PENGANTAR TOPOLOGI. Dosen Pengampu: Siti Julaeha, M.Si EDISI PERTAMA UNIVERSITAS ISLAM NEGERI SUNAN GUNUNG DJATI BANDUNG 2015

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Ukuran: px
Mulai penontonan dengan halaman:

Download "PENGANTAR TOPOLOGI. Dosen Pengampu: Siti Julaeha, M.Si EDISI PERTAMA UNIVERSITAS ISLAM NEGERI SUNAN GUNUNG DJATI BANDUNG 2015"

Transkripsi

1 PENGANTAR TOPOLOGI EDISI PERTAMA Dosen Pengampu: Siti Julaeha, M.Si UNIVERSITAS ISLAM NEGERI SUNAN GUNUNG DJATI BANDUNG 2015 by Matematika Sains 2012 UIN SGD, Copyright 2015

2 BAB 0. HIMPUNAN, RELASI, FUNGSI, DAN KARDINALITAS 0.1 HIMPUNAN Himpunan merupakan kumpulan atau kelas objek-objek yang didefinisikan secara jelas. Objek-objek dalam himpunan ini dapat berupa apa saja, seperti bilangan, orang, surat, sungai, dan lain sebagainya. Objek-objek ini disebut elemenelemen atau anggota-anggota dari himpunan. Berikut ini merupakan contoh himpunan Contoh Himpunan yang terdiri dari bilangan 1,3,7 dan 10. Contoh Himpunan ibukota-ibukota yang ada di benua Eropa. Himpunan-himpunan akan selalu dinyatakan dengan huruf-huruf besar, seperti A, B, X, Y dan lain sebagainya. Elemen-elemen dalam himpunan akan selalu dinyatakan dengan huruf kecil, seperti a, b, x, y. Jika kita mendefinisikan suatu himpunan tertentu dengan menyatakan secara jelas anggota-anggotanya, seperti A terdiri atas bilangan-bilangan 1,3,7, dan 10, maka kita tulis A = {1,3,10} Definisi Sebuah himpunan dikatakan berhingga jika terdiri dari sejumlah tertentu elemen-elemen yang berbeda, artinya, jika kita menghitung elemenelemen yang termuat dalam himpunan ini, maka proses perhitungannya akan berakhir. Jika tidak demikian, maka himpunannya adalah tak hingga. Contoh Misalkan M merupakan himpunan dari hari-hari dalam seminggu. Maka M berhingga Contoh Misalkan N = {2,4,6,8, }. Maka N tak berhingga. 1

3 Definisi Himpunan A dikatakan sama dengan himpunan B jika keduanya sama-sama memiliki anggota yang sama, artinya jika setiap elemen yang termuat di A, maka termuat juga di B. Dan jika semua elemen yang termuat di B, maka termuat juga di A. Contoh Misalkan A = {1,2,3,4}, dan B = {3,1,4,2}. Maka A = B, karena tiaptiap elemen 1,2,3,4 dari A termuat di B. Dan setiap elemen 3,1,4,2 dari B juga termuat di A. Definisi Suatu himpunan yang tidak mengandung elemen-elemen disebut sebagai himpunan kosong, dinotasikan dengan atau { }. Contoh Misalkan B = {x x 2 = 4, x merupakan bilangan ganjil}. Maka B adalah himpunan kosong. Definisi Jika semua elemen sebuah himpunan A adalah elemen dalam himpunan B, maka A disebut subhimpunan dari B. Atau lebih khusus lagi jika x A, maka x B. Kita notasikan dengan A B Dapat juga dibaca A terkandung dalam B. Definisi Dalam setiap penggunaan teori himpunan, semua himpunan yang ditinjau adalah subhimpunan dari sebuah himpunan tertentu. Himpunan ini kita sebut Himpunan semesta atau universe of discourse, himpunan ini dinotasikan dengan U atau S. Definisi Dua himpunan A dan B adalah sama, yaitu A = B, jika dan hanya jika A B dan B A. Proposisi Himpunan kosong merupakan subhimpunan dari setiap himpunan. Proposisi Jika A bukanlah subhimpunan B, maka ada sekurang-kurangnya satu elemen A yang bukan anggota B. 2

4 Definisi B dikatakan subhimpunan sejati dari A jika B adalah subhimpunan A dan B tidak sama dengan A, yakni B A dan B A Definisi Jika objek-objek dari sebuah himpunan adalah himpunan-himpunan, maka disebut sebagai keluarga himpunan-himpunan atau kelas himpunanhimpunan. Definisi Keluarga dari semua subhimpunan sebuah himpunan S dikatakan himpunan kuasa dari S. Kita nyatakan himpunan kuasa dari S dengan 2 S. Contoh Misalkan M = {a, b}. Maka 2 M = {{a, b}, {a}, {b}, }. Operasi-Operasi Dasar dari Himpunan Definisi Gabungan dari himpunan-himpunan A dan B adalah himpunan dari semua elemen-elemen yang termasuk di dalam A atau B atau keduanya. Dinotasikan A B Contoh Misalkan S = {a, b, c, d} dan T = {f, b, d, g}. Maka S T = {a, b, c, d, f, g} Proposisi Berdasarkan definisi gabungan dua buah himpunan, maka A B dan B A adalah sama. Definisi Irisan himpunan-himpunan A dan B adalah himpunan dari elemenelemen yang dimiliki bersama oleh A dan B, yaitu elemen-elemen yang termasuk di A dan juga termasuk di B. Dinotasikan dengan A B Contoh Misalkan S = {a, b, c, d} dan T = {f, b, d, g}. Maka 3

5 S T = {b, d} Proposisi Berdasarkan definisi irisan, maka A B = B A Definisi Selisih himpunan-himpunan A dan B adalah himpunan elemenelemen yang termasuk di A tetapi tidak termasuk di B. Dinotasikan dengan A B Ada juga yang menotasikan A\B. Contoh Misalkan S = {a, b, c, d} dan T = {f, b, d, g}. Maka S T = {a, c} Definisi Komplemen dari sebuah himpunan A adalah himpunan dari elemenelemen yang tidak termasuk di A, yaitu selisih dari himpunan semesta U dan A. Dinotasikan dengan A c Namun ada juga yang menotasikan A = {x x bukan elemen A} Contoh Misalkan himpunan semesta U adalah huruf alfabet, dan T = {a, b, c}. Maka T c = {d, e, f, g,, x, y, z} Proposisi Gabungan dari sebarang himpunan A dan komplemennya A c adalah himpunan semesta. Yaitu A A c = U. Proposisi Komplemen dari himpunan semesta U adalah himpunan kosong, dan komplemen dari himpunan kosong adalah himpunan semesta. Proposisi Komplemen dari komplemen himpunan A adalah himpunan A sendiri, dinyatakan (A c ) c = A. 4

6 Proposisi Selisih A dan B sama dengan irisan A dengan komplemen B, dinotasikan A B = A B c Definisi Suatu pasangan terurut terdiri atas dua buah elemen a dan b, di mana salah satunya, misalkan a ditetapkan sebagai elemen pertama dan yang lainnya sebagai elemen kedua. Dinyatakan oleh (a, b) Dua buah pasangan terurut (a, b) dan (c, d) dinyatakan sama jika dan hanya jika a = c dan b = d. Proposisi Suatu pasangan terurut (a, b) dapat dinyatakan secara eksak oleh (a, b) = {{a}. {a, b}} Definisi Misalkan A dan B dua buah himpunan. Hasil kali himpunan (cartesian product) A dan B terdiri dari semua pasangan terurut (a, b) dimana a A dan b B. Himpunan ini dinyatakan oleh A B Yang berbunyi "A silang B, atau "A cross B". Secara ringkas A B = {(a, b) a A, b B} Contoh Misalkan A = {1,2,3} dan B = {a, b}. Maka hasil kali himpunan A dan B adalah A B = {(1, a), (1, b), (2, a), (2, b), (3, a), (3, b)} Proposisi Jika himpunan A memiliki n buah elemen, dan himpunan B memiliki m buah elemen, maka himpunan hasil kali A B memiliki mn buah elemen. 5

7 Soal Latihan 1. Misalkan A = {x, y, x}. Berapa banyak subhimpunan dari A dan apa saja subhimpunannya itu? 2. Misalkan U = {a, b, c, d, e}, A = {a, b, d}, dan B = {b, d, e}. Carilah a. A B d. B A g. A B b. B A e. A c B c. B c f. (A B) c 3. Misalkan A = {2, {4,5}, {4}}. Pernyataan-pernyataan manakah yang tidak benar dan mengapa? i. {4,5} A ii. {4,5} A iii. {{4,5}} A 4. Buktikan bahwa B A adalah subhimpunan dari A c. 5. Buktikan bahwa jika A B maka A B = B. 0.2 RELASI Suatu fungsi proposisi yang didefinisikan pada hasil kali kartesius A B dari dua himpunan A dan B adalah suatu ungkapan yang dinyatakan oleh P(x, y). Ungkapan ini bersifat bahwa P(a, b) dimana a dan b disisipkan untuk masingmasing variabel x dan y dalam P(x, y) adalah bernilai benar atau salah untuk sebarang pasangan terurut (a, b) A B. Misalnya jika A adalah himpunan dari para penggubah drama dan B adalah himpunan dari drama-drama, maka P(x, y) = x menulis y adalah fungsi proposisi pada A B. Ungkapan P(x, y) sendiri disebut sebagai kalimat terbuka dalam dua variabel. Definisi Suatu relasi terdiri dari 1. Sebuah himpunan A 2. Sebuah himpunan B 6

8 3. Suatu kalimat terbuka P(x, y) dimana P(a, b) bernilai benar atau salah untu sebarang pasangan terurut (a, b) yang termuat di A B. Maka kita sebut R suatu relasi dari A ke B dan menyatakannya dengan R = (a, b, P(x, y)). Jika P(a, b) bernilai benar, kita tulis arb, dibaca a berhubungan dengan b. Jika P(a, b) tidak benar, kita tulis arb, dibaca a tidak berhubungan dengan b. Contoh Misalkan R 1 = (A, B, P(x, y)) dimana B adalah himpunan dari kaum wanita, dan A himpunan kaum pria, serta P(x, y) berbunyi x adalah suami dari y. Maka R 1 adalah suatu relasi. Contoh Misalkan R 2 = (N, N, P(x, y)), dimana N adalah bilangan-bilangan asli, dan P(x, y) berbunyi y habis dibagi oleh x. Maka R 2 adalah relasi 3R 2 21, 2R 2 12, dan lain sebagainya. Definisi (Himpunan Jawaban). Misalkan R = (A, B, P(x, y)) adalah suatu relasi himpunan jawaban R dari relasi R yang terdiri dari elemen (a, b) dalam A B untuk P(x, y) bernilai benar, dinotasikan R = {(a, b) a A, b B, P(a, b) adalah benar} Contoh Misalkan R = (A, B, P(x, y)) dimana A = {2,3,4}, B = {3,4,5,6} dan P(x, y) berbunyi y habis dibagi oleh x. Maka himpunan jawabannya adalah R = {(2,4), (2,6), (3,3), (3,6), (4,4)} Relasi sebagai himpunan dari pasangan-pasangan terurut. Misalkan R sebarang subset dari A B, kita dapat mendefinisikan suatu relasi R = (A, B, P(x, y)) dimana P(x, y) berbunyi Pasangan terurut (x, y) termasuk ke dalam R. Definisi Suatu relasi R dari A ke B adalah himpunan dari A B. Proposisi Misalkan himpunan A memiliki m buah elemen, dan himpunan B memiliki n buah elemen, maka terdapat 2 mn buah relasi dari A ke B yang berbeda. 7

9 Definisi (Relasi Invers). Relasi invers dinotasikan sebagai R 1 = {(b, a) a, b R} Contoh Misalkan W = {a, b, c}, dan R = {(a, b), (a, c), (c, c), (c, b)}. Maka relasi invers dari R adalah R 1 = {(b, a), (c, a), (c, c), (b, c)} Definisi (Relasi Refleksif). Misalkan R = {A, A, P(x, y)} adalah suatu relasi dalam sebuah himpunan A. Maka R disebut refleksif jika untuk a A, (a, a) R. Contoh Misalkan V = {1,2,3,4}, dan R = {(1,1), (2,4), (3,3), (4,1), (4,4)}. Maka R bukan relasi refleksif karena (2,2) tidak termuat di R. Definisi (Relasi Simetris). Misalkan R merupakan subset dari A A, maka R disebut simetris jika (a, b) R, maka (b, a) R. Proposisi Jika (a, b) R, maka (b, a) termasuk dalam relasi invers R 1. Jadi R adalah suatu relasi simetris jika dan hanya jika R = R 1. Definisi (Relasi Anti Simetris). Suatu relasi R dalam sebuah himpunan A, yaitu sebuah himpunan A A, disebut suatu relasi antisimetris jika (a, b) R dan (b, a) R Maka berarti a = b. Contoh Misalkan W = {1,2,3,4}. Dan misalkan R = {(1,3), (4,2), (4,4), (2,4)} Maka R adalah bukan suatu relasi antisimetris, karena (4,2) R dan (2,4) R, tetapi 4 2. Definisi (Relasi Transitif). Suatu relasi R dalam sebuah himpunan A adalah transitif jika (a, b) R dan (b, c) R, maka (b, c) R 8

10 Contoh Misalkan W = {a, b, c}, dan R = {(a, b), (c, b), (b, a), (a, c)}. Maka R bukan suatu relasi transitif karena (c, b) R dan (b, a) R, tetapi (c, a) tidak termuat di R Definisi (Relasi Ekuivalen). Suatu relasi R dalam himpunan A adalah suatu relasi ekuivalen jika 1. R adalah refleksif 2. R adalah simetris 3. R adalah transitif. Soal Latihan 1. Misalkan R adalah relasi dari A = {1,2,3,4} ke B = {1,3,5} yang didefinisikan oleh kalimat terbuka x lebih kecil daripada y. Carilah himpunan jawaban dari R. Tuliskan R sebagai himpunan pasangan-pasangan terurut. 2. Misalkan W = {1,2,3,4} dan R = {(1,1), (1,3), (2,2), (3,1), (4,4)}. Apakah R refleksif? 3. Misalkan R dan R adalah relasi simetris di dalam himpunan A. Buktikan bahwa R R juga merupakan relasi simetris di dalam A. 4. Misalkan E = {1,2,3}. Pandang relasi-relasi berikut dalam E: R 1 = {(1,1), (2,1), (2,2), (3,2), (2,3)} R 2 = {(1,1)} R 3 = {(1,1), (2,3), (3,2)} Nyatakan apakah masing-masing relasi tersebut anti-simetris atau tidak. 5. Buktikan jika suatu relasi R transitif, maka relasi invers R 1 juga transitif. 9

11 0.3 FUNGSI Definisi Fungsi merupakan suatu aturan yang memetakan setiap anggota himpunan daerah asal ke daerah hasil. Dinotasikan f: A B, dibaca f adalah fungsi dari A ke dalam B. Himpunan A disebut sebagai domain dari f, dan B disebut kodomain atau range dari f. Jika a A, maka elemen dalam B yang ditetapkan untuk a disebut sebagai bayangan (image) dari a, dan dinyatakan oleh f(a), dibaca f dari a. Definisi (Fungsi Satu-Satu (Injektif)). Misalkan f suatu fungsi dari A ke dalam B, maka f disebut suatu fungsi satu-satu jika elemen-elemen yang berbeda di dalam B ditetapkan dengan elemen-elemen yang berbeda di dalam A, yaitu jika tidak ada dua buah elemen dalam A memiliki bayangan yang sama. Fungsi f: A B adalah satu-satu jika f(a) = f(a ) maka a = a, atau setara dengan konversnya, yakni jika a a maka f(a) f(a ). Definisi (Fungsi Pada (Surjektif)). Misalkan f suatu fungsi dari A ke dalam B. Jika setiap anggota dari B muncul sebagai bayangan dari sekurang-kurangnya satu elemen A, maka kita katakan f memetakan A pada B. Definisi (Fungsi Satuan). Misalkan A sebarang himpunan, dan misalkan f: A B didefinisikan oleh rumus f(x) = x, yaitu f memetakan setiap elemen dalam A ke elemen yang bersangkutan itu sendiri. Maka f disebut sebagai fungsi satuan atau transformasi satuan pada A, dinyatakan dengan 1 atau 1A. Definisi (Fungsi Konstan). Suatu fungsi f dari A ke B disebut fungsi konstan jika B yang sama ditetapkan untuk setiap elemen dalam A. Dengan kata lain f: A B disebut fungsi konstan jika jangkauan dari f hanya terdiri dari satu elemen. 10

12 Definisi Misalkan f suatu fungsi dari A ke dalam B dan g suatu fungsi dari B ke dalam C dimana B adalah kodomain dari f, Kita ilustrasikan fungsi-fungsi ini sebagai berikut f g A B C Dinotasikan (gof) atau g(f). Jika f: A B dan g: B C, maka kita definisikan suatu fungsi (gof): A C dan (gof)(a) g(f(a)) yang disebut sebagai hasil kali fungsi. Teorema Misalkan f: A B, g: B C dan h: C D, maka (hog)of = ho(gof). Definisi (Invers dari Fungsi). Misalkan f suatu fungsi dari A ke dalam B dan misalkan b B. Maka invers dari b dinyatakan oleh f 1 (b) yang terdiri dari elemenelemen A yang dipetakan ke B. Jika f: A B, maka f 1 (b) = {x x A, f(x) = b}. Definisi (Fungsi Invers). Misalkan f: A B adalah fungsi satu-satu dan pada. Maka untuk b B, invers f 1 (b) terdiri dari sebuah elemen tunggal dalam A, ditulis f 1 : B A. Teorema Misalkan f: A B adalah satu-satu dan pada yang berarti f 1 : B A ada, maka hasil kali fungsi (f 1 of): A A adalah fungsi satuan pada A, dan hasil kali fungsi (fof 1 ): B B adalah fungsi satuan B. Teorema Misalkan f: A B dan g: B A, maka g adalah fungsi invers dari f yang berarti g = f 1 jika hanya jika hasil kali fungsi (gof) = A A adalah fungsi satuan pada A, dan (fog): B B adalah fungsi satuan pada B. 11

13 Soal Latihan 1. Misalkan A = [ 1,1]. B = [1,3], C = [ 3,1], dan f 1 : A R, f 2 : B R, f 3 : C R. Dengan aturan untuk tiap-tiap bilangan ditetapkan kuadratnya. Yang manakah dari fungsi tersebut merupakan fungsi satu-satu? Berikan alasannya! 2. Misalkan A = [ 1,1] dan (1) f(x) = x 2, (2) g(x) = x 3, (3) h(x) = sinx. Fungsi manakah yang pada? 3. Misalkan f: R R dan g: R R didefinisikan oleh f(x) = 2x + 1 dan g(x) = x 2 1. Carilah (gof) dan (fog). 4. Buktikan jika f: A B pada dan g: B C pada, maka (gof): A C juga pada! 5. Buktikan Teorema Misalkan f: A B, g: B C memiliki invers,buktikan bahwa (gof): A C memiliki invers (f 1 og 1 ): C A. 0.4 KARDINALITAS Definisi Himpunan A ekivalen dengan himpunan B, yang dinyatakan oleh A~B jika terdapat sebuah fungsi f: A B yang satu-satu dan pada. Maka fungsi f dikatakan mendefinisikan korespondensi satu-satu diantara himpunan A dan himpunan B. Contoh Misalkan R = {1,2,5,8} dan T = {Marc, Eric, Paul, Betty}. Diagram berikut mendefinisikan sebuah fungsi dari R ke dalam T yang satu-satu dan pada. Maka R ekivalen dengan T Marc Eric Paul Betty 12

14 Definisi Sebuah himpunan dikatakan tak berhingga jika himpunan tersebut ekuivalen dengan sebuah subhimpunan sejatinya sendiri. Contoh Misalkan A dan B adalah dua himpunan sebarang. Maka A~Ax{1} B~Bx{2} Karena fungsi-fungsi f: a (a, 1), a A g: b (b, 2), b B Adalah fungsi satu-satu dan pada walaupun A dan B kedua-duanya tidak terputus namun perhatikan bahwa Ax{1} Bx{2} = Karena setiap pasangan teratur dalam Ax{1} memuat 1 sebagai elemen kedua, dan setiap pasangan teratur dalam Bx{2} memuat 2 sebagai elemen kedua. Teorema Hubungan dalam himpunan yang didefinisikan oleh A~B adalah sebuah hubungan kesetaraan. Secara spesifik 1. A~A untuk setiap himpunan A 2. Jika A~B maka B~A 3. Jika A~B dan B~C maka A~C Definisi Jika sebuah himpunan D ekuivalen dengan N, maka dinamakan denumerabel dan mempunyai kardinalitas a. Definisi Sebuah himpunan dikatakan kauntabel jika himpunan tersebut berhingga atau denumerabel dan sebuah himpunan dikatakan non denumerabel jika himpunan tersebut tak berhingga dan jika himpunan tersebut tidak ekuivalen dengan N, maka himpunan tersebut tidak kauntabel. 13

