BAB 2 PROGRAM LINIER DAN TAK LINIER. Program linier (Linear programming) adalah suatu masalah matematika
|
|
- Hamdani Atmadjaja
- 7 tahun lalu
- Tontonan:
Transkripsi
1 BAB 2 PROGRAM LINIER DAN TAK LINIER 2.1 Program Linier Program linier (Linear programming) adalah suatu masalah matematika yang mempunyai fungsi objektif dan kendala berbentuk linier untuk meminimalkan atau memaksimalkan suatu permasalahan dalam bidang optimisasi. Masalah program linier dapat dinyatakan dalam model berikut: Maks Z = c T y (2.1) Kendala A(x) 0 (2.2) x 0 (2.3) Dimana x adalah variabel, c dan b adalah koefisien vektor dan A adalah matriks. Ekpresi untuk memaksimalkan atau meminimalkan disebut fungsi tujuan z = c T x, dan Ax b disebut fungsi kendala. Pemecaham program linier dapat dilakukan dengan metode grafik, akan tetapi untuk fungsi objektif atau kendala mempunyai tiga variabel atau lebih metode grafik sulit atau tidak dapat dilakukan. Suatu prosedur umum untuk menyelesaikan permasalahan program linier disebut metode simpleks. 10
2 Metode Pemecahan Metode Grafik Pemecahan program linier dengan metode grafik dilakukan apabila hanya mempunyai dua variabel keputusan, artinya, hanya mempunyai dua dimensi. Sehingga prosedur metode grafik dapat digunakan untuk menentukan nilai variabel keputusan. Solusi optimum selalu berada pada titik pojok daerah layak Metode Simpleks Suatu prosedur umum untuk menyelesaikan permasalahan program linier yang mempunyai tiga variabel atau lebih disebut metode simpleks. Metode ini dikembangkan oleh George Dantzig pada tahun Metode simpleks adalah suatu penyelesaian secara aljabar, tetapi konsep yang mendasarinya adalah geometris. Metode ini dirancang untuk menyelesaikan permasalahan program linier, baik dua variabel atau lebih yang penyelesaiannya dilakukan melalui perhitungan berulang (iterasi) dengan langkah yang sama hingga solusi optimum dicapai. Penyelesaian program linier dengan metode simpleks didasari dengan ide metode grafik, dimana solusi optimum selalu berada pada titik pojok daerah layak. Langkah-langkah metode simpleks dilakukan sebagai berikut: 1. Inisialisasi dimulai dengan memilih solusi awal dari sebuah titik pojok layak 2. Uji optimalitas dengan bergerak dari suatu titik pojok layak ke titik pojok
3 12 layak yang berdekatan. Pergerakan akan meningkatkan atau penurunan nilai variabel non-basis, sehingga akan meningkatkan fungsi tujuan untuk masalah maksimalisasi atau menurunkan nilai fungsi tujuan untuk masalah minimalisasi. 3. Iterasi dilakukan berulang-ulang sampai diperoleh solusi yang lebih baik dan iterasi berhenti apabila solusi optimum diperoleh. Untuk mempermudah perhitungan simpleks, bentuk baku model program linier dapat diubah ke dalam bentuk tabel, dan disebut tabel simpleks. Langkahlangkah perhitungan dalam algoritma simpleks adalah sebagai berikut. 1. Inisialisasi dengan menetapkan n-m variabel non-basis awal sama dengan nol, dimana n jumlah variabel dan m banyak kendala 2. Uji optimalitas, solusi layak basis sudah optimal jika dan hanya jika setiap koefisien dalam baris nol adalah tidak negatif. Bila tidak, dilakukan iterasi untuk mendapatkan solusi layak basis berikutnya 3. Iterasi pertama dilakukan dengan menetukan variabel basis yang masuk dengan memilih variabel (secara otomatis variabel non-basis) yang memiliki koefisien paling negatif dalam suatu kolom tertentu, dimana kolom itu disebut kolom sumbu (pivot). 4. Kemudian iterasi kedua dilakukan uji rasio minimum, yaitu:
4 13 a. Mengambil masing-masing koefisien dalam kolom sumbu yang berinilai positif, b. Menetapkan baris yang memiliki rasio terkecil dari hasil pembagian kolom ruas kanan dengan koefisien kolom sumbu, c. Variabel basis pada baris rasio terkecil adalah variabel yang keluar, dan digantikan dengan variabel basis yang masuk dalam kolom variabel basis tabel simpleks berikutnya Metode Reduced Gradient Metode reduced gradient digunakan untuk mengeluarkan beberapa variabel keputusan dari kendala linier dengan mengurangi ruang matriks dari kendala (Murtagh dan Saunders, 1982). Masalah LP dinyatakan sebagai berikut. Min f(x) (2.4) Kendala A(x) = b (2.5) x R n Partisi variabel keputusan x ke dalam variabel terikat atau basic (x B ) dan variabel bebas atau superbasic (x S ) sehingga dapat dinyatakan menjadi: x = x B x S (2.6)
5 14 Akibatnya, matriks A dipartisi ke dalam matriks B dan S, sehingga persamaan kendala (2.6) dinyatakan menjadi: Ax = [B S] x B x S = b (2.7) Dimana matriks B adalah matriks kuadratik, dan sisanya adalah matriks S. Mempertimbangkan x, yaitu suatu pergerakan variabel x, sehingga Pers.(2.6) dapat dinyatakan menjadi: x B x = = x B x k B (2.8) x S x S x k S Persamaan (2.7) dan (2.8) dapat memenuhi persamaan (2.6). Oleh karena itu Bx B + Sx S = b dan Bx k B + Sxk S = b dapat dinyatakan menjadi; B x B + S x S = 0 (2.9) atau x B = BS x S (2.10) Sehingga x dapat dinyatakan menjadi: B 1 x B x = x S (2.11) I atau x = Z x S (2.12)
6 15 B 1 x B Dimana Z = disebut sebagai transformasi matriks I Dari derivatif kedua ekspansi deret Taylor dari f(x) pada iterasi ke - k, x k, maka dapat dinyatakan menjadi: f(x) = f(x k ) + f(x k ) T x + 1/2( x T ) x f(x k ) x (2.13) Hasil subsitusi Pers.(2.12) ke dalam Pers.(2.13) menjadi: f(x S ) = f(x k ) + f(x k ) T Z x S + 1/2 ( x S ) T Z T x f(x k )Z x S (2.14) Dinyatakan reduced gradien g T R = f(xk ) T z dan reduced Hessi H R = z T x f(x k )z, sehingga Pers.(2.13) (2.14) dapat dinyatakan menjadi: f(x s ) = f(x k ) + g T R x S + 1/2( x S ) T H R x S (2.15) Kondisi penting untuk syarat minimum dipenuhi bila δf δ x S = 0, yaitu; g T R + H R x S = 0 (2.16) Oleh karena itu, H R x S = g T R adalah sistem linier dari persamaan dalam (n m) variabel. 2.3 Program Tak Linier Program tak linier (Non linear programming (NLP)) adalah suatu program dalam masalah optimisasi yang mempunyai fungsi objektif tidak linier dan beberapa atau semua fungsi kendala tidak linier, akan tetapi tidak diketahui konveks atau tidak konveks. Pembahasan tentang program tak linier dapat dilihat dalam
7 16 Luenberger (1984), Sugden (1992), Hiller dan Lieberman (2005), Boyd dan Vandenberghe (2009). Model program tak linier (NLP) dapat dinyatakan seperti berikut ini. Min f(x) (2.17) Kendala g(x) 0 (2.18) h(x) = 0 (2.19) x 0 Dimana f(x) adalah fungsi tak linier, h(x) dan g(x) keduanya fungsi tak linier atau salah satu tidak linier dengan n variabel keputusan. Pemecahan masalah program tak linier adalah untuk menentukan nilai variabel X = (x 1, x 2,..., x n ) dari kendala yang memperoleh solusi optimum (minimum atau maksimum) untuk fungsi objektif. Terdapat beberapa bentuk masalah dalam program tak linier, bentuknya tergantung pada ciri-ciri fungsi objektif dan kendala. Sehingga pemecahan yang digunakan akan berbeda sesuai dengan ketidaklinieran fungsi objektif dan kendala yang muncul dalam berbagai bentuk, seperti fungsi konveks atau tidak konveks. Akibatnya daerah layak dapat menjadi menjadi daerah layak konveks atau tak konveks Fungsi Tak Linier Himpunan Konveks dan Tak Konveks Definisi 2.1: Himpunan C disebut himpunan konveks atau konkaf, apabila semua titik pada segmen garis melalui sembarang dua titik dalam himpunan C juga ele-
