I. Sistem Persamaan Diferensial Linier Orde 1 (Review)
|
|
|
- Ratna Santoso
- 7 tahun lalu
- Tontonan:
Transkripsi
1 I. Sistem Persamaan Diferensial Linier Orde (Review) November 0 () I. Sistem Persamaan Diferensial Linier Orde (Review) November 0 / 6
2 Teori Umum Bentuk umum sistem persamaan diferensial linier orde satu adalah sebagai berikut: _x (t) = p (t)x (t) + p (t)x (t) + + p n (t)x n (t) + g (t) _x (t) = p (t)x (t) + p (t)x (t) + + p n (t)x n (t) + g (t). _x n (t) = p n (t)x (t) + p n (t)x (t) + + p nn (t)x n (t) + g n (t) () I. Sistem Persamaan Diferensial Linier Orde (Review) November 0 / 6
3 Teori Umum Bentuk umum sistem persamaan diferensial linier orde satu adalah sebagai berikut: _x (t) = p (t)x (t) + p (t)x (t) + + p n (t)x n (t) + g (t) _x (t) = p (t)x (t) + p (t)x (t) + + p n (t)x n (t) + g (t). _x n (t) = p n (t)x (t) + p n (t)x (t) + + p nn (t)x n (t) + g n (t) Dalam bentuk matriks dapat ditulis: _x(t) = P(t)x(t) + g(t); () 0 0 x (t) p (t) p n (t) B C B dengan x(t) A ; P(t) C. A dan 0 x n (t) p n (t) g (t) p nn (t) B g(t) g n (t) C A : () I. Sistem Persamaan Diferensial Linier Orde (Review) November 0 / 6
4 Misalkan x (t) = (t); : : : ; x n (t) = n (t): () I. Sistem Persamaan Diferensial Linier Orde (Review) November 0 3 / 6
5 Misalkan x (t) = (t); : : : ; x n (t) = n (t): Suatu vektor x = (t) dikatakan solusi (penyelesaian) dari sistem () jika komponen-komponennya memenuhi sistem persamaan (), dengan 0 B (t) (t). n (t) C A : () I. Sistem Persamaan Diferensial Linier Orde (Review) November 0 3 / 6
6 Misalkan x (t) = (t); : : : ; x n (t) = n (t): Suatu vektor x = (t) dikatakan solusi (penyelesaian) dari sistem () jika komponen-komponennya memenuhi sistem persamaan (), dengan 0 B (t) (t). n (t) C A : Sepanjang diskusi ini, kita berasumsi bahwa P dan g kontinu pada interval < t < : () I. Sistem Persamaan Diferensial Linier Orde (Review) November 0 3 / 6
7 Misalkan x (t) = (t); : : : ; x n (t) = n (t): Suatu vektor x = (t) dikatakan solusi (penyelesaian) dari sistem () jika komponen-komponennya memenuhi sistem persamaan (), dengan 0 B (t) (t). n (t) C A : Sepanjang diskusi ini, kita berasumsi bahwa P dan g kontinu pada interval < t < : Perhatikan persamaan homogen _x(t) = P(t)x(t); () yang diperoleh dengan mengambil g(t) = 0: Kita akan menggunakan notasi sebagai berikut: 0 0 x (t) x k (t) x () B C (t) A ; ; x (k) B C (t) A :. x n (t). x nk (t) () I. Sistem Persamaan Diferensial Linier Orde (Review) November 0 3 / 6
8 Teorema Jika fungsi vektor x () (t) dan x () (t) adalah solusi (penyelesaian) bebas linier sistem (), maka kombinasi linier c x () (t) + c x () (t) juga solusi untuk sebarang konstanta c dan c : Sebagai contoh, perhatikan sistem berikut: _x(t) = x(t) (3) 4 () I. Sistem Persamaan Diferensial Linier Orde (Review) November 0 4 / 6
9 Teorema Jika fungsi vektor x () (t) dan x () (t) adalah solusi (penyelesaian) bebas linier sistem (), maka kombinasi linier c x () (t) + c x () (t) juga solusi untuk sebarang konstanta c dan c : Sebagai contoh, perhatikan sistem berikut: _x(t) = x(t) (3) 4 Dengan mudah dapat diperiksa bahwa vektor x () e 3t (t) = e 3t dan x () (t) = adalah solusi untuk (3). e t e t () I. Sistem Persamaan Diferensial Linier Orde (Review) November 0 4 / 6
10 Teorema Jika fungsi vektor x () (t) dan x () (t) adalah solusi (penyelesaian) bebas linier sistem (), maka kombinasi linier c x () (t) + c x () (t) juga solusi untuk sebarang konstanta c dan c : Sebagai contoh, perhatikan sistem berikut: _x(t) = x(t) (3) 4 Dengan mudah dapat diperiksa bahwa vektor x () e 3t (t) = e 3t dan x () (t) = e t e t adalah solusi untuk (3). Berdasarkan teorema, kombinasi linier e 3t e t x(t) = c e 3t + c e t = c x () (t) + c x () (t) juga solusi sistem (3). () I. Sistem Persamaan Diferensial Linier Orde (Review) November 0 4 / 6
11 Misalkan x () (t); x () (t); ; x (n) (t) adalah n solusi dari sistem (), dan misalkan pula matriks X(t) adalah sebagai berikut: 0 X(t) = x () (t) x (n) (t) x (t) x n (t) B C A : x n (t) x nn (t) () I. Sistem Persamaan Diferensial Linier Orde (Review) November 0 5 / 6
12 Misalkan x () (t); x () (t); ; x (n) (t) adalah n solusi dari sistem (), dan misalkan pula matriks X(t) adalah sebagai berikut: 0 X(t) = x () (t) x (n) (t) x (t) x n (t) B C A : x n (t) x nn (t) Perhatikan bahwa kolom-kolom dari matriks X(t) adalah bebas linier untuk suatu t jika dan hanya jika det X 6= 0. () I. Sistem Persamaan Diferensial Linier Orde (Review) November 0 5 / 6
13 Misalkan x () (t); x () (t); ; x (n) (t) adalah n solusi dari sistem (), dan misalkan pula matriks X(t) adalah sebagai berikut: 0 X(t) = x () (t) x (n) (t) x (t) x n (t) B C A : x n (t) x nn (t) Perhatikan bahwa kolom-kolom dari matriks X(t) adalah bebas linier untuk suatu t jika dan hanya jika det X 6= 0. Determinan ini disebut Wronskian dari n solusi x () (t); x () (t); ; x (n) (t); dan dinyatakan dengan: W x () ; ; x (n) (t) = det X () I. Sistem Persamaan Diferensial Linier Orde (Review) November 0 5 / 6
14 Misalkan x () (t); x () (t); ; x (n) (t) adalah n solusi dari sistem (), dan misalkan pula matriks X(t) adalah sebagai berikut: 0 X(t) = x () (t) x (n) (t) x (t) x n (t) B C A : x n (t) x nn (t) Perhatikan bahwa kolom-kolom dari matriks X(t) adalah bebas linier untuk suatu t jika dan hanya jika det X 6= 0. Determinan ini disebut Wronskian dari n solusi x () (t); x () (t); ; x (n) (t); dan dinyatakan dengan: W x () ; ; x (n) (t) = det X Solusi x () (t); x () (t); ; x (n) (t) adalah bebas linier pada suatu titik jika dan hanya jika W x () (t); ; x (n) (t) 6= 0: () I. Sistem Persamaan Diferensial Linier Orde (Review) November 0 5 / 6
15 Sistem Persamaan Diferensial Linier Orde Koe sien Konstan Dalam bagian ini kita akan menunjukkan bagaimana mengkonstruksi solusi umum dari sistem persamaan linier homogen dengan koe sien konstan, dengan bentuk umum sebagai berikut: _x(t) = Ax(t); (4) dengan A adalah matriks konstan n n; yakni A R nn : () I. Sistem Persamaan Diferensial Linier Orde (Review) November 0 6 / 6
16 Sistem Persamaan Diferensial Linier Orde Koe sien Konstan Dalam bagian ini kita akan menunjukkan bagaimana mengkonstruksi solusi umum dari sistem persamaan linier homogen dengan koe sien konstan, dengan bentuk umum sebagai berikut: _x(t) = Ax(t); (4) dengan A adalah matriks konstan n n; yakni A R nn : Kita akan mencari solusi dengan bentuk dimana r dan vektor akan dicari. x(t) = e rt (5) () I. Sistem Persamaan Diferensial Linier Orde (Review) November 0 6 / 6
17 Sistem Persamaan Diferensial Linier Orde Koe sien Konstan Dalam bagian ini kita akan menunjukkan bagaimana mengkonstruksi solusi umum dari sistem persamaan linier homogen dengan koe sien konstan, dengan bentuk umum sebagai berikut: _x(t) = Ax(t); (4) dengan A adalah matriks konstan n n; yakni A R nn : Kita akan mencari solusi dengan bentuk x(t) = e rt (5) dimana r dan vektor akan dicari. Dengan mensubtitusikan (5) ke dalam (4), diperoleh re rt = Ae rt, (A ri) e rt = 0 () I. Sistem Persamaan Diferensial Linier Orde (Review) November 0 6 / 6
18 Sistem Persamaan Diferensial Linier Orde Koe sien Konstan Dalam bagian ini kita akan menunjukkan bagaimana mengkonstruksi solusi umum dari sistem persamaan linier homogen dengan koe sien konstan, dengan bentuk umum sebagai berikut: _x(t) = Ax(t); (4) dengan A adalah matriks konstan n n; yakni A R nn : Kita akan mencari solusi dengan bentuk x(t) = e rt (5) dimana r dan vektor akan dicari. Dengan mensubtitusikan (5) ke dalam (4), diperoleh Karena e rt 6= 0; maka re rt = Ae rt, (A ri) e rt = 0 (A ri) = 0; (6) () I. Sistem Persamaan Diferensial Linier Orde (Review) November 0 6 / 6
19 dengan I adalah matriks identitas n n; disimbolkan dengan I n : Sehingga untuk menyelesaikan sistem persamaan diferensial (4), kita mestilah menyelesaikan sistem persamaan aljabar (6). () I. Sistem Persamaan Diferensial Linier Orde (Review) November 0 7 / 6
