Variabel Banyak Bernilai Real 1 / 1
|
|
- Devi Muljana
- 7 tahun lalu
- Tontonan:
Transkripsi
1 Fungsi Variabel Banyak Bernilai Real Turunan Parsial dan Turunan Wono Setya Budhi KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB Variabel Banyak Bernilai Real 1 / 1
2 Turunan Parsial dan Turunan Usaha pertama untuk menggunakan turunan pada fungsi dua variabel adalah memandang salah satu variabel tetap, sehingga dapat menggunakan fungsi satu variabel. Misalkan diketahui fungsi dua variabel z = f (x,y) dan misalkan y = b. Fungsi z = f (x,b) merupakan fungsi satu variabel. Jadi, kita dapat menggunakan turunan satu variabel, f (a+h,b) f (a,b) (a,b) = lim x h 0 h asalkan limit ini ada. Notasi lain untuk turunan parsial terhadap variabel x atau variabel pertama ini adalah D 1 f (x,y) atau D x f (x,y) Variabel Banyak Bernilai Real 2 / 1
3 Turunan Parsial dan Turunan Usaha pertama untuk menggunakan turunan pada fungsi dua variabel adalah memandang salah satu variabel tetap, sehingga dapat menggunakan fungsi satu variabel. Misalkan diketahui fungsi dua variabel z = f (x,y) dan misalkan y = b. Fungsi z = f (x,b) merupakan fungsi satu variabel. Jadi, kita dapat menggunakan turunan satu variabel, f (a+h,b) f (a,b) (a,b) = lim x h 0 h asalkan limit ini ada. Notasi lain untuk turunan parsial terhadap variabel x atau variabel pertama ini adalah D 1 f (x,y) atau D x f (x,y) Variabel Banyak Bernilai Real 2 / 1
4 Turunan Parsial dan Turunan Usaha pertama untuk menggunakan turunan pada fungsi dua variabel adalah memandang salah satu variabel tetap, sehingga dapat menggunakan fungsi satu variabel. Misalkan diketahui fungsi dua variabel z = f (x,y) dan misalkan y = b. Fungsi z = f (x,b) merupakan fungsi satu variabel. Jadi, kita dapat menggunakan turunan satu variabel, f (a+h,b) f (a,b) (a,b) = lim x h 0 h asalkan limit ini ada. Notasi lain untuk turunan parsial terhadap variabel x atau variabel pertama ini adalah D 1 f (x,y) atau D x f (x,y) Variabel Banyak Bernilai Real 2 / 1
5 Turunan Parsial dan Turunan Usaha pertama untuk menggunakan turunan pada fungsi dua variabel adalah memandang salah satu variabel tetap, sehingga dapat menggunakan fungsi satu variabel. Misalkan diketahui fungsi dua variabel z = f (x,y) dan misalkan y = b. Fungsi z = f (x,b) merupakan fungsi satu variabel. Jadi, kita dapat menggunakan turunan satu variabel, f (a+h,b) f (a,b) (a,b) = lim x h 0 h asalkan limit ini ada. Notasi lain untuk turunan parsial terhadap variabel x atau variabel pertama ini adalah D 1 f (x,y) atau D x f (x,y) Variabel Banyak Bernilai Real 2 / 1
6 Turunan Parsial dan Turunan Usaha pertama untuk menggunakan turunan pada fungsi dua variabel adalah memandang salah satu variabel tetap, sehingga dapat menggunakan fungsi satu variabel. Misalkan diketahui fungsi dua variabel z = f (x,y) dan misalkan y = b. Fungsi z = f (x,b) merupakan fungsi satu variabel. Jadi, kita dapat menggunakan turunan satu variabel, f (a+h,b) f (a,b) (a,b) = lim x h 0 h asalkan limit ini ada. Notasi lain untuk turunan parsial terhadap variabel x atau variabel pertama ini adalah D 1 f (x,y) atau D x f (x,y) Variabel Banyak Bernilai Real 2 / 1
7 Turunan Parsial dan Turunan Notasi lain untuk turunan parsial terhadap variabel x atau variabel pertama ini adalah D 1 f (x,y) atau D x f (x,y) atau x menyatakan bahwa ada variabel lain yang dianggap konstan. Turunan Parsial 2 z 1 0 y x 0 2 Variabel Banyak Bernilai Real 3 / 1
8 Turunan Parsial dan Turunan Notasi lain untuk turunan parsial terhadap variabel x atau variabel pertama ini adalah D 1 f (x,y) atau D x f (x,y) atau x menyatakan bahwa ada variabel lain yang dianggap konstan. Turunan Parsial 2 z 1 0 y x 0 2 Variabel Banyak Bernilai Real 3 / 1
9 Turunan Parsial dan Turunan Example Carilah turunan terhadap parsial terhadap x dan y di titik (1,2) jika Solution Kita dapat menghitung f (x,y) = x 3 +3x 2 y f (1+h,2) f (2) lim h 0 h atau x (x,y) = 3x2 +6xy kemudian x dan y masing-masing diganti dengan x = 1 dan y = 2. Variabel Banyak Bernilai Real 4 / 1
10 Turunan Parsial dan Turunan Example Carilah turunan terhadap parsial terhadap x dan y di titik (1,2) jika Solution Kita dapat menghitung f (x,y) = x 3 +3x 2 y f (1+h,2) f (2) lim h 0 h atau x (x,y) = 3x2 +6xy kemudian x dan y masing-masing diganti dengan x = 1 dan y = 2. Variabel Banyak Bernilai Real 4 / 1
11 Turunan Parsial dan Turunan Example Misalkan diketahui turunan parsial fungsi f terhadap x yaitu Carilah fungsi f (x,y) x = 3x2 +y 2 Solution Dalam hal ini f (x,y) = x 3 +y 2 x +C (y) dengan C (y) adalah fungsi yang bergantung pada y. Perhatikan bahwa jika fungsi tersebut diturunkan terhadap y, maka dc dx = 0. Variabel Banyak Bernilai Real 5 / 1
12 Turunan Parsial dan Turunan Example Misalkan diketahui turunan parsial fungsi f terhadap x yaitu Carilah fungsi f (x,y) x = 3x2 +y 2 Solution Dalam hal ini f (x,y) = x 3 +y 2 x +C (y) dengan C (y) adalah fungsi yang bergantung pada y. Perhatikan bahwa jika fungsi tersebut diturunkan terhadap y, maka dc dx = 0. Variabel Banyak Bernilai Real 5 / 1
13 Turunan Parsial dan Turunan Example Misalkan diketahui turunan parsial fungsi f terhadap x yaitu x = 3x2 +y 2. Carilah fungsi f (x,y) Solution Dalam hal ini f (x,y) = x 3 +y 2 x +C (y) dengan C (y) adalah fungsi yang bergantung pada y. Misalkan pula diketahui bahwa dc dy = 0, maka C... Dengan demikian C harus merupakan konstanta. Jawab akhir dari soal yang ada tambahannya adalah f (x,y) = x 3 +y 2 x +C. Jawab akhir dari soal yang ditanya adalah f (x,y) = x 3 +y 2 x +C (y). Variabel Banyak Bernilai Real 6 / 1
14 Turunan Parsial dan Turunan Example Misalkan diketahui turunan parsial fungsi f terhadap x yaitu x = 3x2 +y 2. Carilah fungsi f (x,y) Solution Dalam hal ini f (x,y) = x 3 +y 2 x +C (y) dengan C (y) adalah fungsi yang bergantung pada y. Misalkan pula diketahui bahwa dc dy = 0, maka C... Dengan demikian C harus merupakan konstanta. Jawab akhir dari soal yang ada tambahannya adalah f (x,y) = x 3 +y 2 x +C. Jawab akhir dari soal yang ditanya adalah f (x,y) = x 3 +y 2 x +C (y). Variabel Banyak Bernilai Real 6 / 1
15 Turunan Parsial dan Turunan Example Misalkan diketahui turunan parsial fungsi f terhadap x yaitu x = 3x2 +y 2. Carilah fungsi f (x,y) Solution Dalam hal ini f (x,y) = x 3 +y 2 x +C (y) dengan C (y) adalah fungsi yang bergantung pada y. Misalkan pula diketahui bahwa dc dy = 0, maka C... Dengan demikian C harus merupakan konstanta. Jawab akhir dari soal yang ada tambahannya adalah f (x,y) = x 3 +y 2 x +C. Jawab akhir dari soal yang ditanya adalah f (x,y) = x 3 +y 2 x +C (y). Variabel Banyak Bernilai Real 6 / 1
16 Turunan Parsial dan Turunan Example Misalkan diketahui turunan parsial fungsi f terhadap x yaitu x = 3x2 +y 2. Carilah fungsi f (x,y) Solution Dalam hal ini f (x,y) = x 3 +y 2 x +C (y) dengan C (y) adalah fungsi yang bergantung pada y. Misalkan pula diketahui bahwa dc dy = 0, maka C... Dengan demikian C harus merupakan konstanta. Jawab akhir dari soal yang ada tambahannya adalah f (x,y) = x 3 +y 2 x +C. Jawab akhir dari soal yang ditanya adalah f (x,y) = x 3 +y 2 x +C (y). Variabel Banyak Bernilai Real 6 / 1
17 Turunan Parsial dan Turunan Example Misalkan diketahui turunan parsial fungsi f terhadap x yaitu x = 3x2 +y 2. Carilah fungsi f (x,y) Solution Dalam hal ini f (x,y) = x 3 +y 2 x +C (y) dengan C (y) adalah fungsi yang bergantung pada y. Misalkan pula diketahui bahwa dc dy = 0, maka C... Dengan demikian C harus merupakan konstanta. Jawab akhir dari soal yang ada tambahannya adalah f (x,y) = x 3 +y 2 x +C. Jawab akhir dari soal yang ditanya adalah f (x,y) = x 3 +y 2 x +C (y). Variabel Banyak Bernilai Real 6 / 1
18 Turunan Parsial dan Turunan Example Diketahui fungsi satu variabel u = F (z) dan fungsi dua variabel z = g (x,y). Fungsi komposisi keduanya adalah u = F (g (x,y)) Carilah u x dan u y Solution Karena turunan parsial berkaitan dengan fungsi satu variabel, maka turunan tersebut dapat dicari dengan menggunakan aturan turunan satu variabel. Dalam hal ini u x = F (g (x,y)) g x Variabel Banyak Bernilai Real 7 / 1
19 Turunan Parsial dan Turunan Example Diketahui fungsi satu variabel u = F (z) dan fungsi dua variabel z = g (x,y). Fungsi komposisi keduanya adalah u = F (g (x,y)) Carilah u x dan u y Solution Karena turunan parsial berkaitan dengan fungsi satu variabel, maka turunan tersebut dapat dicari dengan menggunakan aturan turunan satu variabel. Dalam hal ini u x = F (g (x,y)) g x Variabel Banyak Bernilai Real 7 / 1
20 Turunan Parsial dan Turunan Example Diketahui fungsi satu variabel u = F (z) dan fungsi dua variabel z = g (x,y). Fungsi komposisi keduanya adalah u = F (g (x,y)) Carilah u x dan u y Solution Karena turunan parsial berkaitan dengan fungsi satu variabel, maka turunan tersebut dapat dicari dengan menggunakan aturan turunan satu variabel. Dalam hal ini u x = F (g (x,y)) g x Variabel Banyak Bernilai Real 7 / 1
21 Turunan Parsial dan Turunan Istilah di Ekonomi Example Di ekonomi hubungan antara input dan output dikenal sebagai fungsi produksi. Misalkan z = βp α M 1 α menyatakan fungsi produksi dengan α, β konstan, 0 < α < 1 dan P menyatakan pekerja dan M menyatakan bahan mentah dan z jumlah hasil. Di ekonomi, menggunakan kata marjinal untuk turunan. Jadi z P menyatakan marjinal produksi terhadap pekerja. Di ekonomi, besaran ini dihitung dengan hasil pertambahan produksi jika pekerja ditambah satu satuan. Kelemahan hanya menggunakan turunan atau marjinal, angka z P sering tidak sepadan. Tidak ada perbedaan antara z P = 1 untuk z = 1.0 atau 100 maupun untuk titik P = 10 atau 100 Variabel Banyak Bernilai Real 8 / 1
