SISTEM PERSAMAAN LINEAR ( BAGIAN II )
|
|
- Vera Indradjaja
- 6 tahun lalu
- Tontonan:
Transkripsi
1 SISTEM PERSAMAAN LINEAR ( BAGIAN II ) D. FAKTORISASI MATRIKS D2 2. METODE ITERASI UNTUK MENYELESAIKAN SPL D3 3. NILAI EIGEN DAN VEKTOR EIGEN D4 4. POWER METHOD Beserta contoh soal untuk setiap subbab
2 2 FAKTORISASI LU FAKTORISASI DOLITTLE L D U D D FAKTORISASI CROUT L C U C FAKTORISASI LDL T FAKTORISASI CHOLESKY L C C T L
3 3 Suatu masalah yang sering dihadapi di dalam menyelesaikan SPL Ax = b adalah perlunya mendapatkan beberapa penyelesaian untuk berbagai vektor b, sedangkan matriks A tetap. Penggunaan metode eliminasi Gauss mengharuskan penyelesaian setiap SPL Ax = b secara terpisah untuk setiap vektor b, dengan menggunakan operasi aritmetika yang pada prinsipnya sama sampai dilakukannya proses substitusi mundur (backward substitusion). Sumber : //staff.uny.ac.id/sites/default/files/393036/komputasinumerikbab2.pdf
4 4 Suatu proses yang dikenal sebagai faktorisasi LU menangani permasalahan ini dengan hanya berkonsentrasi pada matriks koefisien A. Metode Faktorisasi LU bermanfaat untuk komputer digital dan merupakan basis untuk banyak pemrograman komputer praktis. Sumber : //staff.uny.ac.id/sites/default/files/393036/komputasinumerikbab2.pdf
5 5 Penyelesaian Ax = b dengan faktorisasi LU. Bentuklah matriks L dan U dari A 2. Pecahkan Ly = b, lalu hitung y dengan teknik substitusi maju 3. Pecahkan Ux = y, lalu hitung x dengan teknik substitusi mundur Hanya berlaku untuk Faktorisasi LU, Dolittle, dan Crout Sumber : R.Munir 2003
6 6 FAKTORISASI LU Definisikan persamaan matriks Ax = b, A M n n dengan matriks A dapat difaktorkan dalam bentuk A = LU dimana: a a 2 a 3 a n a 2 a 22 a 32 a n2 a 3 a 23 a 33 a n3 a n a 2n a 3n a nn = l 2 l 3 l n 0 l 32 l n2 0 0 l n u u 2 u u 3 u 23 u 33 0 u n u 2n u 3n u nn
7 7 Contoh soal Faktorkan matriks A berikut A = b = Sumber : //staff.uny.ac.id/sites/default/files/393036/komputasinumerikbab2.pdf.page 82.
8 8 Penyelesaian faktor pengali m 2 A = R 2 2 R ~ R 3 2 R = A faktor pengali m M = 2 0 Bukti : 2 0 M A = A
9 9 elemen pivotnya faktor pengali m 32 A = R R 2 ~ = A 2 M 2 = Bukti : M 2 A = A 2
10 0 M A = A M 2 A = A 2 Bentuk Umum : M 2 M A = A 2 L = M M 2 M n A = M M 2 A 2 U = A n L U
11 M M 2 A 2 = = L U A
12 2 Ly = b y y 2 y 3 = y = 6, y 2 = 3, y 3 = 3. Ux = y x x 2 x 3 = x = 4, x 2 = 3 2, x 3 = 4 Jadi, solusi SPLnya adalah T x = 4, 3 2, 4
13 3 FAKTORISASI DOLITTLE Tinjau matriks 3 3 berikut : A = a a 2 a 3 a 2 a 22 a 23 L D = a 3 a 32 a l 2 0 l 3 l 32 U D = u u 2 u 0 u 22 u u 33 hasil perkalian L dan U dapat ditulis u u 2 u 3 L D U D = l 2 u l 2 u 2 + u 22 l 2 u 3 + u 23 l 3 u 3 l 3 u 2 + l 32 u 22 l 3 u 3 + l 32 u 23 + u 33 = a a 2 a 3 a 2 a 22 a 23 = A a 3 a 32 a 33 Sumber : R.Munir 2003
14 4 Dari kesamaan dua buah matriks LU = A, diperoleh u = a, u 2 = a 2, u 3 = a 3 Baris Pertama U l 2 u = a 2 l 2 = a 2 u l 3 u = a 3 l 3 = a 3 u Kolom Pertama L l 2 u 2 + u 22 = a 22 u 22 = a 22 l 2 u 2 l 2 u 3 + u 23 = a 23 u 23 = a 23 l 2 u 3 Baris Kedua U l 3 u 2 + l 32 u 22 = a 32 l 32 = a 32 l 3 u 2 u 22 Kolom Kedua L l 3 u 3 + l 32 u 23 + u 33 = a 33 u 33 = a 33 (l 3 u 3 + l 32 u 23 ) Baris Ketiga U Sumber : R.Munir 2003
15 5 Contoh soal Selesaikan dengan faktorisasi LU SPL berikut : 2x + 4x 2 2x 3 = 6 x x 2 + 5x 3 = 0 4x + x 2 2x 3 = 2 Dalam hal ini L dan U dihitung dengan faktorisasi Dollitle.
16 6 Penyelesaian : A = b = Diperoleh : u = a = 2 u 2 = a 2 = 4 u 3 = a 3 = 2 u 22 = a 22 l 2 u 2 = 2 u 23 = a 23 l 2 u 3 = = 3 2 = 6 l 2 = a 2 u = 2 l 3 = a 3 u = 4 2 = 2 l 32 = a 32 l 3 u 2 = 2(4) u 22 3 u 33 = a 33 l 3 u 3 + l 32 u 23 = 7 3 = = 2
17 7 Diperoleh L D dan U D sebagai berikut, L D = U D = dan b = Berturut-turut dihitung y dan x : y = 6, y 2 = 3, y 3 = 3 x = 4, x 2 = 3 2, x 3 = 4 Jadi, solusi SPL di atas adalah T x = 4, 3 2, 4
18 8 FAKTORISASI CROUT Faktorisasi Crout menghasilkan A = LU, dengan L = L D D dan U = D U D, A = L D U D adalah hasil faktorisasi Dolittle dan D matriks diagonal dari U D Sumber : //staff.uny.ac.id/site s/default/files/ /Komputas inumerikbab2.pdf. page 87. D = L D = UD = D =
19 9 L C = L D D = = U C = D U D = = Bukti L C U C = = = = A lakukan hal yang sama untuk menghasilkan y dan x seperti sebelumnya untuk menghasilkan x =, 3, T
20 20 FAKTORISASI LDL T Syarat: A harus matriks simetrik yaitu a ij = a ji LU = A = A T = LU T LU = U T L T U = L U T L T U L T = L U T D = L U T LD = U T LD T = U D T L T = U DL T = U Sehingga LDL T = LU = A Sumber : W. Cheney, D. Kincaid. 2008
21 2 Contoh soal Tentukan Faktorisasi LDL T dari matriks berikut A = Sumber : W. Cheney, D. Kincaid. 2008
22 22 Penyelesaian : A = LU = D = L U T = LDL T = = A
23 23 FAKTORISASI CHOLESKY Syarat : A simetrik definit positif (semua diagonal utama (+) ). Sehingga D 2 dapat diperoleh. A = LDL T = LD 2 D 2 T L T = L CH CH T L Sumber : W. Cheney, D. Kincaid. 2008
24 24 Contoh soal Tentukan Faktorisasi CHOLESKY dari matriks berikut A = Sumber : W. Cheney, D. Kincaid. 2008
25 25 Penyelesaian : L CH = LD 2 L CH L CH T = A
26 26 SOLUSI ITERATIF DARI PERSAMAAN LINEAR ILL CONDITION BILANGAN KONDISI MATRIKS D2 METODE ITERATIF DASAR ITERASI JACOBI ITERASI GAUSS SEIDEL SUCCESIVE OVER-RELAXATION (SOR)
27 27 ILL CONDITION. Matriks A dikatakan berkondisi buruk ( ill condition ) jika terdapat sebuah vektor kolom b sehingga untuk perubahan kecil A atau b akan menghasilkan perubahan besar pada solusi x = A b. 2. Sistem Ax = b dikatakan berkondisi buruk bila A berkondisi buruk. 3. Apabila sistem Ax = b berkondisi buruk, hasil perhitungannya mempunyai galat yang besar. Sumber : R.Munir 2003
28 28 Contoh soal Tinjau SPL berikut : x + 2x 2 = 0. x + 2x 2 = 0. 4 yang memiliki solusi sejati x = 4 dan x 2 = 3. Jika sekarang a 2 =. diubah menjadi. 05, diperoleh x = 8 dan x 2 =. x + 2x 2 = 0. 05x + 2x 2 = 0. 4 Penambahan sebesar ε pada koefisien. dinyatakan sebagai berikut : x + 2x 2 = 0. + ε x + 2x 2 = 0. 4 Sumber : R.Munir 2003
29 29 Yang mempunyai solusi 0. 4 x = 0. + ε ε x 2 = ε Solusi ini memperlihatkan bahwa sistem berkondisi buruk sebab perubahan kecil ε menghasilkan perubahan besar pada solusi SPL. Pada contoh di atas, ε = 0. 05, sehingga 0. 4 x = = x 2 = =
30 30 4. Beberapa ukuran untuk kondisi buruk telah dikemukakan para ahli numerik, antara lain det A sangat kecil dibandingkan dengan nilai maksimum a ij dan b i. 5. Ukuran determinan sukar dikaitkan dengan kondisi buruk. Kesukaran tersebut dapat diatasi bila SPL dinormalkan sedemikian sehingga koefisien terbesar pada tiap baris persamaan sama dengan.