15 Contoh Setiap urutan tak berhingga a 1, a 2, a 3, dari elemen-elemen yang berlainan adalah himpunan yang denumerabel, karena sebuah urutan pada pokoknya adalah suatu fungsi f(n) = a n yang ranahnya adalah N. Jadi jika a n tersebut berlainan, maka fungsi tersebut satu-satu dan pada. Sehingga setiap himpunan yang denumerabel: {1, 1 2, 1 3,, 1 n, } {1, 2,3, 4,, ( 1) n 1 n, } Contoh Tinjaulah himpunan hasil kali N N seperti yang ditunjukkan dalam gambar berikut: (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) Himpunan N N dapat dituliskan dalam sebuah urutan tak berhingga dari elemenelemen yang berlainan sebagai berikut: {(1,1), (2,1), (1,2), (1,3), (2,2), } Teorema Tiap-tiap himpunan tak berhingga memuat sebuah subhimpunan yang denumerabel. Teorema Sebuah subhimpunan dari sebuah himpunan yang denumerabel adalah subhimpunan yang berhingga atau subhimpunan yang denumerabel. Akibat Sebuah subhimpunan dari sebuah himpunan yang kauntabel adalah subhimpunan kauntabel. Teorema Misalkan A 1, A 2, A 3, adalah keluarga yang denumerabel dari himpunan yang terputus secara sepasang-sepasang (pairwise disjoint), dan setiap himpunan adalah himpunan yang denumerabel. Maka gabungan himpunan adalah himpunan yang denumerabel. i N A i Akibat Misalkan {A i }, i I adalah sebuah keluarga yang kauntabel dari himpunan-himpunan yang kauntabel. Maka i I A i adalah hipunan yang kauntabel 14

16 Definisi Misalkan A adalah sebarang himpunan dan misalkan α menyatakan keluarga himpunan yang ekuivalen dengan A. Maka α dinamakan sebuah bilangan kardinal dan dinyatakan oleh α = #(A) Definisi Bilangan kardinal dari setiap himpunan, {1}, {1,2}, {1,2,3}, Berturut-turut dinyatakan oleh 0,1,2,3,..., dan dinamakan kardinal berhingga. Definisi Bilangan-bilangan kardinal dari N, yakni himpunan bilangan asli dan interval satuan [0,1] dinyatakan oleh N 0 Definisi Misalkan α dan β adalah bilangan kardinal dan misalkan A dan B adalah himpunan terputus sehingga: α = #(A), β = #(B) Maka α + β = #(A B) αβ = #(A B) Teorema Jika A~A, B~B`, A B =. A B =, maka #(A B) = #( A B ) #(A B) = #( A XB ) Soal Latihan 1. Tinjaulah lingkaran-lingkaran konsentris C 1 = {(x, y) x 2 + y 2 = a 2 } dan C 2 = {(x, y) x 2 + y 2 = b 2 dimana 0 < a < b. Dapatkanlah secara geometris korespondensi satu-satu diantara C 1 dan C 2! 15

17 x C 2 C 1 2. Buktikan bahwa a. [0,1]~(0,1) b. [0,1]~[0,1) c. [0,1]~(0,1] 3. Buktikan untuk sebarang himpunan A dan B, maka A B~B A. 16

18 BAB 1. RUANG TOPOLOGI 1.1 TOPOLOGI Topologi sama seperti cabang ilmu dari matematika murni lainnya seperti teori grup, ruang vektor, dan lain sebagainya yang merupakan suatu himpunan terstruktur. Oleh karena itu ruang topologi juga merupakan himpunan yang dilengkapi struktur dan aturan-aturan tertentu. Jadi, apa saja aturan pada ruang topologi? Definisi Diberikan himpunan tak kosong X, suatu koleksi τ yang berisikan himpunan-himpunan bagian dari X dikatakan topologi pada τ, jika memenuhi 1. X dan himpunan kosong termuat di dalam τ 2. Gabungan (berhingga ataupun tak hingga) dari himpunan-himpunan di τ termuat di τ juga 3. Irisan berhingga dari himpunan-himpunan di τ berada di τ juga. Dan pasangan (X, τ) disebut sebagai ruang topologi. Contoh Diberikan X = {a, b, c, d, e, f} dan τ 1 = {X,, {a}, {c, d}, {a, c, d}, {b, c, d, e, f}} Maka τ 1 merupakan topologi di X karena memenuhi kondisi 1, 2, dan 3 pada Definisi Contoh Diberikan X = {a, b, c, d, e, f} dan τ 2 = {X,, {a}, {c, d}, {a, c, e}, {b, c, d}} Maka τ 2 bukan merupakan topologi di X, karena gabungan {c, d} {a, c, e} = {a, c, d, e} Tidak termuat di τ 2. Sehingga τ 2 tidak memenuhi kondisi ke-2 dari Definisi Contoh Diberikan X = {a, b, c, d, e, f} dan τ 3 = {X,, {a}, {f}, {a, f}, {a, c, f}, {b, c, d, e, f}} 17

19 Maka τ 3 bukan topologi di X karena irisan {a, c, f} {b, c, d, e, f} = {c, f} Tidak termuat di τ 3, sehingga τ 3 tidak memenuhi kondisi ke-3 dari Definisi Contoh Diberikan N himpunan bilangan asli dan τ 4 memuat N,, dan himpunan bagian berhingga dari N. Maka τ 4 bukanlah topologi pada N karena gabungan tak hingga {2} {3} {n} = {2,3,, n, } Dari himpunan τ 4 tidak termuat di τ 4. Artinya τ 4 tidak memenuhi kondisi ke-2 dari Definisi Definisi Diberikan X himpunan tak kosong dan τ adalah koleksi dari semua himpunan bagian dari X, maka τ disebut topologi diskrit, sedangkan ruang topologi (X, τ) disebut ruang diskrit. Dapat kita cek bahwa Definisi memenuhi semua kondisi dari Definisi 1.1.1, jadi Definisi juga merupakan ruang topologi. Definisi Diberikan himpunan X tak kosong dan τ = {X, }, maka τ disebut topologi indiskrit, sedangkan ruang topologi (X, τ) disebut ruang indiskrit. Definisi juga memenuhi semua kondisi dari Definisi Jadi Definisi juga merupakan topologi. Oleh karena itu, semua himpunan tak kosong dapat kita bentuk menjadi topologi baik topologi diskrit maupun topologi indiskrit. Contoh Diberikan himpunan X = {a, b, c} dan τ merupakan tolopogi di X dengan {a} τ. {b} τ, dan {c} τ. Buktikan bahwa τ merupakan topologi diskrit. Penyelesaian: Diketahui bahwa τ merupakan topologi dan {a} τ, {b} τ, dan {c} τ. Kita akan menunjukkan bahwa τ merupakan topologi diskrit. Berdasarkan Definisi 1.1.6, maka kita harus menunjukkan bahwa τ memuat semua subhimpunan dari X. Ingat bahwa τ merupakan topologi, jadi pastilah τ memenuhi semua kondisi dari Definisi Selanjutnya perhatikan bahwa himpunan X memuat 3 elemen, jadi ada 2 3 subhimpunan dari X, yaitu S 1 =, S 2 = {a}, S 3 = {b}, S 4 = {c}, S 5 = 18

20 {a, b}, S 6 = {a, c}, S 7 = {b, c}, dan S 8 = {a, b, c} = X. Kita harus mengecek apakah S 1, S 2,, S 8 termuat di τ atau tidak. Perhatikan bahwa Definisi menunjukkan bahwa X dan termuat di τ, jadi S 1 τ dan S 8 τ. Selanjutnya karena didefinisikan {a} τ, {b} τ, dan {c} τ, maka S 2 τ, S 3 τ, dan S 4 τ. Kemudian kita harus menunjukkan S 5 τ, S 6 τ, dan S 7 τ. Karena {a} τ. {b} τ, dan {c} τ, maka pastilah S 5 = {a, b} = {a} {b} τ S 6 = {a, c} = {a} {c} τ S 7 = {b, c} = {b} {c} τ Sehingga terbukti bahwa τ merupakan topologi diskrit. Proposisi Misalkan (X, τ) merupakan ruang topologi dan setiap x X, jika himpunan tunggal {x} termuat di τ, maka τ merupakan topologi diskrit. Bukti: Kita tahu bahwa setiap himpunan merupakan gabungan dari subset-subset tunggal dari himpunan tersebut. Misalkan S merupakan subset dari X, maka S = {x} x S Karena {x} termuat di τ, serta berdasarkan Definisi menunjukkan bahwa S τ, maka terbukti bahwa τ merupakan topologi diskrit. Soal Latihan 1. Misalkan X = {a, b, c, d, e, f}. Tentukan apakah koleksi subhimpunan dari X berikut ini adalah topologi di X: a. τ 1 = {X,, {a}, {a, f}, {b, f}, {a, b, f}} b. τ 2 = {X,, {a, b, f}, {a, b, d}, {a, b, d, f}} c. τ 3 = {X,, {f}, {e, f}, {a, f}} 2. Misalkan X = {a, b, c, d, e, f}. Mana diantara koleksi subset dari X berikut ini yang merupakan topologi di X? Berikan alasannya! (a) τ 1 = {X,, {c}, {b, d, e}, {b, c, d, e}, {b}} 19

21 (b) τ 2 = {X,, {a}, {b, d, e}, {a, b, d}, {a, b, d, e}} (c) τ 3 = {X,, {b}, {a, d, c}, {d, e, f}, {b, d, e, f}} 3. Misalkan diberikan ruang topologi (X, τ). Buktikan bahwa irisan dari setiap anggota berhingga dari anggota-anggota di τ merupakan anggota di τ. (Hint: Gunakan induksi matematika) 1. 2 HIMPUNAN TERBUKA, TERTUTUP, DAN HIMPUNAN TERBUKA-TERTUTUP (CLOPEN SET) Sebelumnya kita telah membahas bahwa ruang topologi adalah pasangan himpunan (X, τ) dengan τ berisikan himpunan-himpunan bagian dari X. Maka isi dari τ ini lah yang disebut sebagai himpunan terbuka. Definisi Untuk sebarang ruang topologi (X, τ). Anggota-anggota dari τ dikata kan sebagai himpunan terbuka. Proposisi Untuk sebarang ruang topologi (X, τ) maka 1. X dan adalah himpunan terbuka. 2. Gabungan (berhingga atau tak-hingga) dari himpunan terbuka adalah himpunan terbuka. 3. Irisan berhingga dari himpunan terbuka adalah himpunan terbuka. Bukti: Jelas kondisi 1 dan 2 merupakan akibat dari Definisi dan Definisi Dan kondisi 3 juga dapat dibuktikan berdasarkan Definisi Dari Proposisi ini maka timbul pertanyaan: Gabungan tak hingga himpunan terbuka adalah terbuka, tapi apakah irisan tak-hingga dari himpunan terbuka pastilah terbuka? Jawabannya adalah tidak. Contoh Diberikan himpunan bilangan asli N dan τ memuat, N, dan S himpunan bagian dari N dengan komplemen S di dalam N adalah himpunan berhingga. Dengan mudah kita cek τ merupakan topologi. Untuk setiap bilangan asli n didefinisikan himpunan S n sebagai berikut 20

22 S n = {1} {n + 1} {n + 2} {n + 3} = {1} m m=n+1 Jelas setiap S n merupakan himpunan terbuka di dalam topologi τ, karena komplemennya merupakan himpunan berhingga. Akan tetapi S n = {1} n=1 Komplemen dari {1} bukanlah N ataupun himpunan berhingga, itu artinya {1} bukanlah himpunan terbuka. Telah kita tunjukan irisan tak-hingga dari himpunan terbuka S n tidaklah terbuka. Selanjutnya jika ada yang terbuka pastilah ada yang tertutup, himpunan tertutup adalah komplemen dari himpunan terbuka. Definisi Misalkan (X, τ) merupakan ruang topologi, suatu himpunan bagian S dari X dikatakan himpunan tertutup jika komplemennya merupakan himpunan terbuka pada (X, τ). Dari Contoh 1.1.2, Himpunan tertutupnya adalah, X, {b, c, d, e, f}, {a, b, e, f}, {b, e, f}, dan {a}. Proposisi Untuk sebarang ruang topologi (X, τ) maka 1. X dan adalah himpunan tertutup. 2. Gabungan (berhingga atau tak hingga) dari himpunan tertutup adalah himpunan tertutup. 3. Irisan berhingga dari himpunan tertutup adalah himpunan tertutup. Bukti: Untuk pembuktian nomor 1 mengikuti Proposisi dan Definisi 1.2.4, karena komplemen dari X adalah dan komplemen dari adalah X. Selanjutnya untuk pembuktian nomor 2, misalkan S 1, S 2,, S n merupakan himpunan tertutup. Kita akan menunjukkan bahwa S 1 S 2 S n merupakan himpunan tertutup. Berdasarkan Definisi 1.2.4, X\(S 1 S 2 S n ) merupakan suatu himpunan terbuka. Karena S 1, S 2,, S n merupakan himpunan tertutup, maka komplemennya X\S 1, X\S 2,, X\S n merupakan himpunan terbuka, sehingga X\(S 1 S 2 S n ) = (X\S 1 ) (X\S 2 ) (X\S n ) 21

23 Karena sisi kanan merupakan irisan dari himpunan terbuka, maka sisi sebelah kiri juga merupakan himpunan terbuka. Oleh karena itu S 1 S 2 S n adalah himpunan tertutup. Sehingga terbukti. Kemudian untuk pembuktian nomor 3 sama seperti halnya pembuktian nomor 2. Catatan: Penamaan terbuka dan tertutup menemukan sedikit permasalahan (kalau boleh dibilang begitu), bahwa ada himpunan terbuka sekaligus merupakan himpunan tertutup. Lebih jauh lagi ada himpunan yang tidak terbuka dan tidak tertutup. Sekarang perhatikan Contoh 1.1.2, kita lihat bahwa Himpunan {a} dan {b, c, d, e, f} adalah himpunan terbuka dan tertutup Himpunan {b, c} tidak terbuka ataupun tertutup Himpunan {c, d} terbuka tetapi tidak tertutup Himpunan {a, b, c, f} tertutup tetapi tidak terbuka. Pada ruang diskrit semua himpunan adalah terbuka dan tertutup tetapi pada ruang indiskrit (X, τ) semua himpunan bagian dari X kecuali X dan tidaklah terbuka ataupun tertutup. Definisi Himpunan bagian S dari ruang topologi (X, τ) dikatakan clopen (closed and open) jika terbuka dan tertutup pada ruang topologi (X, τ). Catatan: Setiap ruang topologi (X, τ), himpunan X dan adalah clopen. Pada ruang disktrit, setiap himpunan bagian dari X adalah clopen. Pada ruang indiskrit himpunan clopen hanyalah X dan. Himpunan terbuka adalah semua anggota-anggota τ. Jika komplemen suatu himpunan adalah himpunan terbuka, maka himpunan tersebut merupakan himpunan tertutup. 22

24 Soal Latihan 1. Daftarkan semua 64 subset dari himpunan X pada Contoh Tuliskan ke bawah, selanjutnya untuk masing-masing himpunan, tentukan apakah merupakan (i) Clopen, (ii) Bukan tertutup ataupun terbuka, (iii) Terbuka tetapi bukan tertutup, (iv) Tertutup tetapi bukan terbuka. 2. Misalkan (X, τ) merupakan ruang topologi yang memenuhi sifat setiap subsetnya merupakan himpunan tertutup. Buktikan bahwa (X, τ) merupakan ruang disrit! 3. Misalkan X merupakan himpunan tak hingga. Jika τ merupakan suatu topologi di X sehingga setiap subset tak hingga di X adalah tertutup, buktikan bahwa τ merupakan topologi diskrit! 1.3 FINITE-CLOSED TOPOLOGY Definisi Misalkan X adalah himpunan tak kosong. Topologi di X disebut finiteclosed topologi atau topologi cofinite jika subhimpunan tertutup dari X adalah X dan semua subhimpunan terbatas di X, sehingga himpunan terbuka dan semua subhimpunan di X mempunyai komplemen terbatas. Perlu dicek bahwa τ di Definisi adalah topologi yang mana memenuhi setiap kondisi di Definisi Catatan: Definisi tidak mengatakan bahwa setiap topologi yang memuat X dan subhimpunan terbatas di X tertutup adalah finite-closed topologi. Hal tersebut hanya berlaku untuk himpunan tertutup. (Tentu saja, contohnya pada topologi diskrit setiap himpunan X, himpunan X tersebut dan semua subhimpunan terbatas dari X adalah tertutup, demikian juga untuk semua subhimpunan lain di X). Di finite-closed topologi, semua himpunan terbatas adalah himpunan tertutup. Selanjutnya contoh di bawah ini menunjukkan bahwa subhimpunan tak terbatas bukan himpunan terbuka. Contoh Jika N adalah himpunan dari semua bilangan bulat positif, maka himpunan seperti {1}, {5,6,7}, {2,4,6,8} adalah terbatas, oleh karena itu himpunan 23

25 tersebut tertutup di finite-closed topologi. Di lain pihak, himpunan dari bilangan genap positif bukanlah himpunan tertutup karena itu tidak terbatas dan karena itu adalah komplemennya, himpunan dari bilangan bulat ganjil positif bukan himpunan terbuka di finite-closed topologi. Jadi, semua himpunan terbatas adalah tertutup, tetapi tidak semua himpunan tak terbatas adalah terbuka. Contoh Misalkan τ adalah finite-closed topologi di himpunan X. Jika X mempunyai sedikitnya 3 subset clopen, buktikan bahwa X adalah himpunan terhingga. Bukti: Kita tahu bahwa τ adalah finite-closed topologi dan ada sedikitnya 3 subset clopen. Kita harus membuktikan bahwa X adalah himpunan terhingga. Ingat bahwa τ adalah finite-closed topologi, berarti anggota dari semua himpunan tertutup terdiri dari X dan semua subset terhingga di X, suatu himpunan disebut clopen jika dan hanya jika keduanya tertutup dan terbuka. Ingat bahwa di setiap ruang topologi ada 2 subset clopen yaitu X dan. Tetapi kita diberitahu bahwa ada subset clopen selain X dan. Seperti halnya ruang (X, τ) mempunyai 3 subset clopen, kita tahu bahwa ada subset clopen S di X sehingga S X dan S. Karena X terbuka di (X, τ), pada Definisi menyatakan bahwa komplemen X\S adalah himpunan tertutup. Jadi S dan X\S tertutup di finite-closed topologi τ. Oleh karena itu, S dan X\S keduanya terhingga, karena tidak ada yang sama dengan X. Sedangkan X = S (X\S) dan juga X adalah gabungan dari dua himpunan terbatas. Jadi X adalah himpunan terbatas. Definisi Misalkan f fungsi yang memetakan himpunan X ke Y, maka (i) Fungsi f dikatakan satu-satu atau injektif jika f(x 1 ) = f(x 2 ) maka x 1 = x 2 untuk x 1, x 2 X. (ii) Fungsi f dikatakan pada atau surjektif jika untuk setiap y Y terdapat x X sehingga f(x) = y. (iii) Fungsi f dikatakan bijektif jika keduanya satu-satu dan pada. 24

26 Definisi Misal f adalah fungsi yang memetakan himpunan X ke dalam himpunan Y. fungsi f dikatakan mempunyai invers jika terdapat sebuah fungsi dari Y ke X sehingga g(f(x)) = x, untuk setiap x X dan f(g(y)) = y untuk setiap y Y. fungsi g dikatakan fungsi invers dari f. Proposisi Misal f adalah fungsi yang memetakan himpunan X ke dalam himpunan Y, maka (i) Fungsi f mempunyai invers jika dan hanya jika f bijektif (ii) Misal g 1 dan g 2 keduanya fungsi invers dari f maka g 1 = g 2, yang mana g 1 (y) = g 2 (y), untuk setiap y Y. (iii) Misalkan g adalah fungsi dari Y ke X. Maka g adalah fungsi invers dari f jika dan hanya jika f fungsi invers dari g. Definisi Misalkan f adalah fungsi yang memetakan dari himpunan X ke dalam himpunan Y. Jika S adalah subset dari Y, maka himpunan f 1 (S) didefinisikan sebagai f 1 (S) = {x: x X dan f(x) S} Subset f 1 (S) dari X disebut sebagai bayangan invers dari S. Contoh Misalkan f fungsi yang memetakan dari himpunan bilangan bulat Z ke dirinya sendiri, didefinisikan sebagai f(z) = z, z Z. Maka fungsi f bukan satu-satu karena f(1) = f( 1). Bukan juga pada karena tidak ada z Z sehingga f(z) = 1. Maka f pastilah bukan fungsi bijektif. Karena itu, menurut Proposisi (i), f tidak mempunyai invers. Tetapi bayangan inversnya ada. Contohnya: f 1 ({1,2,3}) = { 1, 2, 3,1,2,3} f 1 ({ 5,3,5,7,9}) = { 3, 5, 7, 9,3,5,7,9} Contoh Misalkan (Y, τ) adalah ruang topologi dan X himpunan tak kosong, misal f adalah fungsi yang memetakan dari X ke Y. Diberikan τ 1 = {f 1 (s); S τ}. Buktikan bahwa τ adalah topologi di X. 25

