Pertemuan Minggu ke Bidang Singgung, Hampiran 2. Maksimum dan Minimum 3. Metode Lagrange

Transkripsi

1 Pertemuan Minggu ke Bidang Singgung, Hampiran 2. Maksimum dan Minimum 3. Metode Lagrange

2 1. BIDANG SINGGUNG, HAMPIRAN Tujuan mempelajari: memperoleh persamaan bidang singgung terhadap permukaan z = f(x, y) di titik (x 0, y 0, z 0 ). Bagaimana caranya?

3 1. BIDANG SINGGUNG, HAMPIRAN Kita mulai dengan situasi yang lebih umum, dengan suatu permukaan ditentukan oleh persamaan Perhatikan bahwa dapat dituliskan sebagai

4 1. BIDANG SINGGUNG, HAMPIRAN Perhatikan sebuah kurva pada permukaan ini yang melalui titik (x 0, y 0, z 0 ). Jika x = x(t) y = y(t) z = z(t) adalah persamaan parameter untuk kurva tersebut, maka untuk semua t,

5 1. BIDANG SINGGUNG, HAMPIRAN Dengan Aturan Rantai, Kita dapat mengungkapkan ini, dalam bentuk gradien dari F dan derivatif dari ungkapan vektor untuk kurva sebagai

6 1. BIDANG SINGGUNG, HAMPIRAN Seperti pada pertemuan sebelumnya, menyinggung kurva. (Baca bab 14.4, buku Kalkulus dan Geometri Anlitis Edisi Keempat) Sehingga, gradien di (x 0, y 0, z 0 ) tegak lurus pada garis singgung di titik ini. Berlaku untuk sebarang kurva yang melalui (x 0, y 0, z 0 ) yang terletak pada permukaan F(x, y, z) = k

7 1. BIDANG SINGGUNG, HAMPIRAN Definisi Andaikan F(x, y, z) = k menentukan suatu permukaan dan misalkan F dapat didiferensialkan di sebuah titik P(x 0, y 0, z 0 ) dari permukaam dengan F(x 0, y 0, z 0 ) 0. Maka bidang yang melalui P yang tegak lurus F(x 0, y 0, z 0 ) dinamakan bidang singgung terhadap permukaan itu di P.

8 1. BIDANG SINGGUNG, HAMPIRAN Teorema A (Bidang singgung). Untuk permukaan F(x, y, z) = k, adalah F x (x 0, y 0, z 0 ) (x x 0 ) + F y (x 0, y 0, z 0 ) (y y 0 ) + F z (x 0, y 0, z 0 ) (z z 0 ) = 0 Secara serupa, untuk permukaan z = f(x, y), persamaan bidang singgung di (x 0, y 0, f(x 0,y 0 )) adalah z z 0 = f x (x 0, y 0 ) (x x 0 ) + f x (x 0, y 0 ) (y y 0 ) Bukti. Pernyataan pertama adalah langsung dan yang kedua menyusul darinya dengan memperhatikan F(x,y,z) = f(x,y) z.

9 Contoh 1: 1. BIDANG SINGGUNG, HAMPIRAN Cari persamaan bidang singgung terhadap z = x 2 + y 2 di titik (1,1,2). Penyelesaian: maka Jadi, Teorema A z z 0 = f x (x 0, y 0 ) (x x 0 ) + f x (x 0, y 0 ) (y y 0 ) Maka persamaan bidang singgung di titik (1,1,2) adalah atau

10 1. BIDANG SINGGUNG, HAMPIRAN Contoh 2: Cari persamaan bidang singgung dan garis normal terhadap permukaan x 2 + y 2 + 2z 2 = 23 di (1,2,3). Penyelesaian: sehingga Teorema A, persamaan bidang singgung F x (x 0, y 0, z 0 ) (x x 0 ) + F y (x 0, y 0, z 0 ) (y y 0 ) + F z (x 0, y 0, z 0 ) (z z 0 ) = 0 sehingga persamaan bidang singgung di titik (1,2,3) Persamaan simetri dari garis normal yang melalui (1,2,3) adalah

