Ilustrasi Permukaan ruang dalam bentuk fungsi eksplisit dan implisit.

Transkripsi

1 Koko Martono FMIPA - ITB 77 Fungsi dua peubah, permukaan ruang, dan kurva ketinggian Fungsi dua peubah mempunai aturan = f (,) dengan daerah asal dan daerah nilai D f = {(,) : f (,) } dan R f = { : = f (,), (,) D f }. Grafik fungsina dinamakan permukaan ruang. Fungsi dua peubah dalam bentuk implisit Dalam F(,, ) = termuat informasi adalah fungsi dari dan, ang dinamakan fungsi dua peubah dalam bentuk implisit. Fungsi = f (,) mempunai bentuk implisit F(,, ) = dengan F(,, ) = f (,) atau F(,, ) = f (,). Fungsi = f (,) adalah fungsi dua peubah dalam bentuk eksplisit. Ilustrasi Permukaan ruang dalam bentuk fungsi eksplisit dan implisit. = f (,) = + + = a a bola permukaan ruang a a a a D f bidang c elipsoida datar n = a,b,c a + b + c = d b a + + = ; abc,, > a b c

2 KDFSP 78 Ilustrasi Permukaan kuadratik dan permukaan dibangun suatu kurva. hiperbolida daun parabolida paraboloida satu eliptik hiperbolik hiperboloida daun dua - - =, a b c + - =, = a b c abc,, > abc,, >,, -, a, b> a b = + a b> a b = a, a> permukaan kerucut tabung tabung dibangun eliptik parabolik eliptik dari C kurva C + - =, + =, ab, > a b c a b abc,, > kurva ketinggian f (,) = k = f (,) D f f (,) = k Kurva ketinggian Untuk permukaan = f (,), himpunan titik di bidang ang memenuhi f (,) = k, k konstanta dinamakan kurva ketinggian. Kurva ketinggian untuk permukaan F(,,) = adalah himpunan titik di bidang ang memenuhi F(,,k) =, k konstanta. Kurva f (,) = k dan F(,,k) = mempunai ketinggian ang sama, nilai -na selalu konstan. Ilustrasi Kurva ketinggian dari permukaan = adalah = k, dengan k konstanta. Perhatikan grafikna ang berbentuk keluarga parabol. permukaan = kurva ketinggian 3 3 = k = k = k =

3 KDFSP 79 Contoh Gambarkan permukaan f (,) = dengan mencari jejakna dengan bidang koordinat dan gambarkan kurva ketinggianna. = Grafik kurva ketinggian k < = k > k > k < = Jejak permukaan = dengan bidang koordinat: dengan bidang o: sepasang garis = ±. dengan bidang o: parabol =. dengan bidang o: garis =. dengan bidang // o: hiperbol = k. Kurva ketinggian dari permukaan = adalah = k, k konstanta. Keluarga kurva ini berbentuk hiperbol memotong sumbu untuk k >, sepasang garis untuk k = dan hiperbol memotong sumbu untuk k <. Permukaan = adalah paraboloida hiperbolik berpusat di titik asal. Titik (,,) pada permukaanna dikenal sebagai titik pelana. Limit fungsi dua peubah Fungsi = f (,) ang mendekati L untuk (,) mendekati (, ) ditulis dengan lambang f (, ) = L. Artina jarak f (,) ke L dapat (,) Æ(, ) dibuat sebarang kecil dengan mengambil jarak (,) ke (, ) cukup kecil. Sebelumna kondisikan agar di sekitar (, ) terdapat tak hingga banakna titik dari daerah asal fungsi = f (,). Secara formal didefinisikan ε > δ > f (, ) = L (,) Æ(, ) < ( - ) + ( - ) < d fi f(, ) - L < e. Sifat dasar it satu peubah juga berlaku untuk it dua peubah. Kekontinuan fungsi dua peubah Fungsi = f (,) kontinu di (, ) jika f (, ) = f(, ). (,) Æ(, ) Fungsi = f (,) kontinu pada D f jika f kontinu di setiap titik pada D f.

4 KDFSP 8 Contoh Hitunglah - (,) Æ(,) + dan - (,) Æ(,) + Uraikan pembilang sehingga faktor linear ( + ) tercoret, diperoleh - ( -) - ( + )( -) = = (,) Æ(,) + (,) Æ(,) + (,) Æ(,) + = - ( - ) = - ( - ) =. (,) Æ(,) Dari ketaksamaan Karena +, + dan sifat nilai mutlak diperoleh - + ( + )( + ) = = +. = dan ( + ) (it pengapitna nol), maka (,) Æ(,) (,) Æ(,) - - =, akibatna (,) Æ(,) + (,) Æ(,) + Contoh Tunjukkan (,) Æ (,) + =. dan (,) Æ (,) +. tidak ada. Fungsi = f (,) tidak mempunai it di (, ) jika terdapat kurva C dan C ang melalui (, ) dengan f (,) π f(,). (,) Æ(, ) (,) Æ(, ) sepanjang C sepanjang C Ambil C : = (sb-) dan C : = ang melalui (,), itna adalah Sepanjang C : = = =. Sepanjang C : (,) Æ(,) (,) Æ(,) Æ (,) Æ(,) (,) Æ(,) Æ Æ = = = =. Karena kedua it ini tidak sama, maka (,) Æ (,) + tidak ada. Ambil C : = (sb-) dan C : = ang melalui (,), itna adalah Sepanjang C : Sepanjang C : = = =. (, ) Æ(,) + (, ) Æ(,) + Æ (,) Æ(,) + (, ) Æ(,) + Æ3 Æ (,) Æ (,) + Karena kedua it ini tidak sama, maka 3 3 = = = =. tidak ada.