27 Soal Latihan 1. Jika N adalah himpunan dari semua bilangan bulat positif, τ memuat N, dan setiap himpunan {n, n + 1, } untuk n adalah bilangan bulat positif, jika τ adalah topologi, tentukan apakah τ merupakan finite-closed topologi? 2. Misalkan τ merupakan finite-closed topology di himpunan X. Jika τ juga merupakan topologi diskrit, buktikan bahwa himpunan X berhingga! 3. Misalkan f merupakan fungsi dari himpunan X ke dalam himpunan Y. Buktikan bahwa f 1 ( B j ) = f 1 (B j ) j J j J 26

28 BAB 2. TOPOLOGI EUCLIDEAN Di dalam film atau novel biasanya ada beberapa karakter utama mengenai siapa (tokoh) utama di dalam alur cerita tersebut. Maka di dalam cerita topologi, topologi Euclidean pada himpunan bilangan real merupakan salah satu karakter utamanya. Misalkan R dinotasikan sebagai himpunan semua bilangan real. Di BAB 1 kita telah mendefinisikan tiga bentuk topologi yang dapat diambil dari beberapa himpunan seperti: topologi diskrit, topologi indiskrit dan topologi tertutup-hingga (Finite-closed topology). Jadi kita tahu bahwa ada tiga bentuk topologi yang dapat diambil dari himpunan R. Dalam BAB ini kita akan membahas banyak hal penting dan menarik untuk topologi di R yang disebut dengan Topologi Euclidean. 2.1 TOPOLOGI EUCLIDEAN DI R Definisi Suatu himpunan S R dikatakan terbuka di topologi Euclidean jika memenuhi sifat sebagai berikut: ( ) x S, a, b R dengan a < b x (a, b) S Remarks Beberapa catatan yang perlu diketahui mengenai topologi Euclidean, yaitu (i) Topologi Euclidean merupakan topologi Bukti: Akan dibuktikan topologi Euclidean memenuhi semua kondisi pada Definisi a) Akan dibuktikan R dan. Misalkan x R, jika kita ambil a = x 1, b = x + 1, maka x (a, b) R, yang berarti R memenuhi sifat ( ) dan R. Dan juga dengan memenuhi ( ). Sehingga kondisi ke-1 pada Definisi terpenuhi. b) Misalkan {A j j J} merupakan anggota dari, kita akan tunjukkan bahwa j J A j sedemikian sehingga memenuhi ( ). Misalkan x j J A j, maka 27

29 x A k untuk k J. Karena A k, maka a, b di R dengan a < b x (a, b) A k. Karena k J, A k j J A j dan juga x (a, b) j J A j, sehingga j J A j memenuhi sifat ( ) dan termuat di. Oleh karena itu kondisi ke-2 pada Definisi terpenuhi. c) Misalkan A 1 dan A 2 termuat di. Kita akan tunjukkan bahwa A 1 A 2. Misalkan y A 1 A 2, maka y A 1. Karena A 1 τ, terdapat a dan b di R dengan a < b sehingga y (a, b) A 2. Misalkan e merupakan yang terbesar dari a dan c, serta f merupakan yang terkecil dari b dan d. Maka dapat dituliskan e < y < f, dan juga y (e, f). Karena (e, f) (a, b) A 2, maka dapat disimpulkan bahwa y (e, f) A 1 A 2. Sehingga A 1 A 2 memenuhi ( ) dan termuat di. Sehingga terbukti bahwa topologi Euclidean merupakan topologi. (ii) Misalkan r, s R dengan r < s. Dalam topologi Euclidean di R, interval terbuka (r, s) termuat di dan merupakan himpunan terbuka. Bukti: Diberikan himpunan terbuka (r, s). Akan dibuktikan (r, s) terbuka di topologi Euclidean, yaitu dengan menunjukkan (r, s) memiliki sifat ( ) dari Definisi Misalkan x (r, s), kita ingin mencari a dan b di R yang memenuhi x (a, b) (r, s). Selanjutnya misalkan x (r, s), pilih a = r, b = s, sehingga jelas bahwa x (a, b) (r, s). Maka terbukti (r, s) merupakan himpunan terbuka di topologi Euclidean (iii) Interval terbuka (r, ) dan (, r) merupakan himpunan terbuka di R, untuk setiap bilangan real r. Bukti: Akan dibuktikan (r, ) merupakan himpunan terbuka. Untuk menunjukkannya, kita harus memisalkan x (r, ) dan a, b R sedemikian sehingga berlaku x (a, b) (r, ). Misalkan x (r, ). Pilih a = r dan b = x + 1, maka x (a, b) (r, ) dan (r, ). Dengan argumen dan cara yang sama juga menunjukkan (, r) merupakan himpunan terbuka di R. 28

30 (iv) Penting untuk dicatat bahwa untuk setiap interval terbuka merupakan himpunan terbuka di R. Namun tidak semua himpunan terbuka di R merupakan interval terbuka. Contohnya himpunan (1,3) (5,6) merupakan himpunan terbuka di R tetapi bukan interval terbuka. Walaupun himpunan n=1 (2n, 2n + 1) merupakan himpunan terbuka di R. (v) Untuk c, d R dengan c < d, interval tertutup [c, d] bukan himpunan terbuka di R. Bukti: Akan dibuktikan [c, d] tidak memenuhi sifat ( ). Kemudian akan dibuktikan dengan menggunakan kontradiksi. Amati bahwa c [c, d]. Andaikan terdapat a dan b di R dengan a < b c (a, b) [c, d]. Sehingga c (a, b) yang berarti bahwa a < c < b, dan juga a < c+a 2 < c < b, maka c+a 2 (a, b) dan c+a 2 bukan [c, d]. Karena (a, b) bukan subset dari [c, d]. terjadi kontradiksi. Jadi tidak terdapat a dan b c (a, b) [c, d]. Dengan demikian [c, d] tidak mempunyai bentuk (*) dan [c, d] bukan. (vi) a, b di R dengan a < b, interval tertutup [a, b] merupakan himpunan tertutup di topologi Euclidean di R. Bukti: Untuk menunjukkan bahwa suatu himpunan dikatakan tertutup, maka kita hanya perlu mengamati komplemennya, yaitu (, a) (b, ) merupakan himpunan terbuka. Karena komplemennya himpunan terbuka, maka terbukti bahwa [a, b] merupakan himpunan tertutup di topologi Euclidean di R. (vii) Setiap himpunan tunggal {a} tertutup di R. Bukti: Komplemen dari {a} merupakan gabungan dari dua himpunan terbuka (, a) (a, ) dan juga terbuka. Oleh karena itu {a} tertutup di R. (viii) Perhatikan bahwa kita dapat mensubstitusikan (vii) dan (vi), yakni disederhanakan dengan mengganti a < b dengan a b. Himpunan tunggal {a} hanya penurunan kasus dari interval [a, b]. (i ) Himpunan Z dari semua bilangan bulat merupakan subset tertutup di R. 29

31 Bukti: Komplemen Z merupakan gabungan n= (n, n + 1) dari subset terbuka (n, n + 1) dari R dan juga terbuka di R. Oleh karena itu, Z merupakan tertutup di R. ( ) Himpunan Q dari semua bilangan rasional tidak memiliki satupun subset tertutup maupun terbuka di R. Bukti: Akan dibuktikan Q bukan himpunan terbuka dengan menggunakan kontradiksi. Andaikan (a, b) Q, dimana a, b R dengan a < b. Di antara dua bilangan real berbeda terdapat bilangan irrasional. Oleh karena itu, terdapat c (a, b) c bukan Q. Kontradiksi karena (a, b) Q, sehingga Q tidak memuat interval (a, b) dan juga bukan himpunan terbuka. Selanjutnya untuk membuktikan bahwa Q bukan himpunan tertutup dengan menunjukkan R\Q bukan himpunan terbuka. Menggunakan fakta bahwa di antara dua bilangan real berbeda terdapat bilangan rasional, kita lihat bahwa R\Q tidak memuat interval (a, b) dengan a < b. Jadi R\Q bukan interval terbuka di R dan oleh karena itu Q tidak tertutup di R. ( i) Dalam BAB III kita akan menunjukkan bahwa hanya subset clopen di R yang merupakan kesatuan yang biasa dinamakan dengan R dan. 30

32 Soal Latihan 1. Buktikan bahwa jika a, b R dimana a < b, maka baik [a, b) ataupun (a, b] merupakan subset terbuka di R. Tunjukkan juga keduanya merupakan subset tertutup di R. 2. Buktikan bahwa himpunan [a, ) dan (, a] merupakan subset tertutup di R. 3. Jika F merupakan subset tak kosong dan berhingga di R, tunjukkan bahwa F tertutup di R, tetapi F tidak terbuka di R. 2.2 BASIS UNTUK TOPOLOGI Topologi Euclidean yang telah dibahas sebelumnya menjadi ide dari Basis untuk topologi. Dalam pembelajaran Aljabar Linear kita belajar bahwa setiap ruang vektor mempunyai basis dan setiap vektor merupakan kombinasi linear dari anggota-anggota basisnya. Hal yang sama, di ruang topologi juga setiap himpunan terbuka dapat dinyatakan sebagai gabungan dari anggota-anggota basis. Tentunya, himpunan yang terbuka jika dan hanya jika merupakan gabungan dari anggotaanggota dalam basis. Berikut ini penjelasan yang lebih lengkap mengenai basis dari suatu topologi. Proposisi Suatu subset S dari R adalah terbuka jika dan hanya jika S merupakan gabungan dari interval terbuka. Bukti: i. Akan dibuktikan jika S merupakan gabungan dari interval terbuka, maka S merupakan himpunan terbuka. Misalkan S merupakan gabungan dari interval terbuka. Terdapat interval terbuka (a j, b j ) dimana j J sehingga S = (a j, b j ) j J. Berdasarkan Remark 2.1.2, setiap interval terbuka (a j, b j ) merupakan himpunan terbuka. Maka S 31

33 merupakan gabungan dari himpunan terbuka, akibatnya S merupakan himpunan terbuka. ii. Akan dibuktikan jika S merupakan himpunan terbuka, maka S merupakan gabungan dari interval terbuka. Misalkan S terbuka di R. Maka untuk setiap x S, terdapat interval I x = (a, b) sehingga x I x S. Sekarang kita harus menyimpulkan bahwa S = x S I x. Untuk menunjukkan dua himpunan S dan x S I x sama, maka harus ditunjukkan: 1. Jika y S, maka y x S I x, dan 2. Jika z x S I x, maka z S. Pertama, misalkan x S. Maka y I y, sehingga y z x S I x x S I x. Kedua, misalkan. Maka z I t untuk t S. Karena I x S, kita tahu bahwa I t S, sehingga z S. Maka terbukti. Definisi Diberikan ruang topologi (X, τ), suatu koleksi β dari himpunanhimpunan terbuka pada X dikatakan basis pada topologi τ jika setiap himpunan terbuka adalah gabungan dari elemen-elemen pada β. β dikatakan basis pada topologi τ jika anggota-anggota dari β membangun τ Contoh Misalkan β = {(a, b): a, b R, a < b}. Maka β merupakan basis untuk topologi Euclidean di R berdasarkan Proposisi Contoh Diberikan (X, τ) merupakan ruang diskrit dan β merupakan kumpulan dari semua subset tunggal dari X, didefinisikan β = {{x}: x X}. Maka berdasarkan Proposisi 1.1.9, β merupakan basis untuk τ. Contoh Diberikan X = {a, b, c, d, e, f} dan τ 1 = {X,, {a}, {c, d}, {a, c, d}, {b, c, d, e, f}}. 32

34 Maka β = {{a}, {c, d}, {b, c, d, e, f}} merupakan basis untuk τ 1. Karena β τ 1 dan setiap anggota dari τ 1 dapat didefinisikan sebagai gabungan dari anggota-anggota β. Remark Tinjau bahwa (X, τ) merupakan ruang topologi, maka β = τ merupakan basis untuk topologi τ. Seperti himpunan dari semua subset dari X merupakan basis untuk topologi diskrit di X. Contoh Diberikan X = {a, b, c} dan β = {{a}, {c}, {a, b}, {b, c}}. Maka β bukan basis untuk setiap topologi di X. Untuk mengetahuinya, andaikan β merupakan basis untuk suatu topologi τ. Maka τ memuat semua gabungan dari himpunan-himpunan di β, yaitu τ = {X,, {a}, {c}, {a, c}, {a, b}, {b, c}} τ bukan merupakan topologi karena himpunan {b} = {a, b} {b, c} tidak termuat di τ, jadi τ tidak memenuhi kondisi ke-3 dari Definisi Terjadi kontradiksi, maka pemisalan kita salah, jadi haruslah β bukan merupakan basis dari setiap topologi di X. Proposisi Misalkan X merupakan himpunan tak kosong dan β merupakan koleksi semua subset dari X. Maka β merupakan basis untuk suatu topologi di X jika dan hanya jika β memenuhi sifat: a. X = B β B, dan b. Untuk setiap B 1, B 2 B, himpunan B 1 B 2 merupakan suatu gabungan dari Bukti: anggota-anggota di β. Misalkan β merupakan basis untuk suatu topologi τ, maka τ memenuhi semua kondisi 1,2,3 dari Definisi Di satu sisi, X haruslah merupakan suatu himpunan terbuka dan irisan dari setiap dua himpunan merupakan himpunan terbuka. Karena himpunan terbuka merupakan gabungan dari anggota-anggota dari β, ini menunjukkan bahwa kondisi a dan b di atas adalah benar. Konversnya, asumsikan β memenuhi kondisi a dan b, dan misalkan τ merupakan koleksi dari semua subset dari X yang merupakan gabungan dari setiap 33

35 anggota-anggota di β. Kita akan menunjukkan bahwa τ merupakan topologi di X. (Jika begitu, maka tentu β merupakan suatu basis untuk topologi τ). Berdasarkan sifat a, dimana X = B β B dan X τ. Perhatikan bahwa merupakan gabungan kosong dari anggota-anggota di β dan juga τ. Maka τ memenuhi kondisi 1 dari Definisi Sekarang misalkan {T j } merupakan kumpulan dari anggota-anggota di τ. Maka untuk setiap T j merupakan gabungan dari anggota-anggota di β dan T j termuat di τ. Sehingga τ memenuhi kondisi ke-2 dari Definisi Terakhir, misalkan C dan D termuat di τ. Kita harus menunjukkan bahwa C D τ. Definisikan C = k K B k, dimana B k β, dan juga definisikan D = B j Dimana B j β, maka j J. C D = ( B k ) ( B j ) = B k B j k K j J k K,b B Dengan asumsi memenuhi sifat b, setiap B k B j merupakan gabungan dari anggota-anggota di β, jadi C D merupakan gabungan dari anggota-anggota di β. Sehingga C D τ. Jadi τ memenuhi kondisi ke-3 dari definisi Maka terbukti τ merupakan suatu topologi, ini menunjukkan bahwa β merupakan suatu basis untuk topologi ini. Contoh Misalkan β merupakan koleksi dari semua persegi terbuka, yaitu { x, y : x, y R 2, a < x < b, c < y < d} dalam bidang yang setiap sisinya sejajar dengan sumbu X dan sumbu Y. Maka β merupakan basis untuk suatu topologi di bidang tersebut. Topologi ini disebut sebagai topologi Euclidean. 34

36 Remark Dengan memperumum Contoh 2.2.9, kita punya R n = { x 1, x 2,, x n : x i R, i = 1,, n} untuk setiap bilangan bulat n > 2. Kita misalkan β merupakan koleksi dari semua subset { x 1, x 2,, x n R n : a i < x i < b i, i = 1,2,, n} di R n dengan sisi-sisi yang sejajar dengan sumbunya. Koleksi β ini merupakan suatu basis untuk topologi Euclidean di R n. Dari penjelasan yang telah dipaparkan, maka dapat ditarik kesimpulan sebagai berikut: 1. Setiap ruang topologi (X, τ) maka topologi τ menjadi basis bagi dirinya sendiri. 2. Basis dari suatu ruang topologi tidak harus tunggal dan tidak harus mempunyai kardinalitas yang sama. Pada teori Topologi ada istilah weight yaitu basis terkecil dari suatu ruang topologi dan tentu saja basis terbesar adalah topologi itu sendiri. Soal Latihan 1. Misalkan β merupakan koleksi dari semua interval terbuka (a, b) di R dengan a < b dan a, b elemen bilangan rasional. Buktikan bahwa β merupakan basis untuk topologi Euclidean di R. 2. Misalkan β 1 merupakan basis untuk topologi τ 1 di himpunan X, dan β 2 merupakan basis untuk toologi β 2 di himpunan Y. Himpunan X Y memuat semua himpunan-himpunan β 1 β 2 dimana B 1 β 1 dan B 2 β 2. Buktikan bahwa β merupakan suatu basis untuk topologi di X Y. Topologi yang didefinisikan disebut Perkalian Topologi di X Y. 35

37 2.3 BASIS UNTUK SUATU TOPOLOGI YANG DIBERIKAN Contoh Misalkan β merupakan koleksi dari semua interval setengah terbuka (a, b]. a < b, dimana (a, b] = {a: x R, a < x b}. Maka β merupakan basis untuk suatu topologi di R, karena R merupakan gabungan dari semua anggotaanggota di β, dan irisan dari setiap dua interval setengah terbuka merupakan suatu interval setengah terbuka juga. Proposisi Misalkan (X, τ) merupakan ruang topologi. Suatu kumpulan β dari subset terbuka di X merupakan basis untuk τ jika dan hanya jika untuk setiap titik x yang termuat di setiap himpunan terbuka U, terdapat B β sehingga x B U. Bukti: i. Akan ditunjukkan jika β suatu basis untuk τ dan x U τ, maka terdapat B β sehingga x B U. Misalkan β suatu basis untuk τ dan x U τ. Karena β basis untuk τ, maka himpunan terbuka U merupakan gabungan dari anggotaanggota di β, yaitu U = j J B j, B j β untuk setiap j J. Selanjutnya x U mengimplikasikan bahwa x B j, maka terbukti x B j U. ii. Akan ditunjukkan untuk setiap U τ dan x U terdapat B β sehingga x B U, maka β merupakan suatu basis untuk τ. Misalkan untuk setiap U τ dan x U, terdapat B β dengan x B U. Kita harus menunjukkan untuk setiap himpunan terbuka merupakan gabungan dari anggota-anggota di β. Jadi misalkan V merupakan setiap himpunan terbuka, maka untuk setiap v V, terdapat B x β sehingga x B x V, lebih jauh V = x V B x. Maka V merupakan gabungan dari anggota-anggota yang ada di β. Terbukti. Proposisi Misalkan β merupakan basis untuk suatu topologi τ dalam himpunan X. Maka suatu subset U dari X dikatakan terbuka jika dan hanya jika untuk setiap x U, terdapat B β sehingga x B U. 36

38 Bukti: Misalkan U merupakan setiap subset dari X. Asumsikan bahwa untuk setiap x U terdapat B x β sehingga x B x U, lebih lanjut U = x U B x. Jadi U merupakan gabungan dari himpunan terbuka, maka U terbuka. Untuk pembuktian konversnya mengikuti Proposisi Proposisi Misalkan β 1 dan β 2 merupakan basis-basis untuk topologi τ 1 dan τ 2 dalam himpunan tak kosong X. Maka τ 1 = τ 2 jika dan hanya jika i. Untuk setiap B β 1 dan x B, terdapat suatu B β 2 sehingga x B B, dan ii. Untuk setiap B β 2 dan x B, terdapat suatu B β 1 sehingga x B B. Bukti: Kita harus menunjukkan bahwa β 1 dan β 2 merupakan basis untuk topologi yang sama jika dan hanya jika (i) dan (ii) terpenuhi. Pertama kita asumsikan mereka merupakan basis untuk topologi yang sama, yaitu τ 1 = τ 2, lalu tunjukkan kondisi (i) dan (ii) terpenuhi. Selanjutnya asumsikan jika (i) dan (ii) terpenuhi, maka tunjukkan τ 1 = τ 2. Asumsikan τ 1 = τ 2. Maka kondisi (i) dan (ii) secara tidak langsung terpenuhi akibat dari Proposisi Selanjutnya untuk pembuktian konversnya, asumsikan β 1 dan β 2 memenuhi kondisi (i) dan (ii). Berdasarkan Proposisi 2.3.2, (i) menunjukkan bahwa setiap B β 1 terbuka di (X, τ 2 ), yakni β 1 τ 2. Karena setiap anggota τ 1 merupakan gabungan dari anggota-anggota τ 2, ini mengimplikasikan τ 1 τ 2. Dengan cara yang sama, (ii) mengimplikasikan τ 2 τ 1. Karena τ 1 τ 2 dan τ 2 τ 1, maka terbukti τ 1 = τ 2. Contoh Tunjukkan bahwa himpunan β dari semua Segitiga sama sisi terbuka dengan basis sejajar dengan sumbu X merupakan suatu basis untuk topologi Euclidean di R 2. Kita harus menunjukkan bahwa β merupakan basis untuk topologi Euclidean. Kita akan menggunakan aplikasi dari Proposisi 2.3.4, tapi sebelumnya kita harus 37