8 17 men himpunan C. Definisi 2.2: Misalkan x i, x j R titik-titik yang dapat dibuat dalam bentuk λx i + (1 λ)x j untuk 0 λ 1 disebut kombinasi garis dari x i dan x j. Definisi 2.3: Suatu himpunan C R disebut himpunan konveks apabila untuk setiap sebarang dua elemen x i, x j C termuat dalam λx i + (1 λ) x j untuk 0 λ 1 Definisi 2.4. Suatu himpunan N C R disebut himpunan tak konveks apabila untuk setiap sebarang dua elemen x i, x j N C terdapat titik x k sedemikian sehingga x k pada λx i + (1 λ)x j untuk 0 λ 1 tetapi x k / N C Fungsi Konveks dan Konkaf Fungsi konveks adalah suatu fungsi yang memenuhi untuk setiap dua titik x i dan x j, dapat ditarik garis yang menghubungkan f(x i ) dan f(x j ) pada fungsi tersebut (Luenberger, 1984). Definisi 2.5: Suatu fungsi f(x) disebut fungsi konveks apabila untuk sebarang dua titik x i dan x j pada R n dipenuhi f(λx i + (1 λ)x j λf(x i ) + (1 λ)f(x j ), untuk
9 18 0 λ 1. Suatu fungsi f(x) dikatakan fungsi konveks kuat (strictly) apabila untuk sebarang dua titik, x i dan x j pada R n dipenuhi f(λx i + (1 λ)x j > λf(x i ) + (1 λ)f(x j ), untuk 0 λ 1 Definisi 2.6: Suatu fungsi f(x) dikatakan fungsi konkaf apabila untuk sebarang dua titik x i dan x j pada R n dipenuhi f(λx i + (1 λ)x j λf(x i ) + (1 λ)f(x j ), untuk 0 λ 1. Suatu fungsi f(x) disebut fungsi konkaf kuat (strictly) apabila untuk sebarang dua titik x i dan x j pada R n dipenuhi f(λx i + (1 λ)x j < λf(x i ) + (1 λ)f(x j ), untuk 0 λ Fungsi tak Konveks Definisi 2.7: Suatu fungsi f(x) dikatakan tak konveks, apabila fungsi tak linier yang tidak dapat dinyatakan fungsi konveks atau konkaf. Definisi 2.8: Suatu fungsi f(x) disebut tak konveks apabila untuk sebarang dua titik x i dan x j pada R n terdapat suatu titik x k λf(x i ) + (1 λ)f(x j ) untuk 0 λ 1 tidak memenuhi f(λx i + (1 λ)x j λf(x i ) + (1 λ)f(x j ), untuk 0 λ 1.
10 Daerah Layak Konveks Definisi 2.9: Daerah layak F adalah konveks apabila untuk setiap dua titik pada daerah layak F, semua kombinasi konveks titik-titik dalam F juga dalam daerah layak F. Dalam permasalahan optimisasi, daerah layak konveks dalam fungsi objektif F, dinyatakan dalam F = {x : x R n, h(x) = 0, g(x) 0, x 0} dapat digambarkan sebagai berikut. Daerah layak F(x) adalah konveks, karena untuk sebarang titik x 1, x 2 F, setiap kombinasi konveks dari titik-titik x 1, dan x 2 dalam daerah layak F, yaitu x = λx 1 + (1 λ)x 2 F untuk semua nilai λ, dimana 0 λ Daerah Layak Tak Konveks Definisi Daerah layak dikatakan tidak konveks apabila beberapa titik dalam garis yang menghubungkan dua titik tidak berada dalam daerah layak. Definisi Daerah layak F dikatakan tidak konveks apabila kombinasi konveks dari sebarang dua titik dalam F tidak dalam daerah layak F.
11 20 Dalam permasalahan optimisasi, daerah layak tak konveks dari daerah layak F = x : x R n, h(x) = 0, g i (x) 0, i = 1,..., n, dapat digambarkan sebagai berikut. Daerah layak F(x adalah tidak konveks, karena untu sebarangk dua titik titik x 1, x 2 F (x) terdapat titik x k / F (x) sedemikian sehingga x k = λ x 1 +(1 λ) x 2 / F (x) untuk semua nilai λ untuk 0 λ Metode Pemecahan Membahas masalah program tak linier tidak terlepas dari pemecahan masalah fungsi tak linier. Terdapat beberapa pendekatan yang digunakan untuk pemecahan fungsi tak linier dalam rangka mencari titik ekstrim. Perbedaan pendekatan tergantung kepada bentuk fungsi dan tujuan yang akan dicapai. Pendekatan atau metode yang biasa digunakan dalam pemecahan fungsi tak linier, seperti deret Taylor, fungsi Lagrange, dan Kondisi Kuhn-Tucher, pendekatan tersebut dapat dilihat dalam Rao (2009), Mital (1976), Bronson (1996), Chachuat (2007). Pemecahan itu diuraikan secara ringkas berikut ini
12 Deret Taylor Deret Taylor digunakan untuk mengembangkan konsep dasar dari fungsi objektif, yaitu dengan gradient fungsi dan matriks Hessian untuk memperoleh karakteristik solusi optimal dari pengujian konveksitas suatu fungsi dan titik ekstrim. Andaikan fungsi f(x) adalah fungsi yang dapat dideferensialkan secara kontinu dan mempunyai nilai riel dari X dalam R n. Dapat diambil x + δx sebagai persekitaran dari x dalam R n sedemikian sehingga X = {δx 1, δx 2,..., δx n } dan X + x = {x 1 + δx 1, x 2 + δx 2,..., x n + δx n }, dimana derivatif dari f(x) adalah [ f = x 1, x 2,..., x n ], sehingga deret Taylor untuk f(x) dalam variabel n dapat dinyatakan dengan f{x 1 +δx 1, x 2 +δx 2,..., x n +δx n } = f(x 1, x 2,..., x n )+f(δx 1 x 1 + δx 2 x δx n x n ) f(δx 1 x 1 + δx 2 x δx n x n ) n f(δx 1 x 1 +δx 2 x δx n x n ) n + 1 f(δx n+1 1 x 1 +δx 2 x δx n x n ) n+1 Matriks Hessian dari fungsi f(x) sebagai matriks n x n, yaitu: 2 f 2 f 2 f,,..., 2 x 1 x 1 x 2 x 1 x n 2 f, 2 f 2 f,..., H(x) = x 2 x 1 2 x 2 x 2 x n...,...,... 2 f 2 f,,..., 2 f x n x 1 x n x 2 2 x n (2.20) Sehingga deret Taylor dapat dinyatakan menjadi:
13 22 F (x + x) = f(x) + ( x) 1 f(x) ( x)1 H(x) x + E(x, x) x 2 (2.21) Dimana E(x, x) 0, dan x Titik Ekstrim Titik ekstrim adalah suatu titik maksimum atau minimum dari seluruh nilai variabel suatu fungsi. Titik yang membuat f(x) minimum mengakibatkan ( f(x)) menjadi maksimum atau sebaliknya. Hal itu berarti, suatu masalah maksimum dapat diubah menjadi masalah minimum, dan sebaliknya. Definisi Titik x D disebut minimum lokal dari fungsi f(x) pada D apabila terdapat persekitaran ε > 0 dari x sedemikian sehingga untuk semua x dalam persekitaran x memenuhi f(x) f(x ). Titik x D disebut maksimum lokal dari fungsi f(x) pada D apabila terdapat persekitaran ε > 0 dari x sedemikian sehingga untuk semua x di persekitaran x memenuhi f(x) f(x ). Definisi Titik x D disebut minimum global dari fungsi f(x)pada D apabila untuk semua x D memenuhi f(x) f(x ). Titik x D disebut maksimum global dari fungsi f(x) pada D apabila untuk semua x D memenuhi f(x) f(x ). Beberapa syarat penting untuk mengidentifikasi titik stationer dengan menggunakan fungsi gradient dan matriks Hessi, yaitu: 1. Kondisi cukup untuk minimum lokal pada titik x a. Fungsi gradien f(x ) = 0
14 23 b. Matriks Hessi H(x ) adalah definit positif 2. Kondisi cukup untuk maksimum lokal pada titik x a. Fungsi gradien f(x ) = 0 b. Matriks Hessi H(x ) adalah definit negatif 3. Kondisi cukup untuk titik sadle (pelana) pada titik x a. Fungsi gradien ff(x ) = 0 b. Matriks Hessi H(x ) adalah indefinit Fungsi Lagrange Suatu metode klasik menyangkut pemecahan permasalahan pada program linier atau non-linier adalah dengan metode pengali Lagrange. Metode ini digunakan untuk mencari solusi dari suatu permasalahan titik ekstrim dari beberapa variabel dan fungsi yang memenuhi semua persamaan kendala. Prosedur metode ini dimulai dengan merumuskan fungsi Lagrange seperti berikut. Maks/min f(x) (2.22) Kendala: g i (x ( i,., x n )) = b i, i = 1,, m; m < n (2.23) x i 0 dimana f(x) dan g(x) adalah fungsi yang dapat dideferensialkan dan mempunyai nilai riel untuk setiap variabel x.