5 KDFSP 8 Contoh Tunjukkan fungsi Ï Ô f (,) = Ì ÔÓ +,(, ) π (,) kontinu pada,(, ) = (,) Fungsi f kontinu pada -{(,)} karena merupakan hasil bagi dari dua fungsi ang kontinu dengan penebut taknol pada daerah tersebut. Agar f kontinu pada, tinggal menunjukkan fungsi f kontinu di (,). Gunakan prinsip apit untuk menghitung it fungsina di (,). Karena maka + + = = (,) Æ(,) (,) Æ(,) = dan + = (it pengapitna nol), =, akibatna (,) Æ (,) + Jadi f kontinu pada = = f (,). (,) Æ (,) + -{(,)} dan di (,), sehingga f kontinu pada.. tetap C = f (,) A tetap C P { tetap} C P { tetap} A tetap laju f thd C C (,) A perm P C (,) (,) (, +h) (+h, ) tetap laju f thd Turunan parsial Turunan parsial dari = f (,) terhadap adalah f f( + h, ) - f (, ) =. ( ) f D f h Æ h = = = Arti geometri: gradien garis singgung pada C di A. Arti fisis: laju perubahan terhadap (dalam arah i) turunan f terhadap dengan tetap. Turunan parsial dari = f (,) terhadap adalah f f(, + h) - f (, ) =. ( ) f D f h Æ h = = = Arti geometri: gradien garis singgung pada C di A. Arti fisis: laju perubahan terhadap (dalam arah j) turunan f terhadap dengan tetap.

6 KDFSP 8 Vektor gradien Vektor gradien dari fungsi = f (,), ditulis f, didefinisikan sebagai f = i+ j =,. Vektor ini berperan sebagai pengganti turunan untuk fungsi peubah banak. Turunan parsial kedua Turunan parsial kedua dari fungsi = f (,) didefinisikan sebagai turunan parsial dari = f (,) dan = f (,). f f ( ) ( ) f = f = = ( ) ( ) f f ( ) ( ) f = f = = ( ) ( ) f f Teorema Jika f f = = = = = = f dan f kontinu di (, ), maka f(, ) = f(, ). Ilustrasi Jika f (,) = +, maka = + dan = +. Vektor gradien dari f adalah f (,) = ( + ) i + ( + ) j. Turunan parsial kedua dari f adalah fungsi dua peubah f =, f = +, f = +, dan f =. Perluasan konsep turunan parsial ke fungsi tiga peubah Turunan parsial dari fungsi tiga peubah u = F (,,) didefinisikan dalam bentuk it seperti turunan parsial dua peubah. Untuk keperluan perhitungan, F F F = turunan u = F (,,) terhadap dengan menganggap dan tetap. = turunan u = F (,,) terhadap dengan menganggap dan tetap. = turunan u = F (,,) terhadap dengan menganggap dan tetap. Vektor gradian dari fungsi u = F (,,), ditulis F, didefinisikan sebagai ( ),, F F F F F F F = i+ j+ k =. Ilustrasi Jika F (,,) = + +, maka turunan parsialna adalah F = +, F = +, dan F = +. Vektor gradien dari F adalah F (,,) = ( + ) i + ( + ) j + ( + ) k.

7 KDFSP 83 Fenomena fungsi satu peubah Fungsi = f () terdiferensialkan di titik f ( + h) -f( ) hæ h f ( + h) -f( )- hf ( ) h jika f ( ) hæ ( f ( ) + h) -f ( ) = f hæ h f ( + h) -f( )- hf ( ) - ( ) = =. Misalkan e =, maka kondisi = f( + h) - f( ) = f ( ) h+eh dengan ε untuk h setara dengan keterdiferensialan fungsi = f () di. Jika + h =, maka f () f ( ) + f ( )h (hampiran linear dari f di ) Pertambahan untuk fungsi dua peubah Untuk fungsi = f (,) di titik (, ), perubahan = f( + h, + k) -f(, ) memenuhi kondisi = f( + h, + k) - f(, ) = f (, ) h+ f (, ) k+ e h+ e k dengan e, eæ untuk (h, k) (,). Jika + h = dan + k =, maka f (,) f (, ) + f (, )h + f (, )k. (hampiran linear dari = f (,) di (, )) Diferensial total fungsi dua peubah Untuk fungsi = f (,), jika (, ) bergerak ke ( + d, + d), maka diferensial dari f didefinisikan sebagai d = df = f f f (, ) d + f (, ) d = d + d di (, ). Keterdiferensialan fungsi dua peubah Fungsi = f (,) terdiferensialkan di (, ) jika turunan parsial f (, ) dan f (, ) memenuhi kondisi = f( + h, + k) - f(, ) = f (, ) h+ f (, ) k+ e h+ e k dengan e, eæ untuk (h, k) (,). Dalam bentuk vektor, jika =,, h = h,k, ε = ε,ε, dan f ( ) = f ( ), f ( ), maka kondisi keterdiferensialan di (, ) dapat ditulis = f( + h) - f( ) = f( ) ih+ e ( h) ih dengan ε(h) untuk h. Teorema Untuk fungsi = f (,), jika f terdiferensialkan di (, ), maka f kontinu di (, ). Teorema Untuk fungsi = f (,), jika turunan parsial f (,) dan f (,) kontinu pada suatu daerah terbuka D, maka f terdiferensialkan pada D. h