39 menunjukkan bahwa β merupakan basis untuk beberapa topologi di R 2. Untuk menunjukkan hal tersebut, kita tunjukkan bahwa β memenuhi kondisi dari Proposisi Hal pertama yang harus kita perhatikan adalah β merupakan basis untuk beberapa topologi karena memenuhi kondisi dari Proposisi (Untuk menunjukkan β memenuhi Proposisi 2.2.8, amati bahwa R 2 sama dengan gabungan dari semua segitiga sama sisi terbuka dengan basis yang sejajar dengan sumbu X, dan irisan dari dua segitiga serupa merupakan segitiga serupa yag lain). Selanjutnya kita akan tunjukkan kondisi (i) dan (ii) dari Proposisi terpenuhi. Pertama, kita tinjau kondisi (i). Misalkan R merupakan persegi terbuka dengan sisi-sisi sejajar terhadap a is dan setiap titik x di R. Kita harus menunjukkan bahwa terdapat segitiga sama sisi terbuka T dengan basis sejajar terhadap sumbu X sehingga x T R. Secara gambar dapat mudah dilihat sebagai berikut Maka kondisi (ii) dari Proposisi terpenuhi. Misalkan T merupakan segitiga sama sisi terbuka dengan basis sejajar terhadap sumbu X dan misalkan y 38

40 merupakan setiap titik di T. Maka terdapat suatu persegi terbuka R sehingga y R T. Berikut gambarnya Maka semua kondisi dari Proposis terpenuhi. Sehingga β merupakan basis untuk topologi Euclidean di R 2. Soal Latihan 1. Misalkan (X, τ) merupakan ruang topologi. Suatu koleksi tak kosong S dari subset terbuka X disebut sebagai subbasis untuk τ jika koleksi dari semua irisan berhingga anggota S merupakan suatu basis untuk τ. i. Buktikan bahwa koleksi dari semua interval terbuka (a, ) serta (, b) merupakan subbasis untuk topologi Euclidean di R. ii. Buktikan bahwa S = {{a}, {a, c, d}, {b, c, d, e, f}} merupakan subbasis untuk topologi τ 1 = {X,, {a}, {c, d}, {a, c, d}, {b, c, d, e, f}} Dimana X = {a, b, c, d, e, f}. 2. Tentukan apakah koleksi-koleksi berikut ini merupakan basis atau bukan untuk Topologi Euclidean di R 2 i. Koleksi dari semua persegi terbuka dimana sisi-sisinya sejajar dengan sumbu x dan sumbu y. ii. Koleksi dari semua persegi terbuka. 39

41 iii. Koleksi dari semua segitiga terbuka. 3. Misalkan β = {(a, b]: a, b R, a < b}. Dimana β merupakan basis untuk suatu topologi τ di R, dan τ bukan merupakan topologi Euclidean di R. Tunjukkan bahwa setiap interval (a, b) terbuka di (R, τ). 40

42 BAB 3. LIMIT Dalam garis bilangan real, kita tahu istilah mengenai kedekatan dan jarak dari setiap titik bilangan real, atau seberapa dekat suatu barisan yang tak hingga banyaknya dengan sebuah nilai. Semisal jika kita punya barisan 0.1,0.01,0.001,0.0001, ,, maka barisan tersebut akan dekat dengan suatu nilai, yakni 0. Maka kita bisa katakan bahwa 0 merupakan limit atau batas dari barisan tersebut. Di dalam ruang topologi, kita tidak dapat mendefinisikan fungsi jarak dari satu elemen dengan elemen lainnya (walaupun nanti ada yang disebut ruang metrik), jadi kita akan mendefinisikan kembali apa yang disebut sebagai titiktitik limit di ruang topologi. 3.1 TITIK-TITIK LIMIT DAN SELIMUT (KLOSUR) Jika (X, τ) merupakan ruang topologi, maka biasanya semua elemen dari X kita sebut sebagai titik. Definisi Misalkan A merupakan subset dari ruang topologi (X, τ), yakni A X. Suatu titik x X dikatakan sebagai titik limit (titik akumulasi atau titik kluster) dari A jika setiap himpunan terbuka U memuat x dan juga memuat titik lain A yang berbeda dari x. Contoh Terdapat ruang topologi (X, τ) dimana himpunan X = {a, b, c, d, e}, topologi τ = {X,, {a}, {c, d}, {a, c, d}, {b, c, d, e}}, dan A = {a, b, c}. Maka b, d, dan e adalah titik limit tetapi a dan c bukan titik limit dari A. Kenapa? Berikut penyelesaiannya: Berdasarkan Definisi 3.1.1, kita tahu bahwa titik a adalah titik limit dari A jika dan hanya jika setiap himpunan terbuka memuat a juga memuat titik lain dari himpunan A. Sehingga untuk memperlihatkan bahwa a bukan titik limit dari A, perlu dicari suatu himpunan terbuka yang memuat a namun tidak memuat titik lain di A. Kita lihat bahwa terdapat himpunan terbuka {a} dan tidak memuat titik lain di A selain a. Sehingga a bukan titik limit di A. Kemudian himpunan 41

43 {c, d} adalah himpunan terbuka yang memuat c tetapi tidak memuat titik lain yang termuat di A selain c. Sehingga c bukan titik limit dari A. Untuk memperlihatkan bahwa b adalah titik limit dari A, kita perlu memeperlihatkan bahwa setiap himpunan terbuka memuat b berisi titik lain dari A selain b. Kita perlu memperlihatkan kasus ini dengan menuliskan semua himpunan terbuka yang memuat b dan memverifikasi bahwa setiap himpunan tersebut memuat titik selain b di A. Himpunan terbuka yang memuat b hanya X dan {b, c, d, e} dan keduanya berisi anggota lain di A selain b, yakni c. Sehingga b adalah titik limit di A. Titik d adalah titik limit di A, meskipun bukan anggota A. Hal ini dikarenakan semua himpunan terbuka yang memuat d berisi titik lain yang termuat di A. Sama halnya dengan e yang merupakan titik limit dari A meskipun tidak termuat di A. Contoh Misalkan (X, τ) adalah ruang diskrit dan A subset dari X. Maka A tidak memiliki titik limit, karena untuk setiap x X, {x} adalah himpunan terbuka yang memuat titik A tetapi tidak berbeda dari x. Contoh Misalkan terdapat subset A = [a, b) di R. Maka mudah memverifikasi bahwa setiap anggota di [a, b) adalah titik limit dari A. Titik b juga merupakan titik limit di A. Contoh Misalkan (X, τ) adalah ruang indiskrit dan A X, dengan A paling sedikit memuat dua elemen. Maka terlihat bahwa setiap titik x merupakan titik limit dari A. Proposisi Misalkan A adalah subset dari ruang topologi (X, τ). Maka A tertutup di (X, τ) jika dan hanya jika A memuat semua titik limitnya. Bukti: Kita harus membuktikan bahwa A adalah tertutup di (X, τ) jika dan hanya jika A berisi semua titik limitnya. Sehingga kita perlu memperlihatkan bahwa (i) Jika A adalah himpunan tertutup, maka A memuat semua titik limitnya, dan (ii) Jika A berisi semua titik limitnya, maka A merupakan himpunan tertutup. Misalkan A tertutup di (X, τ). Andaikan p merupakan titik limit di A yang termuat di X\A. Maka X\A adalah himpunan terbuka memuat titik limit p dari A. Oleh karena 42

44 itu X\A memuat anggota dari A. Terjadi kontradiksi. Sehingga pemisalan kita salah, maka haruslah A berisi semua titik limitnya, tidak hanya suatu titik p saja. Sebaliknya, misalkan A memuat semua titik limitnya. Untuk setiap z X\A, kita asumsikan bahwa terdapat himpunan terbuka U z sedemikian sehingga U z A =, dan U z X\A. Sehingga X\A = z X\A U z. Jadi X\A merupakan gabungan dari himpunan terbuka, maka X\A merupakan himpunan terbuka. Karena komplemen dari A merupakan himpunan terbuka, maka A merupakan himpunan tertutup. Contoh Sebagai aplikasi dari Proposisi 3.1.6, maka kita dapat mengetahui bahwa: (i) Himpunan [a, b) tidak tertutup di R, karena b merupakan titik limit, tetapi b {a, b) (ii) Himpunan [a, b] tertutup di R, karena semua titik limit di [a, b] termuat di himpunan [a, b] (iii) (a, b) bukan subset tertutup di R, karena tidak memuat titik limit a (iv) [a, ) adalah subset tertutup di R. Proposisi Misalkan A merupakan subset dari ruang topologi (X, τ) dan A merupakan himpunan semua titik limit di A. Maka A A adalah himpunan tertutup. Bukti: Dari Proposisi cukup diperlihatkan bahwa himpunan A A memuat semua titik limitnya, atau setara dengan membuktikan bahwa tidak ada anggota X\(A A ) yang memuat titik limit dari A A. Misalkan p X\ (A A ). Karena p A, terdapat himpunan terbuka U memuat p dimana U A = {p} atau. Sehingga p A, maka U A = φ. Kita klaim bahwa U A =. Karena x U maka U adalah himpunan terbuka dan U A =, x A. Kemudian U A =. Lebih lanjut U (A A ) = dan p U. Ini menunjukkan bahwa p bukan titik limit di A A dan juga menunjukkan bahwa A A adalah himpunan tertutup. 43

45 Definisi Misalkan A subset dari ruang topologi (X, τ). Maka himpunan A A memuat A dan semua titik limitnya yang disebut selimut (closure) dari A dan dinotasikan dengan A. Remark Berdasarkan Proposisi 3.1.8, jelas bahwa A merupakan himpunan tertutup. Setiap himpunan tertutup memuat A dan juga memuat himpunan A. Sehingga A A = A merupakan himpunan tertutup terkecil yang memuat A. Ini menunjukkan bahwa A merupakan irisan dari semua himpunan tertutup yang memuat A. Contoh Misalkan X = {a, b, c, d, e} dan τ = {X,, {a}, {c, d}, {a, c, d}, {b, c, d, e} Tunjukkan bahwa {b} = {b, e}, {a, c} = X, dan {b, d} = {b, c, d, e}. Bukti: Untuk mencari selimut dari setiap himpunan, kita harus mencari semua himpunan tertutup yang memuat himpunan himpunan tersebut dan pilih yang paling terkecil. Himpunan tertutupnya adalah, X, {b, c, d, e}, {a, b, e}, {b, e} dan {a}. Sehingga himpunan tertutup yang paling kecil memuat {b} adalah {b, e}, yakni {b} = {b, e}. Dengan cara yang sama, {a, c} = X, dan {b, d} = {b, c, d, e}. Contoh Misalkan Q merupakan subset dari R yang memuat semua bilangan rasional. Tunjukkan bahwa Q = R. Bukti: Akan dibuktikan dengan menggunakan kontradiksi. Andaikan Q R. Maka terdapat x R\Q. Karena R\Q terbuka di R, maka terdapat a, b dimana a < b sehingga x (a, b) R\Q. Tetapi dalam setiap interval (a, b) ada bilangan rasional q dimana q (a, b). Sehingga q R\Q, yang mengimplikasikan q R\Q. Terjadi kontradiksi, maka pemisalan kita salah. Sehingga haruslah Q = R. Definisi Misalkan A adalah subset dari ruang topologi (X, τ). Maka A disebut sebagai dense di X atau dense dimana-mana dalam X jika A = X. Contoh Misalkan (X, τ) merupakan ruang diskrit. Maka setiap subset dari X tertutup (selama komplemennya terbuka). Sehingga satu-satunya dense subset dari X merupakan X itu sendiri, karena setiap subset X merupakan selimut (closure)-nya sendiri. 44

46 Proposisi Misalkan A adalah subset dari ruang topologi (X, τ). Maka A adalah dense dalam X jika dan hanya jika setiap himpunan terbuka tak kosong X beririsan dengan A non trivial (yakni, jika U τ dan U maka A U ). Bukti: Pertama, asumsikan bahwa setiap himpunan terbuka tak kosong beririsan dengan A non-trivial. Jika A = x, maka jelas A merupakan dense di X. Jika A X, misalkan x X\A. Jika U τ dan x U maka U A. Sehingga x merupakan suatu titik limit dari A. Karena x titik sebarang di X\A, setiap titik dari X\A merupakan titik limit dari A. Jadi X\A A, dan berdasarkan Definisi 3.1.9, A = A A = x, maka A merupakan dense di X. Konversnya, dengan menggunakan kontradiksi, misalkan A merupakan dense di X. Misalkan U merupakan subset terbuka tak kosong dari X. Andaikan U A =. Maka jika x U, x bukan elemen A dan x bukan merupakan titik limit dari A, karena U merupakan himpunan terbuka yang memuat x yang tidak memuat elemen lain dari A. Terjadi kontradiksi, sehingga pemisalan kita salah. Maka haruslah A U. 45

47 Soal Latihan 1. Dari Contoh 1.1.2, carilah semua titik-titik limit dari himpunna berikut: a. {a} c. {a, c, d} b. {b,c} d. {b, d, e, f} 2. Cari semua titik limit dari interval terbuka (a, b) di R, dimana a < b. 3. Apakah klosur di R dari setiap himpunan berikut? a. {1, 1, 1,, 1, } 2 3 n b. Himpunan Z dari semua bilangan bulat c. Himpunan P dari semua bilangan irrasional. 3.2 KETETANGGAAN (NEIGHBOURHOODS) Definisi Misalkan (X, τ) adalah ruang topologi, N adalah subset dari X dan p sebuah titik di N. Maka N dikatakan ketetanggaan dari titik p jika terdapat himpunan terbuka U sedemikian sehingga p U N. Contoh Interval tertutup [0,1] di R adalah ketetanggaan di titik 1 karena ( 1, 3 ) [0,1]. 4 4 Contoh Interval (0,1] di R adalah ketetanggaan dari titik 1, karena 1 (0, 1 ) [0,1]. Tetapi (0,1] bukan merupakan ketetanggaan dari titik 1. Contoh Jika (X, τ) adalah sembarang ruang topologi dan U τ, maka dari Definisi 3.2.1, menunjukkan bahwa U merupakan ketetanggaan dari setiap titik p U. Jadi, sebagai contoh, setiap interval terbuka (a, b) di R adalah ketetanggaan dari setiap titik yang memuatnya. Contoh Misalkan (X, τ) merupakan ruang topologi dan N ketetanggaan dari titik p. Jika S adalah sebarang subset di X sedemikian sehingga N S, maka S adalah ketetanggaan dari p. 46

48 Proposisi Misalkan A adalah subset dari ruang topologi (X, τ). Suatu titik x X adalah titik limit dari A jika dan hanya jika setiap ketetanggaan dari x memuat suatu titik A yang berbeda dari x. Akibat Misalkan A adalah subset dari ruang topologi (X, τ). Maka himpunan A adalah tertutup jika dan hanya jika untuk setiap x X\A terdapat sebuah ketetanggaan N dari x sedemikian sehingga N X\A Akibat Misalkan U adalah subset ruang topologi (X, τ). Maka U τ jika dan hanya jika untuk setiap x U terdapat ketetanggaan N dari x sedemikian sehingga N U. Akibat Misalkan U adalah subset ruang topologi (X, τ). Maka U τ jika dan hanya jika untuk setiap x U terdapat V τ sedemikian sehingga x V U. Soal Latihan 1. Misalkan A merupakan subset dari ruang topologi (X, τ). Buktikan bahwa A merupakan dense di X jika dan hanya jika setiap ketetanggan dari setiap titik di X\A memotong A non-trivial. 2. Misalkan A dan B seubset dari ruang topologi (X, τ). Buktikan bahwa A B A B 3. Dengan kasus yang sama dari soal no. 2, berikan suatu contoh yang memenuhi A B A B 47

49 3.3 KETERHUBUNGAN (CONNECTEDNESS) Remark Kita akan mengenalkan beberapa definisi dan fakta yang harus diketahui, yakni misalkan S merupakan himpunan bilangan real. Jika ada anggota b di S sehingga x b, untuk semua x S, maka b dikatakan elemen terbesar dari S. Sama halnya juga jika S memuat elemen a sehingga a x, untuk semua x S, maka a disebut unsur paling kecil di S. Suatu himpunan bilangan real S dikatakan terbatas di atas jika ada bilangan real c sehingga x c, untuk semua x S, dan c disebut batas atas untuk S. Istilah batas rendah dan batas bawah juga didefinisikan sama. Oleh karenanya, himpunan yang memiliki batas atas dan batas bawah disebut sebagai himpunan terbatas. Aksioma batas atas terkecil: Misalkan S adalah himpunan tak kosong dari bilangan real. Jika S terbatas atas, maka S memiliki batas atas terkecil. Batas atas terkecil disebut supremum, batas atas tersebut bisa jadi termuat di S atau mungkin tidak. Supremum dari S adalah elemen di S jika dan hanya jika S memiliki elemen terbesar. Untuk contoh, supremum dari interval terbuka S = (1,2) adalah 2, walaupun 2 (1, 2), sedangkan supremum dari [3,4] adalah 4 yang termuat di [3,4] dan 4 adalah elemen terbesar di [3,4]. Setiap himpunan bilangan real yang terbatas bawah memiliki batas bawah terbesar yang juga disebut dengan infimum. Lemma Misalkan S adalah subset dari R yang terbatas atas dan p adalah supremum dari S. Jika S adalah subset tertutup dari R, maka p S. Bukti: Akan dibuktikan dengan kontradiksi. Andaikan p R\S. Karena R\S terbuka, terdapat bilangan real a dan b dengan a < b sehingga p (a, b) R\S. Karena p adalah batas atas terkecil dari S dan a < p, maka jelas bahwa terdapat x S sehingga a < x. Maka x < p < b dan x (a, b) R\S. Tetapi terjadi kontradiksi, karena terdapat x S. Sehingga pengandaian kita salah, maka haruslah p S. Proposisi Misalkan T subset clopen pada R. Maka T = R atau T =. 48

50 Bukti: Akan dibuktikan dengan kontradiksi. Andaikan T R dan T. Maka terdapat x T dan z R\T. Asumsikan x < z, oleh karenanya S = T [x, z]. Maka S merupakan irisan dari dua himpunan tertutup, sehingga S tertutup dan juga terbatas atas, oleh karena itu z jelas merupakan batas atas. Misalkan p supremum dari S. Menurut Lemma 3.3.2, p S. Oleh karenanya p [x, z], p z sehingga z R\S, p z dan p < z. Sekarang kita misalkan T adalah himpunan terbuka dan p T. Maka terdapat a dan b di R dengan a < b sehingga p (a, b) T. Misalkan t memenuhi p < t < min(b, z), dimana min(b, z) menunjukkan elemen terkecil dari b dan z. Maka t T dan t (p, z), jadi t T [x, z] = S. Terjadi kontradiksi karena t > p padahal p adalah supremum di S. Maka pengandaian kita ini salah dan haruslah T = R atau T =. Definisi Diberikan (X, τ) adalah ruang topologi. Maka ruang topologi (X, τ) dikatakan terhubung jika subset clopen dari X hanya X dan. Proposisi Ruang topologi R adalah terhubung. Contoh Misalkan (X, τ) adalah ruang diskrit yang memuat lebih dari satu elemen, maka (X, τ) tidak terhubung karena setiap himpunan tunggalnya adalah clopen. Contoh Misalkan (X, τ) adalah ruang indiskrit, maka ruang indiskrit tersebut terhubung karena himpunan clopennya hanyalah X dan. (Jelas, himpunan terbukanya juga hanya X dan ). Contoh Misalkan X = {a, b, c, d, e} dan τ = {X,, {a}, {c, d}, {a, c, d}, {b, c, d, e}} Maka (X, τ) tidak terhubung karena terdapat {b, c, d, e} yang merupakan clopen subset. Remark Dari Definisi 3.3.4, maka dapat disimpulkan bahwa ruang topologi (X, τ) tidak terhubung jika dan hanya jika ada himpunan terbuka yang tak kosong A dan B shingga A B = dan A B = X. 49