11 1. BIDANG SINGGUNG, HAMPIRAN DIFERENSIAL DAN HAMPIRAN Andaikan z = f(x,y) dan P(x 0, y 0, z 0 ) suatu titik tetap pada permukaan yang berpadanan. Berikan sumbu-sumbu koordinat baru (sumbu sumbu dx, dy, dan dz) yang sejajar dengan sumbu-sumbu lama, dengan P sebagai titik asal. Pada sistem yang lama, bidang singgung di P mempunyai persamaan

12 1. BIDANG SINGGUNG, HAMPIRAN DIFERENSIAL DAN HAMPIRAN Pada sistem yang lama, bidang singgung di P mempunyai persamaan tetapi pada sistem yang baru persamaan ini mengambil bentuk sederhana Definisi Andaikan z = f(x, y), dengan f suatu fungsi yang dapat didiferensialkan, dan andaikan dx dan dy (disebut diferensialdiferensial dari x dan y) berupa peubah-peubah. Diferensial dari peubah tak bebas, dz, disebut juga diferensial total dari f dan ditulis df(x,y), didefinisikan oleh

13 1. BIDANG SINGGUNG, HAMPIRAN DIFERENSIAL DAN HAMPIRAN Pentingnya dz adalah dari kenyataan bahwa jika dx = x dan dy = y, masing-masing mewakili perubahan kecil dalam x dan y, maka dz akan berupa suatu hampiran (aproksimasi) yang baik terhadap z, perubahan dalam z. Contoh:

14 1. BIDANG SINGGUNG, HAMPIRAN DIFERENSIAL DAN HAMPIRAN Pada gambar di atas, dz tidak kelihatan berupa suatu hampiran yang baik terhadap z. Hampiran terhadap z akan semakin baik jika x dan y semakin kecil.

15 1. BIDANG SINGGUNG, HAMPIRAN DIFERENSIAL DAN HAMPIRAN CONTOH 3: Andaikan (x,y) berubah dari (2,1) ke (2,03, 0,98).. Hitung z dan dz bila Penyelesaian: di (2,1) dengan x = 0,03 dan y = -0,02.

16 1. BIDANG SINGGUNG, HAMPIRAN DIFERENSIAL DAN HAMPIRAN CONTOH 4: Rumus P = k(t/v), dengan k suatu konstanta, memberikan tekanan P dari suatu gas yang terkurung yang volumenya V dan suhu T. Secara hampiran, cari persentase kesalahan (galat) maksimum pada P yang ditimbulkan oleh suatu kesalahan 0,4% pada pengukuran suhu dan suatu kesalahan 0,9% pada pengukuran volume. 0,004T 0,009T Penyelesaian: Kesalahan pada P ( P) akan dihampiri dengan dp.

17 1. BIDANG SINGGUNG, HAMPIRAN DIFERENSIAL DAN HAMPIRAN CONTOH 4 (lanjutan penyelesaian): Kesalahan relatif maksimum, galat maksimum kira-kira 1,3%., kira-kira 0,013, dan persentase

18 1. BIDANG SINGGUNG, HAMPIRAN DIFERENSIAL DAN HAMPIRAN Pada kasus fungsi satu peubah, masalah diferensial menuju ke hampiran yang sahih dekat x 0 Analog dengan yang di atas, untuk fungsi dua peubah adalah

19 2. MAKSIMUM DAN MINIMUM Baca Bab 4 (Pasal 4.1 dan Pasal 4.3) Buku Kalkulus dan Geometri Analitis Jilid 1, Edwin J. Purcell & Dale Varberg. Andaikan p = (x, y) dan p 0 = (x 0, y 0 ) masing-masing berupa sebuah titik peubah dan sebuah titik tetap, di ruang dimensi dua Definisi Andaikan p 0 suatu titik di S, yaitu wilayah dari f. (i) f(p 0 ) adalah nilai maksimum (global) dari f pada S jika f(p 0 ) f(p) untuk semua p di S. (ii) f(p 0 ) adalah nilai minimum (global) dari f pada S jika f(p 0 ) f(p) untuk semua p di S. (iii) f(p 0 ) adalah nilai ekstrem (global) dari f pada S jika ia adalah suatu nilai maksimum (global) atau suatu nilai minimum (global). Definisi yang sama berlaku dengan kata global digantikan oleh lokal jika, pada (i) dan (ii), kita hanya memerlukan bahwa pertaksamaan berlaku pada N S, dengan N suatu lingkungan dari p 0.