15 24 Fungsi F(x) dinyatakan dengan ekspresi: F (x, λ) = λ 0 f(x) + λ 1 [b 1 g 1 (x)] λ m [b m g m (x)] (2.24) disebut fungsi lagrange, dan bilangan λ i disebut pengali lagrange, dengan memenu hi persyaratan pengali, apabila x = x 1,..., x n adalah solusi dari masalah pada suatu titik ekstim dari Pers.(2.22) - (2.23), maka terdapat bilangan yang paling kecil tidak nol dari pengali lagrange λ = λ 0,..., λ m sedemikian sehingga titik-titik x, λ adalah titik stationer dari fungsi lagrange yang memenuhi variabel x j dan λ i, i 0 disebut sebagai variabel bebas. Kondisi penting untuk titik stationer dari fungsi lagrange adalah suatu kepastian sistem pada persamaan m + n Bukti: Teorema Misalkan x L R n, f(x) dan g(x) adalah fungsi yang dapat dideferensialkan dan mempunyai nilai real untuk setiap x dalam L. Jika f(x) mempunyai relatif ekstrim di x terhadap kendala g k (x) = 0, k = 1,..., m, maka terdapat λ k, k = 1,..., m sedemikian sehingga x adalah titik stationer. Tanpa mengurangi keumuman dari kendala g k (x) = 0, diasumsikan Jacobian sebagai berikut: (g 1, g 2,..., g m ) (x 1, x 2,..., x m ) 0 (2.25)
16 25 Karena x adalah relatif ekstrim dari f(x), maka ( x)( f(x )) = 0, atau pada x berlaku: x 1 x 1 + x 2 x x n x n = 0 (2.26) Karena kendala g k (x) = 0, k = 1,..., m, x j, j = 1,..., m tidak bebas linier, maka dengan pendeferensialan diperoleh: g k x 1 x 1 + g k x 2 x g k x n x n = 0, k = 1,..., m (2.27) Dengan mengalikan Pers. (2. 27) dengan λ 1, λ 2,..., λ m, dan menambahkannya ke Pers. (2. 26), diperoleh: n ( g 1 g 2 g m + λ 1 + λ λ m ) = 0 (2.28) i=1 Dengan mempertimbangkan persamaan: atau ( + λ 1 g 1 + λ 2 g λ m g m ) = 0, i = 1,..., m (2.29) g 1, g 2,..., g m x 1 x 1 x 1 g 1, g 2,..., g m x 2 x 2 x 2....,...,... g 1, g 2,..., g. m x n x n x n λ 1 λ 2 λ m x 1 = x 2... x m (2.30) Karena Pers.(2.24) merupakan matriks non singular, maka terdapat nilai unik dari λ 1, λ 2,..., λ m yang memenuhi Pers.(2.29).
17 26 Dengan mengurangi variabel x i, i = 1,..., n dalam Pers.(2.28) maka diperoleh: n i=m+1 ( g 1 g 2 g m + λ 1 + λ λ m ) = 0 Karena terdapat variabel x i, i = m + 1,..., n adalah variabel bebas linier mengakibatkan: + λ 1 g 1 + λ 2 g λ m g m = 0, i = m + 1,..., n (2.31) Berdasarkan penyederhanaan Pers.(2.29) dan (2.31) diperoleh: L(x, λ) = 0, i = 1,..., n pada x (2.32) Dengan demikian x adalah titik stationer dari f(x) Kondisi Kuhn-Tucher Solusi optimal dari permasalahan program tak linier dianalisis oleh Karush (1939) dan Kuhn-Tucher (1951). Kondisi optimal Karush-Kuhn-Tucher (KKT) adalah valid untuk pemecahan masalah program tak linier dengan fungsi objektif dan kendala tak linier yang mempunyai kendala bentuk pertidaksamaan atau persamaan. Jadi, syarat perlu untuk memperoleh solusi optimal dari program tak linier adalah adanya kondisi Karush-Kuhn-Tucher dari model berikut. Min f(x) (2.33) Kendala g(x) 0 (2.34) x 0 Berdasarkan fungsi Lagrange diperoleh L(x, λ) = f (x) + λg i (x), i = 1,..., n, dimana λ 0 adalah pengali Lagrange. Sehingga untuk memperoleh titik stationer
18 27 harus memenuhi; L(x,λ) = 0, i = 1,..., n sehingga kondisi Karush-Kuhn-Tucher (KTT) adalah; L(x, λ) = + m k=1 (λ k g k g i ) = 0, i = 1,..., n (2.35) dan g k (x) 0 λ k g k (x) = 0, k = 1,..., m (2.36) λ k 0 atau + [ x j m k=1 + (λ k g k g i ) 0 m k=1 (λ k g k g i ) ] = 0 (2.37) x j 0 dan g i (x) 0 λ i g i (x) = 0, k = i,..., m (2.38) λ i 0 Dimana kondisi Pers.(2.34)-(2.35) merupakan syarat perlu pada (x, λ ) untuk titik pelana (saddle) dari f(x, λ) dengan variabel x tidak dibatasi dan λ 0. Dengan kondisi yang sama Pers. (2.36)-(2.37) untuk x 0, λ 0. Apabila f(x) dan g i (x) adalah fungsi konveks dengan titik sadle (x, λ ), λ 0 dari L(x, λ)
19 28 dengan demikian x adalah titik minimum dari f(x) dengan kendala g i (x). Karena f(x) adalah fungsi konveks maka f(x) hanya mempunyai satu titik optimum yang menjadi titik minimumnya. Jadi kondisi ini merupakan solusi perkiraan kondisi Kuhn-Tucher yang memberikan titik minimum dari f(x). Sehingga masalah program tak linier mempunyai solusi optimum hanya jika terdapat m bilangan λ 1,..., λ m sedemikian sehingga semua kondisi berikut dipenuhi. (1) x j = (2) x j( x j m k=1 m k=1 λ k g i x j 0, i = 1,..., n di x j = x j λ k g i x j ) = 0, i = 1,..., n di x j = x j (4) λ i (g i (x j) b i ) = 0, i = 1,..., m (5) x i 0, i = 1,..., n (6) λ i 0, i = 1,..., m, dimana λ i disebut pengali Lagrange Program Konveks Program konveks suatu klas khusus dari program tak linier yang memiliki fungsi tujuan linier atau tidak linier dan kendala tidak linier, dimana semua solusi layak berada dalam daerah layak. Program konveks berarti fungsi adalah konveks, sehingga daerah pencarian adalah konveks. Fungsi dapat dideferensialkan dari banyak variabel bila matriks Hessian (suatu matriks untuk semua derivative keduanya) adalah definit positif pada semua (entire) domainnya, dan masalah program konveks mengacu pada masalah optimisasi yang hanya mempunyai satu minimum lokal, dan dapat menemukan minimum global.
20 29 Model program konveks dinyatakan sebagai berikut; Min f(x) (2.39) Kendala g i (x) 0, i = 1,..., 0 (2.40) x 0 Dimana fungsif, g i,..., g m : R n R adalah fungsi konveks Definisi Misal C adalah himpunan konveks yang tidak kosong di dalam R n. Jika f : C R adalah konveks pada C, maka min f(x) x C konveks. disebut program Dalam program konveks diasumsikan minimum lokal menjadi minimum global. Nilai f(x ) adalah minimum pada titik x yang memenuhi f(x) f(x ) untuk x x < δ, dan minimum global dalam daerah layak F nilai pada f(x ) adalah minimum yang memenuhi memenuhi f(x) f(x ), x F, dan menentukan nilai x = x menjadi solusi minimum dilakukan dengan derivarif pertama dari f(x), yaitu (x) x j = 0, pada x = x, untuk j = 1, 2,..., n. Teorema 2.2. Misal x adalah minimum lokal pada program konveks, maka x adalah juga minimum global. Bukti: Misalkan variabel x adalah minimum lokal, berarti ε > 0 sedemikian sehingga f(x) f(x ), x C ε (x ). Dengan kontradiksi, andaikan x bukan minimum global, maka x C sedemikian sehingga f(x) < f(x ). Misalkan λ [0, 1] adalah pilihan sedemikian sehingga dengan konveksitas pada C, dan f(x) dalam C, berarti f(x) = λx + (1 λ) x C ε (x ).