51 Soal Latihan 1. Misalkan S merupakan himpunan bilangan real dan T = {x: x S}. Buktikan bahwa bilangan real a merupakan infimum dari S jika dan hanya jika a adalah supremum dari T. 2. Apakah ruang (X, τ) dari Contoh terhubung? 3. Misalkan (X, τ) merupakan sebarang himpunan tak terhingga dengan finiteclosed topologi. Apakah (X, τ) terhubung? 50

52 BAB 4. HOMOMORFISMA Di setiap cabang ilmu matematika, sangat penting untuk mengenali dua struktur yang sama (ekuivalen). Misalnya dua himpunan dikatakan sama jika terdapat fungsi bijektif yang memetakan suatu himpunan ke himpunan lainnya. Di dalam grup, dua grup yang sama dikenal sebagai isomorfik, jika terdapat homomorfisma dari himpunan satu ke yang lainnya, serta pemetaannya satu-satu dan pada. Di dalam ruang topologi, dua ruang topologi yang sama dikenal sebagai homomorfik, jika terdapat homomorfisma dari satu ke yang lainnya. 4.1 SUBRUANG Definisi Diketahui Y adalah subset tak kosong dari ruang topologi (X, τ). Koleksi τ Y = {O Y: O τ } dari subset Y adalah topologi pada Y, disebut sebagai subruang topologi (atau relatif topologi atau topologi terinduksi (induced topology) atau juga disebut topologi terinduksi pada Y oleh τ). Ruang topologi (Y, τ Y ) disebut sebagai subruang dari (X, τ). Catatan: Tentu saja kita harus cek juga bahwa τ adalah topologi pada Y. Contoh Misalkan X = {a, b, c, d, e, f}, τ = {X, Ø, {a}, {c, d}, {a, c, d}, {b, c, d, e, f}} dan Y = {b, c, e}. Maka subruang topologi pada Y adalah τ Y = {τ, Ø, {c}} Contoh Misalkan X = {a, b, c, d, e}, τ = {X, Ø, {a}, {c, d}, {a, c, d}, {b, c, d, e}} dan Y = {a, d, e}. Maka topologi terinduksi pada Y adalah τ Y = {Y, Ø, {a}, {d}, {a, d}, {d, e}} 51

53 Contoh Misalkan β merupakan basis dari topologi τ pada X dan Y merupakan subset dari X. Maka mudah untuk menunjukkan bahwa himpunan β Y = {B Y B β} adalah basis dari subruang topologi τ Y pada Y. Pembahasan: Perhatikan subset (1,2) dari R. Suatu basis untuk topologi terinduksi pada (1,2) adalah koleksi {(a, b) (1,2): a, b R, a < b}; yakni {(a, b): a, b R, 1 a < b 2} yang merupakan basis dari topologi terinduksi di (1,2). Contoh Misalkan [1,2] merupakan subset dari R. Suatu basis pada subruang topologi τ pada [1,2] adalah {(a, b) [1,2]: a, b R, a < b}; yakni {(a, b): 1 a < b 2} {[1, b): 1 < b 2} {(a, 2]: 1 a < 2} {[1,2]} merupakan basis untuk τ. Tetapi disini ada beberapa hal yang menarik dimana [1,1 ½] bukan merupakan himpunan terbuka pada R, tapi [1,1 ½] = (0,1 ½) [1,2], [1,1 ½] adalah himpunan terbuka pada subruang [1,2]. Dan juga (1,2] tidak terbuka pada R tapi terbuka pada [1,2]. Walaupun [1,2] tidak terbuka di R, tapi merupakan himpunan terbuka di [1,2]. Jadi kapanpun kita berbicara mengenai himpunan terbuka, kita harus benarbenar jelas pada ruang apa atau topologi apa itu merupakan himpunan terbuka. Contoh Misalkan Z subset dari R yang memuat semua bilangan bulat. Buktikan bahwa topologi terinduksi di Z oleh topologi Euclidean di R adalah topologi diskrit. Bukti: Untuk membuktikan bahwa topologi terinduksi τ pada Z adalah diskrit, maka berdasarkan Proposisi 1.1.9, harus ditunjukkan bahwa setiap himpunan tunggal dalam Z adalah terbuka pada τ, yakni jika n Z maka {n} τ. 52

54 Misalkan n Z. Maka {n} = (n 1, n + 1) Z, karena (n 1, n + 1) terbuka di R, oleh karena itu {n} terbuka dalam topologi terinduksi pada Z. Sehingga setiap himpunan tunggal di Z terbuka di topologi terinduksi pada Z. Maka terbukti bahwa topologi terinduksi merupakan topologi diskrit. Notasi yang perlu diketahui: Q = Himpunan semua bilangan rasional Z = Himpunan semua bilangan bulat N = Himpunan semua bilangan bulat positif P = Himpunan semua bilangan irrasional Soal Latihan 1. Misalkan X = {a, b, c, d, e} dan τ = {X,, {a}, {a, b}, {a, c, d}, {a, b, c, d}, {a, b, e}} Daftarkan anggota-anggota dari topologi terinduksi τ y di Y = {a, c, e} dan τ z di Z = {b, c, d, e}. 2. Tunjukkan bahwa setiap subruang dari ruang diskrit adalah diskrit. 3. Apakah benar setiap subruang dari suatu ruang terhubung adalah terhubung? 53

55 4.2 Homomorfisma Sekarang kita memutar kembali ide mengenai ruang topologi yang ekuivalen. Kita mulai dengan mengingat contoh: X = {a, b, c, d, e}, Y = {g, h, i, j, k} τ = {X,, {a}, {c, d}, {a, c, d}, {b, c, d, e}} Dan τ 1 = {Y,, {g}, {i, j}, {g, i, j}, {h, i, j, k}}. Jelas bahwa (X, τ) ekuivalen dengan (Y, τ 1 ). Fungsi f: X Y didefinisikan oleh f(a) = g, f(b) = h, f(c) = i, f(d) = j, dan f(e) = k. Sehingga kita dapat mendefinisikan berikut ini: Definisi Misalkan (X, τ) dan (Y, τ 1 ) merupakan ruang topologi. Maka kedua ruang tersebut dikatakan homomorfik jika terdapat fungsi f: X Y yang memenuhi sifat berikut: i. f merupakan satu-satu ii. f merupakan pada iii. Untuk setiap U τ 1, f 1 (U) τ, dan iv. Untuk setiap V τ, f(v) τ 1. Lebih lanjut, pemetaan f disebut sebagai homomorfisma diantara (X, τ) dan (Y, τ 1 ). Kita notasikan (X, τ) (Y, τ 1 ). Contoh Misalkan (X, τ), (Y, τ 1 ), dan (Z, τ 2 ) merupakan ruang topologi. Jika (X, τ) (Y, τ 1 ), dan (Y, τ 1 ) (Z, τ 2 ). Buktikan bahwa (X, τ) (Z, τ 2 ). Bukti: Kita harus menunjukkan (X, τ) (Z, τ 2 ), berarti kita harus mencari suatu homomorfisma h: (X, τ) (Z, τ 2 ), dengan cara menunjukkan pemetaan komposit gof: X Z merupakan homomorfisma. 54

56 Karena (X, τ) (Y, τ 1 ) dan (Y, τ 1 ) (Z, τ 2 ), maka terdapat homomorfisma f: (X, τ) (Y, τ 1 ) dan g: (Y, τ 1 ) (Z, τ 2 ). Sehingga terdapat pemetaan gof: X Z. [Jadi gof(x) = g(f(x)), x X]. Dapat diverifikasi bahwa gof satu-satu dan pada. Sekarang misalkan U τ 2. Karena g suatu homomorfisma, g 1 (U) τ 1. Dan f homomorfisma, maka kita akan peroleh f 1 (g 1 (U)) τ. Ingat bahwa f 1 (g 1 (U)) = (gof) 1 (U). Jadi, gof memenuhi sifat (iii) dari Definisi Selanjutnya misalkan V τ. Maka f(v) τ 1 dan g(f(v)) τ 2, atau gof(v) τ 2. Terlihat bahwa gof memenuhi sifat (iv) dari Definisi Maka terbukti gof homomorfisma. Remark Contoh menunjukkan bahwa " " merupakan relasi transitif. Dengan mudah dapat ditunjukkan juga " " merupakan relasi ekuivalen, yakni memenuhi i. (X, τ) (X, τ) [Refleksif] ii. (X, τ) (Y, τ 1 ) menunjukkan (Y, τ 1 ) (X, τ) [Simetris] iii. (X, τ) (Y, τ 1 ) dan (Y, τ 1 ) (X, τ 2 ) menunjukkan (X, τ) (Z, τ 2 ). [Transitif] Contoh Buktikan bahwa setiap dua interval terbuka tak kosong (a, b) dan (c, d) adalah homomorfik. Bukti: Misalkan a, b R dengan a < b dan ingat fungsi f: (0,1) (a, b) diberikan oleh f(x) = a(1 x) + bx 55

57 Jelas bahwa f: (0,1) (a, b) merupakan satu-satu dan pada. Dan juga grafik tersebut memperlihatkan bayangan f dari interval terbuka (0,1) merupakan suatu interval terbuka di (a, b), yakni f(interval terbuka di (a, b)) = f(gabungan dari interval terbuka di (0,1)) = gabungan dari interval terbuka di (a, b) = himpunan terbuka di (a, b) Jadi kondisi (iv) dari Definisi terpenuhi. Dengan cara yang sama, kita lihat bahwa f 1 (himpunan terbuka di (a, b)) merupakan suatu himpunan terbuka di (0,1). Jadi kondisi (iii) dari Definisi juga terpenuhi. Oleh karena itu f merupakan suatu homomorfisma dan (0,1) (a, b) untuk setiap a, b R dengan a < b. Menunjukkan bahwa (a, b) (c, d). Terbukti. Contoh Buktikan bahwa ruang R merupakakn homomorfik dengan interval terbuka ( 1,1) di Topologi usual. Bukti: Definisikan f: ( 1,1) R oleh f(x) = x 1 x. 56

58 Dapat diverifikasi bahwa f merupakan satu-satu dan pada, dan grafik menunjukkan sama seperti halnya pada Contoh yang mengakibatkan f merupakan suatu homomorfisma. Remark Dapat dibuktikan dengan cara serupa bahwa setiap dua interval [a. b] dan [c, d], dengan a < b dan c < d adalah homomorfik. Soal Latihan 1. Buktikan bahwa Z N 2. Jika a, b, c dan d adalah bilangan real dengan a < b dan c < d, buktikan bahwa [a, b] [c, d]. 3. Misalkan (X, τ) merupakan suatu ruang topologi diskrit, Buktikan bahwa (X, τ) merupakan homomorfik dengan suatu subruang dari R jika dan hanya jika X terhitung. 4.3 RUANG NON-HOMOMORFIK Untuk menunjukkan dua ruang topologi adalah homomorfik, kita harus mencari suatu homomorfisma diantara dua ruang tersebut. Tetapi, untuk menunjukkan bahwa dua ruang topologi tidak homomorfik itu lebih sulit karena kita harus menunjukkan bahwa tidak adanya homomorfisma diantara dua ruang topologi. Contoh-contoh berikutnya akan memberikan kita petunjuk untuk menunjukkan permasalahan tersebut. Contoh Buktikan bahwa [0,2] bukan homomorfik dengan subruang [0,1] [2,3] dari R. Bukti: Misalkan (X, τ) = [0,2] dan (Y, τ 1 ) = [0,1] [2,3]. Maka [0,1] = [0,1] Y [0,1] tertutup di (X, τ 1 ) 57

59 Dan [0,1] = ( 1, 11 2 ) Y [0,1] terbuka di (X, τ 1). Maka Y tidak terhubung, karena mempunyai [0,1] yang merupakan subset clopen tak kosong. Kemudian dengan kontradiksi, Andaikan (X, τ) (Y, τ 1 ). Maka terdapat suatu homomorfisma f: (X, τ) (Y, τ 1 ). Jadi f 1 ([0,1]) merupakan subset clopen dari X, dan karenanya X tidak terhubung. Jelas salah karena [0,2] = X terhubung. Terjadi kontradiksi, maka haruslah (X, τ) (Y, τ 1 ). Apa yang kita pelajari dari sini? Kita bisa susun propoisi sebagai berikut: Proposisi Setiap ruang topologi yang homomorfik dengan ruang terhubung adalah terhubung. Proposisi memberikan kita cara untuk menunjukkan dua ruang topologi tidak homomorfik dengan mencari sifat diawetkan/dipertahankan oleh homomorfisma yang dimiliki oleh suatu ruang dan yang lainnya tidak. Definisi Suatu subset S dari R disebut interval jika S memiliki sifat: jika x S, z S, dan y R sedemikian sehingga x < y < z, maka y S. Remarks Ingat bahwa setiap himpunan tunggal {x} merupakan suatu interval. a. Setiap interval memiliki salah satu bentuk dari: {a}, [a, b], (a, b), [a, b), (a, b], (, a), (, a], (a, ), [a, ), (, ). b. Contoh 4.2.6, Remark menunjukkan bahwa setiap interval merupakan homomorfik dengan (0,1), [0,1], [0,1), {0}. Proposisi Suatu subruang S dari R terhubung jika dan hanya jika S merupakan suatu interval. Bukti: Setiap interval adalah terhubung, dapat dibuktikan dengan cara yang sama dengan Proposisi dengan mengganti R dimanapun. Untuk konversnya kita gunakan kontradiksi, misalkan S terhubung. Andaikan x S, z S, x < y < z, dan 58

60 y S. Maka (, y) S = (, y] S adalah subset tertutup dan terbuka dari S. Jadi S memiliki suatu subset clopen, yakni (, y) S. Untuk menunjukkan S tidak terhubung, kita harus verifikasi bahwa hanya (, y) S himpunan clopen ini yang proper dan tak kosong. (, y) S tak kosong karena memuat x. (, y) S merupakan proper karena z S dan z (, y) S. Jadi S tidak terhubung. Terjadi kontradiksi, maka haruslah S merupakan suatu interval. Remark Misalkan f: (X, τ) (Y, τ 1 ) merupakan homomorfisma. Misalkan a X, sehingga X\{a} merupakan subruang di X dan memiliki topologi terinduksi τ 2. Dan juga Y\{f{a}} merupakan subruang dari Y dan memiliki topologi terinduksi τ 3. Maka (X\{a}, τ 2 ) homomorfik dengan (Y\{f{a}}, τ 3 ). Akibat Jika a, b, c, d adalah bilangan real dengan a < b dan c < d, maka i. (a, b) [c, d) ii. (a, b) [c, d] iii. [a, b) [c, d] Bukti: Misalkan (X, τ) = [c, d) dan (Y, τ 1 ) = (a, b). Andaikan (X, τ) (Y, τ 1 ). Maka X\{c} Y\{y}, untuk y Y. X\{c} = (c, d) suatu interval, jadi pastilah terhubung. Oleh karena itu X\{c} Y\{y}, untuk setiap y Y. Terjadi kontradiksi. Jadi haruslah (a, b) [c, d). Untuk (ii), perhatikan bahwa [c, d]\{c} terhubung karena (a, b)\{y} tidak terhubung untuk setiap y (a, b). Sehingga (a, b) [c, d]. Kemudian (iii), andaikan [a, b) [c, d], maka [c, d]\ {c} [a, b)\{y} untuk y [a, b). Lebih lanjut ([c, d]\{c})\{d} ([a, b)\{y})\{z}. Untuk z [a, b)\{y}, yakni (c, d) [a, b)\{y, z}, untuk y dan z di [a, b). Karena (c, d) terhubung selama [a, b)\{y, z} untuk setiap y dan z di [a, b) tidak terhubung. Terjadi kontradiksi. Maka haruslah [a, b) [c, d]. 59

61 Soal Latihan 1. Simpulkan dari Proposisi bahwa setiap subruang terhitung dari R dengan titik lebih dari satu adalah tidak terhubung. 2. Misalkan X merupakan unit lingkaran di R 2, yakni X = { x, y : x 2 + y 2 = 1} dan memiliki topologi subruang. Tunjukkan bahwa X\{ 0,1 } merupakan homomorfik dengan interval terbuka (0,1) 3. Dengan kasus yang sama dari soal no.2, simpulkan bahwa X bukan homomorfik dengan setiap interval. 60

62 BAB 5. PEMETAAN KONTINYU Dalam kebanyakan cabang ilmu matematika murni kita belajar menganai apa yang dikategorikan sebagai objek dan panah. Dalam aljabar linear, objeknya adalah ruang vektor dan panahnya adalah transformasi linear. Di dalam teori grup, objeknya adalah grup dan panahnya adalah homomorfisma. Dalam teori himpunan objeknya adalah himpunan dan panahnya adalah fungsi. Di dalam topologi, yang menjadi objek adalah ruang topologi, maka kita akan mengenalkan panah dari topologi ini, yaitu pemetaan kontinyu. 5.1 PEMETAAN KONTINYU Tentu kita sudah mengenal ide menganai fungsi kontinyu dari R ke R. Suatu fungsi f: R R dikatakan kontinyu jika untuk setiap a R dan setiap bilangan real positif ε, terdapat bilangan real positif δ sedemikian sehingga x a < δ mengimplikasikan f(x) f(a) < ε. Di dalam ruang topologi, kita bisa definisikan kembali pemetaan kontinyu, yakni: f: R R adalah kontinyu jika dan hanya jika untuk setiap a R dan setiap interval (f(a) ε, f(a) + ε), untuk ε > 0, terdapat δ > 0 sedemikian sehingga f(x) (f(a) ε, f(a) + ε) untuk setiap x (a δ, a + δ). Lemma Misalkan f merupakan fungsi yang memetakan R ke dirinya sendiri. Maka f kontinyu jika dan hanya jika untuk setiap a R dan setiap himpunan terbuka U memuat f(a), terdapat himpunan terbuka V memuat a sedemikian sehingga f(v) U. Bukti: Misalkan f kontinyu, a R dan U merupakan sebarang himpunan kosong memuat f(a). Maka terdapat bilangan real c dan d sehingga f(a) (c, d) U. Ambil ε yang sama dengan bilangan terkecil dari d f(a) dan f(a) c, sehingga (f(a) ε, f(a) + ε) U. 61

63 Karena pemetaan f kontinyu, terdapat δ > 0 sehingga f(x) (f(a) ε, f(a) + ε) untuk setiap x (a δ, a + δ). Misalkan V merupakan himpunan terbuka (a δ, a + δ). Maka a V dan f(v) U. Sekarang kita buktikan kebalikannya, asumsikan untuk setiap a R dan himpunan terbuka U memuat f(a). Terdapat suatu himpunan terbuka V memuat a sehingga f(v) U. Kita harus tunjukkan f kontinyu. Misalkan a R dan sebarang ε > 0. Ambil U = (f(a) ε, f(a) + ε). Jadi U merupakan himpunan terbuka memuat f(a). Maka terdapat suatu himpunan terbuka V memuat a sehingga f(v) U. Karena V himpunan terbuka memuat a, maka terdapat bilangan real c dan d sehingga a (c, d) V. Pilih δ yang sama dengan bilangan terkecil diantara d a dan a c sehingga (a δ, a + δ) V. Maka untuk setiap x (a δ, a + δ), f(x) f(v) U. Jadi f kontinyu. Terbukti. Lemma Misalkan f merupakan pemetaan dari ruang topologi (X, τ) ke dalam ruang toplogi (Y, τ ). Maka kondisi berikut ini ekuivalen: i. Untuk setiap U τ, f 1 (U) τ ii. Untuk setiap a X dan setiap U τ dengan f(a) U, terdapat suatu V τ sedemikian sehingga a V dan f(v). Bukti: Asumsikan kondisi (i) terpenuhi. Misalkan a X dan U τ dengan f(a) U. Maka f 1 (U) τ. Jika f 1 (U), misalkan a f 1 (U). Maka f(a) U, oleh karenanya terdapat V τ dan f(v) U. Jadi kondisi (ii) terpenuhi. Konversnya, asumsikan kondisi (ii) terpenuhi. Misalkan U τ;. Jika f 1 (U) = maka jelas f 1 (U) τ. Jika f 1 (U), misalkan a f 1 (U). Maka f(a) U. Oleh karenanya terdapat V τ sehingga a τ dan f(v) U. Jadi untuk setiap a f 1 (U), terdapat V τ sehingga a V f 1 (U). Berdasarkan Akibat 3.2.9, mengimplikasikan bahwa f 1 (U) τ. Jadi kondisi (i) terpenuhi. Definisi Misalkan (X, τ) dan (Y, τ 1 ) merupakan ruang topologi dan f suatu fungsi dari X ke dalam Y. Maka f: (X, τ) (Y, τ 1 ) disebut pemetaan kontinyu jika untuk setiap U τ 1, maka f 1 (U) τ. 62

