SISTEM BILANGAN REAL

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Ukuran: px
Mulai penontonan dengan halaman:

Download "SISTEM BILANGAN REAL"

Transkripsi

1 DAFTAR ISI 1 SISTEM BILANGAN REAL Sifat Aljabar Bilangan Real Sifat Urutan Bilangan Real Nilai Mutlak dan Jarak Pada Bilangan Real Supremum dan Infimum Kepadatan bilangan rasional i

2 BAB 1 SISTEM BILANGAN REAL Bilangan real sudah dikenal dengan baik sejak masih di sekolah menengah. Namun untuk memulai mempelajari materi pada BAB ini anggaplah diri kita belum tahu apa-apa tentang bilangan real. Kita akan mempelajari bagaimana sistem bilangan real itu dibangun. Pertama-tama kita hanya diberikan suatu himpunan bilangan tetapi belum tahu anggotanya seperti apa, belum aturan yang berlaku di dalamnya. Kemudian kepada himpunan ini diberikan dua operasi binair, penjumlahan dan pengurangan. Dengan dua operasi ini dibuat beberapa aksioma. Dua aksioma penting adalah keujudan elemen 0 dan elemen 1. Inilah anggota bilangan real pertama yang kita ketahui. Selanjutnya dengan aksioma-aksioma ini didefinisikan anggota-anggota lainnya, seperti bilangan positif, bilangan negatif, bilangan bulat, bilangan rasional dan bilangan irrasional. Juga didefinisikan sifat-sifat yang mengatur hubungan antar anggota, seperti sifat urutan, sifat jarak, sifat kelengkapan dan sifat kepadatan. 1.1 Sifat Aljabar Bilangan Real Bilangan real dipandang sebagai suatu himpunan, seterusnya dilambangkan dengan R. Selanjutnya, didefisikan dua operasi binair + dan masing-masing disebut operasi penjumlahan dan operasi perkalian. Kedua operasi binair ini diterapkan pada R dan memenuhi sifat-sifat sebagai berikut: (A1) a+b = b+a untuk setiap a, b R, yaitu komutatif terhadap penjumlahan. (A2) (a + b) + c = a + (b + a) untuk setiap a, b, c R, yaitu asosiatif terhadap penjumlahan. (A3) Terdapat elemen 0 R sehingga a + 0 = 0 + a = a untuk setiap a R. Elemen 0 ini disebut elemen nol. (A4) Untuk setiap a R selalu terdapat ( a) R sehingga a+( a) = ( a)+a = 0. Elemen ( a) ini disebut negatif dari a. 1

3 Pengantar Analisis Real I by Julan HERNADI 2 (M1) a b = b a untuk setiap a, b R, yaitu komutatif terhadap perkalian. (M2) (a b) c = a (b a) untuk setiap a, b, c R, yaitu asosiatif terhadap perkalian. (M3) Terdapat elemen 1 R sehingga a 1 = 1 a = a untuk setiap a R. Elemen 1 ini disebut elemen satuan. (M4) Untuk setiap a R, a 0 selalu terdapat (1/a) R sehingga a (1/a) = (1/a) a = 1. Elemen (1/a) ini disebut kebalikan dari a. (D) a (b + c) = (a b) + (a c) dan (b + c) a = (b a) + (c a) untuk setiap a, b, c R. Sifat ini disebut distributif perkalian terhadap penjumlahan. Diperhatikan bahwa ada 4 sifat yang berkaitan dengan operasi penjumlahan yaitu A1, A2, A3 dan A4 (notasi A untuk Adisi, atau penjumlahan), 4 sifat yang berkaitan dengan perkalian yaitu M1, M2, M3 dan M4 (M untuk Multiplikasi, atau perkalian) dan 1 sifat yang mencakup keduanya yaitu D (D untuk Distributif). Kesembilan sifat ini disebut sifat aljabar atau aksioma bilangan real. Sampai saat ini belum didefinisikan bilangan negatif dan operasi pengurangan. Notasi ( a) dianggap satu elemen didalam R. Begitu juga elemen kebalikan (1/a) dianggap satu elemen dan operasi pembagian belum didefinisikan. Berikut diberikan beberapa teorema sederhana yang diturunkan langsung dari sifat-sifat aljabar ini. Teorema Jika a bilangan real sebarang maka persamaan a + x = b mempunyai penyelesaian tunggal, yaitu x = ( a) + b. Bukti: a + x = b [diketahui] ( a) + (a + x) = ( a) + b (( a) + a) + x = ( a) + b [menggunakan A2] 0 + x = ( a) + b [menggunakan A4] x = ( a) + b [menggunakan A3] Latihan Buktikan jika a bilangan real tidak nol maka persamaan a x = b mempunyai penyelesaian tunggal, yaitu x = (1/b). Teorema Bila a suatu elemen pada R maka (i) a 0 = 0 (ii) ( 1) a = a.

4 Pengantar Analisis Real I by Julan HERNADI 3 Bukti: (i): Berdasarkan (M3) kita mempunyai a 1 = a. Selanjutnya kedua ruas ini ditambahkan a a, diperoleh : a + a 0 = a 1 + a 0 = a (1 + 0) [menggunakan D] = a 1 [menggunakan A3] = a [menggunakan M3] Selanjutnya dengan menggunakan Teorema (1.1.1)dengan menganggap x sebagai a 0 diperoleh a 0 = ( a) + a = 0. (ii): Dari (M3) kita mempunyai a = 1 a. Tambahkan pada kedua ruas dengan ( 1) a, diperoleh a + ( 1) a = 1 a + ( 1) a = (1 + ( 1)) a [menggunakan D] = 0 a [menggunakan A4] = 0 [menggunakan bagian i, setelah menerapkan (A1)] Selanjutnya dengan menggunakan Teorema (1.1.1) dan menganggap x sebagai ( 1) a, kemudian menggunakan (A3) diperoleh ( 1) a = ( a) + 0 = a. Latihan Bila a suatu elemen pada R, buktikan i) ( a) = a ii) ( 1) ( 1) = 1. Teorema Misalkan a, b, c elemen pada R. (i) Jika a 0 maka 1/a 0 dan 1/(1/a) = a. (ii) Jika a b = a c dan a 0 maka b = c. Bukti. (i): Karena a 0 maka menurut (M4) selalu ada 1/a R. Andaikan 1/a = 0 maka diperoleh 1 = a (1/a) = a 0 = 0.

5 Pengantar Analisis Real I by Julan HERNADI 4 Hasil ini berlawanan atau kontradiksi dengan (M3). Jadi pengandaian ini salah, dan haruslah 1/a 0. Selanjutnya karena 1/a 0 dan karena (1/a) a = 1 maka dengan Teorema (1.1.1) dengan memandang a sebagai x maka diperoleh a = 1/(1/a). (ii): Kedua ruas pada a b = a c dikalikan dengan (1/a) disertai dengan menggunakan (M2), diperoleh ((1/a) a) b = ((1/a) a) c 1 b = 1 c [menggunakan M4] b = c [menggunakan M3] Latihan Buktikan bahwa jika a b = 0 maka a = 0 atau b = 0. Operasi lainnya pada R Sejauh ini hanya ada dua operasi pada bilangan real. Melalui dua operasi ini diturunkan bebedapa operasi lainnya yang didefinisikan sebagai berikut : 1. Operasi pengurangan. Bila a, b R maka notasi a b dibaca a dikurang dengan b dan didefinisikan oleh a b := a + ( b). 2. Operasi pembagian. Bila a, b R, b 0 maka notasi a/b atau a b dibaca a dibagi dengan b dan didefinisikan oleh a/b := a (1/b). 3. Operasi pangkat. Bila a R maka notasi a 2 dibaca a dipangkatkan dengan dua atau a kuadarat dan didefinisikan sebagai a 2 := a a. Secara umum untuk n bilangan asli, a n adalah a dipangkatkan dengan n didefinisikan oleh a n := a } a a {{ a}. sebanyak n faktor Untuk a 0, notasi a 1 dimaksudkan untuk 1/a dan notasi a n untuk (1/a) n.

6 Pengantar Analisis Real I by Julan HERNADI 5 Beberapa himpunan bagian penting pada R 1. Bilangan asli. Himpunan bilangan asli dilambangkan dengan N dipandang sebagai himpunan bagian R dan n N didefinisikan sebagai n := 1 } {{ }. sebanyak n suku 2. Bilangan bulat. Himpunan bilangan bulat dilambangkan dengan Z dan keanggotannya dapat didefinsikan sebagai berikut : Z := { n : n N} N {0} dengan n := ( 1) + ( 1) + ( 1) + + ( 1). }{{} sebanyak n suku 3. Bilangan rasional dan irrasional. Himpunan bilangan rasional dilambangkan dengan Q adalah elemen bilangan real yang dapat ditulis dalam bentuk pecahan. Jadi, Q := { b a } : a, b Z, a 0. Bilangan real yang tidak dapat disajikan sebagai pecahan disebut bilangan irrasional dan himpunan bilangan irrasional ini biasa dilambangkan dengan R \ Q. Notasi := berarti didefinisikan oleh (defined by). Penggunaan notasi ini lebih tepat daripada menggunakan = karena tanda sama dengan seharusnya digunakan untuk menyatakan kesamaan kedua ruas. Teorema Tidak ada bilangan rasional r sehingga r 2 = 2. Bukti. Andai ada bilangan rasional yang kuadratnya sama dengan dua. Untuk itu dapat ditulis r = m dengan m dan n tidak mempunyai faktor persekutuan n selain 1. Diperoleh r 2 = m2 n = 2 2 m2 = 2n 2, berarti m 2 bilangan genap. Karena itu m juga genap (lihat latihan berikut!). Karena m genap maka dapat ditulis m = 2p. Substitusi m ini ke kesamaan sebelumnya, diperoleh (2p) 2 = 2n 2 4p 2 = 2n 2 n 2 = 2p 2. Ini berarti n 2 bilangan genap, akibatnya n juga bilangan genap. Berangkat dari pengandaian tadi diperoleh dua pernyataan berikut

7 Pengantar Analisis Real I by Julan HERNADI 6 a. m dan n tidak mempunyai faktor persekutuan selain 1, berarti m dan n tidak mungkin keduanya genap. b. m dan n bilangan genap. Kedua pernyataan ini bertentangan (kontradiksi), sehingga pengandaian harus diingkari. Kesimpulannya Teorema terbukti. Latihan Buktkan bila m 2 genap maka m juga genap. Contoh Pada contoh ini dibuktikan bahwa jika z R bilangan irrasioanl dan r 0 bilangan rasional maka r + z dan rz bilangan irrasional. Dibutkikan dengan kontradiksi. Andai r + z rasional, maka dapat ditulis r + z = m n dan r = p, m, n, p, q Z, n, q 0. q Dari sini diperoleh z = m n p q mq np =, nq yaitu z rasional, sebab mq np, nq Z, nq 0. Kontradiksi dengan z irrasioanl. Jadi pengandaian r + z rasional salah, dan haruslah r + z irrasional. Dengan argumen yang sama dapat dibuktikan sisanya. Latihan Buktikan bahwa jika x, y keduanya rasional maka x + y dan xy rasional. 1.2 Sifat Urutan Bilangan Real Urutan pada bilangan real merujuk pada hubungan ketidaksamaan antara dua bilangan real. Sebelum didefinisikan urutan terlebih dulu didefinisikan bilangan positif. Definisi (Bilangan Positif). Pada R terdapat himpunan bagian takkosong P dengan sifat-sifat berikut : 1. Jika a, b P maka a + b P. 2. Jika a, b P maka a b P. Himpunan P ini selanjutnya disebut himpunan bilangan positif. Definisi (Sifat Trikotomi). Bila a R maka tepat satu pernyataan berikut dipenuhi, yaitu a P, a = 0, a P.