20 2. MAKSIMUM DAN MINIMUM Gambar di atas memberikan tafsiran geometri dari definisi tentang nilai maksimum, nilai minimm, global dan lokal. Perhatikan bahwa suatu maksimum (atau minimum) global secara otomatis adalah suatu maksimum (atau minimum) lokal.

21 2. MAKSIMUM DAN MINIMUM Teorema A (Teorema Keujudan Maksimum-Minimum). Jika f kontinu pada suatu himpunan tertutup dan terbatas S, maka f mencapai suatu nilai maksimum (global) dan suatu nilai minimum (global) dua-duanya di sana. Pembuktian dapat ditemui pada hampir semua buku kalkulus DIMANA NILAI-NILAI EKSTREM MUNCUL?

22 2. MAKSIMUM DAN MINIMUM Teorema B (Teorema Titik Kritis). Andaikan f didefinisikan pada suatu himpunan S yang mengandung p 0. Jika f(p 0 ) adalah suatu nilai ekstrem, maka p 0 haruslah berupa suatu titik kritik; yakni, p 0 berupa salah satu dari: (i) Suatu titik batas dari S; atau (ii) Suatu titik stasioner dari f; atau (iii) Suatu titik singular dar f Titik-titik batas, lihat Pasal 15.3 Buku Kalkulus dan Geometri Analitis Jilid 2, Edwin J. Purcell & Dale Varberg

23 2. MAKSIMUM DAN MINIMUM Teorema B (Teorema Titik Kritis). Andaikan f didefinisikan pada suatu himpunan S yang mengandung p 0. Jika f(p 0 ) adalah suatu nilai ekstrem, maka p 0 haruslah berupa suatu titik kritik; yakni, p 0 berupa salah satu dari: (i) Suatu titik batas dari S; atau (ii) Suatu titik stasioner dari f; atau (iii) Suatu titik singular dar f Titik-titik stasioner. Kita sebut p 0 suatu titik stasioner jika p 0 adalah suatu titik dalam dari S dimana f terdiferensialkan dan f(p 0 ) = 0. Pada titik yang demikian, bidang singgung adalah mendatar.

24 2. MAKSIMUM DAN MINIMUM Teorema B (Teorema Titik Kritis). Andaikan f didefinisikan pada suatu himpunan S yang mengandung p 0. Jika f(p 0 ) adalah suatu nilai ekstrem, maka p 0 haruslah berupa suatu titik kritik; yakni, p 0 berupa salah satu dari: (i) Suatu titik batas dari S; atau (ii) Suatu titik stasioner dari f; atau (iii) Suatu titik singular dar f Titik-titik singular. Kita sebut p 0 suatu titik singular jika p 0 adalah suatu titik dalam dari S dimana f tidak terdiferensialkan misalnya, titik dimana grafik f mempunyai pojok tajam.

25 2. MAKSIMUM DAN MINIMUM Teorema Titik Kritis Fungsi Satu Peubah. Fungsi g(x) = f(x,y 0 ) mempunyai suatu nilai ekstrim di x 0 jika Dengan cara yang serupa, fungsi h(y) = f(x 0,y) mempunyai suatu nilai ekstrim di y 0 jika memenuhi Gradien adalah 0 karena kedua parsialnya adalah 0.

