Melukis Grafik Irisan Kerucut Tanpa Transformasi Sumbu-sumbu Koordinat

Transkripsi

1 JURNAL PENDIDIKAN MATEMATIKA VOLUME NOMOR JANUARI 0 Melukis Grafik Irisan Kerucut Tanpa Transformasi Sumbu-sumbu Koordinat La Arapu (Lektor pada Program Pendidikan Matematika FKIP Universitas Haluoleo) Abstrak: Telah dibahas lukisan irisan kerucut tanpa transformasi sumbu-sumbu koordinat. Hasilna menunjukkan bahwa proses pelukisan tidak berbeda jauh dengan proses pelukisan dengan menggunakan transformasi sumbu-sumbu koordinat. Tetapi untuk mengetahui unsurunsur irisan kerucut (fokus, pusat(jika ada), sumbu, dan puncak) pada sistem koordinat awal lebih cepat dibandingkan dengan melukis irisan kerucut dengan transformasi sumbu-sumbu koordinat. Sebab dalam lukisan irisan kerucut dengan transformasi sumbu-sumbu koordinat, untuk menentukan unsur-unsur irisan kerucut pada sistem koordinat semula harus dilakukan transformasi balikan lagi. Kata kunci: irisan kerucut, transformasi sumbu koordinat. PENDAHULUAN entuk umum irisan kerucut (IK) adalah Ax + x + C + Dx + E + F = 0 (). Untuk = 0 dari () tidak sulit dilukis grafikna, sebab sumbu-sumbu IK sejajar atau berimpit dengan sumbu-sumbu koordi-nat. Tetapi untuk 0, melukis grafik () tidak mudah, sebab sumbu-sumbu IK tidak sejajar dengan sumbu-sumbu koordi-nat. Karena itu diperlukan sumbu-sumbu koordinat baru ang sejajar atau berimpit dengan sumbu-sumbu IK itu, agar memudahkan kita melukis grafikna. Sumbu koordinat baru ang sejajar atau berimpit dengan sumbu-sumbu IK merupakan sumbu koordinat lama ang ditransformasi, baik dengan rotasi, translasi maupun komposisina. Jika pada (), setelah dilakukan transformasi rotasi sumbu-sumbu koordinat pada sistem koordinat (x, ) koefisien variabel berpangkat satu dalam sistem koordinat baru sudah nol (0), maka transformasi sumbusumbu koordinat cukup dengan rotasi saja. Tetapi jika setelah langkah ini dilakukan koefisien variabel berpangkat satu dalam sistem koordinat baru belum juga nol (0) keduana, maka masih harus dilakukan translasi lagi agar koefisien variabel berpangkat satu dalam sistem koordinat terakhir keduana 0. Sebagai akibat dari trans-formasi ini, unsur-unsur IK tidak lagi dapat dijelaskan seperti pada sistem koordinat semula. Tentu untuk melihat unsur-unsur ini pada sistem koordinat semula, tinggal dilakukan transformasi balik dari hubungan ang dibentuk oleh transformasi rotasi atau translasi. Memang ini dapat dilakukan tetapi kurang efisien. Unsur-unsur IK dapat dijelaskan dengan tepat dan efisien pada sistem koordinat semula apabila lukisan IK ini dilakukan tanpa transformasi sumbu-sumbu koordinat. Tetapi melukis IK tanpa transformasi sumbu-sumbu sistem koordinat ini belum banak dibahas. Oleh karena itu pembahasan Melukis grafik 65