8 Pengantar Analisis Real I by Julan HERNADI 7 Selanjutnya himpunan bilangan negatif didefinisikan sebagai himpunan { a : a P}. Jadi himpunan bilangan real terbagi atas tiga himpunan saling asing yaitu bilangan positif, bilangan negatif dan nol. Definisi (Urutan). Berikut ini definisi ketidaksamaan antara elemenelemen pada R : 1. Bilangan a P disebut bilangan positif dan ditulis a > 0. Notasi a 0 berarti a P {0}, dan a disebut bilangan taknegatif. 2. Bilangan a P sehingga a P disebut bilangan negatif, ditulis a < 0. Notasi a 0 berarti a P {0}, dan a disebut bilangan takpositif. 3. Bilangan real a dikatakan lebih besar dari b, ditulis a > b jika a b P Notasi a < b < b dimaksudkan berlaku keduanya a < b dan b < c. Bila a b dan b < c, maka ditulis a b < c. Teorema Misalkan a, b, c tiga bilangan real. (i) Jika a > b dan b > c maka a > c. (ii) Tepat satu pernyataan berikut memenuhi : a > b, a = b, a < b. Bukti. (i): Karena a > b dan b > c maka berdasarkan definisi berlaku a b P, dan b c P. Berdasarkan Definisi (1.2.1) diperoleh a c = (a b) + (b c) P, yakni a > c. (ii): Terapkan sifat trikotomi pada a b. Teorema Misalkan a, b, c, d bilangan-bilangan real. (i) Jika a > b maka a + c > b + c. (ii) Jika a > b, c > d maka a + c > b + d. (iii) Jika a > b dan c > 0 maka ca > cb. Bukti. (i): Karena diketahui a b P maka (a + c) (b + c) = a b P, yaitu a + c > b + c. (ii): Karena diketahui a b P dan c d P maka (a + c) (b + d) = (a b) + (c d) P, yaitu a + c > b + d. (iii): Karena diketahui a b P, c P maka (a b)c = ac bc P, yaitu ac > bc.

9 Pengantar Analisis Real I by Julan HERNADI 8 Latihan Jika a > b dan c < 0, buktikan ac < bc. Teorema Jika a dan b bilangan real dengan a < b maka a < 1 (a + b) < b. 2 Bukti. Karena a < b maka 2a = a + a < a + b. Dengan argumen yang sama diperoleh juga a + b < b + b = 2b. Dengan menggabungkan kedua hasil ini, diperoleh 2a < a + b < 2b a < a + b < b. 2 Latihan Buktikan bahwa jika a > 0 maka 0 < 1 2 a < a. Teorema berikut menjamin bahwa suatu bilangan taknegatif yang kurang dari bilangan positif apapun adalah nol. Teorema Bila a R dengan 0 a < ɛ untuk setiap ε > 0 maka a = 0. Bukti. Andaikan a > 0. Berdasarkan Latihan sebelumnya, berlaku 0 < 1 2 a < a. Sekarang ambil ε 0 := 1 2 a > 0, sehingga berlaku 0 < ε 0 < a. Hasil ini kontradiksi dengan hipotesis bahwa 0 a < ɛ untuk setiap ε > 0. Jadi pengandai salah, dan haruslah a = 0. Latihan Bila a, b bilangan real dengan a < b + ε untuk setiap ε > 0 maka a b. Dari definisi bilangan positif bahwa perkalian dua bilangan positif akan menghasilkan bilangan positif. Tetapi sebaliknya, bila hasil kali dua bilangan real adalah positif belum tentu kedua bilangan real tadi positif. Teorema Jika ab > 0 maka berlaku salah satu dari dua kemungkinan berikut: a > 0 dan b > 0 atau a < 0 dan b < 0. Bukti. Karena ab > 0 maka a 0 dan b 0, sebab jika salah satu diantara a atau b bernilai nol maka ab = 0. Karena sifat trikotomi sekarang kemungkinnya a > 0 atau a < 0. Untuk a > 0 maka 1/a > 0 dan b = 1 b = ((1/a)a) b = (1/a) (ab) > 0. }{{}}{{} >0 >0 Dengan argumen yang sama, dapat dibuktikan untuk kasus a < 0. Latihan Buktikan bahwa jika ab < 0 maka berlaku salah satu dari dua kemungkinan berikut: a > 0 dan b < 0 atau a < 0 dan b > 0. Kedua hasil yang baru saja diberikan mengatakan bahwa jika hasil kali dua bilangan positif maka kedua bilangan itu bertanda sama. Sebaliknya, jika hasil kali kedua bilangan negatif maka kedua bilangan itu berlainan tanda.

10 Pengantar Analisis Real I by Julan HERNADI 9 Beberapa ketidaksamaan penting Teorema Misalkan a 0 dan b 0. Maka pernyataan-pernyataan berikut equivalen : (i) a < b (ii) a 2 < b 2 (iii) a < b Bukti. Untuk a = 0 diperoleh pernyataan b > 0 b 2 > 0 b > 0. Fakta ini mudah dibuktikan sendiri. Sekarang diasumsikan a > 0 dan b > 0, yaitu a + b > 0. (i) (ii): Diketahui a < b, atau a b < 0. Jadi diperoleh a 2 b 2 = (a b) (a + b) < 0 }{{}}{{} <0 >0 (ii) (i): Diketahui a 2 b 2 = (a b) (a + b) < 0. Karena diketahui pula a+b > 0 }{{}}{{} <0 >0 maka haruslah a b < 0, atau a < b. (i) (iii): Sebelumnya sudah dibuktikan bahwa jika x, y > 0 maka x < y x 2 < y 2. Pada bagian ini diambil x = a dan y = b sehingga x, y > 0. Karena a = ( a) 2 dan b = b) 2 maka diperoleh a < b ( a) 2 = a < b = ( b) 2. Jadi lengkaplah bukti ini karena telah ditunjukkan berlakunya equivalensi (iii) (i) (ii). Teorema (Rata-rata Aritmatika-Geometri (RAG). Bila a dan b bilangan positif maka berlaku 1 ab (a + b) (RAG) 2 Bukti. Bila a = b maka relasi pada (RAG) menjadi kesamaan (lihat latihan di bawah). Sekarang diasumsikan a b. Karena a > 0 dan b > 0 maka a > 0 dan b > 0. Diperhatikan bahwa 0 a b = ( a b) ( a + b). }{{} >0 Jadi ( a b) 0, dan selanjutnya dikuadratkan diperoleh 0 < ( a b) 2 = a 2 ab + b ab > 1 (a + b). 2

11 Pengantar Analisis Real I by Julan HERNADI 10 Latihan Buktikan bahwa bila a = b maka relasi pada (RAG) menjadi kesamaan. Rata-rata aritmatika (RA) dari dua bilangan real a dan b adalah a+b 2, sedangkan rata-rata geometri (RG) dari a dan b adalah ab. Biasanya dalam kehidupan sehari-hari, rata-rata aritmatika lebih sering digunakan daripada rata-rata geometri. Secara umum dua macam rata-rata ini didefinisikan sebagai berikut : Misalkan diketahui bilangan real (data) a 1, a 2,, a n maka RA = 1 n ( n n ) 1/n a k, RG = a k dengan notasi untuk penjumlahan dan untuk perkalian suku-suku. Masih tetap berlaku bahwa RG RA. Teorema (Ketidaksamaan Bernoulli). Jika x > 1 maka untuk setiap n N berlaku (1 + x) n 1 + nx. (KB) Bukti. Dibuktikan dengan induksi matematika. Untuk n = 1 kedua ruas pada (KB) menjadi kesamaan. Diasumsikan berlaku untuk n = k, yaitu berlaku (1 + x) k 1 + kx. Untuk n = k + 1, diperoleh (1 + x) k 1 + kx [ diketahui ] (1 + x) k+1 = (1 + x) k (1 + x) (1 + kx)(1 + x) = 1 + (k + 1)x + kx (k + 1)x. Jadi berlaku untuk n = k + 1. Perhatikan pada baris kedua kedua ruas dikalikan dengan (1 + x) suatu bilangan positif karena x > 1. Teorema (Ketidaksamaan Cauchy). Misalkan a 1, a 2, a n dan b 1, b 2,, b n bilangan real maka berlaku ( n ) 2 ( n a k b k Bukti. Didefinisikan fungsi F : R R dengan a 2 k ) ( n b 2 k ). F (t) := n (a k tb k ) 2.