8 KDFSP 8 Contoh Tunjukkan fungsi f (,) = e + e terdiferensialkan pada tentukan vektor gradien dari fungsi f. dan Karena turunan parsial f (,) = e + e dan f (,) = e + e kontinu pada, maka f terdiferensialkan pada. Vektor gradien dari fungsi f adalah f (,) = ( e + e) i+ ( e + e) j. Contoh Tentukan suatu vektor singgung pada kurva C: = di A(,). Tulislah aturan kurva C dalam bentuk implisit F(,) =, F(,) =. Tunjukkan vektor singgung di A pada C tegak lurus pada vektor F A. C A = r () F Dalam bentuk parameter, C: r (t) = t i + t j, t. Karena r () = A, r (t) = i + t j, dan r () = i + j, maka vektor singgung pada kurva C di titik A adalah r () = i + j =,. Vektor gradien dari F di (,) adalah F = i j, sehingga F A = F (,) = i j =,. Karena r () F A =,, =, maka r () F A. Contoh Natakan volum tabung lingkaran tegak sebagai fungsi dua peubah dari diameter dan tinggi tabung. Jika galat pengukuran diameterna paling besar % dan galat pengukuran tinggina paling besar %, tentukan hampiran galat terbesar dari volum tabung dengan diferensial total. Jika diameter tabung adalah dan tinggina t, maka volum tabung adalah Diferensial total dari V adalah Akibatna pt p d p p ( ) p V = p t = t. V dv d V t t t V t p dv = d + = t d + p. = + = +. Dari data pada soal ini d, = % dan t, = %, sehingga dv d V = + t, +, =,5 = 5%. Jadi hampiran galat terbesar dari volum tabung adalah 5%.

9 KDFSP 85 Fenomena: Aturan rantai fungsi satu peubah d d d = () = (t) t d Jika = (), = (t) terdiferensialkan dan komposisi = ((t)) terdefinisi, maka terdiferensialkan terhadap t, dan d d d = d Aturan rantai fungsi dua peubah terhadap satu peubah Dalam bentuk komponen = f (,), = (t), = (t) = (t) = f ((t),(t)) d d d () t = = + d d Dalam bentuk vektor f(, ) = i+ j =, r = r(t) = (t),(t) = (t) i + (t) j d d d d () = =, i d, d r () t = i+ j =, t d () t = = f( r() t) i r () t Aturan rantai fungsi tiga peubah terhadap satu peubah Jika u = f (,,), = (t), = (t), = (t), maka u = u(t) = f ((t),(t),(t)) du u d u d u d dan u () t = = + + = f( r() t) i r () t, dengan r = r(t) = t t d d d u u u t (), t (), t () Ò= t () i+ t () j+ t () k, r () t =,,, f(,, ) =,, Contoh Jika f (,) = +, = sin t dan = cos t, tentukan f (t). Tulislah r(t) = sin t i + cos t j, maka r (t) = cos t i sin t j. Vektor gradien dari f adalah f (,) = +,, sehingga f (t) = sin t + cos t, sin t. Jadi df f () t = = f( r() t) r () t = sint+ cos t,sintò cos t, -sintò= sint+ cost i i.

10 KDFSP 86 Contoh Jika f (,,) = ( + ), = sin t, = cos t, dan = sin t, tentukan f (t). Tulislah r(t) = sin t i + cos t j + sin t k, maka r (t) = cos t i sin t j + cos t k. Karena f (,,) =,, +, maka f (t) = sin t, sin t, sin t + cos t. Dengan aturan rantai diperoleh f (t) = f (r(t)) r (t) = sin t, sin t, sin t + cos t cos t, sin t, cos t = sin t cos t sin t + sin t cos t + cos t = cos t + sin t. Cara lain Tulislah f sebagai fungsi dari t dan gunakan turunan satu peubah. Contoh Sebuah tabung lingkaran tegak berjari-jari r = cm dan tinggi h = 5 cm dipanaskan. Jika r dan h bertambah panjang dengan laju, cm/jam dan,3 cm/jam, tentukan laju pertambahan luas permukaanna. Karena luas permukaan tabung adalah S = S(r,h) = π r + π rh, maka laju pertambahan S terhadap t adalah ds S dr S dh dr dh r h S () t = = + = (pr + ph) + pr Gantikan r = cm, h = 5 cm, dr dh =, cm/jam dan =,3 cm/jam, diperoleh S (t) = (π + π)(,) + (π)(,3) = 3π 6,8 cm /jam. Aturan rantai fungsi dua peubah terhadap dua peubah u v u v u v u v Jika = f (,), = (u,v), = (u,v), maka = f ( uv (,), (,) uv) ( fungsi dari u dan v) dengan = + u u u = + v v v Contoh Jika = f (,), = u + v, dan = u v, tunjukkan u v u v u u u Karena =, =, =, =-, dan = f( (,), uv (,) uv), maka = + = + dan u v, ( ) ( ) Kalikan, maka diperoleh = - atau u v= -. f f f f = + = - v v v u v= -. f f f f