64 Contoh Misalkan f: R R diberikan oleh f(x) = x, untuk setiap x R, yaitu f merupakan fungsi identitas. Maka untuk setiap himpunan terbuka U di R, f 1 (U) = U terbuka. Oleh karena itu f merupakan kontinyu. Contoh Misalkan f: R R diberikan oleh f(x) = c, untuk c suatu konstanta, dan x R. Maka misalkan U merupakan sebarang himpunan terbuka di R, jelas bahwa f 1 (U) = R jika c U dan jika c U. Dalam kedua kasus tersebut, f 1 (U) terbuka. Jadi f kontinyu. Contoh Misalkan f: R R didefinisikan sebagai x 1, jika x 3 f(x) = { 1 (x + 5), jika x > 3 2 Ingat bahwa pemetaan adalah kontinyu jika dan hanya jika invers bayangan dari setiap himpunan terbuka adalah himpunan terbuka. Karenanya, untuk menunjukkan 5.2 TEOREMA f NILAI tidak RATA-RATA kontinyu, kita harus mencari satu himpunan terbuka U sedemikian sehingga f 1 (U) tidak terbuka. Berdasarkan grafik, maka terlihat bahwa f 1 ((1,3)) = (2,3] yang mana bukan merupakan himpunan terbuka. Sehingga f tidak kontinyu. 63

65 Proposisi Misalkan f merupakan pemetaan dari ruang topologi (X, τ) ke dalam ruang toplogi (Y, τ ). Maka f kontinyu jika dan hanya jika untuk setiap x X dan setiap U τ dengan f(x) U, terdapat V τ sedemikian sehingga x V dan f(v) U. Proposisi Misalkan (X, τ), (Y, τ 1 ) dan (Z, τ 2 ) merupakan ruang topologi. Jika f: (X, τ) (Y, τ 1 ) dan g: (Y, τ 1 ) (Z, τ 2 ) merupakan pemetaan kontinyu, maka fungsi komposit gof: (X, τ) (Z, τ 2 ) kontinyu. Bukti: Untuk menunjukkan fungsi komposit gof: (X, τ) (Z, τ 2 ) kontinyu, kita harus menunjukkan jika U τ 2, maka (gof) 1 (U) τ. Misalkan U terbuka di (Z, τ 2 ). Karena g kontinyu, g 1 (U) terbuka di τ 1. Maka f 1 (g 1 (U)) terbuka di τ karena f kontinyu. Karena f 1 (g 1 (U)) = (gof) 1 (U), maka gof kontinyu. Proposisi Misalkan (X, τ) dan (Y, τ 1 ) merupakan ruang topologi. Maka f: (X, τ) (Y, τ 1 ) kontinyu jika dan hanya jika untuk setiap subset tertutup S dari Y, f 1 (S) merupakan subset tertutup dari X. Bukti: Bukti Proposisi ini mengikuti pembuktian f 1 (komplemen dari S) = komplemen dari f 1 (S). Remark Terdapat hubungan antara pemetaan kontinyu dan homomorfisma. Jika f: (X, τ) (Y, τ 1 ) merupakan homomorfisma, maka f merupakan pemetaan kontinyu. Tapi tidak setiap pemetaan kontinyu adalah homomorfisma. Proposisi Misalkan (X, τ) dan (Y, τ ) merupakan ruang topologi dan f suatu fungsi dari X ke dalam Y. Maka f homomorfisma jika dan hanya jika i. f kontinyu, ii. f satu-satu dan pada. Yakni fungsi invers f 1 : Y X ada, dan iii. f 1 kontinyu. 64

66 Proposisi Misalkan (X, τ) dan (Y, τ 1 ) merupakan ruang topologi, f: (X, τ) (Y, τ 1 ) suatu pemetaan kontinyu. A subset dari X, dan τ 2 topologi terinduksi pada A. Lebih lanjut misalkan g: (A, τ 2 ) (Y, τ 1 ) merupakan restriksi dari f dengan A, yakni g(x) = f(x) untuk setiap x A. Maka g kontinyu. Soal Latihan 1. Misalkan f: (X, τ) (Y, τ 1 ) merupakan fungsi konstan. Tunjukkan bahwa f kontinyu. 2. Misalkan f: (X, τ) (X, τ) merupakan fungsi identitas. Tunjukkan bahwa f kontinyu. 3. Misalkan f: R R yang diberikan oleh Apakah f kontinyu? Berikan alasannya! x, x 1 f(x) = { x + 2, x > TEOREMA NILAI RATA-RATA Proposisi Misalkan (X, τ) dan (Y, τ 1 ) merupakan ruang topologi dan f: (X, τ) (Y, τ 1 ) surjektif dan kontinyu. Jika (X, τ) terhubung, maka (Y, τ 1 ) terhubung. Bukti: Dengan menggunakan kontradiksi, Andaikan (Y, τ 1 ) tak terhubung. Maka terdapat subset clopen U sehingga U dan U Y. Maka f 1 (U) merupakan himpunan terbuka karena f kontinyu, dan juga suatu himpunan tertutup. Berdasarkan Proposisi 5.1.9, f 1 (U) merupakan subset clopen dari X. Sekarang f 1 (U) karena f surjektif dan U. Juga f 1 (U) X, selama itu adalah U akan sama dengan Y, berdasarkan sifat fungsi surjektif dari f. Maka (X, τ) tak terhubung. Terjadi kontradiksi. Maka haruslah (Y, τ 1 ) terhubung. 65

67 Remarks a. Proposisi di atas akan salah jika kondisi surjektif dihilangkan. b. Proposisi mengatakan bahwa setiap bayangan kontinyu dari suatu himpunan terhubung adalah terhubung. c. Proposisi mengatakan pada kita bahwa jika (X, τ) ruang terhubung dan (Y, τ 1 ) tak terhubung, maka tidak ada pemetaan dari (X, τ) ke dalam (Y, τ 1 ) yang kontinyu. Definisi Suatu ruang topologi (X, τ) dikatakan path-connected (lintasanterhubung) jika untuk setiap pasangan berbeda titik a dan b dari X terdapat suatu pemetaan kontinyu f: [0,1] (X, τ) sehingga f(0) = a dan f(1) = b. Pemetaan f disebut lintasan (path) yang menggabungkan a dengan b. Contoh Dapat terlihat bahwa setiap interval merupakan path-connected. Contoh Untuk setiap n 1, R n merupakan path-connected. Proposisi Setiap ruang path-connected adalah terhubung. Bukti: Misalkan (X, τ) merupakan ruang path-connected, dan andaikan ruang tersebut tidak terhubung, maka terdapat suatu subset tak kosong U. Jadi ada a dan b sehingga a U dan b X\U. Karena (X, τ) merupakan path-connected, terdapat suatu fungsi kontinyu f: [0,1] (X, τ) sehingga f(0) = a dan f(1) = b. Bagaimanapun juga, f 1 (U) merupakan subset clopen dari [0,1]. Karena a U, 0 f 1 (U) dan juga f 1 (U). Karena b U, 1 f 1 (U). Maka f 1 (U) [0,1]. Oleh karenanya f 1 (U) merupakan subset clopen tak kosong dari [0,1, yang mana terjadi kontradiksi dengan keterhubungan dari [0,1]. Maka haruslah (X, τ) terhubung. Remark Konvers dari Proposisi bernilai salah, yakni tidak semua ruang terhubung merupakan path-connected. 66

68 Contoh Jelas bahwa R 2 \{ 0,0 } merupakan path-connected dan karenanya, berdasarkan Proposisi 5.2.6, R 2 \{ 0,0 } juga terhubung. Akan tetapi R\{a} untuk setiap a R tak terhubung. Karenanya R R 2. Teorema (Teorema Nilai Rataan Weierstrass). Misalkan f: [a, b] R kontinyu dan misalkan f(a) f(b). Maka untuk setiap bilangan p diantara f(a) dan f(b), terdapat titik c [a, b] sehingga f(c) = p. Bukti: Karena [a, b] terhubung dan f kontinyu, Proposisi mengatakan bahwa f([a, b]) terhubung. Berdasarkan Proposisi 4.3.5, ini mengimplikasikan bahwa f([a, b]) merupakan interval. Sekarang f(a) dan f(b) termuat di f([a, b]). Jadi jika p diantara f(a) dan f(b), maka p f([a, b]), yakni p = f(c), untuk c [a, b]. Akibat Jika f: [a, b] R kontinyu dan f(a) > 0, f(b) < 0, maka terdapat suatu x [a, b] sehingga f(x) = 0. Akibat (Teorema Titik Tetap). Misalkan f merupakan pemetaan kontinyu dari [0,1] ke dalam [0,1]. Maka terdapat suatu z [0,1] sehingga f(z) = z. Titik z disebut sebagai titik tetap. Bukti: Jika f(0) = 0 atau f(1) = 1, hasilnya tentu benar. Sehingga itu memenuhi kasus ketika f(0) > 0 dan f(1) < 1. Misalkan g: [0,1] R didefinisikan oleh g(x) = x f(x). Maka g kontinyu, g(0) = f(0) < 0, dan g(1) = 1 f(1) > 0. Sehingga, berdasarkan Akibat , terdapat z [0,1] sehingga g(z) = 0, yakni z f(z) = 0 atau f(z) = z. Remark Akibat merupakan kasus khusus dari setiap Teorema penting, yang disebut sebagai Teorema Titik Tetap Brouwer, yang berkata bahwa jika kita memetakan suatu kubik berdimensi n secara kontinyu ke dalam dirinya sendiri, maka terdapat nilai tetap di sana. 67

69 Soal Latihan 1. Buktikan bahwa suatu bayangan kontinyu dari ruang path-connected merupakan path-connected. 2. Misalkan f merupakan pemetaan kontinyu dari interval [a, b] ke dirinya sendiri, dimana a, b R dan a < b. Buktikan bahwa terdapat titik tetap di sana. 3. Misalkan {A j : j J} merupakan keluarga dari subruang terhubung dari ruang topologi (X, τ), j J A j. Tunjukkan bahwa j J A j terhubung. 68

70 BAB 6. RUANG METRIK Tingkatan terpenting dari ruang topologi adalah ruang metrik. Ruang metrik menyediakan banyak sumber dari contoh-contoh topologi. Tetapi lebih dari itu, banyak aplikasi dari topologgi dengan analisis yang dijembatani oleh ruang metrik. 6.1 RUANG METRIK Definisi Misalkan X merupakan himpunan tak kosong dan d suatu fungsi bilangan real yang didefinisikan pada X X sehingga untuk a, b X memenuhi: (i) d(a, b) 0 dan d(a, b) = 0 jika dan hanya jika a = b. (ii) d(a, b) = d(b, a), dan (iii) d(a, c) d(a, b) + d(b, c), (pertidaksamaan segitiga) untuk setiap a, b, c X. Maka d disebut suatu metrik di X, (X, d) disebut sebagai ruang metrik dan d(a, b) merupakan jarak antara a dan b. Contoh Fungsi d: R R R didefinisikan sebagai d(a, b) = a b, a, b R Merupakan suatu metrik pada himpunan R karena memenuhi Definisi 6.1.1, yakni (i) a b 0 untuk setiap a, b R, dan a b = 0 jika dan hanya jika a = b. (ii) a b = b a, dan (iii) a c a b + b c. (berdasarkan bentuk x + y x + y ). Kita sebut d sebagai metrik Euclidean di R. Contoh Fungsi d: R 2 R 2 R diberikan sebagai d( a 1, a 2, b 1, b 2 ) = (a 1 b 1 ) 2 + (a 2 b 2 ) 2 69

71 Merupakan suatu metrik di R 2, disebut juga metrik Euclidean di R 2. Contoh Misalkan X merupakan himpunan tak kosong dan d merupakan fungsi dari X X ke dalam R yang didefinisikan sebagai 0, jika a = b d(a, b) = { 1, jika a b Maka d merupakan suatu metrik di X, dan disebut juga metrik diskrit. Contoh Misalkan C[0,1] menotasikan himpunan dari fungsi-fungsi kontinyu dari [0,1] ke dalam R. Suatu metrik didefinisikan dalam himpunan ini oleh Dimana f dan g di dalam C[0,1]. 1 d(f, g) = f(x) g(x) dx 0 70

72 Contoh Misalkan lagi C[0,1] merupakan himpunan dari semua fungsi-fungsi kontinyu dari [0,1] ke dalam R. Metrik lain yang didefinisikan dalam C[01] adalah: d (f, g) = sup { f(x) g(x) x [01]} Jelas bahwa d (f, g) merupakan jarak pemisah terbesar antara fungsi f dan g. Contoh Kita dapat mendefinisikan metrik yang lain di R 2 yaitu d ( a 1, a 2, b 1, b 2 ) = max { a 1 b 1, a 2 b 2 } Dimana max {x, y} setara dengan nilai terbesar dari dua bilangan x dan y. Contoh Terdapat metrik lainnya lagi di R 2 yang diberikan oleh d 1 ( a 1, a 2, b 1, b 2 ) = a 1 b 1 + a 2 b 2 Contoh Misalkan V merupakan ruang vektor atas lapangan bilangan real atau bilangan kompleks. Suatu panjang (norm) pada V merupakan pemetaan: V R sehingga untuk semua a, b V dan λ dalam lapangan tersebut memenuhi (i) a 0 dan a = 0 jika dan hanya jika a = 0 (ii) a + b a + b, dan (iii) λa = λ a Ruang vektor panjang (V, ) merupakan ruang vektor V dengan panjang. 71

73 Definisi Misalkan (X, d) merupakan ruang metrik dan r merupakan bilangan real positif. Maka bola terbuka (open ball) a X dengan jari-jari r merupakan himpunan B r (a) = {x: x X dan d(a, x) < r}. Contoh Di dalam R dengan metrik Euclidean, maka B r (a) merupakan interval terbuka (a r, a + r). Contoh Di dalam R 2 dengan metrik Euclidean, maka B r (a) merupakan disk terbuka dengan pusat a dan jari-jari r. Contoh Di dalam R 2 dengan metrik d diberikan oleh d ( a 1, a 2, b 1, b 2 ) = max { a 1 b 1, a 2 b 2 } Bola terbuka B 1 ( 0,0 ) terlihat seperti Contoh Di dalam R 2 dengan metrik d 1 diberikan oleh d 1 ( a 1, a 2, b 1, b 2 ) = a 1 b 1 + a 2 b 2 Bola terbuka B 1 ( 0,0 ) terlihat seperti 72

74 Lemma Misalkan (X, d) merupakan ruang metrik dan a, b merupakan titiktitk di X. Lebih lanjut, misalkan δ 1 dan δ 2 merupakan bilangan bulat positif. Jika c B δ1 (a) B δ2 (b), maka terdapat δ > 0 sedemikian sehinga B δ (c) B δ1 (a) B δ2 (b). Akibat Misalkan (X, d) merupakan ruang metrik dan B 1, B 2 merupakan bolabola terbuka di (X, d). Maka B 1 B 2 merupakan gabungan dari bola-bola terbuka di (X, d). Proposisi Misalkan (X, d) merupakan ruang metrik. Maka koleksi dari bolabola terbuka di (X, d) merupakan suatu basis untuk topologi τ di X. Topologi τ yang didefinisikan merupakan topologi terinduksi dengan metrik d, dan (X, τ) disebut ruang topologi terinduksi atau korespondensi ruang topologi atau ruang topologi terasosiasi. Contoh Jika d merupakan metrik Euclidean di R, maka suatu basis untuk topologi τ terinduksi oleh metrik d merupakan himpunan dari semua bola terbuka. Yakni B δ (a) = (a δ, a + δ). Dari sini kita dapat melihat bahwa τ merupakan topologi Euclidean di R. Jadi metrik Euclidean di R menginduksi topologi Euclidean di R. Contoh Dari Contoh menunjukkan bahwa metrik Euclidean pada himpunan R 2 menginduksi topologi Euclidean di R 2. Contoh Dari Contoh menunjukkan bahwa metrik d juga menginduksi topologi Eucliean pada himpunan R 2. 73

BAB 1 OPERASI PADA HIMPUNAN BAHAN AJAR STRUKTUR ALJABAR, BY FADLI

BAB 1 OPERASI PADA HIMPUNAN BAHAN AJAR STRUKTUR ALJABAR, BY FADLI BAB 1 OPERASI PADA HIMPUNAN Tujuan Instruksional Umum : Setelah mengikuti pokok bahasan ini mahasiswa dapat menggunakan operasi pada himpunan untuk memecahkan masalah dan mengidentifikasi suatu himpunan

Lebih terperinci

BAB 1. PENDAHULUAN. Bab ini akan membahas sekilas mengenai konsep-konsep yang berkaitan dengan himpunan dan fungsi.

BAB 1. PENDAHULUAN. Bab ini akan membahas sekilas mengenai konsep-konsep yang berkaitan dengan himpunan dan fungsi. BAB PENDAHULUAN Bab ini akan membahas sekilas mengenai konsep-konsep yang berkaitan dengan himpunan dan fungsi Himpunan Real Ada beberapa notasi himpunan yang sering digunakan dalam Analisis () merupakan

Lebih terperinci

PENDAHULUAN. 1. Himpunan

PENDAHULUAN. 1. Himpunan PENDAHULUAN 1. Himpunan Definisi 1. Himpunan (set) adalah kumpulan objek-objek yang berbeda. Objek yang dimaksud biasa disebut dengan elemen-elemen atau anggota-anggota dari himpunan. Suatu himpunan biasanya

Lebih terperinci

Himpunan dan Fungsi. Modul 1 PENDAHULUAN

Himpunan dan Fungsi. Modul 1 PENDAHULUAN Modul 1 Himpunan dan Fungsi Dr Rizky Rosjanuardi P PENDAHULUAN ada modul ini dibahas konsep himpunan dan fungsi Pada Kegiatan Belajar 1 dibahas konsep-konsep dasar dan sifat dari himpunan, sedangkan pada

Lebih terperinci

Fungsi. Hidayati Rais, S.Pd.,M.Si. October 26, Program Studi Pendidikan Matematika STKIP YPM Bangko. Rollback Malaria :)

Fungsi. Hidayati Rais, S.Pd.,M.Si. October 26, Program Studi Pendidikan Matematika STKIP YPM Bangko. Rollback Malaria :) Program Studi Pendidikan Matematika STKIP YPM Bangko October 26, 2014 Definisi Misalkan A dan B adalah himpunan. Suatu fungsi dari A ke B adalah suatu himpunan f yang elemen-elemennya adalah pasangan terurut

Lebih terperinci

1 P E N D A H U L U A N

1 P E N D A H U L U A N 1 P E N D A H U L U A N 1.1.Himpunan Himpunan (set) adalah kumpulan objek-objek yang terdefenisi dengan baik (well defined). Artinya bahwa untuk sebarang objek x yang diberikan, maka kita selalu akan dapat

Lebih terperinci

Himpunan. Modul 1 PENDAHULUAN

Himpunan. Modul 1 PENDAHULUAN Modul 1 Himpunan Dra. Kusrini, M.Pd. PENDAHULUAN D alam Modul 1 ini ada 3 kegiatan belajar, yaitu Kegiatan Belajar 1, Kegiatan Belajar 2, dan Kegiatan Belajar 3. Dalam Kegiatan Belajar 1, Anda akan mempelajari

Lebih terperinci

I. Aljabar Himpunan Handout Analisis Riil I (PAM 351)

I. Aljabar Himpunan Handout Analisis Riil I (PAM 351) I. Aljabar Himpunan Aljabar Himpunan Dalam bab ini kita akan menyajikan latar belakang yang diperlukan untuk mempelajari analisis riil. Dua alat utama analisis riil, yakni aljabar himpunan dan fungsi,

Lebih terperinci

INF-104 Matematika Diskrit

INF-104 Matematika Diskrit Jurusan Informatika FMIPA Unsyiah February 13, 2012 Apakah Matematika Diskrit Itu? Matematika diskrit: cabang matematika yang mengkaji objek-objek diskrit. Apa yang dimaksud dengan kata diskrit (discrete)?