31 3 Contoh soal Tentukan determinan matriks A pada SPL berikut x + 2x 2 = 0. x + 2x 2 = 0. 4 bila : ( i ) SPL tanpa penormalan ( ii ) SPL dinormalkan
32 32 Penyelesaian : ( i ) SPL tanpa penormalan det A = 2. 2 = 0. 2 yang dekat dengan nol, karena itu SPL berkondisi buruk. ( ii ) SPL dinormalkan Penormalan menghasilkan 0. 5x + x 2 = x + x 2 = 5. 2 sehingga, det A = = yang dekat ke nol, karena itu berkondisi buruk.
33 33 Contoh soal Tentukan determinan matriks A pada SPL berikut 3x + 2x 2 = 8 x + 2x 2 = 2 bila ( i ) SPL tanpa penormalan, ( ii ) SPL dinormalkan
34 34 Penyelesaian : ( i ) SPL apa adanya det A = = 8 yang nilainya jauh dari nol, karena itu SPL berkondisi baik. ( ii ) SPL dinormalkan Penormalan menghasilkan x x 2 = x + x 2 = sehingga, det A = =. 333 yang nilainya jauh dari nol, karena itu berkondisi baik.
35 35 Walaupun terdapat beragam cara untuk memeriksa kondisi sistem, akan lebih disukai mendapatkan bilangan tunggal yang dapat berlaku sebagai petunjuk adanya kondisi buruk. Bilangan tersebut dinamakan bilangan kondisi matriks.
36 36 BILANGAN KONDISI MATRIKS Misal SPL Ax = B, bilangan kondisi matriks dinyatakan sebagai : κ A = A A Yang dalam hal ini A adalah norma ( norm ) tak hingga matriks A, yang didefinisikan sebagai : A = A = max i n n j= a ij Sumber : W. Cheney, D. Kincaid. 2008
37 37 Teorema Sistem persamaan linear Ax = b yang bilangan kondisinya kecil menyatakan sistem berkondisi baik. Bilangan kondisi besar menandakan bahwa sistem berkondisi buruk. Jika bilangan kondisi matriks A besar, maka galat relatif solusi SPL juga akan besar. Sebaliknya, jika bilangan kondisinya kecil, galat relatif solusi SPL juga kecil.
38 38 Contoh soal Hitung bilangan kondisi matriks A berikut A =
39 39 Penyelesaian : Tentukan terlebih dahulu matriks balikannya, A = , A = maka dapat dihitung A = = A = = sehingga bilangan kondisi matriks A adalah κ A = = 7595 Jadi, sistem tersebut berkondisi buruk, karena bilangan kondisinya besar.
40 40 Tinjau SPL a x + a 2 x a n x n = b a 2 x + a 22 x a 2n x n = b a n x + a n2 x a nn x n = b n Syarat a kk 0, k =,2, n, maka persamaan iterasinya : x (k) = b a 2 x 2 (k ) an x n (k ) a x 2 (k) = b 2 a 2 x k a 23 x 3 k a 2n x n (k ).. a 22 x n (k) = b n a n x k a n2 x 2 k a nn x n (k ) a nn..
41 4 Iterasi dimulai dengan memberikan tebakan awal untuk x, x 0 = x 0, x 2 0,, x n 0 T Iterasi berhenti jika x i (k) xi (k ) x i (k) < ε i =,2,3,, n
42 42 METODE ITERASI JACOBI Misalkan diberikan tebakan awal x (0) : x 0 = x 0, x 2 0,, x n 0 T Proedur iterasi untuk iterasi pertama, kedua, dan seterusnya adalah sebagai berikut : Sumber : R.Munir 2003
43 43 Iterasi pertama : x () = b a 2 x 2 0 a 3 x 3 0 a n x n (0) a x 2 () = b 2 a 2 x 0 a 23 x 3 0 a 2n x n (0) a 22 x n () = b n a n x 0 a n2 x 2 0 a nn x n (0) a nn Iterasi kedua : x (2) = b a 2 x 2 a 3 x 3 a n x n () a x 2 (2) = b 2 a 2 x a 23 x 3 a 2n x n () a 22 x n (2) = b n a n x a n2 x 2 a nn x n () a nn dst...
44 44 Rumus umum n (k) a ij x i = x k a j + b i ii j= i a ii ( i n) Syarat Kekonvergenan :. a i,i > a i, + + a i,i + + a i,n 2. max x i < Sumber : W. Cheney, D. Kincaid. 2008
45 45 Contoh soal Tentukan banyaknya iterasi dengan menggunakan Iterasi Jacoby A = b = 8 5 Dengan nilai awal x 0, x 2 0, x 3 0 = (0,0,0). (4 angka di belakang koma). Sumber : W. Cheney, D. Kincaid. 2008
46 46 Penyelesaian : Konvergen jika : a i,i > a i, + + a i,i + + a i,n Untuk i = 2 > + 0 Berlaku pula untuk i = 2 dan i = 3.
47 47 Metode iterasi Jacobi. Persamaan iterasinya : x k = 2 x k x k 2 = 3 xk + 3 x k x k 3 = 2 x k Iterasinya : x x 2 x 2 x 0 = 0,0,0 T = , , T =.8333,2.0000,.667 T = , ,.0000 T
48 48 SCILAB PROGRAM : ITERASI JACOBI Program Input + Output Hasil secara analitik : x 2 = , ,.0000 T : x 2 Hasil secara komputasi = , , T
49 49 METODE ITERASI GAUSS SEIDEL Kecepatan konvergen pada iterasi Jacobi dapat dipercepat bila setiap harga x i yang baru dihasilkan segera dipakai pada persamaan berikutnya untuk menentukan harga x i+ yang lainnya. Sumber : R.Munir 2003
50 50 Iterasi pertama : x () = b a 2 x 0 2 a 3 x 0 3 a (0) a 4 x 4 x () 2 = b 2 a 2 x a 23 x 0 3 a 22 (0) a 24 x 4 x () 3 = b 3 a 3 x a 32 x 2 a 33 (0) a 34 x 4 x () 4 = b 4 a 4 x a 42 x 2 a 44 () a 43 x 3
51 5 Iterasi kedua : x (2) = b a 2 x 2 a 3 x 3 a () a 4 x 4 x (2) 2 = b 2 a 2 x 2 a 23 x 3 a 22 () a 24 x 4 x (2) 3 = b 3 a 3 x 2 a 32 x 2 2 a 33 () a 34 x 4 x (2) 4 = b 4 a 4 x 2 a 42 x 2 2 a 44 (2) a 43 x 3 dan seterusnya...
52 52 Rumus umum n (k) a ij x i = x k a j ii j= j<i n j= j>i a ij a ii x j k + b i a ii Sumber : W. Cheney, D. Kincaid. 2008
53 53 Contoh soal Tentukan banyaknya iterasi dengan menggunakan Iterasi Gauss Seidel A = b = 8 5 Dengan nilai awal x 0, x 2 0, x 3 0 = (0,0,0). (4 angka di belakang koma). Sumber : W. Cheney, D. Kincaid. 2008
54 54 Penyelesaian : Metode iterasi Gauss Seidel. Persamaan iterasinya : x k = 2 x k x k 2 = xk + x k x k 3 = x k Iterasinya : x 0 = 0,0,0 T x = , ,.0833 T x 2 =.967,2.9444,.0278 T x 9 = , ,.0000 T
55 55 SCILAB PROGRAM : ITERASI GAUSS SEIDEL Program Input + Output Hasil secara analitik : x 9 = , ,.0000 T : x 9 Hasil secara komputasi = , , T
56 56 Succesive Over-Relaxation (SOR) Formula SOR :
57 57 Contoh soal Tentukan banyaknya iterasi dengan menggunakan iterasi SOR A = b = 8 5 Dengan nilai awal x 0, x 2 0, x 3 0 = (0,0,0). (4 angka di belakang koma).