22 Turunan Parsial dan Turunan Istilah di Ekonomi Example Di ekonomi hubungan antara input dan output dikenal sebagai fungsi produksi. Misalkan z = βp α M 1 α menyatakan fungsi produksi dengan α, β konstan, 0 < α < 1 dan P menyatakan pekerja dan M menyatakan bahan mentah dan z jumlah hasil. Di ekonomi, menggunakan kata marjinal untuk turunan. Jadi z P menyatakan marjinal produksi terhadap pekerja. Di ekonomi, besaran ini dihitung dengan hasil pertambahan produksi jika pekerja ditambah satu satuan. Kelemahan hanya menggunakan turunan atau marjinal, angka z P sering tidak sepadan. Tidak ada perbedaan antara z P = 1 untuk z = 1.0 atau 100 maupun untuk titik P = 10 atau 100 Variabel Banyak Bernilai Real 8 / 1
23 Turunan Parsial dan Turunan Istilah di Ekonomi Example Di ekonomi hubungan antara input dan output dikenal sebagai fungsi produksi. Misalkan z = βp α M 1 α menyatakan fungsi produksi dengan α, β konstan, 0 < α < 1 dan P menyatakan pekerja dan M menyatakan bahan mentah dan z jumlah hasil. Di ekonomi, menggunakan kata marjinal untuk turunan. Jadi z P menyatakan marjinal produksi terhadap pekerja. Di ekonomi, besaran ini dihitung dengan hasil pertambahan produksi jika pekerja ditambah satu satuan. Kelemahan hanya menggunakan turunan atau marjinal, angka z P sering tidak sepadan. Tidak ada perbedaan antara z P = 1 untuk z = 1.0 atau 100 maupun untuk titik P = 10 atau 100 Variabel Banyak Bernilai Real 8 / 1
24 Turunan Parsial dan Turunan Istilah di Ekonomi Example Di ekonomi hubungan antara input dan output dikenal sebagai fungsi produksi. Misalkan z = βp α M 1 α menyatakan fungsi produksi dengan α, β konstan, 0 < α < 1 dan P menyatakan pekerja dan M menyatakan bahan mentah dan z jumlah hasil. Di ekonomi, menggunakan kata marjinal untuk turunan. Jadi z P menyatakan marjinal produksi terhadap pekerja. Di ekonomi, besaran ini dihitung dengan hasil pertambahan produksi jika pekerja ditambah satu satuan. Kelemahan hanya menggunakan turunan atau marjinal, angka z P sering tidak sepadan. Tidak ada perbedaan antara z P = 1 untuk z = 1.0 atau 100 maupun untuk titik P = 10 atau 100 Variabel Banyak Bernilai Real 8 / 1
25 Turunan Parsial dan Turunan Istilah di Ekonomi Example Di ekonomi hubungan antara input dan output dikenal sebagai fungsi produksi. Misalkan z = βp α M 1 α menyatakan fungsi produksi dengan α, β konstan, 0 < α < 1 dan P menyatakan pekerja dan M menyatakan bahan mentah dan z jumlah hasil. Di ekonomi, menggunakan kata marjinal untuk turunan. Jadi z P menyatakan marjinal produksi terhadap pekerja. Di ekonomi, besaran ini dihitung dengan hasil pertambahan produksi jika pekerja ditambah satu satuan. Kelemahan hanya menggunakan turunan atau marjinal, angka z P sering tidak sepadan. Tidak ada perbedaan antara z P = 1 untuk z = 1.0 atau 100 maupun untuk titik P = 10 atau 100 Variabel Banyak Bernilai Real 8 / 1
26 Turunan Parsial dan Turunan Istilah di Ekonomi Example Di ekonomi hubungan antara input dan output dikenal sebagai fungsi produksi. Misalkan z = βp α M 1 α menyatakan fungsi produksi dengan α, β konstan, 0 < α < 1 dan P menyatakan pekerja dan M menyatakan bahan mentah dan z jumlah hasil. Di ekonomi, menggunakan kata marjinal untuk turunan. Jadi z P menyatakan marjinal produksi terhadap pekerja. Di ekonomi, besaran ini dihitung dengan hasil pertambahan produksi jika pekerja ditambah satu satuan. Kelemahan hanya menggunakan turunan atau marjinal, angka z P sering tidak sepadan. Tidak ada perbedaan antara z P = 1 untuk z = 1.0 atau 100 maupun untuk titik P = 10 atau 100 Variabel Banyak Bernilai Real 8 / 1
27 Variabel Banyak Bernilai Real 9 / 1
28 Turunan Parsial dan Turunan Istilah di Ekonomi Example Kelemahan hanya menggunakan turunan atau marjinal, angka z P sering tidak sepadan. Tidak ada perbedaan antara z P = 1 untuk z = 1.0 atau 100 maupun untuk titik P = 10 atau 100. Untuk menghindari ini, nilai ini dibandingkan dengan z dan P. Mereka menggunakan P z z P Variabel Banyak Bernilai Real 9 / 1
29 Turunan Parsial dan Turunan Istilah di Ekonomi Example Kelemahan hanya menggunakan turunan atau marjinal, angka z P sering tidak sepadan. Tidak ada perbedaan antara z P = 1 untuk z = 1.0 atau 100 maupun untuk titik P = 10 atau 100. Untuk menghindari ini, nilai ini dibandingkan dengan z dan P. Mereka menggunakan P z z P Variabel Banyak Bernilai Real 9 / 1
30 Turunan Parsial dan Turunan Istilah di Ekonomi Example Kelemahan hanya menggunakan turunan atau marjinal, angka z P sering tidak sepadan. Tidak ada perbedaan antara z P = 1 untuk z = 1.0 atau 100 maupun untuk titik P = 10 atau 100. Untuk menghindari ini, nilai ini dibandingkan dengan z dan P. Mereka menggunakan P z z P Variabel Banyak Bernilai Real 9 / 1
31 Variabel Banyak Bernilai Real 10 / 1
32 Mempunyai Turunan Parsial Tidak Harus Kontinu Example Buktikan bahwa fungsi f (x,y) = { xy x 2 +y 2 jika (x,y) = (0,0) 0 jika (x,y) = (0,0) mempunyai turunan parsial, tetapi tidak kontinu di (0, 0) Solution Kita menghitung turunan parsial f (0+h,0) f(0,0) (0,0) = lim x h 0 h Kita sudah melihat bahwa fungsi tersebut tidak kontinu di (0, 0). Variabel Banyak Bernilai Real 10 / 1
33 Mempunyai Turunan Parsial Tidak Harus Kontinu Example Buktikan bahwa fungsi f (x,y) = { xy x 2 +y 2 jika (x,y) = (0,0) 0 jika (x,y) = (0,0) mempunyai turunan parsial, tetapi tidak kontinu di (0, 0) Solution Kita menghitung turunan parsial f (0+h,0) f(0,0) (0,0) = lim x h 0 h Kita sudah melihat bahwa fungsi tersebut tidak kontinu di (0, 0). Variabel Banyak Bernilai Real 10 / 1
34 Variabel Banyak Bernilai Real 11 / 1
35 Turunan Fungsi Dua Variabel Kita sudah melihat bahwa f (a) = lim x 0 f(a+ x) f(a) x atau f (a+ x) f (a) = f (a) x + ɛ( x) ɛ( x) dengan lim x 0 x = 0 Artinya, ɛ( x) lebih cepat menuju nol dibandingan x jika x 0. Untuk turunan parsial x (a,b) = lim x 0 f(a+ x,b) f(a,b) x atau f (a+ x,b) f (a,b) = f (a,b) x + ɛ( x) dengan lim x 0 ɛ( x) x = 0 Bagaimana jika x maupun y keduanya berubah, f (a+ x,b+ y) f (a,b) Kita dapat melakukan satu persatu perubahan. Variabel Banyak Bernilai Real 11 / 1
36 Turunan Fungsi Dua Variabel Kita sudah melihat bahwa f (a) = lim x 0 f(a+ x) f(a) x atau f (a+ x) f (a) = f (a) x + ɛ( x) ɛ( x) dengan lim x 0 x = 0 Artinya, ɛ( x) lebih cepat menuju nol dibandingan x jika x 0. Untuk turunan parsial x (a,b) = lim x 0 f(a+ x,b) f(a,b) x atau f (a+ x,b) f (a,b) = f (a,b) x + ɛ( x) dengan lim x 0 ɛ( x) x = 0 Bagaimana jika x maupun y keduanya berubah, f (a+ x,b+ y) f (a,b) Kita dapat melakukan satu persatu perubahan. Variabel Banyak Bernilai Real 11 / 1
37 Turunan Fungsi Dua Variabel Kita sudah melihat bahwa f (a) = lim x 0 f(a+ x) f(a) x atau f (a+ x) f (a) = f (a) x + ɛ( x) ɛ( x) dengan lim x 0 x = 0 Artinya, ɛ( x) lebih cepat menuju nol dibandingan x jika x 0. Untuk turunan parsial x (a,b) = lim x 0 f(a+ x,b) f(a,b) x atau f (a+ x,b) f (a,b) = f (a,b) x + ɛ( x) dengan lim x 0 ɛ( x) x = 0 Bagaimana jika x maupun y keduanya berubah, f (a+ x,b+ y) f (a,b) Kita dapat melakukan satu persatu perubahan. Variabel Banyak Bernilai Real 11 / 1
38 Turunan Fungsi Dua Variabel Kita sudah melihat bahwa f (a) = lim x 0 f(a+ x) f(a) x atau f (a+ x) f (a) = f (a) x + ɛ( x) ɛ( x) dengan lim x 0 x = 0 Artinya, ɛ( x) lebih cepat menuju nol dibandingan x jika x 0. Untuk turunan parsial x (a,b) = lim x 0 f(a+ x,b) f(a,b) x atau f (a+ x,b) f (a,b) = f (a,b) x + ɛ( x) dengan lim x 0 ɛ( x) x = 0 Bagaimana jika x maupun y keduanya berubah, f (a+ x,b+ y) f (a,b) Kita dapat melakukan satu persatu perubahan. Variabel Banyak Bernilai Real 11 / 1
39 Turunan Fungsi Dua Variabel Kita sudah melihat bahwa f (a) = lim x 0 f(a+ x) f(a) x atau f (a+ x) f (a) = f (a) x + ɛ( x) ɛ( x) dengan lim x 0 x = 0 Artinya, ɛ( x) lebih cepat menuju nol dibandingan x jika x 0. Untuk turunan parsial x (a,b) = lim x 0 f(a+ x,b) f(a,b) x atau f (a+ x,b) f (a,b) = f (a,b) x + ɛ( x) dengan lim x 0 ɛ( x) x = 0 Bagaimana jika x maupun y keduanya berubah, f (a+ x,b+ y) f (a,b) Kita dapat melakukan satu persatu perubahan. Variabel Banyak Bernilai Real 11 / 1
40 Variabel Banyak Bernilai Real 12 / 1
41 Turunan Fungsi Dua Variabel Kita dapat melakukan satu persatu perubahan. f (a+ x,b+ y) f (a,b) = f (a+ x,b+ y) f (a,b+ y) +f (a,b+ y) f (a,b) Di suku f (a+ x,b+ y) f (a,b+ y), bagian x yang berubah, x (a,b+ y) x Di suku f (a,b+ y) f (a,b), bagian y berubah y (a,b) y Jika turunan x kontinu, maka x (a,b+ y) x x (a,b) x asalkan x cukup kecil. Dengan demikian f (a+ x,b+ y) f (a,b) (a,b) x + (a,b) y x y Resminya f (a+ x,b+ y) f (a,b) = (a,b) x+ (a,b) y + ɛ( x, y x y Variabel Banyak Bernilai Real 12 / 1
42 Turunan Fungsi Dua Variabel Kita dapat melakukan satu persatu perubahan. f (a+ x,b+ y) f (a,b) = f (a+ x,b+ y) f (a,b+ y) +f (a,b+ y) f (a,b) Di suku f (a+ x,b+ y) f (a,b+ y), bagian x yang berubah, x (a,b+ y) x Di suku f (a,b+ y) f (a,b), bagian y berubah y (a,b) y Jika turunan x kontinu, maka x (a,b+ y) x x (a,b) x asalkan x cukup kecil. Dengan demikian f (a+ x,b+ y) f (a,b) (a,b) x + (a,b) y x y Resminya f (a+ x,b+ y) f (a,b) = (a,b) x+ (a,b) y + ɛ( x, y x y Variabel Banyak Bernilai Real 12 / 1