2 JURNAL PENDIDIKAN MATEMATIKA VOLUME NOMOR JANUARI 0 IK tanpa transformasi sumbu-sumbu koordinat menjadi sesuatu ang menarik untuk disajikan. Materi Pendukung Irisan kerucut terbagi dalam dua kelompok besar, aitu: irisan kerucut degenerate dan nondegenerate. Irisan kerucut degenerate adalah irisan kerucut ang melalui puncak kerucut dan terdiri dari titik, garis, dan dua garis berpo-tongan. Irisan kerucut nondegenerate adalah irisan kerucut ang tak melalui puncak kerucut dan terdiri dari parabola, elips dan hiperbola. Pada tulisan ini hana membahas irisan kerucut nondegenerate. Parabola, Elips dan Hiperbola Definisi () Parabola adalah tempat kedudukan titik-titik di R sehingga jarakna terhadap suatu garis tertentu sama dengan jarakna terhadap sebuah titik tertentu. Titik tertentu itu disebut fokus parabola dan garis tertentu itu disebut arah (direktris) parabola. Misalkan F(x, ) adalah fokus suatu parabola dengan direktris d: px+q + r = 0, maka dengan menggunakan Definisi () diperoleh persamaan parabola seperti () dengan A q, -pq, C p, D -((p q )x pr), () E -((p q ) qr) dan F (p q )(x ) - r dan A, dan C tidak sekaligus nol ketigana. Garis melalui fokus parabola dan tegak lurus direktris disebut sumbu parabola. Titik potong sumbu parabola dengan parabola disebut puncak parabola. Khusus parabola ang direktrisna x + p = 0 dengan fokus ( p, 0) persamaanna adalah = px (4). Selanjutna hubungan (4) disebut bentuk baku persamaan parabola. Definisi (5) Elips adalah tempat kedudukan titik-titik di R sehingga jumlah jarakna terhadap dua titik tertentu adalah tetap. Dua titik tertentu itu disebut fokus elips. Misalkan F (x, ) dan F (x, ) adalah fokus-fokus suatu elips dengan jumlah jarak tetap setiap titik pada elips terhadap kedua fokus adalah k, maka persamaan elips ini adalah. dengan A 4(x x) 4k, 8(x x)( ), C 4( ) 4k, (6) D 4(x x)g 8x k, E 4( )G 8 k, F G 4k (x ), G [x x k ] dan A, dan C tidak sekaligus nol ketigana. Garis ang melalui kedua fokus elips disebut sumbu maor elips. Titik tengah ruas garis ang menghu-bungkan kedua fokus disebut pusat elips. Garis ang melalui pusat elips tegak lurus sumbu maor disebut sumbu minor elips. Titik potong sumbu-sumbu elips dengan elips disebut puncak elips. Khusus elips dengan fokus (c, 0), puncak (a,0) dan (b, 0) persamaanna adalah x (7), b a dengan a = b + c. Selanjutna hubungan (7) disebut bentuk baku persamaan elips. Definisi (8) Hiperbola adalah tempat kedudukan titik-titik di R sehingga selisih jarakna terhadap dua titik tertentu adalah tetap. Dua titik tertentu itu disebut fokus hiperbola. Misalkan F (x, ) dan F (x, ) adalah fokus-fokus suatu hiperbola dengan selisih jarak tetap setiap titik pada hiperbola terhadap kedua fokus adalah k, maka persamaan hiperbola ini adalah () dengan A,, C, D, E dan F seperti pada (6). 66

3 JURNAL PENDIDIKAN MATEMATIKA VOLUME NOMOR JANUARI 0 Garis ang melalui kedua fokus hiperbola disebut sumbu real hiperbola. Titik tengah ruas garis ang menghubungkan kedua fokus disebut pusat hiperbola. Garis ang melalui pusat hiperbola tegak lurus sumbu real disebut sumbu imajiner hiperbola. Titik potong sumbu real dengan hiperbola disebut puncak real hiperbola. Jelas sumbu imajiner tak memotong hiperbola. Sebab apabila persamaan sumbu ini disubstitusi kepersamaan hiperbola diskriminan persamaan kuadrat ang terbentuk kurang dari nol. Tetapi jika diambil nilai mutlak diskriminan ini, maka persamaan kuadrat ang terjadi akan mempunai penelesaian. Penelesaian persamaan kuadrat