20 dengan I adalah matriks identitas n n; disimbolkan dengan I n : Sehingga untuk menyelesaikan sistem persamaan diferensial (4), kita mestilah menyelesaikan sistem persamaan aljabar (6). Persamaan (6) merupakan persamaan untuk menentukan nilai eigen dan vektor eigen matriks A. () I. Sistem Persamaan Diferensial Linier Orde (Review) November 0 7 / 6
21 dengan I adalah matriks identitas n n; disimbolkan dengan I n : Sehingga untuk menyelesaikan sistem persamaan diferensial (4), kita mestilah menyelesaikan sistem persamaan aljabar (6). Persamaan (6) merupakan persamaan untuk menentukan nilai eigen dan vektor eigen matriks A. Oleh karena itu vektor x yang diberikan dalam persamaan (5) merupakan solusi persamaan (4), jika r adalah nilai eigen matriks A dan adalah vektor eigen yang berkaitan dengan nilai eigen r: () I. Sistem Persamaan Diferensial Linier Orde (Review) November 0 7 / 6
22 dengan I adalah matriks identitas n n; disimbolkan dengan I n : Sehingga untuk menyelesaikan sistem persamaan diferensial (4), kita mestilah menyelesaikan sistem persamaan aljabar (6). Persamaan (6) merupakan persamaan untuk menentukan nilai eigen dan vektor eigen matriks A. Oleh karena itu vektor x yang diberikan dalam persamaan (5) merupakan solusi persamaan (4), jika r adalah nilai eigen matriks A dan adalah vektor eigen yang berkaitan dengan nilai eigen r: Contoh. Tentukan solusi umum dari sistem _x(t) = 4 x(t): (7) () I. Sistem Persamaan Diferensial Linier Orde (Review) November 0 7 / 6
23 dengan I adalah matriks identitas n n; disimbolkan dengan I n : Sehingga untuk menyelesaikan sistem persamaan diferensial (4), kita mestilah menyelesaikan sistem persamaan aljabar (6). Persamaan (6) merupakan persamaan untuk menentukan nilai eigen dan vektor eigen matriks A. Oleh karena itu vektor x yang diberikan dalam persamaan (5) merupakan solusi persamaan (4), jika r adalah nilai eigen matriks A dan adalah vektor eigen yang berkaitan dengan nilai eigen r: Contoh. Tentukan solusi umum dari sistem _x(t) = 4 x(t): (7) Jawab: Misalkan x(t) = e rt : Subtitusikan x(t) = e rt ke dalam (7), diperoleh re rt = e rt, r e rt = e rt 4 4 () I. Sistem Persamaan Diferensial Linier Orde (Review) November 0 7 / 6
24 ,,, 4 4 r 4 r ri e rt = 0 0 r 0 e rt = 0 e rt = 0 Karena e rt 6= 0; maka mestilah r 4 r = 0 (8) () I. Sistem Persamaan Diferensial Linier Orde (Review) November 0 8 / 6
25 ,,, 4 4 r 4 r ri e rt = 0 0 r 0 e rt = 0 e rt = 0 Karena e rt 6= 0; maka mestilah r 4 r = 0 (8) Persamaan (8) mempunyai solusi nontrivial jika dan hanya jika r 4 r = 0; yakni ( r) 4 = r r 3 = (r 3)(r + ) = 0 r = 3 atau r = () I. Sistem Persamaan Diferensial Linier Orde (Review) November 0 8 / 6
26 3 r = 3 ) 4 3 ) = 0 4 = 0 Persamaan terakhir menghasilkan + = 0; sehingga vektor eigen yang berkaitan dengan nilai eigen r = 3 dapat diambil () = () I. Sistem Persamaan Diferensial Linier Orde (Review) November 0 9 / 6
27 3 r = 3 ) 4 3 ) = 0 4 = 0 Persamaan terakhir menghasilkan + = 0; sehingga vektor eigen yang berkaitan dengan nilai eigen r = 3 dapat diambil () = Selanjutnya r = ) ) ( ) 4 ( ) = 0 4 = 0 () I. Sistem Persamaan Diferensial Linier Orde (Review) November 0 9 / 6
28 3 r = 3 ) 4 3 ) = 0 4 = 0 Persamaan terakhir menghasilkan + = 0; sehingga vektor eigen yang berkaitan dengan nilai eigen r = 3 dapat diambil () = Selanjutnya r = ) ) ( ) = 0 4 ( ) = 0 4 Persamaan terakhir menghasilkan + = 0; sehingga vektor eigen yang berkaitan dengan nilai eigen r = dapat diambil () I. Sistem Persamaan Diferensial Linier Orde (Review) November 0 9 / 6
29 () = : Sehingga, solusi umum persamaan diferensial x () (t) = e 3t dan x () (t) = e t () I. Sistem Persamaan Diferensial Linier Orde (Review) November 0 0 / 6
30 () = : Sehingga, solusi umum persamaan diferensial x () (t) = e 3t dan x () (t) = e t Wronskiannya adalah W x () ; x () (t) = e 3t e 3t e t e t = 4et 6= 0; 8t () I. Sistem Persamaan Diferensial Linier Orde (Review) November 0 0 / 6
31 () = : Sehingga, solusi umum persamaan diferensial x () (t) = e 3t dan x () (t) = e t Wronskiannya adalah W x () ; x () (t) = e 3t e 3t e t e t = 4et 6= 0; 8t Sehingga solusi x () (t) dan x () (t) membentuk himpunan fundamental, dan solusi umumnya adalah x(t) = c x () (t) + c x () (t) (9) = c e 3t + c e t dengan c ; c adalah konstanta sebarang. () I. Sistem Persamaan Diferensial Linier Orde (Review) November 0 0 / 6
32 Untuk sistem persamaan diferensial _x(t) = Ax(t) (0) dengan A R nn ; ada 3 kemungkinan yang terjadi terhadap nilai eigen. () I. Sistem Persamaan Diferensial Linier Orde (Review) November 0 / 6
33 Untuk sistem persamaan diferensial _x(t) = Ax(t) (0) dengan A R nn ; ada 3 kemungkinan yang terjadi terhadap nilai eigen. Semua nilai eigen bernilai riil dan berbeda () I. Sistem Persamaan Diferensial Linier Orde (Review) November 0 / 6
34 Untuk sistem persamaan diferensial _x(t) = Ax(t) (0) dengan A R nn ; ada 3 kemungkinan yang terjadi terhadap nilai eigen. Semua nilai eigen bernilai riil dan berbeda Nilai eigen dalam bentuk pasangan konjugat komplex () I. Sistem Persamaan Diferensial Linier Orde (Review) November 0 / 6
35 Untuk sistem persamaan diferensial _x(t) = Ax(t) (0) dengan A R nn ; ada 3 kemungkinan yang terjadi terhadap nilai eigen. Semua nilai eigen bernilai riil dan berbeda Nilai eigen dalam bentuk pasangan konjugat komplex 3 Nilai eigen berulang () I. Sistem Persamaan Diferensial Linier Orde (Review) November 0 / 6
36 Untuk sistem persamaan diferensial _x(t) = Ax(t) (0) dengan A R nn ; ada 3 kemungkinan yang terjadi terhadap nilai eigen. Semua nilai eigen bernilai riil dan berbeda Nilai eigen dalam bentuk pasangan konjugat komplex 3 Nilai eigen berulang Nilai eigen Komplex () I. Sistem Persamaan Diferensial Linier Orde (Review) November 0 / 6
37 Untuk sistem persamaan diferensial _x(t) = Ax(t) (0) dengan A R nn ; ada 3 kemungkinan yang terjadi terhadap nilai eigen. Semua nilai eigen bernilai riil dan berbeda Nilai eigen dalam bentuk pasangan konjugat komplex 3 Nilai eigen berulang Nilai eigen Komplex Untuk sistem (0), jika kita mencari solusi dalam bentuk x(t) = e rt maka r mestilah nilai eigen dari matriks A dan adalah vektor eigen yang berkaitan dengan nilai eigen r: () I. Sistem Persamaan Diferensial Linier Orde (Review) November 0 / 6
38 Untuk sistem persamaan diferensial _x(t) = Ax(t) (0) dengan A R nn ; ada 3 kemungkinan yang terjadi terhadap nilai eigen. Semua nilai eigen bernilai riil dan berbeda Nilai eigen dalam bentuk pasangan konjugat komplex 3 Nilai eigen berulang Nilai eigen Komplex Untuk sistem (0), jika kita mencari solusi dalam bentuk x(t) = e rt maka r mestilah nilai eigen dari matriks A dan adalah vektor eigen yang berkaitan dengan nilai eigen r: Nilai eigen r ; : : : ; r n dari matriks A adalah akar dari persamaan dan vektor eigen memenuhi det(a ri n ) = 0; (A ri n ) =0 () I. Sistem Persamaan Diferensial Linier Orde (Review) November 0 / 6
39 Untuk sistem persamaan diferensial _x(t) = Ax(t) (0) dengan A R nn ; ada 3 kemungkinan yang terjadi terhadap nilai eigen. Semua nilai eigen bernilai riil dan berbeda Nilai eigen dalam bentuk pasangan konjugat komplex 3 Nilai eigen berulang Nilai eigen Komplex Untuk sistem (0), jika kita mencari solusi dalam bentuk x(t) = e rt maka r mestilah nilai eigen dari matriks A dan adalah vektor eigen yang berkaitan dengan nilai eigen r: Nilai eigen r ; : : : ; r n dari matriks A adalah akar dari persamaan dan vektor eigen memenuhi det(a ri n ) = 0; (A ri n ) =0 Misalkan A R dan akar dari det(a kompleks. ri ) = 0 adalah bilangan () I. Sistem Persamaan Diferensial Linier Orde (Review) November 0 / 6
40 Jika r = + i; dengan ; R; adalah nilai eigen dari A maka r = i juga nilai eigen dari A: () I. Sistem Persamaan Diferensial Linier Orde (Review) November 0 / 6
41 Jika r = + i; dengan ; R; adalah nilai eigen dari A maka r = i juga nilai eigen dari A: Selanjutnya, jika () adalah vektor eigen yang berkaitan dengan nilai eigen r = + i; maka vektor eigen () yang berkaitan dengan nilai eigen r = i juga saling konjugat dengan () : Misalkan () = a+ib dan () = a ib () I. Sistem Persamaan Diferensial Linier Orde (Review) November 0 / 6