26 2. MAKSIMUM DAN MINIMUM Contoh 1: Cari nilai-nilai maksimum atau minimum lokal dari Penyelesaian: - Fungsi yang diberikan dapat didiferensialkan sepanjang wilayahnya, yaitu bidang xy. - Jadi, titik-titik kritis yang mungkin adalah titik-titik stasioner yang diperoleh dengan cara menetapkan f x (x,y) dan f y (x,y) sama dengan nol. Tinggal memutuskan apakah (1,0) memberikan suatu maksimum atau suatu minimum atau bukan keduanya.

27 2. MAKSIMUM DAN MINIMUM Contoh 1 (lanjutan penyelesaian): Tinggal memutuskan apakah (1,0) memberikan suatu maksimum atau suatu minimum atau bukan keduanya. - Kita akan segera mengembangkan suatu alat sederhana untuk menjawab pertanyaan di atas. - Namun, sementara kita gunakan langkah sederhana Jadi, f(1,0) sebenarnya adalah suatu minimum global untuk f. Tidak terdapat nilainilai maksimum lokal.

28 2. MAKSIMUM DAN MINIMUM Contoh 2: Tentukan nilai-nilai minimum atau maksimum lokal dari Penyelesaian: Titik-titik kritis diperoleh dengan menetapkan Hasil dari hitungan di atas adalah (0,0). Apakah memberikan suatu nilai maksimum, minumin atau bukan keduanya?

29 2. MAKSIMUM DAN MINIMUM Contoh 2 (lanjutan penyelesaian): Hasil dari hitungan, titik kritis adalah (0,0). Apakah memberikan suatu nilai maksimum, minimun atau bukan keduanya? Titik (0,0) tidak memberikan suatu nilai maksimum ataupun minimum. Titik ini disebut titik pelana. Fungsi yang diberikan tidak mempunyai ekstrem lokal

30 2. MAKSIMUM DAN MINIMUM Contoh 2 mengilustrasikan kenyataan yang menyulitkan bahwa tidak menjamin bahwa terdapat suatu ekstrem lokal di (x 0,y 0 ). Apakah ada syarat untuk menentukan suatu titik merupakan nilai ekstrem?

31 2. MAKSIMUM DAN MINIMUM SYARAT CUKUP UNTUK EKSTREM Teorema C (Uji Parsial-Kedua). Andaikan bahwa f(x,y) mempunyai turunan parsial kedua kontinu di suatu lingkungan dari (x 0,y 0 ) dan bahwa, hitung Maka: (i) Jika D > 0 dan f xx (x 0,y 0 ) < 0, maka f(x 0,y 0 ) adalah nilai maksimum lokal. (ii) Jika D > 0 dan f xx (x 0,y 0 ) > 0, maka f(x 0,y 0 ) adalah nilai minimum lokal. (iii) Jika D < 0, maka f(x 0,y 0 ) bukan suatu nilai ekstrem ((x 0,y 0 ) adalah titik pelana). (iv) Jika D = 0, maka pengujian tidak memberi kesimpulan.

32 2. MAKSIMUM DAN MINIMUM SYARAT CUKUP UNTUK EKSTREM Contoh 3: Tentukan ekstrem, jika ada, untuk fungsi F yang didenisikan oleh F(x,y) = 3x 3 + y 2 9x + 4y. Penyelesaian: dan Sehingga (x,y) adalah (1,-2) dan (-1,-2)

33 2. MAKSIMUM DAN MINIMUM SYARAT CUKUP UNTUK EKSTREM Contoh 3 (lanjutan penyelesaian): (x,y) adalah (1,-2) dan (-1,-2) Pada titik (1,-2) Karena D > 0 dan F xx > 0 maka F(1,-2) = -10 adalah nilai minimum lokal dari F.

34 2. MAKSIMUM DAN MINIMUM SYARAT CUKUP UNTUK EKSTREM Contoh 3 (lanjutan penyelesaian): (x,y) adalah (1,-2) dan (-1,-2) Pada titik (-1,-2) karena D < 0 maka (-1,-2) adalah titik pelana dan F(-1,-2) bukan merupakan nilai ekstrem.