ang diperoleh dengan menggunakan nilai mutlak diskriminan ini menghasilkan puncak imajiner hiperbola. Persamaan hiperbola dengan fokus (c, 0), puncak real (a,0) dan imajiner (b, 0) adalah x (9), b a dengan c = a + b. Selanjutna hubungan (9) disebut bentuk baku persamaan hiperbola. Gradien sumbu-sumbu IK () sangat ditentukan oleh nilai. Sumbu IK untuk = 0 telah dijelaskan pada pendahuluan dan untuk 0 diberikan dalam teorema berikut. Teorema (0) Jika sumbu IK () membentuk sudut terhadap sb-x +, maka cot = A C. ukti Pada sistem koordinat (x, ) dibentuk sumbu-sumu koordinat baru x ' dan ' sehingga (sb-x +, sb- x ' + ) = dan melalui O(0, 0). Ini berarti sistem koordinat baru ( x ', ' ) mempunai pusat ang sama dengan sistem koordinat (x, ). Dari kedua sistem koordinat ini untuk setiap titik P dalam R diperoleh dua koordinat, pertama terhadap (x, ) dan kedua terhadap ( x ', ' ). Jika (x, ) koordinat P terhadap (x, ) dan ( x ', ' ) koordinat P terhadap ( x ', ' ), maka hubungan antara kedua koordinat ini adalah x x'cos 'sin (). x'sin 'cos Oleh karena itu () menjadi A( x' cos ' sin)( x' sin - ' sin) +( x' cos - + ' cos) + ' cos) +D( x' cos - ' sin)+ +C( x' sin E( x' sin + ' cos)+f = 0. Dari penjabaran hubungan ini kemudian mengumpulkan suku-suku sejenis menghasilkan A' x' + ' x' ' + C' ' + D' x' + E' ' + F' = 0 (), dengan A' = Acos + cos sin + Csin, ' = cos - (A-C)sin, C' = Asin - cos sin + Ccos, D' = Dcos + Esin, E' = -Dsin + Ecos dan F' = F. Untuk ' = 0 pada (), berarti sumbusumbu IK () sejajar atau berimpit dengan sumbu-sumbu koordinat ( x ', ' ). Tetapi jika ' = 0, maka cos - (A-C)sin = 0. Terbukti. Jenis IK ditentukan oleh determinan matriks ang entrina adalah koefisien variabel ang berpangkat dua dari (). Sekarang misalkan m = A (), C dengan A, dan C koefisien variabel ang berpangkat dua dari (). Jika m = 0, m > 0 dan m < 0, maka () berturut-turut adalah parabola, elips dan hiperbola. Kita kadang-kadang ingin melihat kesamaan dua IK dari persamaan ang 67

4 JURNAL PENDIDIKAN MATEMATIKA VOLUME NOMOR JANUARI 0 diberikanna. Untuk melihat ini misalkan diberikan dua irisan kerucut berikut IK : A x + x + C + D x + E + F = 0 dan IK : A x + x + C + D x + E + F = 0. Dikatakan bahwa IK sama dengan IK jika terdapat suatu 0 sehingga (A,,C,D,E,F ) =(A,,C,D,E,F ) (4). Ketiga jenis IK non degenerate di atas hana dua jenis ang mempunai pusat, aitu; elips dan hiperbola. Lingkaran merupakan suatu kejadian khusus dari elips. Teorema (5). Misalkan () adalah elips atau hiperbola. Jika (x 0, 0 ) adalah pusat IK, maka x 0 dan 0 memenuhi Ax D = 0 dan x 0 + C 0 + E = 0. ukti. (La Arapu, 00, 56). Garis Singgung Parabola, Elips dan Hiperbola Pada setiap jenis IK () kita dapat membuat garis singgung. Dari proses pembentukanna ada tiga jenis garis singgung ang dapat dibuat pada setiap IK, aitu;. garis singgung melalui sebuah titik di luar IK,. garis singgung melalui sebuah titik pada IK, dan. garis singgung sejajar dengan suatu garis tertentu. Pada tulisan ini hana dibahas jenis garis singgung pertama dan ketiga. Jenis garis singgung pertama terkait dengan letak titik ang dilalui terhadap suatu