11 KDFSP 87 Turunan berarah Turunan parsial fungsi dua peubah = f (,) = f (), = (,) D f terhadap peubah dan dapat ditulis dalam bentuk (, ) (, ) ( i) ( ) f f + h - f f + h - f hæ h hæ h f (, ) = = = f f (, + h) - f (,) f( + hj) - f() h h f (, ) = = = hæ hæ Gagasan turunan berarah adalah mengganti vektor satuan i dan j di sini dengan vektor satuan sebarang u. C k i bdg // (u,k) bidang //(u,k) permukaan P C A = f (,) C P {bdg // (u,k)} A u +hu j u u (, ) j u i +hu Definisi turunan berarah Turunan berarah dari fungsi = f (,) = f () di = (,) D f dalam arah vektor satuan u = u,v, ditulis, u didefinisikan sebagai f f( + hu) - f( ) () = h u. hæ Dalam bentuk komponen vektorna, f f+ hu+ hv- f (,) = u h hæ (, ) (, ) Arti geometrina adalah gradien garis singgung pada kurva C: P {bdg //(u,k)} di titik A(,,). Arti fisisna adalah laju perubahan nilai = f (,) dalam arah vektor satuan u. Cara menghitung turunan Berarah Misalkan g(t) = f ( + tu, + tv), maka g(h) = f ( + hu, + hv) dan g() = f (,), sehingga g() h -g() u h (,) = = g () hæ Misalkan r = r(t) = + tu dan s = s(t) = + tv, maka g(t) = f (r(t),s(t)), dengan dr ds dr ds = u dan = v; akibatna, = uv, =u. Asumsikan fungsi g(t) = f (r(t),s(t)) terdiferensialkan terhadap t, maka diperoleh dr ds dr ds i. r s r s u g () t = + =,, = f(, r s) iu Karena untuk t = berlaku (r,s) = (,), maka (,) = g() = f(,) i u. i i i j

12 KDFSP 88 Teorema Turunan berarah dari fungsi terdiferensialkan = f (,) = f () di = (,) D f dalam arah vektor satuan u adalah (,) = f(,) i u. u Karena f = i u = f u cos ( f,u) = f cos ( f,u), maka maks u tercapai bila f ( A) u = dan min u tercapai bila - f ( A) u =. f ( A) u f ( A) Contoh Tentukan turunan berarah dari fungsi = f (,) = di titik (,) dalam arah vektor v = 3 i + j. = f (,) Contoh Untuk fungsi v u (,) Di sini f (,) =,, sehingga vektor gradien di (,) adalah f (,) =,. Vektor satuan searah v adalah u = 3 5, 5. Turunan berarah dari = f (,) di (,) dalam arah vektor satuan u adalah f = i u =, 3 5, 5 = 5. u = f(,) = + di titik A(,), tentukan vektor satuan u sehingga di A nilai bertambah paling besar, nilai berkurang paling besar, dan nilai tetap (tidak berubah). = + f (,) f (,) f (,,) f u Laju perubahan dalam arah vektor satuan u adalah = = f iu = f cos ( f, u), dengan f (,) =, dan f (A) =,. Nilai bertambah paling besar jika maksimum, tercapai bila u searah dengan f (A), f( A) aitu u = =,. f( A) Nilai berkurang paling besar jika minimum, tercapai bila u berlawanan arah dengan f (A), aitu u = = -, - - f( A). f( A) Nilai tetap jika =, tercapai bila u tegak lurus pada f (A), aitu u = -, atau u =, -. v