35 2. MAKSIMUM DAN MINIMUM SYARAT CUKUP UNTUK EKSTREM Contoh 4: Tentukan jarak minimum antara titik asal dan permukaan z 2 = x 2 y + 4 Penyelesaian: - Ambil P(x,y,z) titik sebarang pada permukaan tersebut. - Kuadrat jarak dari titik asal dan P adalah - Kita mencari koordinat P yang memberikan d 2 suatu minimum. - Karena P terletak pada permukaan itu, koordinatnya memenuhi persamaan permukaan.

36 2. MAKSIMUM DAN MINIMUM SYARAT CUKUP UNTUK EKSTREM Contoh 4 (lanjutan penyelesain): z 2 = x 2 y Substitusi z 2 = x 2 y + 4 pada, kita peroleh d 2 sebagai fungsi dua peubah x dan y: - Untuk mencari titik kritisnya, kita tetapkan f x (x,y) = 0 dan f y (x,y) = 0. - Dengan menghilangkan y dari persamaan persamaan ini, kita dapatkan Jadi, atau.

37 2. MAKSIMUM DAN MINIMUM SYARAT CUKUP UNTUK EKSTREM Contoh 4 (lanjutan penyelesain): - Jadi, atau. - Substitusi nilai-nilai di atas pada persamaan diperoleh dan - Sehingga, titik-titik kritisnya adalah (0,0), - Untuk menguji masing-masing ini, kita perlukan

38 2. MAKSIMUM DAN MINIMUM SYARAT CUKUP UNTUK EKSTREM Contoh 4 (lanjutan penyelesain): - Titik-titik kritis adalah (0,0),, - Untuk menguji masing-masing ini, kita perlukan - maka titik dan tidak memberikan suatu ekstrem. - dan, sehingga (0,0) menghasilkan jarak minimum.

39 2. MAKSIMUM DAN MINIMUM SYARAT CUKUP UNTUK EKSTREM Contoh 4 (lanjutan penyelesain): - Berdasarkan perhitungan D dan f xx, titik (0,0) memberikan jarak minimum. - Jarak minimum antara titik asal dan permukaan adalah

40 2. MAKSIMUM DAN MINIMUM SYARAT CUKUP UNTUK EKSTREM Contoh 5: Tentukan nilai-nilai maksimum dan minimum dari Pada himpunan tertutup Penyelesaian: Satu-satunya titik kritis dalam adalah (1,1). Batas dari S adalah lingkaran dapat dijelaskan oleh, yang secara parameter

41 2. MAKSIMUM DAN MINIMUM SYARAT CUKUP UNTUK EKSTREM Contoh 5 (lanjutan penyelesaian): Kita ingin memaksimumkan dan meminimumkan fungsi satu peubah Dengan Aturan Rantai,,

42 2. MAKSIMUM DAN MINIMUM SYARAT CUKUP UNTUK EKSTREM Contoh 5 (lanjutan penyelesaian): g (t) = 0 tant = 1

43 2. MAKSIMUM DAN MINIMUM SYARAT CUKUP UNTUK EKSTREM Contoh 5 (lanjutan penyelesaian): adalah 2 titik kritis untuk g. Adakah titik kritis yang lain?

44 2. MAKSIMUM DAN MINIMUM SYARAT CUKUP UNTUK EKSTREM Contoh 5 (lanjutan penyelesaian): Ilustrasi dari tracing titik yang memenuhi fungsi f(x) = sinx

45 2. MAKSIMUM DAN MINIMUM SYARAT CUKUP UNTUK EKSTREM Contoh 5 (lanjutan penyelesaian): Ilustrasi dari tracing titik yang memenuhi fungsi f(x) = cosx

46 2. MAKSIMUM DAN MINIMUM SYARAT CUKUP UNTUK EKSTREM Contoh 5 (lanjutan penyelesaian): f(x) = sinx f(x) = cosx

47 2. MAKSIMUM DAN MINIMUM SYARAT CUKUP UNTUK EKSTREM Contoh 5 (lanjutan penyelesaian): adalah 2 titik kritis untuk g. Adakah titik kritis yang lain? ADA Dan dalam x dan y, keempat titik tersebut setara dengan? pada lingkaran batas.