21 30 Selanjutnya, dengan konveksitas dari f pada C, berarti; f(x) λ f(x) + (1 λ)f(x ) < λf(x ) + (1 λ)f(x ) f(x ) atau f(x) f(x ). Hal ini bertentangan dengan pengandaian, bahwa x adalah minimum lokal. Jadi haruslah x adalah minimum global. Dalam masalah program konveks, dengan penambahan asumsi bahwa f dan g adalah fungsi konveks. Biasanya, bila masalah tidak diasumsikan pada masalah konveks, maka masalah mempunyai solusi optimum lokal. Hasil yang diperoleh berdasarkan penggunaan metode eksak dapat menemukan solusi global, disebut metode optimisasi global Program Tak Konveks Program tak konveks adalah suatu program yang mempunyai fungsi objektif tak linier dan beberapa atau semua kendala tak linier. Masalah program tak konveks mungkin mempunyai banyak titik optimum lokal, hal itu akan memerlukan banyak waktu untuk mengidentifikasi apakah masalah mempunyai solusi atau tidak, apabila solusi yang akan dicari adalah minimum global. Oleh karena itu, masalah pemecahan masalah program tak konveks pada umumnya lebih sulit, bahkan fungsi adalah sangat smooth (halus). Dalam program tak konveks, diasumsikan bahwa minimum lokal tidak menjadi minimum global, atau maksimum lokal tidak menjadi maksimum global. Masalah tersebut digambarkan seperti dalam gambar 2.5 berikut.
22 Metode Pemecahan Beberapa penggunaan algoritma yang efektif dalam pemecahan masalah NLP dapat dilihat dalam Bertsimas (1999), Boyd dan Vabdenberghe (2004), Fletcher (2000), Nocedal dan Wright (2006), pemecahan itu diuraikan secara ringkas berikut ini Line Search Pencarian garis (line search) digunakan untuk masalah optimisasi tak berkendala dengan fungsi objektif non-linier. Pada tiap iterasi suatu penaksiran dari fungsi non-linier dipertimbangkan dan (i) suatu petunjuk pencarian ditentukan, (ii) penjang langkah pencarian selama arah pengambilan diperhitungkan. Pendekatan berbeda untuk menentukan arah dan panjang langkah seperti Steepest des cent, N ewton, Quasi N ewton, Conjugate Direction methods.
23 Trust Region Daerah kepercayaan (Trust region) adalah suatu metode yang digunakan sebagai suatu alternatif untuk pencarian garis. Pada tiap-tiap iterasi, pencarian dari titik terbaik menggunakan perkiraan yang dibatasi ke dalam suatu trust region, dan ditetapkan dengan suatu panjang langkah maksimum. Pendekatan ini didorong oleh fakta bahwa perkiraan dari fungsi non-linier pada titik yang diberikan tidak dapat menjadi titik terbaik. Oleh karena itu trust region dapat menunjukkan bagian seharusnya yang dapat memberikan perkiraan yang baik. Kemudian arah dan panjang langkah pencarian memberikan perbaikan terbaik untuk nilai fugsi objektif sampai daerah kepercayaan diambil Penalty and Augmented Lagrangian Metode P enalty mendefinisikan ulang fungsi objektif dari NLP untuk memperoleh kelayakan dan nilai optimalitas dari suatu penambahan syarat-syarat solusi yang menetapkan ketidaklayakan solusi. Ketika suatu fungsi penalty meminimalkan solusi dari NLP awal. Hal itu disebut eksak, dengan kata lain minimalisasi fungsi penalty mengarahkan kepada solusi optimal dari masalah asli. Suatu contoh dari metode penalty eksak adalah metode Augmented Lagrangian yang membuat dengan jelas penggunaan dari penduga pengali Lagrange.
24 Active Set Himpunan aktif (active set) adalah himpunan variabel aktif dalam suatu persamaan kendala. Metode himpunan aktif adalah suatu metode iteratif untuk pemecahan masalah N LP dengan pertidaksamaan kendala. Berdasarkan pengertian kendala dalam himpunan aktif, suatu pergerakan mengidentifikasi titik baru untuk iterasi selanjutnya. Algoritma simpleks oleh Dantzig (1956) adalah suatu metode kendala aktif untuk pemecahan masalah program linier. Suatu hasil yang efektif dan luas digunakan dalam kasus khusus dengan metode himpunan aktif untuk masalah N LP adalah program kuadratik (Quadratic programming), yaitu suatu rangkaian pemecahan masalah untuk menaksir masalah NLP terakhir. Suatu contoh seperti penyelesaian menggunakan metode Newtons dengan kondisi KKT dari masalah NLP. Metode himpunan aktif adalah suatu metode yang mengestimasi himpunan variabel aktif dari solusi optimal. Masalah N LP dibagi dalam dua bagian himpunan kendala, yaitu pertidaksamaan yang menjadikannya sebagai kendala aktif, dan kendala tidak aktif. Pertidaksamaan kendala dalam himpunan tidak aktif dianggap sebagai pertidaksamaan kuat pada solusi optimum dan mengabaikan yang sangat utama. Sisa masalah dipecahkan dengan suatu metode untuk memecahkan persamaan kendala dari masalah optimisasi. Pemecahan masalah NLP terdiri dari dua tahap iterasi yang memberikan suatu estimasi himpunan aktif dari solusi. Tahap pertama adalah tahap kelayakan, dima-
25 34 na fungsi objektif diabaikan ketika titik layak ditemukan pada kendala Ax=b dan Dx f. Tahap kedua adalah tahap optimalitas, dimana fungsi objektif diminimalkan ketika kelayakan diperbaiki. Kedua tahap dari algoritma terkait dengan perubahan minimalisasi fungsi dari suatu fungsi yang menggambarkan tingkat dari ketidaklayakan kepada fungsi objektif. Metode ini mempunyai prosedur untuk meninjau ulang himpunan aktif, salah satu cara adalah dengan penghapusan pertidaksamaan kendala dari kendala asli, atau menambahkan pertidaksamaan kendala dari himpunan tak aktif ke dalamnya. Pembahasan metode himpunan aktif (Active set) dapat dilihat dalam Panier (1987), Murty dan Yu (1997), Oberlin dan Wright (2006). Kontribusi metode active set tersebut mendasari pemecahan masalah NLP dengan kendala aktif.
BAB 2 LANDASAN TEORI
BAB 2 LANDASAN TEORI Pada bab ini akan dijelaskan mengenai teori teori yang berhubungan dengan pembahasan ini sehingga dapat dijadikan sebagai landasan berpikir dan akan mempermudah dalam hal pembahasan
Lebih terperinciBAB II KAJIAN PUSTAKA. pemrograman nonlinear, fungsi konveks dan konkaf, pengali lagrange, dan
BAB II KAJIAN PUSTAKA Kajian pustaka pada bab ini akan membahas tentang pengertian dan penjelasan yang berkaitan dengan fungsi, turunan parsial, pemrograman linear, pemrograman nonlinear, fungsi konveks
Lebih terperinciBAB 2 TINJAUAN PUSTAKA. ini sehingga dapat dijadikan sebagai landasan berpikir dan akan mempermudah. dalam hal pembahasan hasil utama berikutnya.
