PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Transkripsi

1 METODE TITIK-INTERIOR PADA PEMROGRAMAN KUADRATIK KONVEKS Skripsi Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat Memperoleh Gelar Sarjana Sains Program Studi Matematika Oleh: Fenny Basuki NIM: PROGRAM STUDI MATEMATIKA JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI UNIVERSITAS SANATA DHARMA YOGYAKARTA 1 i

2 INTERIOR-POINT METHODS IN CONVEX QUADRATIC PROGRAMMING Research Presented as Partial Fulfillment of the Requirements To Obtain the Sarjana Sains Degree In Mathematics By: Fenny Basuki Student Number: MATHEMATICS STUDY PROGRAM MATHEMATICS DEPARTMENT SCIENCE AND TECHNOLOGY FACULTY SANATA DHARMA UNIVERSITY YOGYAKARTA 1 ii

3

4

5

6 PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI Yesus berfirman : Janganlah Janganlah hendaknya kamu kuatir tentang apapun juga, tetapi nyatakanlah dalam segala hal keinginanmu dalam Allah dalam doa dan permohonan dengan ucapan syukur. (Filipi 4:6) Karya ini ku persembahkan untuk: Tuhan Yesus dan Bunda Maria sumber inspirasi ku, Papi, mami, serta adik adik-adikku yang selalu memberi perhatian, kasih sayang dan membimbingku membimbingku. vi

7

8 ABSTRAK Penyelesaian pemrograman kuadratik konveks secara analitik memerlukan langkah yang panjang. Pada skripsi ini akan dipaparkan metode numerik yang dapat digunakan untuk menyelesaikan permasalahan tersebut, yakni metode titik-interior primal-dual. Metode titik-interior primal-dual merupakan suatu metode untuk menemukan penyelesaian primal-dual dengan menerapkan metode Newton dan memodifikasi arah selidik dan panjang langkah. Tujuan dari metode ini adalah membatasi pergerakan nilai optimum yang dihasilkan pada setiap iterasinya dengan toleransi tertentu. Pencarian penyelesaian optimum dimulai dari sebarang titikinterior, sehingga konvergensinya cepat diperoleh. Kata kunci: Karush Kuhn Tucker, metode titik-interior primal-dual, pemrograman. kuadratik konveks, penyelesaian optimum. viii

9 ABSTRACT Solving the convex quadratic programming need a long step when it is finished analytically. In this thesis, numerical method will be introduced which can be used to solve this problem, namely a primal-dual interior-point method. Primal-dual interiorpoint method is a method to find the primal-dual solution by applying Newton method and modifying the search direction and step-length. This method purpose to restricting the movement of the optimum value generated from each iteration method with certain tolerances. Optimum solution search start from the any interior-point so that the convergence will be faster to obtain. Key word: Karush Kuhn Tucker, primal-dual interior-point method, convex quadratic programming, optimum solution. ix

10 KATA PENGANTAR Puji syukur kepada Tuhan Yesus atas anugerah dan karunia-nya sehingga penulisan skripsi ini dapat terselesaikan. Skripsi ini berjudul: METODE TITIK- INTERIOR PADA PEMROGRAMAN KUADRATIK KONVEKS, yang diajukan sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains pada Program Studi Matematika, Jurusan Matematika, Fakultas Sains dan Teknologi, Universitas Sanata Dharma Yogyakarta. Penulisan skripsi ini tidak lepas dari bantuan dan dukungan dari berbagai pihak. Oleh karena itu, dengan segala kerendahan hati penulis ingin menyampaikan ucapan terima kasih kepada: 1. Lusia Krismiyati Budiasih, S.Si., M.Si., selaku dosen pembimbing dan Kaprodi Matematika FST-USD yang dengan rendah hati mau meluangkan banyak waktu dan penuh kesabaran telah membimbing penulis selama penyusunan skripsi.. P. H. Prima Rosa, S.Si., M.Sc., selaku Dekan FST-USD. 3. MV. Any Herawati, S.Si., M.Si., selaku dosen pembimbing akademik dan dosen penguji. 4. Dominikus Arif Budi Prasetyo, S.Si., M.Si., selaku dosen penguji. 5. A. Prasetyadi, S.Si., M.Si., dan Prof. Drs. R. Soemantri yang telah banyak membantu dan memberi masukan kepada penulis. 6. Herry Pribawanto Suryawan, S.Si., M.Si. yang yang pernah menjadi dosen pembimbing akademik dan telah banyak membantu dan memberi masukan kepada penulis. x

11

12 DAFTAR ISI HALAMAN JUDUL... HALAMAN JUDUL DALAM BAHASA INGGRIS... HALAMAN PERSETUJUAN PEMBIMBING... HALAMAN PENGESAHAN... PERNYATAAN KEASLIAN KARYA... HALAMAN PERSEMBAHAN... LEMBAR PERNYATAAN PERSETUJUAN PUBLIKASI KARYA ILMIAH UNTUK KEPENTINGAN AKADEMIS... ABSTRAK... ABSTRACT... KATA PENGANTAR... DAFTAR ISI... DAFTAR GAMBAR... DAFTAR TABEL... Halaman i ii iii iv v vi vii viii ix x xii xiv xv BAB I PENDAHULUAN... 1 A. Latar Belakang Masalah... 1 B. Perumusan Masalah... 4 C. Batasan Masalah... 5 D. Tujuan Penulisan... 5 E. Manfaat Penulisan... 5 F. Metode Penulisan... 5 G. Sistematika Penulisan... 6 BAB II HIMPUNAN KONVEKS DAN TEORI OPTIMISASI DALAM... 8 xii

13 A. Matriks dan Ruang Vektor... 8 B. Fungsi Terdiferensial C. Himpunan Konveks dan Fungsi Konveks D. Teori Optimisasi... 7 E. Metode Newton untuk Sistem Persamaan Nonlinear BAB III METODE TITIK-INTERIOR A. Pemrograman Kuadratik Konveks B. Metode Titik-Interior BAB IV PENUTUP... 1 A. Kesimpulan... 1 B. Saran DAFTAR PUSTAKA... 1 LAMPIRAN xiii

14 DAFTAR GAMBAR Halaman Gambar Minimum sama dengan maksimum... Gambar.1.1 Lingkaran Gambar.1. Himpunan Terurut Gambar..1 Teorema Nilai Rata-Rata Gambar.3.1 Ilustrasi dari Himpunan Konveks Gambar.3. Lingkaran x + y = Gambar.3.3 Contoh Fungsi Konveks Gambar 3..1 Diagram Alir Algoritma Metode Titik-Interior Primal-Dual xiv

15 DAFTAR TABEL Halaman Tabel 3..1 Output Penyelesaian Contoh 3..1 dengan Matlab Tabel 3.. Tabel Perbandingan Nilai Awal Metode Titik-Interior Primal-Dual xv

16 BAB I PENDAHULUAN A. Latar Belakang Masalah Saat ini semakin banyak permasalahan pada kehidupan sehari-hari yang memerlukan pendekatan optimisasi dalam penyelesaiannya. Sebagai contoh, misalkan sebuah perusahaan ingin meminimumkan biaya pembuatan dua produk. Untuk menyelesaikan permasalahan ini, maka harus diketahui hal-hal apa saja yang mempengaruhi pembuatan dua produk tersebut, misalnya jumlah bahan baku yang tersedia. Misalkan, meminimumkan biaya pembuatan dua produk dinyatakan dengan fungsi f. Sedangkan, banyaknya barang yang dihasilkan dari masing-masing produk, misalnya,. Variabelvariabel tersebut perlu diberi batasan yang disebut dengan kendala, dalam hal ini berupa jumlah bahan baku yang tersedia, sedangkan fungsi, disebut dengan fungsi obyektif. Optimisasi secara matematis dapat diartikan sebagai proses menemukan penyelesaian yang memaksimumkan atau meminimumkan suatu fungsi. Untuk menemukan penyelesaian dari masalah memaksimumkan suatu fungsi dapat diselesaikan dengan cara mencari penyelesaian dari masalah meminimumkan negatif dari fungsi tersebut. 1