42 Jika r = + i; dengan ; R; adalah nilai eigen dari A maka r = i juga nilai eigen dari A: Selanjutnya, jika () adalah vektor eigen yang berkaitan dengan nilai eigen r = + i; maka vektor eigen () yang berkaitan dengan nilai eigen r = i juga saling konjugat dengan () : Misalkan () = a+ib dan () = a ib Maka solusi umum dari (0) adalah dan x () (t) = () e rt = (a+ib) e (+i)t ; x () (t) = () e rt ( i)t = (a ib) e x(t) = Cx () (t) + Dx () (t) = C (a+ib) e (+i)t ( i)t + D (a ib) e = Ce t (a+ib) e it + De t (a ib) e it = Ce t (a+ib) (cos t + i sin t) + De t (a ib) (cos t i sin = c e t (a cos t b sin t) + ic e t (a sin t + b cos t) dengan c = C + D dan c = C D: () I. Sistem Persamaan Diferensial Linier Orde (Review) November 0 / 6
43 Untuk kesederhanaan, tulis x(t) = e t (a cos t b sin t) + ie t (a sin t + b cos t) () I. Sistem Persamaan Diferensial Linier Orde (Review) November 0 3 / 6
44 Untuk kesederhanaan, tulis x(t) = e t (a cos t b sin t) + ie t (a sin t + b cos t) Jika x(t) ditulis dalam bentuk x(t) = u(t) + iv(t); maka kita peroleh bahwa u(t) = e t (a cos t b sin t) ; v(t) = e t (a sin t + b cos t) adalah solusi bebas linier bernilai riil dari sistem persamaan (0). () I. Sistem Persamaan Diferensial Linier Orde (Review) November 0 3 / 6
45 Untuk kesederhanaan, tulis x(t) = e t (a cos t b sin t) + ie t (a sin t + b cos t) Jika x(t) ditulis dalam bentuk x(t) = u(t) + iv(t); maka kita peroleh bahwa u(t) = e t (a cos t b sin t) ; v(t) = e t (a sin t + b cos t) adalah solusi bebas linier bernilai riil dari sistem persamaan (0). Contoh: Dapatkan solusi dari masalah nilai awal berikut 5 _x(t) = x(t); x(0) = 3 () () I. Sistem Persamaan Diferensial Linier Orde (Review) November 0 3 / 6
46 Untuk kesederhanaan, tulis x(t) = e t (a cos t b sin t) + ie t (a sin t + b cos t) Jika x(t) ditulis dalam bentuk x(t) = u(t) + iv(t); maka kita peroleh bahwa u(t) = e t (a cos t b sin t) ; v(t) = e t (a sin t + b cos t) adalah solusi bebas linier bernilai riil dari sistem persamaan (0). Contoh: Dapatkan solusi dari masalah nilai awal berikut 5 _x(t) = x(t); x(0) = 3 () Jawab: () I. Sistem Persamaan Diferensial Linier Orde (Review) November 0 3 / 6
47 Untuk kesederhanaan, tulis x(t) = e t (a cos t b sin t) + ie t (a sin t + b cos t) Jika x(t) ditulis dalam bentuk x(t) = u(t) + iv(t); maka kita peroleh bahwa u(t) = e t (a cos t b sin t) ; v(t) = e t (a sin t + b cos t) adalah solusi bebas linier bernilai riil dari sistem persamaan (0). Contoh: Dapatkan solusi dari masalah nilai awal berikut 5 _x(t) = x(t); x(0) = 3 () Jawab: Misalkan x(t) = e rt : Subtitusikan x(t) = e rt ke dalam (), diperoleh () I. Sistem Persamaan Diferensial Linier Orde (Review) November 0 3 / 6
48 5 re rt = 3 e rt 5, r e rt = e 3 rt 5 0, ri 3 e rt = 0 r 5 0, e 3 r rt = 0 Karena e rt 6= 0; maka mestilah r 5 3 r = 0 () () I. Sistem Persamaan Diferensial Linier Orde (Review) November 0 4 / 6
49 5 re rt = 3 e rt 5, r e rt = e 3 rt 5 0, ri 3 e rt = 0 r 5 0, e 3 r rt = 0 Karena e rt 6= 0; maka mestilah r 5 3 r = 0 () Persamaan () mempunyai solusi nontrivial jika dan hanya jika r 5 3 r = r + r + = 0; yang memberikan r = + i dan r = i: () I. Sistem Persamaan Diferensial Linier Orde (Review) November 0 4 / 6
50 Untuk r = + i; diperoleh i 5 i = 0 () I. Sistem Persamaan Diferensial Linier Orde (Review) November 0 5 / 6
51 Untuk r = + i; diperoleh i 5 i = 0 Baris-baris matriks i 5 i saling berkelipatan, sehingga baris kedua menghasilkan ( + i) = 0: () I. Sistem Persamaan Diferensial Linier Orde (Review) November 0 5 / 6
52 Untuk r = + i; diperoleh i 5 i = 0 Baris-baris matriks i 5 i saling berkelipatan, sehingga baris kedua menghasilkan ( + i) = 0: Akibatnya, vektor eigen yang berkaitan dengan nilai eigen r = dapat diambil () + i = + i () I. Sistem Persamaan Diferensial Linier Orde (Review) November 0 5 / 6
53 Untuk r = + i; diperoleh i 5 i = 0 Baris-baris matriks i 5 i saling berkelipatan, sehingga baris kedua menghasilkan ( + i) = 0: Akibatnya, vektor eigen yang berkaitan dengan nilai eigen r = dapat diambil () + i = Selanjutnya, untuk r = i; diperoleh () i = + i () I. Sistem Persamaan Diferensial Linier Orde (Review) November 0 5 / 6
54 Sehingga solusi sistem () adalah x () + i (t) = e ( +i)t ; x () (t) = i e ( i)t () I. Sistem Persamaan Diferensial Linier Orde (Review) November 0 6 / 6
55 Sehingga solusi sistem () adalah x () + i (t) = e ( +i)t ; x () i (t) = e ( i)t Untuk mendapatkan solusi bernilai riil, kita harus mendapatkan bagian riil dan bagian imaginer dari x(t). + i x(t) = C e ( +i)t i + D e ( i)t = Ce t + i e it + De t i e it (3) () I. Sistem Persamaan Diferensial Linier Orde (Review) November 0 6 / 6
56 Sehingga solusi sistem () adalah x () + i (t) = e ( +i)t ; x () i (t) = = Ce t + i e ( i)t Untuk mendapatkan solusi bernilai riil, kita harus mendapatkan bagian riil dan bagian imaginer dari x(t). + i x(t) = C e ( +i)t i + D e ( i)t e it + De t i e it (3) Dengan menggunakan syarat awal x(0) = + i i C + D = yang dapat ditulis sebagai ( + i)c + ( i)d = C + D = ; ; diperoleh ; () I. Sistem Persamaan Diferensial Linier Orde (Review) November 0 6 / 6
57 yang mempunyai penyelesaian C = ( + i) dan D = ( i) : Sehingga persamaan (3) dapat ditulis menjadi x(t) = e t + i ( + i) e it + e t i ( i) = e t + 3i e it + e t 3i e it + i i = e t + 3i (cos t + i sin t) + e t 3i + i i = e t cos t 6 sin t cos t sin t : = e t cos t 3 sin t cos t sin t e it (cos t i sin t) () I. Sistem Persamaan Diferensial Linier Orde (Review) November 0 7 / 6
58 Gra k solusinya diperlihatkan dibawah ini: () I. Sistem Persamaan Diferensial Linier Orde (Review) November 0 8 / 6
59 Nilai Eigen Berulang () I. Sistem Persamaan Diferensial Linier Orde (Review) November 0 9 / 6
60 Nilai Eigen Berulang Perhatikan kembali sistem persamaan diferensial linier homogen berikut: _x(t) = Ax(t) (4) dengan A R nn atau A C nn : () I. Sistem Persamaan Diferensial Linier Orde (Review) November 0 9 / 6
61 Nilai Eigen Berulang Perhatikan kembali sistem persamaan diferensial linier homogen berikut: _x(t) = Ax(t) (4) dengan A R nn atau A C nn : Jika r = adalah suatu nilai eigen dari matriks A dengan pengulangannya sebanyak k kali, maka dikatakan nilai eigen dengan multiplisitas k: () I. Sistem Persamaan Diferensial Linier Orde (Review) November 0 9 / 6
62 Nilai Eigen Berulang Perhatikan kembali sistem persamaan diferensial linier homogen berikut: _x(t) = Ax(t) (4) dengan A R nn atau A C nn : Jika r = adalah suatu nilai eigen dari matriks A dengan pengulangannya sebanyak k kali, maka dikatakan nilai eigen dengan multiplisitas k: Ada kemungkinan kasus yang mungkin terjadi: () I. Sistem Persamaan Diferensial Linier Orde (Review) November 0 9 / 6
63 Nilai Eigen Berulang Perhatikan kembali sistem persamaan diferensial linier homogen berikut: _x(t) = Ax(t) (4) dengan A R nn atau A C nn : Jika r = adalah suatu nilai eigen dari matriks A dengan pengulangannya sebanyak k kali, maka dikatakan nilai eigen dengan multiplisitas k: Ada kemungkinan kasus yang mungkin terjadi: Ada sebanyak k vektor eigen bebas linier yang berkaitan dengan nilai eigen () I. Sistem Persamaan Diferensial Linier Orde (Review) November 0 9 / 6
64 Nilai Eigen Berulang Perhatikan kembali sistem persamaan diferensial linier homogen berikut: _x(t) = Ax(t) (4) dengan A R nn atau A C nn : Jika r = adalah suatu nilai eigen dari matriks A dengan pengulangannya sebanyak k kali, maka dikatakan nilai eigen dengan multiplisitas k: Ada kemungkinan kasus yang mungkin terjadi: Ada sebanyak k vektor eigen bebas linier yang berkaitan dengan nilai eigen Banyak vektor eigen bebas linier yang berkaitan dengan nilai eigen kurang dari k: () I. Sistem Persamaan Diferensial Linier Orde (Review) November 0 9 / 6
65 Nilai Eigen Berulang Perhatikan kembali sistem persamaan diferensial linier homogen berikut: _x(t) = Ax(t) (4) dengan A R nn atau A C nn : Jika r = adalah suatu nilai eigen dari matriks A dengan pengulangannya sebanyak k kali, maka dikatakan nilai eigen dengan multiplisitas k: Ada kemungkinan kasus yang mungkin terjadi: Ada sebanyak k vektor eigen bebas linier yang berkaitan dengan nilai eigen Banyak vektor eigen bebas linier yang berkaitan dengan nilai eigen kurang dari k: Kasus terjadi jika matriks A simetris, yakni A T = A: () I. Sistem Persamaan Diferensial Linier Orde (Review) November 0 9 / 6