IK. Oleh karena itu kita harus menentukan dahulu letak titik ang dilalui itu. Letak suatu titik ang tidak terletak pada IK dijelaskan dalam definisi berikut. Definisi (6) Diberikan suatu titik P tidak pada IK. Dikatakan bahwa P terletak di dalam IK apabila setiap garis melalui P memotong IK, apabila tidak dikatakan P terletak di luar IK. Diberikan suatu IK () dan suatu titik P(x, ) tidak pada IK. Melalui P dibuat garis g dengan gradien m, maka g: = m(x x ) +. Jika g dipotongkan dengan IK, maka diperoleh [A+m+Cm ]x +[(+Cm)( -mx )+ D+Em]x+C( -mx ) +E( -mx )+ F=0 (7). Diskriminan (7) adalah D* = m + *m + C* (8), dengan = * = C* = x E 4C, Ax Dx F x E Ax D x Dx E F D 4A. C E F D dan C E Semua g akan memotong IK apabila D* 0 untuk setiap m. Sekarang mari kita tinjau kasus. Jika = * = 0 (9a), maka D* < 0 apabila C* < 0 untuk setiap m (9a()) dan D* 0 apabila C* 0 untuk setiap m (9a()). Jika = 0 dan * 0, maka terdapat m 0 <- C*/* sehingga D*< 0 (9b). Jika 0, maka diperoleh D*= (m+*/) + F Gbr. C* ( *). (9c) Jika < 0, maka (m+*/) < 0 untuk m -*/. Ini berarti terdapat m R sehingga (m + */) + C* ( *) <0. (9c()) s x d 68

5 JURNAL PENDIDIKAN MATEMATIKA VOLUME NOMOR JANUARI 0 Jika > 0, maka (m +*/) = 0 untuk m = -*/ dan D* minimum (9c()). Jadi D* < 0 apabila C* ( *) < 0, untuk suatu m (9c(i)) dan D* 0 apabila A * C* ( 0 untuk *) setiap m (9c(ii)). Uraian ini menghasilkan teorema letak suatu titik terhadap IK berikut. Teorema (0) Jika P(x, ) tidak pada (), maka P terletak di luar IK apabila memenuhi (9a()) atau (9b) atau (9c()) atau (9c(i)) dari kasus di atas dan sebalikna P terletak di dalam IK apabila memenuhi (9a()) atau (9c(ii)) dari kasus di atas, dengan, * dan C* seperti pada (8). Selanjutna jika P di luar IK, maka melalui P dapat dibuat garis singgung IK. Jika m gradien garis singgung IK () melalui P(x, ), maka m memenuhi m + *m + C* = 0 (), dengan, * dan C* seperti pada (8). Jenis IK ang mempunai asimptot hana hiperbola. Asimptot hiperbola adalah garis singgung hiperbola ang melalui pusatna. Misalkan m adalah gradien asimptot hiperbola. Jika () adalah hiperbola, maka m memenuhi A + m + Cm = 0 (). Jika C = 0 pada (), maka nilai m tunggal, padahal asimptot hiperbola harus dua. Untuk itu misalkan m = /k, sehingga () menjadi Ak + k = 0 (). Pada () kita mempunai dua gradien garis, aitu m dan m = /k. Dalam hal () salah satu asimptotna sejajar sumbu. Teorema (4) Diberikan suatu garis g dengan gradien m. Jika garis h: = mx + k meninggung (), maka k memenuhi Pk + Qk + R = 0, dengan P = C dan R = A, Q = D Em A m Cm m A C 4F. D Em ukti. (La Arapu, 00, 89). Untuk garis sunggung () ang sejajar sb- dapat ditentukan dengan mudah. PEMAHASAN Lukisan IK tanpa transformasi sumbusumbu koordinat akan dibahas berdasarkan jenisna. Jadi ada jenis IK ang akan dibahas, aitu; parabola, elips, dan hiperbola. Parabola Misalkan IK () adalah parabola. Untuk melukis () kita harus menentukan lebih dahulu sumbu, fokus, direktris dan puncak parabola. Ke-4 unsur ini dapat ditentukan apabila IK () disamakan dengan IK dari Definisi () dengan koefisien seperti (). Kesamaan kedua IK ini menurut (4) menghasilkan