BAB 2 TINJAUAN PUSTAKA Pada bab ini akan dijelaskan mengenai teori-teori yang berhubungan dengan pembahasan ini sehingga dapat dijadikan sebagai landasan berpikir dan akan mempermudah dalam hal pembahasan
Lebih terperinciBAB II KAJIAN PUSTAKA. Pada bab ini akan diberikan landasan teori tentang optimasi, fungsi, turunan,
BAB II KAJIAN PUSTAKA Pada bab ini akan diberikan landasan teori tentang optimasi, fungsi, turunan, pemrograman linear, metode simpleks, teorema dualitas, pemrograman nonlinear, persyaratan karush kuhn
Lebih terperinciBAB II KAJIAN PUSTAKA
BAB II KAJIAN PUSTAKA A. Efektivitas Efektivitas berasal dari kata efektif, yang merupakan kata serapan dari bahasa Inggris yaitu effective yang artinya berhasil. Menurut kamus ilmiah popular, efektivitas
Lebih terperinciSYARAT FRITZ JOHN PADA MASALAH OPTIMASI BERKENDALA KETAKSAMAAN. Caturiyati 1 Himmawati Puji Lestari 2. Abstrak
Syarat Fritz John... (Caturiyati) SYARAT FRITZ JOHN PADA MASALAH OPTIMASI BERKENDALA KETAKSAMAAN Caturiyati 1 Himmawati Puji Lestari 2 1,2 Jurusan Pendidikan Matematika FMIPA UNY 1 wcaturiyati@yahoo.com
Lebih terperinciBAB 2 TINJAUAN PUSTAKA
BAB 2 TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Optimasi Non-Linier Suatu permasalahan optimasi disebut nonlinier jika fungsi tujuan dan kendalanya mempunyai bentuk nonlinier pada salah satu atau keduanya. Optimasi nonlinier
Lebih terperinciBAB 1 PENDAHULUAN. 1.1 Latar Belakang
BAB 1 PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Zaman yang semakin berkembang membuat persoalan semakin kompleks, tidak terkecuali persoalan yang melibatkan persoalan matematika. Dalam pemecahannya, matematika memegang
Lebih terperinciMetode Simpleks (Simplex Method) Materi Bahasan
Metode Simpleks (Simplex Method) Kuliah 03 TI2231 Penelitian Operasional I 1 Materi Bahasan 1 Rumusan Pemrograman linier dalam bentuk baku 2 Pemecahan sistem persamaan linier 3 Prinsip-prinsip metode simpleks
Lebih terperinciBAB 2 LANDASAN TEORI
BAB 2 LANDASAN TEORI Pada bab ini akan dibahas beberapa pengertian dari optimasi bersyarat dengan kendala persamaan menggunakan multiplier lagrange serta penerapannya yang akan digunakan sebagai landasan
Lebih terperinciBAB II LANDASAN TEORI
BAB II LANDASAN TEORI Berikut ini adalah beberapa definisi dan teorema yang menjadi landasan dalam penentuan harga premi, fungsi permintaan, dan kesetimbangannya pada portfolio heterogen. 2.1 Percobaan
Lebih terperinciSyarat Fritz John pada Masalah Optimasi Berkendala Ketaksamaan. Caturiyati 1 Himmawati Puji Lestari 2. Abstrak
Syarat Fritz John pada Masalah Optimasi Berkendala Ketaksamaan Caturiyati 1 Himmawati Puji Lestari 2 1,2 Jurusan Pendidikan Matematika FMIPA UNY 1 wcaturiyati@yahoo.com 2 himmawatipl@yahoo.com Abstrak
Lebih terperinciOPTIMASI (Pemrograman Non Linear)
OPTIMASI (Pemrograman Non Linear) 3 SKS PILIHAN Arrival Rince Putri, 013 1 Silabus I. Pendahuluan 1. Perkuliahan: Silabus, Referensi, Penilaian. Pengantar Optimasi 3. Riview Differential Calculus II. Dasar-Dasar
Lebih terperinciKOMBINASI PERSYARATAN KARUSH KUHN TUCKER DAN METODE BRANCH AND BOUND PADA PEMROGRAMAN KUADRATIK KONVEKS BILANGAN BULAT MURNI
Jurnal LOG!K@ Jilid 7 No 1 2017 Hal 52-60 ISSN 1978 8568 KOMBINASI PERSYARATAN KARUSH KUHN TUCKER DAN METODE BRANCH AND BOUND PADA PEMROGRAMAN KUADRATIK KONVEKS BILANGAN BULAT MURNI Khoerunisa dan Muhaza
Lebih terperinciI PENDAHULUAN II LANDASAN TEORI
I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Salah satu observasi yang berguna dalam bidang komputasi di tahun 1970 adalah observasi terhadap permasalahan relaksasi Lagrange. Josep Louis Lagrange merupakan tokoh ahli
Lebih terperinciBAB 2 LANDASAN TEORI
BAB 2 LANDASAN TEORI 2.1 Pemrograman Non linier Pemrograman non linier adalah suatu bentuk pemrograman yang berhubungan dengan suatu perencanaan aktivitas tertentu yang dapat diformulasikan dalam model
Lebih terperinciBAB III PEMBAHASAN. digunakan untuk membentuk fungsi tujuan dari masalah pemrograman nonlinear
BAB III PEMBAHASAN Pada bab ini akan dijelaskan tentang konsep dasar metode kuadrat terkecil yang digunakan untuk membentuk fungsi tujuan dari masalah pemrograman nonlinear dan langkah-langkah penyelesaiannya
Lebih terperinciBAB 2 KAJIAN PUSTAKA. Menurut Asghar (2000), secara garis besar masalah optimisasi terbagi dalam beberapa tipe berikut:
BAB 2 KAJIAN PUSTAKA 2.1 Masalah Optimisasi dan Program Non Linier Menurut Asghar (2000), secara garis besar masalah optimisasi terbagi dalam beberapa tipe berikut: 1. Masalah optimisasi tanpa kendala.
Lebih terperinciDr. Ir. Bib Paruhum Silalahi, M.Kom
Metode Descent Oleh : Andaikan fungsi tujuan kita adalah minf(x);x R n. Secara umum f(x) dapat berupa fungsi nonlinear. Metode-metode descent adalah metode iteratif untuk memperoleh solusi pendekatan dari
Lebih terperinciBAB II TINJAUAN PUSTAKA. operasi yang mampu menyelesaikan masalah optimasi sejak diperkenalkan di
BAB II TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Pemrograman Linier (Linear Programming) Pemrograman linier (linear programming) merupakan salah satu teknik riset operasi yang mampu menyelesaikan masalah optimasi sejak diperkenalkan
Lebih terperinciII. TINJAUAN PUSTAKA. Pada bab ini akan didiskusikan tentang istilah-istilah, teorema-teorema yang akan
II. TINJAUAN PUSTAKA Pada bab ini akan didiskusikan tentang istilah-istilah, teorema-teorema yang akan digunakan dalam penelitian ini. 2.1 Himpunan Himpunan adalah kumpulan objek-objek yang memiliki karakteristik
Lebih terperinciBab 2 LANDASAN TEORI. 2.1 Pengantar Proses Stokastik
Bab 2 LANDASAN TEORI Pada bab ini akan diberikan penjelasan singkat mengenai pengantar proses stokastik dan rantai Markov, yang akan digunakan untuk analisis pada bab-bab selanjutnya. 2.1 Pengantar Proses
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN 1.1. Latar Belakang
BAB I PENDAHULUAN 1.1. Latar Belakang Saat ini semakin banyak permasalahan pada kehidupan sehari-hari yang memerlukan pendekatan optimisasi dalam penyelesaiannya. Sebagai contoh, misalkan sebuah perusahaan
Lebih terperinciPROGRAM LINEAR: METODE SIMPLEX
PROGRAM LINEAR: METODE SIMPLEX Latar Belakang Sulitnya menggambarkan grafik berdimensi banyak atau kombinasi lebih dari dua variabel. Metode grafik tidak mungkin dapat dilakukan untuk menyelesaikan masalah
Lebih terperinciPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
METODE TITIK-INTERIOR PADA PEMROGRAMAN KUADRATIK KONVEKS Skripsi Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat Memperoleh Gelar Sarjana Sains Program Studi Matematika Oleh: Fenny Basuki NIM: 831143 PROGRAM
Lebih terperinciBAB 2 LANDASAN TEORI
BAB 2 LANDASAN TEORI 2.1 Program Linier Program linier adalah suatu cara untuk menyelesaikan persoalan pengalokasian sumber-sumber yang terbatas di antara beberapa aktivitas yang bersaing, dengan cara
Lebih terperinciBAB 3 METODE PENELITIAN
BAB 3 METODE PENELITIAN Pada bab ini, akan dijelaskan metode-metode yang penulis gunakan dalam penelitian ini. Adapun metode yang akan digunakan dalam penelitian ini adalah Metode Simpleks dan Metode Branch
Lebih terperinciMetode Simpleks M U H L I S T A H I R