66 Nilai Eigen Berulang Perhatikan kembali sistem persamaan diferensial linier homogen berikut: _x(t) = Ax(t) (4) dengan A R nn atau A C nn : Jika r = adalah suatu nilai eigen dari matriks A dengan pengulangannya sebanyak k kali, maka dikatakan nilai eigen dengan multiplisitas k: Ada kemungkinan kasus yang mungkin terjadi: Ada sebanyak k vektor eigen bebas linier yang berkaitan dengan nilai eigen Banyak vektor eigen bebas linier yang berkaitan dengan nilai eigen kurang dari k: Kasus terjadi jika matriks A simetris, yakni A T = A: Kita akan mendiskusi bagian, yaitu banyak vektor eigen bebas linier yang berkaitan dengan nilai eigen kurang dari k: () I. Sistem Persamaan Diferensial Linier Orde (Review) November 0 9 / 6
67 Nilai Eigen Berulang Perhatikan kembali sistem persamaan diferensial linier homogen berikut: _x(t) = Ax(t) (4) dengan A R nn atau A C nn : Jika r = adalah suatu nilai eigen dari matriks A dengan pengulangannya sebanyak k kali, maka dikatakan nilai eigen dengan multiplisitas k: Ada kemungkinan kasus yang mungkin terjadi: Ada sebanyak k vektor eigen bebas linier yang berkaitan dengan nilai eigen Banyak vektor eigen bebas linier yang berkaitan dengan nilai eigen kurang dari k: Kasus terjadi jika matriks A simetris, yakni A T = A: Kita akan mendiskusi bagian, yaitu banyak vektor eigen bebas linier yang berkaitan dengan nilai eigen kurang dari k: Perhatikan contoh berikut: () I. Sistem Persamaan Diferensial Linier Orde (Review) November 0 9 / 6
68 Contoh 5. Tentukan himpunan solusi fundamental dari sistem berikut ini _x(t) = Ax(t) = x(t): (5) 3 () I. Sistem Persamaan Diferensial Linier Orde (Review) November 0 0 / 6
69 Contoh 5. Tentukan himpunan solusi fundamental dari sistem berikut ini _x(t) = Ax(t) = x(t): (5) 3 Jawab: () I. Sistem Persamaan Diferensial Linier Orde (Review) November 0 0 / 6
70 Contoh 5. Tentukan himpunan solusi fundamental dari sistem berikut ini _x(t) = Ax(t) = x(t): (5) 3 Jawab: Misalkan x(t) = e rt : Subtitusikan x(t) = e rt ke dalam (5), diperoleh re rt = e 3 rt, r e rt = e 3 rt 0,, r 3 0 r 3 r e rt = e rt = 0 () I. Sistem Persamaan Diferensial Linier Orde (Review) November 0 0 / 6
71 Contoh 5. Tentukan himpunan solusi fundamental dari sistem berikut ini _x(t) = Ax(t) = x(t): (5) 3 Jawab: Misalkan x(t) = e rt : Subtitusikan x(t) = e rt ke dalam (5), diperoleh re rt = e 3 rt, r e rt = e 3 rt 0,, r 3 0 r 3 r Karena e rt 6= 0; maka mestilah r 3 r e rt = = 0 0 e rt = 0 (6) () I. Sistem Persamaan Diferensial Linier Orde (Review) November 0 0 / 6
72 Persamaan (6) mempunyai solusi nontrivial jika dan hanya jika r 3 r = r 4r + 4 = 0; yang memberikan r = r = : () I. Sistem Persamaan Diferensial Linier Orde (Review) November 0 / 6
73 Persamaan (6) mempunyai solusi nontrivial jika dan hanya jika r 3 r = r 4r + 4 = 0; yang memberikan r = r = : = 0; yang menghasilkan persamaan + = 0 dan vektor eigen yang berkaitan dengan nilai eigen r = adalah () = : () I. Sistem Persamaan Diferensial Linier Orde (Review) November 0 / 6
74 Persamaan (6) mempunyai solusi nontrivial jika dan hanya jika r 3 r = r 4r + 4 = 0; yang memberikan r = r = : = 0; yang menghasilkan persamaan + = 0 dan vektor eigen yang berkaitan dengan nilai eigen r = adalah () = : Sehingga satu solusi dari sistem (5) adalah x () (t) = () e t = e t dan tidak ada solusi kedua dalam bentuk x(t) = e rt : () I. Sistem Persamaan Diferensial Linier Orde (Review) November 0 / 6
75 Untuk mendapatkan solusi kedua, coba subtitusikan x(t) = te t (7) ke dalam (5), diperoleh te t + e t Ate t = 0: (8) () I. Sistem Persamaan Diferensial Linier Orde (Review) November 0 / 6
76 Untuk mendapatkan solusi kedua, coba subtitusikan ke dalam (5), diperoleh x(t) = te t (7) te t + e t Ate t = 0: (8) Agar persamaan (8) berlaku untuk setiap t; maka haruslah = 0; yang bermakna bahwa tidak ada solusi tak nol dalam bentuk (7) untuk sistem persamaan diferensial (5). () I. Sistem Persamaan Diferensial Linier Orde (Review) November 0 / 6
77 Untuk mendapatkan solusi kedua, coba subtitusikan ke dalam (5), diperoleh x(t) = te t (7) te t + e t Ate t = 0: (8) Agar persamaan (8) berlaku untuk setiap t; maka haruslah = 0; yang bermakna bahwa tidak ada solusi tak nol dalam bentuk (7) untuk sistem persamaan diferensial (5). Kita melihat bahwa persamaan (8) memuat suku te t ; dan juga e t : () I. Sistem Persamaan Diferensial Linier Orde (Review) November 0 / 6
78 Untuk mendapatkan solusi kedua, coba subtitusikan ke dalam (5), diperoleh x(t) = te t (7) te t + e t Ate t = 0: (8) Agar persamaan (8) berlaku untuk setiap t; maka haruslah = 0; yang bermakna bahwa tidak ada solusi tak nol dalam bentuk (7) untuk sistem persamaan diferensial (5). Kita melihat bahwa persamaan (8) memuat suku te t ; dan juga e t : Oleh karena itu kita bisa mencoba x(t) = te t + e t ; (9) dan subtitusikan ke dalam persamaan (5), kita peroleh: te t + ( + )e t = A(te t + e t ): (0) () I. Sistem Persamaan Diferensial Linier Orde (Review) November 0 / 6
79 Untuk mendapatkan solusi kedua, coba subtitusikan ke dalam (5), diperoleh x(t) = te t (7) te t + e t Ate t = 0: (8) Agar persamaan (8) berlaku untuk setiap t; maka haruslah = 0; yang bermakna bahwa tidak ada solusi tak nol dalam bentuk (7) untuk sistem persamaan diferensial (5). Kita melihat bahwa persamaan (8) memuat suku te t ; dan juga e t : Oleh karena itu kita bisa mencoba x(t) = te t + e t ; (9) dan subtitusikan ke dalam persamaan (5), kita peroleh: te t + ( + )e t = A(te t + e t ): (0) Dengan menyamakan koe sien-koe sien te t dan e t pada kedua ruas persamaan (0), diperoleh (A I) = 0 () () I. Sistem Persamaan Diferensial Linier Orde (Review) November 0 / 6
80 dan (A I) = : () Persamaan ( ) dipenuhi jika adalah vektor eigen yang berkaitan dengan nilai eigen r = : () I. Sistem Persamaan Diferensial Linier Orde (Review) November 0 3 / 6
81 dan (A I) = : () Persamaan ( ) dipenuhi jika adalah vektor eigen yang berkaitan dengan nilai eigen r = : Karena det(a I) = 0; maka persamaan () mungkin tidak dapat diselesaikan. () I. Sistem Persamaan Diferensial Linier Orde (Review) November 0 3 / 6
82 dan (A I) = : () Persamaan ( ) dipenuhi jika adalah vektor eigen yang berkaitan dengan nilai eigen r = : Karena det(a I) = 0; maka persamaan () mungkin tidak dapat diselesaikan. Namun demikian, persamaan () mungkin saja dapat diselesaikan untuk suatu vektor : () I. Sistem Persamaan Diferensial Linier Orde (Review) November 0 3 / 6
83 dan (A I) = : () Persamaan ( ) dipenuhi jika adalah vektor eigen yang berkaitan dengan nilai eigen r = : Karena det(a I) = 0; maka persamaan () mungkin tidak dapat diselesaikan. Namun demikian, persamaan () mungkin saja dapat diselesaikan untuk suatu vektor : Perhatikan matriks diperbesar (augmented) dari persamaan (): () I. Sistem Persamaan Diferensial Linier Orde (Review) November 0 3 / 6
84 dan (A I) = : () Persamaan ( ) dipenuhi jika adalah vektor eigen yang berkaitan dengan nilai eigen r = : Karena det(a I) = 0; maka persamaan () mungkin tidak dapat diselesaikan. Namun demikian, persamaan () mungkin saja dapat diselesaikan untuk suatu vektor : Perhatikan matriks diperbesar (augmented) dari persamaan (): Sistem ini dapat diselesaikan, karena kedua baris saling berkelipatan. Dari baris ke dua diperoleh: + = : () I. Sistem Persamaan Diferensial Linier Orde (Review) November 0 3 / 6
85 dan (A I) = : () Persamaan ( ) dipenuhi jika adalah vektor eigen yang berkaitan dengan nilai eigen r = : Karena det(a I) = 0; maka persamaan () mungkin tidak dapat diselesaikan. Namun demikian, persamaan () mungkin saja dapat diselesaikan untuk suatu vektor : Perhatikan matriks diperbesar (augmented) dari persamaan (): Sistem ini dapat diselesaikan, karena kedua baris saling berkelipatan. Dari baris ke dua diperoleh: + = : Jika diberikan = m maka = m: () I. Sistem Persamaan Diferensial Linier Orde (Review) November 0 3 / 6