hubungan [q, -pq, p, -((p +q )x +pr), -((p +q ) +qr),(p +q )(x + ) r ] = (A,, C, D, E, F) (5), untuk suatu 0, dengan direktris d: px + q + r = 0, dan fokus F(x, ). Penelesaian sistem persamaan (5) adalah d dan F. Sumbu parabola ditentukan dengan membuat garis melalui F tegak lurus d. Selanjutna misalkan Q adalah titik potong d dan sumbu parabola, maka puncak parabola adalah titik tengah FQ. Dengan data ini kita 0 E D dapat melukis suatu parabola tanpa transformasi sumbu-sumbu koordinat. Contoh Lukis grafik IK: 6x 4x x = 0! Penelesaian 69

6 JURNAL PENDIDIKAN MATEMATIKA VOLUME NOMOR JANUARI 0 IK adalah parabola, sebab 6 0. Misalkan direktris dan fokus parabola ini berturut-turut adalah d: px + q + r = 0, dan F(x, ). Maka menurut (5) diperoleh hubungan. q = 6,. -pq = -4,. p = 9, 4. -((p +q )x + pr) =, 5. -((p +q ) + qr) = 4, 6. (p +q )(x + ) r = 5. Dari diperoleh = pq/. Karena itu menjadi 7. q = 6pq/ atau q = 4p/. Karena sumbu parabola tegak lurus d, maka gradien sumbu parabola adalah m s = q/p = 4/. Jadi gradien d adalah m d = -/4, sehingga d: x r = 0. Jadi p =, q = 4 dan =, sehingga 4 mejadi -(5x + r) = atau 8. r = -(50x + )/6, dan 5 menjadi 9. = 4x /. Penerapan 8 dan 9 pada 6 meng-hasilkan x = -6/00, = -/5 dan r = 9/4. Jadi F(- 6/00, -/5), d: x = 0 dan sumbu parabola adalah s: = 4x/. Lukisan grafik parabola ini tampak seperti pada Gbr.. Hasil ini tidak dapat katakan lebih mudah, sebab tidak ada pembanding-na. Karena itu pada akhir tulisan ini diberikan penelesaian dengan menggunakan transformasi sumbu-sumbu koordinat. Elips Misalkan () adalah suatu elips. Grafik suatu elips dapat dilukis apabila kita mengetahui pusat, jarak antara kedua puncak pada sumbu maor dan jarak antara kedua puncak pada sumbu minor. Menurut Teorema (5) pusat elips ini adalah (x 0, 0 ) dengan 9 = x 0 = (E-CD)/(4AC- ) dan 0 = (D-AE)/(4AC- ). Sumbu-sumbu elips dapat ditentukan setelah gradien sumbusumbu elips diketahui dari Teorema (0) dan sumbu itu harus melalui pusat elips. Misalkan gradien sumbu-sumbu elips ini adalah m dan m, maka garis-garis ang sejajar sumbu elips adalah g: = m x + k dan h: = m x + t. Jika g meninggung elips, maka menurut Teorema (4), k memenuhi Pk + Qk + R = 0, dengan P, Q dan R seperti pada Teorema (4) dan m = m. Misalkan penelesaian persamaan kuadrat ini adalah k dan k, maka garis singgung elips sejajar g adalah g : = m x + k dan g : = m x + k. Jadi jarak kedua puncak elips itu sama dengan jarak g dan g, aitu; d = k k. Tetapi k m dan k adalah akar-akar Pk + Qk + R = 0. Karena itu k k = Q PR, sehingga d = s P m S* (6), S*, dengan S* = P dengan S* = Q PR dan P, Q dan R seperti pada Teorema (4) dan m = m. Jenis sumbu IK ditentukan oleh nilai d. Dalam hal ini elips berada dalam posisi baku terhadap sumbu s dan s. Jadi d/ merupakan bilangan a dan b dari elips dalam posisi baku. Dengan menggunakan nilai ini dan hubungan (7) nilai c untuk elips dalam posisi baku pada sumbu ini dapat ditentukan. s Gbr. x 70