43 Turunan Fungsi Dua Variabel Kita dapat melakukan satu persatu perubahan. f (a+ x,b+ y) f (a,b) = f (a+ x,b+ y) f (a,b+ y) +f (a,b+ y) f (a,b) Di suku f (a+ x,b+ y) f (a,b+ y), bagian x yang berubah, x (a,b+ y) x Di suku f (a,b+ y) f (a,b), bagian y berubah y (a,b) y Jika turunan x kontinu, maka x (a,b+ y) x x (a,b) x asalkan x cukup kecil. Dengan demikian f (a+ x,b+ y) f (a,b) (a,b) x + (a,b) y x y Resminya f (a+ x,b+ y) f (a,b) = (a,b) x+ (a,b) y + ɛ( x, y x y Variabel Banyak Bernilai Real 12 / 1
44 Turunan Fungsi Dua Variabel Kita dapat melakukan satu persatu perubahan. f (a+ x,b+ y) f (a,b) = f (a+ x,b+ y) f (a,b+ y) +f (a,b+ y) f (a,b) Di suku f (a+ x,b+ y) f (a,b+ y), bagian x yang berubah, x (a,b+ y) x Di suku f (a,b+ y) f (a,b), bagian y berubah y (a,b) y Jika turunan x kontinu, maka x (a,b+ y) x x (a,b) x asalkan x cukup kecil. Dengan demikian f (a+ x,b+ y) f (a,b) (a,b) x + (a,b) y x y Resminya f (a+ x,b+ y) f (a,b) = (a,b) x+ (a,b) y + ɛ( x, y x y Variabel Banyak Bernilai Real 12 / 1
45 Turunan Fungsi Dua Variabel Kita dapat melakukan satu persatu perubahan. f (a+ x,b+ y) f (a,b) = f (a+ x,b+ y) f (a,b+ y) +f (a,b+ y) f (a,b) Di suku f (a+ x,b+ y) f (a,b+ y), bagian x yang berubah, x (a,b+ y) x Di suku f (a,b+ y) f (a,b), bagian y berubah y (a,b) y Jika turunan x kontinu, maka x (a,b+ y) x x (a,b) x asalkan x cukup kecil. Dengan demikian f (a+ x,b+ y) f (a,b) (a,b) x + (a,b) y x y Resminya f (a+ x,b+ y) f (a,b) = (a,b) x+ (a,b) y + ɛ( x, y x y Variabel Banyak Bernilai Real 12 / 1
46 Turunan Fungsi Dua Variabel Kita dapat melakukan satu persatu perubahan. f (a+ x,b+ y) f (a,b) = f (a+ x,b+ y) f (a,b+ y) +f (a,b+ y) f (a,b) Di suku f (a+ x,b+ y) f (a,b+ y), bagian x yang berubah, x (a,b+ y) x Di suku f (a,b+ y) f (a,b), bagian y berubah y (a,b) y Jika turunan x kontinu, maka x (a,b+ y) x x (a,b) x asalkan x cukup kecil. Dengan demikian f (a+ x,b+ y) f (a,b) (a,b) x + (a,b) y x y Resminya f (a+ x,b+ y) f (a,b) = (a,b) x+ (a,b) y + ɛ( x, y x y Variabel Banyak Bernilai Real 12 / 1
47 Variabel Banyak Bernilai Real 13 / 1
48 Turunan Fungsi Dua Variabel Resminya f (a+ x,b+ y) f (a,b) = (a,b) x+ (a,b) y + ɛ( x, y x y asalkan lim ( x, y) (0,0) Perhatikan bahwa suku ɛ( x, y) ( x) 2 +( y) 2 = 0 (a,b) x + (a,b) y x y merupakan fungsi linear terhadap perubahan x, y Jika x = 0, maka bentuk di atas kembali ke bentuk satu variabel untuk perubahan y. Jika y = 0, maka bentuk di atas kembali ke bentuk satu variabel untuk perubahan x. Variabel Banyak Bernilai Real 13 / 1
49 Turunan Fungsi Dua Variabel Resminya f (a+ x,b+ y) f (a,b) = (a,b) x+ (a,b) y + ɛ( x, y x y asalkan lim ( x, y) (0,0) Perhatikan bahwa suku ɛ( x, y) ( x) 2 +( y) 2 = 0 (a,b) x + (a,b) y x y merupakan fungsi linear terhadap perubahan x, y Jika x = 0, maka bentuk di atas kembali ke bentuk satu variabel untuk perubahan y. Jika y = 0, maka bentuk di atas kembali ke bentuk satu variabel untuk perubahan x. Variabel Banyak Bernilai Real 13 / 1
50 Turunan Fungsi Dua Variabel Resminya f (a+ x,b+ y) f (a,b) = (a,b) x+ (a,b) y + ɛ( x, y x y asalkan lim ( x, y) (0,0) Perhatikan bahwa suku ɛ( x, y) ( x) 2 +( y) 2 = 0 (a,b) x + (a,b) y x y merupakan fungsi linear terhadap perubahan x, y Jika x = 0, maka bentuk di atas kembali ke bentuk satu variabel untuk perubahan y. Jika y = 0, maka bentuk di atas kembali ke bentuk satu variabel untuk perubahan x. Variabel Banyak Bernilai Real 13 / 1
51 Turunan Fungsi Dua Variabel Resminya f (a+ x,b+ y) f (a,b) = (a,b) x+ (a,b) y + ɛ( x, y x y asalkan lim ( x, y) (0,0) Perhatikan bahwa suku ɛ( x, y) ( x) 2 +( y) 2 = 0 (a,b) x + (a,b) y x y merupakan fungsi linear terhadap perubahan x, y Jika x = 0, maka bentuk di atas kembali ke bentuk satu variabel untuk perubahan y. Jika y = 0, maka bentuk di atas kembali ke bentuk satu variabel untuk perubahan x. Variabel Banyak Bernilai Real 13 / 1
52 Variabel Banyak Bernilai Real 14 / 1
53 Diferensial Fungsi Dua Variabel Definition Misalkan f (x, y) fungsi dua variabel dengan daerah definisi himpunan buka D dan (a,b) D. Diferensial fungsi dua variabel di titik (a, b) adalah df (a,b)( x, y) = (a,b) x + (a,b) y x y (yaitu bagian linear untuk menaksir f (a+ x,b+ y) f (a,b)) jika ɛ( x, y) = 0 ( x) 2 +( y) 2 lim ( x, y) (0,0) Dengan penulisan di atas, maka f (a+ x,b+ y) f (a,b) = df (a,b)( x, y)+ ɛ( x, y) Variabel Banyak Bernilai Real 14 / 1
54 Diferensial Fungsi Dua Variabel Definition Misalkan f (x, y) fungsi dua variabel dengan daerah definisi himpunan buka D dan (a,b) D. Diferensial fungsi dua variabel di titik (a, b) adalah df (a,b)( x, y) = (a,b) x + (a,b) y x y (yaitu bagian linear untuk menaksir f (a+ x,b+ y) f (a,b)) jika ɛ( x, y) = 0 ( x) 2 +( y) 2 lim ( x, y) (0,0) Dengan penulisan di atas, maka f (a+ x,b+ y) f (a,b) = df (a,b)( x, y)+ ɛ( x, y) Variabel Banyak Bernilai Real 14 / 1
55 Diferensial Fungsi Dua Variabel Definition Misalkan f (x, y) fungsi dua variabel dengan daerah definisi himpunan buka D dan (a,b) D. Diferensial fungsi dua variabel di titik (a, b) adalah df (a,b)( x, y) = (a,b) x + (a,b) y x y (yaitu bagian linear untuk menaksir f (a+ x,b+ y) f (a,b)) jika ɛ( x, y) = 0 ( x) 2 +( y) 2 lim ( x, y) (0,0) Dengan penulisan di atas, maka f (a+ x,b+ y) f (a,b) = df (a,b)( x, y)+ ɛ( x, y) Variabel Banyak Bernilai Real 14 / 1
56 Diferensial Fungsi Dua Variabel Definition Misalkan f (x, y) fungsi dua variabel dengan daerah definisi himpunan buka D dan (a,b) D. Diferensial fungsi dua variabel di titik (a, b) adalah df (a,b)( x, y) = (a,b) x + (a,b) y x y (yaitu bagian linear untuk menaksir f (a+ x,b+ y) f (a,b)) jika ɛ( x, y) = 0 ( x) 2 +( y) 2 lim ( x, y) (0,0) Dengan penulisan di atas, maka f (a+ x,b+ y) f (a,b) = df (a,b)( x, y)+ ɛ( x, y) Variabel Banyak Bernilai Real 14 / 1
57 Diferensial Fungsi Dua Variabel Example Tentukan diferensial fungsi f (x,y) = xy di titik (a,b). Solution Diferensial fungsi tersebut adalah Suku sisanya adalah (a,b) x + (a,b) y = b x +a y x y f (a+ x,b+ y) f (a,b) = (a+ x)(b+ y) ab Jadi ɛ( x, y) = x y. = b x +a y + x y ɛ( x, y) Karena lim ( x, y) (0,0) = 0, maka diferensial tersebut ( x) 2 2 Variabel+( y) Banyak Bernilai Real 15 / 1
58 Diferensial Fungsi Dua Variabel Example Tentukan diferensial fungsi f (x,y) = xy di titik (a,b). Solution Diferensial fungsi tersebut adalah Suku sisanya adalah (a,b) x + (a,b) y = b x +a y x y f (a+ x,b+ y) f (a,b) = (a+ x)(b+ y) ab Jadi ɛ( x, y) = x y. = b x +a y + x y ɛ( x, y) Karena lim ( x, y) (0,0) = 0, maka diferensial tersebut ( x) 2 2 Variabel+( y) Banyak Bernilai Real 15 / 1
59 Diferensial Fungsi Dua Variabel Example Tentukan diferensial fungsi f (x,y) = xy di titik (a,b). Solution Diferensial fungsi tersebut adalah Suku sisanya adalah (a,b) x + (a,b) y = b x +a y x y f (a+ x,b+ y) f (a,b) = (a+ x)(b+ y) ab Jadi ɛ( x, y) = x y. = b x +a y + x y ɛ( x, y) Karena lim ( x, y) (0,0) = 0, maka diferensial tersebut ( x) 2 2 Variabel+( y) Banyak Bernilai Real 15 / 1
60 Diferensial Fungsi Dua Variabel Example Tentukan diferensial fungsi f (x,y) = xy di titik (a,b). Solution Diferensial fungsi tersebut adalah Suku sisanya adalah (a,b) x + (a,b) y = b x +a y x y f (a+ x,b+ y) f (a,b) = (a+ x)(b+ y) ab Jadi ɛ( x, y) = x y. = b x +a y + x y ɛ( x, y) Karena lim ( x, y) (0,0) = 0, maka diferensial tersebut ( x) 2 2 Variabel+( y) Banyak Bernilai Real 15 / 1
61 Diferensial Fungsi Dua Variabel Solution Diferensial fungsi tersebut adalah x (a,b) x + y (a,b) y = b x +a y Suku sisanya adalah f (a+ x,b+ y) f (a,b) = (a+ x)(b+ y) ab Jadi ɛ( x, y) = x y. Karena lim ( x, y) (0,0) memang benar. = b x +a y + x y ɛ( x, y) = 0, maka diferensial tersebut ( x) 2 2 +( y) Variabel Banyak Bernilai Real 16 / 1
62 Diferensial Fungsi Dua Variabel Solution Diferensial fungsi tersebut adalah x (a,b) x + y (a,b) y = b x +a y Suku sisanya adalah f (a+ x,b+ y) f (a,b) = (a+ x)(b+ y) ab Jadi ɛ( x, y) = x y. Karena lim ( x, y) (0,0) memang benar. = b x +a y + x y ɛ( x, y) = 0, maka diferensial tersebut ( x) 2 2 +( y) Variabel Banyak Bernilai Real 16 / 1
63 Diferensial Fungsi Dua Variabel Solution Diferensial fungsi tersebut adalah x (a,b) x + y (a,b) y = b x +a y Suku sisanya adalah f (a+ x,b+ y) f (a,b) = (a+ x)(b+ y) ab Jadi ɛ( x, y) = x y. Karena lim ( x, y) (0,0) memang benar. = b x +a y + x y ɛ( x, y) = 0, maka diferensial tersebut ( x) 2 2 +( y) Variabel Banyak Bernilai Real 16 / 1
64 Diferensial Fungsi Dua Variabel Solution Diferensial fungsi tersebut adalah x (a,b) x + y (a,b) y = b x +a y Suku sisanya adalah f (a+ x,b+ y) f (a,b) = (a+ x)(b+ y) ab Jadi ɛ( x, y) = x y. Karena lim ( x, y) (0,0) memang benar. = b x +a y + x y ɛ( x, y) = 0, maka diferensial tersebut ( x) 2 2 +( y) Variabel Banyak Bernilai Real 16 / 1
65 Turunan Parsial dan Turunan Diferensial Fungsi Dua Variabel Example Diferensial fungsi f (x,y) = xy di titik (a,b) adalah f (a+ x,b+ y) f (a,b) = b x +a y + x y }{{} diferensialnya y b a x Variabel Banyak Bernilai Real 17 / 1
66 Turunan Parsial dan Turunan Diferensial Fungsi Dua Variabel Example Diferensial fungsi f (x,y) = xy di titik (a,b) adalah f (a+ x,b+ y) f (a,b) = b x +a y + x y }{{} diferensialnya y b a x Variabel Banyak Bernilai Real 17 / 1
67 Diferensial Fungsi Dua Variabel dan Turunan Bentuk df (a,b)( x, y) = A x +B y dapat ditulis dalam bentuk matriks df (a,b)( x, y) = [ A B ][ ] x y Dengan x, y sebagai variabel bebas, maka bentuk di atas dapat dipandang sebagai nilai transformasi linear [ A B ] [ x di titik y Transformasi linear tersebut ditulis sebagai turunan f di titik (a, b) dan ditulis sebagai df (a,b). Bandingkan dengan fungsi satu variabel y = f (x) sebagai dy = f (a) x ]. Variabel Banyak Bernilai Real 18 / 1