86 dan (A I) = : () Persamaan ( ) dipenuhi jika adalah vektor eigen yang berkaitan dengan nilai eigen r = : Karena det(a I) = 0; maka persamaan () mungkin tidak dapat diselesaikan. Namun demikian, persamaan () mungkin saja dapat diselesaikan untuk suatu vektor : Perhatikan matriks diperbesar (augmented) dari persamaan (): Sistem ini dapat diselesaikan, karena kedua baris saling berkelipatan. Dari baris ke dua diperoleh: + = : Jika diberikan = m maka = m: Jadi dapat ditulis m 0 = = = m + m () I. Sistem Persamaan Diferensial Linier Orde (Review) November 0 3 / 6 :
87 Dengan mensubtitusikan dan ke dalam persamaan ( 9), diperoleh x(t) = te t m e t = te t 0 + e t + m e t : (3) () I. Sistem Persamaan Diferensial Linier Orde (Review) November 0 4 / 6
88 Dengan mensubtitusikan dan ke dalam persamaan ( 9), diperoleh x(t) = te t m e t = te t 0 + e t + m e t : (3) Suku m e t dalam persamaan ( 3) merupakan kelipatan dari x () (t) sehingga dapat diabaikan, tetapi dua suku pertama merupakan solusi baru: x () (t) = te t 0 + e t : () I. Sistem Persamaan Diferensial Linier Orde (Review) November 0 4 / 6
89 Dengan mensubtitusikan dan ke dalam persamaan ( 9), diperoleh x(t) = te t m e t = te t 0 + e t + m e t : (3) Suku m e t dalam persamaan ( 3) merupakan kelipatan dari x () (t) sehingga dapat diabaikan, tetapi dua suku pertama merupakan solusi baru: x () (t) = te t 0 + e t : Karena Wronskian dari x () (t) dan x () (t) adalah h W x () ; x ()i (t) = e t te t e t te t e t = e4t 6= 0; maka x () dan x () membentuk himpunan solusi fundamental. () I. Sistem Persamaan Diferensial Linier Orde (Review) November 0 4 / 6
90 Oleh karena itu solusi umum adalah x(t) = c x () (t) + c x () (t) = c e t + c 0 t + e t : () I. Sistem Persamaan Diferensial Linier Orde (Review) November 0 5 / 6
91 Oleh karena itu solusi umum adalah x(t) = c x () (t) + c x () (t) = c e t + c 0 t + e t : Catatan: Vektor yang diperoleh dengan cara seperti persamaan () disebut sebagai vektor eigen diperumum yang berkaitan dengan nilai eigen r = : () I. Sistem Persamaan Diferensial Linier Orde (Review) November 0 5 / 6
92 Reduksi persamaan orde tinggi menjadi sistem orde. Contoh Diberikan persamaan diferensial linier orde 3 sebagai berikut:... x + 3x + 4 _x 5x = g(t); (4) x(0) = ; _x() = ; x (0) = : Ubah persamaan (4) menjadi sistem persamaan diferensial orde. Jawab. () I. Sistem Persamaan Diferensial Linier Orde (Review) November 0 6 / 6
93 Reduksi persamaan orde tinggi menjadi sistem orde. Contoh Diberikan persamaan diferensial linier orde 3 sebagai berikut:... x + 3x + 4 _x 5x = g(t); (4) x(0) = ; _x() = ; x (0) = : Ubah persamaan (4) menjadi sistem persamaan diferensial orde. Jawab. Misalkan y = x; y = _x; y 3 = x; maka _y = y _y = y 3 _y 3 = 5y 4y 3y 3 + g(t); yang dalam bentuk matriks dapat ditulis: () I. Sistem Persamaan Diferensial Linier Orde (Review) November 0 6 / 6
BAB VII MATRIKS DAN SISTEM LINEAR TINGKAT SATU
BAB VII MATRIKS DAN SISTEM LINEAR TINGKAT SATU Sistem persamaan linear orde/ tingkat satu memiliki bentuk standard : = = = = = = = = = + + + + + + + + + + Diasumsikan koefisien = dan fungsi adalah menerus
BAB PDB Linier Order Satu
BAB 1 Konsep Dasar 1 BAB PDB Linier Order Satu BAB 3 Aplikasi PDB Order Satu 3 BAB 4 PDB Linier Order Dua Untuk memulai pembahasan ini terlebih dahulu akan ditinjau beberapa teorema tentang konsep umum
Persamaan Di erensial Orde-2
oki neswan FMIPA-ITB Persamaan Di erensial Orde- Persamaan diferensial orde-n adalah persamaan yang melibatkan x; y; dan turunan-turunan y; dengan yang paling tinggi adalah turunan ke-n: F x; y; y ; y
Persamaan Diferensial
TKS 4003 Matematika II Persamaan Diferensial Linier Homogen & Non Homogen Tk. n (Differential: Linier Homogen & Non Homogen Orde n) Dr. AZ Jurusan Teknik Sipil Fakultas Teknik Universitas Brawijaya Pendahuluan
BAB 2 PDB Linier Order Satu 2
BAB Konsep Dasar BAB 2 PDB Linier Order Satu 2 BAB 3 Aplikasi PDB Order Satu 3 BAB 4 PDB Linier Order Dua 4 BAB 5 Aplikasi PDB Order Dua 5 BAB 6 Sistem PDB 6 BAB 7 PDB Nonlinier dan Kesetimbangan Dalam
BAB II LANDASAN TEORI
BAB II LANDASAN TEORI 2.1 Aljabar Linear Definisi 2.1.1 Matriks Matriks A adalah susunan persegi panjang yang terdiri dari skalar-skalar yang biasanya dinyatakan dalam bentuk berikut: [ ] Definisi 2.1.2
II LANDASAN TEORI 2.1 Sistem Persamaan Diferensial Definisi 1 [Sistem Persamaan Diferensial Linear (SPDL)]
![II LANDASAN TEORI 2.1 Sistem Persamaan Diferensial Definisi 1 [Sistem Persamaan Diferensial Linear (SPDL)]](/thumbs/63/48871975.jpg "II LANDASAN TEORI 2.1 Sistem Persamaan Diferensial Definisi 1 [Sistem Persamaan Diferensial Linear (SPDL)]")
II LANDASAN TEORI 2.1 Sistem Persamaan Diferensial Definisi 1 [Sistem Persamaan Diferensial Linear (SPDL)] Suatu sistem persamaan diferensial dinyatakan sebagai berikut: A adalah matriks koefisien konstan
Sebuah garis dalam bidang xy bisa disajikan secara aljabar dengan sebuah persamaan berbentuk :
Persamaan Linear Sebuah garis dalam bidang xy bisa disajikan secara aljabar dengan sebuah persamaan berbentuk : a x + a y = b Persamaan jenis ini disebut sebuah persamaan linear dalam peubah x dan y. Definisi
Pertemuan 1 Sistem Persamaan Linier dan Matriks
Matriks & Ruang Vektor Pertemuan Sistem Persamaan Linier dan Matriks Start Matriks & Ruang Vektor Outline Materi Pengenalan Sistem Persamaan Linier (SPL) SPL & Matriks Matriks & Ruang Vektor Persamaan
Persamaan Diferensial
TKS 4003 Matematika II Persamaan Diferensial Linier Homogen Tk. 2 (Differential: Linier Homogen Orde 2) Dr. AZ Jurusan Teknik Sipil Fakultas Teknik Universitas Brawijaya PD linier homogen orde 2 Bentuk
BAB II LANDASAN TEORI. selanjutnya sebagai bahan acuan yang mendukung tujuan penulisan. Materi-materi
BAB II LANDASAN TEORI Pada bab ini akan dibahas tentang landasan teori yang digunakan pada bab selanjutnya sebagai bahan acuan yang mendukung tujuan penulisan. Materi-materi yang diuraikan berupa definisi-definisi
BAB II LANDASAN TEORI. eigen dan vektor eigen, persamaan diferensial, sistem persamaan diferensial, titik
BAB II LANDASAN TEORI Pada bab ini, akan dijelaskan landasan teori yang akan digunakan dalam bab selanjutnya sebagai bahan acuan yang mendukung dan memperkuat tujuan penelitian. Landasan teori yang dimaksud
BAB III PERSAMAAN DIFERENSIAL LINIER
BAB III PERSAMAAN DIFERENSIAL LINIER Bentuk umum PD orde-n adalah PD yang tidak dapat dinyatakan dalam bentuk di atas dikatakan tidak linier. Contoh: Jika F(x) pada persamaan (3.1) sama dengan nol maka
II. LANDASAN TEORI. Definisi 1 (Sistem Persamaan Diferensial Biasa Linear) Definisi 2 (Sistem Persamaan Diferensial Biasa Taklinear)
3 II. LANDASAN TEORI 2.1 Sistem Persamaan Diferensial Biasa Definisi 1 (Sistem Persamaan Diferensial Biasa Linear) Misalkan suatu sistem persamaan diferensial biasa dinyatakan sebagai = + ; =, R (1) dengan
5. PERSAMAAN LINIER. 1. Berikut adalah contoh SPL yang terdiri dari 4 persamaan linier dan 3 variabel.
1. Persamaan Linier 5. PERSAMAAN LINIER Persamaan linier adalah suatu persamaan yang variabel-variabelnya berpangkat satu. Disamping persamaan linier ada juga persamaan non linier. Contoh : a) 2x + 3y
PRAKTIKUM 3 PAM 253 PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA
PRAKTIKUM 3 PAM 253 PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA TOPIK: PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA ORDE DUA ========== Dalam praktikum ini selalu gunakan Worksheet Mode dengan tipe input Maple Notation ========== I. Pendahuluan
BAB V PERSAMAAN LINEAR TINGKAT TINGGI (HIGHER ORDER LINEAR EQUATIONS) Persamaan linear tingkat tinggi menarik untuk dibahas dengan 2 alasan :
BAB V PERSAMAAN LINEAR TINGKAT TINGGI (HIGHER ORDER LINEAR EQUATIONS) Bentuk Persamaan Linear Tingkat Tinggi : ( ) Diasumsikan adalah kontinu (menerus) pada interval I. Persamaan linear tingkat tinggi
BAB II TINJAUAN PUSTAKA. kestabilan model predator-prey tipe Holling II dengan faktor pemanenan.