48 2. MAKSIMUM DAN MINIMUM SYARAT CUKUP UNTUK EKSTREM Contoh 5 (lanjutan penyelesaian): Dari perhitungan di atas, titik-titik batas adalah Nilai-nilai f di titik-titik batas ini adalah: Maksimum Minimum

49 3. METODE LAGRANGE Kita mulai dengan membedakan dua jenis masalah, yaitu: 1.Untuk mencari nilai minimum dari adalah suatu masalah nilai ekstrem bebas. 2. Untuk mencari nilai minimum dari terhadap kondisi bahwa adalah masalah nilai ekstrem terkendala. Banyak permasalahan di dunia nyata, khususnya di bidang ekonomi, termasuk jenis yang kedua. Sebagai contoh, seorang pengusaha ingin memaksimumkan keuntungan, tetapi dibatasi oleh banyaknya bahan mentah yang tersedia, banyaknya tenaga kerja, dan sebagainya.

50 3. METODE LAGRANGE Contoh 4 di atas adalah sebuah masalah nilai ekstrem terkendala. Kita diminta mencari jarak minimum dari permukaan ke titik asal. Kita formulasikan masalah sebagai peminimuman terhadap kendala.

51 3. METODE LAGRANGE Kita tangani masalah tersebut dengan substitusi nilai z 2 dari kendala dalam rumus untu d 2 dan kemudian menyelesaikan masalah nilai ekstrem bebas yang dihasilkan. Tetapi, seringkali terjadi nahwa persamaan kendala tidak mudah diselesaikan untuk salah satu peubah dan, kendatipun jika ini dapat dikerjakan, boleh jadi terdapat metode lain yang lebih praktis. Metode tersebut disebut metode pengali Lagrange, dinamai menuurt Joseph-Louis Lagrange.

52 3. METODE LAGRANGE TAFSIRAN GEOMETRI DARI METODE Pertama, mari kita pandang kasus dimana kita ingin memaksimumkan atau meminimumkan f(x,y) terhadap kendala g(x,y) = 0. Gambar di bawah memberikan saran suatu tafsiran geometri dari masalah ini.

53 3. METODE LAGRANGE TAFSIRAN GEOMETRI DARI METODE Kurva ketinggian dari f adalah kurva-kurva f(x,y) = k, dengan k suatu konstanta. Kurva-kurva tersebut diperlihatkan sebagai kurva-kurva hitam pada gambar di atas untuk k = 200, 300,, 700. Grafik dari kendala g(x,y) = 0 juga berupa sebuah kurva, yang diperlihatkan dalam warna biru pada gambar di atas.

54 3. METODE LAGRANGE TAFSIRAN GEOMETRI DARI METODE Untuk memaksimumkan f terhadap kendala g(x,y) = 0 sama dengan mencari kurva ketinggian dengan kemungkinan k terbesar yang memotong kurva kendala. Secara geometri, kurva ketinggian yang maksimum menyinggung kurva kendala di suatu titik P 0 (x 0,y 0 ). Nilai maksimum f terhadap kendala g(x,y) = 0 adalah f(x 0,y 0 ).

55 3. METODE LAGRANGE TAFSIRAN GEOMETRI DARI METODE Metode Lagrange menyajikan suatu prosedur aljabar untuk penentuan P 0 dan P 1. Karena di titik-titik demikian, kurva ketinggian dan kurva kendala saling menyinggung(yaitu, mempunyai suatu garis singgung bersama), kedua kurva tersebut mempunyai suatu garis tegak lurus bersama.

56 3. METODE LAGRANGE TAFSIRAN GEOMETRI DARI METODE Berdasar Pasal 15.5, di sebarang titik dari kurva ketinggian, vektor gradien adalah tegak lurus. Dan dengan cara serupa adalah tegak lurus terhadap kurva kendala.