Lebih terperinci

MATEMATIKA DASAR PENDIDIKAN BIOLOGI UPI 0LEH: UPI 0716

MATEMATIKA DASAR PENDIDIKAN BIOLOGI UPI 0LEH: UPI 0716 MATEMATIKA DASAR PENDIDIKAN BIOLOGI UPI 0LEH: UPI 0716 N0 TOPIK FUNGSI 2.1 DEFINISI FUNGSI 2.2 DAERAH DEFINISI DAN DAERAH HASIL 2.3 JENIS-JENIS FUNGSI 2.4 OPERASI ALJABAR FUNGSI 2.5 FUNGSI GENAP, GANJIL,

Lebih terperinci

Pengantar Analisis Real

Pengantar Analisis Real Modul Pengantar Analisis Real Dr Endang Cahya, MA, MSi P PENDAHULUAN ada Modul ini disajikan beberapa topik pengantar mata kuliah Analisis Real, yang terbagi dalam beberapa kegiatan belajar yang harus

Lebih terperinci

BAB I PENDAHULUAN. Kata topologi berasal dari bahasa yunani yaitu topos yang artinya tempat

BAB I PENDAHULUAN. Kata topologi berasal dari bahasa yunani yaitu topos yang artinya tempat 1 BAB I PENDAHULUAN 1.1. Latar Belakang Masalah Kata topologi berasal dari bahasa yunani yaitu topos yang artinya tempat dan logos yang artinya ilmu merupakan cabang matematika yang bersangkutan dengan

Lebih terperinci

Mendeskripsikan Himpunan

Mendeskripsikan Himpunan BASIC STRUCTURE 2.1 SETS Himpunan Himpunan adalah koleksi tak terurut dari obyek, yang disebut anggota himpunan Notasi. a A : a adalah anggota himpunan A a A : a bukan anggota himpunan A Contoh 1. Himpunan

Lebih terperinci

INF-104 Matematika Diskrit

INF-104 Matematika Diskrit Teori Himpunan Jurusan Informatika FMIPA Unsyiah February 25, 2015 Himpunan (set) adalah koleksi dari objek-objek yang terdefinisikan dengan baik. Terdefinisikan dengan baik dimaksudkan bahwa untuk sebarang

Lebih terperinci

FUNGSI. Modul 3. A. Definisi Fungsi

FUNGSI. Modul 3. A. Definisi Fungsi Modul 3 FUNGSI A. Definisi Fungsi Definisi 1. Misalkan A dan B suatu himpunan. Suatu relasi f A x B, dimana setiap a A dipasangkan dengan tepat satu di b B, disebut dengan pemetaan (atau fungsi) dari A

Lebih terperinci

3. FUNGSI DAN GRAFIKNYA

3. FUNGSI DAN GRAFIKNYA 3. FUNGSI DAN GRAFIKNYA 3.1 Pengertian Relasi Misalkan A dan B suatu himpunan. anggota A dikaitkan dengan anggota B berdasarkan suatu hubungan tertentu maka diperoleh suatu relasi dari A ke B. : A = {1,

Lebih terperinci

Mendeskripsikan Himpunan

Mendeskripsikan Himpunan BASIC STRUCTURE 2.1 SETS Himpunan Himpunan adalah koleksi tak terurut dari obyek, yang disebut anggota himpunan Notasi. a A : a adalah anggota himpunan A a A : a bukan anggota himpunan A Contoh 1. Himpunan

Lebih terperinci

1 Pendahuluan I PENDAHULUAN

1 Pendahuluan I PENDAHULUAN 1 Pendahuluan 1.1 Himpunan I PENDAHULUAN Himpunan merupakan suatu konsep mendasar dalam semua cabang ilmu matematika. Mengapa himpunan adalah hal yang sangat penting dalam matematika?, untuk mencari jawaban

Lebih terperinci

ANALISIS REAL 1. Perkuliahan ini dimaksudkan memberikan

ANALISIS REAL 1. Perkuliahan ini dimaksudkan memberikan ANALISIS REAL 1 Perkuliahan ini dimaksudkan memberikan kemampuan pada mahasiswa agar dapat memahami pernyataan-pernyataan matematika secara baik dan benar, berpikir secara logis, kritis dan sistematis,

Lebih terperinci

Teori Himpunan Elementer

Teori Himpunan Elementer Teori Himpunan Elementer Kuliah Matematika Diskret Semester Genap 2015-2016 MZI Fakultas Informatika Telkom University FIF Tel-U Januari 2016 MZI (FIF Tel-U) Himpunan Januari 2016 1 / 72 Acknowledgements

Lebih terperinci

RELASI. Cece Kustiawan, FPMIPA, UPI

RELASI. Cece Kustiawan, FPMIPA, UPI RELASI 1. Pasangan Berurutan 2. Fungsi Proposisi dan Kalimat Terbuka 3. Himpunan Jawaban dan Grafik Relasi 4. Jenis-jenis Relasi 5. Domain dan Range suatu Relasi Pasangan Berurutan (cartesian Product)

Lebih terperinci

NAMA : KELAS : SMA TARAKANITA 1 JAKARTA theresiaveni.wordpress.com

NAMA : KELAS : SMA TARAKANITA 1 JAKARTA theresiaveni.wordpress.com 1 NAMA : KELAS : 2 KOMPOSISI FUNGSI DAN FUNGSI INVERS Contoh: Manakah yang merupakan fungsi/pemetaan dan manakah yang bukan fungsi? (i) (ii) (iii) Relasi himpunan A ke himpunan B adalah relasi yang memasangkan/mengkawankan/mengkorepodensikan

Lebih terperinci

BAB 3 FUNGSI. f : x y

BAB 3 FUNGSI. f : x y . Hubungan Relasi dengan Fungsi FUNGSI Relasi dari himpunan P ke himpunan Q disebut fungsi atau pemetaan, jika dan hanya jika tiap unsur pada himpunan P berpasangan tepat hanya dengan sebuah unsur pada

Lebih terperinci

TEORI HIMPUNAN Penyajian Himpunan

TEORI HIMPUNAN Penyajian Himpunan TEORI HIMPUNAN 1.1. Penyajian Himpunan Definisi 1. Himpunan (set) adalah kumpulan objek-objek yang berbeda. Objek yang dimaksud biasa disebut dengan elemen-elemen atau anggota-anggota dari himpunan. Suatu

Lebih terperinci

Teori Dasar Himpunan. Julan HERNADI. December 27, Program Studi Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah, Ponorogo

Teori Dasar Himpunan. Julan HERNADI. December 27, Program Studi Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah, Ponorogo 1 Program Studi Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah, Ponorogo December 27, 2012 PENGERTIAN DASAR Denition Himpunan merupakan koleksi objek-objek yang disebut anggota atau elemen himpunan tersebut.

Lebih terperinci

TEORI HIMPUNAN. A. Penyajian Himpunan

TEORI HIMPUNAN. A. Penyajian Himpunan TEORI HIMPUNAN A. Penyajian Himpunan Definisi 1 Himpunan (set) adalah kumpulan objek-objek yang berbeda. Objek yang dimaksud biasa disebut dengan elemen-elemen atau anggota-anggota dari himpunan. Dalam

Lebih terperinci

Tujuan Instruksional Umum Mahasiswa memahami pengertian relasi, relasi ekuivalen, hasil ganda suatu

Tujuan Instruksional Umum Mahasiswa memahami pengertian relasi, relasi ekuivalen, hasil ganda suatu BAB IV RELASI DAN FUNGSI Tujuan Instruksional Umum Mahasiswa memahami pengertian relasi, relasi ekuivalen, hasil ganda suatu relasi, relasi invers, relasi identitas, pengertian fungsi, bayangan invers

Lebih terperinci

FUNGSI. range. Dasar Dasar Matematika I 1

FUNGSI. range. Dasar Dasar Matematika I 1 FUNGSI Pada bagian sebelumnya telah dibahas tentang relasi yaitu aturan yang menghubungkan elemen dua himpunan. Pada bagian ini akan dibahas satu jenis relasi yang lebih khusus yang dinamakan fungsi Suatu

Lebih terperinci

Tujuan Instruksional Umum Mahasiswa memahami pengertian relasi, relasi ekuivalen, hasil ganda suatu

Tujuan Instruksional Umum Mahasiswa memahami pengertian relasi, relasi ekuivalen, hasil ganda suatu BAB IV RELASI DAN FUNGSI Tujuan Instruksional Umum Mahasiswa memahami pengertian relasi, relasi ekuivalen, hasil ganda suatu relasi, relasi invers, relasi identitas, pengertian fungsi, bayangan invers

Lebih terperinci

BAB I SET DAN RELASI

BAB I SET DAN RELASI BAB I SET DAN RELASI 1.1. SET, ELEMEN (UNSUR) Set adalah suatu konsep yang terdapat dan selalu ada di dalam semua cabang matematika. Secara intuitif, suatu set adalah sesuatu yang didefinisikan dengan

Lebih terperinci

ANALISIS REAL 1 SUMANANG MUHTAR GOZALI KBK ANALISIS

ANALISIS REAL 1 SUMANANG MUHTAR GOZALI KBK ANALISIS ANALISIS REAL 1 SUMANANG MUHTAR GOZALI KBK ANALISIS UNIVERSITAS PENDIDIKAN INDONESIA BANDUNG 2010 2 KATA PENGANTAR Bismillahirrahmanirrahim Segala puji bagi Allah Rabb semesta alam. Shalawat serta salam

Lebih terperinci

KOMPOSISI FUNGSI DAN FUNGSI INVERS

KOMPOSISI FUNGSI DAN FUNGSI INVERS 1 KOMPOSISI FUNGSI DAN FUNGSI INVERS Contoh: Manakah yang merupakan fungsi/pemetaan dan manakah yang bukan fungsi? (i) (ii) (iii) Relasi himpunan A ke himpunan B adalah relasi yang memasangkan/mengkawankan/mengkorepodensikan

Lebih terperinci

Oleh : Winda Aprianti

Oleh : Winda Aprianti Oleh : Winda Aprianti Relasi Definisi Relasi Relasi antara himpunan A dan himpunan B merupakan himpunan yang berisi pasangan terurut yang mengikuti aturan tertentu (relasi biner). Relasi biner R antara

Lebih terperinci

INF-104 Matematika Diskrit

INF-104 Matematika Diskrit Relasi dan Fungsi Jurusan Informatika FMIPA Unsyiah March 10, 2014 Suatu fungsi f : A B disebut pada (onto) atau surjektif (surjective) jika f(a) = B, yaitu jika untuk semua b B ada sekurang-kurangnya

Lebih terperinci

Matematika

Matematika dan D3 Analis Kimia FMIPA Universitas Islam Indonesia Definisi Suatu fungsi f adalah suatu aturan korespondensi yang menghubungkan setiap objek x dalam satu himpunan, yang disebut domain, dengan sebuah

Lebih terperinci

Relasi, Fungsi, dan Transformasi

Relasi, Fungsi, dan Transformasi Modul 1 Relasi, Fungsi, dan Transformasi Drs. Ame Rasmedi S. Dr. Darhim, M.Si. M PENDAHULUAN odul ini merupakan modul pertama pada mata kuliah Geometri Transformasi. Modul ini akan membahas pengertian

Lebih terperinci

MATEMATIKA INFORMATIKA 2 FUNGSI

MATEMATIKA INFORMATIKA 2 FUNGSI MATEMATIKA INFORMATIKA 2 FUNGSI PENGERTIAN FUNGSI Definisi : Misalkan A dan B dua himpunan tak kosong. Fungsi dari A ke B adalah aturan yang mengaitkan setiap anggota A dengan tepat satu anggota B. ATURAN

Lebih terperinci

Himpunan Matematika Diskret (TKE132107) Program Studi Teknik Elektro, Unsoed

Himpunan Matematika Diskret (TKE132107) Program Studi Teknik Elektro, Unsoed Himpunan Matematika Diskret (TKE132107) Program Studi Teknik Elektro, Unsoed Iwan Setiawan Tahun Ajaran 2013/2014 Obyek-obyek diskret ada di sekitar kita. Matematika Diskret (TKE132107)

Lebih terperinci

Logika, Himpunan, dan Fungsi

Logika, Himpunan, dan Fungsi Logika, Himpunan, dan Fungsi A. Logika Matematika Logika matematika adalah ilmu untuk berpikir dan menalar dengan menggunakan bahasa serta simbol-simbol matematika dengan benar. 1) Kalimat Matematika Kalimat

Lebih terperinci

II. SISTEM BILANGAN RIIL. Handout Analisis Riil I (PAM 351)

II. SISTEM BILANGAN RIIL. Handout Analisis Riil I (PAM 351) II. SISTEM BILANGAN RIIL Handout Analisis Riil I (PAM 351) Sifat Aljabar (Aksioma Lapangan) dari Bilangan Riil Bagian ini akan membicarakan struktur aljabar bilangan riil dengan terlebih dahulu memberikan

Lebih terperinci

STRUKTUR ALJABAR 1. Kristiana Wijaya

STRUKTUR ALJABAR 1. Kristiana Wijaya STRUKTUR ALJABAR 1 Kristiana Wijaya i ii Daftar Isi Judul Daftar Isi i iii 1 Himpunan 1 2 Partisi dan Relasi Ekuivalen 3 3 Grup 6 4 Koset Dan Teorema Lagrange, Homomorphisma Grup Dan Grup Faktor 11 Indeks

Lebih terperinci

Diktat Kuliah. Oleh:

Diktat Kuliah. Oleh: Diktat Kuliah TEORI GRUP Oleh: Dr. Adi Setiawan UNIVERSITAS KRISTEN SATYA WACANA SALATIGA 2015 Kata Pengantar Aljabar abstrak atau struktur aljabar merupakan suatu mata kuliah yang menjadi kurikulum nasional

Lebih terperinci

BEBERAPA FUNGSI KHUSUS

BEBERAPA FUNGSI KHUSUS BEBERAPA FUNGSI KHUSUS ). Fungsi Konstan ). Fungsi Identitas 3). Fungsi Modulus 4). Fungsi Genap dan Fungsi Ganjil Fungsi genap jika f(x) = f(x), dan Fungsi ganjil jika f(x) = f(x) 5). Fungsi Tangga dan

Lebih terperinci

SISTEM BILANGAN REAL

SISTEM BILANGAN REAL DAFTAR ISI 1 SISTEM BILANGAN REAL 1 1.1 Sifat Aljabar Bilangan Real..................... 1 1.2 Sifat Urutan Bilangan Real..................... 6 1.3 Nilai Mutlak dan Jarak Pada Bilangan Real............

Lebih terperinci

TEORI HIMPUNAN. Bahan Ajar - PS S1 Matematika - FMIPA UGM. Sri Wahyuni. Tahun Laboratorium ALJABAR, Jurusan MATEMATIKA, FMIPA UGM

TEORI HIMPUNAN. Bahan Ajar - PS S1 Matematika - FMIPA UGM. Sri Wahyuni. Tahun Laboratorium ALJABAR, Jurusan MATEMATIKA, FMIPA UGM TEORI HIMPUNAN Bahan Ajar - PS S1 Matematika - FMIPA UGM Sri Wahyuni Laboratorium ALJABAR, Jurusan MATEMATIKA, FMIPA UGM Tahun 2014 Silabus Teori Himpunan Ekuipoteni Dua Himpunan, Himpunan Denumerabel

Lebih terperinci

FUNGSI DAN GRAFIKNYA KULIAH-4. Hadi Hermansyah,S.Si., M.Si. Politeknik Negeri Balikpapan PERTIDAKSAMAAN

FUNGSI DAN GRAFIKNYA KULIAH-4. Hadi Hermansyah,S.Si., M.Si. Politeknik Negeri Balikpapan PERTIDAKSAMAAN KULIAH-4 Modul Pembelajaran Matematika Kelas X semester 1 Modul Pembelajaran Matematika Kelas X semester 1 FUNGSI DAN GRAFIKNYA PERTIDAKSAMAAN Hadi Hermansyah,S.Si., M.Si. Politeknik Negeri Balikpapan

Lebih terperinci

BAB 3 FUNGSI. 1. Pengertian Fungsi. dengan satu dan hanya satu elemen B; f disebut fungsi dari A ke B, ditulis f : A

BAB 3 FUNGSI. 1. Pengertian Fungsi. dengan satu dan hanya satu elemen B; f disebut fungsi dari A ke B, ditulis f : A BAB 3 FUNGSI 1. Pengertian Fungsi Fungsi f adalah suatu aturan padanan yang menghubungkan tiap objek x dalam satu himpunan, yang disebut daerah asal, dengan sebuah nilai unik f(x) dari himpunan kedua.

Lebih terperinci

Teori Himpunan. Modul 1 PENDAHULUAN

Teori Himpunan. Modul 1 PENDAHULUAN Modul 1 Teori Himpunan Drs. Sukirman, M.Pd. M PENDAHULUAN odul ini memuat pembahasan teori himpunan dan himpunan bilangan bulat. Teori himpunan memuat notasi himpunan, relasi dan operasi dua himpunan atau

Lebih terperinci

Komposisi fungsi dan invers fungsi. Syarat agar suatu fungsi mempunyai invers. Grafik fungsi invers

Komposisi fungsi dan invers fungsi. Syarat agar suatu fungsi mempunyai invers. Grafik fungsi invers Komposisi fungsi dan invers fungsi mempelajari Fungsi komposisi menentukan Fungsi invers terdiri dari Syarat dan aturan fungsi yang dapat dikomposisikan Nilai fungsi komposisi dan pembentuknya Syarat agar

Lebih terperinci

FUNGSI MATEMATIKA SISTEM INFORMASI 1

FUNGSI MATEMATIKA SISTEM INFORMASI 1 FUNGSI MATEMATIKA SISTEM INFORMASI 1 PENGERTIAN FUNGSI A disebut daerah asal (domain) dari f dan B disebut daerah hasil (Kodomain) dari f. Nama lain untuk fungsi adalah pemetaan atau transformasi. A Fungsi

Lebih terperinci

Himpunan, Dan Fungsi. Ira Prasetyaningrum,M.T

Himpunan, Dan Fungsi. Ira Prasetyaningrum,M.T Himpunan, Dan Fungsi Ira Prasetyaningrum,M.T Materi Matematika 1 Himpunan dan fungsi Matrik Limit dan kekontinuan Differensial Trigonometri Integral Bilangan Komplek Peraturan Di Kelas Mahasiswa Maksimal

Lebih terperinci

1 SISTEM BILANGAN REAL

1 SISTEM BILANGAN REAL 1 SISTEM BILANGAN REAL Bilangan real sudah dikenal dengan baik sejak masih di sekolah menengah, bahkan sejak dari sekolah dasar. Namun untuk memulai mempelajari materi pada BAB ini anggaplah diri kita

Lebih terperinci

Teori Himpunan Ole l h h : H anu n n u g n N. P r P asetyo

Teori Himpunan Ole l h h : H anu n n u g n N. P r P asetyo Teori Himpunan Oleh : Hanung N. Prasetyo Meski sekilas berbeda, akan kita lihat bahwa logika matematika dan teori himpunan berhubungan sangat erat. Matematika Diskrit Kuliah-2 2 Definisi: himpunan (set)

Lebih terperinci

FUNGSI KOMPOSISI DAN FUNGSI INVERS

FUNGSI KOMPOSISI DAN FUNGSI INVERS FUNGSI KOMPOSISI DAN FUNGSI INVERS Jika A dan B adalah dua himpunan yang tidak kosong, fungsi f dari A ke B; f : A B atau A f B adalah cara pengawanan anggota A dengan anggota B yang memenuhi aturan setiap

Lebih terperinci

MATEMATIKA DISKRIT BAB 2 RELASI

MATEMATIKA DISKRIT BAB 2 RELASI BAB 2 RELASI Kalau kita mempunyai himpunan A ={Edi, Tini, Ali, Diah} dan himpunan B = {Jakarta, Bandung, Surabaya}, kemudian misalnya Edi bertempat tinggal di Bandung, Tini di Surabaya, Ali di Jakarta,

Lebih terperinci

Uraian Singkat Himpunan

Uraian Singkat Himpunan Uraian Singkat Himpunan Yus Mochamad Cholily Jurusan Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah Malang email:ymcholily@gmail.com March 3, 2014 1 Daftar Isi 1 Tujuan 3 2 Notasi Himpunan 3 3 Operasi

Lebih terperinci

Himpunan dan Sistem Bilangan Real

Himpunan dan Sistem Bilangan Real Modul 1 Himpunan dan Sistem Bilangan Real Drs. Sardjono, S.U. PENDAHULUAN M odul himpunan ini berisi pembahasan tentang himpunan dan himpunan bagian, operasi-operasi dasar himpunan dan sistem bilangan

Lebih terperinci

UNIVERSITAS GADJAH MADA. Bahan Ajar:

UNIVERSITAS GADJAH MADA. Bahan Ajar: UNIVERSITAS GADJAH MADA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM JURUSAN MATEMATIKA PROGRAM STUDI S1 MATEMATIKA Sekip Utara, Gedung Jurusan Matematika, Yogyakarta - 55281 Bahan Ajar: BAB POKOK BAHASAN

Lebih terperinci

BAB I HIMPUNAN. Contoh: Himpunan A memiliki 5 anggota, yaitu 2,4,6,8 dan 10. Maka, himpunan A dapat dituliskan: A = {2,4,6,8,10}

BAB I HIMPUNAN. Contoh: Himpunan A memiliki 5 anggota, yaitu 2,4,6,8 dan 10. Maka, himpunan A dapat dituliskan: A = {2,4,6,8,10} BAB I HIMPUNAN 1 1. Definisi Himpunan Definisi 1 Himpunan (set) adalah kumpulan dari objek yang berbeda. Masing masing objek dalam suatu himpunan disebut elemen atau anggota dari himpunan. Tidak ada spesifikasi

Lebih terperinci

Catatan Kuliah MA1123 Kalkulus Elementer I

Catatan Kuliah MA1123 Kalkulus Elementer I Catatan Kuliah MA1123 Kalkulus Elementer I Oleh Hendra Gunawan, Ph.D. Departemen Matematika ITB Sasaran Belajar Setelah mempelajari materi Kalkulus Elementer I, mahasiswa diharapkan memiliki (terutama):

Lebih terperinci

Himpunan. Definisi. Himpunan (set) adalah kumpulan objek-objek yang berbeda. Objek di dalam himpunan disebut elemen, unsur, atau anggota.

