak peluru Gerak melingkar Gerak relatif
Gerak Dua Dimensi Gerak dua dimensi merupakan erak dalam bidan datar Contoh erak dua dimensi : Gerak peluru Gerak melinkar Gerak relatif Posisi, Kecepatan, Percepatan r i = vektor posisi partikel di A
Lebih terperinciKontrol Tracking Fuzzy untuk Sistem Pendulum Kereta Menggunakan Pendekatan Linear Matrix Inequalities
JURNAL TEKNIK ITS Vol. 6, No. (17), 337-35 (31-98X Print) A49 Kontrol Tracking Fuzzy untuk Sistem Pendulum Kereta Menggunakan Pendekatan Linear Matrix Inequalities Rizki Wijayanti, Trihastuti Agustinah
Lebih terperinciBAB 2 PERSAMAAN DIFFERENSIAL BIASA
BAB 2 BIASA 2.1. KONSEP DASAR Persamaan Diferensial (PD) Biasa adalah persamaan yang mengandung satu atau beberapa penurunan y (varibel terikat) terhadap x (variabel bebas) yang tidak spesifik dan ditentukan
Lebih terperinciTransformasi Laplace Peninjauan kembali variabel kompleks dan fungsi kompleks Variabel kompleks Fungsi Kompleks
Transformasi Laplace Metode transformasi Laplace adalah suatu metode operasional yang dapat digunakan secara mudah untuk menyelesaikan persamaan diferensial linear. Dengan menggunakan transformasi Laplace,
Lebih terperinciKoordinat Polar (Ch )
Koordinat Polar (Ch.10.-10.) O (the pole) ray (polar axis) Dalam beberapa hal, lebih mudah mencari lokasi/posisi suatu titik dengan menggunakan koordinat polar. Koordinat polar menunjukkan posisi relatif
Lebih terperinciBIFURKASI HOPF MODEL MANGSA-PEMANGSA DENGAN WAKTU TUNDA NI NYOMAN SURYANI
BIFURKASI HOPF MODEL MANGSA-PEMANGSA DENGAN WAKTU TUNDA NI NYOMAN SURYANI DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2014 PERNYATAAN MENGENAI SKRIPSI
Lebih terperinciBAB II PENGANTAR SOLUSI PERSOALAN FISIKA MENURUT PENDEKATAN ANALITIK DAN NUMERIK
BAB II PENGANTAR SOLUSI PERSOALAN FISIKA MENURUT PENDEKATAN ANALITIK DAN NUMERIK Tujuan Instruksional Setelah mempelajari bab ini pembaca diharapkan dapat: 1. Menjelaskan cara penyelesaian soal dengan
Lebih terperinciBENTUK NORMAL BIFURKASI HOPF PADA SISTEM UMUM DUA DIMENSI
Jurnal Matematika UNAND Vol. 5 No. 3 Hal. 15 23 ISSN : 2303 2910 c Jurusan Matematika FMIPA UNAND BENTUK NORMAL BIFURKASI HOPF PADA SISTEM UMUM DUA DIMENSI MELA PUSPITA Program Studi Matematika, Fakultas
Lebih terperinciSuatu sistem persamaan diferensial dinyatakan sebagai berikut : Misalkan suatu sistem persamaan diferensial (SPD) dinyatakan sebagai
11. TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Sistem Persamaan Diferensial Definisi 1 [ Sistem Persamaan Diferensial Linear (SPDL) ] Jika suatu sistem persamaan diferensial dinyatakan sebagai berikut : x=ax+b,x(0)=x0,x~%"
Lebih terperinciMODEL DINAMIKA CINTA DENGAN MEMPERHATIKAN DAYA TARIK PASANGAN
Jurnal Matematika UNAND Vol. 3 No. 4 Hal. 96 103 ISSN : 303 910 c Jurusan Matematika FMIPA UNAND MODEL DINAMIKA CINTA DENGAN MEMPERHATIKAN DAYA TARIK PASANGAN SUCI RAHMA NURA, MAHDHIVAN SYAFWAN Program
Lebih terperinciHendra Gunawan. 5 Maret 2014
MA101 MATEMATIKA A Hendra Gunawan Semester II, 013/014 5 Maret 014 Kuliah yang Lalu 10.1 Parabola, aboa, Elips, danhiperbola a 10.4 Persamaan Parametrik Kurva di Bidang 10.5 SistemKoordinatPolar 11.1 Sistem
Lebih terperinciBab 1 Sistem Bilangan Kompleks
Bab 1 Sistem Bilangan Kompleks Bab 1 ini direncanakan akan disampaikan dalam 3 kali pertemuan, dengan perincian sebagai berikut: (1) Pertemuan I: Pengertian bilangan kompleks, Sifat-sifat aljabat, dan
Lebih terperinciII. TINJAUAN PUSTAKA. Sistem dinamik adalah sistem yang berubah dari waktu ke waktu (Farlow,et al.,
II. TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Sistem Dinamik Sistem dinamik adalah sistem yang berubah dari waktu ke waktu (Farlow,et al., 2002). Salah satu tujuan utama dari sistem dinamik adalah mempelajari perilaku dari
Lebih terperinci2015 ACADEMY QU IDMATHCIREBON
2015 ACADEMY QU IDMATHCIREBON NASKAH UJIAN NASIONAL TAHUN PELAJARAN 2014/2015 Jenjang Sekolah : SMA/MA Hari/Tanggal : Selasa/04 April 2015 Program Studi : IPA Waktu : 07.30 09.30 Petunjuk: Pilihlah satu
Lebih terperinciHendra Gunawan. 25 April 2014
MA101 MATEMATIKA A Hendra Gunawan Semester II, 013/014 5 April 014 Kuliah yang Lalu 15.11 Persamaan Diferensial Linear Orde, Homogen 15. Persamaan Diferensial Linear Orde, Tak Homogen 15.3 Penggunaan Persamaan
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN. keadaan dari suatu sistem. Dalam aplikasinya, suatu sistem kontrol memiliki tujuan
BAB I PENDAHULUAN 11 Latar Belakang Masalah Sistem kontrol merupakan suatu alat untuk mengendalikan dan mengatur keadaan dari suatu sistem Dalam aplikasinya, suatu sistem kontrol memiliki tujuan atau sasaran
Lebih terperinciKINEMATIKA. Fisika. Tim Dosen Fisika 1, ganjil 2016/2017 Program Studi S1 - Teknik Telekomunikasi Fakultas Teknik Elektro - Universitas Telkom
KINEMATIKA Fisika Tim Dosen Fisika 1, ganjil 2016/2017 Program Studi S1 - Teknik Telekomunikasi Fakultas Teknik Elektro - Universitas Telkom Sasaran Pembelajaran Indikator: Mahasiswa mampu mencari besaran
Lebih terperinci1/32 FISIKA DASAR (TEKNIK SIPIL) KINEMATIKA. menu. Mirza Satriawan. Physics Dept. Gadjah Mada University Bulaksumur, Yogyakarta
1/32 FISIKA DASAR (TEKNIK SIPIL) KINEMATIKA Mirza Satriawan Physics Dept. Gadjah Mada University Bulaksumur, Yogyakarta email: mirza@ugm.ac.id Definisi KINEMATIKA Kinematika adalah cabang ilmu fisika yang
Lebih terperinciKALKULUS MULTIVARIABEL II
Definisi KALKULUS MULTIVARIABEL II (Minggu ke-7) Andradi Jurusan Matematika FMIPA UGM Yogyakarta, Indonesia Definisi 1 Definisi 2 ontoh Soal Definisi Integral Garis Fungsi f K R 2 R di Sepanjang Kurva
Lebih terperinciII LANDASAN TEORI. Besaran merupakan frekuensi sudut, merupakan amplitudo, merupakan konstanta fase, dan, merupakan konstanta sembarang.
2 II LANDASAN TEORI Pada bagian ini akan dibahas teori-teori yang digunakan dalam penyusunan karya ilmiah ini. Teori-teori tersebut meliputi osilasi harmonik sederhana yang disarikan dari [Halliday,1987],
Lebih terperinciBab 16. LIMIT dan TURUNAN. Motivasi. Limit Fungsi. Fungsi Turunan. Matematika SMK, Bab 16: Limit dan Turunan 1/35
Bab 16 Grafik LIMIT dan TURUNAN Matematika SMK, Bab 16: Limit dan 1/35 Grafik Pada dasarnya, konsep limit dikembangkan untuk mengerjakan perhitungan matematis yang melibatkan: nilai sangat kecil; Matematika
Lebih terperinciWardaya College. Tes Simulasi Ujian Nasional SMA Berbasis Komputer. Mata Pelajaran Matematika Tahun Ajaran 2017/2018
Tes Simulasi Ujian Nasional SMA Berbasis Komputer Mata Pelajaran Matematika Tahun Ajaran 07/08 -. Jika diketahui x = 8, y = 5 dan z = 8, maka nilai dari x y z adalah.... (a) 0 (b) 00 (c) 500 (d) 750 (e)
Lebih terperinciKontrol Optimum. Prinsip Maksimum Pontryagin. Toni Bakhtiar. Departemen Matematika IPB. Februari 2014
Kontrol Optimum Prinsip Maksimum Pontryagin Toni Bakhtiar Departemen Matematika IPB Februari 214 tbakhtiar@ipb.ac.id (IPB) MAT332 Kontrol Optimum Februari 214 1 / 25 Outline Masalah kontrol optimum Prinsip
Lebih terperinciKONTROL TRACKING FUZZY UNTUK SISTEM PENDULUM KERETA MENGGUNAKAN PENDEKATAN LINEAR MATRIX INEQUALITIES
JURNAL TEKNIK ITS Vol. 4, No. 1, (15) ISSN: 337-3539 (31-971 Print) A-594 KONTROL TRACKING FUZZY UNTUK SISTEM PENDULUM KERETA MENGGUNAKAN PENDEKATAN LINEAR MATRIX INEQUALITIES Rizki Wijayanti, Trihastuti
Lebih terperinci