17 Untuk lebih jelasnya, perhatikan Gambar 1.1.1: Gambar Minimum sama dengan maksimum Berdasarkan Gambar 1.1.1, (dalam hal ini sebagai contoh adalah suatu fungsi dengan satu variabel) dapat dilihat bahwa jika suatu titik menunjukkan nilai pembuat minimum dari fungsi, maka titik yang sama itu juga menunjukkan nilai pembuat maksimum dari negatif fungsi tersebut, yakni. Pendekatan optimisasi sendiri menyediakan banyak alternatif metode yang dapat dipilih sesuai dengan karakteristik permasalahan yang akan diselesaikan. Permasalahan optimisasi terbagi menjadi dua bagian, yaitu permasalahan optimisasi berkendala dan permasalahan optimisasi tidak berkendala. Permasalahan optimisasi berkendala adalah optimisasi suatu fungsi, yang disebut fungsi obyektif, dengan kendala-kendala berupa pertidaksamaaan atau

18 3 persamaan. Sedangkan, permasalahan optimisasi tidak berkendala adalah optimisasi suatu fungsi obyektif tanpa kendala. Secara garis besar, permasalahan dalam teknik optimisasi dapat berupa permasalahan pemrograman linear maupun nonlinear. Pemrograman linear adalah pemrograman yang mempelajari kasus dimana fungsi obyektifnya adalah fungsi linear dan kendalanya merupakan persamaaan atau pertidaksamaan linear. Sedangkan, pemrograman nonlinear adalah pemrograman yang mempelajari kasus dimana salah satu fungsi obyektif atau fungsi kendalanya merupakan persamaaan atau pertidaksamaan nonlinear. Salah satu subklas dalam permasalahan pemrograman nonlinear adalah pemrograman kuadratik konveks. Pemrograman kuadratik konveks adalah permasalahan optimisasi berkendala nonlinear dimana fungsi obyektifnya adalah fungsi kuadratik konveks, sedangkan kendala-kendalanya merupakan persamaan atau pertidaksamaan linear. Fungsi kuadratik konveks pada fungsi obyektif yang terdapat dalam pemrograman kuadratik konveks memiliki bentuk umum dengan G adalah matriks semidefinit positif. Metode yang dapat digunakan untuk menyelesaikan permasalahan optimisasi pada pemrograman kuadratik konveks antara lain adalah metode himpunan aktif dan metode titik-interior. Metode titik-interior pada pemrograman kuadratik terbagi lagi menjadi dua, yakni metode jalur pusat (central path method) dan metode titik-interior primal-dual (primal-dual interior-point me-

19 4 thod). Namun dalam skripsi ini metode yang akan dibahas hanya metode titikinterior primal-dual. Metode titik-interior primal-dual merupakan salah satu metode numerik yang menerapkan metode Newton dalam menyelesaikannya. Pada metode titik-interior primal-dual, pencarian penyelesaian optimum dimulai dari sebarang titik-interior sehingga akan menghasilkan iterasi yang lebih sedikit karena konvergensinya lebih cepat diperoleh. B. Perumusan Masalah Berdasarkan uraian yang dikemukakan dalam latar belakang, pokok pokok permasalahan yang akan dibahas dalam tulisan ini dapat dirumuskan sebagai berikut : 1. Apa yang dimaksud dengan pemrograman kuadratik konveks?. Apa yang dimaksud dengan metode titik-interior primal-dual untuk menyelesaikan permasalahan optimisasi berkendala pada pemrograman kuadratik konveks? 3. Bagaimana cara menyelesaikan pemrograman kuadratik konveks dengan menggunakan metode titik-interior primal-dual? 4. Bagaimana mengimplementasikan metode titik-interior primal-dual dengan menggunakan Matlab?

20 5 C. Batasan Masalah Pembatasan masalah metode titik-interior primal-dual dalam skripsi ini hanya dibatasi untuk pemrograman kuadratik konveks dengan kendalakendala berupa pertidaksamaan. D. Tujuan Penulisan Tujuan penulisan skripsi ini adalah untuk menyelesaikan permasalahan optimisasi berkendala dengan menggunakan metode titik-interior primaldual pada pemrograman kuadratik konveks serta bagaimana mengimplementasikan metode titik-interior primal-dual dengan menggunakan Matlab. E. Manfaat Penulisan Manfaat yang diharapkan dalam skripsi ini adalah dapat memahami bagaimana penggunaan metode titik-interior primal-dual pada pemrograman kuadratik konveks serta dapat mengimplementasikan metode titik-interior primal-dual dengan menggunakan Matlab. F. Metode Penulisan Metode yang digunakan penulis dalam skripsi ini adalah metode studi pustaka, yaitu dengan mempelajari buku-buku yang berkaitan dengan topik metode titik-interior primal-dual pada pemrograman kuadratik konveks.

21 6 G. Sistematika Penulisan Sistematika penulisan skripsi ini terdiri dari empat bab dengan urutan sebagai berikut: BAB I : PENDAHULUAN Dalam bab ini akan dibahas mengenai latar belakang masalah, perumusan masalah, batasan masalah, tujuan penulisan, manfaat penulisan, metode penulisan, dan sistematika penulisan. BAB II : HIMPUNAN KONVEKS DAN TEORI OPTIMISASI DA- LAM Dalam bab ini akan dibahas mengenai matriks dan ruang vektor, fungsi terdiferensial, himpunan konveks dan fungsi konveks, teori optimisasi, dan metode Newton untuk sistem persamaan nonlinear yang akan digunakan untuk memahami metode titik-interior primal-dual. BAB III : METODE TITIK-INTERIOR Dalam bab ini akan dibahas mengenai pemrograman kuadratik konveks, metode titik-interior, konsep metode titik-interior primal dual, algoritma metode titik-interior primal-dual beserta

22 7 contoh permasalahan pemrograman kuadratik konveks yang diselesaikan dengan metode titik-interior primal-dual, dan yang terakhir akan dibahas juga implementasinya dengan menggunakan program Matlab. BAB IV : PENUTUP Bab ini berisi kesimpulan dan saran.

23 BAB II HIMPUNAN KONVEKS DAN TEORI OPTIMISASI DALAM Dalam bab ini akan dibahas mengenai matriks dan ruang vektor, fungsi terdiferensial, himpunan konveks dan fungsi konveks, teori optimisasi, dan metode Newton untuk sistem persamaan nonlinear yang akan digunakan untuk memahami metode titik-interior primal-dual. A. Matriks dan Ruang Vektor Pada subbab ini akan dibahas mengenai matriks, panjang (norm), jarak, ruang vektor, dan beberapa definisi serta teorema dasar tentang analisis real. Definisi.1.1 (Ruang Berdimensi n) Jika n adalah suatu bilangan bulat positif, maka tupel n berurutan adalah suatu urutan dari n bilangan real,,,. Himpunan semua tupel n berurutan disebut ruang berdimensi n dan dinyatakan sebagai. 8

24 9 Definisi.1. (Matriks) Matriks adalah jajaran empat persegi panjang dari bilangan-bilangan yang diatur menurut baris dan kolom. Bilangan-bilangan dalam jajaran tersebut disebut dengan elemen dari matriks. Elemen-elemen yang terletak pada baris i dan kolom j di dalam matriks A dapat dinyatakan sebagai. Sehingga, matriks secara umum dapat ditulis sebagai berikut: Atau lebih singkat dapat ditulis sebagai atau. Definisi.1.3 (Matriks Simetrik) Sebuah matriks bujur sangkar A adalah simetrik jika dan hanya jika A = A T. Definisi.1.4 (Matriks Definit Positif dan Matriks Semidefinit Positif) Misalkan A adalah matriks simetrik. A dikatakan definit positif jika x T Ax >,,. A dikatakan semidefinit positif jika x T Ax,.