68 Diferensial Fungsi Dua Variabel dan Turunan Bentuk df (a,b)( x, y) = A x +B y dapat ditulis dalam bentuk matriks df (a,b)( x, y) = [ A B ][ ] x y Dengan x, y sebagai variabel bebas, maka bentuk di atas dapat dipandang sebagai nilai transformasi linear [ A B ] [ x di titik y Transformasi linear tersebut ditulis sebagai turunan f di titik (a, b) dan ditulis sebagai df (a,b). Bandingkan dengan fungsi satu variabel y = f (x) sebagai dy = f (a) x ]. Variabel Banyak Bernilai Real 18 / 1
69 Diferensial Fungsi Dua Variabel dan Turunan Bentuk df (a,b)( x, y) = A x +B y dapat ditulis dalam bentuk matriks df (a,b)( x, y) = [ A B ][ ] x y Dengan x, y sebagai variabel bebas, maka bentuk di atas dapat dipandang sebagai nilai transformasi linear [ A B ] [ x di titik y Transformasi linear tersebut ditulis sebagai turunan f di titik (a, b) dan ditulis sebagai df (a,b). Bandingkan dengan fungsi satu variabel y = f (x) sebagai dy = f (a) x ]. Variabel Banyak Bernilai Real 18 / 1
70 Diferensial Fungsi Dua Variabel dan Turunan Bentuk df (a,b)( x, y) = A x +B y dapat ditulis dalam bentuk matriks df (a,b)( x, y) = [ A B ][ ] x y Dengan x, y sebagai variabel bebas, maka bentuk di atas dapat dipandang sebagai nilai transformasi linear [ A B ] [ x di titik y Transformasi linear tersebut ditulis sebagai turunan f di titik (a, b) dan ditulis sebagai df (a,b). Bandingkan dengan fungsi satu variabel y = f (x) sebagai dy = f (a) x ]. Variabel Banyak Bernilai Real 18 / 1
71 Turunan Fungsi Dua Variabel Turunan fungsi didefinisikan secara formal sebagai Definition Misalkan f (x, y) fungsi dua variabel dengan daerah definisi himpunan buka D dan (a,b) D. Turunan fungsi f di titik (a,b), ditulis sebagai df (a,b), adalah transformasi linear df (a, b) yang memenuhi f(a+ x,b+ y) f (a,b) df (a,b)( x, y) lim ( x, y) (0,0) ( x, y) = 0 Perhatikan bahwa vektor atau matriks ( x, y) [ x y ] ditulis sebagai Variabel Banyak Bernilai Real 19 / 1
72 Turunan Fungsi Dua Variabel Turunan fungsi didefinisikan secara formal sebagai Definition Misalkan f (x, y) fungsi dua variabel dengan daerah definisi himpunan buka D dan (a,b) D. Turunan fungsi f di titik (a,b), ditulis sebagai df (a,b), adalah transformasi linear df (a, b) yang memenuhi f(a+ x,b+ y) f (a,b) df (a,b)( x, y) lim ( x, y) (0,0) ( x, y) = 0 Perhatikan bahwa vektor atau matriks ( x, y) [ x y ] ditulis sebagai Variabel Banyak Bernilai Real 19 / 1
73 Turunan Fungsi Dua Variabel Turunan fungsi didefinisikan secara formal sebagai Definition Misalkan f (x, y) fungsi dua variabel dengan daerah definisi himpunan buka D dan (a,b) D. Turunan fungsi f di titik (a,b), ditulis sebagai df (a,b), adalah transformasi linear df (a, b) yang memenuhi f(a+ x,b+ y) f (a,b) df (a,b)( x, y) lim ( x, y) (0,0) ( x, y) = 0 Perhatikan bahwa vektor atau matriks ( x, y) [ x y ] ditulis sebagai Variabel Banyak Bernilai Real 19 / 1
74 Turunan Fungsi Dua Variabel Example Tentukan turunan fungsi f (x,y) = px +qy di titik (a,b). Solution Diferensial fungsi tersebut adalah Suku sisanya adalah (a,b) x + (a,b) y = p x +q y x y f (a+ x,b+ y) f (a,b) = p(a+ x)+q(b+ y) pa qb = p x +q y Jadi ɛ( x, y) = 0, maka turunannya adalah df (a,b) = [ p q ] Variabel Banyak Bernilai Real 20 / 1
75 Turunan Fungsi Dua Variabel Example Tentukan turunan fungsi f (x,y) = px +qy di titik (a,b). Solution Diferensial fungsi tersebut adalah Suku sisanya adalah (a,b) x + (a,b) y = p x +q y x y f (a+ x,b+ y) f (a,b) = p(a+ x)+q(b+ y) pa qb = p x +q y Jadi ɛ( x, y) = 0, maka turunannya adalah df (a,b) = [ p q ] Variabel Banyak Bernilai Real 20 / 1
76 Turunan Fungsi Dua Variabel Example Tentukan turunan fungsi f (x,y) = px +qy di titik (a,b). Solution Diferensial fungsi tersebut adalah Suku sisanya adalah (a,b) x + (a,b) y = p x +q y x y f (a+ x,b+ y) f (a,b) = p(a+ x)+q(b+ y) pa qb = p x +q y Jadi ɛ( x, y) = 0, maka turunannya adalah df (a,b) = [ p q ] Variabel Banyak Bernilai Real 20 / 1
77 Turunan Fungsi Dua Variabel Example Misalkan diketahui transformasi T : R 2 R 2 dengan matriks transformasinya adalah [T] = [ p q ]. Tentukan turunan transformasi ini. Solution Transformasi linear di atas dapat dituliskan sebagai fungsi. Nilai transformasi di (x,y) adalah T (x,y) = [ p q ][ x y ] = px +qy Turunan fungsi ini sudah dibahas, yaitu dt (a,b) = [ p q ]. Variabel Banyak Bernilai Real 21 / 1
78 Turunan Fungsi Dua Variabel Example Misalkan diketahui transformasi T : R 2 R 2 dengan matriks transformasinya adalah [T] = [ p q ]. Tentukan turunan transformasi ini. Solution Transformasi linear di atas dapat dituliskan sebagai fungsi. Nilai transformasi di (x,y) adalah T (x,y) = [ p q ][ x y ] = px +qy Turunan fungsi ini sudah dibahas, yaitu dt (a,b) = [ p q ]. Variabel Banyak Bernilai Real 21 / 1
79 Turunan Fungsi Dua Variabel Example Misalkan diketahui transformasi T : R 2 R 2 dengan matriks transformasinya adalah [T] = [ p q ]. Tentukan turunan transformasi ini. Solution Transformasi linear di atas dapat dituliskan sebagai fungsi. Nilai transformasi di (x,y) adalah T (x,y) = [ p q ][ x y ] = px +qy Turunan fungsi ini sudah dibahas, yaitu dt (a,b) = [ p q ]. Variabel Banyak Bernilai Real 21 / 1
80 Hubungan Turunan Fungsi dan Kontinu Syarat perlu suatu fungsi mempunyai turunan Theorem Jika fungsi dua variabel f mempunyai turunan di (a,b), maka f kontinu di (a,b) Proof. Kita menghitung nilai f (a+ x,b+ y) f (a,b) = df (a,b)( x, y)+ ɛ( x, y) Karena f mempunyai turunan, maka ɛ( x, y) lim ( x, y) (0,0) = 0, maka ( x) 2 2 +( y) lim ɛ( x, y) = 0 ( x, y) (0,0) Variabel Banyak Bernilai Real 22 / 1
81 Hubungan Turunan Fungsi dan Kontinu Syarat perlu suatu fungsi mempunyai turunan Theorem Jika fungsi dua variabel f mempunyai turunan di (a,b), maka f kontinu di (a,b) Proof. Kita menghitung nilai f (a+ x,b+ y) f (a,b) = df (a,b)( x, y)+ ɛ( x, y) Karena f mempunyai turunan, maka ɛ( x, y) lim ( x, y) (0,0) = 0, maka ( x) 2 2 +( y) lim ɛ( x, y) = 0 ( x, y) (0,0) Variabel Banyak Bernilai Real 22 / 1
82 Hubungan Turunan Fungsi dan Kontinu Syarat perlu suatu fungsi mempunyai turunan Proof. Kita menghitung nilai f (a+ x,b+ y) f (a,b) = df (a,b)( x, y)+ ɛ( x, y) Karena f mempunyai turunan, maka ɛ( x, y) lim ( x, y) (0,0) = 0, maka ( x) 2 2 +( y) lim ( x, y) (0,0) ɛ( x, y) = 0 Karena df (a,b)( x, y) linear terhadap x, y, maka lim ( x, y) (0,0) df (a,b)( x, y) = 0. Jadi... Variabel Banyak Bernilai Real 23 / 1
83 Hubungan Turunan Fungsi dan Kontinu Syarat perlu suatu fungsi mempunyai turunan Proof. Kita menghitung nilai f (a+ x,b+ y) f (a,b) = df (a,b)( x, y)+ ɛ( x, y) Karena f mempunyai turunan, maka ɛ( x, y) lim ( x, y) (0,0) = 0, maka ( x) 2 2 +( y) lim ( x, y) (0,0) ɛ( x, y) = 0 Karena df (a,b)( x, y) linear terhadap x, y, maka lim ( x, y) (0,0) df (a,b)( x, y) = 0. Jadi... Variabel Banyak Bernilai Real 23 / 1
84 Hubungan Turunan Fungsi dan Kontinu Syarat perlu suatu fungsi mempunyai turunan Proof. Kita menghitung nilai f (a+ x,b+ y) f (a,b) = df (a,b)( x, y)+ ɛ( x, y) Karena f mempunyai turunan, maka ɛ( x, y) lim ( x, y) (0,0) = 0, maka ( x) 2 2 +( y) lim ( x, y) (0,0) ɛ( x, y) = 0 Karena df (a,b)( x, y) linear terhadap x, y, maka lim ( x, y) (0,0) df (a,b)( x, y) = 0. Jadi... Variabel Banyak Bernilai Real 23 / 1
85 Hubungan Turunan Fungsi dan Kontinu Syarat perlu suatu fungsi mempunyai turunan Proof. Kita menghitung nilai f (a+ x,b+ y) f (a,b) = df (a,b)( x, y)+ ɛ( x, y) Karena f mempunyai turunan, maka ɛ( x, y) lim ( x, y) (0,0) = 0, maka ( x) 2 2 +( y) lim ( x, y) (0,0) ɛ( x, y) = 0 Karena df (a,b)( x, y) linear terhadap x, y, maka lim ( x, y) (0,0) df (a,b)( x, y) = 0. Jadi... Variabel Banyak Bernilai Real 23 / 1
86 Hubungan Turunan Fungsi dan Turunan Parsial Theorem Jika fungsi f mempunyai turunan di (a,b) maka x (a,b) dan (a,b) ada dan y df (a,b)( x, y) = (a,b) x + (a,b) y x y dan y Sebaliknya, jika x maka turunan df (a,b) ada. ada dan kontinu di lingkungan (a,b), Variabel Banyak Bernilai Real 24 / 1
87 Hubungan Turunan Fungsi dan Turunan Parsial Theorem Jika fungsi f mempunyai turunan di (a,b) maka x (a,b) dan (a,b) ada dan y df (a,b)( x, y) = (a,b) x + (a,b) y x y dan y Sebaliknya, jika x maka turunan df (a,b) ada. ada dan kontinu di lingkungan (a,b), Variabel Banyak Bernilai Real 24 / 1
88 f (a+ x,b+ y) f (a,b+ y) = (a+θ 1 x,b+ y) x Variabel Banyak Bernilai Real 25 / 1 Turunan Parsial dan Turunan Hubungan Turunan Fungsi dan Turunan Parsial Proof. Sekarang sebaliknya, turunan parsial x dan y ada dan kontinu di lingkungan (a, b). Kita akan membuktikan bahwa df (a, b) ada. Seperti biasa, kita menghitung yaitu sebagai f (a+ x,b+ y) f (a,b) f (a+ x,b+ y) f (a,b+ y)+f (a,b+ y) f(a,b) Sebagai perubahan fungsi satu variabel, dengan teorema nilai rata-rata dapat diperoleh
89 f (a+ x,b+ y) f (a,b+ y) = (a+θ 1 x,b+ y) x Variabel Banyak Bernilai Real 25 / 1 Turunan Parsial dan Turunan Hubungan Turunan Fungsi dan Turunan Parsial Proof. Sekarang sebaliknya, turunan parsial x dan y ada dan kontinu di lingkungan (a, b). Kita akan membuktikan bahwa df (a, b) ada. Seperti biasa, kita menghitung yaitu sebagai f (a+ x,b+ y) f (a,b) f (a+ x,b+ y) f (a,b+ y)+f (a,b+ y) f(a,b) Sebagai perubahan fungsi satu variabel, dengan teorema nilai rata-rata dapat diperoleh
