KARAKTERISTIK PERSAMAAN ALJABAR RICCATI DAN PENERAPANNYA PADA MASALAH KENDALI

Transkripsi

1 Prosiding Seminar Nasional Penelitian, Pendidikan dan Penerapan MIPA, Fakultas MIPA, Universitas Negeri Yogyakarta, 4 Mei 0 KARAKTERISTIK PERSAMAAN ALJABAR RICCATI DAN PENERAPANNYA PADA MASALAH KENDALI Muhammad Wakhid Musthofa Program Studi Matematika Universitas Islam Negeri Sunan Kalijaga Yogyakarta mwakhid_m@yahoo.com Abstrak Makalah ini membahas karakteristik persamaan aljabar Riccati yang berperan penting dalam desain sintesis berbagai masalah kendali. Pembahasan karakteristik persamaan ini difokuskan pada pembentukan solusi dari persamaan aljabar Riccati yang menstabilkan sistem. Selanjutnya disajikan penerapan persamaan aljabar Riccati pada masalah desain pengontrol robust H dan H serta desain kontrol optimal tipe feedback pada masalah linear quadratic regulator. Kata kunci: Persamaan aljabar Riccati, kontrol robust, kontrol optimal. PENDAHULUAN Permasalahan yang sering muncul dalam teori kontrol adalah masalah analisis dan masalah sintesis. Masalah analisis dapat dipandang sebagai pekerjaan memeriksa sebuah pengontrol yang telah diperoleh apakah sinyal-sinyal terkontrolnya (tracking error, sinyal pengontrol) memenuhi sifat-sifat yang diinginkan terhadap semua noise, gangguan dan ketidakpastian model yang diperkenankan. Sedangkan masalah sintesis memfokuskan pada pendesainan sebuah pengontrol dari suatu sistem dinamik sedemikian sehingga sinyal-sinyal terkontrolnya memenuhi sifat-sifat yang diinginkan terhadap semua noise, gangguan dan ketidakpastian model yang diperkenankan. Salah satu persamaan yang berperan penting dalam masalah sintesis adalah persamaan aljabar Riccati. Persamaan aljabar Riccati ialah persamaan matriks dalam bentuk A + A + R + Q = 0 () dengan matriks, simetris yang berelasi dengan matriks Hamiltonian berukuran n n Q n n Rn n A R H : =. () Q A Matriks Hamiltonian di atas sangat bermanfaat untuk menentukan solusi yang menstabilkan sistem yang berkorespondensi dengan persamaan (). PERSAMAAN ALJABAR RICCATI Solusi Persamaan Aljabar Riccati yang Menstabilkan Sistem Untuk menentukan solusi persamaan aljabar Riccati yang menstabilkan sistem, diasumsikan matriks Hamiltonian H tidak punya nilai eigen pada sumbu imajiner. Dikarenakan spektrum dari matriks H mempunyai sifat simetris terhadap sumbu imajiner, akibatnya H = H dan λ sebagai nilai eigen dari H mempunyai sifat λ dan λ adalah nilai eigen dari H. Dengan Re 0 Re s > 0. demikian matriks H akan mempunyai n nilai eigen di ( s ) < dan n nilai eigen di ( ) Didefinisikan _( H ) = span { vi ; i =,,..., n} merupakan subruang invarian berdimensi n M-73