25 1 Dari Definisi.1.4, dapat disimpulkan bahwa jika A adalah matriks definit positif, maka A juga adalah matriks semidefinit positif. Untuk lebih memahami definisi matriks, matriks simetrik, matriks definit positif dan matriks semidefinit positif, maka akan diberikan contoh berikut. Contoh.1.1 Misalkan diberikan suatu matriks simetrik: Untuk mengkaji bahwa matriks A adalah matriks definit positif, maka harus ditunjukkan bahwa x T Ax >,,

26 11 Dari sini dapat disimpulkan bahwa matriks A bersifat definit positif karena,, kecuali jika. Contoh.1. Misalkan diberikan suatu matriks simetrik: Untuk mengkaji bahwa matriks G adalah matriks semidefinit positif, maka harus ditunjukkan bahwa x T Gx,. Karena,, maka dapat disimpulkan bahwa matriks G adalah matriks semidefinit positif.

27 1 Definisi.1.5 (Ruang Vektor) Misalkan adalah himpunan tak kosong yang dilengkapi dengan operasi penjumlahan dan perkalian skalar dengan bilangan real. Artinya, bila diberikan dua elemen dan di dan,, maka penjumlahan dan perkalian skalar didefinisikan dan terletak di V juga. Kemudian V dengan kedua operasi ini disebut ruang vektor jika kedua operasi tersebut memenuhi aksioma-aksioma berikut. Untuk setiap,, dan, berlaku: (i) (ii) (iii) (iv) (v) (vi) (vii).. Ada elemen sehingga. Ada elemen sehingga.... (viii) 1. Untuk lebih memahami definisi ruang vektor, maka akan diberikan contoh berikut.

28 13 Contoh.1.3 Buktikan bahwa,,,,,, adalah ruang vektor! Bukti: Misalkan,,, dan,,,, maka,,, dan,,,. a),,,,,, b),,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, c),,,,,,,,,

29 14,,, d),,,,,,,,,,,, e),,,,,,,,,,,,,,, f),,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, g),,,

30 15,,,,,,,,, h) 1 1,,, 1, 1,, 1,,, Karena,,,,,, dengan operasi penjumlahan dan perkalian skalar memenuhi aksioma-aksioma seperti pada Definisi.1.5, maka terbukti bahwa adalah ruang vektor. Definisi.1.6 (Ruang Hasil Kali Dalam) Hasil kali dalam pada adalah sebuah fungsi yang mengasosiasikan sebuah bilangan real, dengan sepasang vektor x dan y di, sehingga aksioma-aksioma berikut ini terpenuhi bagi semua vektor x, y, dan z di dan semua bilangan skalar s. (i),, (Aksioma Kesimetrian) (ii),,, (Aksioma Penjumlahan)

31 16 (iii),, (Aksioma Homogenitas) (iv), (Aksioma Positivitas) (v), jika dan hanya jika Sebuah ruang vektor real yang memiliki sebuah hasil kali dalam disebut ruang hasil kali dalam. Untuk lebih memahami sifat hasil kali dalam yang pertama, yakni,,, maka akan diberikan contoh berikut. Contoh.1.4 Untuk dan adalah sembarang vektor-vektor di, bukti- kan jika,, maka,! Bukti: Ambil sebarang vektor dan dalam ruang vektor. Akan dibuktikan, memenuhi,,.

32 17, Jadi, terbukti bahwa,,. Definisi.1.7 (Panjang atau Norm) Panjang atau norm sebuah vektor di dinotasikan dengan dan didefinisikan sebagai,. Sebuah pemetaan. dikatakan sebuah norm jika dan hanya jika memenuhi sifat berikut: (1), () jika dan hanya jika x =, (3) α,, (4),, (Ketaksamaan segitiga)

33 18 Definisi.1.8 (Ortogonal) Dua vektor u dan v di dalam ruang hasil kali dalam di dikatakan ortogonal jika,. Teorema.1.1 (Hukum Phytagoras) Jika u dan v adalah vektor-vektor ortogonal di dalam ruang hasil kali dalam di, maka. Bukti:,,,,,,,,,,,, Definisi.1.9 (Proyeksi Skalar dan Proyeksi Vektor) Jika u dan v adalah vektor-vektor di dalam ruang hasil kali dalam di dan, maka proyeksi skalar dari u pada v diberikan oleh, dan proyeksi vektor dari u pada v diberikan oleh,.,

34 19 Teorema.1. Jika dan p adalah proyeksi vektor dari u pada v, maka dan p adalah ortogonal. Bukti: Karena,,, dan,,,. Ini mengakibatkan,,,. Oleh karena itu, dan p adalah ortogonal. Teorema.1.3 (Ketaksamaan Cauchy-Schwarz) Jika u dan v adalah vektor-vektor di dalam ruang hasil kali dalam di, maka, Bukti: Jika, maka,. Jika, maka misalkan p sebagai proyeksi vektor dari u pada v. Karena p ortogonal pada, maka menurut Hukum Phytagoras (dari Teorema.1.)

35 ,, Dengan mengambil akarnya, maka diperoleh,. Untuk lebih memahami definisi norm serta sifat-sifat dari norm, maka akan diberikan contoh berikut. Contoh.1.5 Buktikan bahwa adalah norm! Bukti: Untuk membuktikan bahwa adalah norm, maka harus ditunjukkan bahwa memenuhi keempat sifat dari norm. Misalkan, x dan y adalah sebarang vektor di dan adalah sebarang bilangan real. (1) Akan dibuktikan bahwa Karena untuk sebarang bilangan real, maka

36 1 () Akan dibuktikan bahwa jika dan hanya jika. Jika, maka,. Oleh karena itu, dan. Sebaliknya, jika, maka. Karena, dengan demikian sehingga. hanya dipenuhi jika (3) Akan dibuktikan bahwa,,. (4) Akan dibuktikan bahwa. Sifat nilai mutlak

37 Jadi,. Teorema.1.4 (Ketaksamaan Cauchy-Buniakowski-Schwarz) Misalkan,, maka Bukti: Pertidaksamaan akan bersifat trivial jika dan hanya jika atau. Oleh karena itu, andaikan bahwa dan, keduanya taknol. Misalkan, adalah sebarang bilangan real. Maka, Misalkan,,, dan. Sehingga pertidaksamaan menjadi untuk semua. Hal ini dapat terjadi

38 3 jika dan hanya jika diskriminan atau Karena itu,. Dengan mensubstitusikan nilai dari,, dan, maka diperoleh Dengan mengambil akarnya, maka diperoleh Contoh.1.6 Buktikan bahwa adalah norm! Bukti: Untuk membuktikan bahwa adalah norm, maka harus ditunjukkan bahwa memenuhi keempat sifat dari norm. Misalkan, x dan y adalah sebarang vektor di dan adalah sebarang bilangan real.

39 4 (1) Akan dibuktikan bahwa. Karena untuk sebarang bilangan real, maka / () Akan dibuktikan bahwa jika dan hanya jika. Jika, maka,. Oleh karena itu, dan. Sebaliknya, jika, maka. Karena, dengan demikian / hanya dipenuhi jika sehingga. (3) Akan dibuktikan bahwa,,. / /

40 5 (4) Akan dibuktikan bahwa. Sifat nilai mutlak Ketaksamaan Cauchy- Buniakowski-Schwarz) Dengan mengambil akarnya, maka diperoleh. Selanjutnya, akan diberikan definisi dan sifat jarak pada. Definisi.1.1 (Jarak) Jarak antara dua buah titik titik dan dinotasikan dengan,,

41 6 Teorema.1.5 (Sifat-Sifat Jarak pada ) Jika x, y, dan z adalah vektor-vektor pada, maka: (1) () jika dan hanya jika (3) (4) Bukti: (1) Akan dibuktikan bahwa. Bukti: n 1/ ( x i y i ) i= 1 Karena untuk sebarang bilangan real dan, maka. () Akan dibuktikan bahwa jika dan hanya jika. Bukti: Jika, maka,.