90 f (a+ x,b+ y) f (a,b+ y) = (a+θ 1 x,b+ y) x Variabel Banyak Bernilai Real 25 / 1 Turunan Parsial dan Turunan Hubungan Turunan Fungsi dan Turunan Parsial Proof. Sekarang sebaliknya, turunan parsial x dan y ada dan kontinu di lingkungan (a, b). Kita akan membuktikan bahwa df (a, b) ada. Seperti biasa, kita menghitung yaitu sebagai f (a+ x,b+ y) f (a,b) f (a+ x,b+ y) f (a,b+ y)+f (a,b+ y) f(a,b) Sebagai perubahan fungsi satu variabel, dengan teorema nilai rata-rata dapat diperoleh
91 f (a+ x,b+ y) f (a,b+ y) = (a+θ 1 x,b+ y) x Variabel Banyak Bernilai Real 25 / 1 Turunan Parsial dan Turunan Hubungan Turunan Fungsi dan Turunan Parsial Proof. Sekarang sebaliknya, turunan parsial x dan y ada dan kontinu di lingkungan (a, b). Kita akan membuktikan bahwa df (a, b) ada. Seperti biasa, kita menghitung yaitu sebagai f (a+ x,b+ y) f (a,b) f (a+ x,b+ y) f (a,b+ y)+f (a,b+ y) f(a,b) Sebagai perubahan fungsi satu variabel, dengan teorema nilai rata-rata dapat diperoleh
92 Hubungan Turunan Fungsi dan Turunan Parsial Proof. Seperti biasa, kita menghitung f (a+ x,b+ y) f (a,b) yaitu sebagai f (a+ x,b+ y) f (a,b+ y)+f (a,b+ y) f(a,b) Sebagai perubahan fungsi satu variabel, dengan teorema nilai rata-rata dapat diperoleh f (a+ x,b+ y) f (a,b+ y) = x (a+θ 1 x,b+ y) x dengan 0 < θ 1, θ 2 < 1. f (a,b+ y) f(a,b) = y (a,b+θ 2 y) y Secara informal, berdasarkan ke kontinuan turunan parsial, maka Wono Setyauntuk Budhi (KK( x, Analisis y) dan Geometri, (0,0), FMIPA FungsiITB) Variabel Banyak Bernilai Real 26 / 1
93 Hubungan Turunan Fungsi dan Turunan Parsial Proof. Seperti biasa, kita menghitung f (a+ x,b+ y) f (a,b) yaitu sebagai f (a+ x,b+ y) f (a,b+ y)+f (a,b+ y) f(a,b) Sebagai perubahan fungsi satu variabel, dengan teorema nilai rata-rata dapat diperoleh f (a+ x,b+ y) f (a,b+ y) = x (a+θ 1 x,b+ y) x dengan 0 < θ 1, θ 2 < 1. f (a,b+ y) f(a,b) = y (a,b+θ 2 y) y Secara informal, berdasarkan ke kontinuan turunan parsial, maka Wono Setyauntuk Budhi (KK( x, Analisis y) dan Geometri, (0,0), FMIPA FungsiITB) Variabel Banyak Bernilai Real 26 / 1
94 Hubungan Turunan Fungsi dan Turunan Parsial Proof. Seperti biasa, kita menghitung f (a+ x,b+ y) f (a,b) yaitu sebagai f (a+ x,b+ y) f (a,b+ y)+f (a,b+ y) f(a,b) Sebagai perubahan fungsi satu variabel, dengan teorema nilai rata-rata dapat diperoleh f (a+ x,b+ y) f (a,b+ y) = x (a+θ 1 x,b+ y) x dengan 0 < θ 1, θ 2 < 1. f (a,b+ y) f(a,b) = y (a,b+θ 2 y) y Secara informal, berdasarkan ke kontinuan turunan parsial, maka Wono Setyauntuk Budhi (KK( x, Analisis y) dan Geometri, (0,0), FMIPA FungsiITB) Variabel Banyak Bernilai Real 26 / 1
95 Hubungan Turunan Fungsi dan Turunan Parsial Proof. Sebagai perubahan fungsi satu variabel, dengan teorema nilai rata-rata dapat diperoleh (dengan 0 < θ 1, θ 2 < 1) f (a+ x,b+ y) f (a,b+ y) = x (a+θ 1 x,b+ y) x f (a,b+ y) f(a,b) = y (a,b+θ 2 y) y Secara informal, berdasarkan ke kontinuan turunan parsial, maka untuk ( x, y) (0,0), lim ( x, y) (0,0) x (a+θ 1 x,b+ y) = x (a,b) lim ( x, y) (0,0) y (a,b+θ 2 y) = y (a,b) Variabel Banyak Bernilai Real 27 / 1
96 Hubungan Turunan Fungsi dan Turunan Parsial Proof. Sebagai perubahan fungsi satu variabel, dengan teorema nilai rata-rata dapat diperoleh (dengan 0 < θ 1, θ 2 < 1) f (a+ x,b+ y) f (a,b+ y) = x (a+θ 1 x,b+ y) x f (a,b+ y) f(a,b) = y (a,b+θ 2 y) y Secara informal, berdasarkan ke kontinuan turunan parsial, maka untuk ( x, y) (0,0), lim ( x, y) (0,0) x (a+θ 1 x,b+ y) = x (a,b) lim ( x, y) (0,0) y (a,b+θ 2 y) = y (a,b) Variabel Banyak Bernilai Real 27 / 1
97 Hubungan Turunan Fungsi dan Turunan Parsial Proof. Resminya : f (a+ x,b+ y) f (a,b) = f (a+ x,b+ y) f (a,b+ y) f (a,b+ y) f (a,b) = x (a+θ 1 x,b+ y) x + y (a,b+θ 2 y) y = (a,b) x + (a,b) y + ɛ( x, y) x y dengan ( ɛ( x, y) = x (a+θ 1 x,b+ y) ) x (a,b) x ( + y (a,b+ θ 2 y) ) y (a,b) y Variabel Banyak Bernilai Real 28 / 1
98 Hubungan Turunan Fungsi dan Turunan Parsial Proof. Resminya : f (a+ x,b+ y) f (a,b) = f (a+ x,b+ y) f (a,b+ y) f (a,b+ y) f (a,b) = x (a+θ 1 x,b+ y) x + y (a,b+θ 2 y) y = (a,b) x + (a,b) y + ɛ( x, y) x y dengan ( ɛ( x, y) = x (a+θ 1 x,b+ y) ) x (a,b) x ( + y (a,b+ θ 2 y) ) y (a,b) y Variabel Banyak Bernilai Real 28 / 1
99 Hubungan Turunan Fungsi dan Turunan Parsial Proof. Kita harus memperlihatkan ( bahwa ) ɛ( x, y) = x (a+θ 1 x,b+ y) x (a,b) x + ( ) y (a,b+ θ 2 y) y (a,b) y memenuhi Karena x ( x) 2 +( y) 2 lim ( x, y) (0,0) 1 dan ɛ( x, y) ( x) 2 +( y) 2 y ( x) 2 +( y) 2 1, maka ɛ( x, y) ( x) 2 +( y) 2 x (a+θ 1 x,b+ y) x (a,b) +... Variabel Banyak Bernilai Real 29 / 1
100 Hubungan Turunan Fungsi dan Turunan Parsial Proof. Kita harus memperlihatkan ( bahwa ) ɛ( x, y) = x (a+θ 1 x,b+ y) x (a,b) x + ( ) y (a,b+ θ 2 y) y (a,b) y memenuhi Karena x ( x) 2 +( y) 2 lim ( x, y) (0,0) 1 dan ɛ( x, y) ( x) 2 +( y) 2 y ( x) 2 +( y) 2 1, maka ɛ( x, y) ( x) 2 +( y) 2 x (a+θ 1 x,b+ y) x (a,b) +... Variabel Banyak Bernilai Real 29 / 1
101 Hubungan Turunan Fungsi dan Turunan Parsial Proof. Karena x ( x) 2 +( y) 2 1 dan y ( x) 2 +( y) 2 1, maka ɛ( x, y) ( x) 2 +( y) 2 x (a+θ 1 x,b+ y) x (a,b) + serupa un Karena kekontinuan dari x di (a,b), maka untuk ( x, y) (0,0), maka bagian kanan menuju nol. Variabel Banyak Bernilai Real 30 / 1
102 Hubungan Turunan Fungsi dan Turunan Parsial Proof. Karena x ( x) 2 +( y) 2 1 dan y ( x) 2 +( y) 2 1, maka ɛ( x, y) ( x) 2 +( y) 2 x (a+θ 1 x,b+ y) x (a,b) + serupa un Karena kekontinuan dari x di (a,b), maka untuk ( x, y) (0,0), maka bagian kanan menuju nol. Variabel Banyak Bernilai Real 30 / 1
103 Jadi f (a+ x,b+ y) = f Variabel (a,b)+( 0,02) Banyak Bernilai Real 31 / 1 Contoh Turunan Parsial dan Turunan Example Dengan menggunakan diferensial, taksirlah nilai 3,9 2 +3,1 2 Solution Untuk mencari hampirannya, definisikan fungsi f (x,y) = x 2 +y 2 yang mudah dihitung di titik (a,b) = (4,3) Kita akan menghitung nilai f (a+ x,b+ y) dengan x =... dan y =... Selanjutnya f (a+ x,b+ y) f (a,b) = (a,b) x + (a,b) y x y = = 0,02
104 Jadi f (a+ x,b+ y) = f Variabel (a,b)+( 0,02) Banyak Bernilai Real 31 / 1 Contoh Turunan Parsial dan Turunan Example Dengan menggunakan diferensial, taksirlah nilai 3,9 2 +3,1 2 Solution Untuk mencari hampirannya, definisikan fungsi f (x,y) = x 2 +y 2 yang mudah dihitung di titik (a,b) = (4,3) Kita akan menghitung nilai f (a+ x,b+ y) dengan x =... dan y =... Selanjutnya f (a+ x,b+ y) f (a,b) = (a,b) x + (a,b) y x y = = 0,02
105 Jadi f (a+ x,b+ y) = f Variabel (a,b)+( 0,02) Banyak Bernilai Real 31 / 1 Contoh Turunan Parsial dan Turunan Example Dengan menggunakan diferensial, taksirlah nilai 3,9 2 +3,1 2 Solution Untuk mencari hampirannya, definisikan fungsi f (x,y) = x 2 +y 2 yang mudah dihitung di titik (a,b) = (4,3) Kita akan menghitung nilai f (a+ x,b+ y) dengan x =... dan y =... Selanjutnya f (a+ x,b+ y) f (a,b) = (a,b) x + (a,b) y x y = = 0,02
106 Jadi f (a+ x,b+ y) = f Variabel (a,b)+( 0,02) Banyak Bernilai Real 31 / 1 Contoh Turunan Parsial dan Turunan Example Dengan menggunakan diferensial, taksirlah nilai 3,9 2 +3,1 2 Solution Untuk mencari hampirannya, definisikan fungsi f (x,y) = x 2 +y 2 yang mudah dihitung di titik (a,b) = (4,3) Kita akan menghitung nilai f (a+ x,b+ y) dengan x =... dan y =... Selanjutnya f (a+ x,b+ y) f (a,b) = (a,b) x + (a,b) y x y = = 0,02
107 Interpretasi Geometri dari Diferensial Untuk satu variabel f (a+ x) f (a) f (a) x f (x) f (a) f (a)(x a) Dengan demikian f (x) f (a)+f (a)(x a) = g (x) dengan g (x) = f (a)+f (a)(x a) merupakan garis singgung. 2 1 A y = g(x) y = f(x) 1 f Variabel Banyak Bernilai Real 32 / 1
108 Interpretasi Geometri dari Diferensial Untuk satu variabel f (a+ x) f (a) f (a) x f (x) f (a) f (a)(x a) Dengan demikian f (x) f (a)+f (a)(x a) = g (x) dengan g (x) = f (a)+f (a)(x a) merupakan garis singgung. 2 1 A y = g(x) y = f(x) 1 f Variabel Banyak Bernilai Real 32 / 1
109 Interpretasi Geometri dari Diferensial Untuk satu variabel f (a+ x) f (a) f (a) x f (x) f (a) f (a)(x a) Dengan demikian f (x) f (a)+f (a)(x a) = g (x) dengan g (x) = f (a)+f (a)(x a) merupakan garis singgung. 2 1 A y = g(x) y = f(x) 1 f Variabel Banyak Bernilai Real 32 / 1
110 Interpretasi Geometri dari Diferensial Untuk dua variabel f (a+ x,b+ y) f (a,b) (a,b) x + (a,b) y x y f (x,y) f (a,b) (a,b)(x a)+ (a,b)(y b) x y Dengan demikian f (x,y) f (a,b)+ (a,b)(x a)+ (a,b)(y b) = g (x,y) x y dengan g (x,y) = f (a,b)+ x merupakan bidang singgung. (a,b)(x a)+ y (a,b)(y b) Variabel Banyak Bernilai Real 33 / 1
111 Interpretasi Geometri dari Diferensial Untuk dua variabel f (a+ x,b+ y) f (a,b) (a,b) x + (a,b) y x y f (x,y) f (a,b) (a,b)(x a)+ (a,b)(y b) x y Dengan demikian f (x,y) f (a,b)+ (a,b)(x a)+ (a,b)(y b) = g (x,y) x y dengan g (x,y) = f (a,b)+ x merupakan bidang singgung. (a,b)(x a)+ y (a,b)(y b) Variabel Banyak Bernilai Real 33 / 1
112 Turunan Parsial dan Turunan Interpretasi Geometri dari Diferensial Dengan demikian f (x, y ) f (a, b ) + (a, b ) (x a) + (a, b ) (y b ) = g (x, y ) x y dengan g (x, y ) = f (a, b ) + merupakan bidang singgung. x (a, b ) (x a) + y (a, b ) (y b ) z y x 5 Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA FungsiITB) Variabel Banyak Bernilai Real / 1
113 Turunan Parsial dan Turunan Interpretasi Geometri dari Diferensial Dengan demikian f (x, y ) f (a, b ) + (a, b ) (x a) + (a, b ) (y b ) = g (x, y ) x y dengan g (x, y ) = f (a, b ) + merupakan bidang singgung. x (a, b ) (x a) + y (a, b ) (y b ) z y x 5 Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA FungsiITB) Variabel Banyak Bernilai Real / 1