57 3. METODE LAGRANGE TAFSIRAN GEOMETRI DARI METODE Jadi, dan sejajar di P 0 dan juga di P 1 ; yaitu dan untuk suatu bilangan 0 dan 1 tidak nol.

58 3. METODE LAGRANGE TAFSIRAN GEOMETRI DARI METODE Teorema A (Metode Lagrange). Untuk memaksimumkan atau meminumkan f(p) terhadap kendala g(p) = 0, selesaikan sistem persamaan dan untuk p dan. Tiap titik p yang demikian adalah suatu titik kritis untuk masalah nilai ekstrem tekendala dan yang berpadanan disebut pengali Lagrange.

59 3. METODE LAGRANGE CONTOH 1: Berapa luas daerah terbesar yang dapat dimiliki oleh suatu persegi panjang jika panjang diagonalnya 2? Penyelesaian: Letakkan persegi panjang dikuadran pertama. Dua sisi persegi panjang sepanjang sumbu-sumbu koordinat. Titik sudut yang berhadapan dengan titik asal mempunyai koordinat (x,y), dengan x dan y positif. Panjang diagonalnya adalah dan luasnya adalah xy. Jadi, kita boleh merumuskan masalah berupa pemaksimuman f(x,y) = xy terhadap kendala g(x,y) = x 2 + y 2 4 =0

60 3. METODE LAGRANGE CONTOH 1 (lanjutan penyelesaian): Jadi, kita boleh merumuskan masalah berupa pemaksimuman f(x,y) = xy terhadap kendala g(x,y) = x 2 + y 2 4 =0 Memanggil kembali Teorema A dan Gradien yang berpadanan adalah Persamaan Lagrange menjadi (1) (2) (3) yang harus diselesaikan secara serentak.

61 3. METODE LAGRANGE CONTOH 1 (lanjutan penyelesaian): (1) (2) (3) Persamaan (1) dikalikan dengan y, menjadi: (4) (5) Dari Persamaan (4) dan Persamaan (5), diperoleh: (6) Dari Persamaan (6) ke Persamaan (4), diperoleh: dan Substitusi nilai x dan y ke Persamaan (1), diperoleh:

62 3. METODE LAGRANGE CONTOH 1 (lanjutan penyelesaian): Jadi, penyelesaian Persamaan (1) sampai (3), dengan membuat x dan y positif, adalah (1) (2) (3) Kita simpulkan bahwa persegi panjang yang luasnya terbesar dengan diagonal 2 adalah bujursangkar, yang panjang sisinya. Luasnya adalah 2. Tafsiran geometri masalah ini diperlihatkan pada Gambar pada slide selanjutnya.

63 3. METODE LAGRANGE CONTOH 1 (lanjutan penyelesaian):

64 3. METODE LAGRANGE CONTOH 2: Gunakan metode Lagrange untuk mencari nilai-nilai maksimum dan minimum dari pada ellips Penyelesaian: Kita boleh menuliskan kendala sebagai g(x,y) = x 2 + 4y 2 4 = 0 Persamaan-persamaan Lagrange adalah (1) (2) (3)

65 3. METODE LAGRANGE CONTOH 2 (lanjutan penyelesaian): Persamaan-persamaan Lagrange adalah (1) (2) (3) Perhatikan dari persamaan ketiga bahwa x dan y keduanya tidak dapat sama dengan nol. Jika, persamaan (1) menyimpulkan bahwa. Kemudian, Persamaan (2) mensyaratakan bahwa. Kita simpulkan dari Persamaan (3) bahwa. Jadi, kita telah memperoleh titik-titik kritis.

66 3. METODE LAGRANGE CONTOH 2 (lanjutan penyelesaian): Persamaan-persamaan Lagrange adalah (1) (2) (3) Kemudian, jika, dari Persamaan (2) diperoleh. Berdasar Persamaan (1),. Dari Peramaan (3),. Kita simpulan bahwa juga merupakan titik-titik kritis.