58 58 Penyelesaian : Masukkan kedalam formula : dengan Banyaknya iterasi :
59 59 Iterasi jacobi : Iterasi Gauss Seidel : SOR :
60 60 3. NILAI EIGEN DAN VEKTOR EIGEN D3 SIFAT SIFAT NILAI EIGEN TEOREMA GERSHGORIN SINGULAR VALUE DECOMPOSITION
61 6 Definisi Misalkan A adalah matriks n n, maka vektor yang tak nol x di R n disebut vektor eigen dari A jika Ax adalah kelipatan skalar dari x, yaitu Ax = λx untuk suatu skalar λ. Skalar λ dinamakan nilai eigen A. Untuk menentukan nilai eigen dari matriks A dapat menggunakan persamaan karakteristik dari matriks A yaitu : det(a λi) = 0
62 62 Contoh soal Tentukan nilai eigen dan vektor eigen dari matriks berikut A = 3 2 4
63 63 Penyelesaian : p λ = det A λi = 3 λ 2 4 λ = 0 3 λ 4 λ 2 = 0 λ 2 7λ + 0 = 0 5 λ 2 λ = 0 - Dari polinomial karakteristik diperoleh nilai eigen 5 dan 2. - Untuk nilai eigen 5, maka vektor eigennya x =. - Untuk nilai eigen 2, maka vektor eigennya x = 2.
64 64 SIFAT SIFAT NILAI EIGEN. Jika λ nilai eigen A p(λ) adalah nilai eigen dari p(a) untuk suatu polinomial P. Khususnya λ k nilai eigen dari A k. 2. Jika A nonsingular dan λ nilai eigen A p(λ ) adalah nilai eigen dari P(A ) untuk suatu polinomial P. Khususnya λ nilai eigen dari A. 3. Jika A matriks real dan simetrik maka nilai eigennya real. 4. Jika A kompleks dan hermitian nilai eigennya real. 5. Jika A hermitian dan definit positif maka nilai eigennya positif. 6. Jika P nonsingular maka A dan PAP ( similar ) mempunyai nilai eigen yang sama.
65 65 TEOREMA GERSHGORIN Semua nilai eigen dari suatu matriks A C n n termuat dalam n cakram C i = C i (a ii, r i ) dalam bidang kompleks dengan pusat a ii dan jari-jari r i yang didapat dari penjumlahan besaran entri entri tak diagonal di baris ke - i.
66 66 Region yang memuat Nilai Eigen Matriks A : n n C i = z C z a ii r i i= i= dimana jari jarinya adalah r i = n j= j i a ij
67 67 Akibat Semua nilai eigen dari suatu matriks A C n n termuat dalam n cakram D i = D i (a ii, s i ) dalam bidang kompleks dengan pusat a ii dan jari-jari s i yang didapat dari penjumlahan besaran entri-entri tak diagonal di kolom matriks A.
68 68 Region yang memuat Nilai Eigen Matriks A: n D i n i= = i= z C z a ii s i dimana Jari-jarinya adalah s i = n i= i j a ij Akibatnya, Region yang memuat Nilai Eigen Matriks n n A = C i D i i= i=
69 69 Contoh soal Misalkan matriks A = 4 i 2 i 2i 2 5
70 70 Penyelesaian : Di lihat dari baris A, kita peroleh region cakram Gershgorin sbb: C (4 i, 3), C 2 (2i, 3), dan C 3 ( 5, 2). Dilihat dari kolom A, kita peroleh region cakram Gershgorin sbb: A = 4 i 2 i 2i 2 5 D (4 i, 2), D 2 (2i, 3), dan D 3 ( 5, 3). Irisan (Intersection) dari kedua region cakram sbb: D (4 i, 2 ), C 2 (2i, 3), dan C 3 ( 5, 2).
71 7 Pusat Jari-jari C (4 i, 3), C 2 (2i, 3), dan C 3 ( 5, 2). D (4 i, 2), D 2 (2i, 3), dan D 3 ( 5, 3). C 2 D 2 C 3 D 3 C D
72 72 λ = 3, i, λ2 = 0, i λ3 = 4, i, Pusat Cakram: Nilai Eigen:
73 73. Dapatkah matriks m n didekomposisikan? 2. Bagaimanakah dekomposisi dari matriks real yang berukuran m n? 3. Bagaimanakah dekomposisi dari matriks kompleks yang berukuran m n? 4. Bagaimanakah tingkahlaku dan karakteristik yang ada di dalamnya? 5. Apakah matriks m n masih mempunyai invers?
74 74 SINGULAR VALUE DECOMPOSITION Definisi Diketahui Matriks A C m n dengan rank(a) = r. Diketahui juga nilai eigen dari matriks A A adalah sebagai berikut: λ λ 2 λ r > λ r+ = = λ n = 0 2 Bilangan σ i = λ i untuk setiap i n disebut nilai singular dari matriks A.
75 75 Contoh soal A = 0 0 maka A = 0 0 A A = = 2 2 A A λi = λ 2 + 4λ 3 = 0 λ = 3, λ 2 = 2 σ = 3 = 3 2 σ 2 = =
76 76 SVD A Karakteristik matriks menentukan karakteristik dari sebuah matriks transformasi linear. Hubungan antara prapeta dan petanya, ditentukan oleh karakteristik matriks transformasi linear. A Av i = σ i u i, i n AV = U Σ A = U Σ V
77 77 SVD dari matriks A berukuran m n A = U Σ V. Dengan V matriks uniter yang dibentuk oleh vektor eigen normal matriks A A 2. Dengan Σ matriks diagonal yang entri-entrinya adalah nilai singular matriks A. 3. Dengan U matriks uniter yang dibentuk oleh vektor eigen normal matriks AA.
78 78 Langkah Langkah SVD A = UΣV Input : Matriks A C m n dengan rank A = r..dibentuk matriks A A dan tentukan sejumlah nilai eigen dan vektor eigen ortonormalnya. 2.Bentuk matriks uniter V dari vektor eigen ortonormalnya. 3.Tentukan Nilai Singular tak-nol σ i dan Matriks Diagonal Σ. 4.Tentukan vektor eigen ortonormal AA atau dengan u i = σ i Av i. Jika r < n, maka gunakan proses gramschmidt untuk menententukan u r+ sampai u n. 5.Bentuk matriks uniter U dari vektor eigen ortonormalnya. Output: Matriks uniter U, V dan matriks Σ sehingga A = UΣV.
79 79 Contoh soal Misalkan A = 0 0. Tentukan SVD matriks A.
80 80 Penyelesaian A = 0 0 maka A A = 2 2 vektor eigen v = v 2 = Normalisasi nilai eigen λ =3 λ 2 = v = v 2 = maka V =
81 8 λ = 3 nilai singular σ = 3 λ 2 = σ 2 = Σ = σ 0 0 σ =
82 82 u = σ Av = u 2 = σ 2 Av 2 = = =
83 83 u 3 = e u e u u e 2 u 2 = = 3 3 3
84 u 3 = 3 Normalisasi u3 = Sehingga didapatkan Matriks Uniter U =
85 85 Output : A=UΣV 0 0 =
86 86
87 87 4. POWER METHOD PERCEPATAN AITKEN D4 INVERS POWER METHOD SHIFTED POWER METHOD SHIFTED INVERS POWER METHOD
88 88 Persamaan karakteristik : det A λι = 0 Dari persamaan karakteristik di atas, diperoleh nilai eigen dominan dan tak dominan. Nilai eigen dominan power method Nilai eigen tak dominan invers power method
89 89 Power Method Salah satu metode iteratif yang digunakan untuk menentukan nilai eigen dominan. Nilai Eigen Dominan Nilai eigen yang nilai mutlaknya paling besar dibandingkan mutlak nilai eigen lainnya. λ > λ 2 λ n Vektor Eigen Dominan Vektor eigen yang berpadanan dengan nilai eigen dominan.
90 90 Bagaimana menentukan pendekatan nilai eigen dengan menggunakan power method?