12 Pengantar Analisis Real I by Julan HERNADI 11 Jelas F fungsi taknegatif, karena itu diperoleh F (t) = = n a 2 k 2ta k b k + t 2 b 2 k ( n b 2 k ) ( n ) ( n t 2 2 a k b k t + a 2 k ) 0. Jadi F merupakan fungsi kuadrat definit tak negatif, sehingga diskriminannya pun tak negatif, yaitu ( n ) 2 ( n 4 a k b k 4 b 2 k ) ( n a 2 k ) 0. Akhirnya dengan memindahkan ruas pada ketidaksamaan ini terbuktilah bahwa ( n ) 2 ( n a k b k a 2 k ) ( n b 2 k ). 1.3 Nilai Mutlak dan Jarak Pada Bilangan Real Pada sifat urutan bilangan real kita baru mengetahui urutan lebih besar antara dua bilangan real tetapi belum menentukan jarak antara dua bilangan real. Jarak atau metrik pada bilangan real ini ditentukan melalui nilai mutlak. Definisi Nilai mutlak suatu bilangan real a, ditulis dengan a didefinsikan sebagai: a bila a > 0, a := 0 bila a = 0, a bila a < 0. Sebagai contoh, 3 = 3, 0 = 0, dan 1 = 1. Dengan kata lain, nilai multak bilangan real bersifat dikotomi, yaitu nol atau positif. Diperhatikan tiga cabang pada definisi nilai mutlak dapat disederhanakan menjadi { a bila a 0, a := a bila a < 0. Teorema berikut ini menyajikan sifat-sifat dasar nilai mutlak. Teorema Misalkan a, b, c bilangan-bilangan real. (i) a = 0 bila hanya bila a = 0

13 Pengantar Analisis Real I by Julan HERNADI 12 (ii) a = a (iii) ab = a b (iv) untuk c 0, a c bila hanya bila c a c. (v) a a a. Bukti. (i)( =): langsung dari definisi. (= ): dibuktikan melalui kontraposisinya, yaitu jika a 0 maka a = 0, juga langsung dari definisi. (ii) Jika a = 0 maka diperoleh a = 0 = 0 = 0 = a. Jika a > 0 maka a < 0 sehingga diperoleh a = a = ( a) = a. Jika a < 0 maka a > 0 sehingga diperoleh a = a = a. (iii) Bila minimal salah satu dari a atau b bernilai nol maka kedua ruas bernilai nol. Bila keduanya tidak ada yang nol, ada 4 kemungkinan nilai a, b yang perlu diselidiki yaitu a > 0, b > 0, a > 0, b < 0, a < 0, b > 0 dan a < 0, b < 0. Untuk a > 0, b < 0 maka ab < 0, a = a, b = b dan ab = (ab) = (a)( b) = a b. (iv): ( =): karena a c maka a c dan a c atau a c, digabungkan diperoleh c a c. (= ): bila c a c maka kita mmepunyai a c dan c a, atau a < c. Karena a bernilai a atau a maka disimpulkan a < c. (v): dengan mengambil c := a 0 pada bagian (iv) maka a a adalah pernyataan yang benar. Implikasinya adalah a c a. Cara lain adalah dengan menggunakan kenyataan bahwa a a berlaku untuk setiap a R. Karena a R maka a = a a, atau a a. Setelah digabungkan diperoleh a c a. Definisi Jarak (metrik) antara dua bilangan real a dan b didefinisikan sebagai d(a, b) := a b. Bila b = 0 maka d(a, 0) = a dipandang sebagai jarak a terhadap titik asal 0. Interpretasi sederhana bilangan real dapat disajikan dalam garis bilangan. Gambar berikut adalah garis bilangan dan ilustrasi jarak antara 3 dan 2. Gambar 1.1: Garis bilangan dan jarak antara dua bilangan real Teorema berikut berkaitan dengan sifat dasar nilai mutlak dan sangat sering digunakan dalam analisis.

14 Pengantar Analisis Real I by Julan HERNADI 13 Teorema (Ketidaksamaan segitiga). Untuk sebarang bilangan real a dan b berlaku a + b a + b. (KS) Bukti. Dari Teorema sebelumnya bagian (v) kita mempunyai a < a < a dan b < b < b. Dengan menjumlahkan dua ketidaksamaan ini diperoleh ( a + b ) < a + b < ( a + b ). Kemudian, dari bagian (iv) dengan menganggap c := ( a + b ) maka terbukti bahwa a + b a + b. Latihan Untuk sebarang bilangan real a dan b, buktikan (i) a b a b. (ii) a b a + b. Contoh Tentukan semua bilangan real x yang memenuhi x 1 > x+1. Penyelesaian. Diperhatikan titik x = 1 dan x = 1 merupakan titik transisi, yaitu perbatasan dimana nilai mutlak berlainan nilai. Untuk x < 1, maka x 1 < 0 dan x + 1 > 0 sehingga x 1 = (x 1) dan x + 1 = (x + 1). Subtitusi kedalam ketidaksamaan diperoleh (x 1) > (x + 1) 1 > 1 suatu pernyataan yang benar untuk setiap x < 1. Untuk 1 < x < 1 berlaku x 1 = (x 1) dan x + 1 = (x + 1). Subtitusi kedalam ketidaksamaan diperoleh (x 1) > (x + 1) 2x >< 0 x < 0. Untuk x > 1 berlaku x 1 = x 1 dan x + 1 = x + 1. Subtitusi kedalam ketidaksamaan diperoleh x 1 > x > 1 suatu pernyataan yang salah untuk setiap x > 1. Dengan menggabungkan ketiga hasil ini diperoleh himpunan penyelesaian untuk x sebagai berikut {x : x < 1} {x : x < 0} = {x : x < 0}. Cara lain adalah dengan menggunakan Teorema 1.2.6, yaitu x 1 > x+1 (x 1) 2 > (x+1) 2 x 2 2x+1 > x 2 +2x+1 4x < 0 x < 0.

15 Pengantar Analisis Real I by Julan HERNADI 14 Latihan Tentukan semua bilangan real x yang memenuhi x + x+1 < 2. Latihan Jika x < z, buktikan bahwa x < y < z bila hanya bila x y + y z = x z. Interprestasikan fakta ini secara geometris. Dapat diperiksa bahwa jarak (metrik) seperti diberikan pada Definisi mempunyai sifat-sifat sebagai berikut : 1. d(x, y) 0 untuk setiap x, y R. 2. d(x, y) = 0 bila hanya bila x = y. 3. d(x, y) = d(y, x) untuk setiap x, y R. 4. d(x, y) d(x, z) + d(z, y) untuk setiap x, y R. Catatan Sifat 4 ini merupakan generalisasi dari ketidaksamaan segitiga (KS). Himpunan bilangan real yang dilengkapi dengan metrik d ini disebut ruang metrik. Lebih lanjut, pada analisis dikenal pula ruang bernorma, ruang Banach, dan lain-lain. Latihan Misalkan S himpunan takkosong, buktikan fungsi d pada S S yang didefinisikan oleh { 0 bila s = t, d(s, t) := 1 bila s 0. merupakan metrik. Metrik ini disebut metrik diskrit. Bentuk lain generalisasi (KS) diungkapkan pada teorema berikut. Teorema Untuk sebarang bilangan real a 1, a 2,, a n, berlaku a 1 + a a n a 1 + a a n. Bukti. Dapat dibuktikan dengan induksi. Ingat dengan prinsip induksi, jika berlaku untuk dua bilangan maka akan berlaku untuk sejumlah berhingga bilangan. 1.4 Supremum dan Infimum Ketika kita diberikan himpunan A = [0, 1) maka minimum atau anggota terkecil himpunan ini adalah 0. Pertanyaannya, apakah A mempunyai maksimum? Kalau ada, berapa nilainya. Perhatikan bahwa 1 bukan nilai maksimum karena ia tidak termuat di dalam A.

16 Pengantar Analisis Real I by Julan HERNADI 15 Latihan Buktikan bahwa himpunan A = (0, 1] tidak mempunyai maksimum. (Petunjuk: gunakan bukti tak langsung dengan kontradiksi). Walaupun 1 bukan maksimum A namun tidak ada anggota A yang melebihinya. Dengan kata lain, 1 merupakan batas atas paling kecil untuk himpunan A. Definisi Misalkan S suatu himpunan bagian dari R. (i) Bilangan u R dikatakan batas atas S jika s u untuk setiap s S. (ii) Bilangan w R dikatakan batas bawah S jika w s untuk setiap s S. Diperhatikan dengan seksama bahwa batas bawah atau batas atas suatu himpunan tidak harus berada di dalam himpunan tersebut. Ilustrasi batas atas dan batas bawah diberikan pada gambar berikut. Gambar 1.2: Batas atas dan batas bawah suatu himpunan Contoh Diberikan S := [0, 1), maka batas atas S adalah himpunan {x : x 0} dan batas bawah S adalah {x : x 1}. Diperhatikan 0 merupakan batas bawah dan termasuk didalam S, sedangkan 1 batas atas S tetapi ia tidak termuat didalam S. Contoh Himpunan bilangan asli N tidak mempunyai batas bawah maupun batas atas. Contoh Himpunan S := { 1 : n N} mempunyai himpunan batas bawah n {x : x 0} dan mempunyai himpunan batas atas {x : x 1}. Contoh Misalkan S := himpunan kosong maka setiap bilangan real adalah batas atas S. Argumennya dapat dijelaskan sebagai berikut. Bilangan u R batas atas S dapat disajikan dalam kalimat logika berikut s S = s < u. Dalam kasus S himpunan kosong maka pernyataan s S bernilai salah, sehingga kalimat implikasi s S = s < u selalu benar. Dengan argumen yang sejalan dapat disimpulkan bahwa semua bilangan real juga merupakan batas bawah himpunan kosong. Kenyataan ini sepertinya dibuat-buat, tetapi inilah konsekuensi logis definisi.

17 Pengantar Analisis Real I by Julan HERNADI 16 Latihan Tuliskan definisi v 1 bukan batas atas S, juga definisi w 1 bukan batas bawah S. Definisi Himpunan yang mempunyai batas atas disebut terbatas diatas (bounded above), sedangkan himpunan dikatakan terbatas dibawah (bounded below) jika ia mempunyai batas bawah. Himpunan dikatakan terbatas jika ia terbatas diatas dan terbatas dibawah. Contoh Himpunan bilangan real R := (, ) tidak terbatas diatas maupun dibawah. Himpunan S := [1, ) terbatas dibawah. Himpunan E := { 1 : n N} terbatas. n Definisi Misalkan S himpunan bagian dari R. (i) Bila S terbatas diatas maka batas atas u dikatakan supremum dari S jika tidak ada bilangan lain yang lebih kecil dari u yang menjadi batas atas S. Dengan kata lain u batas atas yang paling kecil. (ii) Bila S terbatas dibawah maka batas bawah w dikatakan infimum dari S jika tidak ada bilangan lain yang lebih besar dari w yang menjadi batas bawah S. Dengan kata lain w batas bawah yang paling besar. Berdasarkan definisi ini, supremum himpunan S dapat dikarakterisasi oleh dua kondisi berikut, yaitu : 1. s u untuk setiap s S 2. bila ada v R dengan v < u maka ada s 0 S sehingga v < s 0. Kondisi pertama menyatakan bahwa v haruslah batas atas S dan kondisi kedua menyatakan bahwa batas atas ini haruslah yang terkecil. Latihan Buatlah karakterisasi w infimum S. Biasanya supremum dan infimum himpunan S disingkat dengan sup S dan inf S. Ilustrasi supremum dan infimum diberikan pada gambar berikut. Gambar 1.3: Supremum dan infimum suatu himpunan

18 Pengantar Analisis Real I by Julan HERNADI 17 Catatan Supremum suatu himpunan selalu tunggal. Bukti. Andaikan u = sup S dan u 1 = sup S dengan u u 1. Karena itu ada dua kemungkinan yang dapat terjadi, yaitu u < u 1 atau u > u 1. Untuk u < u 1 berarti u bukan batas atas S, ini berlawanan dengan u = sup S. Untuk u > u 1 berarti u 1 bukan batas atas S, ini bertentangan dengan u 1 = sup S. Jadi pengandaian u u 1 salah, seharusnya u = u 1 Latihan Buktikan bahwa infimum suatu himpunan selalu tunggal. Berikut adalah kriteria yang mudah dan sering digunakan untuk mengetahui suatu batas atas merupakan supremum atau bukan. Teorema Misalkan u suatu batas atas S. u = sup S ε > 0, s S sehingga u ε < s. Bukti. (= ): Ambil ε > 0 sebarang. Karena diketahui u = sup S maka u ε bukan batas atas S, jadi ada s S sehingga u ε < s. ( =): Akan ditunjukkan bahwa u yang memenuhi sebelah kanan merupakan supremum S. Misalkan untuk sebarang bilangan real v, v < u. Ambil ε := u v > 0, maka ada s S sehingga u ε = u (u v) = v < s. Ini berarti v bukan batas atas S, dan berdasarkan karakteristik supremum disimpulkan bahwa u = sup S. Teorema ini dapat diilustrasikan secara grafik sebagai berikut. Gambar 1.4: Kriteria supremum Latihan Misalkan w suatu batas bawah S. Buktikan bahwa w = inf S ε > 0, s S sehingga w + ε > s. Contoh Diperhatikan himpunan S := {x : 0 x < 1}. Maka maks S tidak ada, sup S = 1, min S = inf S = 0. Contoh Diperhatikan himpunan S := { 1 : n R}. Maka maks S = n sup S = 1, min S tidak ada tetapi inf S = 0. Hasil ini dapat dibuktikan sebagai berikut. Jika diberikan ε > 0 sebarang maka selalu dapat dipilih bilangan asli n 0 dengan n 0 > 1/ε. Nah, s = 1 n 0 S dan 0 + s > ε. Berdasarkan kriteria infimum (latihan sebelumnya) maka disimpulkan 0 adaah infimum S.