13 KDFSP 89 Vektor gradien tegak lurus vektor kecepatan ke arah perubahan terbesar = f r (t) (,) Fenomena = f (,) = f (,) =, = -, - f (,) =, Kurva perpotongan = f (,) dengan o adalah + =. r = r(t) r (π /) =, (,) f (,) =, Jika C: r = r(t) kurva ketinggian pada = f (,) = ang melalui (,,), maka =, atau + =. Fungsi parameterna adalah C: () t = cost + sint r p = i+ j =,Ò. r i j dengan ( ) Dari r () t =- sinti+ costj diperoleh vektor singgung di (,) pada C p =- + = -, Ò. r p f (,) = -, Ò -, - Ò=, i i adalah r ( ) i j Karena ( ) maka f (,) ^ ( p ) r dan arah f (,) menuju titik (,); dalam arah ini pertambahan nilai terbesar. Perluasan fenomena untuk permukaan terdiferensialkan F(,,) = f (,) = C (,,) = f (,) bidang singgung f r = r(t) P A F(P) permukaan S r (t) D f Kurva ketinggian dari permukaan S: = f (,) ang melalui titik A D f adalah f ((t),(t)) = k, k konstanta, bentuk parameterna r = r(t). d ftt ((),() = diperoleh f ( A) i r () t =, Dari ( ) sehingga f ( A) ^ r (). t Karena maks f tercapai jika u searah f (A), u maka f (A) mengarah ke pertambahan ang terbesar. Bidang singgung pada permukaan S: F(,,) = Jika kurva ruang C: r() t = () t i+ () t j+ () t kterletak pada S: F(,,) = dan melalui P, maka d Ft ( (), t (), t ()) =. Dari ( Ft ((), t (),() t ) = diperoleh FP ( ) i r () t=, sehingga FP ( ) ^ r (). t Karena berlaku untuk sebarang C ang melalui P, maka f (P) adalah suatu vektor normal dari bidang singgungna.

14 KDFSP 9 Persamaan bidang singgung pada S: F(,,) = Jika P(,, ) ada- F(P) lah titik singgung dan Q(,,) terletak pada bidang singgung, maka vektor PQ =,, tegak lurus vektor normal F(P). Jika F(P) = n, n, n 3, maka dari P PQ i F( P) = diperoleh persamaan bidang singgung Q,, n, n, n 3 =. bidang singgung P(,, ) Q(,,) Contoh Tentukan persamaan bidang singgung pada permukaan (a) = di titik P(,,) (b) + + = 9 di titik B(,6,3). = F A(,,) 7 bidang singgung P bidang singgung Q F 7 Tulislah S: F(,,) = + + =. Titik A terletak pada S karena + + = (benar). Vektor gradien dari F di titik P adalah F(,,) =,,, F(,,) =,,. Karena persamaan bidang singgung memenuhi,,,, =. Jadi bidang singgunga + + = 6. Tulislah S: F(,,) = =. Titik B terletak pada S karena = (benar). Vektor gradien dari F di titik Q adalah F(,,) =,,, F(,6,3) =,,6. Karena persamaan bidang singgung memenuhi, 6, 3,, 6 =, maka bidang singgungna = 9. Persamaan bidang singgung pada permukaan S: = f (,) Untuk permukaan ini, F(,,) = f (,) = atau F(,,) = f (,) =, sehingga F(P) = f, f, atau F(P) = f, f,. Jika P(,, ) titik singgungna, maka bidang singgungna adalah,, f, f, =, atau dapat dituliskan dalam bentuk = f (P)( ) + f (P)( ). Ilustrasi Untuk permukaan S: = f (,) = dan P(,,) diperoleh f (P) = dan f (P) =. Jadi bidang singgung pada S di P adalah = ( ) ( ), atau + + = 6.

15 KDFSP 9 Ekstrim fungsi fua peubah Fungsi = f (,) mencapai maksimum di (, ) jika f (, ) f (,) dan minimum di (, ) jika f (, ) f (,) untuk (,) di sekitar (, ). maks bidang singgung sejajar o = f (,) = f (,) = + bidang min bidang singgung singgung maks sejajar o ( D, ) f (, ) D f = min bidang singgung Ilustrasi Fungsi f (,) = mencapai maksimum di (,) karena f (,) = = f (,) (,). Fungsi g(,) = + mencapai minimum di (,) karena g(,) = + = g(,) (,). Titik stasioner dan titik pelana Fungsi = f (,) mencapai titik stasioner di titik-dalam (, ) jika f (, ) = (bidang singgung sejajar o). Di sini f dapat mencapai ekstrim di (, ) atau mungkin juga tidak. Jika tidak, fungsi f mencapai titik pelana di (, ). Ilustrasi Untuk f (,) = + diperoleh f (,) =,, sehingga f (,) =, =. Fungsi f mencapai titik stasioner di (,) dan jenis titik stasionerna adalah ekstrim minimum. Ilustrasi Untuk f (,) = diperoleh f (,) =, dan f (,) =, =. Tetapi fungsi f tidak mencapai ekstrim di (,) karena f (,) di ( ) dan f (,) di (, ). Di sini titik (,) ini merupakan titik pelana dari fungsi f.