Metode Simpleks M U H L I S T A H I R PENDAHULUAN Metode Simpleks adalah metode penentuan solusi optimal menggunakan simpleks didasarkan pada teknik eliminasi Gauss Jordan. Penentuan solusi optimal dilakukan
Lebih terperinciBAB 2 LANDASAN TEORI
BAB 2 LANDASAN TEORI 2.1 Himpunan Konvek Definisi 2.1.1. Suatu himpunan C di R n dikatakan konvek jika untuk setiap x, y C dan setiap bilangan real α, 0 < α < 1, titik αx + (1 - α)y C atau garis penghubung
Lebih terperinciMETODE SEQUENTIAL QUADRATIC PROGRAMMING (SQP) PADA OPTIMASI NONLINIER BERKENDALA SKRIPSI
METODE SEQUENTIAL QUADRATIC PROGRAMMING (SQP) PADA OPTIMASI NONLINIER BERKENDALA SKRIPSI Diajukan sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Program Strata Satu (S1) pada Program Studi Matematika
Lebih terperinciOPTIMISASI KONVEKS: Konsep-konsep
OPTIMISASI KONVEKS: Konsep-konsep Caturiyati, M.Si 1 dan Himmawati Puji Lestari, M.Si 2 1,2 Jurdik Matematika FMIPA UNY 1 wcaturiyati@yahoo.com 2 himmawatipl@yahoo.com Abstrak Pada masalah optimisasi konveks
Lebih terperinciBAB 1 PENDAHULUAN Latar Belakang
BAB 1 PENDAHULUAN 1.1. Latar Belakang Pengoptimalan merupakan ilmu Matematika terapan dan bertujuan untuk mencapai suatu titik optimum. Dalam kehidupan sehari-hari, baik disadari maupun tidak, sebenarnya
Lebih terperinciAda beberapa kasus khusus dalam simpleks. Kadangkala kita akan menemukan bahwa iterasi tidak berhenti, karena syarat optimalitas atau syarat
Muhlis Tahir Ada beberapa kasus khusus dalam simpleks. Kadangkala kita akan menemukan bahwa iterasi tidak berhenti, karena syarat optimalitas atau syarat kelayakan tidak pernah dapat terpenuhi. Adakalanya
Lebih terperinciBAB II KAJIAN TEORI. Berikut diberikan landasan teori mengenai teori himpunan fuzzy, program
BAB II KAJIAN TEORI Berikut diberikan landasan teori mengenai teori himpunan fuzzy, program linear, metode simpleks, dan program linear fuzzy untuk membahas penyelesaian masalah menggunakan metode fuzzy
Lebih terperinciMETODE STEEPEST DESCENT
METODE STEEPEST DESCENT DENGAN UKURAN LANGKAH BARU UNTUK PENGOPTIMUMAN NIRKENDALA D. WUNGGULI 1, B. P. SILALAHI 2, S. GURITMAN 3 Abstrak Metode steepest descent adalah metode gradien sederhana untuk pengoptimuman.
Lebih terperinciBAB IV. METODE SIMPLEKS
BAB IV. METODE SIMPLEKS Penentuan solusi optimal menggunakan simpleks didasarkan pada teknik eliminasi Gauss Jordan. Penentuan solusi optimal dilakukan dengan memeriksa titik ekstrim (ingat kembali solusi
Lebih terperinciBAB 2 LANDASAN TEORI
BAB 2 LANDASAN TEORI 2.1 Program Linier Program linier merupakan suatu model matematika untuk mendapatkan alternatif penggunaan terbaik atas sumber-sumber yang tersedia. Kata linier digunakan untuk menunjukkan
Lebih terperinciBAB 2 LANDASAN TEORI
BAB 2 LANDASAN TEORI 2.1 Pemrograman Non Linier Pemrograman Non linier merupakan pemrograman dengan fungsi tujuannya saja atau bersama dengan fungsi kendala berbentuk non linier yaitu pangkat dari variabelnya
Lebih terperinciAlgoritma Simplex. Algoritma Simplex adalah algoritma yang digunakan untuk mengoptimalkan fungsi objektif dan memperhatikan semua persamaan
Algoritma Simplex Algoritma Simplex adalah algoritma yang digunakan untuk mengoptimalkan fungsi objektif dan memperhatikan semua persamaan kendala. (George Dantizg, USA, 1950) Contoh Kasus Suatu perusahaan
Lebih terperinciAlgoritma Simpleks Dan Analisis Kepekaan
Modul 1 Algoritma Simpleks Dan Analisis Kepekaan Prof. Bambang Soedijono P PENDAHULUAN ada Modul 1 ini dibahas metode penyelesaian suatu masalah program linear. Pada umumnya masalah program linear mengkaitkan
Lebih terperinciBAB II METODE SIMPLEKS
BAB II METODE SIMPLEKS 2.1 Pengantar Salah satu teknik penentuan solusi optimal yang digunakan dalam pemrograman linier adalah metode simpleks. Penentuan solusi optimal menggunakan metode simpleks didasarkan
Lebih terperinciModul Pendalaman Materi Program Linear, PPG Dalam Jabatan hal 1
5. Dualitas Contoh 14. Misalkan kita mempunyai program linear masalah maksimum dalam bentuk baku sebagai berikut. Misalkan kita mempunyai program linear masalah minimum dalam bentuk baku sebagai berikut.
Lebih terperinciTaufiqurrahman 1
PROGRAM LINEAR: METODE SIMPLEX Latar Belakang Sulitnya menggambarkan grafik berdimensi banyak atau kombinasi lebih dari dua variabel. Metode grafik tidak mungkin dapat dilakukan untuk menyelesaikan masalah
Lebih terperinciBAB III SOLUSI GRAFIK DAN METODE PRIMAL SIMPLEKS
BAB III SOLUSI GRAFIK DAN METODE PRIMAL SIMPLEKS A. Metode Simpleks Metode simpleks yang sudah kita pelajari, menunjukkan bahwa setiap perpindahan tabel baru selalu membawa semua elemen yang terdapat dalam
Lebih terperinciII LANDASAN TEORI. suatu fungsi dalam variabel-variabel. adalah suatu fungsi linear jika dan hanya jika untuk himpunan konstanta,.
II LANDASAN TEORI Pada pembuatan model penjadwalan pertandingan sepak bola babak kualifikasi Piala Dunia FIFA 2014 Zona Amerika Selatan, diperlukan pemahaman beberapa teori yang digunakan di dalam penyelesaiannya,
Lebih terperinciBAB II KAJIAN TEORI. yang diapit oleh dua kurung siku sehingga berbentuk empat persegi panjang atau
BAB II KAJIAN TEORI Pada bab ini akan diberikan kajian teori mengenai matriks dan operasi matriks, program linear, penyelesaian program linear dengan metode simpleks, masalah transportasi, hubungan masalah
Lebih terperincia. untuk (n+1) genap: terjadi ekstrem, dan jika (ii) f (x ) > 0, maka f(x) mencapai minimum di titik x.
Lecture I: Introduction A. Masalah Optimisasi Dalam kehidupan sehari-hari, manusia cenderung untuk berprinsip ekonomi, yaitu dengan sumber daya terbatas dapat memperoleh hasil sebanyak-banyaknya. Banyak
Lebih terperinciPerhatikan model matematika berikut ini. dapat dibuat tabel
4. Metode Simpleks Maks/min : h.m Perhatikan model matematika berikut ini. simpleksnya yaitu. dapat dibuat tabel Cb VDB Q M M Penilai an Z Keterangan: = variabel ke-j (termasuk variabel slack dan surplus)..
Lebih terperinciBAB 2 LANDASAN TEORI
BAB 2 LANDASAN TEORI 2.1 Matriks 2.1.1 Definisi Matriks Matriks adalah suatu kumpulan angka-angka (elemen-elemen) yang disusun menurut baris dan kolom sehingga berbentuk empat persegi panjang, di mana
Lebih terperinciBab 1 PENDAHULUAN. 1.1 Latar Belakang
Bab 1 PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Teori himpunan fuzzy banyak diterapkan dalam berbagai disiplin ilmu seperti teori kontrol dan manajemen sains, pemodelan matematika dan berbagai aplikasi dalam bidang
Lebih terperinciBAB II KAJIAN PUSTAKA. Berikut diberikan landasan teori mengenai Teori Portofolio, Turunan
BAB II KAJIAN PUSTAKA Berikut diberikan landasan teori mengenai Teori Portofolio, Turunan Parsial, Supremum dan Infimum, Himpunan Konveks, Program Nonlinear, Matriks Definit Positif dan Definit Negatif,
Lebih terperinciMETODE BIG M. Metode Simpleks, oleh Hotniar Siringoringo, 1
METODE BIG M Sering kita menemukan bahwa fungsi kendala tidak hanya dibentuk oleh pertidaksamaan tapi juga oleh pertidakasamaan dan/atau persamaan (=). Fungsi kendala dengan pertidaksamaan mempunyai surplus
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN Latar Belakang Masalah
BAB I PENDAHULUAN 1.1. Latar Belakang Masalah Derivatif memegang peranan penting dalam syarat optimalitas fungsi, yaitu untuk mencapai ekstrim, derivatif order satu fungsi tersebut harus bernilai nol.