114 Bidang Singgung Turunan Parsial dan Turunan Bidang Singgung Variabel Banyak Bernilai Real 35 / 1
115 Perumuman Untuk Dimensi Lebih Tinggi Diketahui z = f (x 1,...,x n ) formula dari fungsi n variabel dengan nilai di bilangan. Kita dapat mendefinisikan turunan parsial dari f, yaitu turunan terhadap variabel ke x i adalah x i atau D xi f Turunan fungsi f di titik (a 1,...,a n ) adalah [ ] df (a1,...,a n ) = x 1... x n dengan turunan parsial dihitung di titik (a 1,...,a n ). Diferensial fungsi f di titik (a 1,...,a n ) dengan perubahan variabel bebas x 1,..., x n atau dx 1,...,dx n adalah df (a1,...,a n )(dx 1,...,dx n ) = x 1 dx x n dx n Variabel Banyak Bernilai Real 36 / 1
116 Perumuman Untuk Dimensi Lebih Tinggi Diketahui z = f (x 1,...,x n ) formula dari fungsi n variabel dengan nilai di bilangan. Kita dapat mendefinisikan turunan parsial dari f, yaitu turunan terhadap variabel ke x i adalah x i atau D xi f Turunan fungsi f di titik (a 1,...,a n ) adalah [ ] df (a1,...,a n ) = x 1... x n dengan turunan parsial dihitung di titik (a 1,...,a n ). Diferensial fungsi f di titik (a 1,...,a n ) dengan perubahan variabel bebas x 1,..., x n atau dx 1,...,dx n adalah df (a1,...,a n )(dx 1,...,dx n ) = x 1 dx x n dx n Variabel Banyak Bernilai Real 36 / 1
117 Perumuman Untuk Dimensi Lebih Tinggi Diketahui z = f (x 1,...,x n ) formula dari fungsi n variabel dengan nilai di bilangan. Kita dapat mendefinisikan turunan parsial dari f, yaitu turunan terhadap variabel ke x i adalah x i atau D xi f Turunan fungsi f di titik (a 1,...,a n ) adalah [ ] df (a1,...,a n ) = x 1... x n dengan turunan parsial dihitung di titik (a 1,...,a n ). Diferensial fungsi f di titik (a 1,...,a n ) dengan perubahan variabel bebas x 1,..., x n atau dx 1,...,dx n adalah df (a1,...,a n )(dx 1,...,dx n ) = x 1 dx x n dx n Variabel Banyak Bernilai Real 36 / 1
118 Perumuman Untuk Dimensi Lebih Tinggi Diketahui z = f (x 1,...,x n ) formula dari fungsi n variabel dengan nilai di bilangan. Kita dapat mendefinisikan turunan parsial dari f, yaitu turunan terhadap variabel ke x i adalah x i atau D xi f Turunan fungsi f di titik (a 1,...,a n ) adalah [ ] df (a1,...,a n ) = x 1... x n dengan turunan parsial dihitung di titik (a 1,...,a n ). Diferensial fungsi f di titik (a 1,...,a n ) dengan perubahan variabel bebas x 1,..., x n atau dx 1,...,dx n adalah df (a1,...,a n )(dx 1,...,dx n ) = x 1 dx x n dx n Variabel Banyak Bernilai Real 36 / 1
119 Turunan Parsial dan Turunan Perumuman Untuk Dimensi Lebih Tinggi Penghampiran linear ( bidang singgung ) g ( x1,..., xn ) = f ( a 1,..., a n ) + ( x a1 ) ( x an ) x1 xn z y x 5 10 Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA FungsiITB) Variabel Banyak Bernilai Real / 1
Barisan dan Deret Agus Yodi Gunawan
Barisan dan Deret Agus Yodi Gunawan Barisan. Definisi. Barisan tak hingga adalah suatu fungsi dengan daerah asalnya himpunan bilangan bulat positif dan daerah kawannya himpunan bilangan real. Notasi untuk
Lebih terperinciKALKULUS MULTIVARIABEL II
Pada Bidang Bentuk Vektor dari KALKULUS MULTIVARIABEL II (Minggu ke-9) Andradi Jurusan Matematika FMIPA UGM Yogyakarta, Indonesia Pada Bidang Bentuk Vektor dari 1 Definisi Daerah Sederhana x 2 Pada Bidang
Lebih terperinciRuang Hasil Kali Dalam
Ruang Hasil Kali Dalam Hasil Kali Dalam dan Norm Wono Setya Budhi KKAG FMIPA ITB v 0.1 Maret 2015 Wono Setya Budhi (KKAG FMIPA ITB) Ruang Hasil Kali Dalam v 0.1 Maret 2015 1 / 12 Pada bab ini kita akan
Lebih terperinciMA5031 Analisis Real Lanjut Semester I, Tahun 2015/2016. Hendra Gunawan
MA5031 Analisis Real Lanjut Semester I, Tahun 2015/2016 Hendra Gunawan 5.3 Kalkulus Turunan Pada bagian ini kita akan membahas sejumlah aturan untuk diferensial dan aturan untuk turunan, yg mempunyai kemiripan
Lebih terperinci2.1 Soal Matematika Dasar UM UGM c. 1 d d. 3a + b. e. 3a + b. e. b + a b a
Soal - Soal UM UGM. Soal Matematika Dasar UM UGM 00. Jika x = 3 maka + 3 log 4 x =... a. b. c. d. e.. Jika x+y log = a dan x y log 8 = b dengan 0 < y < x maka 4 log (x y ) =... a. a + 3b ab b. a + b ab
Lebih terperinciFungsi Analitik (Bagian Kedua)
Fungsi Analitik (Bagian Kedua) Supama Jurusan Matematika, FMIPA UGM Yogyakarta 5528, INDONESIA Email:maspomo@yahoo.com, supama@ugm.ac.id (Pertemuan Minggu V) Outline Limit Menuju Tak Hingga 2 Fungsi Kontinu
Lebih terperinci11. FUNGSI MONOTON (DAN FUNGSI KONVEKS)
11. FUNGSI MONOTON (DAN FUNGSI KONVEKS) 11.1 Definisi dan Limit Fungsi Monoton Misalkan f terdefinisi pada suatu himpunan H. Kita katakan bahwa f naik pada H apabila untuk setiap x, y H dengan x < y berlaku
Lebih terperinciMA3231 Analisis Real
MA3231 Analisis Real Hendra Gunawan* *http://hgunawan82.wordpress.com Analysis and Geometry Group Bandung Institute of Technology Bandung, INDONESIA Program Studi S1 Matematika ITB, Semester II 2016/2017
Lebih terperinciBAB III PEMBAHASAN. Bab III terbagi menjadi tiga sub-bab, yaitu sub-bab A, sub-bab B, dan subbab
BAB III PEMBAHASAN Bab III terbagi menjadi tiga sub-bab, yaitu sub-bab A, sub-bab B, dan subbab C. Sub-bab A menjelaskan mengenai konsep dasar C[a, b] sebagai ruang vektor beserta contohnya. Sub-bab B
Lebih terperinciNilai mutlak pada definisi tersebut di interpretasikan untuk mengukur jarak dua
II. LANDASAN TEORI 2.1 Limit Fungsi Definisi 2.1.1(Edwin J, 1987) Misalkan I interval terbuka pada R dan f: I R fungsi bernilai real. Secara matematis ditulis lim f(x) = l untuk suatu a I, yaitu nilai
Lebih terperinciKalkulus Multivariabel I
Keterdiferensialan Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia Fungsi y = f (x) terdiferensialkan di titik x 0 jika f (x 0 + h) f (x 0 ) lim = f (x 0 ) h 0 ( h ) f (x0 + h) f (x 0 ) lim f (x 0 ) = 0 h
Lebih terperinciKuliah 3: TURUNAN. Indah Yanti
Kuliah 3: TURUNAN Indah Yanti Turunan Parsial DEFINISI Misalkan fungsi f: A R, dengan A R n adalah himpunan buka. Untuk setiap x = (x 1,..., x n ) A dan setiap j = 1,..., n limit f x j x 1,, x n f x 1,,
Lebih terperinciSoal-Soal dan Pembahasan Matematika IPA SNMPTN 2012 Tanggal Ujian: 13 Juni 2012
Soal-Soal dan Pembahasan Matematika IPA SNMPTN 01 Tanggal Ujian: 13 Juni 01 1. Lingkaran (x + 6) + (y + 1) 5 menyinggung garis y 4 di titik... A. ( -6, 4 ). ( -1, 4 ) E. ( 5, 4 ) B. ( 6, 4) D. ( 1, 4 )
Lebih terperinciDASAR-DASAR ANALISIS MATEMATIKA
(Bekal untuk Para Sarjana dan Magister Matematika) Dosen FMIPA - ITB E-mail: hgunawan@math.itb.ac.id. December 11, 2007 Misalkan f terdefinisi pada suatu himpunan H. Kita katakan bahwa f naik pada H apabila
Lebih terperinciKALKULUS MULTIVARIABEL II
Definisi KALKULUS MULTIVARIABEL II (Minggu ke-7) Andradi Jurusan Matematika FMIPA UGM Yogyakarta, Indonesia Definisi 1 Definisi 2 ontoh Soal Definisi Integral Garis Fungsi f K R 2 R di Sepanjang Kurva
Lebih terperinciDefinisi 4.1 Fungsi f dikatakan kontinu di titik a (continuous at a) jika dan hanya jika ketiga syarat berikut dipenuhi: (1) f(a) ada,
Lecture 4. Limit B A. Continuity Definisi 4.1 Fungsi f dikatakan kontinu di titik a (continuous at a) jika dan hanya jika ketiga syarat berikut dipenuhi: (1) f(a) ada, (2) lim f(x) ada, (3) lim f(x) =
Lebih terperinciSOAL-SOAL dan PEMBAHASAN UN MATEMATIKA SMA/MA IPA TAHUN PELAJARAN 2011/2012
SOAL-SOAL dan PEMBAHASAN UN MATEMATIKA SMA/MA IPA TAHUN PELAJARAN 0/0. Akar-akar persamaan kuadrat x +ax - 40 adalah p dan q. Jika p - pq + q 8a, maka nilai a... A. -8 B. -4 C. 4 D. 6 E. 8 BAB III Persamaan
Lebih terperinciANALISIS REAL. (Semester I Tahun ) Hendra Gunawan. October 10, Dosen FMIPA - ITB
(Semester I Tahun 2011-2012) Dosen FMIPA - ITB E-mail: hgunawan@math.itb.ac.id. October 10, 2011 Pemahaman yang baik tentang fungsi kontinu merupakan hal yang penting dalam analisis. Dalam optimisasi,
Lebih terperinciKALKULUS MULTIVARIABEL II
KALKULUS MULTIVARIABEL II Integral Garis Medan Vektor dan (Minggu ke-8) Andradi Jurusan Matematika FMIPA UGM Yogyakarta, Indonesia 1 Integral Garis Medan Vektor 2 Terkait Lintasan Teorema Fundamental untuk
Lebih terperinciGambar 1. Gradien garis singgung grafik f
D. URAIAN MATERI 1. Definisi dan Rumus-rumus Turunan Fungsi a. Definisi Turunan Sala satu masala yang mendasari munculnya kajian tentang turunan adala gradien garis singgung. Peratikan Gambar 1. f(c +
Lebih terperinciOpen Source. Not For Commercial Use
Ringkasan Kalkulus 2, Untuk dipakai di ITB 1 Limit dan Kekontinuan Misalkan z = f(, y) fungsi dua peubah dan (a, b) R 2. Seperti pada limit fungsi satu peubah, limit fungsi dua peubah bertujuan untuk mengamati
Lebih terperinciCatatan Kuliah KALKULUS II BAB V. INTEGRAL
BAB V. INTEGRAL Anti-turunan dan Integral TakTentu Persamaan Diferensial Sederhana Notasi Sigma dan Luas Daerah di Bawah Kurva Integral Tentu Teorema Dasar Kalkulus Sifat-sifat Integral Tentu Lebih Lanjut
Lebih terperinciMINGGU KE-6 VARIABEL RANDOM DAN DISTRIBUSINYA
MINGGU KE-6 VARIABEL RANDOM DAN DISTRIBUSINYA VARIABEL RANDOM Misalkan (Ω, A, P) ruang probabilitas dan R = {x < x < } dan B : Borel field pada R. Andaikan X : Ω R dan untuk setiap A R, kita definisikan
Lebih terperinciFungsi Analitik (Bagian Pertama)
Fungsi Analitik (Bagian Pertama) Supama Jurusan Matematika, FMIPA UGM Yogyakarta 55281, INDONESIA Email:maspomo@yahoo.com, supama@ugm.ac.id (Pertemuan Minggu IV) Outline 1 Fungsi Variabel Kompleks 2 Pemetaan/Transformasi/Mappings
Lebih terperinciBAB II TINJAUAN PUSTAKA. kestabilan model predator-prey tipe Holling II dengan faktor pemanenan.