2 Muhammad Wakhid Musthofa / Karakteristik Persamaan Aljabar yang berhubungan dengan nilai-nilai eigen di Re( s ) < 0 dengan v i adalah vektor eigen yang bersesuaian dengan nilai eigen λ i. Susun vektor-vektor { vi ; i =,,..., n} yang merupakan basis dari _( H ) menjadi matriks _( H ) = Im (3) n x n dengan, C. Jika nonsingular atau ekuivalen dengan jika subruang 0 _( H ), Im (4) I saling komplementer, maka dapat dibentuk = sebagai solusi dari persamaan (). Dengan demikian ditentukan secara tunggal oleh H atau dapat ditulis H a, atau n n n n Ric : dom (Ric) R R. (5) Fungsi dalam persamaan (5) di atas disebut fungsi Riccati dan dinotasikan dengan Ric. Domain dari fungsi Riccati dinotasikan dengan dom(ric) dipilih beranggotakan semua matriks Hamiltonian yang mempunyai sifat tidak mempunyai nilai eigen pada sumbu imajiner dan dua subruang dalam persamaan (4) saling komplementer. Matriks yang dihasilkan dari pemetaan fungsi Riccati ( = Ric(H ) ) disebut solusi yang menstabilkan sistem. Berdasarkan konstruksi di atas, matriks sebagai solusi yang menstabilkan sistem dapat diperoleh dengan algoritma berikut :. Himpun semua nilai eigen dari H yang memenuhi Re( λ i ) < 0 beserta dengan { vi}, i =,,..., k n sebagai vektor eigen dari λ i. Jika hanya terdapat k < n vektor eigen yang bebas linear akibat adanya nilai eigen yang berulang, maka n k vektor basis yang lain dikonstruksikan dari vektor eigen tergeneralisasi.. Himpunan { vi ; i =,,..., n} akan membentuk subruang _( H ). Susun subruang tersebut dalam bentuk _( H ) = Im. 3. Bentuk = sebagai solusi persamaan aljabar Riccati yang menstabilkan sistem. Sifat - Sifat Persamaan Aljabar Riccati dan Solusinya Berikut ini dipaparkan beberapa teorema yang membicarakan tentang sifat-sifat dari persamaan aljabar Riccati dan matriks = Ric(H ) sebagai solusi dari persamaan tersebut. Teorema berikut mengkarakterisasi matriks sebagai hasil pemetaan jika matriks H diambil dari dom(ric). Teorema Diberikan persamaan aljabar Riccati () dan matriks Hamiltonian H yang bersesuian. Jika H dom(ric) dan = Ric(H ), maka. real simetris,. memenuhi persamaan aljabar Riccati (), 3. A + R stabil. M-74

3 Prosiding Seminar Nasional Penelitian, Pendidikan dan Penerapan MIPA, Fakultas MIPA, Universitas Negeri Yogyakarta, 4 Mei 0 Bukti: n x n n x n. Ambil, C dengan _( H ) = Im, maka terdapat matriks H _ R sedemikian sehingga H H _ = (6) dengan H _ adalah matriks representasi dari pemetaan Ric (H _) dengan domain _( H ). Kalikan persamaan (6) dengan persamaan Lyapunov Karena J dari kiri, dan dengan mengingat JH simetris, diperoleh + ) H _ + H ( + ) 0. (7) ( _ = H _ stabil, maka solusi dari persamaan di atas adalah + 0. = Sehingga = atau = = ( ) juga Hermit. Karena, selalu dapat dipilih real dan tertentu dengan tunggal maka real simetris.. Kalikan persamaan (6) dengan I dari kanan, diperoleh dari kiri dan dengan [ ] I [ I ] H = 0 yang merupakan persamaan Riccati. H 3. Kalikan persamaan H = H _ dengan [ I 0] dari kiri, diperoleh A + R = H. Karena H _ stabil maka A + R juga stabil. _ Selanjutnya teorema berikut ini memberikan syarat perlu dan syarat cukup eksistensi penyelesaian yang stabil dari persamaan aljabar Riccati () dengan batasan yang diberikan pada matriks R. Teorema Misal H tidak memiliki nilai eigen imajiner dan R 0 atau R 0. Maka H dom( Ric) jika dan hanya jika ( A, R ) dapat distabilkan. Bukti: ( ) Sistem ( A, R) dikatakan dapat distabilkan jika terdapat matriks sedemikian sehingga sistem (A+R) stabil. Karena H dom(ric) maka = Ric( H ) adalah penyelesaian yang menstabilkan sistem. Akibatnya sistem ( A + R ) stabil asimtotik. 0 ( ) Akan ditunjukkan H dom(ric) yakni _( H ) dan Im I saling komplementer. Hal ini ekuivalen dengan menunjukkan nonsingular ( Ker = 0). Klaim Ker = 0 adalah H _ invarian. Andaikan singular ( Ker 0), maka untuk H _ ( pemetaan Ric dengan dom ( Ric) = Ker petanya ialah Ric (H _) ) mempunyai λ ker M-75