BAB II TINJAUAN PUSTAKA Dalam bab ini akan dibahas mengenai dasar teori untuk menganalisis simulasi kestabilan model predator-prey tipe Holling II dengan faktor pemanenan. 2.1 Persamaan Diferensial Biasa
BAB II TINJAUAN PUSTAKA. tegak, perlu diketahui tentang materi-materi sebagai berikut.
BAB II TINJAUAN PUSTAKA Sebelum pembahasan mengenai irisan bidang datar dengan tabung lingkaran tegak, perlu diketahui tentang materi-materi sebagai berikut. A. Matriks Matriks adalah himpunan skalar (bilangan
BAB II LANDASAN TEORI. dalam penulisan skripsi ini. Teori-teori yang digunakan berupa definisi-definisi serta
BAB II LANDASAN TEORI Pada bab ini akan diuraikan beberapa teori-teori yang digunakan sebagai acuan dalam penulisan skripsi ini. Teori-teori yang digunakan berupa definisi-definisi serta teorema-teorema
FORMULA PENGGANTI METODE KOEFISIEN TAK TENTU ABSTRACT
FORMULA PENGGANTI METODE KOEFISIEN TAK TENTU Syofia Deswita 1, Syamsudhuha 2, Agusni 2 1 Mahasiswa Program Studi S1 Matematika 2 Dosen Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas
Sistem Persamaan Linier dan Matriks
Sistem Persamaan Linier dan Matriks 1.1 Pendahuluan linier: Sebuah garis pada bidang- dapat dinyatakan secara aljabar dengan sebuah persamaan Sebuah persamaan jenis ini disebut persamaan linier dalam dua
NILAI EIGEN DAN VEKTOR EIGEN disebut vektor eigen dari matriks A =
NILAI EIGEN DAN VEKTOR EIGEN >> DEFINISI NILAI EIGEN DAN VEKTOR EIGEN Jika A adalah sebuah matriks n n, maka sebuah vektor taknol x pada R n disebut vektor eigen (vektor karakteristik) dari A jika Ax adalah
BAB II KAJIAN TEORI. pada penulisan bab III. Materi yang diuraikan berisi tentang definisi, teorema, dan
BAB II KAJIAN TEORI Pada bab ini akan dibahas beberapa hal yang digunakan sebagai landasan pada penulisan bab III. Materi yang diuraikan berisi tentang definisi, teorema, dan beberapa kajian matematika,
BAB II TINJAUAN PUSTAKA
5 BAB II TINJAUAN PUSTAKA A Matriks 1 Pengertian Matriks Definisi 21 Matriks adalah kumpulan bilangan bilangan yang disusun secara khusus dalam bentuk baris kolom sehingga membentuk empat persegi panjang
II LANDASAN TEORI. Contoh. Ditinjau dari sistem yang didefinisikan oleh:
5 II LANDASAN TEORI 2.1 Keterkontrolan Untuk mengetahui persoalan sistem kontrol mungkin tidak ada, jika sistem yang ditinjau tidak terkontrol. Walaupun sebagian besar sistem terkontrol ada, akan tetapi
BAB III PEMBAHASAN. Bab III terbagi menjadi tiga sub-bab, yaitu sub-bab A, sub-bab B, dan subbab
BAB III PEMBAHASAN Bab III terbagi menjadi tiga sub-bab, yaitu sub-bab A, sub-bab B, dan subbab C. Sub-bab A menjelaskan mengenai konsep dasar C[a, b] sebagai ruang vektor beserta contohnya. Sub-bab B
Aljabar Linear Elementer
BAB I RUANG VEKTOR Pada kuliah Aljabar Matriks kita telah mendiskusikan struktur ruang R 2 dan R 3 beserta semua konsep yang terkait. Pada bab ini kita akan membicarakan struktur yang merupakan bentuk
BAB II TEORI KODING DAN TEORI INVARIAN
BAB II TEORI KODING DAN TEORI INVARIAN Pada bab 1 ini akan dibahas definisi kode, khususnya kode linier atas dan pencacah bobot Hammingnya. Di samping itu, akan dijelaskanan invarian, ring invarian dan
BAB II KAJIAN TEORI. digunakan pada bab pembahasan. Teori-teori ini digunakan sebagai bahan acuan
BAB II KAJIAN TEORI Pada bab ini akan dijelaskan mengenai landasan teori yang akan digunakan pada bab pembahasan. Teori-teori ini digunakan sebagai bahan acuan yang mendukung tujuan penulisan. Materi-materi
Pertemuan Ke 2 SISTEM PERSAMAAN LINEAR (SPL) By SUTOYO,ST.,MT
Pertemuan Ke SISTEM PERSAMAAN LINEAR (SPL) By SUTOYO,ST,MT Pendahuluan Suatu sistem persamaan linier (atau himpunan persaman linier simultan) adalah satu set persamaan dari sejumlah unsur yang tak diketahui
Persamaan diferensial adalah suatu persamaan yang memuat satu atau lebih turunan fungsi yang tidak diketahui.
1 Persamaan diferensial adalah suatu persamaan yang memuat satu atau lebih turunan fungsi yang tidak diketahui. Jika persamaan diferensial memiliki satu peubah tak bebas maka disebut Persamaan Diferensial
dimana a 1, a 2,, a n dan b adalah konstantakonstanta
Persamaan linear adalah persamaan dimana peubahnya tidak memuat eksponensial, trigonometri (seperti sin, cos, dll.), perkalian, pembagian dengan peubah lain atau dirinya sendiri. Secara umum persamaan
Modul 2.2 Matriks dan Sistem Persamaan Linear (Topik 4) A. Pendahuluan Matriks dan Sistem Persamaan Linear
Modul 2.2 Matriks dan Sistem Persamaan Linear (Topik 4) A. Pendahuluan Salah satu kajian matematika sekolah menengah yang memiliki banyak aplikasinya dalam menyelesaikan permasalahan yang ada dalam kehidupan
BAB II TINJAUAN PUSTAKA
BAB II TINJAUAN PUSTAKA Dalam bab ini akan dikemukakan teori-teori yang mendukung pembahasan penyelesaian persamaan diferensial linier tak homogen dengan menggunakan metode fungsi green antara lain: persamaan
Created By Aristastory.Wordpress.com BAB I PENDAHULUAN. Teori sistem dinamik adalah bidang matematika terapan yang digunakan untuk
BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Teori sistem dinamik adalah bidang matematika terapan yang digunakan untuk memeriksa kelakuan sistem dinamik kompleks, biasanya dengan menggunakan persamaan diferensial
BAB II LANDASAN TEORI. Pada bab ini akan dibahas mengenai definisi-definisi dan teorema-teorema
BAB II LANDASAN TEORI Pada bab ini akan dibahas mengenai definisi-definisi dan teorema-teorema yang akan menjadi landasan untuk pembahasan pada bab III nanti, di antaranya model matematika penyebaran penyakit,
BAB I DASAR-DASAR PEMODELAN MATEMATIKA DENGAN PERSAMAAN DIFERENSIAL
BAB I DASAR-DASAR PEMODELAN MATEMATIKA DENGAN PERSAMAAN DIFERENSIAL Pendahuluan Persamaan diferensial adalah persamaan yang memuat diferensial Kita akan membahas tentang Persamaan Diferensial Biasa yaitu
Dalam bentuk SPL masalah ini dapat dinyatakan sebagai berikut:
SISTEM PERSAMAAN LINIER Persamaan linier adalah persamaan dimana peubahnya tidak memuat fungsi eksponensial, trigonometri, logaritma serta tidak melibatkan suatu hasil kali peubah atau akar peubah atau
BAB II TINJAUAN PUSTAKA
7 BAB II TINJAUAN PUSTAKA Dalam bab ini akan dibahas beberapa poin tentang sistem dinamik, kestabilan sistem dinamik, serta konsep bifurkasi. A. Sistem Dinamik Secara umum Sistem dinamik didefinisikan
BAB II TINJAUAN PUSTAKA
BAB II TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Sistem Persamaan Diferensial Definisi 2.1.1 Persamaan Diferensial Persamaan diferensial adalah persamaan yang memuat variabel bebas, variabel tak bebas dan derivative-derivatif
ALJABAR LINIER DAN MATRIKS