91 9 Langkah langkah Power Method. Pilih sebuah vektor hampiran awal x (0) tak nol 2. Tetapkan fungsional linear φ 3. Hitung x (k+) = A x (k) ; k = 0,,2, 4. Hitung λ k = r k φ x(k+) φ x (k) ; k = 0,,2, 5. Ulangi langkah 3 4 sampai r konvergen ke solusi eksak
92 92 PERCEPATAN AITKEN Proses iteratif yang digunakan untuk menghampiri nilai eigen dengan lebih cepat. Rumus umum percepatan Aitken : s k = r k r k r k 2 r k 2r k + r k 2 ; k 3
93 93 Contoh Soal Tentukan nilai eigen dominan dari matriks A berikut dengan menggunakan power method dan percepatan Aitken. A =
94 94 Penyelesaian : Diperoleh solusi eksak : λ = 6, λ 2 = 4, λ 3 = Langkah ke- : x (0) = Langkah ke-2 : φ x = x 2 Langkah ke-3 : x (k+) = A x (k) ; k = 0,,2, x () = Ax (0) = = 6 2 2
95 95 x (2) = Ax () = = x (4) = Ax (3) = =
96 96 Langkah ke-4 : λ k = r k φ x k+ φ x k ; k = 0,,2, r 0 = x 2 () x 2 (0) = 2 = 2 r = x 2 (2) x 2 () = 4 2 = 2 r 3 = x 2 (4) x 2 (3) = = 6.02
97 97 Solusi hampiran dengan percepatan Aitken : s 3 = r 3 r 3 r 2 2 r 3 2r 2 + r = ( 2) = s 4 = r 4 r 4 r 3 2 r 4 2r 3 + r 2 = =
98 98 Hasil Iterasi Power Method k X X 2 X 3 r k s k
99 99 Nilai eigen dominan = r = s = 6 Vektor eigen hampiran yang bersesuaian x x 2 x 3 =
100 00 INVERS POWER METHOD Metode untuk mencari nilai eigen terkecil secara iteratif. Memiliki konsep yang sama seperti power method dengan syarat matriks A memiliki invers. Ax = λx x = A (λx) A x = λ x
101 0 Langkah - Langkah Invers Power Method. Tetapkan vektor eigen awal x 0 tak nol. 2. Tetapkan fungsional linear φ. 3. Hitung matriks A, atau tentukan dekomposisi LU dari A. 4. Hitung x k+ = A x k ; k =,2, Jika menggunakan invers. 5. Hitung Lx k+ = U x k ; k =,2, Jika menggunakan dekomposisi LU. 6. Hitung r k = φ x k+ φ(x k ) ; k =,2, 7. Ulangi langkah ke 4 sampai ke 6 sampai r konvergen ke solusi eksak.
102 02 CONTOH Misalkan diberikan matriks, nilai awal, dan fungsional linear sebagai berikut A = x 0 = 2 3 φ x = x 2
103 03 Penyelesaian : Dengan matriks invers : x = A x 0 = x 2 = A x = A = = =
104 04 Hasil Iterasi Inverse Power Method k X X 2 X 3 r
105 05 r = λ = λ = λ = λ = = λ eksak =
106 06 SHIFTED POWER METHOD Metode untuk mencari nilai eigen terjauh dari suatu nilai μ Ax = λx A μi x = λ μ x Langkah-langkah Shifted Power Method Sama seperti power method. Hasil yang didapat adalah nilai λ = λ μ terbesar. Nilai λ dapat dicari menggunakan λ = λ + μ.
107 07 CONTOH Tentukan nilai eigen yang paling jauh dari 4 A = A 4I = = terapkan iterasi power method.
108 08 Hasil Iterasi Shifted Power Method k X X 2 X 3 r
109 09 r = λ = λ μ = λ = λ + μ = = λ eksak =
110 0 SHIFTED INVERS POWER METHOD Metode untuk mencari nilai eigen terdekat dari suatu nilai μ Ax = λx A μi x = λ μ x A μi x = λ μ x
111 Langkah-langkah Shifted Inverse Power Method Sama seperti Inverse power method. Hasil yang didapat adalah nilai λ = λ μ terkecil. Nilai λ dapat dicari menggunakan λ = λ + μ.
112 2 CONTOH Tentukan nilai eigen yang paling dekat dari 4 A = A 4I = (A 4I) = terapkan iterasi inverse power method.
113 3 Hasil Iterasi Shifted Inverse Power Method k X X 2 X 3 r
114 4 r = λ = λ μ = λ = = λ eksak =
115 5 DAFTAR PUSTAKA ) W. Cheney, D. Kincaid Numerical Mathematics and Computing 6 th Ed. Thomson Brooks/Cole. 2) R. Munir Metode Numerik pada Penerbit Informatika Bandung. 3) //staff.uny.ac.id/sites/default/files/393036/komputasinumerikba b2.pdf 4)
PAM 252 Metode Numerik Bab 3 Sistem Persamaan Linier
PAM 252 Metode Numerik Bab 3 Sistem Persamaan Linier Mahdhivan Syafwan Jurusan Matematika FMIPA Universitas Andalas Semester Genap 2013/2014 1 Mahdhivan Syafwan Metode Numerik: Sistem Persamaan Linier
Lebih terperinciPAM 252 Metode Numerik Bab 3 Sistem Persamaan Linier
PAM 252 Metode Numerik Bab 3 Sistem Persamaan Linier Mahdhivan Syafwan Jurusan Matematika FMIPA Universitas Andalas Semester Genap 2016/2017 1 Mahdhivan Syafwan Metode Numerik: Sistem Persamaan Linier
Lebih terperinciMenentukan Nilai Eigen Tak Dominan Suatu Matriks Definit Negatif Menggunakan Metode Kuasa Invers dengan Shift
Jurnal Penelitian Sains Volume 14 Nomer 1(A) 14103 Menentukan Nilai Eigen Tak Dominan Suatu Matriks Definit Negatif Menggunakan Metode Kuasa Invers dengan Shift Yuli Andriani Jurusan Matematika FMIPA,
Lebih terperinciMetode Matriks Balikan
Metode Matriks Balikan MisalkanA -1 adalahmatriksbalikandaria. Sistempersamaan lanjar Ax = b dapat diselesaikan sebagai berikut: Ax= b A -1 Ax= A -1 b I x= A -1 b (A -1 A = I ) x= A -1 b Cara penyelesaiandenganmengalikanmatriksa
Lebih terperinciSyarif Abdullah (G ) Matematika Terapan FMIPA Institut Pertanian Bogor.
Syarif Abdullah (G551150381) Matematika Terapan FMIPA Institut Pertanian Bogor e-mail: syarif_abdullah@apps.ipb.ac.id 25 Maret 2016 Ringkasan Kuliah ke-6 Analisis Numerik (16 Maret 2016) Materi : System
Lebih terperinciAPLIKASI METODE PANGKAT DALAM MENGAPROKSIMASI NILAI EIGEN KOMPLEKS PADA MATRIKS
Jurnal UJMC, Volume, Nomor, Hal 36-40 pissn : 460-3333 eissn : 579-907X APLIKASI METODE PANGKAT DALAM MENGAPROKSIMASI NILAI EIGEN KOMPLEKS PADA MATRIKS Novita Eka Chandra dan Wiwin Kusniati Universitas
Lebih terperinci6 Sistem Persamaan Linear
6 Sistem Persamaan Linear Pada bab, kita diminta untuk mencari suatu nilai x yang memenuhi persamaan f(x) = 0. Pada bab ini, masalah tersebut diperumum dengan mencari x = (x, x,..., x n ) yang secara sekaligus
Lebih terperinciMETODE ITERASI KSOR UNTUK MENYELESAIKAN SISTEM PERSAMAAN LINEAR ABSTRACT
METODE ITERASI KSOR UNTUK MENYELESAIKAN SISTEM PERSAMAAN LINEAR Adek Putri Syafriani, Syamsudhuha 2, Zulkarnain 2 Mahasiswa Program Studi S Matematika 2 Dosen Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan
Lebih terperinciMETODE GAUSS-SEIDEL PREKONDISI UNTUK MENCARI SOLUSI SISTEM PERSAMAAN LINEAR. Alhumaira Oryza Sativa 1 ABSTRACT ABSTRAK
METODE GAUSS-SEIDEL PREKONDISI UNTUK MENCARI SOLUSI SISTEM PERSAMAAN LINEAR Alhumaira Oryza Sativa 1 1 Mahasiswa Program Studi S1 Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Riau
Lebih terperinciPERBANDINGAN METODE GAUSS-SEIDEL PREKONDISI DAN METODE SOR UNTUK MENDAPATKAN SOLUSI SISTEM PERSAMAAN LINEAR. Merintan Afrina S ABSTRACT
PERBANDINGAN METODE GAUSS-SEIDEL PREKONDISI DAN METODE SOR UNTUK MENDAPATKAN SOLUSI SISTEM PERSAMAAN LINEAR Merintan Afrina S Mahasiswa Program Studi S1 Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan
Lebih terperinciSolusi Sistem Persamaan Linear Ax = b
Solusi Sistem Persamaan Linear Ax = b Kie Van Ivanky Saputra April 27, 2009 K V I Saputra (Analisis Numerik) Kuliah Sistem Persamaan Linier c April 27, 2009 1 / 9 Review 1 Substitusi mundur pada sistem
Lebih terperinciMETODE PANGKAT DAN METODE DEFLASI DALAM MENENTUKAN NILAI EIGEN DAN VEKTOR EIGEN DARI MATRIKS
METODE PANGKAT DAN METODE DEFLASI DALAM MENENTUKAN NILAI EIGEN DAN VEKTOR EIGEN DARI MATRIKS Arif Prodi Matematika, FST- UINAM Wahyuni Prodi Matematika, FST-UINAM Try Azisah Prodi Matematika, FST-UINAM
Lebih terperinciBAB II LANDASAN TEORI
BAB II LANDASAN TEORI A. Matriks 1. Pengertian Matriks Definisi II. A. 1 Matriks didefinisikan sebagai susunan segi empat siku- siku dari bilangan- bilangan yang diatur dalam baris dan kolom (Anton, 1987:22).