42 7 Oleh karena itu, dan. Sebaliknya, jika, maka. Karena, dengan demikian hanya dipe- nuhi jika sehingga. (3) Akan dibuktikan bahwa. Bukti:,,,,,,,,,,,, (Ketaksamaan Cauchy-Schwarz) Dengan mengambil akarnya, maka diperoleh

43 8. Jadi, terbukti untuk. (4) Akan dibuktikan bahwa. Bukti: 1 1 Teorema.1.6 (Hukum Paralelogram) Untuk semua, Bukti:,,,,,,,,,,,,,,

44 9,,,,,, Selanjutnya, akan diberikan definisi kitar dan titik-interior. Definisi.1.11 (Kitar) Diberikan titik dan δ >. Kitar- δ dari x didefinisikan sebagai δ Definisi.1.1 (Titik Interior) Misalkan dan. Titik x dikatakan titik interior dari D jika ada suatu kitar- δ dari x sedemikian sehingga. Untuk lebih memahami definisi titik interior, maka akan diberikan contoh berikut. Contoh.1.7, 1

45 3 Himpunan ini merepresentasikan titik yang berada di dalam lingkaran dengan pusat (,) dan radius 1 seperti pada Gambar.1.1. Gambar.1.1 Lingkaran 1 Titik-titik yang berada di dalam lingkaran adalah titik interior. Sedangkan, titik-titik yang berada pada batas dan luar lingkaran bukan merupakan titik interior. Definisi.1.13 (Himpunan Terbuka) Himpunan semua titik interior dari D disebut interior D dan dinotasikan dengan int(d). Selanjutnya, jika int(d) = D, yakni setiap titik dari D adalah titik interior dari D, maka D adalah himpunan terbuka. Definisi.1.14 (Himpunan Tertutup) Suatu himpunan dikatakan tertutup jika dan hanya jika komplemennya adalah terbuka.

46 31 Untuk lebih memahami definisi himpunan terbuka, maka akan diberikan contoh berikut. Contoh.1.8 Berdasarkan Contoh.1.7, A adalah himpunan terbuka, karena titik-titik yang berada di dalam lingkaran adalah titik interior. parsial. Selanjutnya, akan diberikan definisi relasi dan himpunan terurut secara Definisi.1.15 (Relasi) Sebuah relasi dari suatu himpunan A ke himpunan B adalah suatu subset R dari X, di mana X, :,. Relasi dapat pula ditulis sebagai yang berarti bahwa,. Definisi.1.16 (Himpunan Terurut Secara Parsial) Misalkan R adalah sebuah relasi pada sebuah himpunan S, maka R disebut relasi urutan parsial jika yang memenuhi tiga sifat berikut: (i) Refleksif R dikatakan refleksif jika dan hanya jika untuk setiap.

47 3 (ii) Antisimetris R dikatakan antisimetris jika dan hanya jika dan, maka, untuk setiap,. (iii) Transitif R dikatakan transitif jika dan hanya jika dan, maka, untuk setiap,,. Himpunan S bersama dengan suatu relasi urutan parsial R pada A dikatakan himpunan terurut secara parsial. Relasi urutan parsial dari sebuah himpunan S biasanya dinotasikan dengan atau. Relasi dibaca dengan a mendahului b, sedangkan relasi b dibaca dengan a melampaui b. Untuk lebih memahami definisi himpunan terurut secara parsial, maka akan diberikan contoh berikut. Contoh.1.9 Perhatikan bilangan bulat positif. Didefinisikan relasi " membagi " dengan, jika terdapat sebuah sedemikian sehingga. Misalnya, 4, 3 1, 7 1, dan seterusnya. Tunjukkan bahwa pembagian adalah sebuah pengurutan parsial dari, yakni tunjukkan bahwa berlaku sifat berikut:

48 33 a. Refleksif:. b. Antisimetris: Jika dan maka. c. Transitif: Jika dan maka. Bukti: a. Karena 1, maka. b. Andaikan dan, misalkan dan. Maka, sehingga 1. Karena dan adalah bilangan bulat positif, maka 1 dan 1. Dengan demikian,. c. Andaikan dan, misalkan dan. Maka, sehingga. infimum. Berikut ini diberikan definisi batas atas, supremum, batas bawah, dan Definisi.1.17 (Batas Atas) Misalkan A adalah himpunan bagian dari sebuah himpunan S yang terurut secara parsial.

49 34 Sebuah elemen M dalam S dikatakan sebuah batas atas dari A jika M melampaui setiap elemen dari A, yaitu M adalah sebuah batas atas dari A jika untuk setiap x dalam A diperoleh. Definisi.1.18 (Supremum) Jika sebuah batas atas dari A mendahului setiap batas atas lain dari A maka disebut batas atas terkecil atau supremum dari A yang dinotasikan dengan sup (A). Definisi.1.19 (Batas Bawah) Sebuah elemen m dalam S dikatakan sebuah batas bawah dari A jika m mendahului setiap elemen dari A, yaitu m adalah sebuah batas bawah dari A jika untuk setiap x dalam A diperoleh. Definisi.1. (Infimum) Jika sebuah batas bawah dari A melampaui setiap batas bawah lain dari A maka disebut batas bawah terbesar atau infimum dari A yang dinotasikan dengan inf (A). Definisi.1.1 (Terbatas ke Atas dan Terbatas ke Bawah) Misalkan merupakan subhimpunan tak kosong dari.

50 35 a. Himpunan dikatakan terbatas ke atas jika ada bilangan sedemikian sehingga untuk semua. Setiap bilangan dikatakan batas atas dari. b. Himpunan dikatakan terbatas ke bawah jika ada bilangan sedemikian sehingga untuk semua. Setiap bilangan dikatakan batas bawah dari. Lemma.1.1 Batas bawah dari himpunan tak kosong di adalah infimum dari jika dan hanya jika terdapat sedemikian sehingga. Bukti Diketahui inf dan. Akan ditunjukkan terdapat sedemikian sehingga. Jika batas bawah maka. Karena maka bukan batas bawah. Karena bukan batas bawah maka harus ada sehingga. Jika suatu batas bawah, dan untuk setiap terdapat sedemikian sehingga.

51 36 Akan dibuktikan inf. Misalkan bahwa suatu batas bawah. Karena dan suatu batas bawah maka. Karena maka. Jadi untuk setiap berlaku. Andaikan maka jika diambil akan diperoleh sehingga dan yang kontradiksi dengan pernyataan bahwa batas bawah. Jadi, jika batas bawah haruslah sehingga merupakan batas bawah terbesar atau inf. Definisi.1. (Barisan Naik dan Barisan Turun) Misalkan merupakan barisan bilangan real. Barisan dikatakan naik jika memenuhi pertidaksamaan dan dikatakan turun jika memenuhi pertidaksamaan Jika barisan merupakan barisan naik atau barisan turun maka merupakan barisan monoton.

52 37 Teorema.1.7 Barisan turun dan terbatas ke bawah adalah konvergen. Bukti: Diberikan turun dan terbatas ke bawah. Karena : maka terdapat dan inf :. Jadi, untuk setiap berlaku (.1) Karena inf :, maka untuk yang diberikan terdapat dan (.) Karena turun, maka mengingat (.1) dan (.), untuk setiap berlaku (.3) Jadi, diperoleh pernyataan bahwa untuk setiap terdapat sedemikian sehingga untuk setiap dan, maka. Jadi, konvergen dan lim inf :. Untuk lebih memahami definisi batas atas, batas bawah, supremum, dan infimum, maka akan diberikan contoh berikut.

53 38 Contoh.1.1 Misalkan,,,,,, terurut seperti pada Gambar.1.1 dan misalkan,,. Tentukan batas atas, batas bawah, supremum, dan infimum dari X! Gambar.1. Himpunan Terurut Penyelesaian: Elemen,, dan didahului oleh setiap elemen dari X, sehingga,, dan adalah batas atas dari X. Elemen mendahului setiap elemen dari X, sehingga adalah batas bawah dari X. Elemen mendahului dan, sehingga adalah supremum dari X. Elemen mendahului setiap batas bawah dari X, sehingga adalah infimum dari X.