16 KDFSP 9 Uji turunan parsial kedua untuk titik ekstrim dan titik pelana Misalkan fungsi = f (,) mempunai turunan parsial kedua ang kontinu di sekitar titik A(, ), f (A) =, dan D (,) = ( f f - f )(,). Jika D(A) > dan ( ) Jika D(A) > dan ( ) f A <, maka fungsi f mencapai maksimum di A. f A >, maka fungsi f mencapai minimum di A. Jika D(A) <, maka fungsi f mencapai titik pelana di A. Jika D(A) =, maka tidak ada kesimpulan tentang titik A. Catatan Untuk kasus D(A) > diperoleh f f - f ( A) >. Akibatna ( ) f ( A) f ( A) > f ( A), sehingga f ( A ) dan f ( A ) bertanda sama. Dalam bentuk determinan, D(,) = f f f f (,). Contoh Tentukan semua titik ekstrim dan jenisna dari fungsi = f (,) = Tentukan titik stasionerna Sarat titik stasioner f (,) = memberikan f (,) = 3( 3) i + 3( 3) j = = i + j ang menghasilkan persamaan () 3 = dan () 3 = Dari (), =. Gantikan ke (), diperoleh - 3 =. Akibatna 3 7 =, atau ( 3)( ) =. Karena bentuk kuadratna definit positif, maka = atau = 3, dengan nilai ang bersesuaian adalah = atau = 3. Jadi titik stasioner dari fungsi f adalah O(,) dan A(3,3). Tentukan jenis titik stasionerna Dari diperoleh f = 6, f = 6, dan 9 f = 3 9 dan f = 9, sehingga D = f = 3 9 Karena D(O) = 8 <, maka fungsi f mencapai titik pelana di O(,). Karena D(A) = = 3 > dan f (A) = 8, maka fungsi f mencapai minimum di A(3,3) dengan nilai minimum f (3,3) = 7.

17 KDFSP 93 Contoh Sebuah kotak tanpa tutup akan dibuat sehingga volumna liter. Tentukan ukuran kotak agar luas bahan pembuatna paling hemat. Misalkan ukuran kotak adalah dm. Karena volum kotak = dm 3, maka =, sehingga = / dengan > dan >. Luas bahan pembuat kotak tanpa tutup adalah L = L(,,) = + +. Natakan L sebagai fungsi dua peubah dengan substitusi = /, maka L = L(,) = + + = Tentukan ekstrim L = L(,) dan tunjukkan jenisna minimum mutlak. Tentukan titik stasionerna, sarat L(,) = memberikan ( 8) ( 8) 8 L(,) = - i+ - j = i + j. 8 Dari sini diperoleh () - = dan () - =. Dari () diperoleh = 8/ kemudian gantikan ke () dan selesaikan. - 8 = 8 = ( )( + + ) =. (8/ ) Karena bentuk kuadrat terakhir definit positif dan >, maka =, dengan nilai dan ang terkait adalah = 8/ = dan = / =. Jadi titik stasioner dari fungsi L adalah (, ) = (,). Tentukan jenis ekstrimna, turunan parsial kedua dari L = L(,) adalah 6 6 L = 3, 3 L =, dan L =. Akibatna ( ) (,) 6 8 D(,) = ( L L L ) Karena D(,) = = 3 dan - = - = -. L = = >, maka jenis titik stasionerna adalah minimum. Karena ekstrimna tunggal, maka jenisna minimum mutlak. Jadi ukuran kotak tanpa tutup dengan volum liter ang luas bahan pembuatna paling hemat adalah dm dan luasna L(,) = dm.

18 KDFSP 9 Ekstrim mutlak pada suatu daerah beserta batasna Cara menentukan ekstrim mutlak dari = f (,), (,) D {batas D}: tentukan semua titik stasioner di titik-dalam daerah D, natakan batasna sebagai r(t) = (t) i + (t) j dan gantikan ke aturan fungsi f, diperoleh (t) = f ((t),(t)) kemudian tentukan titik stasioner dari = (t), bandingkan nilai fungsi di semua titik stasioner ang diperoleh (dari titik-dalam dan dari fungsi satu peubah), ang terbesar adalah ekstrim maksimum dan ang terkecil adalah ekstrim minimum. Contoh Tentukan semua titik ekstrim mutlak dan jenisna dari fungsi = f (,) = pada cakram lingkaran D = {(, + }. Dari f (,) = diperoleh (, ) = (,), sehingga (,) = (,). Akibatna titik stasioner di titik-dalam cakram lingkaran D adalah (,). Carilah fungsi parameter untuk batas D (lingkaran + = ), diperoleh r(t) = cos t i + sin t j, t π. Gantikan = cos t dan = sin t ke = f (,) =, diperoleh (t) = f (t) = cos t sin t = cos t. Titik stasioner dari fungsina tercapai bila (t) = cos t =, ang menghasilkan t =, t = p, t = π, t = 3 p, dan t = π; dengan nilai fungsi ( ) ( ) r() = (,), r p = (,), r(π) = (,), r p = (, ), dan r(π) = (,). Bandingkan semua nilai = f (,) = di setiap titik stasionerna. titik stasioner (,) (,) (,) (,) (, ) nilai = jenis ekstrim --- maks min maks min Kesimpulan Fungsi = f (,) = pada cakram lingkaran D = {(, + } mencapai maksimum di titik (±,) dengan f (±,) = dan minimum di titik (,±) dengan f (,±) =. 3