Lebih terperinciBAB II LANDASAN TEORI
BAB II LANDASAN TEORI A. Matriks 1. Pengertian Matriks Definisi II.A.1 Matriks didefinisikan sebagai susunan persegi panjang dari bilangan-bilangan yang diatur dalam baris dan kolom. Contoh II.A.1: 9 5
Lebih terperinciEigen value & Eigen vektor
Eigen value & Eigen vektor Hubungan antara vektor x (bukan nol) dengan vektor Ax yang berada di R n pada proses transformasi dapat terjadi dua kemungkinan : 1) 2) Tidak mudah untuk dibayangkan hubungan
Lebih terperinciDIAGONALISASI MATRIKS KOMPLEKS
Buletin Ilmiah Mat Stat dan Terapannya (Bimaster) Volume 04, No 3 (2015), hal 337-346 DIAGONALISASI MATRIKS KOMPLEKS Heronimus Hengki, Helmi, Mariatul Kiftiah INTISARI Matriks kompleks merupakan matriks
Lebih terperinciSISTEM PERSAMAAN LINIER
2 SISTEM PERSAMAAN LINIER Ëistem persamaan linier merupakan salah satu model dan masalah matematika yang banyak dijumpai di dalam berbagai disiplin, termasuk matematika, statistika, fisika, biologi, ilmu-ilmu
Lebih terperinciNILAI EIGEN DAN VEKTOR EIGEN disebut vektor eigen dari matriks A =
NILAI EIGEN DAN VEKTOR EIGEN >> DEFINISI NILAI EIGEN DAN VEKTOR EIGEN Jika A adalah sebuah matriks n n, maka sebuah vektor taknol x pada R n disebut vektor eigen (vektor karakteristik) dari A jika Ax adalah
Lebih terperinciMETODE ITERATIF YANG DIPERCEPAT UNTUK Z-MATRIKS ABSTRACT
METODE ITERATIF YANG DIPERCEPAT UNTUK Z-MATRIKS Mildayani 1, Syamsudhuha 2, Aziskhan 2 1 Mahasiswa Program Studi S1 Matematika 2 Dosen Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Riau Kampus
Lebih terperinciTujuan. Mhs dapat mendemonstrasikan operasi matriks: penjumlahan, perkalian, dsb. serta menentukan matriks inverse
Matriks Tujuan Mhs dapat mendemonstrasikan operasi matriks: penjumlahan, perkalian, dsb. serta menentukan matriks inverse Pengertian Matriks Adalah kumpulan bilangan yang disajikan secara teratur dalam
Lebih terperinciBAB 4 Sistem Persamaan Linear. Sistem m persamaan linear dalam n variabel LG=C adalah himpunan persamaan linear
BAB 4 Sistem Persamaan Linear berbentuk Sistem m persamaan linear dalam n variabel LG=C adalah himpunan persamaan linear Dengan koefisien dan adalah bilangan-bilangan yang diberikan. Sistem ini disebut
Lebih terperinciMatriks - Definisi. Sebuah matriks yang memiliki m baris dan n kolom disebut matriks m n. Sebagai contoh: Adalah sebuah matriks 2 3.
MATRIKS Pokok Bahasan Matriks definisi Notasi matriks Matriks yang sama Panambahan dan pengurangan matriks Perkalian matriks Transpos suatu matriks Matriks khusus Determinan suatu matriks bujursangkar
Lebih terperinciSISTEM PERSAMAAN LINEAR
Pokok Bahasan : Sistem persamaan linier Sub Pokok Bahasan : Sistem persamaan linier Eliminasi Gauss Eliminasi Gauss Jordan Penyelesaian SPL dengan invers SISTEM PERSAMAAN LINEAR Tujuan : Menyelesaikan
Lebih terperinciPenentuan Nilai Eigen Tak Dominan Matriks Hermit Menggunakan Metode Pangkat Invers Dengan Nilai Shift
Penentuan Nilai Eigen Tak Dominan Matriks Hermit Menggunakan Metode Pangkat Invers Dengan Nilai Shift Fitri Aryani 1, Rizka Dini Humairoh 2 1,2 Jurusan Matematika Fakultas Sains dan Teknologi UIN Suska
Lebih terperinciSolusi Numerik Sistem Persamaan Linear
Solusi Numerik Sistem Persamaan Linear Modul #2 Praktikum AS2205 Astronomi Komputasi Oleh Dr. Muhamad Irfan Hakim Program Studi Astronomi Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Institut Teknologi
Lebih terperinciBAB 2 LANDASAN TEORI. yang dibicarakan yang akan digunakan pada bab selanjutnya. Bentuk umum dari matriks bujur sangkar adalah sebagai berikut:
BAB 2 LANDASAN TEORI Pada bab ini dibicarakan mengenai matriks yang berbentuk bujur sangkar dengan beberapa definisi, teorema, sifat-sifat dan contoh sesuai dengan matriks tertentu yang dibicarakan yang
Lebih terperinciBAB II KAJIAN PUSTAKA. operasi matriks, determinan dan invers matriks), aljabar max-plus, matriks atas
BAB II KAJIAN PUSTAKA Pada bab ini akan diuraikan mengenai matriks (meliputi definisi matriks, operasi matriks, determinan dan invers matriks), aljabar max-plus, matriks atas aljabar max-plus, dan penyelesaian
Lebih terperinciBAB III MATRIKS HERMITIAN. dan konsep-konsep lainnya yang berkaitan dengan matriks Hermitian. Matriks
BAB III MATRIKS HERMITIAN Pada bab ini, akan dibahas beberapa konsep penting dari matriks Hermitian dan konsep-konsep lainnya yang berkaitan dengan matriks Hermitian. Matriks Hermitian merupakan kelas
Lebih terperinciTrihastuti Agustinah
TE 9467 Teknik Numerik Sistem Linear Trihastuti Agustinah Bidang Studi Teknik Sistem Pengaturan Jurusan Teknik Elektro - FTI Institut Teknologi Sepuluh Nopember O U T L I N E OBJEKTIF TEORI CONTOH 4 SIMPULAN
Lebih terperinciBAB III MENENTUKAN PRIORITAS DALAM AHP. Wharton School of Business University of Pennsylvania pada sekitar tahun 1970-an
BAB III MENENTUKAN PRIORITAS DALAM AHP Pada bab ini dibahas mengenai AHP yang dikembangkan oleh Thomas L Saaty di Wharton School of Business University of Pennsylvania pada sekitar tahun 970-an dan baru
Lebih terperinci7. NILAI-NILAI VEKTOR EIGEN. Nilai Eigen dan Vektor Eigen Diagonalisasi Diagonalisasi Ortogonal
7. NILAI-NILAI VEKTOR EIGEN Nilai Eigen dan Vektor Eigen Diagonalisasi Diagonalisasi Ortogonal Nilai Eigen, Vektor Eigen Diketahui A matriks nxn dan x adalah suatu vektor pada R n, maka biasanya tdk ada
Lebih terperinciBAB III : SISTEM PERSAMAAN LINIER
3.1 PENDAHULUAN BAB III : SISTEM PERSAMAAN LINIER Penyelesaian suatu sistem n persamaan dengan n bilangan tak diketahui banyak dijumpai dalam permasalahan teknik. Di dalam Bab ini akan dipelajari sistem
Lebih terperinciPenyelesaian Sistem Persamaan Linear Fully Fuzzy Menggunakan Metode Iterasi Jacobi
Penyelesaian Sistem Persamaan Linear Fully Fuzzy Menggunakan Metode Iterasi Jacobi Corry Corazon Marzuki 1, Herawati 2 Jurusan Matematika, Fakultas Sains dan Teknologi, UIN Sultan Syarif Kasim Riau Jl.
Lebih terperinciBAB 2 LANDASAN TEORI
BAB 2 LANDASAN TEORI 2.1 Sistem Persamaan Linier Sistem Persamaan dengan m persamaan dan n bilangan tak diketahui ditulis dengan : Dimana x 1, x 2, x n : bilangan tak diketahui a,b : konstanta Jika SPL
Lebih terperinciPENDAHULUAN A. Latar Belakang 1. Metode Langsung Metode Langsung Eliminasi Gauss (EGAUSS) Metode Eliminasi Gauss Dekomposisi LU (DECOLU),
PENDAHULUAN A. Latar Belakang Persoalan yang melibatkan model matematika banyak muncul dalam berbagai disiplin ilmu pengetahuan, seperti dalam bidang fisika, kimia, ekonomi, atau pada persoalan rekayasa.