7 JURNAL PENDIDIKAN MATEMATIKA VOLUME NOMOR JANUARI 0 Selanjutna dengan meng-gunakan sumbusumbu elips ang telah diperoleh, maka koordinat fokus dan puncak elips dapat pula ditentukan. Untuk jelasna perhatikan uraian berikut. Misalkan fokus elips () adalah F(x, ) dengan sumbu maor adalah px + q + r = 0. Jika pusat elips adalah P(x 0, 0 ), maka diperoleh ). px + q + r = 0 dan ). px 0 + q 0 + r = 0. Selisih kedua persamaan ini adalah ). p(x -x 0 ) + q( - 0 ) = 0. Selanjutna misalkan jarak kedua puncak pada sumbu maor adalah d dan jarak kedua puncak pada sumbu minor adalah d, maka a = d / dan b = d /. Jadi menurut hubungan (7) nilai c dapat ditentukan. Tetapi nilai mutlak c adalah jarak pusat elips ke fokusna. Jadi 4). ( x x ) ( = c. Dengan 0 0 ) menelesaikan hubungan ) dan 4) diperoleh F(x 0 cq, 0 cp ) (7) p q p q sebagai fokus elips, dengan (x 0, 0 ) adalah pusat elips. Dengan cara ang sama puncak elips pada kedua sumbu dapat ditentukan. Contoh Lukis grafik IK: 4x 4x x = 0! Penelesaian IK adalah elips, sebab 4 50 > 0. Pusat elips adalah (6/5, 7/0). Karena = -4 0, maka sumbu-sumbu elips telah mengalami rotasi dari sumbu sistem koordinat (x, ). Misalkan sumbu elips membentuk sudut terhadap sb-x +, maka menurut Teorema (0), memenuhi cot = -7/4 atau tan = -4/7. Karena tan = tan/(-tan ), maka tan -7tan - = 0. Penelesaian persamaan kuadrat ini dalam tan adalah tan = 4/ atau tan = -/4. Tetapi tan adalah gradien ang dibentuk oleh 4 = sumbu elips dan sb-x +. Jadi gradien sumbusumbu elips ini adalah m s = 4/ dan m s = - /4. Karena kedua sumbu ini harus melalui pusat elips maka kedua sumbu elips ini secara eksplisit adalah s : = 4x/ -5/4 dan s : = - x/4 + 5/4. Misalkan jarak kedua puncak elips pada s dan s berturut adalah d dan d, maka menurut hubungan (6) didapat d = S* dan d = P m s S*, dengan P m S* = Q PR. Menurut Teorema (4) untuk d diperoleh P = Q = R = = -5000, s = -650 dan = 0. Sehingga dalam d, S* = dan m s = 5/. Jadi d = /. Dengan cara ang sama seperti d untuk m s = -/4, diperoleh d =. Karena d > d, maka sumbu maor elips adalah s dan sumbu minor elips adalah s. Jadi menurut (7) diperoleh b = ¾ dan a = sehingga c = ¾. Dari.. diperoleh F(6/5 /5, 7/0 9/0) sebagai fokus elips. Puncak pada kedua sumbu dapat diperoleh dengan mudah. Lukisan grafik elips ini tampak dalam Gbr.. Sebagai pembanding, diakhir tulisan ini diberikan proses melukis elips pada soal ini dengan menggunakan transformasi sumbusumbu koordinat. Hiperbola Misalkan () adalah suatu hiperbola. Grafik suatu hiperbola dapat dilukis apabila kita mengetahui pusat, sumbu, jarak antara 7

8 JURNAL PENDIDIKAN MATEMATIKA VOLUME NOMOR JANUARI 0 kedua puncak pada sumbu real dan asimptotasimptotna. Pusat hiperbola () secara umum sama dengan pusat elips. Gradien kedua sumbu hiperbola juga dapat ditentukan seperti menentukan gradien sumbu elips. Sumbu real hiperbola dapat dilihat dari S* pada hubungan (6). Jika S* < 0, maka sumbu itu adalah sumbu real sebalikna jika S* > 0, maka sumbu itu adalah sumbu imajiner. Jarak kedua puncak pada sumbu imajiner di dapat dari d = (8), P m -S* s dengan S* seperti pada (6) dan m s adalah gradien sumbu real. Harga d/ adalah nilai a dan b suatu hiperbola dalam posisi baku. Dengan menggunakan nilai ini dan hubungan (9) nilai c dapat ditentukan dalam posisi baku