19 KDFSP 95 Metode Pengali Lagrange untuk Ekstrim Fungsi Kasus Menentukan ekstrim dari = f (,) dengan kendala g(,) =. Asumsi: Vektor f dan g kontinu pada daerah D ang memuat kurva C: g(,) = dan g di titik stasionerna. Solusi Kasus Gagasanna adalah membuat fungsi f menjadi satu peubah dengan pemisalan C: r = r(t) = (t) i + (t) j sehingga (t) = f ((t),(t)). Sarat ekstrim di titik stasionerna menghasilkan (t) = f (r(t)) r (t) = f (r(t)) r (t) g((t),(t)) = g(r(t)) = g (r(t)) r (t) = g(r(t)) r (t) Karena f (r(t)) dan r (t) adalah vektor bidang, maka dari sini diperoleh f (r(t)) // g(r(t)). Akibatna di titik stasionerna berlaku λ sehingga f (,) = λ g (,). Kesimpulan Titik stasioner = f (,) dengan kendala g(,) = diperoleh dari f = λ g dan g(,) =. Contoh Tentukan ekstrim fungsi f (,) = dengan kendala + = 8. Tulislah g(,) = + 8 =. Akan ditentukan ekstrim fungsi = f (,) dengan kendala g(,) = dengan mencari titik stasionerna, ang diperoleh dari f = λ g. Kita mempunai f = λ g (,) = λ (,) = λ dan = λ Einasi λ, diperoleh λ = =, ang menghasilkan =. Gantikan = ke + = 8, diperoleh = 8, sehingga = ± dengan = ±. Jadi titik stasionerna adalah (,), (, ), (,), dan (, ), dengan nilai fungsi f (,) =, f (, ) =, f (,) =, dan f (, ) =. Kesimpulan Fungsi f (,) = dengan kendala + = 8 mencapai maksimum sebesar ang terjadi di (,) = (,) dan (,) = (, ), minimum sebesar ang terjadi di (,) = (, ) dan (,) = (,).

20 KDFSP 96 Kasus Menentukan ekstrim dari u = f (,,) dengan kendala g(,,) =. Asumsi: Vektor f dan g kontinu pada daerah D ang memuat permukaan S: g(,,) = dan g di titik stasionerna. Solusi Kasus Seperti kasus, misalkan C: r = r(t) = (t) i + (t) j + (t) k pada permukaan S sehingga diperoleh (t) = f ((t),(t),(t)). Dari (t) = dan g(,,) = diperoleh f (r(t)) r (t) dan g(r(t)) r (t). Karena berlaku untuk sebarang C pada S, maka vektor ruang f (r(t)) dan g(r(t)) tegak lurus bidang singgung di titik stasioner P. Jadi f (r(t)) // g(r(t)), sehingga di P berlaku λ sehingga f (,,) = λ g (,,). Kesimpulan Titik stasionerna diperoleh dari f = λ g dan g(,,) =. Contoh Gunakan metode Lagrange untuk menentukan minimum mutlak L(,,) = + + dengan kendala =,,, dan positif. Tulislah g(,,) = =. Kondisi titik stasioner L = λ g memberikan ( +, +, + ) = λ (,, ), sehingga diperoleh Ï + = l ( ) Ô Ì + = l ( ) Ô Ó+ = l ( 3) Kalikan () dengan dan () dengan kemudian kurangkan, diperoleh ( ) =. Karena >, maka =. Kalikan () dengan dan (3) dengan kemudian kurangkan, diperoleh ( ) =. Karena >, maka =. Jadi = =, gantikan hasil ini pada =, diperoleh =, sehingga 3 =. Karena >, maka =, =, dan =. Kesimpulan Titik stasioner dari L tercapai di (,,) dengan L(,,) =. Dari = /, nilai dan ang cukup kecil akan menghasilkan ang cukup besar sehingga L. Akibatna fungsi L mencapai minimum di titik stasionerna. Karena ekstrimna tunggal, maka fungsi L mencapai minimum mutlak di (,,) dengan L(,,) =.