ALJABAR LINIER DAN MATRIKS MATRIKS (DETERMINAN, INVERS, TRANSPOSE) Macam Matriks Matriks Nol (0) Matriks yang semua entrinya nol. Ex: Matriks Identitas (I) Matriks persegi dengan entri pada diagonal utamanya
PERSAMAAN DIFERENSIAL LINIER NON HOMOGEN
LINIER NON HOMOGEN Contoh PD linier non homogen orde 2. Bentuk umum persamaan PD Linier Non Homogen Orde 2, adalah sebagai berikut : y + f(x) y + g(x) y = r(x) ( 2-35) Solusi umum y(x) akan didapatkan
Edy Sarwo Agus Wibowo, Yuni Yulida, Thresye
Jurnal Matematika Murni dan Terapan εpsilon Vol.7 No.2 (2013) Hal. 12-19 PENYELESAIAN SISTEM PERSAMAAN DIFERENSIAL LINIER MELALUI DIAGONALISASI MATRIKS Edy Sarwo Agus Wibowo, Yuni Yulida, Thresye Program
Kontrol Optimal Waktu Diskrit
Kontrol Optimal Waktu Diskrit April 2012 () Kontrol Optimal (3 SKS) April 2012 1 / 18 Ekstrim Suatu Fungsional untuk Fungsi Skalar Dalam bagian ini, kita akan menentukan syarat perlu untuk optimisasi fungsional
Bab 2 LANDASAN TEORI
17 Bab 2 LANDASAN TEORI 2.1 Aljabar Matriks 2.1.1 Definisi Matriks Matriks adalah suatu kumpulan angka-angka yang juga sering disebut elemen-elemen yang disusun secara teratur menurut baris dan kolom sehingga
LIMIT FUNGSI. A. Menentukan Limit Fungsi Aljabar A.1. Limit x a Contoh A.1: Contoh A.2 : 2 4)
LIMIT FUNGSI A. Menentukan Limit Fungsi Aljabar A.. Limit a Contoh A.:. ( ) 3 Contoh A. : 4 ( )( ) ( ) 4 Latihan. Hitunglah nilai it fungsi-fungsi berikut ini. a. (3 ) b. ( 4) c. ( 4) d. 0 . Hitunglah
GARIS-GARIS BESAR PROGRAM PEMBELAJARAN
GARIS-GARIS BESAR PROGRAM PEMBELAJARAN Mata Kuliah : Aljabar Linear Kode / SKS : TIF-5xxx / 3 SKS Dosen : - Deskripsi Singkat : Mata kuliah ini berisi Sistem persamaan Linier dan Matriks, Determinan, Vektor
Teori kendali. Oleh: Ari suparwanto
Teori kendali Oleh: Ari suparwanto Minggu Ke-1 Permasalahan oleh : Ari Suparwanto Permasalahan Diberikan sistem dan sinyal referensi. Masalah kendali adalah menentukan sinyal kendali sehingga output sistem
Matematika Teknik I. Prasyarat : Kalkulus I, Kalkulus II, Aljabar Vektor & Kompleks
Kode Mata Kuliah : TE 318 SKS : 3 Matematika Teknik I Prasarat : Kalkulus I, Kalkulus II, Aljabar Vektor & Kompleks Tujuan : Mahasiswa memahami permasalahan teknik dalam bentuk PD atau integral, serta
MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR
MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR TIM DOSEN 5 Ruang Vektor Ruang Vektor Sub Pokok Bahasan Ruang Vektor Umum Subruang Basis dan Dimensi Beberapa Aplikasi Ruang Vektor Beberapa metode optimasi Sistem Kontrol
BAB II SISTEM PERSAMAAN LINEAR. Sistem persamaan linear ditemukan hampir di semua cabang ilmu
BAB II SISTEM PERSAMAAN LINEAR Sistem persamaan linear ditemukan hampir di semua cabang ilmu pengetahuan. Di bidang ilmu ukur, diperlukan untuk mencari titik potong dua garis dalam satu bidang. Di bidang
Kuliah 2: FUNGSI MULTIVARIABEL. Indah Yanti
Kuliah 2: FUNGSI MULTIVARIABEL Indah Yanti Definisi Dasar Perhatikan fungsi f: A R n R m : x f x n = m = 1 fungsi bernilai riil satu variabel n = 1, m > 1 fungsi bernilai vektor satu variabel n > 1, m
TUGAS MANDIRI KULIAH PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA Tahun Ajaran 2016/2017
A. Pengantar Persamaan Diferensial TUGAS MANDIRI KULIAH PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA Tahun Ajaran 016/017 1. Tentukan hasil turunan dari fungsi sebagai berikut: a. f() = c e b. f() = c cos k + c sin k c.
Sifat Strong Perron-Frobenius Pada Solusi Positif Eventual Sistem Persamaan Differensial Linier Orde Satu
Sifat Strong Perron-Frobenius Pada Solusi Positif Eventual Sistem Persamaan Differensial Linier Orde Satu Yulian Sari FKIP Pendidikan Matematika Universitas Riau Kepulauan e-mail: yuliansari17@gmail.com
Aljabar Linier Elementer. Kuliah 7
Aljabar Linier Elementer Kuliah 7 Materi Kuliah Ekspansi kofaktor Aturan Cramer 2 2.4 Espansi Kofaktor; Aturan Cramer Definisi: Jika A adalah matriks bujur sangkar, maka minor dari entri a ij dinyatakan
Bab 15. Interaksi antar dua spesies (Model Kerjasama)
Bab 15. Interaksi antar dua spesies (Model Kerjasama) Dalam hal ini diberikan dua spesies yang hidup bersama dalam suatu habitat tertutup. Kita ketahui bahwa terdapat beberapa jenis hubungan interaksi
Aljabar Linier Elementer
Aljabar Linier Elementer Kuliah 15 dan 16 11/11/2014 1 Materi Kuliah Kebebasan Linier Basis dan Dimensi 11/11/2014 Yanita, Matematika Unand 2 5.3 Kebebasan Linier Definisi Jika S = v 1, v 2,, v r adalah
BAB II KAJIAN TEORI. representasi pemodelan matematika disebut sebagai model matematika. Interpretasi Solusi. Bandingkan Data
A. Model Matematika BAB II KAJIAN TEORI Pemodelan matematika adalah proses representasi dan penjelasan dari permasalahan dunia real yang dinyatakan dalam pernyataan matematika (Widowati dan Sutimin, 2007:
BAB I PENDAHULUAN. keadaan dari suatu sistem. Dalam aplikasinya, suatu sistem kontrol memiliki tujuan
BAB I PENDAHULUAN 11 Latar Belakang Masalah Sistem kontrol merupakan suatu alat untuk mengendalikan dan mengatur keadaan dari suatu sistem Dalam aplikasinya, suatu sistem kontrol memiliki tujuan atau sasaran
untuk setiap x sehingga f g
Jadi ( f ( f ) bernilai nol untuk setiap x, sehingga ( f ( f ) fungsi nol atau ( f ( f ) Aksioma 5 Ambil f, g F, R, ( f g )( f g ( g( g( ( f g)( Karena ( f g )( ( f g)( untuk setiap x sehingga f g Aksioma
BAB 2 TINJAUAN PUSTAKA
BAB 2 TINJAUAN PUSTAKA Pada bab ini dibahas mengenai tinjauan pustaka yang digunakan dalam penelitian ini, khususnya yang diperlukan dalam Bab 3. Teori yang dibahas adalah teori yang mendukung pembentukan
BAB II LANDASAN TEORI
BAB II LANDASAN TEORI A. Matriks 1. Pengertian Matriks Definisi II. A. 1 Matriks didefinisikan sebagai susunan segi empat siku- siku dari bilangan- bilangan yang diatur dalam baris dan kolom (Anton, 1987:22).
Analisis Riil II: Diferensiasi
Definisi Turunan Definisi dan Teorema Aturan Rantai Fungsi Invers Definisi (Turunan) Misalkan I R sebuah interval, f : I R, dan c I. Bilangan riil L dikatakan turunan dari f di c jika diberikan sebarang
dy = f(x,y) = p(x) q(y), dx dy = p(x) dx,
5. Persamaan Diferensian Dengan Variabel Terpisah Persamaan diferensial berbentuk y = f(), dengan f suatu fungsi kontinu pada suatu interval real, dapat dicari penyelesaiannya dengan cara mengintegralkan
Pertemuan 14. persamaan linier NON HOMOGEN
Pertemuan 14 persamaan linier NON HOMOGEN 10 Metode GAUSS Aljabar Linier Hastha 2016 10.2.2 METODE ELIMINASI GAUSS Apabila [A][X]=[B] maka dengan menyusun matriks baru yaitu matriks [A.B] akan didapat
ALJABAR LINEAR ELEMENTER
BAHAN AJAR ALJABAR LINEAR ELEMENTER Disusun oleh : Indah Emilia Wijayanti Al. Sutjijana Jurusan Matematika Fakultas MIPA Universitas Gadjah Mada Desember, 22 ii Daftar Isi Sistem Persamaan Linear dan Matriks.