4 Muhammad Wakhid Musthofa / Karakteristik Persamaan Aljabar dan sedemikian sehingga H _ x = λx (8) dengan Re λ < 0, 0 x Ker. Persamaan H H _ = akan menghasilkan x = 0, sehingga diperoleh x = 0 dan x = 0 yang berakibat x = 0. Hal ini kontradiksi dengan persamaan (8). Dengan demikian ( Ker = 0). Jadi, nonsingular. Teorema 3 Misal ( A, B) terstabilkan dan ( C, A, ) terdeteksi, maka persamaan Riccati A + A BB + C C = 0 () memiliki solusi semidefinit positif tunggal. Lebih lanjut, solusi tersebut menstabilkan sistem. Bukti : Berdasarkan teorema telah dibuktikan bahwa jika ( A, B) dapat distabilkan, maka H dom(ric), akibatnya = Ric( H ) 0. Ini menunjukkan persamaan aljabar Riccati () memiliki solusi semidefinit positif tunggal. Selanjutnya, kita akan tunjukkan 0 menstabilkan sistem. Asumsikan 0 memenuhi persamaan aljabar Riccati tapi tidak menstabilkan sistem. Persamaan Riccati yang dimaksud dapat ditulis sebagai ( A BB ) + ( A BB ) + BB + C C = 0. (9) Misal λ nilai eigen tak stabil dari matriks A BB dan x vektor eigen yang bersesuaian yakni ( A BB ) x = λx. Kalikan persamaan (9) dengan x di sisi kiri dan x di sisi kanan, diperoleh ( λ + λ) x x + x ( BB + C C) x = 0. (0) Karena Re( λ ) 0 dan 0, maka diperoleh B x = 0 dan Cx = 0. Sehingga diperoleh Ax = λ x, Cx = 0, yang berarti ( C, A ) tidak terdeteksi. Hal ini kontradiksi dengan yang diketahui, sehingga haruslah Re( λ ) < 0 artinya 0 adalah solusi yang menstabilkan. APLIKASI PERSAMAAN ALJABAR RICCATI Aplikasi Persamaan Aljabar Riccati pada Desain Pengontrol Robust H Bagian ini akan memaparkan peranan persamaan aljabar Riccati dalam mendesain pengontrol robust H pada suatu sistem yang mempunyai fungsi transfer - [ 0 ] 0 G = 0 0. () [ 0 ] 0 Tanpa mengurangi keumuman desain, diambil γ =, dan diasumsikan sistem di atas memenuhi asumsi-asumsi berikut :. ( A, B ) terkendali dan ( C, A ) terobservasi, M-76

5 . ( A, B ) dapat distabilkan, dan ( ) 3. D [ C D ] = [ I ], Y memenuhi (i) H dom (Ric) dan = Ric( H ) = > 0, (ii) J dom (Ric) dan Y = Ric( J ) = > 0, (iii) ρ ( Y ) =. 4 < γ Maka pengontrol robust dari sistem di atas adalah  Z L Ksub ( s ) = F 0 Prosiding Seminar Nasional Penelitian, Pendidikan dan Penerapan MIPA, Fakultas MIPA, Universitas Negeri Yogyakarta, 4 Mei 0 C, A dapat dideteksi, 0, B 0 4. D. D = I Selanjutnya dibentuk matriks Hamiltonian A γ B B BB A γ C C CC H = J = C C A dan B B A = - =. - 0 Nilai eigen dari H adalah - dengan vektor eigen dan dengan vektor eigen. Maka, _( H ) = Im = sehingga didapat = =, dengan adalah solusi dari persamaan aljabar Riccati A + A + B B BB C C = 0. () ( ) Dengan cara yang sama didapat Y =, dimana Y adalah solusi dari persamaan aljabar Riccati AY + Y A + Y C C CC Y B B = 0. (3) Sehingga H, J,dan ( ) ( ) dengan, F = B =, L = Y C = ( ) 4 Z = I γ Y =, 3 5 dan A ˆ = A + γ B B + BF + Z L C = 3. Sehingga didapat Ksub ( s ) = =. 0 3s + 5 (4) M-77

6 Muhammad Wakhid Musthofa / Karakteristik Persamaan Aljabar Aplikasi Persamaan Aljabar Riccati pada Desain Pengontrol Robust H Berikut akan disajikan peranan persamaan aljabar Riccati dalam mendesain pengontrol robust H pada suatu sistem yang mempunyai fungsi transfer - [ 0 ] G = 0 [ ] 0 0. (5) 0 0 Tanpa mengurangi keumuman desain, diambil γ =, dan diasumsikan sistem di atas memenuhi asumsi-asumsi berikut : (i) ( A, B ) dapat distabilkan, dan ( C, A ) dapat dideteksi, = = > dan (ii) R D D 0 R = DD = > 0, A jωi B (iii) C D mempunyai rank kolom penuh untuk semua ω, A jωi B (iv) C D mempunyai rank baris penuh untuk semua ω. Selanjutnya dibentuk matriks Hamiltonian A BR D C BR B H = = C ( I DR D ) C ( A BR DC ) ( A B R DC ) CR C ( ) ( ) J = =. B I D R D B A B R D C Didapat = 0, 973 = 0, 98, = = 0, 36, dengan adalah penyelesaian stabil dari persamaan aljabar Riccati A B R D C + A B R D C B R B C I DR D C = 0 ( ) ( ) dan = 0,939 = 0, 387, = = 0, 44, dengan Y adalah penyelesaian stabil dari persamaan aljabar Riccati A B R D C Y + Y A B R D C Y C R C Y B I DR D B = 0. Y Y Y Y Y ( ) ( ) ( ) Maka, F = R ( B + D C ) =, 36, ( ) dan Aˆ = A + BF + LC =, dan L = YC + B D R = 0, 44, M-78