19 Pengantar Analisis Real I by Julan HERNADI 18 Catatan Pada pembuktian infimum sebelumnya kita dapat memilih bilangan asli yang lebih besar dari suatu bilangan real yang diberikan. Ada referensi yang menyebut sifat ini sebagai sifat Archimedes. Secara formal sifat ini diungkapkan sebagai berikut. Jika x R maka ada n x N sehingga n x > x. Catatan Bila suatu himpunan S mempunyai maksimum dan minimum maka sup S = maks S, inf S = min S. Latihan Buktikan bahwa bilangan real R tidak mempunyai supremum dan infimum. Latihan Misalkan S := {1 ( 1)n n : n N}. Tentukan inf S dan sup S. Buktikan hasil yang anda peroleh. 1.5 Kepadatan bilangan rasional Sebelumnya kita pahami dulu sifat supremum dan infimum sebagai berikut: Sifat supremum dan infimum pada R Sifat ini dapat disajikan secara sederhana sebagai berikut. Setiap himpunan tak kosong yang terbatas diatas selalu mempunyai supremum, dan setiap himpunan tak kosong yang terbatas dibawah selalu mempunyai infimum. Sifat supremum ini dikenal juga dengan sifat kelengkapan bilangan real. Dengan sifat ini terjamin bahwa garis bilangan adalah padat, artinya tidak ada satupun titik yang hilang. Sebagai ilustrasi, diperhatikan himpunan terbatas berikut A := {x > 0 : x 2 < 2}. Himpunan A ini tidak mempunyai maksimum tetapi A mempunyai supremum, yaitu sup A = 2. Fakta ini menjamin eksistensi 2 yang merupakan bilangan irrasional. Sekarang kita tahu terdapat paling tidak satu bilangan irrasional, yaitu 2. Pertanyaannya, seberapa banyak bilangan irrasional yang ada. Lebih banyak mana, bilangan rasional atau bilangan irrasional. Nah, berikut ini diberikan sifat kepadatan bilangan rasional dalam R. Teorema Bila a dan b bilangan real dengan a < b maka terdapat bilangan rasional r dengan a < r < b.

20 Pengantar Analisis Real I by Julan HERNADI 19 Bukti. Diperhatikan bahwa 1 suatu bilangan real positif. Menurut sifat Archimedes b a terdapat bilangan asli n sehingga n > 1. Untuk n ini berlaku b a nb na > 1. (*) Sekarang ambil m sebagai bilangan bulat pertama yang lebih besar dari na, dan berlaku m 1 na < m. (**) Dari (*) dan (**) diperoleh na < m na + 1 < nb. Bentuk terakhir ini dapat ditulis na < m < nb, dan dengan membagi semua ruas dengan n, didapat a < m n < b dan dengan mengambil r := m n maka bukti Teorema selesai. Contoh Tentukan 3 buah bilangan rasional diantara 2 dan 3 2. Penyelesaian. 1. Diketahui a = 2 1, 4142, b = 3/2 = 1, 5 2. d = 1 1,5 1, Jadi bilangan asli yang yang dapat diambil adalah n = 12, 13, 14, 15, Untuk n = 12 diperoleh na (12)( 2) 16, 9706 maka diambil m = 17. Untuk n = 13, na (13)( 2) 18, 3848 dan dimabil m = 19. Untuk n = 14 maka na (14)( 2) 19, 7990 dan dimabil m = Jadi bilangan rasional r = 17, , dan terletak diantara 2 dan 3/2. Akibat Bila a dan b bilangan real dengan a < b maka terdapat bilangan irrasional z dengan a < z < b. Bukti. Dengan menerapkan Teorema sebelumnya pada dua bilangan real a 2 dan b 2 maka ada bilangan rasional r sehingga a 2 < r < b 2. Selanjutnya diambil z := r 2, inilah bilangan irrasioanl yang dimaksud. Latihan Temukan 5 bilangan irrasional yang terletak diantara 1 dan 1.01.

21 Pengantar Analisis Real I by Julan HERNADI 20 SOAL-SOAL LATIHAN BAB I 1. Buktikan jika a, b R maka a. (a + b) = ( a) + ( b) b. ( a) ( b) = a b c. 1/( 1/a) = (1/a) asalkan a 0 d. (a/b) = ( a)/b asalkan b Jika a 0 dan a a = a, buktikan a = 0 atau a = Buktikan tidak ada bilangan rasional r sehingga r 2 = Tunjukkan dengan contoh bahwa ada dua bilangan irrasional yang jumlah keduanya rasional. 5. Tunjukkan dengan contoh bahwa ada dua bilangan irrasional yang hasil kali keduanya rasional. 6. Tunjukkan ada bilangan irrasional x dan y dengan x y rasional. 7. Buktikan bahwa jika 0 < a < b dan 0 < c < d maka 0 < ac < bd. 8. Jika a, b R tunjukkan bahwa a 2 + b 2 = 0 bila dan hanya bila a = 0 dan b = Bila 0 a < b, buktikan a 2 ab < b Buktikan bahwa jika 0 < a < b maka a < ab < b dan 0 < 1/b < 1/a. 11. Tentukan semua x yang memenuhi 1/x < x Buktikan bahwa ( 1 2 (a + b)) (a2 + b 2 ). 13. Jika 0 < c < 1, buktikan bahwa 0 < c 2 < c < 1, tetapi jika c > 1 maka 1 < c < c Buktikan bahwa a + b = a + b bila hanya bila ab Jika a < x < b dan a < y < b, tunjukkan bahwa x y < b a. Interprestasikan fakta ini secara geometris. 16. Tentukan dan sketsalah pasangan titik (x, y) pada R R yang memenuhi (a) x = y. (b) xy = Tentukan dan sketsalah pasangan titik (x, y) pada R R yang memenuhi

22 Pengantar Analisis Real I by Julan HERNADI 21 (a) x + y 1. (b) xy Misalkan S himpunan takkosong yang terbatas dibawah. Buktikan inf S = sup{ s : s S}. 19. Misalkan S himpunan terbatas dan S 0 himpunan bagian dari S. Buktikan inf S inf S 0 sup S 0 sup S. 20. Misalkan S himpunan takkosong yang terbatas diatas. Untuk a R didefinisikan a + S := {a + x : x S}. Buktikan sup(a + S) = a + sup S. 21. Misalkan S := { 1 1 : m, n N}. Tentukan sup S dan inf S, buktikan n m hasil yang anda peroleh. 22. Misalkan S himpunan takkosong. Untuk a bilangan real tidak nol didefinsikan as := {as : s S}. Buktikan (i) Bila a > 0 maka (ii) Bila a < 0 maka inf(as) = a inf S, dan sup(as) = a sup S. inf(as) = a sup S, dan sup(as) = a inf S. 23. Misalkan A dan B himpunan takkosong dan A+B := {a+b : a A, b B}. Buktikan bahwa sup(a + B) = sup A + sup B dan inf(a + B) = inf A + inf B. 24. Misalkan f dan g dua fungsi yang didefinisikan pada domain X. Jika rangenya terbatas, buktikan (i) sup{f(x) + g(x) : x X} sup{f(x) : x X} + sup{g(x) : x X}. (ii) inf{f(x) + g(x) : x X} inf{f(x) : x X} + inf{g(x) : x X}.

1 SISTEM BILANGAN REAL

1 SISTEM BILANGAN REAL 1 SISTEM BILANGAN REAL Bilangan real sudah dikenal dengan baik sejak masih di sekolah menengah, bahkan sejak dari sekolah dasar. Namun untuk memulai mempelajari materi pada BAB ini anggaplah diri kita

Lebih terperinci

1 SISTEM BILANGAN REAL

1 SISTEM BILANGAN REAL Bilangan real sudah dikenal dengan baik sejak masih di sekolah menengah, bahkan sejak dari sekolah dasar. Namun untuk memulai mempelajari materi pada BAB ini anggaplah diri kita belum tahu apa-apa tentang

Lebih terperinci

SISTEM BILANGAN REAL

SISTEM BILANGAN REAL DAFTAR ISI SISTEM BILANGAN REAL. Sifat Aljabar Bilangan Real......................2 Sifat Urutan Bilangan Real..................... 6.3 Nilai Mutlak dan Jarak Pada Bilangan Real.............4 Supremum

Lebih terperinci

1 SISTEM BILANGAN REAL

1 SISTEM BILANGAN REAL Bilangan real sudah dikenal dengan baik sejak masih di sekolah menengah, bahkan sejak dari sekolah dasar. Namun untuk memulai mempelajari materi pada BAB ini anggaplah diri kita belum tahu apa-apa tentang

Lebih terperinci

Pengantar : Induksi Matematika

Pengantar : Induksi Matematika Pengantar : Induksi Matematika Analisis Real /2 SKS/ Ega Gradini, M.Sc Induksi Matematika adalah cara standar dalam membuktikan bahwa sebuah pernyataan tertentu berlaku untuk setiap bilangan asli. Pembuktian

Lebih terperinci

1 SISTEM BILANGAN REAL

1 SISTEM BILANGAN REAL Pertemuan Standar kompetensi: mahasiswa memahami cara membangun sistem bilangan real, aturan dan sifat-sifat dasarnya. Kompetensi dasar Memahami aksioma atau sifat aljabar bilangan real Memahami fakta-fakta

Lebih terperinci

Coba amati apakah sifat ini mempunyai signifikansi dalam sistem bilangan real.