Lebih terperincig(x, y) = F 1 { f (u, v) F (u, v) k} dimana F 1 (F (u, v)) diselesaikan dengan: f (x, y) = 1 MN M + vy )} M 1 N 1
Fast Fourier Transform (FFT) Dalam rangka meningkatkan blok yang lebih spesifik menggunakan frekuensi dominan, akan dikalikan FFT dari blok jarak, dimana jarak asal adalah: FFT = abs (F (u, v)) = F (u,
Lebih terperinciPERANGKAT LUNAK BANTU ANALISIS NUMERIK METODE DETERMINAN CRAMER, ELIMINASI GAUSS DAN LELARAN GAUSS-SEIDEL UNTUK MENYELESAIKAN SISTEM PERSAMAAN LINEAR
PERANGKAT LUNAK BANTU ANALISIS NUMERIK METODE DETERMINAN CRAMER, ELIMINASI GAUSS DAN LELARAN GAUSS-SEIDEL UNTUK MENYELESAIKAN SISTEM PERSAMAAN LINEAR Tacbir Hendro Pudjiantoro A B S T R A K Salah satu
Lebih terperinciMATRIKS. Matematika. FTP UB Mas ud Effendi. Matematika
MATRIKS FTP UB Mas ud Effendi Pokok Bahasan Transpos suatu matriks Matriks khusus Determinan suatu matriks bujursangkar Invers suatu matriks bujursangkar Penyelesaian set persamaan linier Nilai-eigen dan
Lebih terperinciSUMMARY ALJABAR LINEAR
SUMMARY ALJABAR LINEAR SUMANANG MUHTAR GOZALI KBK ANALISIS UNIVERSITAS PENDIDIKAN INDONESIA BANDUNG 2010 2 KATA PENGANTAR Bismillahirrahmanirrahim Segala puji bagi Allah Rabb semesta alam. Shalawat serta
Lebih terperinciMATRIKS Matematika Industri I
MATRIKS TIP FTP UB Mas ud Effendi Pokok Bahasan Matriks definisi Notasi matriks Matriks yang sama Panambahan dan pengurangan matriks Perkalian matriks Transpos suatu matriks Matriks khusus Determinan suatu
Lebih terperinciBAB 3 FUNGSI MONOTON MATRIKS
BAB 3 FUNGSI MONOTON MATRIKS Pada bab ini akan dibahas fungsi monoton matriks. Dalam mengkontruksi fungsi monoton matriks banyak istilah yang harus kita ketahui sebelumnya. Beberapa konsep yang akan dibahas
Lebih terperinciKS KALKULUS DAN ALJABAR LINEAR Eigen Value Eigen Vector TIM KALIN
KS091206 KALKULUS DAN ALJABAR LINEAR Eigen Value Eigen Vector TIM KALIN TUJUAN INSTRUKSIONAL KHUSUS Setelah menyelesaikan pertemuan ini mahasiswa diharapkan: Dapat menghitung eigen value dan eigen vector
Lebih terperinciGERSHGORIN DISK FRAGMENT UNTUK MENENTUKAN DAERAH LETAK NILAI EIGEN PADA SUATU MATRIKS. Anggy S. Mandasary 1, Zulkarnain 2 ABSTRACT
GERSHGORIN DISK FRAGMENT UNTUK MENENTUKAN DAERAH LETAK NILAI EIGEN PADA SUATU MATRIKS Anggy S. Mandasary 1, Zulkarnain 2 1 Mahasiswa Program Studi S1 Matematika 2 Dosen Jurusan Matematika Fakultas Matematika
Lebih terperinci(Departemen Matematika FMIPA-IPB) Matriks Bogor, / 66
MATRIKS Departemen Matematika FMIPA-IPB Bogor, 2012 (Departemen Matematika FMIPA-IPB) Matriks Bogor, 2012 1 / 66 Topik Bahasan 1 Matriks 2 Operasi Matriks 3 Determinan matriks 4 Matriks Invers 5 Operasi
Lebih terperinciBAB 4 PENYELESAIAN SISTEM PERSAMAAN LINEAR
BAB 4 PENYELESAIAN SISTEM PERSAMAAN LINEAR A. Latar Belakang Persoalan yang melibatkan model matematika banyak muncul dalam berbagai disiplin ilmu pengetahuan, seperti dalam bidang fisika, kimia, ekonomi,
Lebih terperinciPart II SPL Homogen Matriks
Part II SPL Homogen Matriks SPL Homogen Bentuk Umum SPL homogen dalam m persamaan dan n variabel x 1, x 2,, x n : a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = 0 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a 2n x n = 0 a m1 x 1 + a
Lebih terperinciMETODE ITERASI JACOBI DAN GAUSS-SEIDEL PREKONDISI UNTUK MENYELESAIKAN SISTEM PERSAMAN LINEAR DENGAN M-MATRIKS ABSTRACT
METODE ITERASI JACOBI DAN GAUSS-SEIDEL PREKONDISI UNTUK MENYELESAIKAN SISTEM PERSAMAN LINEAR DENGAN M-MATRIKS Efriani Widya 1, Syamsudhuha 2, Bustami 2 1 Mahasiswa Program Studi S1 Matematika 2 Dosen Jurusan
Lebih terperinciPENYELESAIAN SISTEM PERSAMAAN LINEAR DENGAN GENERALISASI METODE JACOBI
PENYELESAIAN SISTEM PERSAMAAN LINEAR DENGAN GENERALISASI METODE JACOBI Sandra Roza 1*, M. Natsir 2, Asli Sirait 2 1 Mahasiswa Program Studi S1 Matematika 2 Dosen JurusanMatematika Fakultas Matematika dan
Lebih terperinciMATRIKS Matematika Industri I
MATRIKS TIP FTP UB Mas ud Effendi Pokok Bahasan Matriks definisi Notasi matriks Matriks yang sama Panambahan dan pengurangan matriks Perkalian matriks Transpos suatu matriks Matriks khusus Determinan suatu
Lebih terperinciMODUL ALJABAR LINEAR 1 Disusun oleh, ASTRI FITRIA NUR ANI
214 MODUL ALJABAR LINEAR 1 Disusun oleh, ASTRI FITRIA NUR ANI Astri Fitria Nur ani Aljabar Linear 1 1/1/214 1 DAFTAR ISI DAFTAR ISI... i BAB I MATRIKS DAN SISTEM PERSAMAAN A. Pendahuluan... 1 B. Aljabar
Lebih terperinciBAB II TINJAUAN PUSTAKA
5 BAB II TINJAUAN PUSTAKA A Matriks 1 Pengertian Matriks Definisi 21 Matriks adalah kumpulan bilangan bilangan yang disusun secara khusus dalam bentuk baris kolom sehingga membentuk empat persegi panjang
Lebih terperinciPERBANDINGAN KOMPLEKSITAS ALGORITMA METODE-METODE PENYELESAIAN SISTEM PERSAMAAN LANJAR
PERBANDINGAN KOMPLEKSITAS ALGORITMA METODE-METODE PENYELESAIAN SISTEM PERSAMAAN LANJAR Achmad Dimas Noorcahyo NIM 3508076 Program Studi Teknik Informatika, Institut Teknologi Bandung Jalan Ganeca 0, Bandung
Lebih terperinciBentuk umum : SPL. Mempunyai penyelesaian disebut KONSISTEN. Tidak mempunyai penyelesaian disebut TIDAK KONSISTEN TUNGGAL BANYAK
Bentuk umum : dimana x, x,..., x n variabel tak diketahui, a ij, b i, i =,,..., m; j =,,..., n bil. diketahui. Ini adalah SPL dengan m persamaan dan n variabel. SPL Mempunyai penyelesaian disebut KONSISTEN
Lebih terperinciKomputasi untuk Sains dan Teknik
Komputasi untuk Sains dan Teknik Dr. Eng. Supriyanto, M.Sc Edisi I Laboratorium Jaringan Komputer Departemen Fisika-FMIPA Univeristas Indonesia 2006 Untuk Muflih Syamil dan Hasan Azmi... Mottoku : Tenang,
Lebih terperinciGENERALISASI METODE GAUSS-SEIDEL UNTUK MENYELESAIKAN SISTEM PERSAMAAN LINEAR ABSTRACT
GENERALISASI METODE GAUSS-SEIDEL UNTUK MENYELESAIKAN SISTEM PERSAMAAN LINEAR Andri Ramadhan 1, Syamsudhuha 2, Asli Sirait 2 1 Mahasiswa Program Studi S1 Matematika 2 Laboratorium Matematika Terapan, Jurusan
Lebih terperinciLampiran 1 Pembuktian Teorema 2.3
LAMPIRAN 16 Lampiran 1 Pembuktian Teorema 2.3 Sebelum membuktikan Teorema 2.3, terlebih dahulu diberikan beberapa definisi yang berhubungan dengan pembuktian Teorema 2.3. Definisi 1 (Matriks Eselon Baris)
Lebih terperinciBAB II SISTEM PERSAMAAN LINEAR. Sistem persamaan linear ditemukan hampir di semua cabang ilmu