67 3. METODE LAGRANGE CONTOH 2 (lanjutan penyelesaian): Dari hasil penyelesaian Persamaan Lagrange, kita memperoleh titiktitik kritis adalah ( 2,0) dan (0, 1). Sekarang, untuk, Sehingga nilai minimum dari f(x,y) pada ellips yang diberikan adalah -4; nilai maksimum adalah 1.

68 3. METODE LAGRANGE CONTOH 3: Tentukan minimum f(x,y,z) = 3x + 2y + z + 5, terhadap kendala g(x,y,z) = 9x 2 + 4y 2 z = 0. Penyelesaian: Gradien f dan g adalah: Untuk menemukan titik-titik kritis, kita pecahkan dan

69 3. METODE LAGRANGE CONTOH 3 (lanjutan penyelesaian): Gradien: Solusi dan Ini setara, dengan memecahkan sistem empat persamaan simultan berikut dalam empat peubah x, y, z,. (1) (2) (3) (4)

70 3. METODE LAGRANGE CONTOH 3 (lanjutan penyelesaian): Dari Persamaan (3), diperoleh: (1) (2) (3) (4) (5) Substitusi Persamaan (5) ke Persamaan (1), diperoleh: (6) Substitusi Persamaan (5) ke Persamaan (2), diperoleh: (7)

71 3. METODE LAGRANGE CONTOH 3 (lanjutan penyelesaian): (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) Substitusi Persamaan (6) dan Persamaan (7) ke Persamaan (4), diperoleh: Jadi penyelesaian sistem empat persamaan simultan tersebut adalah

72 3. METODE LAGRANGE CONTOH 3 (lanjutan penyelesaian): Dan satu-satunya titik kritis adalah Maka nilai minimum f(x,y,z) terhadap kendala g(x,y,z) = 0 adalah Bagaimana kita mengetahui bahwa nilai di atas adalah suatu nilai minimum?

73 3. METODE LAGRANGE Bilamana lebih dari satu kendala yang ditekankan pada peubahpeubah suatu fungsi yang harus dimaksimumkan atau diminimumkan, digunakan pengali-pengali Lagrange tambahan. Sehingga terdapat satu pengali Lagrange untuk setiap kendala. Misalnya, jika kita mencari ekstrem suatu fungsi f tiga peubah, terhadap dua kendala g(x,y,z) = 0 dan h(x,y,z) = 0, maka kita pecahkan persamaan-persamaan: untuk x, y, z, dan, dengan dan adalah pengali-pengali Lagrange. (1) (2) (3)

74 3. METODE LAGRANGE Ini setara dengan terhadap pencarian penyelesaian sistem lima persamaan simultan dalam peubah-peubah x, y, z, dan. (1) (2) (3) (4) (5) Dari penyelesaian sistem ini, kita peroleh titik-titik kritis.

75 3. METODE LAGRANGE CONTOH 4: Tentukanlah nilai-nilai maksimum dan minimum dari pada ellips yang merupakan perpotongan tabung pada bidang

76 3. METODE LAGRANGE CONTOH 4 (lanjutan penyelesaian): Penyelesaian: Kita ingin memaksimumkan dan meminimumkan terhadap dan Persamaan-persamaan Lagrange yang berpadanan adalah (1) (2) (3) (4) (5)

77 3. METODE LAGRANGE CONTOH 4 (lanjutan penyelesaian): Persamaan-persamaan Lagrange yang berpadanan adalah Dari Persamaan (1), diperoleh (1) (2) (3) (4) (5) (6) Dari Persamaan (2) dan (3), diperoleh (7)

78 3. METODE LAGRANGE CONTOH 4 (lanjutan penyelesaian): Persamaan-persamaan Lagrange yang berpadanan adalah (1) (2) (3) (4) Substitusi Persamaan (6) dan Persamaan (7) ke Persamaan (4), diperoleh (5) (6) (7) Jika

79 3. METODE LAGRANGE CONTOH 4 (lanjutan penyelesaian): Kita simpulkan bahwa 5 adalah nilai maksimum dan 1 adalah nilai minimum.

80 TERIMAKASIH