pada kedua sumbu ini. Selanjutna dengan menggunakan nilai ini dan kedua sumbu, maka fokus dan funcak hiperbola dapat ditentukan. Kedua asimptot hiperbola dapat ditentukan dengan membuat garis melalui pusat hiperbola setelah gradienna ditentukan dengan menggunakan () atau (). Contoh Lukis grafik IK: 5x - 6x x = 0! Penelesaian IK adalah hiperbola, sebab 5 = -4 < 0. Menurut Teorema (5), pusat hiperbola adalah P(-0, 4). Karena = -6 0, maka sumbu-sumbu hiperbola telah mengalami rotasi dari sumbu sistem koordinat (x, ). Misalkan sumbu hiperbola membentuk sudut dengan sb-x +, maka menurut Teorema (0), memenuhi cot = -4/ atau tan = -/4. Tetapi tan = tan/(- tan ). Jadi 8tan = - + tan. Penelesaian persamaan kuadrat ini dalam tan adalah tan = atau tan = -/. Jadi gradien sumbu-sumbu hiperbola adalah m = dan m = -/. Karena kedua sumbu hiperbola harus melalui P, maka kedua sumbu hiperbola itu adalah s : x + 44 = 0 dan s : x + = 0. Selanjutna untuk s diperoleh P s = = 96, Q s = = -840 dan R s = = 5550, sehingga S s * = Ini berarti s adalah sumbu real. Dari s diperoleh P s = 96, Q s = = -960 dan R s = = 980, sehingga S s * = 070. Jadi jarak kedua puncak real hiperbola itu adalah d = / = dan jarak kedua pancak imajiner-na adalah d = = Menurut (9) diperoleh a = dan b =, sehingga c = 5. Dengan cara ang sama seperti pada elips diperoleh 4 s a s Gbr. F(-0, ) sebagai fokus hiperbola. Puncak pada kedua sumbu hiperbola dapat ditentukan dengan mudah setelah menggunakan (7) a x 7

9 JURNAL PENDIDIKAN MATEMATIKA VOLUME NOMOR JANUARI 0 sekali lagi dengan mengganti c dengan a atau b. Asimptot adalah garis singgung hiperbola ang melalui pusatna. Ini berarti P harus terletak di luar IK. Tetapi menurut hubungan (8) diperoleh = *= diperoleh =40 dan C*= * C* ( *) A = -84 < =40, = -44 Jadi menurut Teorema (0) titik P terletak di luar hiperbola. Misalkan m adalah gradien asimptot hiperbola, maka menurut hubungan () diperoleh 5 6m m = 0. Jadi m = -( 6 )/6 atau m = - ( 6 )/6, sehingga asimptot hiperbola itu adalah a : ( 6 )x = 0 dan a : ( 6 )x = 0. Lukisan grafik hiperbola ini tampak seperti Gbr.. Sebagai pembanding di bawah ini, diberikan lukisan grafik IK dengan menggunakan transformasi sumbu-sumbu koordinat. Lukisan IK dengan Transformasi Sumbu Koordinat. Lukisan grafik dari tiga contoh ang diberikan hana contoh ang akan dibahas. Sebab penelesaian ketiga soal ini dengan transformasi sumbu-sumbu koordinat mengguna-kan prosedur ang sama. Contoh dengan transformasi sumbu-sumbu koordinat Pada contoh ini kita diminta untuk melukis grafik IK: 6x 4x x = 0! Penelesaian Sumbu IK telah mengalami rotasi dari sumbu sistem koordinat (x, ), sebab = Oleh karena itu diperlukan suatu sistem koordinat baru sehingga sumbu-sumbu sistem koordinat baru itu sejajar dengan sumbu IK dan pusatna berimpit dengan sistem koordinat (x, ). Misalkan sistem koordinat baru ang dibentuk itu adalah ( x ', ' ). Jika (sb- x ' +, sb-x + ) =, maka memenuhi cot = -7/4. Jadi cos = - 7/5. Oleh karena itu cos = /5 dan sin = 4/5. Karena itu menurut..4. diperoleh A ' = 0, ' = 0, C ' = 5, D ' = 5, E ' = 0 dan F ' = 5. Karena itu IK pada soal ini