21 SOAL LATIHAN MA KALKULUS A Pokok Bahasan: Kalkulus Diferensial Fungsi Dua Peubah 97 Soal uji konsep dengan benar salah, berikan argumentasi atas jawaban Anda. No. Pernataan Jawab. Jika fungsi = f (,) mempunai turunan parsial di (,), maka f kontinu di (,). B S. Jika f (,) ada dan g() = f (,), maka fungsi g kontinu di. B S 3. Untuk fungsi = f (,), jika f (, ) = L, maka f (, ) = L. B S (,) Æ(,). Jika fungsi = f (,) kontinu di (, ), maka f mempunai turunan parsial di (, ). B S 5. Jika fungsi = f (,) mempunai turunan parsial di (, ), maka f kontinu di (, ). B S 6. Jika f kontinu di A(, ) dan f (A) =, maka bidang singgung di A // bidang o. B S 7. Jika = f (,) dan A(, ), maka vektor f, f, A tegak lurus bidang singgung di A. B S 8. Jika (,) daerah D berlaku f (,) = g (,), maka f dan g fungsi ang identik. B S Æ 9. Untuk fungsi = f (,), jika u = dan (,) ada, maka u (,) =- (,). B S - ( u) u. Jika fungsi = f (,) mencapai minimum di (, ), maka f (, ) =. B S Soal Fungsi, Limit, Kekontinuan, Turunan Parsial, dan Keterdiferensialan. Gambarkan permukaan ruang = - dan. Gambarkan kurva ketinggian dari permukaan = + dalam satu sistem koordinat. = untuk k =,,,, Gambarkan kurva ketinggian dari permukaan = untuk k =,,. +. Jika suhu di (,) Œ adalah T (,) = +, gambarkan kurva isotermal untuk T =,, Hitunglah (a) (b) (c) (,) Æ(,) - (,) Æ (,) + (d) (,) Æ (,) + (,) Æ (,) Tunjukkan (a) (b) (c) (,) Æ (,) + (,) Æ (,) + (d) (,) Æ(,) + tidak ada (,) Æ (,) Tentukan turunan parsial dan vektor gradien dari fungsi (a) f (,) = e sin (b) f (,) = Jika f (,) =, tentukan vektor gradien dari fungsi f di titik (3, ). 9. Jika f (,) = 3e cos, hitunglah f (, ) dan f (, ) kemudian periksa apakah hasilna sama.. Tentukan kemiringan garis singgung pada kurva { 3 = + - dan = } di titik 3 ( ),,.. Volum tabung lingkaran tegak ang berjari-jari r dan tinggi h adalah V = π r h. Jika h tetap sebesar cm, tentukan laju perubahan V terhadap r untuk r = 6 cm.. Sesuai hukum gas ideal, tekanan P, suhu T, dan volum V dari suatu gas memenuhi PV = kt, dengan k konstanta. Jika volumna dibuat tetap sebesar cc, tentukan laju perubahan tekanan terhadap suhu untuk suhu 3 K. 3. Tentukan vektor gradien dari F(,,) = ln () di titik (,, ).

22 Soal Aturan Rantai, Turunan Berarah, Diferensial, dan Ekstrim Fungsi. 3 3 = (,) = ; =, =, hitunglah dw. Jika w f t t sebagai fungsi dari t. 5. Jika w= f(,) = - ; = cos, t = sin, t hitunglah dw sebagai fungsi dari t Jika w= f(,,) = sin, = t, = t, = t, hitunglah dw sebagai fungsi dari t. 7. Jika w= f(,) = ; = st, = s- t, hitunglah w s dan w t sebagai fungsi dari s dan t. 8. Jika = () dalam sin + cos =, hitunglah d dengan turunan implisit dan aturan rantai. d Jika = (,) dalam F (,,) = 3+ - =, hitunglah dan. 3. Jika w= f( r-s, s-t, t- r), buktikan w+ w+ w =. r s t 3. Tentukan turunan berarah dari f (,) = + - di titik (3, ) dalam arah vektor i j. 3. Tentukan turunan berarah dari f (, ) = esin di titik(, p ) dalam arah vektor i + 3j Tentukan turunan berarah dari f (,,) = - di titik (,,3) dalam arah vektor i j + k. 3. Tentukan turunan berarah dari f (,,) = + di titik (,,) dalam arah menuju titik (5, 3,3). 35. Bola padat B berpusat di titik asal dan suhu di (,,) B adalaht (,,) = Tentukan (a) titik terpanas di B dan (b) vektor arah di mana terjadi kenaikan suhu terbesar di titik (,,). 36. Tentukan persamaan bidang singgung pada permukaan + + = 9 di titik (,,). 37. Tentukan persamaan bidang singgung pada permukaan cos π + e + = di titik (,,). 38. Untuk fungsi = f (,) = ln ( ), gunakan diferensial untuk menentukan hampiran perubahan jika (,) bergerak dari titik P(,) ke Q(,98;3,96). 39. Jika pengukuran jari-jari dan tinggi kerucut lingkaran tegak mempunai galat paling besar % dan 3%, tentukan galat paling besar dari perhitungan volumna.. Tentukan semua titik stasioner dan jenisna dari fungsi f (,) = Tentukan semua titik ekstrim dan jenisna dari fungsi f (,) = + pada cakram +.. Tentukan ukuran kotak dengan volum terbesar ang dapat termuat dalam bola + + = Tentukan jarak terdekat dari titik (,,) ke permukaan =.. Tentukan vektor di ruang ang panjangna 9 satuan dan jumlah komponenna maksimum. Kunci Jawaban. S. B 3. B. S 5. S 6. B 7. B 8. S 9. B. S 5. (a) (b) (c) (d) 7.(a) f (,) = e cos,e sin (b) f (,) =,- 8. f (3,- ) =, f (,) =- 6e sin = f (,). 3. π. k/ 3. F( -,,) = -5, 5, - 5. dw = t dw 6 7 = cos t+ sin t- sin t(cost+ sin t) 6. dw = 7t cost 3 7. w 3 s = 3s t - st, w = t s t - 3s t 8. d sin - sin = d cos+ cos = 3 3, - = ( ) k= T=/5 T= T=/5 k= k = T=/ T=/ k= T=/ T=/ T=/5 T= T=/ (a) (,,) (b) i + j k = = 38., %. ttk-pelana (,), ttk-min ( ±,). maks di (±,), min di (,±) ,,Ò = + =- 98

23