Lebih terperinciIII RELAKSASI LAGRANGE
III RELAKSASI LAGRANGE Relaksasi Lagrange merupakan salah satu metode yang terus dikembangkan dalam aplikasi pemrograman matematik. Sebagian besar konsep teoretis dari banyak aplikasi menggunakan metode
Lebih terperinciBAB II KAJIAN TEORI. berkaitan dengan optimasi, pemrograman linear, pemrograman nonlinear, quadratic
BAB II KAJIAN TEORI Kajian teori pada bab ini membahas tentang pengertian dan penjelasan yang berkaitan dengan optimasi, pemrograman linear, pemrograman nonlinear, quadratic programming dan algoritma genetika.
Lebih terperinciPemrograman Linier (2)
Solusi model PL dengan metode simpleks Ahmad Sabri Universitas Gunadarma, Indonesia 2 Bentuk umum model PL Ingat kembali bentuk umum model PL maksimum Maks Z = c x + c 2 x 2 +... + c n x n Dengan kendala:
Lebih terperinciI PENDAHULUAN II LANDASAN TEORI
I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Semakin tingginya mobilitas penduduk di suatu negara terutama di kota besar tentulah memiliki banyak permasalahan, mulai dari kemacetan yang tak terselesaikan hingga moda
Lebih terperinciBAB III. METODE SIMPLEKS
BAB III. METODE SIMPLEKS 3.1. PENGANTAR Metode grafik tidak dapat menyelesaikan persoalan linear program yang memilki variabel keputusan yang cukup besar atau lebih dari dua, maka untuk menyelesaikannya
Lebih terperinciBAB IV PEMBAHASAN. optimasi biaya produksi pada home industry susu kedelai Pak Ahmadi
BAB IV PEMBAHASAN Pada bab ini akan dipaparkan tentang penerapan model nonlinear untuk optimasi biaya produksi pada home industry susu kedelai Pak Ahmadi menggunakan pendekatan pengali lagrange dan pemrograman
Lebih terperinciBAB III TURUNAN DALAM RUANG DIMENSI-n
BAB III TURUNAN DALAM RUANG DIMENSI-n 1. FUNGSI DUA PEUBAH ATAU LEBIH fungsi bernilai riil dari peubah riil, fungsi bernilai vektor dari peubah riil Fungsi bernilai riil dari dua peubah riil yakni, fungsi
Lebih terperinciOPTIMISASI KONVEKS: KONSEP-KONSEP
Prosiding Seminar Nasional Penelitian, Pendidikan dan Penerapan MIPA, Fakultas MIPA, Universitas Negeri Yogyakarta, 14 Mei 2011 OPTIMISASI KONVEKS: KONSEP-KONSEP Caturiyati 1 dan Himmawati Puji Lestari
Lebih terperinciKalkulus Multivariabel I
Maksimum, Minimum, dan Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia Titik Kritis Misalkan p = (x, y) adalah sebuah titik peubah dan p 0 = (x 0, y 0 ) adalah sebuah titik tetap pada bidang berdimensi dua
Lebih terperinciBAB II LANDASAN TEORI. selanjutnya sebagai bahan acuan yang mendukung tujuan penulisan. Materi-materi
BAB II LANDASAN TEORI Pada bab ini akan dibahas tentang landasan teori yang digunakan pada bab selanjutnya sebagai bahan acuan yang mendukung tujuan penulisan. Materi-materi yang diuraikan berupa definisi-definisi
Lebih terperinciBAB VI PROGRAMA LINIER : DUALITAS DAN ANALISIS SENSITIVITAS
BAB VI PROGRAMA LINIER : DUALITAS DAN ANALISIS SENSITIVITAS 6.1 Teori Dualitas Teori dualitas merupakan salah satu konsep programa linier yang penting dan menarik ditinjau dari segi teori dan praktisnya.
Lebih terperinciOPTIMASI FUNGSI MULTIVARIABLE TANPA KENDALA DENGAN METODE NEWTON
OPTIMASI FUNGSI MULTIVARIABLE TANPA KENDALA DENGAN METODE NEWTON Susi Ranangga [M008067], Aeroni Dwijayanti [M008078] Hamdani Citra P. [M0003], Nafi Nur Khasana [M00058]. Pendahuluan Dalam kehidupan sehari-hari
Lebih terperinciTeori Dualitas dan Penerapannya (Duality Theory and Its Application)
Teori Dualitas dan Penerapannya (Duality Theory and Its Application) Kuliah 6 TI2231 Penelitian Operasional I 1 Materi Bahasan 1 Teori dualitas 2 Metode simpleks dual TI2231 Penelitian Operasional I 2
Lebih terperinciManajemen Sains. Eko Prasetyo. Teknik Informatika UMG Modul 3 PEMROGRAMAN LINIER METODE SIMPLEKS
Modul 3 PEMROGRAMAN LINIER METODE SIMPLEKS Dalam menggunakan metode simpleks, hal yang perlu diperhatikan adalah mengonversi constraint yang masih dalam bentuk pertidaksamaan menjadi persamaan menggunakan
Lebih terperinciModel Optimisasi dan Pemrograman Linear
Modul Model Optimisasi dan Pemrograman Linear Prof. Dr. Djati Kerami Dra. Denny Riama Silaban, M.Kom. S PENDAHULUAN ebelum membuat rancangan penyelesaian masalah dalam bentuk riset operasional, kita harus
Lebih terperinciRiset Operasional LINEAR PROGRAMMING
Bahan Kuliah Riset Operasional LINEAR PROGRAMMING Oleh: Darmansyah Tjitradi, MT. PROGRAM MAGISTER TEKNIK SIPIL UNLAM 25 1 ANALISA SISTEM Agar lebih mendekati langkah-langkah operasional, Hall & Dracup
Lebih terperinciBAB III PEMBAHASAN. Bab III terbagi menjadi tiga sub-bab, yaitu sub-bab A, sub-bab B, dan subbab
BAB III PEMBAHASAN Bab III terbagi menjadi tiga sub-bab, yaitu sub-bab A, sub-bab B, dan subbab C. Sub-bab A menjelaskan mengenai konsep dasar C[a, b] sebagai ruang vektor beserta contohnya. Sub-bab B
Lebih terperinciBAB II TINJAUAN PUSTAKA
0 BAB II TINJAUAN PUSTAKA. Obek Kaian.. Universitas Terbuka Universitas Terbuka (UT) yang diresmikan oleh Presiden RI pada tanggal 4 September 984 sebagai universitas negeri yang ke-45 dengan Keputusan
Lebih terperinciBAB 2 LANDASAN TEORI
BAB 2 LANDASAN TEORI 2.1 Optimasi Menurut Nash dan Sofer (1996), optimasi adalah sarana untuk mengekspresikan model matematika yang bertujuan memecahkan masalah dengan cara terbaik. Untuk tujuan bisnis,
Lebih terperinciMETODE dan TABEL SIMPLEX
METODE dan TABEL SIMPLEX Mengubah bentuk baku model LP ke dalam bentuk tabel akan memudahkan proses perhitungan simplex. Langkah-langkah perhitungan dalam algoritma simplex adalah :. Berdasarkan bentuk
Lebih terperinciSILABUS PENGALAMAN BELAJAR ALOKASI WAKTU
SILABUS Mata Pelajaran : Matematika Satuan Pendidikan : SMA Ungguan BPPT Darus Sholah Jember kelas : XII IPA Semester : Ganjil Jumlah Pertemuan : 44 x 35 menit (22 pertemuan) STANDAR 1. Menggunakan konsep
Lebih terperinciBAB 1 PENDAHULUAN. 1.1 Latar Belakang
BAB 1 PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Dalam kehidupan sehari-hari baik disadari maupun tidak, sebenarnya orang selalu melakukan optimasi untuk memenuhi kebutuhannya. Tetapi optimasi yang dilakukan masyarakat
Lebih terperinciBAB II LANDASAN TEORI
BAB II LANDASAN TEORI 2.1 Program Linear Program Linear adalah suatu cara yang digunakan untuk menyelesaikan masalah optimasi suatu model linear dengan berbagai kendala yang dihadapinya. Masalah program
Lebih terperinciBAB 2 KAJIAN PUSTAKA
BAB 2 KAJIAN PUSTAKA 2.1 Program Linier Penyelesaian program linear dengan algoritma interior point dapat merupakan sebuah penyelesaian persoalan yang kompleks. Permasalahan dalam program linier mungkin