dalam sistem koordinat ( x ', ' ) menjadi 5 ' + x ' + = 0 atau ' = -( x ' + )/5. Jika diambil ' = " dan x ' + = x ", maka dalam sistem koordinat ( x ", ") persamaan IK dalam soal ini menjadi " = - x " /5. Jadi IK ini adalah suatu parabola dan grafikna tampak seperti Gbr. 4. Memang dari jawaban ang ditampilkan penelesaian dengan menggunakan transformasi sumbu-sumbu koordinat kelihatanna lebih sederhana. Tetapi untuk menentukan unsur-unsur IK seperti; direktris, fokus dan sumbu juga pusat untuk elips dan hiperbola dalam sistem koordinat semula belum diketahui. Untuk itu kita masih harus melakukan pekerjaan lanjutan. Menurut Teorema (0) jika (sb x ' +, " ' Gbr.4 sb-x + ) =, maka hubungan antara kedua koordinat dari dua sistem koordinat ini adalah x = x' cos - ' sin, = x' sin + ' cos. Penelesaian SPL ini dalam x ' dan xcos + sin dan ' adalah x ' = ' = cos - xsin. Direktris parabola " = - x " /5 adalah x " = x" x' x 7

10 JURNAL PENDIDIKAN MATEMATIKA VOLUME NOMOR JANUARI 0 /0 dalam sistem koordinat ( x ", "). Tetapi x ' + = x ". Jadi x ' + = /0, sehingga xcos + sin + = /0. Karena cos = /5 dan sin = 4/5, maka x = /4. Jadi direktris IK dalam sistem koordinat (x, ) adalah d: x = 0. Fokus parabola " = - x " /5 adalah (-/0, 0) dalam sistem koordinat ( x ", "). Jadi x " = - /0 dan " = 0. Karena dan ' = ", maka ' = 0. Tetapi x ' + = x " x ' + = -/0 dan x ' = xcos + sin dan ' PENUTUP erdasarkan pembahasan di atas diperoleh beberapa kesimpulan berikut. Dengan melukis parabola tanpa transformasi sumbu-sumbu koordinat, kita langsung mengetahui unsur- unsur parabola itu, aitu: direktris, fokus dan sumbu parabola. Sebalikna jika menggunakan transformasi sumbu-sumbu koordinat, unsur-unsur ini diketahui setelah melalukan transformasi balikan lagi. Melukis elips tanpa transfor-masi sumbu-sumbu koordinat memang hana pusat elips dan jarak kedua puncak ang diperoleh secara langsung. Fokus elips dapat ditentukan = cos - xsin, maka xcos + sin + = -/0 dan cos - xsin = 0. Dengan nilai cos dan sin tersebut, maka diperoleh sistem persamaan t: x = 0 dan 4x = 0. Fokus parabola diperoleh dari penelesaian SPL ini, aitu F(- 6/00, -/5). Karena sumbu parabola harus melalui fokus dan tegak lurus d, maka sumbu parabola adalah s: 4x = 0. dengan menggunakan jarak pusat dan puncak pada kedua jenis sumbu elips dengan menerapkan hubungan (7). Puncak-puncak elips diperoleh dari penerapan hubungan (7) lagi. Tetapi dengan menggunakan transformasi sumbu-sumbu koordinat, untuk menentukan ini kita harus melakukan transformasi balikan lagi. Sama dengan melukis elips tanpa transformasi sumbu-sumbu koordinat, melukis hiperbola juga dengan mudah menentukan sumbu, fokus dan puncak-puncak hiperbola, tetapi dengan menggunakan hubungan (9) untuk menentukan fokus-fokusna. DAFTAR RUJUKAN Arapu, La. 00. Geometri Analitik Datar, Purcell, Edwin J Kalkulus dan Geometri Cetakan pertama. Scientia Publishing. Analitis, Jilid Edisi Ketiga. Alih Gresik, surabaa. bahasa I Noman Susila, ana Leithold, Louis. 98. Kalkulus dan Ilmu Ukur Analitik, jilid. Alih bahasa M. Kartasasmita dan Rawuh. Erlangga. Jakarta. Margha. ina Aksara. Jakarta. 74