54 39 Definisi.1.3 (Barisan Cauchy) Barisan dikatakan Barisan Cauchy jika lim,. Dengan kata lain untuk setiap, terdapat bilangan bulat sedemikian sehingga untuk semua,. Untuk lebih memahami definisi barisan Cauchy, maka akan diberikan contoh berikut. Contoh.1.11 Buktikan bahwa adalah barisan Cauchy! Bukti: Jika diberikan, dapat dipilih sedemikian sehingga. Maka, jika,, diperoleh dan dengan cara yang sama diperoleh. Oleh karena itu, jika,, maka. Karena berlaku untuk sebarang, maka dapat disimpulkan bahwa adalah barisan Cauchy.

55 4 Definisi.1.4 (Konvergen) Barisan dikatakan konvergen jika terdapat dengan sifat, untuk sebarang yang diberikan, terdapat sehingga untuk semua dengan berlaku. Bilangan s dinamakan limit untuk dan ditulis lim atau disingkat lim. Untuk lebih memahami definisi konvergen dari suatu barisan, maka akan diberikan contoh berikut. Contoh.1.1 Jika untuk semua dan c suatu konstanta, maka buktikan bahwa konvergen ke c! Bukti: Untuk semua berlaku. Jadi, jika diberikan, maka terdapat sehingga berlaku. Dalam hal ini, dapat diambil bilangan bulat positif manapun untuk, karena untuk.

56 41 B. Fungsi Terdiferensial Pada subbab ini akan dibahas mengenai fungsi, fungsi kontinu, fungsi terdiferensial secara kontinu, fungsi terdiferensial dua kali secara kontinu dan beberapa definisi serta teorema dasar tentang kalkulus. Definisi..1 (Fungsi atau Pemetaan) Relasi dari himpunan A ke himpunan B disebut dengan fungsi atau pemetaan, jika dan hanya jika setiap anggota dari himpunan A berpasangan tepat hanya dengan sebuah anggota dalam himpunan B. Fungsi f dapat pula dinotasikan dengan f : A B, yang mana menunjukkan bahwa fungsi tersebut merupakan pemetaan dari himpunan A ke himpunan B. Himpunan A disebut dengan domain atau daerah asal, sedangkan himpunan B disebut dengan kodomain atau daerah kawan. Definisi.. (Fungsi Kontinu di ) Misalkan, :, dan. Fungsi f dikatakan kontinu di c, jika untuk setiap yang diberikan, dapat dicari, sehingga untuk semua dan, maka.

57 4 Teorema..1 Jika, kontinu di x, maka juga kontinu di x. Bukti: Andaikan f dan kontinu di x. Akan dibuktikan bahwa kontinu di x. Jika adalah sebarang bilangan positif yang diberikan, maka / adalah positif. Karena f kontinu di x, maka untuk setiap, terdapat suatu bilangan positif, sedemikian sehingga untuk dan maka dan karena kontinu di x, maka untuk setiap, terdapat suatu bilangan positif, sedemikian sehingga untuk dan maka. Ambil sebarang dan pilih min,, yakni pilih yang terkecil diantara dan. Maka, untuk dan mengimplikasikan 1 1 (Ketaksamaan Segitiga) 1 / /

58 43 Langkah-langkah di atas memperlihatkan bahwa untuk dan, maka. Oleh karena itu, dapat disimpulkan bahwa kontinu di x. Definisi..3 (Nilai Maksimum, Nilai Minimum, dan Nilai Ekstrim) Andaikan S adalah daerah asal dari f yang memuat titik c. Dapat dikatakan bahwa: (i) f(c) adalah nilai maksimum f pada S jika untuk semua x di S. (ii) f(c) adalah nilai minimum f pada S jika untuk semua x di S. (iii) f(c) adalah nilai ekstrim f pada S jika f(c) adalah nilai maksimum atau nilai minimum. Teorema.. (Titik Kritis) Andaikan f terdefinisikan pada selang, yang memuat titik c. Jika f(c) adalah nilai ekstrim, maka c haruslah berupa suatu titik kritis, yakni c berupa salah satu: (i) Titik ujung dari,. (ii) Titik stasioner dari f, yakni titik c sedemikian sehingga.

59 44 (iii) Titik singular dari f, yakni titik c sedemikian sehingga tidak ada. Bukti: Akan dibuktikan untuk f(c) yang berupa nilai maksimum f pada,. Andaikan bahwa c bukan titik ujung ataupun titik singular, sehingga harus diperlihatkan bahwa c adalah titik stasioner. Karena f(c) adalah nilai maksimum, maka untuk semua x dalam, diperoleh. Jadi, jika sehingga, maka. Sedangkan, jika, maka. Akan tetapi, ada, karena c bukan titik singular. Karena f terdiferensial pada c, maka diperoleh lim dan lim, yang mana mengakibatkan bahwa dan. Sehingga dapat disimpulkan bahwa, yang mana menunjukkan bahwa c adalah titik stasioner. Jadi, terbukti untuk f(c) yang berupa nilai maksimum f pada,. Selanjutnya, untuk f(c) yang berupa nilai minimum f pada, dibuktikan dengan cara yang sama seperti untuk f(c) yang berupa nilai maksimum f pada,.

60 45 Teorema..3 (Teorema Nilai Rata-Rata) Jika kontinu pada selang tertutup, dan terdiferensiasikan pada titiktitik dalam dari,, maka terdapat paling sedikit satu bilangan c dalam, dengan.4 atau sama dengan. Bukti: Pembuktian ini berdasarkan pada analisis dari fungsi yang diperlihatkan pada Gambar..1. Gambar..1 Teorema Nilai Rata-Rata. Pada Gambar..1, terlihat bahwa adalah persamaan garis yang melalui, dan,. Karena garis ini mempunyai kemiringan

61 46 / dan melalui titik,, maka garis tersebut memiliki persamaan titik kemiringan, yakni.5 Sedangkan, jarak antara fungsi dengan fungsi adalah Sehingga persamaan (.5) dapat ditulis menjadi.6 Dapat dilihat bahwa dan bahwa untuk dalam, berlaku.7 Jika diketahui bahwa terdapat suatu bilangan c dalam, yang memenuhi, maka bukti akan selesai. Sehingga, persamaan (.7) menjadi.8 yang mana persamaan (.7) tidak lain merupakan persamaan (.4). Untuk melihat bahwa untuk suatu c dalam, alasannya jelas karena s kontinu pada, yang merupakan selisih dua fungsi kontinu. Berdasarkan sifat bahwa jika kontinu pada selang tertutup,, maka f men-

62 47 capai nilai maksimum dan minimum, sehingga s harus mencapai nilai maksimum ataupun nilai minimum pada,. Jika kedua nilai ini kebetulan adalah, maka secara identik adalah pada,, akibatnya untuk semua x dalam,. Jika nilai maksimum atau nilai minimum berlainan dengan, maka nilai tersebut dicapai pada sebuah titik-dalam c, karena. Sekarang s mempunyai turunan di setiap titik dari,, sehingga berdasarkan Teorema Titik Kritis diperoleh. Definisi..4 (Fungsi Kontinu di ) Sebuah fungsi : dikatakan kontinu pada, jika untuk setiap ε >, terdapat δ > sedemikian sehingga δ maka. Definisi..5 (Turunan Parsial) Andaikan bahwa f adalah suatu fungsi dua variabel dari dan. Turunan parsial f terhadap adalah fungsi yang dinyatakan dengan, atau,, yang nilainya di setiap titik, diberikan oleh,,, lim