Coba amati apakah sifat ini mempunyai signifikansi dalam sistem bilangan real. TUGAS ANREAL BAB Dosen: Julan HERNADI SELESAIKAN SOAL-SOAL BERIKUT SEKUAT KEMAMPUAN YANG ANDA MI- LIKI. WALAUPUN DALAM KETERBATASAN INTELIGENSI, COBALAH BERUSAHA LEBIH KERAS DALAM BELAJAR.. Jelaskan peran

Lebih terperinci

II. SISTEM BILANGAN RIIL. Handout Analisis Riil I (PAM 351)

II. SISTEM BILANGAN RIIL. Handout Analisis Riil I (PAM 351) II. SISTEM BILANGAN RIIL Handout Analisis Riil I (PAM 351) Sifat Aljabar (Aksioma Lapangan) dari Bilangan Riil Bagian ini akan membicarakan struktur aljabar bilangan riil dengan terlebih dahulu memberikan

Lebih terperinci

BAHAN AJAR ANALISIS REAL 1. DOSEN PENGAMPU RINA AGUSTINA, S. Pd., M. Pd. NIDN

BAHAN AJAR ANALISIS REAL 1. DOSEN PENGAMPU RINA AGUSTINA, S. Pd., M. Pd. NIDN BAHAN AJAR ANALISIS REAL 1 DOSEN PENGAMPU RINA AGUSTINA, S. Pd., M. Pd. NIDN. 0212088701 PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN UNIVERSITAS MUHAMMADIYAH METRO 2015 1 KATA PENGANTAR

Lebih terperinci

BAGIAN PERTAMA. Bilangan Real, Barisan, Deret

BAGIAN PERTAMA. Bilangan Real, Barisan, Deret BAGIAN PERTAMA Bilangan Real, Barisan, Deret 2 Hendra Gunawan Pengantar Analisis Real 3 0. BILANGAN REAL 0. Bilangan Real sebagai Bentuk Desimal Dalam buku ini pembaca diasumsikan telah mengenal dengan

Lebih terperinci

KONSTRUKSI SISTEM BILANGAN

KONSTRUKSI SISTEM BILANGAN KONSTRUKSI SISTEM BILANGAN KEVIN MANDIRA LIMANTA 1. Konstruksi Aljabar 1.1. Bilangan Natural. Himpunan bilangan paling primitif adalah bilangan natural N, yang dicacah dengan aturan sebagai berikut: (1)

Lebih terperinci

MA5032 ANALISIS REAL

MA5032 ANALISIS REAL (Semester I Tahun 2011-2012) Dosen FMIPA - ITB E-mail: hgunawan@math.itb.ac.id. August 16, 2011 Pada bab ini anda diasumsikan telah mengenal dengan cukup baik bilangan asli, bilangan bulat, dan bilangan

Lebih terperinci

BAHAN AJAR ANALISIS REAL 1 Matematika STKIP Tuanku Tambusai Bangkinang

BAHAN AJAR ANALISIS REAL 1 Matematika STKIP Tuanku Tambusai Bangkinang Pertemuan 2. BAHAN AJAR ANALISIS REAL Matematika STKIP Tuanku Tambusai Bangkinang 0. Bilangan Real 0. Bilangan Real sebagai bentuk desimal Pada pembahasan berikutnya kita diasumsikan telah mengetahui dengan

Lebih terperinci

5. Sifat Kelengkapan Bilangan Real

5. Sifat Kelengkapan Bilangan Real 5. Sifat Kelengkapan Bilangan Real Sifat aljabar dan sifat urutan bilangan real telah dibahas sebelumnya. Selanjutnya, akan dijelaskan sifat kelengkapan bilangan real. Bilangan rasional ℚ juga memenuhi

Lebih terperinci

ANALISIS REAL. (Semester I Tahun ) Hendra Gunawan. August 18, Dosen FMIPA - ITB

ANALISIS REAL. (Semester I Tahun ) Hendra Gunawan. August 18, Dosen FMIPA - ITB (Semester I Tahun 2011-2012) Dosen FMIPA - ITB E-mail: hgunawan@math.itb.ac.id. August 18, 2011 Kita telah mencatat sebelumnya bahwa supremum dan infimum suatu himpunan tidak harus merupakan anggota himpunan

Lebih terperinci

Sistem Bilangan Real

Sistem Bilangan Real TUGAS I ANALISIS REAL I Sistem Bilangan Real Tugas 1 Analisis Real I Disusun oleh : Nariswari Setya D. Kartini Marvina Puspito M0108022 M0108050 M0108056 JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU

Lebih terperinci

1 Preliminaries The Algebra of Sets... 3

1 Preliminaries The Algebra of Sets... 3 Contents 1 Preliminaries 3 1.1 The Algebra of Sets............................ 3 2 Bilangan Riil 5 2.1 Sifat-sifat Aljabar dari R......................... 5 2.1.1 Sifat Aljabar dari R........................

Lebih terperinci

Oleh: Naning Sutriningsih

Oleh: Naning Sutriningsih Oleh: Naning Sutriningsih SEKOLAH TINGGI KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN (STKIP) MUHAMMADIYAH PRINGSEWU LAMPUNG 0 KATA PENGANTAR Syukur Alhamdulillah penulis panjatkan ke-hadirat Allah Rabbul Alamin, atas

Lebih terperinci

03/08/2015. Sistem Bilangan Riil. Simbol-Simbol dalam Matematikaa

03/08/2015. Sistem Bilangan Riil. Simbol-Simbol dalam Matematikaa 0/08/015 Sistem Bilangan Riil Simbol-Simbol dalam Matematikaa 1 0/08/015 Simbol-Simbol dalam Matematikaa Simbol-Simbol dalam Matematikaa 4 0/08/015 Simbol-Simbol dalam Matematikaa 5 Sistem bilangan N :

Lebih terperinci

BARISAN BILANGAN REAL

BARISAN BILANGAN REAL BAB 2 BARISAN BILANGAN REAL Di sekolah menengah barisan diperkenalkan sebagai kumpulan bilangan yang disusun menurut pola tertentu, misalnya barisan aritmatika dan barisan geometri. Biasanya barisan dan

Lebih terperinci

BAB II DASAR TEORI. Di dalam BAB II ini akan dibahas materi yang menjadi dasar teori pada

BAB II DASAR TEORI. Di dalam BAB II ini akan dibahas materi yang menjadi dasar teori pada BAB II DASAR TEORI Di dalam BAB II ini akan dibahas materi yang menjadi dasar teori pada pembahasan BAB III, mulai dari definisi sampai sifat-sifat yang merupakan konsep dasar untuk mempelajari Fungsi

Lebih terperinci

2 BARISAN BILANGAN REAL

2 BARISAN BILANGAN REAL 2 BARISAN BILANGAN REAL Di sekolah menengah barisan diperkenalkan sebagai kumpulan bilangan yang disusun menurut "pola" tertentu, misalnya barisan aritmatika dan barisan geometri. Biasanya barisan dan

Lebih terperinci

Sistem Bilangan Real. Pendahuluan

Sistem Bilangan Real. Pendahuluan Sistem Bilangan Real Pendahuluan Kalkulus didasarkan pada sistem bilangan real dan sifat-sifatnya. Sistem bilangan real adalah himpunan bilangan real yang disertai operasi penjumlahan dan perkalian sehingga

Lebih terperinci

3 LIMIT DAN KEKONTINUAN

3 LIMIT DAN KEKONTINUAN Menurut Bartle dan Sherbet (994), Analisis matematika secara umum dipahami sebagai tubuh matematika yang dibangun oleh berbagai konsep limit. Pada bab sebelumnya kita telah mempelajari limit barisan, kekonvergenan

Lebih terperinci

3 LIMIT DAN KEKONTINUAN

3 LIMIT DAN KEKONTINUAN Menurut Bartle dan Sherbet (1994), Analisis matematika secara umum dipahami sebagai tubuh matematika yang dibangun oleh berbagai konsep limit. Pada bab sebelumnya kita telah mempelajari limit barisan,

Lebih terperinci

3 LIMIT DAN KEKONTINUAN

3 LIMIT DAN KEKONTINUAN Menurut Bartle dan Sherbet (1994), Analisis matematika secara umum dipahami sebagai tubuh matematika yang dibangun dari berbagai konsep limit. Pada bab sebelumnya kita telah mempelajari limit barisan,

Lebih terperinci

SEKILAS TENTANG KONSEP. dengan grup faktor, dan masih banyak lagi. Oleh karenanya sebelum

SEKILAS TENTANG KONSEP. dengan grup faktor, dan masih banyak lagi. Oleh karenanya sebelum Bab I. Sekilas Tentang Konsep Dasar Grup antonius cp 2 1. Tertutup, yakni jika diambil sebarang dua elemen dalam G maka hasil operasinya juga akan merupakan elemen G dan hasil tersebut adalah tunggal.

Lebih terperinci

BAB V BILANGAN BULAT

BAB V BILANGAN BULAT BAB V BILANGAN BULAT PENDAHULUAN Dalam bab ini akan dibicarakan sistem bilangan bulat, yang akan dimulai dengan memperluas sistem bilangan cacah dengan menggunakan sifat-sifat baru tanpa menghilangkan

Lebih terperinci

Sistem Bilangan Riil. Pendahuluan

Sistem Bilangan Riil. Pendahuluan Sistem Bilangan Riil Pendahuluan Kalkulus didasarkan pada sistem bilangan riil dan sifat-sifatnya. Sistem bilangan riil adalah himpunan bilangan riil yang disertai operasi penjumlahan dan perkalian sehingga

Lebih terperinci

METODA PEMBUKTIAN DALAM MATEMATIKA

METODA PEMBUKTIAN DALAM MATEMATIKA 1 1 Program Studi Pend Matematika FKIP UM Ponorogo October 29, 2011 Jenis Pernyataan dalam Matematika Denisi (Denition) Kesepakatan mengenai pegertian suatu istilah. Teorema (Theorem) Pernyataan yang dapat

Lebih terperinci

KALKULUS 1 HADI SUTRISNO. Pendidikan Matematika STKIP PGRI Bangkalan. Hadi Sutrisno/P.Matematika/STKIP PGRI Bangkalan

KALKULUS 1 HADI SUTRISNO. Pendidikan Matematika STKIP PGRI Bangkalan. Hadi Sutrisno/P.Matematika/STKIP PGRI Bangkalan KALKULUS 1 HADI SUTRISNO 1 Pendidikan Matematika STKIP PGRI Bangkalan BAB I PENDAHULUAN A. Sistem Bilangan Real Untuk mempelajari kalkulus kita terlebih dahulu perlu memahami bahasan tentang sistem bilangan

Lebih terperinci

PENGERTIAN RING. A. Pendahuluan

PENGERTIAN RING. A. Pendahuluan Pertemuan 13 PENGERTIAN RING A. Pendahuluan Target yang diharapkan dalam pertemuan ke 13 ini (pertemuan pertama tentang teori ring) adalah mahasiswa dapat : a. membedakan suatu struktur aljabar merupakan