Himpunan. Definisi. Himpunan (set) adalah kumpulan objek-objek yang berbeda. Objek di dalam himpunan disebut elemen, unsur, atau anggota. Himpunan Bahan kuliah Matematika Diskrit 1 Definisi Himpunan (set) adalah kumpulan objek-objek yang berbeda. Objek di dalam himpunan disebut elemen, unsur, atau anggota. HMIF adalah contoh sebuah himpunan,

Lebih terperinci

Matematika Diskrit 1

Matematika Diskrit 1 Dr. Ahmad Sabri Universitas Gunadarma Pendahuluan Apakah Matematika Diskrit itu? Matematika diskrit adalah kajian terhadap objek/struktur matematis, di mana objek-objek tersebut diasosiasikan sebagai nilai-nilai

Lebih terperinci

Pengantar Matematika Diskrit

Pengantar Matematika Diskrit Pengantar Matematika Diskrit Referensi : Rinaldi Munir, Matematika Diskrit, Informatika Bandung 2005 1 Matematika Diskrit? Bagian matematika yang mengkaji objek-objek diskrit Benda disebut diskrit jika

Lebih terperinci

BAB I PEMBAHASAN A. HIMPUNAN DAN SUB HIMPUNAN. 1. PENGERTIAN HIMPUNAN Marilah kita perhatikan firman Allah swt dalam al qur an surat al-nur ayat 45.

BAB I PEMBAHASAN A. HIMPUNAN DAN SUB HIMPUNAN. 1. PENGERTIAN HIMPUNAN Marilah kita perhatikan firman Allah swt dalam al qur an surat al-nur ayat 45. BAB I PEMBAHASAN A. HIMPUNAN DAN SUB HIMPUNAN 1. PENGERTIAN HIMPUNAN Marilah kita perhatikan firman Allah swt dalam al qur an surat al-nur ayat 45. Artinya : dan Allah telah menciptakan semua jenis hewan

Lebih terperinci

RELASI SMTS 1101 / 3SKS

RELASI SMTS 1101 / 3SKS RELASI SMTS 0 / 3SKS LOGIKA MATEMATIKA Disusun Oleh : Dra. Noeryanti, M.Si 6 DAFTAR ISI Cover pokok bahasan... 6 Daftar isi... 7 Judul Pokok Bahasan... 8 5.. Pengantar... 8 5.2. Kompetensi... 8 5.3. Uraian

Lebih terperinci

Mata Pelajaran Wajib. Disusun Oleh: Ngapiningsih

Mata Pelajaran Wajib. Disusun Oleh: Ngapiningsih Mata Pelajaran Wajib Disusun Oleh: Ngapiningsih Disklaimer Daftar isi Disklaimer Powerpoint pembelajaran ini dibuat sebagai alternatif guna membantu Bapak/Ibu Guru melaksanakan pembelajaran. Materi powerpoint

Lebih terperinci

Fungsi, Persamaaan, Pertidaksamaan

Fungsi, Persamaaan, Pertidaksamaan Fungsi, Persamaaan, Pertidaksamaan Disampaikan pada Diklat Instruktur/Pengembang Matematika SMA Jenjang Dasar Tanggal 6 s.d. 9 Agustus 004 di PPPG Matematika Oleh: Drs. Markaban, M.Si. Widyaiswara PPPG

Lebih terperinci

ALJABAR ABSTRAK ( TEORI GRUP DAN TEORI RING ) Dr. Adi Setiawan, M. Sc

ALJABAR ABSTRAK ( TEORI GRUP DAN TEORI RING ) Dr. Adi Setiawan, M. Sc ALJABAR ABSTRAK ( TEORI GRUP DAN TEORI RING ) Dr. Adi Setiawan, M. Sc PROGRAM STUDI MATEMATIKA FAKULTAS SAINS DAN MATEMATIKA UNIVERSITAS KRISTEN SATYA WACANA SALATIGA 2011 0 KATA PENGANTAR Aljabar abstrak

Lebih terperinci

MBS - DTA. Sucipto UNTUK KALANGAN SENDIRI. SMK Muhammadiyah 3 Singosari

MBS - DTA. Sucipto UNTUK KALANGAN SENDIRI. SMK Muhammadiyah 3 Singosari MBS - DTA Sucipto UNTUK KALANGAN SENDIRI SMK Muhammadiyah Singosari SERI : MBS-DTA FUNGSI STANDAR KOMPETENSI Siswa mampu memecahkan masalah yang berkaitan dengan fungsi, persamaan fungsi linear dan fungsi

Lebih terperinci

KALKULUS BAB II FUNGSI, LIMIT, DAN KEKONTINUAN. DEPARTEMEN TEKNIK KIMIA Universitas Indonesia

KALKULUS BAB II FUNGSI, LIMIT, DAN KEKONTINUAN. DEPARTEMEN TEKNIK KIMIA Universitas Indonesia KALKULUS BAB II FUNGSI, LIMIT, DAN KEKONTINUAN DEPARTEMEN TEKNIK KIMIA Universitas Indonesia BAB II. FUNGSI, LIMIT, DAN KEKONTINUAN Fungsi dan Operasi pada Fungsi Beberapa Fungsi Khusus Limit dan Limit

Lebih terperinci

UMPky. Matematika Dasar. Bahan Ajar. Haryadi. NIDN Universitas Muhammadiyah Palangkaraya

UMPky. Matematika Dasar. Bahan Ajar. Haryadi. NIDN Universitas Muhammadiyah Palangkaraya Bahan Ajar Matematika Dasar Haryadi NIDN 0003116401 Universitas Muhammadiyah Palangkaraya 2013 2 Daftar Isi 1 Aljabar Pernyataan 7 1.1 Pernyataan.............................. 7 1.2 Proposisi...............................

Lebih terperinci

BAB V RELASI DAN FUNGSI

BAB V RELASI DAN FUNGSI BAB V RELASI DAN FUNGSI 6.1 Pendahuluan Relasi atau hubungan antara himpunan merupakan suatu aturan pengawasan antar himpunan tersebut, sebagai contohnya kalimat adalah ayah b atau kalimat 4 habis diabgi

Lebih terperinci

SEKILAS TENTANG KONSEP. dengan grup faktor, dan masih banyak lagi. Oleh karenanya sebelum

SEKILAS TENTANG KONSEP. dengan grup faktor, dan masih banyak lagi. Oleh karenanya sebelum Bab I. Sekilas Tentang Konsep Dasar Grup antonius cp 2 1. Tertutup, yakni jika diambil sebarang dua elemen dalam G maka hasil operasinya juga akan merupakan elemen G dan hasil tersebut adalah tunggal.

Lebih terperinci

1. Ubahlah pernyataan ke dalam berikut ke dalam bentuk Jika p maka q.

1. Ubahlah pernyataan ke dalam berikut ke dalam bentuk Jika p maka q. Diskusi Kelompok (I) Waktu: 100 menit Selasa, 23 September 2008 Pengajar: Hilda Assiyatun, Djoko Suprijanto 1. Ubahlah pernyataan ke dalam berikut ke dalam bentuk Jika p maka q. (a) Mahasiswa perlu membawakan

Lebih terperinci

SELEKSI TINGKAT PROPINSI MATEMATIKA SMA/MA

SELEKSI TINGKAT PROPINSI MATEMATIKA SMA/MA SELEKSI TINGKAT PROPINSI CALON PESERTA OLIMPIADE SAINS NASIONAL 2015 MATEMATIKA SMA/MA PETUNJUK UNTUK PESERTA: 1. Tes terdiri dari dua bagian. Tes bagian pertama terdiri dari 20 soal isian singkat dan

Lebih terperinci

PENGANTAR ANALISIS FUNGSIONAL

PENGANTAR ANALISIS FUNGSIONAL PENGANTAR ANALISIS FUNGSIONAL SUMANANG MUHTAR GOZALI KBK ANALISIS UNIVERSITAS PENDIDIKAN INDONESIA BANDUNG 2010 2 KATA PENGANTAR Bismillahirrahmanirrahim Segala puji bagi Allah Rabb semesta alam. Shalawat

Lebih terperinci

Relasi dan Fungsi. Bab. Di unduh dari : Bukupaket.com. Relasi Fungsi Daerah asal (domain) Daerah kawan (kodomain) Daerah hasil (range)

Relasi dan Fungsi. Bab. Di unduh dari : Bukupaket.com. Relasi Fungsi Daerah asal (domain) Daerah kawan (kodomain) Daerah hasil (range) Bab Relasi dan Fungsi A. KOMPETENSI DASAR DAN PENGALAMAN BELAJAR Kompetensi Dasar Setelah mengikuti pembelajaran ini siswa mampu: 1. Memiliki motivasi internal, kemampuan bekerjasama, konsisten, sikap

Lebih terperinci

BAB III HIMPUNAN. 2) Mahasiswa dapat menyebutkan relasi antara dua himpunan. 3) Mahasiswa dapat menentukan hasil operasi dari dua himpunan

BAB III HIMPUNAN. 2) Mahasiswa dapat menyebutkan relasi antara dua himpunan. 3) Mahasiswa dapat menentukan hasil operasi dari dua himpunan BAB III HIMPUNAN Tujuan Instruksional Umum Mahasiswa memahami pengertian himpunan, relasi antara himpunan, operasi himpunan, aljabar himpunan, pergandaan himpunan, serta himpunan kuasa. Tujuan Instruksional

Lebih terperinci

Bahan kuliah IF2120 Matematika Diskrit. Himpunan. Oleh: Rinaldi Munir. Program Studi Teknik Informatika STEI - ITB 1

Bahan kuliah IF2120 Matematika Diskrit. Himpunan. Oleh: Rinaldi Munir. Program Studi Teknik Informatika STEI - ITB 1 Bahan kuliah IF2120 Matematika Diskrit Himpunan Oleh: Rinaldi Munir Program Studi Teknik Informatika STEI - ITB 1 Definisi Himpunan (set) adalah kumpulan objek-objek yang berbeda. Objek di dalam himpunan

Lebih terperinci

OPERASI BINER. Yus Mochamad Cholily Program Studi Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah Malang

OPERASI BINER. Yus Mochamad Cholily Program Studi Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah Malang OPERASI BINER Yus Mochamad Cholily Program Studi Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah Malang email:ymcholily@gmail.com March 4, 2013 1 Daftar Isi 1 Tujuan 3 2 Relasi 3 3 Fungsi 4 4 Operasi Biner

Lebih terperinci

MODUL 1. A. Himpunan 1. Pengertian Himpunan Himpunan adalah kumpulan objek-objek yang berlainan yang memenuhi suatu syarat keanggotaan tertentu.

MODUL 1. A. Himpunan 1. Pengertian Himpunan Himpunan adalah kumpulan objek-objek yang berlainan yang memenuhi suatu syarat keanggotaan tertentu. MODUL 1 A. Himpunan 1. Pengertian Himpunan Himpunan adalah kumpulan objek-objek yang berlainan yang memenuhi suatu syarat keanggotaan tertentu. 2. Penyajian Himpunan Suatu himpunan dapat disajikan dengan

Lebih terperinci

Materi Kuliah Matematika Komputasi FUNGSI

Materi Kuliah Matematika Komputasi FUNGSI Materi Kuliah Matematika Komputasi FUNGSI Misalkan A dan B himpunan. FUNGSI Relasi biner f dari A ke B merupakan suatu fungsi jika setiap elemen di dalam A dihubungkan dengan tepat satu elemen di dalam

Lebih terperinci

Bahan kuliah Matematika Diskrit. Himpunan. Oleh: Didin Astriani P, M.Stat. Fakultas Ilkmu Komputer Universitas Indo Global Mandiri

Bahan kuliah Matematika Diskrit. Himpunan. Oleh: Didin Astriani P, M.Stat. Fakultas Ilkmu Komputer Universitas Indo Global Mandiri Bahan kuliah Matematika Diskrit Himpunan Oleh: Didin Astriani P, M.Stat Fakultas Ilkmu Komputer Universitas Indo Global Mandiri 1 Definisi Himpunan (set) adalah kumpulan objek-objek yang berbeda. Objek

Lebih terperinci

BAB MATRIKS. Tujuan Pembelajaran. Pengantar

BAB MATRIKS. Tujuan Pembelajaran. Pengantar BAB II MATRIKS Tujuan Pembelajaran Setelah mempelajari materi bab ini, Anda diharapkan dapat: 1. menggunakan sifat-sifat dan operasi matriks untuk menunjukkan bahwa suatu matriks persegi merupakan invers

Lebih terperinci

Aljabar Linier Lanjut. Kuliah 1

Aljabar Linier Lanjut. Kuliah 1 Aljabar Linier Lanjut Kuliah 1 Materi Kuliah (Review) Multiset Matriks Polinomial Relasi Ekivalensi Kardinal Aritmatika 23/8/2014 Yanita, FMIPA Matematika Unand 2 Multiset Definisi Misalkan S himpunan

Lebih terperinci

II. TINJAUAN PUSTAKA. Pengkajian pertama, diulas tentang definisi grup yang merupakan bentuk dasar

II. TINJAUAN PUSTAKA. Pengkajian pertama, diulas tentang definisi grup yang merupakan bentuk dasar II. TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Grup Pengkajian pertama, diulas tentang definisi grup yang merupakan bentuk dasar dari suatu ring dan modul. Definisi 2.1.1 Diberikan himpunan dan operasi biner disebut grup yang

Lebih terperinci

BAB III HIMPUNAN. 2) Mahasiswa dapat menyebutkan relasi antara dua himpunan. 3) Mahasiswa dapat menentukan hasil operasi dari dua himpunan

BAB III HIMPUNAN. 2) Mahasiswa dapat menyebutkan relasi antara dua himpunan. 3) Mahasiswa dapat menentukan hasil operasi dari dua himpunan BAB III HIMPUNAN Tujuan Instruksional Umum Mahasiswa memahami pengertian himpunan, relasi antara himpunan, operasi himpunan, aljabar himpunan, pergandaan himpunan, serta himpunan kuasa. Tujuan Instruksional

Lebih terperinci

Kode MK/ Nama MK. Cakupan 8/29/2014. Himpunan, Relasi dan fungsi Kombinatorial. Teori graf. Pohon (Tree) dan pewarnaan graf. Matematika Diskrit

Kode MK/ Nama MK. Cakupan 8/29/2014. Himpunan, Relasi dan fungsi Kombinatorial. Teori graf. Pohon (Tree) dan pewarnaan graf. Matematika Diskrit 8/29/24 Kode MK/ Nama MK Matematika Diskrit 8/29/24 Cakupan Himpunan, Relasi dan fungsi Kombinatorial Teori graf Pohon (Tree) dan pewarnaan graf 2 8/29/24 8/29/24 Relasi dan Fungsi Tujuan Mahasiswa memahami

Lebih terperinci

fungsi Dan Grafik fungsi

fungsi Dan Grafik fungsi fungsi Dan Grafik fungsi Suatu fungsi adalah pemadanan dua himpunan tidak kosong dengan pasangan terurut (x, y) dimana tidak terdapat elemen kedua yang berbeda. Fungsi (pemetaan) himpunan A ke himpunan

Lebih terperinci

Matematika Diskret. Mahmud Imrona Rian Febrian Umbara RELASI. Pemodelan dan Simulasi

Matematika Diskret. Mahmud Imrona Rian Febrian Umbara RELASI. Pemodelan dan Simulasi Matematika Diskret Mahmud Imrona Rian Febrian Umbara Pemodelan dan Simulasi RELASI 1 9/26/2017 Hasil Kali Kartesian Hasil kali kartesian antara himpunan A dan himpunan B, ditulis AxB adalah semua pasangan

Lebih terperinci

Struktur Aljabar I. Pada bab ini disajikan tentang pengertian. grup, sifat-sifat dasar grup, ordo grup dan elemennya, dan konsep

Struktur Aljabar I. Pada bab ini disajikan tentang pengertian. grup, sifat-sifat dasar grup, ordo grup dan elemennya, dan konsep GRUP Bab ini merupakan awal dari bagian pertama materi utama perkuliahan Struktur Aljabar I. Pada bab ini disajikan tentang pengertian grup, sifat-sifat dasar grup, ordo grup dan elemennya, dan konsep

Lebih terperinci

HAND OUT ANALISIS REAL 1 (MT403) KOSIM RUKMANA

HAND OUT ANALISIS REAL 1 (MT403) KOSIM RUKMANA HAND OUT ANALISIS REAL 1 (MT403) KOSIM RUKMANA JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS PENDIDIKAN MATEMATIKA DAN IPA UNIVERSITAS PENDIDIKAN INDONESIA 2008 1 Identitas Mata Kuliah 1. Nama Mata Kuliah : Analisis

Lebih terperinci

1 SISTEM BILANGAN REAL

1 SISTEM BILANGAN REAL Bilangan real sudah dikenal dengan baik sejak masih di sekolah menengah, bahkan sejak dari sekolah dasar. Namun untuk memulai mempelajari materi pada BAB ini anggaplah diri kita belum tahu apa-apa tentang

Lebih terperinci

BAB 2 RELASI. 1. Produk Cartesian

BAB 2 RELASI. 1. Produk Cartesian BAB 2 RELASI 1. Produk Cartesian Notasi-notasi yang digunakan dari produk cartesian : (a, b) pasangan terurut dari elemen a dan b; (a 1, a 2,, a n ) n-tuple dari elemen-elemen a 1,, a n ; A x B = {(a,

Lebih terperinci

BAB 2. FUNGSI. Program Studi Teknik Mesin Fakultas Teknik Universitas Muhammadiyah Jember. 15th March 2017

BAB 2. FUNGSI. Program Studi Teknik Mesin Fakultas Teknik Universitas Muhammadiyah Jember. 15th March 2017 BAB 2. FUNGSI Program Studi Teknik Mesin Fakultas Teknik Universitas Muhammadiyah Jember 15th March 2017 Ilham Saifudin (TM) BAB 2. FUNGSI 15th March 2017 1 / 24 Outline 1 Fungsi Definisi Fungsi Fungsi

Lebih terperinci

HIMPUNAN. Arum Handini Primandari, M.Sc Ayundyah Kesumawati, M.Si

HIMPUNAN. Arum Handini Primandari, M.Sc Ayundyah Kesumawati, M.Si HIMPUNAN Arum Handini Primandari, M.Sc Ayundyah Kesumawati, M.Si 1. Himpunan kosong & semesta 2. Himpunan berhingga & tak berhingga Jenis-jenis himpunan 3. Himpunan bagian (subset) 4. Himpunan saling lepas

Lebih terperinci

Induksi Matematika. Metode pembuktian untuk pernyataan perihal bilangan bulat adalah induksi matematik.

Induksi Matematika. Metode pembuktian untuk pernyataan perihal bilangan bulat adalah induksi matematik. Induksi Matematika Metode pembuktian untuk pernyataan perihal bilangan bulat adalah induksi matematik. Misalkan p(n) adalah pernyataan yang menyatakan: Jumlah bilangan bulat positif dari 1 sampai n adalah

Lebih terperinci

RPKPS MATA KULIAH PROGRAM STUDI MATEMATIKA JURUSAN MATEMATIKA FMIPA UGM

RPKPS MATA KULIAH PROGRAM STUDI MATEMATIKA JURUSAN MATEMATIKA FMIPA UGM RPKPS MATA KULIAH PROGRAM STUDI MATEMATIKA JURUSAN MATEMATIKA FMIPA UGM 1 Judul, Kode, SKS Pengantar Logika Matematika Dan Himpunan, MMM 1201, 3 SKS 2 Silabus Semesta Pembicaraan, Kalimat Deklaratif, Ingkaran

Lebih terperinci

ANALISIS REAL. (Semester I Tahun ) Hendra Gunawan

ANALISIS REAL. (Semester I Tahun ) Hendra Gunawan (Semester I Tahun 2011-2012) Analysis and Geometry Group, FMIPA-ITB E-mail: hgunawan@math.itb.ac.id. http://personal.fmipa.itb.ac.id/hgunawan August 8, 2011 Di sekolah menengah telah dipelajari apa yang

Lebih terperinci

: SRI ESTI TRISNO SAMI

: SRI ESTI TRISNO SAMI MATEMATIKA DISKRIT By : SRI ESTI TRISNO SAMI 082334051324 Bahan Bacaan / Refferensi : 1. Seymour Lipschutz dan Marc Lars Lipson, Matematika Diskkrit Shcaum s Outline Series, Mc Graw-Hill Book Company,

Lebih terperinci