63 48 apabila limitnya ada. Dengan cara yang sama, turunan parsial f terhadap, fungsi yang dinyatakan dengan, atau, yang nilainya di setiap titik, diberikan oleh, apabila limitnya ada., lim,, Untuk lebih memahami definisi turunan parsial, maka akan diberikan contoh berikut. Contoh..1: Tentukan turunan parsial terhadap x dan turunan parsial terhadap y dari fungsi yang dinotasikan dengan, 5 4! Penyelesaian:,,, lim lim lim lim 5

64 49, 5 lim,, lim lim Definisi..6 (Fungsi Terdiferensial Kontinu) Sebuah fungsi kontinu : dikatakan terdiferensial kontinu di jika f x i (x) ada dan kontinu dengan i = 1, n. Definisi..7 (Gradien) Misalkan : dan, gradien dari f di x didefinisikan sebagai,,

65 5 Definisi..8 (Turunan Berarah) Fungsi : terdiferensial kontinu pada himpunan terbuka D. Maka untuk x D dan turunan berarah dari f di dalam arah d didefinisikan sebagai, lim dimana adalah gradien dari f di x, vektor berukuran n x 1. Teorema..4 (Teorema Taylor di ) Misalkan : terdiferensial secara kontinu dan bahwa. Maka diperoleh (.9) untuk suatu,1. Bukti: Misalkan : terdiferensial secara kontinu pada himpunan terbuka sehingga dan. Dengan menggunakan Definisi Turunan Berarah diperoleh bahwa, lim.1 Misalkan, f(x) merupakan fungsi norm, yakni f(x) =. Dari persamaan (.1) diperoleh bahwa

66 51, lim lim Jika, diperoleh untuk semua yang cukup kecil. Jika, diperoleh 1. Jika, diperoleh. Selanjutnya, diperoleh, lim lim lim lim lim lim lim lim lim

67 5 Jadi, turunan berarah dari fungsi f(x) ada untuk sebarang x dan d. Misalkan f terdiferensial secara kontinu pada suatu kitar dari x, maka diperoleh, (.11) Untuk membuktikan rumus ini, didefinisikan fungsi dimana. Dapat dicatat bahwa lim lim Dengan menggunakan aturan rantai pada diperoleh (.1) Substitusikan untuk ke dalam persamaan (.1), sehingga diperoleh, (.13)

68 53 yang mana persamaan (.13) adalah persamaan (.11). Berdasarkan Teorema Nilai Rata-Rata, misalkan diberikan sebuah fungsi yang terdiferensial secara kontinu : dan terdapat dua bilangan real dan yang memenuhi untuk suatu,, sehingga diperoleh (.14) Dapat diingat bahwa. Andaikan bahwa dan 1. Jika diganti menjadi, maka diperoleh (.15) Substitusikan 1 ke dalam persamaan (.15) sehingga diperoleh 1. Jika diganti menjadi, maka (.16) Substitusikan ke dalam persamaan (.16) sehingga diperoleh. Suatu perluasan dari hasil ini untuk fungsi multivariabel : bahwa untuk sebarang vektor d diperoleh bahwa untuk suatu,1. Definisi..9 (Fungsi Terdiferensial Dua Kali Secara Kontinu) Sebuah fungsi terdiferensial kontinu : dikatakan terdiferensial

69 54 dua kali secara kontinu di jika f (x) ada dan kontinu dengan x i x j 1,, dan 1,,. Definisi..1 (Matriks Hesse) Misalkan : dan, matriks Hesse dari f didefinisikan sebagai matriks simetri berukuran n x n, yang dinotasikan dengan H(x) dengan elemen-elemen sebagai berikut: Atau dapat juga dinyatakan sebagai berikut:, 1,, dan 1,, Untuk lebih memahami definisi gradien dan matriks Hesse, maka akan diberikan contoh berikut. Contoh..: Misalkan,

70 55, Maka, dan, 5,,,,,. C. Himpunan Konveks dan Fungsi Konveks Pada subbab ini akan dibahas mengenai himpunan konveks dan fungsi konveks serta beberapa teorema-teorema yang berkaitan dengan fungsi konveks. Definisi.3.1 (Himpunan Konveks) Sebuah himpunan disebut himpunan konveks apabila memenuhi sifat berikut: jika diberikan sebarang dua titik x 1, x θ x 1 + ( 1 θ) x C untuk setiap [,1] C, maka θ. Suku θ x 1 + ( 1 θ) x dengan θ [,1 ] menggambarkan titik-titik yang terletak pada ruas garis yang menghubungkan x 1 dan x. Dalam pengertian geometri, himpunan konveks dapat digambarkan pada Gambar.3.1.

71 56 Gambar.3.1 Ilustrasi dari Himpunan Konveks. Berdasarkan Gambar.3.1, jika diberikan sebarang dua titik x 1 dan x yang berada di dalam C, maka ruas garis yang menghubungkan titik x 1 dan x akan berada di dalam C. Untuk lebih memahami definisi himpunan konveks, maka akan diberikan contoh berikut. Contoh.3.1: {( x, x ): x + 1} K = x 1 1 < Himpunan ini merepresentasikan titik yang berada di dalam lingkaran dengan pusat (,) dan radius 1 seperti pada Gambar.3..

72 57 Gambar.3. Lingkaran x + y = 1 Berdasarkan Gambar.3., jika diberikan sebarang dua titik x 1 dan x yang berada di dalam lingkaran, maka ruas garis yang menghubungkan titik x 1 dan x akan berada di dalam lingkaran. Definisi.3. (Fungsi Konveks) Fungsi : dikatakan konveks jika untuk dua vektor x 1, x berlaku f ( θ x 1 + ( 1 θ) x ) θ f (x 1 ) ( 1 θ) f + (x ) untuk semua [,1] θ. Fungsi f dikatakan konveks tegas (strictly convex) jika f (θ x 1 + ( 1 θ) x ) < θ f (x 1 ) + ( 1 θ) f (x ) dimana x 1 x dan <θ < 1. Fungsi konveks dapat diilustrasikan pada Gambar.3.3.

73 58 Gambar.3.3 Contoh Fungsi Konveks. Gambar.3.3 adalah fungsi konveks, dimana θ f (x 1 ) + ( 1 θ) f (x ) digambarkan sebagai titik pada tali busur yang menghubungkan f (x 1 ) dan f (x ), sedangkan f ( θ x 1 + ( 1 θ) x ) adalah titik pada f yang menghubungkan f(x 1 ) dan f(x ). Berdasarkan Gambar.3.3, dapat dilihat bahwa ( 1 θ ) f berada di atas 1. Jadi, 1 ( 1 θ ) f, yang berarti f konveks. Untuk lebih memahami definisi fungsi konveks, maka akan diberikan contoh berikut. Contoh.3.: Diberikan f ( x) = x, x, fungsi f merupakan fungsi konveks.

74 59 Bukti: x 1 Ambil x 1, x, maka f ( x 1 ) = dan f ( x ) x =, [,1] θ. f (θ x 1 + ( 1 θ) x ) = = ( θx x 1 + (1 θ ) ) ( θx x 1 ) + ( θx1)((1 θ ) x ) + ((1 θ ) ) = θ x θx ( x θx ) + ( x θx 1 = θ x + θx x θ x x + x θx + θ x 1 1 ) = θ x 1 + ( 1 θ + θ ) x + θx1 x θ x1x = θ x 1 + ( 1 θ ) x + θx 1x θ x1x Sedangkan, θ f (x 1 ) + ( 1 θ) f (x ) = θx Karena [,1] θ) ( x θ, maka θ < θ sehingga diperoleh: f (θ x 1 + ( 1 θ) x ) = θ x 1 + ( 1 θ ) x + θx 1x θ x1x < θx θ ) x + θx 1x ( θx x 1 = θx θ ) ( x = θ f (x 1 ) + ( 1 θ) f (x ) Jadi, f ( θ x 1 + ( 1 θ) x ) θ f (x 1 ) ( 1 θ) f + (x ) untuk sebarang [,1 ] θ, maka terbukti bahwa f ( x) = x adalah fungsi konveks.