Lebih terperinci

Relasi, Fungsi, dan Transformasi

Relasi, Fungsi, dan Transformasi Modul 1 Relasi, Fungsi, dan Transformasi Drs. Ame Rasmedi S. Dr. Darhim, M.Si. M PENDAHULUAN odul ini merupakan modul pertama pada mata kuliah Geometri Transformasi. Modul ini akan membahas pengertian

Lebih terperinci

I. Aljabar Himpunan Handout Analisis Riil I (PAM 351)

I. Aljabar Himpunan Handout Analisis Riil I (PAM 351) I. Aljabar Himpunan Aljabar Himpunan Dalam bab ini kita akan menyajikan latar belakang yang diperlukan untuk mempelajari analisis riil. Dua alat utama analisis riil, yakni aljabar himpunan dan fungsi,

Lebih terperinci

2 BARISAN BILANGAN REAL

2 BARISAN BILANGAN REAL 2 BARISAN BILANGAN REAL Di sekolah menengah barisan diperkenalkan sebagai kumpulan bilangan yang disusun menurut "pola" tertentu, misalnya barisan aritmatika dan barisan geometri. Biasanya barisan dan

Lebih terperinci

n suku Jadi himpunan bilangan asli dapat disajikan secara eksplisit N = { 1, 2, 3, }. Himpunan bilangan bulat Z didenisikan sebagai

n suku Jadi himpunan bilangan asli dapat disajikan secara eksplisit N = { 1, 2, 3, }. Himpunan bilangan bulat Z didenisikan sebagai Contents 1 TEORI KETERBAGIAN 2 1.1 Algoritma Pembagian............................. 3 1.2 Pembagi persekutuan terbesar......................... 6 1.3 Algoritma Euclides............................... 11

Lebih terperinci

Mata Pelajaran Wajib. Disusun Oleh: Ngapiningsih

Mata Pelajaran Wajib. Disusun Oleh: Ngapiningsih Mata Pelajaran Wajib Disusun Oleh: Ngapiningsih Disklaimer Daftar isi Disklaimer Powerpoint pembelajaran ini dibuat sebagai alternatif guna membantu Bapak/Ibu Guru melaksanakan pembelajaran. Materi powerpoint

Lebih terperinci

B I L A N G A N 1.1 SKEMA DARI HIMPUNAN BILANGAN. Bilangan Kompleks. Bilangan Nyata (Riil) Bilangan Khayal (Imajiner)

B I L A N G A N 1.1 SKEMA DARI HIMPUNAN BILANGAN. Bilangan Kompleks. Bilangan Nyata (Riil) Bilangan Khayal (Imajiner) 1 B I L A N G A N 1.1 SKEMA DARI HIMPUNAN BILANGAN Bilangan Kompleks Bilangan Nyata (Riil) Bilangan Khayal (Imajiner) Bilangan Rasional Bilangan Irrasional Bilangan Pecahan Bilangan Bulat Bilangan Bulat

Lebih terperinci

KALKULUS 1 UNTUK MAHASISWA CALON GURU MATEMATIKA OLEH: DADANG JUANDI, DKK PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA FPMIPA UNIVERSITAS PENDIDIKAN INDONESIA

KALKULUS 1 UNTUK MAHASISWA CALON GURU MATEMATIKA OLEH: DADANG JUANDI, DKK PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA FPMIPA UNIVERSITAS PENDIDIKAN INDONESIA KALKULUS UNTUK MAHASISWA 9 CALON GURU MATEMATIKA OLEH: DADANG JUANDI, DKK PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA FPMIPA UNIVERSITAS PENDIDIKAN INDONESIA BAB I PENDAHULUAN. Sistem Bilangan Real Dalam Uraian

Lebih terperinci

Sistem Bilangan Riil

Sistem Bilangan Riil Sistem Bilangan Riil Pendahuluan Kalkulus didasarkan pada sistem bilangan riil dan sifat-sifatnya. Sistem bilangan riil adalah himpunan bilangan riil yang disertai operasi penjumlahan dan perkalian sehingga

Lebih terperinci

1 TEORI KETERBAGIAN. Jadi himpunan bilangan asli dapat disajikan secara eksplisit N = { 1, 2, 3, }. Himpunan bilangan bulat Z didenisikan sebagai

1 TEORI KETERBAGIAN. Jadi himpunan bilangan asli dapat disajikan secara eksplisit N = { 1, 2, 3, }. Himpunan bilangan bulat Z didenisikan sebagai 1 TEORI KETERBAGIAN Bilangan 0 dan 1 adalah dua bilangan dasar yang digunakan dalam sistem bilangan real. Dengan dua operasi + dan maka bilangan-bilangan lainnya didenisikan. Himpunan bilangan asli (natural

Lebih terperinci

II. TINJAUAN PUSTAKA. Pada bab ini akan diberikan konsep dasar (pengertian) tentang bilangan sempurna,

II. TINJAUAN PUSTAKA. Pada bab ini akan diberikan konsep dasar (pengertian) tentang bilangan sempurna, II. TINJAUAN PUSTAKA Pada bab ini akan diberikan konsep dasar (pengertian) tentang bilangan sempurna, square free, keterbagian bilangan bulat, modulo, bilangan prima, daerah integral, ring bilangan bulat

Lebih terperinci

BAB II KAJIAN TEORI. memahami sifat-sifat dari barisan fungsi. Pada bab ini akan diuraikan materimateri

BAB II KAJIAN TEORI. memahami sifat-sifat dari barisan fungsi. Pada bab ini akan diuraikan materimateri BAB II KAJIAN TEORI Analisis kekonvergenan pada barisan fungsi, apakah barisan fungsi itu? Apakah berbeda dengan barisan pada umumnya? Tentunya sebelum membahas mengenai barisan fungsi, apa saja jenis

Lebih terperinci

Struktur Aljabar I. Pada bab ini disajikan tentang pengertian. grup, sifat-sifat dasar grup, ordo grup dan elemennya, dan konsep

Struktur Aljabar I. Pada bab ini disajikan tentang pengertian. grup, sifat-sifat dasar grup, ordo grup dan elemennya, dan konsep GRUP Bab ini merupakan awal dari bagian pertama materi utama perkuliahan Struktur Aljabar I. Pada bab ini disajikan tentang pengertian grup, sifat-sifat dasar grup, ordo grup dan elemennya, dan konsep

Lebih terperinci

ANALISIS REAL 1 SUMANANG MUHTAR GOZALI KBK ANALISIS

ANALISIS REAL 1 SUMANANG MUHTAR GOZALI KBK ANALISIS ANALISIS REAL 1 SUMANANG MUHTAR GOZALI KBK ANALISIS UNIVERSITAS PENDIDIKAN INDONESIA BANDUNG 2010 2 KATA PENGANTAR Bismillahirrahmanirrahim Segala puji bagi Allah Rabb semesta alam. Shalawat serta salam

Lebih terperinci

Keterbagian Pada Bilangan Bulat

Keterbagian Pada Bilangan Bulat Latest Update: March 8, 2017 Pengantar Teori Bilangan (Bagian 1): Keterbagian Pada Bilangan Bulat Muhamad Zaki Riyanto Program Studi Matematika Fakultas Sains dan Teknologi UIN Sunan Kalijaga Yogyakarta

Lebih terperinci

MA5031 Analisis Real Lanjut Semester I, Tahun 2015/2016. Hendra Gunawan

MA5031 Analisis Real Lanjut Semester I, Tahun 2015/2016. Hendra Gunawan MA5031 Analisis Real Lanjut Semester I, Tahun 2015/2016 Hendra Gunawan 3. Topologi Garis Bilangan Real 3.1 Teori Limit Limit, supremum, dan infimum Titik limit 3.2 Himpunan Buka dan Himpunan Tutup 3.3

Lebih terperinci

MA5031 Analisis Real Lanjut Semester I, Tahun 2015/2016. Hendra Gunawan

MA5031 Analisis Real Lanjut Semester I, Tahun 2015/2016. Hendra Gunawan MA5031 Analisis Real Lanjut Semester I, Tahun 2015/2016 Hendra Gunawan 2.2 Sistem Bilangan Real sebagai Lapangan Terurut Operasi Aritmetika. Sifat-sifat dasar urutan dan aritmetika dari Sistem Bilangan

Lebih terperinci

METODA PEMBUKTIAN DALAM MATEMATIKA

METODA PEMBUKTIAN DALAM MATEMATIKA 1 1 Program Studi Pend Matematika FKIP UM Ponorogo January 12, 2011 Jenis Pernyataan dalam Matematika Denisi (Denition) Kesepakatan mengenai pegertian suatu istilah. Teorema (Theorem) Pernyataan yang dapat

Lebih terperinci

BAB I PENDAHULUAN. Kata topologi berasal dari bahasa yunani yaitu topos yang artinya tempat

BAB I PENDAHULUAN. Kata topologi berasal dari bahasa yunani yaitu topos yang artinya tempat 1 BAB I PENDAHULUAN 1.1. Latar Belakang Masalah Kata topologi berasal dari bahasa yunani yaitu topos yang artinya tempat dan logos yang artinya ilmu merupakan cabang matematika yang bersangkutan dengan

Lebih terperinci

MA3231. Pengantar Analisis Real. Hendra Gunawan, Ph.D. Semester II, Tahun

MA3231. Pengantar Analisis Real. Hendra Gunawan, Ph.D. Semester II, Tahun MA3231 Pengantar Analisis Real Semester II, Tahun 2016-2017 Hendra Gunawan, Ph.D. Tentang Mata Kuliah MA3231 Mata kuliah ini merupakan mata kuliah wajib bagi mahasiswa program studi S1 Matematika, dengan

Lebih terperinci

PENGANTAR ANALISIS FUNGSIONAL

PENGANTAR ANALISIS FUNGSIONAL PENGANTAR ANALISIS FUNGSIONAL SUMANANG MUHTAR GOZALI KBK ANALISIS UNIVERSITAS PENDIDIKAN INDONESIA BANDUNG 2010 2 KATA PENGANTAR Bismillahirrahmanirrahim Segala puji bagi Allah Rabb semesta alam. Shalawat

Lebih terperinci

BAB 1. PENDAHULUAN. Bab ini akan membahas sekilas mengenai konsep-konsep yang berkaitan dengan himpunan dan fungsi.