Lebih terperinciBab 2 LANDASAN TEORI
Bab 2 LANDASAN TEORI 2.1 Program Linear Menurut Sitorus, Parlin (1997), Program Linier merupakan suatu teknik penyelesaian optimal atas suatu problema keputusan dengan cara menentukan terlebih dahulu suatu
Lebih terperinciBAB 2 LANDASAN TEORI
BAB 2 LANDASAN TEORI 2.1 Program Linier Menurut Aminudin (2005), program linier merupakan suatu model matematika untuk mendapatkan alternatif penggunaan terbaik atas sumber-sumber yang tersedia. Kata linier
Lebih terperinci11. FUNGSI MONOTON (DAN FUNGSI KONVEKS)
11. FUNGSI MONOTON (DAN FUNGSI KONVEKS) 11.1 Definisi dan Limit Fungsi Monoton Misalkan f terdefinisi pada suatu himpunan H. Kita katakan bahwa f naik pada H apabila untuk setiap x, y H dengan x < y berlaku
Lebih terperinciKonvergensi Global Metode Spectral Conjugate Descent yang Baru Menggunakan Pencarian Garis Armijo yang Termodifikasi
42 ISSN 2302-7290 Vol. 2 No. 2, April 2014 Konvergensi Global Metode Spectral Conjugate Descent yang Baru Menggunakan Pencarian Garis Armijo yang Termodifikasi Global Convergence of the New Spectral Conjugate
Lebih terperinciBAB III FUNGSI KUASIKONVEKS
26 BAB III FUNGSI KUASIKONVEKS Bab ini akan membahas tentang fungsi kuasikonveks, di mana fungsi ini adalah salah satu generalisasi dari fungsi konveks. Fungsi kuasikonveks yang dibahas pada bab ini didefinisikan
Lebih terperinciuntuk setiap x sehingga f g
Jadi ( f ( f ) bernilai nol untuk setiap x, sehingga ( f ( f ) fungsi nol atau ( f ( f ) Aksioma 5 Ambil f, g F, R, ( f g )( f g ( g( g( ( f g)( Karena ( f g )( ( f g)( untuk setiap x sehingga f g Aksioma
Lebih terperinciBAB 2 TINJAUAN PUSTAKA
BAB 2 TINJAUAN PUSTAKA Pada bab ini akan dibahas tinjauan pustaka yang akan digunakan untuk tesis ini, yang selanjutnya akan di perlukan pada Bab 3. Tinjauan pustaka yang dibahas adalah mengenai yang mendukung
Lebih terperinciI PENDAHULUAN II LANDASAN TEORI
1 I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Kamar darurat (Emergency Room/ER) adalah tempat yang sangat penting peranannya pada rumah sakit. Aktivitas yang cukup padat mengharuskan kamar darurat selalu dijaga oleh
Lebih terperinciRENCANA PELAKSANAAN PEMBELAJARAN NO: 1
RENCANA PELAKSANAAN PEMBELAJARAN NO: 1 Materi Pokok : Integral Pertemuan Ke- : 1 dan Alokasi Waktu : x pertemuan (4 x 45 menit) Standar Kompetensi : Menggunakan konsep integral dalam pemecahan masalah
Lebih terperinciMasalah maksimisasi dapat ditinjau dari metode minimisasi, karena
Lecture 2: Optimization of Function of One Variable A. Pendahuluan Ide dasar dari masalah optimisasi adalah mengoptimumkan (memaksimumkan/ meminimumkan) suatu besaran skalar yang merupakan harga suatu
Lebih terperinciOPTIMASI TANAMAN PANGAN DI KOTA MAGELANG DENGAN PEMROGRAMAN KUADRATIK DAN METODE FUNGSI PENALTI EKSTERIOR
40 Jurnal Matematika Vol 6 No 2 Tahun 2017 OPTIMASI TANAMAN PANGAN DI KOTA MAGELANG DENGAN PEMROGRAMAN KUADRATIK DAN METODE FUNGSI PENALTI EKSTERIOR OPTIMIZATION OF FOOD CROPS IN MAGELANG WITH QUADRATIC
Lebih terperinciPertemuan Minggu ke Bidang Singgung, Hampiran 2. Maksimum dan Minimum 3. Metode Lagrange
Pertemuan Minggu ke-11 1. Bidang Singgung, Hampiran 2. Maksimum dan Minimum 3. Metode Lagrange 1. BIDANG SINGGUNG, HAMPIRAN Tujuan mempelajari: memperoleh persamaan bidang singgung terhadap permukaan z
Lebih terperinciPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
METODE HIMPUNAN AKTIF UNTUK MENYELESAIKAN MASALAH PEMROGRAMAN KUADRATIK Skripsi Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat Memperoleh Gelar Sarjana Sains Program Studi Matematika Oleh: Yudith Kase NIM:
Lebih terperinciPENERAPAN METODE BRANCH AND BOUND DALAM PENYELESAIAN MASALAH PADA INTEGER PROGRAMMING
Jurnal Manajemen Informatika dan Teknik Komputer Volume, Nomor, Oktober 05 PENERAPAN METODE BRANCH AND BOUND DALAM PENYELESAIAN MASALAH PADA INTEGER PROGRAMMING Havid Syafwan Program Studi Manajemen Informatika
Lebih terperinciTURUNAN DALAM RUANG DIMENSI-n
TURUNAN DALAM RUANG DIMENSI-n A. Fungsi Dua Variabel atau Lebih Dalam subbab ini, fungsi dua variabel atau lebih dikaji dari tiga sudut pandang: secara verbal (melalui uraian dalam kata-kata) secara aljabar
Lebih terperinciIlustrasi Persoalan Matematika
Pendahuluan Persoalan yang melibatkan model matematika banyak muncul dalam berbagai disiplin ilmu pengetahuan, seperti dalam bidang fisika, kimia, ekonomi, atau pada persoalan rekayasa (engineering), seperti
Lebih terperinciRivised Simpleks Method (metode simpleks yang diperbaiki)
Rivised impleks Method (metode simpleks yang diperbaiki) Metode simpleks yang sudah kita pelajari, menunjukkan bahwa setiap perpindahan tabel baru selalu membawa semua elemen yang terdapat dalam tabel.
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN. 1.1 Latar Belakang
BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Didunia nyata banyak soal matematika yang harus dimodelkan terlebih dahulu untuk mempermudah mencari solusinya. Di antara model-model tersebut dapat berbentuk sistem
Lebih terperinciBAB V PROGRAMA LINIER : METODE SIMPLEKS
BAB V PROGRAMA LINIER : METODE SIMPLEKS 5.1 Metode Simpleks Metode simpleks ialah suatu cara penyelesaian masalah programa linier yang diperkenalkan pertama kali oleh Dantzig pada tahun 1947, yakni suatu
Lebih terperinciPROGRAM LINEAR. sudir15mks
PROGRAM LINEAR A. Sistem Pertidaksamaan Linear Dua Variabel Suatu garis dalam bidang koordinat dapat dinyatakan dengan persamaan yang berbentuk: x a x b a1 1 2 2 Persamaan semacam ini dinamakan persamaan
Lebih terperinciI PENDAHULUAN II LANDASAN TEORI
I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Sukarelawan adalah seseorang atau sekelompok orang yang secara ikhlas karena panggilan nuraninya memberikan apa yang dimilikinya tanpa mengharapkan imbalan. Sukarelawan
Lebih terperinciMETODE SIMPLEKS MATAKULIAH RISET OPERASIONAL Pertemuan Ke-3. Riani Lubis Program Studi Teknik Informatika Universitas Komputer Indonesia
METODE SIMPLEKS MATAKULIAH RISET OPERASIONAL Pertemuan Ke-3 Riani Lubis Program Studi Teknik Informatika Universitas Komputer Indonesia 1 Pendahuluan (1) Metode simpleks merupakan sebuah prosedur matematis
Lebih terperinciBAB 1 PENDAHULUAN Latar Belakang
BAB 1 PENDAHULUAN 1.1. Latar Belakang Optimasi (Optimization) adalah aktivitas untuk mendapatkan hasil terbaik di dalam suatu keadaan yang diberikan. Tujuan akhir dari semua aktivitas tersebut adalah meminimumkan
Lebih terperinci