75 6 Contoh.3.3: Diberikan 5 7.5,, fungsi Q merupakan fungsi konveks. Bukti: Misalkan x = [ x ] T dan y = [ y ] T, [,1] x, 1 Maka x1 y1 θ x + ( 1 θ ) y = θ + (1 θ ) x y θx = θx 1 y + y 1 θy 1 θy θ ( x1 y1) + y = θ ( x y ) + y 1 y, 1 θ. Karena itu

76 Sedangkan, Karena [,1] θ, maka θ < θ sehingga diperoleh:

77 6 Jadi, 1 1 untuk sebarang θ [,1 ], maka terbukti bahwa dengan adalah fungsi konveks. Teorema.3.1 Misalkan S adalah himpunan konveks terbuka tidak kosong dan : adalah fungsi terdiferensial. Maka f dikatakan konveks jika dan hanya jika,, Bukti: ( ) Misalkan f konveks. Akan ditunjukkan bahwa,,. Berdasarkan Definisi Fungsi Konveks bahwa jika f adalah konveks, maka untuk semua dengan < < 1 berlaku 1 1

78 63 Dengan pengambilan limit untuk, maka lim Berdasarkan Definisi Turunan Berarah diperoleh Maka terbukti bahwa ( ) Misalkan bahwa. Akan ditunjukkan f konveks. Anggap bahwa,, benar. Pilih sebarang x 1, x dan 1 untuk semua,1. Maka diperoleh dan Oleh karena itu, 1 1

79 Karena 1 1 untuk sebarang x 1, x dan,1, maka terbukti bahwa konveks. Teorema.3. Misalkan adalah himpunan konveks terbuka tidak kosong dan : terdiferensial dua kali secara kontinu. Maka f adalah konveks jika dan hanya jika matriks Hesse adalah semidefinit positif pada setiap titik dalam S. Bukti: Andaikan bahwa matriks Hesse adalah semidefinit positif pada setiap titik. Akan dibuktikan bahwa f adalah konveks. Anggap,. Melalui Teorema Nilai Rata-Rata diperoleh

80 65 dimana,,1. Dapat dicatat bahwa. Karena adalah semidefinit positif,, maka. Sehingga diperoleh. Dengan menggunakan Teorema.3.1 diperoleh bahwa f adalah fungsi konveks. Andaikan bahwa f adalah fungsi konveks dan. Akan dibuktikan bahwa,. Karena S terbuka, maka terdapat sedemikian sehingga ketika,. Dengan Teorema.3.1 diperoleh (.17) Karena terdiferensial dua kali pada, maka

81 66 Substitusikan persamaan (.18) ke dalam persamaan (.17), sehingga diperoleh 1 Bagi dengan dan misalkan, sehingga diperoleh. Teorema.3.3 Misalkan, adalah fungsi konveks pada himpunan, maka juga adalah fungsi konveks pada S. Bukti: Misalkan, dan 1, maka

82 67 Teorema.3.4 (Teorema Proyeksi) Misalkan adalah himpunan konveks tertutup tidak kosong dan, maka ada titik tunggal dengan jarak minimum dari y, yakni inf.19 Selanjutnya, adalah titik minimum dari persamaan (.19) jika dan hanya jika,, (.) atau dapat dikatakan bahwa adalah proyeksi dari y di S jika dan hanya jika persamaan (.) dipenuhi. Bukti: Pembuktian Teorema.3.4 di atas dapat dibagi menjadi tiga bagian, yakni: (i) Akan dibuktikan bahwa jika adalah himpunan konveks tertutup tidak kosong dan, maka ada titik tunggal dengan jarak minimum dari y, yakni inf. Misalkan inf (.1) Karena adalah batas bawah terbesar maka,. Misalkan terdapat sebuah titik 1 dan. Kemudian, dibuat ruas garis yang menghubungkan titik 1 dan titik y. Selanjutnya, dari titik 1 dibuat kitar dengan radius 1. Dari titik limit yang diperoleh dari kitar 1 dan berada pada garis yang menghubungkan titik 1 dan ti-

83 68 tik y, diperoleh titik. Kemudian, dari titik dibuat kitar dengan radius 1. Dari titik limit yang diperoleh dari kitar dan berada pada garis yang menghubungkan titik dan titik y, diperoleh titik 3. Demikian seterusnya, hingga diperoleh titik 1. Kemudian dari titik 1 dibuat kitar dengan radius 1. Dari titik limit yang diperoleh dari kitar 1 tersebut dan terletak pada ruas garis yang menghubungkan titik 1 dan titik y diperoleh titik. Dengan demikian akan ada barisan. Akan ditunjukkan bahwa. Karena inf maka berdasarkan Lemma.1.1, untuk setiap terdapat dengan sedemikian sehingga. Dengan demikian, terbentuk barisan yang terbatas dan turun. Berdasarkan Teorema.1.7, maka akan konvergen dan lim inf. Berikut ini, akan dibuktikan bahwa adalah barisan Cauchy dan oleh karena itu ada limit.

84 69 Melalui Teorema Paralelogram diketahui bahwa. Misalkan ambil,, di mana x diganti dengan dan diganti dengan. Dengan mensubstitusikan x dan y ke dalam Teorema Paralelogram, diperoleh 4. Karena, maka /. Dari definisi dikatakan bahwa inf, sehingga,. Dengan mengganti / diperoleh.3 Dengan menggunakan persamaan (.) dan (.3) diperoleh 4. Ambil k dan m yang cukup besar sehingga dan, dengan demikian dipenuhi bahwa

85 7 4 atau, yang mana menunjukkan bahwa adalah barisan Cauchy dengan limit. Karena S tertutup, maka. Hal ini menunjukkan bahwa ada sedemikian sehingga. Selanjutnya, akan dibuktikan ketunggalan. Andaikan tidak tunggal, artinya ada dan dengan. Melalui Hukum Parallelogram, misalkan diganti dengan dan diganti dengan, maka diperoleh 4 4 Karena Akibatnya,, maka menurut (.3),. 4

86 71 Jadi,, padahal. Jadi, ada kontradiksi. Terbukti. (ii) Akan dibuktikan bahwa jika,,, maka adalah titik minimum dari inf. Ambil x sebarang di S dan misalkan,, dipenuhi, sehingga, Karena dan, maka dan adalah titik minimum dari inf. (iii) Akan dibuktikan bahwa jika adalah titik minimum dari inf, maka,,. Misalkan,. Karena dengan,1, maka diperoleh

87 7 Bagi dengan dan misalkan, maka diperoleh,,. D. Teori Optimisasi Secara umum, bentuk baku untuk permasalahan optimisasi berkendala adalah sebagai berikut: minimumkan (.4) dengan kendala c i (x) =, i (.5) dimana: f adalah fungsi obyektif c i (x), i (.6) = {1,, m e } adalah himpunan indeks dari kendala persamaan = {m e + 1,, m} adalah himpunan indeks dari kendala pertidaksamaan dengan m e dan m adalah bilangan bulat nonnegatif dimana m e m.