BAB 1. PENDAHULUAN. Bab ini akan membahas sekilas mengenai konsep-konsep yang berkaitan dengan himpunan dan fungsi. BAB PENDAHULUAN Bab ini akan membahas sekilas mengenai konsep-konsep yang berkaitan dengan himpunan dan fungsi Himpunan Real Ada beberapa notasi himpunan yang sering digunakan dalam Analisis () merupakan

Lebih terperinci

matematika WAJIB Kelas X PERTIDAKSAMAAN LINEAR SATU VARIABEL K-13 A. PENDAHULUAN

matematika WAJIB Kelas X PERTIDAKSAMAAN LINEAR SATU VARIABEL K-13 A. PENDAHULUAN K-1 Kelas X matematika WAJIB PERTIDAKSAMAAN LINEAR SATU VARIABEL TUJUAN PEMBELAJARAN Setelah mempelajari materi ini, kamu diharapkan memiliki kemampuan berikut. 1. Memahami definisi pertidaksamaan linear

Lebih terperinci

TINJAUAN PUSTAKA. Pada bab ini akan diberikan beberapa definisi teori pendukung dalam proses

TINJAUAN PUSTAKA. Pada bab ini akan diberikan beberapa definisi teori pendukung dalam proses II. TINJAUAN PUSTAKA Pada bab ini akan diberikan beberapa definisi teori pendukung dalam proses penelitian untuk penyelesaian persamaan Diophantine dengan relasi kongruensi modulo m mengenai aljabar dan

Lebih terperinci

PENGANTAR TOPOLOGI. Dosen Pengampu: Siti Julaeha, M.Si EDISI PERTAMA UNIVERSITAS ISLAM NEGERI SUNAN GUNUNG DJATI BANDUNG 2015

PENGANTAR TOPOLOGI. Dosen Pengampu: Siti Julaeha, M.Si EDISI PERTAMA UNIVERSITAS ISLAM NEGERI SUNAN GUNUNG DJATI BANDUNG 2015 PENGANTAR TOPOLOGI EDISI PERTAMA Dosen Pengampu: Siti Julaeha, M.Si UNIVERSITAS ISLAM NEGERI SUNAN GUNUNG DJATI BANDUNG 2015 by Matematika Sains 2012 UIN SGD, Copyright 2015 BAB 0. HIMPUNAN, RELASI, FUNGSI,

Lebih terperinci

II. LANDASAN TEORI ( ) =

II. LANDASAN TEORI ( ) = II. LANDASAN TEORI 2.1 Fungsi Definisi 2.1.1 Fungsi Bernilai Real Fungsi bernilai real adalah fungsi yang domain dan rangenya adalah himpunan bagian dari real. Definisi 2.1.2 Limit Fungsi Jika adalah suatu

Lebih terperinci

MAT 602 DASAR MATEMATIKA II

MAT 602 DASAR MATEMATIKA II MAT 60 DASAR MATEMATIKA II Disusun Oleh: Dr. St. Budi Waluya, M. Sc Jurusan Pendidikan Matematika Program Pascasarjana Unnes 1 HIMPUNAN 1. Notasi Himpunan. Relasi Himpunan 3. Operasi Himpunan A B : A B

Lebih terperinci

STRUKTUR ALJABAR: RING

STRUKTUR ALJABAR: RING STRUKTUR ALJABAR: RING BAHAN AJAR Oleh: Rippi Maya Program Studi Magister Pendidikan Matematika Sekolah Tinggi Keguruan dan Ilmu Pendidikan (STKIP) SILIWANGI - Bandung 2016 1 Pada grup telah dipelajari

Lebih terperinci

ANALISIS REAL 1. Perkuliahan ini dimaksudkan memberikan

ANALISIS REAL 1. Perkuliahan ini dimaksudkan memberikan ANALISIS REAL 1 Perkuliahan ini dimaksudkan memberikan kemampuan pada mahasiswa agar dapat memahami pernyataan-pernyataan matematika secara baik dan benar, berpikir secara logis, kritis dan sistematis,

Lebih terperinci

METODA PEMBUKTIAN DALAM MATEMATIKA

METODA PEMBUKTIAN DALAM MATEMATIKA METODA PEMBUKTIAN DALAM MATEMATIKA Dr. Julan HERNADI & Uki Suhendar, S.Pd (Asrul dan Enggar) Program Studi Pendidikan Matematika FKIP Unmuh Ponorogo Pertemuan 8 FONDASI MATEMATIKA Matematika Bukan Sekedar

Lebih terperinci

BAB MATRIKS. Tujuan Pembelajaran. Pengantar

BAB MATRIKS. Tujuan Pembelajaran. Pengantar BAB II MATRIKS Tujuan Pembelajaran Setelah mempelajari materi bab ini, Anda diharapkan dapat: 1. menggunakan sifat-sifat dan operasi matriks untuk menunjukkan bahwa suatu matriks persegi merupakan invers

Lebih terperinci

SISTEM BILANGAN REAL. 1. Sistem Bilangan Real. Terlebih dahulu perhatikan diagram berikut: Bilangan. Bilangan Rasional. Bilangan Irasional

SISTEM BILANGAN REAL. 1. Sistem Bilangan Real. Terlebih dahulu perhatikan diagram berikut: Bilangan. Bilangan Rasional. Bilangan Irasional SISTEM BILANGAN REAL Sebelum membahas tentag konsep sistem bilangan real, terlebih dahulu ingat kembali tentang konsep himpunan. Konsep dasar dalam matematika adalah berkaitan dengan himpunan atau kelas

Lebih terperinci

MA3231 Analisis Real

MA3231 Analisis Real MA3231 Analisis Real Hendra Gunawan* *http://hgunawan82.wordpress.com Analysis and Geometry Group Bandung Institute of Technology Bandung, INDONESIA Program Studi S1 Matematika ITB, Semester II 2016/2017

Lebih terperinci

UNIVERSITAS GADJAH MADA. Bahan Ajar:

UNIVERSITAS GADJAH MADA. Bahan Ajar: UNIVERSITAS GADJAH MADA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM JURUSAN MATEMATIKA PROGRAM STUDI S1 MATEMATIKA Sekip Utara, Gedung Jurusan Matematika, Yogyakarta - 55281 Bahan Ajar: BAB POKOK BAHASAN

Lebih terperinci

Persamaan dan pertidaksamaan kuadrat BAB II

Persamaan dan pertidaksamaan kuadrat BAB II BAB II Misalkan a,b,c Є R dan a 0 maka persamaan yang berbentuk dinamakan persamaan kuadrat dalam peubah x. Dalam persamaan kuadrat ax bx c 0, a adalah koefisien dari x, b adalah koefisien dari x dan c

Lebih terperinci

2 BILANGAN PRIMA. 2.1 Teorema Fundamental Aritmatika

2 BILANGAN PRIMA. 2.1 Teorema Fundamental Aritmatika Bilangan prima telah dikenal sejak sekolah dasar, yaitu bilangan yang tidak mempunyai faktor selain dari 1 dan dirinya sendiri. Bilangan prima memegang peranan penting karena pada dasarnya konsep apapun

Lebih terperinci

PENGANTAR ANALISIS REAL

PENGANTAR ANALISIS REAL Seri Analisis dan Geometri No. 1 (2009), -15 158 (173 hlm.) PENGANTAR ANALISIS REAL Oleh Hendra Gunawan Edisi Pertama Bandung, Januari 2009 2000 Dewey Classification: 515-xx. Kata Kunci: Analisis matematika,

Lebih terperinci

Himpunan dan Fungsi. Modul 1 PENDAHULUAN

Himpunan dan Fungsi. Modul 1 PENDAHULUAN Modul 1 Himpunan dan Fungsi Dr Rizky Rosjanuardi P PENDAHULUAN ada modul ini dibahas konsep himpunan dan fungsi Pada Kegiatan Belajar 1 dibahas konsep-konsep dasar dan sifat dari himpunan, sedangkan pada

Lebih terperinci

II. TINJAUAN PUSTAKA. Pada bab ini akan diberikan konsep dasar (pengertian) tentang bilangan sempurna,

II. TINJAUAN PUSTAKA. Pada bab ini akan diberikan konsep dasar (pengertian) tentang bilangan sempurna, 3 II. TINJAUAN PUSTAKA Pada bab ini akan diberikan konsep dasar (pengertian) tentang bilangan sempurna, square free, keterbagian bilangan bulat, modulo, bilangan prima, ideal, daerah integral, ring quadratic.

Lebih terperinci

BAGIAN KEDUA. Fungsi, Limit dan Kekontinuan, Turunan

BAGIAN KEDUA. Fungsi, Limit dan Kekontinuan, Turunan BAGIAN KEDUA Fungsi, Limit dan Kekontinuan, Turunan 51 52 Hendra Gunawan Pengantar Analisis Real 53 6. FUNGSI 6.1 Fungsi dan Grafiknya Konsep fungsi telah dipelajari oleh Gottfried Wilhelm von Leibniz

Lebih terperinci

Diktat Kuliah. Oleh:

Diktat Kuliah. Oleh: Diktat Kuliah TEORI GRUP Oleh: Dr. Adi Setiawan UNIVERSITAS KRISTEN SATYA WACANA SALATIGA 2015 Kata Pengantar Aljabar abstrak atau struktur aljabar merupakan suatu mata kuliah yang menjadi kurikulum nasional

Lebih terperinci

BAB I INDUKSI MATEMATIKA

BAB I INDUKSI MATEMATIKA BAB I INDUKSI MATEMATIKA 1.1 Induksi Matematika Induksi matematika adalah suatu metode yang digunakan untuk memeriksa validasi suatu pernyataan yang diberikan dalam suku-suku bilangan asli. Dalam pembahasan

Lebih terperinci

1 Sistem Bilangan Real

1 Sistem Bilangan Real Learning Outcome Rencana Pembelajaran Setelah mengikuti proses pembelajaran ini, diharapkan mahasiswa dapat ) Menentukan solusi pertidaksamaan aljabar ) Menyelesaikan pertidaksamaan dengan nilai mutlak

Lebih terperinci

MA5032 ANALISIS REAL

MA5032 ANALISIS REAL (Semester I Tahun 2011-2012) Dosen FMIPA - ITB E-mail: hgunawan@math.itb.ac.id. August 17, 2011 Zeno, seorang filsuf dan matematikawan Yunani Kuno (490-435 SM), mengemukakan sebuah paradoks tentang suatu

Lebih terperinci

ALJABAR ABSTRAK ( TEORI GRUP DAN TEORI RING ) Dr. Adi Setiawan, M. Sc

ALJABAR ABSTRAK ( TEORI GRUP DAN TEORI RING ) Dr. Adi Setiawan, M. Sc ALJABAR ABSTRAK ( TEORI GRUP DAN TEORI RING ) Dr. Adi Setiawan, M. Sc PROGRAM STUDI MATEMATIKA FAKULTAS SAINS DAN MATEMATIKA UNIVERSITAS KRISTEN SATYA WACANA SALATIGA 2011 0 KATA PENGANTAR Aljabar abstrak

Lebih terperinci

Himpunan dan Sistem Bilangan Real

Himpunan dan Sistem Bilangan Real Modul 1 Himpunan dan Sistem Bilangan Real Drs. Sardjono, S.U. PENDAHULUAN M odul himpunan ini berisi pembahasan tentang himpunan dan himpunan bagian, operasi-operasi dasar himpunan dan sistem bilangan