TE Sistem Linier. Sistem Waktu Kontinu
TE 226 - Sistem Linier Jimmy Hasugian Electrical Engineering - Maranatha Christian University jimlecture@gmail.com - http://wp.me/p4scve-g Sistem Waktu Kontinu Jimmy Hasugian (MCU) Sistem Waktu Kontinu
8 MATRIKS DAN DETERMINAN
8 MATRIKS DAN DETERMINAN Matriks merupakan pengembangan lebih lanjut dari sistem persamaan linear. Oleh karenanya aljabar matriks sering juga disebut dengan aljabar linear. Matriks dapat digunakan untuk
Aljabar Linier Sistem koordinat, dimensi ruang vektor dan rank
Aljabar Linier Sistem koordinat, dimensi ruang vektor dan rank khozin mu tamar 9 Oktober 2014 PERTEMUAN-4 : SISTEM KOORDINAT, DIMEN- SI RUANG VEKTOR DAN RANK 1. Sistem koordinat (a) Ketunggalan scalar
Pertemuan 1 dan 2 KONSEP DASAR PERSAMAAN DIFERENSIAL
Pertemuan 1 dan 2 KONSEP DASAR PERSAMAAN DIFERENSIAL A. PENGERTIAN PERSAMAAN DIFERENSIAL Dalam pelajaran kalkulus, kita telah berkenalan dan mengkaji berbagai macam metode untuk mendiferensialkan suatu
APLIKASI MATRIKS KOMPANION PADA PENYELESAIAN SISTEM PERSAMAAN DIFERENSIAL LINIER NON HOMOGEN TUGAS AKHIR
APLIKASI MATRIKS KOMPANION PADA PENYELESAIAN SISTEM PERSAMAAN DIFERENSIAL LINIER NON HOMOGEN TUGAS AKHIR Diajukan sebagai Salah Satu Syarat untuk Memperoleh Gelar Sarjana Sains pada Jurusan Matematika
MODUL ALJABAR LINEAR 1 Disusun oleh, ASTRI FITRIA NUR ANI
214 MODUL ALJABAR LINEAR 1 Disusun oleh, ASTRI FITRIA NUR ANI Astri Fitria Nur ani Aljabar Linear 1 1/1/214 1 DAFTAR ISI DAFTAR ISI... i BAB I MATRIKS DAN SISTEM PERSAMAAN A. Pendahuluan... 1 B. Aljabar
BAB II LANDASAN TEORI. yang biasanya dinyatakan dalam bentuk sebagai berikut: =
BAB II LANDASAN TEORI 2.1 Matriks Definisi 2.1 (Lipschutz, 2006): Matriks adalah susunan segiempat dari skalarskalar yang biasanya dinyatakan dalam bentuk sebagai berikut: Setiap skalar yang terdapat dalam
BAB 2 LANDASAN TEORI
BAB 2 LANDASAN TEORI 2.1 Aljabar Matriks 2.1.1 Definisi Matriks Matriks adalah suatu kumpulan angka-angka yang juga sering disebut elemen-elemen yang disusun secara teratur menurut baris dan kolom sehingga
BAB II LANDASAN TEORI
BAB II LANDASAN TEORI 2.1 Sistem Persamaan diferensial Persamaan diferensial merupakan persamaan yang melibatkan turunanturunan dari fungsi yang tidak diketahui (Waluya, 2006). Contoh 2.1 : Diberikan persamaan
SUBRUANG VEKTOR. Disusun Untuk Memenuhi Mata Kuliah Aljabar Linier. Dosen Pembimbing: Abdul Aziz Saefudin, M.Pd
SUBRUANG VEKTOR Disusun Untuk Memenuhi Mata Kuliah Aljabar Linier Dosen Pembimbing: Abdul Aziz Saefudin, M.Pd Disusun Oleh : Kelompok 6/ III A4 1. Nina Octaviani Nugraheni 14144100115 2. Emi Suryani 14144100126
BAB 1 PENDAHULUAN. Sebuah garis dalam bidang xy secara aljabar dapat dinyatakan oleh persamaan yang berbentuk
BAB 1 PENDAHULUAN 1.1 Latar belakang Sebagian besar dari sejarah ilmu pengetahuan alam adalah catatan dari usaha manusia secara kontinu untuk merumuskan konsep-konsep yang dapat menguraikan permasalahan
BAB II KAJIAN PUSTAKA. operasi matriks, determinan dan invers matriks), aljabar max-plus, matriks atas
BAB II KAJIAN PUSTAKA Pada bab ini akan diuraikan mengenai matriks (meliputi definisi matriks, operasi matriks, determinan dan invers matriks), aljabar max-plus, matriks atas aljabar max-plus, dan penyelesaian
Aljabar Linear. & Matriks. Evangs Mailoa. Pert. 4
Aljabar Linear & Matriks Pert. 4 Evangs Mailoa Sistem Persamaan Linier & Matriks 1. Matriks dan Operasi Matriks 2. Pengantar Sistem Persamaan Linier 3. Eliminasi Gaus 4. Invers: Aturan Aritmatika Matriks
BAB 2. DETERMINAN MATRIKS
BAB. DETERMINAN MATRIKS DETERMINAN MATRIKS . Definisi DETERMINAN Determinan : produk (hasil kali) bertanda dari unsur-unsur matriks sedemikian hingga berasal dari baris dan kolom yang berbeda, kemudian
, ω, L dan C adalah riil, tunjukkanlah
. Jika z j j PROBLEM SE# Sistem Bilangan Kompleks, tentukanlah bagian riil dan bagian imajiner dari bilangan kompleks z z. Carilah harga dan y yang memenuhi persamaan : y j y, j, ( ) ( ). Carilah bentuk
II. TINJAUAN PUSTAKA. Turunan fungsi f adalah fungsi lain f (dibaca f aksen ) yang nilainya pada ( ) ( ) ( )
II. TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Definisi Turunan Turunan fungsi f adalah fungsi lain f (dibaca f aksen ) yang nilainya pada sebarang bilangan c adalah asalkan limit ini ada. Jika limit ini memang ada, maka dikatakan
OBSERVER UNTUK SISTEM KONTROL LINIER KONTINU
Jurnal Matematika UNAND Vol 5 No 1 Hal 96 12 ISSN : 233 291 c Jurusan Matematika FMIPA UNAND OBSERVER UNTUK SISTEM KONTROL LINIER KONTINU SUKMA HAYATI, ZULAKMAL Program Studi Matematika, Fakultas Matematika
UJI KONVERGENSI. Januari Tim Dosen Kalkulus 2 TPB ITK
UJI KONVERGENSI Januari 208 Tim Dosen Kalkulus 2 TPB ITK Uji Integral Teorema 3 Jika + k= u k adalah deret dengan suku-suku tak negatif, dan jika ada suatu konstanta M sedemikian hingga s n = u + u 2 +
KONSEP DASAR PERSAMAAN DIFERENSIAL
KONSEP DASAR PERSAMAAN DIFERENSIAL A. PENGERTIAN PERSAMAAN DIFERENSIAL Dalam pelajaran kalkulus, kita telah berkenalan dan mengkaji berbagai macam metode untuk mendiferensialkan suatu fungsi (dasar). Sebagai
uiopasdfghjklzxcvbnmqwertyuiopasd fghjklzxcvbnmqwertyuiopasdfghjklzx wertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwertyui opasdfghjklzxcvbnmqwertyuiopasdfg
uiopasdfghjklzxcvbnmqwertyuiopasd Qwertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwerty cvbnmqwertyuiopasdfghjklzxcvbnmq fghjklzxcvbnmqwertyuiopasdfghjklzx wertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwertyui opasdfghjklzxcvbnmqwertyuiopasdfg
PENYELESAIAN PERSAMAAN DIFFERENSIAL ORDE 2 - II
PENYELESAIAN PERSAMAAN DIFFERENSIAL ORDE - II.Persamaan Homogen dengan Koefisien Konstan Suatu persamaan linier homogen y + ay + by = 0 (1) mempunyai koefisien a dan b adalah konstan. Persamaan ini mempunyai
Institut Teknologi Sepuluh Nopember Surabaya. Keterkendalian (Controlability)
Institut Teknologi Sepuluh Nopember Surabaya Keterkendalian (Controlability) Contoh Soal Ringkasan Latihan Contoh Soal Ringkasan Latihan Vektor Bebas Linear Keterkendalian Keadaan Secara Sempurna dari
II. TINJAUAN PUSTAKA. nyata (fenomena-fenomena alam) ke dalam bagian-bagian matematika yang. disebut dunia matematika (mathematical world).
5 II. TINJAUAN PUSTAKA 2.1. Pemodelan Matematika Definisi pemodelan matematika : Pemodelan matematika adalah suatu deskripsi dari beberapa perilaku dunia nyata (fenomena-fenomena alam) ke dalam bagian-bagian
Ruang Vektor. Kartika Firdausy UAD blog.uad.ac.id/kartikaf. Ruang Vektor. Syarat agar V disebut sebagai ruang vektor. Aljabar Linear dan Matriks 1
Ruang Vektor Kartika Firdausy UAD blog.uad.ac.id/kartikaf Syarat agar V disebut sebagai ruang vektor 1. Jika vektor vektor u, v V, maka vektor u + v V 2. u + v = v + u 3. u + ( v + w ) = ( u + v ) + w
Suatu himpunan tak kosong F dengan operasi penjumlahan dan perkalian, dikatakan sebagai field jika untuk setiap,, memenuhi sifat-sifat berikut:
Bagian 5. RUANG VEKTOR 5.1 Lapangan (Field) Suatu himpunan tak kosong F dengan operasi penjumlahan dan perkalian, dikatakan sebagai field jika untuk setiap,, memenuhi sifat-sifat berikut: 1. dan 2., 3.,
BAB II DASAR DASAR TEORI
BAB II DASA DASA TEOI.. uang ruang Vektor.. uang Vektor Umum Defenisi dan sifat sifat sederhana Defenisi : Misalkan V adalah sebarang himpunan benda yang didefenisikan dua operasi, yakni penambahan perkalian
RUANG VEKTOR. Nurdinintya Athari (NDT)
1 RUANG VEKTOR Nurdinintya Athari (NDT) RUANG VEKTOR Sub Pokok Bahasan Ruang Vektor Umum Subruang Basis dan Dimensi Basis Subruang Beberapa Aplikasi Ruang Vektor Beberapa metode optimasi Sistem kontrol
Karena v merupakan vektor bukan nol, maka A Iλ = 0. Dengan kata lain, Persamaan (2.2) dapat dipenuhi jika dan hanya jika,
BAB II KAJIAN TEORI Pada bab ini akan dibahas mengenai definisi-definisi dan teorema-teorema dari nilai eigen, vektor eigen, dan diagonalisasi, sistem persamaan differensial, model predator prey lotka-voltera,
BAB 2 PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN LINEAR
BAB 2 PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN LINEAR MATERI A. Persamaan dan Pertidaksamaan Nilai Mutlak A. PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN YANG MEMUAT NILAI MUTLAK Dalam matematika, sesuatu yang nilainya selalu positif
Persamaan Diferensial Biasa
Persamaan Diferensial Biasa Titik Tetap dan Sistem Linear Toni Bakhtiar Departemen Matematika IPB Oktober 2012 Toni Bakhtiar (m@thipb) PDB Oktober 2012 1 / 31 Titik Tetap SPD Mandiri dan Titik Tetap Tinjau
II. M A T R I K S ... A... Contoh II.1 : Macam-macam ukuran matriks 2 A. 1 3 Matrik A berukuran 3 x 1. Matriks B berukuran 1 x 3
11 II. M A T R I K S Untuk mencari pemecahan sistem persamaan linier dapat digunakan beberapa cara. Salah satu yang paling mudah adalah dengan menggunakan matriks. Dalam matematika istilah matriks digunakan
BAB IV PERSAMAAN DIFERENSIAL LINIER
BAB IV PERSAMAAN DIFERENSIAL LINIER Tujuan Instruksional: Mampu memahami konsep PD Linier Mampu memahami konsep ketakbebasan linier, determinan Wronski dan superposisi Mampu memahami metode penyelesaian
MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR
MUHG3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR TIM DOSEN 7 Transformasi Linear Sub Pokok Bahasan Definisi Transformasi Linear Matriks Transformasi Kernel dan Jangkauan Aplikasi Transformasi Linear Grafika Komputer Penyederhanaan