88 73 Apabila fungsi obyektif dan kendala dari permasalahan (.4)-(.6) merupakan fungsi konveks, maka permasalahan tersebut merupakan permasalahan pemrograman konveks. Definisi.4.1 (Titik Layak atau Penyelesaian Layak) Titik dikatakan titik layak atau penyelesaian layak dari masalah optimisasi jika dan hanya jika memenuhi persamaan (.5) dan (.6). Definisi.4. (Titik Optimum atau Penyelesaian Optimum) Titik dikatakan titik optimum atau penyelesaian optimum dari masalah optimisasi jika dan hanya jika merupakan penyelesaian layak yang mengoptimumkan fungsi obyektif. Definisi.4.3 (Titik Stasioner atau Titik Kritis) Titik dikatakan titik stasioner atau titik kritis untuk f yang terdiferensial jika. Definisi.4.4 (Himpunan Layak atau Daerah Layak) Himpunan semua titik layak dikatakan himpunan layak atau daerah layak yang dinotasikan dengan X, dimana X didefinisikan sebagai, 1,,, 1,,

89 74 atau, ;, Definisi.4.5 (Peminimum Global dan Peminimum Global Tegas) Jika dan jika,, maka dikatakan peminimum global dari permasalahan (.4) (.6). Jika dan jika,, maka dikatakan peminimum global tegas. Definisi.4.6 (Peminimum Lokal dan Peminimum Lokal Tegas) Jika dan jika ada suatu kitar B(, dari sedemikian sehingga,,, maka dikatakan peminimum lokal dari permasalahan (.4) (.6), dimana, dan. Jika dan jika ada suatu kitar B(, dari sedemikian sehingga,,,, maka dikatakan peminimum lokal tegas. Definisi.4.7 (Himpunan Indeks) Misalkan,. Untuk sebarang, himpunan adalah himpunan indeks dari kendala-kendala aktif di x, yakni kendala yang memenuhi. Sedangkan, adalah himpunan indeks dari kendala aktif dari permasalahan (.4) (.6) di yang di-

90 75 definisikan dengan, dimana,. Definisi.4.8 (Arah Layak) Misalkan,. Jika ada sedemikian sehingga,,, maka d dikatakan arah layak (feasible direction). Himpunan dari semua arah layak dari X di adalah,,, Definisi.4.9 (Arah Layak Terlinearisasi) Misalkan dan. Jika,,,, maka d dikatakan arah layak terlinearisasi (linearized feasible direction). Himpunan dari semua arah layak terlinearisasi dari X di adalah,,, Definisi.4.1 (Arah Layak Terurut) Misalkan dan. Jika ada barisan 1,, dan, 1,, sedemikian sehingga, dan,, maka arah limit d dikatakan arah layak terurut (sequential feasible direction). Himpunan dari semua arah layak terurut dari X di adalah

91 76,,, Teorema.4.1 Misalkan S himpunan konveks tertutup tidak kosong dan. Maka ada vektor taknol p dan bilangan real sedemikan sehingga dan α,, yakni sup, yang mana mengatakan bahwa ada bidang hiper α sebagai pemisah tegas y dan S. Bukti: Karena S himpunan konveks tertutup tidak kosong dan, maka berdasarkan Teorema Proyeksi ada titik tunggal, sedemikian sehingga, Bentuk p =, maka Oleh karena itu,,. Bentuk α sup, sehingga diperoleh sup,.

92 77 Teorema.4. (Lemma Farkas) Misalkan A dan. Maka ada tepat satu dari dua sistem berikut yang mempunyai penyelesaian: (i), (.7) (ii), (.8) Bukti: (i) Misalkan sistem.8 mempunyai penyelesaian. Akan dibuktikan sistem.7 tidak mempunyai penyelesaian. Akan dibuktikan dengan kontradiksi. Andaikan sistem.7 mempunyai penyelesaian, yakni ada sedemikian sehingga saat dan. Jika sistem.7 dan.8 dipenuhi, maka. Karena dan, maka yang mana kontradiksi dengan asumsi bahwa. Karena pengandaian salah, maka haruslah sistem.7 tidak mempunyai penyelesaian. (ii) Misalkan sistem.8 tidak mempunyai penyelesaian. Akan dibuktikan sistem.7 mempunyai penyelesaian. Misalkan, adalah himpunan konveks tertutup tidak kosong dan. Berdasarkan Teorema.4.1, ada dan

93 78 α sedemikian sehingga dan α,. Karena, maka dan sehingga,. Jadi, diperoleh. Untuk sebarang y yang besar diperoleh, dengan yang merupakan penyelesaian dari sistem.7. Selanjutnya, diberikan Lemma.4.1 yang merupakan akibat langsung dari Teorema.4.. Lemma.4.1 Himpunan,,.9 adalah himpunan kosong jika dan hanya jika ada bilangan real λ, dan bilangan taknegatif λ, sedemikian sehingga λ λ.3 Bukti: Misalkan bahwa

94 79,,, λ Maka, persamaan (.9) dapat ditulis menjadi (i) (ii), dan, yang mana dan adalah persamaan (.7). Sedangkan, persamaan (.3) dapat ditulis menjadi λ λ λ λ yang mana adalah persamaan (.8). Melalui Lemma.4.1 ini: (1) Misalkan bahwa persamaan (.3) mempunyai penyelesaian. Akan dibuktikan bahwa persamaan (.9) tidak mempunyai penyelesaian.

95 8 () Misalkan bahwa persamaan (.3) tidak mempunyai penyelesaian. Akan dibuktikan bahwa persamaan (.9) mempunyai penyelesaian. Bukti untuk ke dua pernyataan di atas analog dengan bukti pada Teorema.4.. Berikut ini diberikan teorema tentang syarat optimalitas geometri. Teorema.4.3 (Syarat Optimalitas Geometri) Misalkan adalah peminimum lokal dari permasalahan (.4) (.6). Jika f(x) dan c i (x)(i = 1,,, m) terdiferensial di, maka,, (.31) yang mana berarti,, di mana dan adalah himpunan kosong. Bukti: Untuk sebarang,, ada 1,, dan 1,, sedemikian sehingga dengan dan. Karena dan adalah peminimum lokal, maka berdasarkan Teorema Taylor di untuk k yang cukup besar diperoleh

96 81 (.3) Karena dan, maka diperoleh (.33) Karena d sebarang, maka diperoleh persamaan (.31). Persamaan (.33) juga berarti d. Oleh karena itu,. Berikut ini diberikan definisi fungsi Lagrange. Definisi.4.11 (Fungsi Lagrange) Fungsi Lagrange dari permasalahan (.4) (.6) adalah, λ λ dimana λ,, λ disebut vektor pengali Lagrange. Teorema.4.4 (Teorema Karush Kuhn Tucker) Misalkan adalah peminimum lokal dari permasalahan (.4) (.6). Jika himpunan semua arah layak terlinearisasi sama dengan himpunan semua arah layak terurut, yakni,, (.34)

97 8 dipenuhi, maka ada pengali Lagrange sedemikian sehingga syarat berikut dipenuhi di (, :,.35, (.36), (.37), (.38), (.39) Bukti: Misalkan,. Karena adalah peminimum lokal, maka berdasarkan Teorema.4.3 diperoleh. Dari persamaan (.34) diperoleh,. Misalkan ditetapkan vektor dengan,, \ (.4) Maka dengan menggunakan persamaan (.3) untuk diperoleh dimana dan. Bentuk.41 yang mana persamaan (.41) tidak lain merupakan syarat (.35).

98 83 Karena layak, maka syarat (.36) (.37) dipenuhi. Berdasarkan persamaan (.3) diperoleh untuk, sedangkan dari persamaan (.4) diperoleh untuk \. Oleh karena itu, untuk, sehingga syarat (.38) dipenuhi. Untuk diperoleh, sedangkan untuk \ diperoleh. Oleh karena itu, untuk, sehingga syarat (.39) dipenuhi. Berikut ini diberikan definisi titik Karush Kuhn Tucker. Definisi.4.1 (Titik Karush Kuhn Tucker) Suatu titik dikatakan titik Karush Kuhn Tucker (KKT) jika memenuhi syarat KKT, yakni syarat (.35)-(.39) yang terdapat dalam Teorema Karush Kuhn Tucker. Teorema.4.5 Titik KKT dari pemrograman konveks merupakan titik peminimum. Bukti: Misalkan, adalah sebarang pasangan KKT dari pemrograman konveks.

99 84 Karena dan merupakan fungsi konveks, maka fungsi Lagrange,.4 adalah konveks untuk x. Dengan menggunakan Teorema.3.1 dan Teorema Karush Kuhn Tucker, maka diperoleh untuk sebarang x yang layak,,,,, (.43) Karena x adalah titik layak, yakni memenuhi persamaan (.5) dan,, maka, dan, (.44) Oleh karena itu, dengan menggunakan (.4) dan (.44) diperoleh, (.45)