BAB II SISTEM PERSAMAAN LINEAR Sistem persamaan linear ditemukan hampir di semua cabang ilmu pengetahuan. Di bidang ilmu ukur, diperlukan untuk mencari titik potong dua garis dalam satu bidang. Di bidang
Lebih terperinciAnalisis Matriks. Ahmad Muchlis
Analisis Matriks Ahmad Muchlis January 22, 2014 2 Notasi Pada umumnya matriks yang kita bicarakan dalam naskah ini adalah matriks kompleks. Himpunan semua matriks kompleks [real] berukuran m n dinyatakan
Lebih terperinciPENENTUAN NILAI EIGEN DAN VEKTOR EIGEN MATRIKS INTERVAL MENGGUNAKAN METODE PANGKAT
Buletin Ilmiah Math. Stat. dan Terapannya (Bimaster) Volume 6, No. 0 (017), hal 17 6. PENENTUAN NILAI EIGEN DAN VEKTOR EIGEN MATRIKS INTERVAL MENGGUNAKAN METODE PANGKAT Yuyun Eka Pratiwi, Mariatul Kiftiah,
Lebih terperinciPart III DETERMINAN. Oleh: Yeni Susanti
Part III DETERMINAN Oleh: Yeni Susanti Perhatikan determinan matriks ukuran 2x2 berikut: Pada masing-masing jumlahan dan Terdapat wakil dari setiap baris dan setiap kolom. Bagaimana dengan tanda + (PLUS)
Lebih terperinciTrihastuti Agustinah
TE 467 Teknik Numerik Sistem Linear Trihastuti Agustinah Bidang Studi Teknik Sistem Pengaturan Jurusan Teknik Elektro - FTI Institut Teknologi Sepuluh Nopember O U T L I N E OBJEKTIF 2 3 CONTOH 4 SIMPULAN
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN Latar Belakang Masalah
BAB I PENDAHULUAN 1.1. Latar Belakang Masalah Suatu matriks A C m n dikatakan memiliki faktorisasi LU jika matriks tersebut dapat dinyatakan sebagai A = LU dengan L C m m matriks invertibel segitiga bawah
Lebih terperinciI PENDAHULUAN II LANDASAN TEORI
I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Matriks merupakan istilah yang digunakan untuk menunjukkan jajaran persegi panjang dari bilangan-bilangan dan setiap matriks akan mempunyai baris dan kolom. Salah satu
Lebih terperinciPenyelesaian Sistem Persamaan Linear (SPL) Dengan Dekomposisi QR
Penyelesaian Sistem Persamaan Linear (SPL) Dengan Dekomposisi QR Shelvia Mandasari #1 M Subhan *2 Meira Parma Dewi *3 # Student of Mathematics Department State University of Padang Indonesia * Lecturers
Lebih terperinciMETODE ITERASI AOR UNTUK SISTEM PERSAMAAN LINEAR PREKONDISI ABSTRACT
METODE ITERASI AOR UNTUK SISTEM PERSAMAAN LINEAR PREKONDISI Siswanti, Syamsudhuha 2 Mahasiswa Program Studi S Matematika 2 Dosen Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas
Lebih terperinciBAB 2 LANDASAN TEORI
BAB 2 LANDASAN TEORI Pada bab ini akan dibahas beberapa definisi dan teorema dengan atau tanpa bukti yang akan digunakan untuk menentukan regularisasi sistem singular linier. Untuk itu akan diberikan terlebih
Lebih terperinci8 MATRIKS DAN DETERMINAN
8 MATRIKS DAN DETERMINAN Matriks merupakan pengembangan lebih lanjut dari sistem persamaan linear. Oleh karenanya aljabar matriks sering juga disebut dengan aljabar linear. Matriks dapat digunakan untuk
Lebih terperinciMENYELESAIKAN SISTEM PERSAMAAN LINIER MENGGUNAKAN ANALISIS SVD SKRIPSI. Oleh : Irdam Haidir Ahmad J2A
MENYELESAIKAN SISTEM PERSAMAAN LINIER MENGGUNAKAN ANALISIS SVD SKRIPSI Oleh : Irdam Haidir Ahmad J2A 005 023 PROGRAM STUDI MATEMATIKA JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS
Lebih terperinciBab 7 Sistem Pesamaan Linier. Oleh : Devie Rosa Anamisa
Bab 7 Sistem Pesamaan Linier Oleh : Devie Rosa Anamisa Pendahuluan Bentuk umum dari aljabar linier sebagai berikut: a11x1 + a12a 12X2 +... + a1na 1nXn = b1b a21x1 + a22a 22X2 +... + a2na 2nXn = b2b...............
Lebih terperinciDIAGONALISASI MATRIKS HILBERT
Jurnal UJMC, Volume 3, Nomor 2, Hal 7-24 pissn : 2460-3333 eissn : 2579-907X DIAGONALISASI MATRIKS HILBERT Randhi N Darmawan Universitas PGRI Banyuwangi, randhinumeric@gmailcom Abstract The Hilbert matrix
Lebih terperinci5. PERSAMAAN LINIER. 1. Berikut adalah contoh SPL yang terdiri dari 4 persamaan linier dan 3 variabel.
1. Persamaan Linier 5. PERSAMAAN LINIER Persamaan linier adalah suatu persamaan yang variabel-variabelnya berpangkat satu. Disamping persamaan linier ada juga persamaan non linier. Contoh : a) 2x + 3y
Lebih terperinciBAB 1 PENDAHULUAN. Sebuah garis dalam bidang xy secara aljabar dapat dinyatakan oleh persamaan yang berbentuk
BAB 1 PENDAHULUAN 1.1 Latar belakang Sebagian besar dari sejarah ilmu pengetahuan alam adalah catatan dari usaha manusia secara kontinu untuk merumuskan konsep-konsep yang dapat menguraikan permasalahan
Lebih terperinciMATRIKS UNITER, SIMILARITAS UNITER DAN MATRIKS NORMAL. Anis Fitri Lestari. Mahasiswa Universitas Muhammadiyah Ponorogo ABSTRAK
MATRIKS UNITER, SIMILARITAS UNITER DAN MATRIKS NORMAL Anis Fitri Lestari Mahasiswa Universitas Muhammadiyah Ponorogo ABSTRAK Matriks normal merupakan matriks persegi yang entri-entrinya bilangan kompleks
Lebih terperinciDIKTAT PRAKTIKUM METODE NUMERIK
DIKTAT PRAKTIKUM METODE NUMERIK LABORATORIUM KOMPUTER PROGRAM STUDI FISIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS PADJADJARAN 2014 KATA PENGANTAR Diktat ini disusun untuk pedoman dalam
Lebih terperinciMatematika Teknik I: Matriks, Inverse, dan Determinan. Oleh: Dadang Amir Hamzah STT DR. KHEZ MUTTAQIEN 2015
Matematika Teknik I: Matriks, Inverse, dan Determinan Oleh: Dadang Amir Hamzah STT DR. KHEZ MUTTAQIEN 2015 Dadang Amir Hamzah (STT) Matematika Teknik I Semester 3, 2015 1 / 33 Outline 1 Matriks Dadang
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang
BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Dalam matematika ada beberapa persamaan yang dipelajari, diantaranya adalah persamaan polinomial tingkat tinggi, persamaan sinusioda, persamaan eksponensial atau persamaan
Lebih terperinciPENYELESAIAN SISTEM PERSAMAAN LINIER INTERVAL DENGAN METODE DEKOMPOSISI TUGAS AKHIR. Oleh : YULIA DEPEGA
PENYELESAIAN SISTEM PERSAMAAN LINIER INTERVAL DENGAN METODE DEKOMPOSISI TUGAS AKHIR Diajukan Sebagai Salah Satu Syarat untuk Memperoleh Gelar Sarjana Sains Pada Jurusan Matematika Oleh : YULIA DEPEGA 18543936
Lebih terperinciSOLUSI PENDEKATAN TERBAIK SISTEM PERSAMAAN LINEAR TAK KONSISTEN MENGGUNAKAN DEKOMPOSISI NILAI SINGULAR
Buletin Ilmiah Math. Stat. dan Terapannya (Bimaster) Volume 03, No. 1 (2014), hal 91 98. SOLUSI PENDEKATAN TERBAIK SISTEM PERSAMAAN LINEAR TAK KONSISTEN MENGGUNAKAN DEKOMPOSISI NILAI SINGULAR Febrianti,
Lebih terperinciDeterminan. Untuk menghitung determinan ordo n terlebih dahulu diberikan cara menghitung determinan ordo 2