7 Prosiding Seminar Nasional Penelitian, Pendidikan dan Penerapan MIPA, Fakultas MIPA, Universitas Negeri Yogyakarta, 4 Mei 0 H Sehingga diperoleh pengontrol sub optimum  L 0,50 Ksub ( s ) = F = 0. (6) s +, 6503 Aplikasi Persamaan Aljabar Riccati pada LQR Pada bagian ini akan didesain pengontrol tipe feedback pada masalah linear quadratic regulator (LQR) untuk menstabilkan posisi pendulum sehingga pendulum tetap dalam posisi terbalik dengan cara menggerakkan kereta dari satu posisi ke posisi yang lain sehingga state dari sistem tetap berada di sekitar titik equilibrium 0 (titik asal). Gambar. sistem inverted pendulum Model matematika dari sistem pendulum terbalik terlinearisasi disajikan dengan sistem persamaan y& y 0 & 0 x θ 0 0 θ ε β β (7) & = = + u ( t). && y ε ε y& ε && θ β & θ 0 0 ε ε u t yang meminimalkan indeks performansi Dalam keadaan stedy state, akan dicari kontrol ( ) dengan Q > 0 dan > 0 rumus T J ( u) = x ( t) Qx( t) + ru ( t) dt (8) 0 r merupakan bobot untuk x dan u. Input kontrol ( t) T ( ) b Sx ( t ) u t atau u ( t) ( ) M-79 u dihitung dengan = r (9) = Kx t dengan S adalah penyelesaian dari persamaan aljabar Riccati T T SA A S + Sbb S Q = 0 (0) r dan S > 0. Dengan mengambil matriks Q = I 4 dan r = maka dengan menyelesaikan persamaan aljabar u t = Kx t dengan Riccati (0) didapatkan kontrol ( ) ( ) K = [ ] ()

8 Muhammad Wakhid Musthofa / Karakteristik Persamaan Aljabar dan S = () KESIMPULAN Dalam malakah ini telah dikaji konstruksi solusi persamaan aljabar Riccati yang menstabilkan sistem. Beberapa sifat penting yang terkait dengan solusi yang menstabilkan tersebut juga telah dipaparkan melalui beberapa teorema. Makalah ini juga telah menyajikan beberapa kontribusi persamaan aljabar Riccati dalam menyelesaikan masalah pendesainan pengontrol yang robust maupun optimal. Namun demikian permasalahan dalam kajian ini masih cukup sederhana. Sehingga pengembangan permasalahan seperti penentuan solusi yang menstabilkan pada suatu sistem singular beserta penerapannya pada permasalahan kendali dapat menjadi bahan kajian lebih lanjut. DAFTAR PUSTAKA Earl, M.G., D Andrea, R., 005, Design and Implementation of a Minimum Time Translation for an Inverted Pendulum, Proceeding of the Asian Conference of Industrial Automation and Robotic, Bangkok. Lewis, F. L., Syrmos, V. L., 995, Optimal Control, John Wiley and Sons, pp Musthofa, M.W, 009, Desain Linear Quadratic Regulator pada Sistem Inverted Pendulum, Prosiding Seminar Nasional Matematika UNY, Yogyakarta. Olsder, G. J., 994, Mathematical Systems Theory, 994, Delftse Ultgevers Maatschappij, Netherland, pp 3 6. Zhou, K., J.C. Doyle. 998, Essentials of Robust Control, Prentice Hall International, New Jersey. Zhou, K., J.C. Doyle., K Glover., 998, Robust Optimal Control, Prentice Hall International, New Jersey. Zhou, K., P. Khargonekar. 988, An Algebraic Riccati Equation Approach to H Optimization, Systems and Control Letters,, M-80