BAB II TINJAUAN PUSTAKA Dalam bab ini akan dibahas mengenai dasar teori untuk menganalisis simulasi kestabilan model predator-prey tipe Holling II dengan faktor pemanenan. 2.1 Persamaan Diferensial Biasa
Lebih terperinciDISTRIBUSI SATU PEUBAH ACAK
0 DISTRIBUSI SATU PEUBAH ACAK Dalam hal ini akan dibahas macam-macam peubah acak, distribusi peluang, fungsi densitas, dan fungsi distribusi. Pada pembahasan selanjutnya, fungsi peluang untuk peubah acak
Lebih terperinciII LANDASAN TEORI. Contoh. Ditinjau dari sistem yang didefinisikan oleh:
5 II LANDASAN TEORI 2.1 Keterkontrolan Untuk mengetahui persoalan sistem kontrol mungkin tidak ada, jika sistem yang ditinjau tidak terkontrol. Walaupun sebagian besar sistem terkontrol ada, akan tetapi
Lebih terperincif (a) = laju perubahan y = f(x) pada x = a = turunan pertama y=f(x) pada x = a
Nama Siswa Kelas : : aasdaa. PENGERTIAN DIFERENSIAL (TURUNAN) Turunan fungsi atau diferensial didefinisikan sebagai laju perubahan fungsi sesaat dan dinotasikan f (x). LEMBAR AKTIVITAS SISWA DIFFERENSIAL
Lebih terperinciCatatan Kuliah MA1123 Kalkulus Elementer I
Catatan Kuliah MA1123 Kalkulus Elementer I Oleh Hendra Gunawan, Ph.D. Departemen Matematika ITB Sasaran Belajar Setelah mempelajari materi Kalkulus Elementer I, mahasiswa diharapkan memiliki (terutama):
Lebih terperinciSoal dan Pembahasan UN Matematika SMA IPA Tahun 2013
Soal dan Pembahasan UN Matematika SMA IPA Tahun 013 LOGIKA MATEMATIKA p siswa rajin belajar ; q mendapat nilai yang baik r siswa tidak mengikuti kegiatan remedial ~ r siswa mengikut kegiatan remedial Premis
Lebih terperinciSTK 203 TEORI STATISTIKA I
STK 203 TEORI STATISTIKA I III. PEUBAH ACAK KONTINU III. Peubah Acak Kontinu 1 PEUBAH ACAK KONTINU Ingat definisi peubah acak! Definisi : Peubah acak Y adalah suatu fungsi yang memetakan seluruh anggota
Lebih terperinciBab 16. LIMIT dan TURUNAN. Motivasi. Limit Fungsi. Fungsi Turunan. Matematika SMK, Bab 16: Limit dan Turunan 1/35
Bab 16 Grafik LIMIT dan TURUNAN Matematika SMK, Bab 16: Limit dan 1/35 Grafik Pada dasarnya, konsep limit dikembangkan untuk mengerjakan perhitungan matematis yang melibatkan: nilai sangat kecil; Matematika
Lebih terperinci1 Mengapa Perlu Belajar Geometri Daftar Pustaka... 1
Daftar Isi 1 Mengapa Perlu Belajar Geometri 1 1.1 Daftar Pustaka.................................... 1 2 Ruang Euclid 3 2.1 Geometri Euclid.................................... 8 2.2 Pencerminan dan Transformasi
Lebih terperinciBagian 2 Matriks dan Determinan
Bagian Matriks dan Determinan Materi mengenai fungsi, limit, dan kontinuitas akan kita pelajari dalam Bagian Fungsi dan Limit. Pada bagian Fungsi akan mempelajari tentang jenis-jenis fungsi dalam matematika
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN Latar Belakang Masalah
BAB I PENDAHULUAN 1.1. Latar Belakang Masalah Konsep ruang metrik merupakan salah satu konsep dasar dalam matematika analisis. Selama bertahun-tahun, para peneliti mencoba mengembangkan konsep ruang metrik.
Lebih terperinciMemahami definisi barisan tak hingga dan deret tak hingga, dan juga dapat menentukan
4 BARISAN TAK HINGGA DAN DERET TAK HINGGA JUMLAH PERTEMUAN : 5 PERTEMUAN TUJUAN INSTRUKSIONAL KHUSUS : Memahami definisi barisan tak hingga dan deret tak hingga, dan juga dapat menentukan kekonvergenan
Lebih terperinciKALKULUS (IT 131) Fakultas Teknologi Informasi - Universitas Kristen Satya Wacana. Bagian 4. Derivatif ALZ DANNY WOWOR
KALKULUS (IT 131) Fakultas Teknologi Informasi - Universitas Kristen Satya Wacana Bagian 4 Derivatif ALZ DANNY WOWOR Cakupan Materi A. Defenisi Derivatif B. Rumus-rumus Derivatif C. Aplikasi Derivatif
Lebih terperinciSoal-Soal dan Pembahasan SNMPTN Matematika IPA Tahun Pelajaran 2010/2011 Tanggal Ujian: 01 Juni 2011
Soal-Soal dan Pembahasan SNMPTN Matematika IPA Tahun Pelajaran 00/0 Tanggal Ujian: 0 Juni 0. Diketahui vektor u = (a, -, -) dan v = (a, a, -). Jika vektor u tegak lurus pada v, maka nilai a adalah... A.
Lebih terperinciSoal-Soal dan Pembahasan SNMPTN Matematika IPA Tahun Pelajaran 2010/2011
Soal-Soal dan Pembahasan SNMPTN Matematika IPA Tahun Pelajaran 00/0 Tanggal Ujian: 0 Juni 0. Diketahui vektor u (a, -, -) dan v (a, a, -). Jika vektor u tegak lurus pada v, maka nilai a adalah... A. -
Lebih terperinciPembahasan Soal SIMAK UI 2012 SELEKSI MASUK UNIVERSITAS INDONESIA. Disertai TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS. Matematika IPA
Pembahasan Soal SIMAK UI 0 SELEKSI MASUK UNIVERSITAS INDONESIA Disertai TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS Matematika IPA Disusun Oleh : Pak Anang Kumpulan SMART SOLUTION dan TRIK SUPERKILAT Pembahasan
Lebih terperinciBAGIAN KEDUA. Fungsi, Limit dan Kekontinuan, Turunan
BAGIAN KEDUA Fungsi, Limit dan Kekontinuan, Turunan 51 52 Hendra Gunawan Pengantar Analisis Real 53 6. FUNGSI 6.1 Fungsi dan Grafiknya Konsep fungsi telah dipelajari oleh Gottfried Wilhelm von Leibniz
Lebih terperinciMatematika I : Limit. Dadang Amir Hamzah. Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I / 79
Matematika I : Limit Dadang Amir Hamzah 2015 Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 1 / 79 Outline 1 limit Introduction to Limit Rigorous Study of Limits Limit Theorem Limit Involving Trigonometric
Lebih terperinciRingkasan Kalkulus 2, Untuk dipakai di ITB 1
Ringkasan Kalkulus 2, Untuk dipakai di ITB Deret Tak Hingga Pada bagian ini akan dibicarakan penjumlahan berbentuk a +a 2 + +a n + dengan a n R Sebelumnya akan dibahas terlebih dahulu pengertian barisan
Lebih terperinciII. TINJUAN PUSTAKA. lim f(x) = L berarti bahwa bilamana x dekat tetapi sebelah kiri c 0 maka f(x)
II. TINJUAN PUSTAKA 2.1. Limit Definisi lim f(x) = L, dan mengatakan limit f (x) ketika x mendekati a sama dengan L, jika dapat dibuat nilai f (x) sebarang yang dekat dengan L dengan cara mengambil nilai
Lebih terperinciMA3231 Analisis Real
MA3231 Analisis Real Hendra Gunawan* *http://hgunawan82.wordpress.com Analysis and Geometry Group Bandung Institute of Technology Bandung, INDONESIA Program Studi S1 Matematika ITB, Semester II 2016/2017
Lebih terperinciKalkulus Fungsi Dua Peubah atau Lebih
Kalkulus Fungsi Dua Peubah atau Lebih Warsoma Djohan Prodi Matematika, FMIPA - ITB March 11, 2011 Kalkulus 2 / MA-ITB / W.D. / 2011 (ITB) Kalkulus Fungsi Dua Peubah atau Lebih March 11, 2011 1 / 34 Fungsi
Lebih terperincif (a) = laju perubahan y = f(x) pada x = a = turunan pertama y=f(x) pada x = a
LEMBAR AKTIVITAS SISWA DIFFERENSIAL (TURUNAN) Nama Siswa : y f(a h) f(a) x (a h) a Kelas : Kompetensi Dasar (KURIKULUM 2013): 3.21 Memahami konsep turunan dengan menggunakan konteks matematik atau konteks
Lebih terperinciSTATISTIK PERTEMUAN VI
STATISTIK PERTEMUAN VI 1. TEORI PENDUKUNG 1.1 Pendahuluan 1. Variabel acak 1.3 Distribusi variabel acak diskrit 1.4 Distribusi variabel acak kontinu 1.5 Distribusi multivariat 1.1 Pendahuluan Definisi
Lebih terperinciLinear Lokal = Mempunyai Turunan
oki neswan FMIPA-ITB Linear Lokal = Mempunyai Turunan De nisi turunan fungsi untuk dua peubah tampak sangat berbeda dari turunan untuk fungsi satu peubah De nition 1 Fungsi f : A! R; A R; dikatakan mempunyai
Lebih terperinciSoal-Soal dan Pembahasan Matematika IPA SNMPTN 2012 Tanggal Ujian: 13 Juni 2012
Soal-Soal dan Pembahasan Matematika IPA SNMPTN 01 Tanggal Ujian: 13 Juni 01 1. Lingkaran (x + 6) + (y + 1) 5 menyinggung garis y 4 di titik... A. ( -6 4 ). ( -1 4 ) E. ( 5 4 ) B. ( 6 4) D. ( 1 4 ) BAB
Lebih terperinciKALKULUS BAB II FUNGSI, LIMIT, DAN KEKONTINUAN. DEPARTEMEN TEKNIK KIMIA Universitas Indonesia
KALKULUS BAB II FUNGSI, LIMIT, DAN KEKONTINUAN DEPARTEMEN TEKNIK KIMIA Universitas Indonesia BAB II. FUNGSI, LIMIT, DAN KEKONTINUAN Fungsi dan Operasi pada Fungsi Beberapa Fungsi Khusus Limit dan Limit
Lebih terperinci10. TEOREMA NILAI RATA-RATA
10. TEOREMA NILAI RATA-RATA 10.1 Maksimum dan Minimum Lokal Misalkan f terdefinisi pada suatu interval terbuka (a, b) dan c (a, b). Kita katakan bahwa f mencapai nilai maksimum lokal di c apabila f(x)
Lebih terperinciTurunan Fungsi. h asalkan limit ini ada.
Turunan Fungsi q Definisi Turunan Fungsi Misalkan fungsi f terdefinisi pada selang terbuka I yang memuat a. Turunan pertama fungsi f di =a ditulis f (a) didefinisikan dengan f ( a h) f ( a) f '( a) lim
Lebih terperinciNotasi turunan. Penggunaan turunan. 6. Menggunakan konsep limit fungsi dan turunan fungsi dalam pemecahan masalah.
Turunan fungsi adalah fungsi lain dari suatu fungsi sebelumnya misalkan fungsi f menjadi f' TURUNAN Notasi turunan y' atau f'(x) atau dy/dx fungsi naik Penggunaan turunan fungsi turun persamaan garis singgung
Lebih terperinciMA1201 KALKULUS 2A Do maths and you see the world
Catatan Kuliah MA20 KALKULUS 2A Do maths and you see the world disusun oleh Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Kelompok Keilmuan STATISTIKA - FMIPA Institut Teknologi Bandung 203 Catatan kuliah ini ditulis
Lebih terperinciSISTEM DINAMIK KONTINU LINEAR. Oleh: 1. Meirdania Fitri T 2. Siti Khairun Nisa 3. Grahani Ayu Deca F. 4. Fira Fitriah 5.