Lebih terperinci

GLOSSARIUM. A Akar kuadrat

GLOSSARIUM. A Akar kuadrat A Akar kuadrat GLOSSARIUM Akar kuadrat adalah salah satu dari dua faktor yang sama dari suatu bilangan. Contoh: 9 = 3 karena 3 2 = 9 Anggota Himpunan Suatu objek dalam suatu himpunan B Belahketupat Bentuk

Lebih terperinci

Hand-Out Geometri Transformasi. Bab I. Pendahuluan

Hand-Out Geometri Transformasi. Bab I. Pendahuluan Hand-Out Geometri Transformasi Bab I. Pendahuluan 1.1 Vektor dalam R 2 Misalkan u = (x 1,y 1 ), v = (x 2,y 2 ) dan w = (x 3,y 3 ) serta k skalar (bilangan real) Definisi 1. : Penjumlahan vektor u + v =

Lebih terperinci

METODA PEMBUKTIAN DALAM MATEMATIKA

METODA PEMBUKTIAN DALAM MATEMATIKA METODA PEMBUKTIAN DALAM MATEMATIKA Dr. Julan Hernadi julan hernadi@yahoo.com ABSTRAK Di dalam matematika, bukti adalah serangkaian argumen logis yang menjelaskan kebenaran suatu pernyataan. Argumen-argumen

Lebih terperinci

DASAR-DASAR ANALISIS MATEMATIKA

DASAR-DASAR ANALISIS MATEMATIKA (Bekal untuk Para Sarjana dan Magister Matematika) Dosen FMIPA - ITB E-mail: hgunawan@math.itb.ac.id. November 19, 2007 Secara geometris, f kontinu di suatu titik berarti bahwa grafiknya tidak terputus

Lebih terperinci

BAB VI BILANGAN REAL

BAB VI BILANGAN REAL BAB VI BILANGAN REAL PENDAHULUAN Perluasan dari bilangan cacah ke bilangan bulat telah dibicarakan. Dalam himpunan bilangan bulat, pembagian tidak selalu mempunyai penyelesaian, misalkan 3 : 11. Timbul

Lebih terperinci

TINJAUAN PUSTAKA. Ruang metrik merupakan ruang abstrak, yaitu ruang yang dibangun oleh

TINJAUAN PUSTAKA. Ruang metrik merupakan ruang abstrak, yaitu ruang yang dibangun oleh II. TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Ruang Metrik Ruang metrik merupakan ruang abstrak, yaitu ruang yang dibangun oleh aksioma-aksioma tertentu. Ruang metrik merupakan hal yang fundamental dalam analisis fungsional,

Lebih terperinci

CATATAN KULIAH ANALISIS REAL LANJUT

CATATAN KULIAH ANALISIS REAL LANJUT CATATAN KULIAH ANALISIS REAL LANJUT May 26, 203 A Lecture Note Acknowledgement of Sources For all ideas taken from other sources (books, articles, internet), the source of the ideas is mentioned in the

Lebih terperinci

Pembahasan Soal-Soal Latihan 1.1

Pembahasan Soal-Soal Latihan 1.1 Pembahasan Soal-Soal Latihan. Oleh : Fendi Alfi Fauzi Anda pasti masih ingat bagaimana memanipulasi bilangan, tetapi tidak ada salahnya untuk mengulang kembali sejenak. Dalam Soal-soal 0, sederhanakanlah

Lebih terperinci

METODA PEMBUKTIAN DALAM MATEMATIKA

METODA PEMBUKTIAN DALAM MATEMATIKA METODA PEMBUKTIAN DALAM MATEMATIKA Dr. Julan HERNADI & Uki Suhendar, S.Pd (Asrul dan Enggar) Program Studi Pendidikan Matematika FKIP Unmuh Ponorogo Pertemuan 8 FONDASI MATEMATIKA Matematika Bukan Sekedar

Lebih terperinci

INTERVAL, PERTIDAKSAMAAN, DAN NILAI MUTLAK

INTERVAL, PERTIDAKSAMAAN, DAN NILAI MUTLAK INTERVAL, PERTIDAKSAMAAN, DAN NILAI MUTLAK Departemen Matematika FMIPA IPB Bogor, 2012 (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 1 / 19 Topik Bahasan 1 Sistem Bilangan Real 2 Interval 3

Lebih terperinci

11. FUNGSI MONOTON (DAN FUNGSI KONVEKS)

11. FUNGSI MONOTON (DAN FUNGSI KONVEKS) 11. FUNGSI MONOTON (DAN FUNGSI KONVEKS) 11.1 Definisi dan Limit Fungsi Monoton Misalkan f terdefinisi pada suatu himpunan H. Kita katakan bahwa f naik pada H apabila untuk setiap x, y H dengan x < y berlaku

Lebih terperinci

Teori Himpunan. Modul 1 PENDAHULUAN

Teori Himpunan. Modul 1 PENDAHULUAN Modul 1 Teori Himpunan Drs. Sukirman, M.Pd. M PENDAHULUAN odul ini memuat pembahasan teori himpunan dan himpunan bilangan bulat. Teori himpunan memuat notasi himpunan, relasi dan operasi dua himpunan atau

Lebih terperinci

MA3231. Pengantar Analisis Real. Hendra Gunawan, Ph.D. Semester II, Tahun

MA3231. Pengantar Analisis Real. Hendra Gunawan, Ph.D. Semester II, Tahun MA3231 Pengantar Analisis Real Semester II, Tahun 2016-2017 Hendra Gunawan, Ph.D. Bab 1 Sifat Kelengkapan Bilangan Real 2 1.1 Paradoks Zeno ACHILLES TORTOISE 0 1 1½ Sumber: skeptic.com 1 1 1... 1 2 4 8?

Lebih terperinci

Sistem Bilangan Riil

Sistem Bilangan Riil Sistem Bilangan Riil Sistem bilangan N : 1,,,. Z :,-,-1,0,1,,.. N : bilangan asli Z : bilangan bulat Q : bilangan rasional R : bilangan real Q : q R a b, a, b Z, b Q Irasional Contoh Bil Irasional,, 0

Lebih terperinci

0,1,2,3,4. (e) Perhatikan jawabmu pada (a) (d). Tuliskan kembali sifat-sifat yang kamu temukan dalam. 5. a b c d

0,1,2,3,4. (e) Perhatikan jawabmu pada (a) (d). Tuliskan kembali sifat-sifat yang kamu temukan dalam. 5. a b c d 1 Pada grup telah dipelajari himpunan dengan satu operasi. Sekarang akan dipelajari himpunan dengan dua operasi. Ilustrasi 1.1 Perhatikan himpunan 0,1,2,3,4. (a) Apakah grup terhadap operasi penjumlahan?

Lebih terperinci

PERSAMAAN KUADRAT. Persamaan. Sistem Persamaan Linear

PERSAMAAN KUADRAT. Persamaan. Sistem Persamaan Linear Persamaan Sistem Persamaan Linear PENGERTIAN Definisi Persamaan kuadrat adalah kalimat matematika terbuka yang memuat hubungan sama dengan yang pangkat tertinggi dari variabelnya adalah 2. Bentuk umum

Lebih terperinci

F. RANCANGAN KEGIATAN BELAJAR MENGAJAR

F. RANCANGAN KEGIATAN BELAJAR MENGAJAR F. RANCANGAN KEGIATAN BELAJAR MENGAJAR No. (TIU) : 1. Pendahuluan Mahasiswa dapat memahami pengertian dan konsep himpunan, fungsi dan induksi matematik, mampu menerapkannya dalam penyelesaian soal dan

Lebih terperinci

TITIK TETAP NADLR FUNGSI MULTI NILAI KONTRAKTIF PADA RUANG METRIK ( ) Rinurwati Jurusan Matematika FMIPA-ITS Jl. Arif Rahman Hakim Surabaya 60111

TITIK TETAP NADLR FUNGSI MULTI NILAI KONTRAKTIF PADA RUANG METRIK ( ) Rinurwati Jurusan Matematika FMIPA-ITS Jl. Arif Rahman Hakim Surabaya 60111 TITIK TETAP NADLR FUNGSI MULTI NILAI KONTRAKTIF PADA RUANG METRIK ( ) Rinurwati Jurusan Matematika FMIPA-ITS Jl. Arif Rahman Hakim Surabaya 60111 Abstract. In this paper was discussed about Nadlr fixed

Lebih terperinci

SISTEM PERSAMAAN LINEAR, KUADRAT DAN PERTIDAKSAMAAN SATU VARIABEL

SISTEM PERSAMAAN LINEAR, KUADRAT DAN PERTIDAKSAMAAN SATU VARIABEL LA - WB (Lembar Aktivitas Warga Belajar) SISTEM PERSAMAAN LINEAR, KUADRAT DAN PERTIDAKSAMAAN SATU VARIABEL Oleh: Hj. ITA YULIANA, S.Pd, M.Pd MATEMATIKA PAKET C TINGKAT V DERAJAT MAHIR 1 SETARA KELAS X

Lebih terperinci

BAB I TAUTOLOGI DAN PRINSIP-PRINSIP PEMBUKTIAN

BAB I TAUTOLOGI DAN PRINSIP-PRINSIP PEMBUKTIAN BAB I TAUTOLOGI DAN PRINSIP-PRINSIP PEMBUKTIAN Pada bab ini akan dibicarakan rumus-rumus tautologi dan prinsip-prinsip pembuktian yang tidak saja digunakan di bidang matematika, tetapi juga dapat diterapkan

Lebih terperinci

BAB I PERTIDAKSAMAAN RASIONAL, IRASIONAL & MUTLAK

BAB I PERTIDAKSAMAAN RASIONAL, IRASIONAL & MUTLAK Matematika Peminatan SMA kelas X Kurikulum 2013 BAB I PERTIDAKSAMAAN RASIONAL, IRASIONAL & MUTLAK I. Pertidaksamaan Rasional (Bentuk Pecahan) A. Pengertian Secara umum, terdapat empat macam bentuk umum

Lebih terperinci

MATEMATIKA EKONOMI 1. Oleh : Muhammad Imron H

MATEMATIKA EKONOMI 1. Oleh : Muhammad Imron H MATEMATIKA EKONOMI 1 Oleh : Muhammad Imron H UNIVERSITAS GUNADARMA 015 Universitas Gunadarma Halaman BAB I HIMPUNAN A. Pengertian Himpunan Himpunan adalah kumpulan dari objek tertentu (dinamakan unsur,

Lebih terperinci

Pengantar Analisis Real

Pengantar Analisis Real Modul Pengantar Analisis Real Dr Endang Cahya, MA, MSi P PENDAHULUAN ada Modul ini disajikan beberapa topik pengantar mata kuliah Analisis Real, yang terbagi dalam beberapa kegiatan belajar yang harus

Lebih terperinci