Determinan Determinan Setiap matriks bujur sangkar A yang berukuran (nxn) dapat dikaitkan dengan suatu skalar yang disebut determinan matriks tersebut dan ditulis dengan det(a) atau A. Untuk menghitung
Lebih terperinciPENYELESAIAN SISTEM PERSAMAAN LINEAR KOMPLEKS MENGGUNAKAN METODE DEKOMPOSISI NILAI SINGULAR (SVD) TUGAS AKHIR. Oleh : DEWI YULIANTI
PENYELESAIAN SISTEM PERSAMAAN LINEAR KOMPLEKS MENGGUNAKAN METODE DEKOMPOSISI NILAI SINGULAR (SVD) TUGAS AKHIR Diajukan Sebagai Salah Satu Syarat untuk Memperoleh Gelar Sarjana Sains Pada Jurusan Matematika
Lebih terperinciBAB V DIAGONALISASI DAN DEKOMPOSISI MATRIKS. Sub bab ini membahas tentang faktorisasi matriks A berorde nxn ke dalam hasil
BAB V DIAGONALISASI DAN DEKOMPOSISI MATRIKS. Diagonalisasi Sub bab ini membahas tentang faktorisasi matriks A berorde nn ke dalam hasil kali berbentuk PDP, di mana D adalah matriks diagonal. Jika diperoleh
Lebih terperinciAplikasi Aljabar Lanjar pada Metode Numerik
Aplikasi Aljabar Lanjar pada Metode Numerik IF223 Aljabar Geometri Oleh: Rinaldi Munir Program Studi Informatika, STEI-ITB Rinaldi Munir - IF223 Aljabar Geometri Apa itu Metode Numerik? Numerik: berhubungan
Lebih terperinciBAB II MATRIKS POSITIF. Pada bab ini akan dibahas mengenai Teorema Perron, yaitu teori hasil kontribusi
BAB II MATRIKS POSITIF Pada bab ini akan dibahas mengenai Teorema Perron, yaitu teori hasil kontribusi dari seorang matematikawan German, Oskar Perron. Perron menerbitkan tulisannya tentang sifat-sifat
Lebih terperinciLaporan Praktikum 7 Analisis Numerik
Laporan Praktikum 7 Analisis Numerik Syarif Abdullah (G551150381) Matematika Terapan Departemen Matematika FMIPA IPB E-mail: syarif abdullah@apps.ipb.ac.id 14 April 2016 SYSTEM PERSAMAAN LINEAR METODE
Lebih terperinciTeori kendali. Oleh: Ari suparwanto
Teori kendali Oleh: Ari suparwanto Minggu Ke-1 Permasalahan oleh : Ari Suparwanto Permasalahan Diberikan sistem dan sinyal referensi. Masalah kendali adalah menentukan sinyal kendali sehingga output sistem
Lebih terperinciBAB II LANDASAN TEORI
BAB II LANDASAN TEORI 2.1 Sistem Persamaan Non Linear Definisi 2.1 (Munir, 2006) : Sistem persamaan non linear adalah kumpulan dari dua atau lebih persamaan-persamaan non linear. Bentuk umum sistem persamaan
Lebih terperinciFisika Matematika II 2011/2012
Fisika Matematika II 2/22 diterjemahkan dari: Mathematical Methods for Engineers and Scientists, 2, dan 3 K. T. Tang Penterjemah: Imamal Muttaqien dibantu oleh: Adam, Ma rifatush Sholiha, Nina Yunia, Yudi
Lebih terperinciPENYELESAIAN SISTEM PERSAMAAN LINEAR DENGAN METODE ITERASI
PENYELESAIAN SISTEM PERSAMAAN LINEAR DENGAN METODE ITERASI Susilo Nugroho (M0105068) 1. Latar Belakang Masalah Sistem persamaan linear yang terdiri dari n persamaan dengan n variabel x 1, x 2,..., x n
Lebih terperinciBAB II LANDASAN TEORI. yang biasanya dinyatakan dalam bentuk sebagai berikut: =
BAB II LANDASAN TEORI 2.1 Matriks Definisi 2.1 (Lipschutz, 2006): Matriks adalah susunan segiempat dari skalarskalar yang biasanya dinyatakan dalam bentuk sebagai berikut: Setiap skalar yang terdapat dalam
Lebih terperinciJURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA FMIPA UNIVERSITAS NEGERI YOGYAKARTA
CATATAN KULIAH ALJABAR LINEAR MUSTHOFA JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA FMIPA UNIVERSITAS NEGERI YOGYAKARTA 20 SISTEM PERSAMAAN LINEAR Tujuan : Menyelesaikan sistem persamaan linear. OPERASI BARIS ELEMENTER
Lebih terperinciKumpulan Soal,,,,,!!!
Kumpulan Soal,,,,,!!! Materi: Matriks & Ruang Vektor 1. BEBAS LINEAR S 3. BASIS DAN DIMENSI O A L 2. KOMBINASI LINEAR NeXt FITRIYANTI NAKUL Page 1 1. BEBAS LINEAR Cakupan materi ini mengkaji tentang himpunan
Lebih terperinciBAB 4 : SISTEM PERSAMAAN LINIER
BAB 4 : SISTEM PERSAMAAN LINIER 4.1 PERSAMAAN LINIER Misalnya x 2 Matematika analitik membicarakan ilmu ukur secara aljabar. Garis lurus pada bidang x 1 dan x 2 dapat dinyatakan sebagai persamaan a 1 x
Lebih terperinciBAB 2 KAJIAN PUSTAKA DAN LANDASAN TEORI. Dalam beberapa tahun terakhir, model graph secara statistik telah diaplikasikan
BAB 2 KAJIAN PUSTAKA DAN LANDASAN TEORI Dalam beberapa tahun terakhir, model graph secara statistik telah diaplikasikan dengan baik pada aplikasi pengenalan suara, pengolahan citra (Willsky, 2002 dan Choi
Lebih terperinciPertemuan 1 Sistem Persamaan Linier dan Matriks
Matriks & Ruang Vektor Pertemuan Sistem Persamaan Linier dan Matriks Start Matriks & Ruang Vektor Outline Materi Pengenalan Sistem Persamaan Linier (SPL) SPL & Matriks Matriks & Ruang Vektor Persamaan
Lebih terperinciAljabar Linier Elementer. Kuliah 7
Aljabar Linier Elementer Kuliah 7 Materi Kuliah Ekspansi kofaktor Aturan Cramer 2 2.4 Espansi Kofaktor; Aturan Cramer Definisi: Jika A adalah matriks bujur sangkar, maka minor dari entri a ij dinyatakan
Lebih terperinciPenggunaan Metode Dekomposisi LU Untuk Penentuan Produksi Suatu Industri Dengan Model Ekonomi Leontief
Penggunaan Metode Dekomposisi LU Untuk Penentuan Produksi Suatu Industri Dengan Model Ekonomi Leontief Achmad Dimas Noorcahyo - 13508076 Program Studi Teknik Informatika Sekolah Teknik Elektro dan Informatika
Lebih terperinciYang dipelajari. 1. Masalah Nilai Eigen dan Penyelesaiannya 2. Masalah Pendiagonalan. Referensi : Kolman & Howard Anton. Ilustrasi
7// NILAI EIGEN dan VEKTOR EIGEN Yang dipelajari.. Masalah Nilai Eigen dan Penyelesaiannya. Masalah Pendiagonalan Referensi : Kolman & Howard Anton. Ilustrasi Misalkan t : R n R n dengan definisi t(x)
Lebih terperinciLatihan 7 : Similaritas, Pendiagonalan Matriks, Polinom Matriks
Latihan 7 : Similaritas, Pendiagonalan Matriks, Polinom Matriks 6. Tentukan polinomial karakteristik dari matriks transformasi A=. Andaikan A adalah matriks persegi berdimensi x. Polinom karakteristik
Lebih terperinciPertemuan 14. persamaan linier NON HOMOGEN
Pertemuan 14 persamaan linier NON HOMOGEN 10 Metode GAUSS Aljabar Linier Hastha 2016 10.2.2 METODE ELIMINASI GAUSS Apabila [A][X]=[B] maka dengan menyusun matriks baru yaitu matriks [A.B] akan didapat
Lebih terperinciSOLUSI SISTEM PERSAMAAN LINEAR
SOLUSI SISTEM PERSAMAAN LINEAR Bentuk umum persamaan linear dengan n peubah diberikan sebagai berikut : a1 x1 + a2 x2 +... + an xn = b ; a 1, a 2,..., a n R merupakan koefisien dari persamaaan dan x 1,
Lebih terperinci