SISTEM DINAMIK KONTINU LINEAR Oleh: 1. Meirdania Fitri T 2. Siti Khairun Nisa 3. Grahani Ayu Deca F. 4. Fira Fitriah 5. Lisa Risfana Sari Sistem Dinamik D Sistem dinamik adalah sistem yang dapat diketahui
Lebih terperinciMA3231 Analisis Real
MA3231 Analisis Real Hendra Gunawan* *http://hgunawan82.wordpress.com Analysis and Geometry Group Bandung Institute of Technology Bandung, INDONESIA Program Studi S1 Matematika ITB, Semester II 2016/2017
Lebih terperinciMA5032 ANALISIS REAL
(Semester I Tahun 2011-2012) Dosen FMIPA - ITB E-mail: hgunawan@math.itb.ac.id. August 16, 2011 Pada bab ini anda diasumsikan telah mengenal dengan cukup baik bilangan asli, bilangan bulat, dan bilangan
Lebih terperinciDASAR-DASAR ANALISIS MATEMATIKA
(Bekal untuk Para Sarjana dan Magister Matematika) Dosen FMIPA - ITB E-mail: hgunawan@math.itb.ac.id. December 1, 2007 Diberikan sebuah fungsi yang terdefinisi pada interval (a, b) kecuali mungkin di
Lebih terperinciMatematika
dan D3 Analis Kimia FMIPA Universitas Islam Indonesia Definisi Suatu fungsi f adalah suatu aturan korespondensi yang menghubungkan setiap objek x dalam satu himpunan, yang disebut domain, dengan sebuah
Lebih terperinciDaftar Isi 3. BARISAN ANALISIS REAL. (Semester I Tahun ) Hendra Gunawan. Dosen FMIPA - ITB
(Semester I Tahun 2011-2012) Dosen FMIPA - ITB E-mail: hgunawan@math.itb.ac.id. August 29, 2011 Dalam kisah Zeno tentang perlombaan lari antara Achilles dan seekor kura-kura, ketika Achilles mencapai
Lebih terperinciDistribusi Peluang Kontinu. Bahan Kuliah II2092 Probabilitas dan Statistik Oleh: Rinaldi Munir Sekolah Teknik Elektro dan Informatika ITB
Distribusi Peluang Kontinu Bahan Kuliah II9 Probabilitas dan Statistik Oleh: Rinaldi Munir Sekolah Teknik Elektro dan Informatika ITB 1 Fungsi Padat Peluang Untuk peubah acak kontinu, fungsi peluangnya
Lebih terperinciDIKTAT KULIAH KALKULUS PEUBAH BANYAK (IE-308)
DIKTAT KULIAH (IE-308) BAB 3 TURUNAN PARSIAL Diktat ini digunakan bagi mahasiswa Jurusan Teknik Industri Fakultas Teknik Universitas Kristen Maranatha Ir. Rudy Wawolumaja M.Sc JURUSAN TEKNIK INDUSTRI -
Lebih terperinciDERIVATIVE Arum Handini primandari
DERIVATIVE Arum Handini primandari INTRODUCTION Calculus adalah perubahan matematis, alat utama dalam studi perubahan adalah prosedur yang disebut differentiation (deferensial/turunan) Calculus dikembangkan
Lebih terperinciCATATAN KULIAH #1 Analisis Komparatif Statik dan Konsep Derivatif (1)
ATATAN KULIAH # Analisis Komparatif Statik dan Konsep Deriatif () Sumber: Baca hiang, Fundamental Methods of Mathematical Economics, h.7. Sifat dari Statik Komparatif Perbandingan dua kondisi keseimbangan
Lebih terperinciKuliah 2: FUNGSI MULTIVARIABEL. Indah Yanti
Kuliah 2: FUNGSI MULTIVARIABEL Indah Yanti Definisi Dasar Perhatikan fungsi f: A R n R m : x f x n = m = 1 fungsi bernilai riil satu variabel n = 1, m > 1 fungsi bernilai vektor satu variabel n > 1, m
Lebih terperinciRuang Hasil Kali Dalam
Ruang Hasil Kali Dalam (Gram Schmidt) Wono Setya Budhi KKAG FMIPA ITB v 0.1 Maret 2015 Wono Setya Budhi (KKAG FMIPA ITB) Ruang Hasil Kali Dalam v 0.1 Maret 2015 1 / 13 Misalkan S subhimpunan di V, kita
Lebih terperinciDASAR-DASAR ANALISIS MATEMATIKA
(Bekal untuk Para Sarjana dan Magister Matematika) Dosen FMIPA - ITB E-mail: hgunawan@math.itb.ac.id. November 19, 2007 Secara geometris, f kontinu di suatu titik berarti bahwa grafiknya tidak terputus
Lebih terperinciPengantar Statistika Matematik(a)
Catatan Kuliah Pengantar Statistika Matematik(a) Statistika Lebih Dari Sekadar Matematika disusun oleh Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Kelompok Keilmuan STATISTIKA - FMIPA Institut Teknologi Bandung 2014
Lebih terperinciOSN Guru Matematika SMA (Olimpiade Sains Nasional)
ocsz Pembahasan Soal OSN Guru 2012 OLIMPIADE SAINS NASIONAL KHUSUS GURU MATEMATIKA SMA OSN Guru Matematika SMA (Olimpiade Sains Nasional) Disusun oleh: Pak Anang Halaman 2 dari 26 PEMBAHASAN SOAL OLIMPIADE
Lebih terperinciSoal-Soal dan Pembahasan Ujian Nasional Matematika Tahun Pelajaran 2010/2011 Program Studi IPA
Soal-Soal dan Pembahasan Ujian Nasional Matematika Tahun Pelajaran 010/011 Program Studi IPA 1. Akar-akar persamaan 3x -1x + = 0 adalah α dan β. Persamaan Kuadrat baru yang akar-akarnya (α +) dan (β +)
Lebih terperinciBAB II KAJIAN TEORI. Persamaan diferensial sangat penting dalam pemodelan matematika khususnya
BAB II KAJIAN TEORI 2.1 Persamaan Diferensial Persamaan diferensial sangat penting dalam pemodelan matematika khususnya untuk pemodelan yang membutuhkan solusi dari sebuah permasalahan. Pemodelan matematika
Lebih terperinciPERSAMAAN DIFERENSIAL I PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA
PERSAMAAN DIFERENSIAL I PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA Persamaan Diferensial Biasa 1. PDB Tingkat Satu (PDB) 1.1. Persamaan diferensial 1.2. Metode pemisahan peubah dan PD koefisien fungsi homogen 1.3. Persamaan
Lebih terperinciBAB II TEOREMA NILAI RATA-RATA (TNR)
BAB II TEOREMA NILAI RATA-RATA (TNR) Teorema nilai rata-rata menghubungkan nilai suatu fungsi dengan nilai derivatifnya (turunannya), dimana TNR merupakan salah satu bagian penting dalam kuliah analisis
Lebih terperinciWardaya College. Tes Simulasi Ujian Nasional SMA Berbasis Komputer. Mata Pelajaran Matematika Tahun Ajaran 2017/2018
Tes Simulasi Ujian Nasional SMA Berbasis Komputer Mata Pelajaran Matematika Tahun Ajaran 07/08 -. Jika diketahui x = 8, y = 5 dan z = 8, maka nilai dari x y z adalah.... (a) 0 (b) 00 (c) 500 (d) 750 (e)
Lebih terperinciUntuk mencari akar-akar dari persamaan kuadrat, dapat menggunakan rumus :
RUMUS-RUMUS PERSAMAAN KUADRAT Bentuk umum: ax 2 + bx + c = 0, a 0 AKAR-AKAR PERSAMAAN KUADRAT Untuk mencari akar-akar dari persamaan kuadrat, dapat menggunakan rumus : X 1.2 = Dengan : D = b 2 4ac, dan
Lebih terperinciCatatan Kuliah MA1123 KALKULUS ELEMENTER I BAB III. TURUNAN
BAB III. TURUNAN Kecepatan Sesaat dan Gradien Garis Singgung Turunan dan Hubungannya dengan Kekontinuan Aturan Dasar Turunan Notasi Leibniz dan Turunan Tingkat Tinggi Penurunan Implisit Laju yang Berkaitan
Lebih terperinciPERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN PERSAMAAN LINEAR
PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN PERSAMAAN LINEAR Persamaan linear Bentuk umun persamaan linear satu vareabel Ax + b = 0 dengan a,b R ; a 0, x adalah vareabel Contoh: Tentukan penyelesaian dari 4x-8 = 0 Penyelesaian.
Lebih terperinciPREDIKSI UN 2014 MATEMATIKA IPA
NAMA : KELAS : 1. Kisi-Kisi: Logika Matematika Diketahui 3 Premis, Premis Menggunakan kesetaraan, dan penarikan MP atau MT PREDIKSI UN 2014 MATEMATIKA IPA 3. Kisi-Kisi: Materi Ekponen Éksponen pecahan,3
Lebih terperinciBab II Teori Pendukung
Bab II Teori Pendukung II.1 Sistem Autonomous Tinjau sistem persamaan differensial berikut, = dy = f(x, y), g(x, y), (2.1) dengan asumsi f dan g adalah fungsi kontinu yang mempunyai turunan yang kontinu
Lebih terperinci11. Konvolusi. Misalkan f dan g fungsi yang terdefinisi pada R. Konvolusi dari f dan g adalah fungsi f g yang didefinisikan sebagai.
11. Konvolusi Operasi konvolusi yang akan kita bahas di sini sebetulnya pernah kita jumpai pada pembahasan deret Fourier (ketika membuktikan kekonvergenan jumlah parsialnya). Operasi konvolusi merupakan
Lebih terperinciMA5031 Analisis Real Lanjut Semester I, Tahun 2015/2016. Hendra Gunawan
MA5031 Analisis Real Lanjut Semester I, Tahun 2015/2016 Hendra Gunawan 5. Kalkulus Diferensial 5.1 Konsep Turunan Beberapa Definisi yang Setara Kekontinuan dan Keterdiferensialan secara Kontinu 5.2 Sifat-Sifat
Lebih terperinciMA3081 STATISTIKA MATEMATIKA We love Statistics
Catatan Kuliah MA3081 STATISTIKA MATEMATIKA We love Statistics disusun oleh Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Kelompok Keilmuan STATISTIKA - FMIPA Institut Teknologi Bandung 2013 Daftar Isi 1 Peubah Acak
Lebih terperinciSoal Ujian Komprehensif
Soal Ujian Komprehensif Bahan ujian komprehensif memuat konsep-konsep penting pada bidang: Kalkulus, dan Matriks / Aljabar Linear. Logika, Soal ujian disediakan secara terbuka, dapat diperoleh setiap saat
Lebih terperinciasimtot.wordpress.com BAB I PENDAHULUAN
BAB I PENDAHULUAN. Latar Belakang Kalkulus Differensial dan Integral sangat luas penggunaannya dalam berbagai bidang seperti penentuan maksimum dan minimum. Suatu fungsi yang sering digunakan mahasiswa
Lebih terperinciPEUBAH ACAK DAN SEBARANNYA
LOGO STATISTIKA MATEMATIKA I PEUBAH ACAK DAN SEBARANNYA Hazmira Yozza Izzati Rami HG Jurusan Matematika FMIPA Universitas Andalas Percobaan : Pelemparan dua mata uang AA AG GA GG S X Definisi 2.1. Peubah
Lebih terperinciDASAR-DASAR ANALISIS MATEMATIKA
(Bekal untuk Para Sarjana dan Magister Matematika) Dosen FMIPA - ITB E-mail: hgunawan@math.itb.ac.id. December 26, 2007 Misalkan f kontinu pada interval [a, b]. Apakah masuk akal untuk membahas luas daerah
Lebih terperinci(b) M merupakan nilai minimum (mutlak) f apabila M f(x) x I..
3. Aplikasi Turunan a. Nilai ekstrim Bagian ini dimulai dengan pengertian nilai ekstrim suatu fungsi yang mencakup nilai ekstrim maksimum dan nilai ekstrim minimum. Definisi 3. Diberikan fungsi f: I R,
Lebih terperinciKalkulus II. Diferensial dalam ruang berdimensi n
Kalkulus II Diferensial dalam ruang berdimensi n Minggu ke-9 DIFERENSIAL DALAM RUANG BERDIMENSI-n 1. Fungsi Dua Peubah atau Lebih 2. Diferensial Parsial 3. Limit dan Kekontinuan 1. Fungsi Dua Peubah atau
Lebih terperinciMA3231 Analisis Real
MA3231 Analisis Real Hendra Gunawan* *http://hgunawan82.wordpress.com Analysis and Geometry Group Bandung Institute of Technology Bandung, INDONESIA Program Studi S1 Matematika ITB, Semester II 2016/2017
Lebih terperinciPertemuan Minggu ke Keterdiferensialan 2. Derivatif berarah dan gradien 3. Aturan rantai
Pertemuan Minggu ke-10 1. Keterdiferensialan 2. Derivatif berarah dan gradien 3. Aturan rantai 1. Keterdiferensialan Pada fungsi satu peubah, keterdiferensialan f di x berarti keujudan derivatif f (x).
Lebih terperinciI. Aljabar Himpunan Handout Analisis Riil I (PAM 351)
I. Aljabar Himpunan Aljabar Himpunan Dalam bab ini kita akan menyajikan latar belakang yang diperlukan untuk mempelajari analisis riil. Dua alat utama analisis riil, yakni aljabar himpunan dan fungsi,
Lebih terperinciGerak Dua Dimensi Gerak dua dimensi merupakan gerak dalam bidang datar Contoh gerak dua dimensi : Gerak peluru Gerak melingkar Gerak relatif
Gerak Dua Dimensi Gerak dua dimensi merupakan erak dalam bidan datar Contoh erak dua dimensi : Gerak peluru Gerak melinkar Gerak relatif Posisi, Kecepatan, Percepatan r i = vektor posisi partikel di A
Lebih terperinciCNH2B4 / KOMPUTASI NUMERIK
CNH2B4 / KOMPUTASI NUMERIK TIM DOSEN KK MODELING AND COMPUTATIONAL EXPERIMENT 1 REVIEW KALKULUS & KONSEP ERROR Fungsi Misalkan A adalah himpunan bilangan. Fungsi f dengan domain A adalah sebuah aturan
Lebih terperinciTINJAUAN PUSTAKA. Dalam bab ini akan dibahas beberapa konsep mendasar meliputi ruang vektor,
II. TINJAUAN PUSTAKA Dalam bab ini akan dibahas beberapa konsep mendasar meliputi ruang vektor, ruang Bernorm dan ruang Banach, ruang barisan, operator linear (transformasi linear) serta teorema-teorema
Lebih terperinciTUJUAN INSTRUKSIONAL KHUSUS
PREVIEW KALKULUS TUJUAN INSTRUKSIONAL KHUSUS Mahasiswa mampu: menyebutkan konsep-konsep utama dalam kalkulus dan contoh masalah-masalah yang memotivasi konsep tersebut; menjelaskan menyebutkan konsep-konsep
Lebih terperinciBAB II LANDASAN TEORI. dalam penulisan skripsi ini. Teori-teori yang digunakan berupa definisi-definisi serta
BAB II LANDASAN TEORI Pada bab ini akan diuraikan beberapa teori-teori yang digunakan sebagai acuan dalam penulisan skripsi ini. Teori-teori yang digunakan berupa definisi-definisi serta teorema-teorema
Lebih terperinciPersamaan Di erensial Orde-2
oki neswan FMIPA-ITB Persamaan Di erensial Orde- Persamaan diferensial orde-n adalah persamaan yang melibatkan x; y; dan turunan-turunan y; dengan yang paling tinggi adalah turunan ke-n: F x; y; y ; y
Lebih terperinciMA3231 Analisis Real
MA3231 Analisis Real Hendra Gunawan* *http://hgunawan82.wordpress.com Analysis and Geometry Group Bandung Institute of Technology Bandung, INDONESIA Program Studi S1 Matematika ITB, Semester II 2016/2017
Lebih terperinciBAB I DASAR-DASAR PEMODELAN MATEMATIKA DENGAN PERSAMAAN DIFERENSIAL
BAB I DASAR-DASAR PEMODELAN MATEMATIKA DENGAN PERSAMAAN DIFERENSIAL Pendahuluan Persamaan diferensial adalah persamaan yang memuat diferensial Kita akan membahas tentang Persamaan Diferensial Biasa yaitu
Lebih terperinci