SOLUSI NUMERIK PERSAMAAN DIFUSI ANISOTROPIK

Transkripsi

1 SOLUSI NUMERIK PERSAMAAN DIFUSI ANISOTROPIK VERA NURMA YUNITA PROGRAM STUDI MATEMATIKA FSM UNIVERSITAS DIPONEGORO Jl. Prof. H. Soedarto, S.H. Tebalang Searang ABSTRAK. Persaaan difusi anisotropik adala sala satu persaaan yang tidak uda untuk encari solusi analitik. Pada skripsi ini, penulis ebaas solusi dari persaaan difusi anisotropik. Pertaa, penulis endiskritisasi persaaan dengan etode selisi ingga undur teradap waktu dan selisi ingga tenga teradap ruang. Diskritisasi akan ebentuk sebua siste persaaan linier. Terakir, siste persaaan linier tersebut akan diselesaikan dengan etode GMRES untuk enentukan solusi nuerik. Kata kunci : difusi anisotropik, selisi ingga, solusi nuerik, GMRES. I. PENDAHULUAN Persaaan difusi adala persaaan diferensial parsial yang enggabarkan dinaika kepadatan baan enalani difusi. Seentara persaaan difusi anisotropik adala sala satu bentuk dari persaaan difusi di ana terdapat unsur koefisien difusi di dalanya. Jika koefisien difusi tersebut berupa konstanta, aka persaaan enadi differensial linier atau persaaan panas. Persaaan difusi anisotropik yang akan dibaas adala persaaan difusi anisotropik berupa persaaan panas diensi satu. Tidak seua asala fisis dala odel ateatis dapat diselesaikan secara analistis. Untuk enyelesaikan perasalaan ini biasanya digunakan penyelesaian nueris, di ana persaaan dasar diuba enadi persaaan yang anya berlaku pada titik-titik tertentu di dala doain penyelesaian. Pengubaan persaaan tersebut dapat enggunakan etode eleen ingga ataupun etode beda ingga. Untuk perasalaan satu diensi, etode yang uu digunakan adala etode beda ingga karena uda digunakan dan lebi daulu dikenal seingga sifat-sifatnya suda difaai (Luknanto, 23).

2 Seentara untuk enentukan nilai solusi pendekatan sisten linier skala besar digunakan GMRES. GMRES (Generelized Minial Residual) adala sebua etode yang pertaa kali diusulkan ole Saad dan Scultz. Metode GMRES erupakan etode iteratif yang populer untuk enyelesaikan siste persaaan linier skala besar. Pada tugas akir ini akan dibaas penentuan solusi nuerik persaaan panas diensi satu dengan enggunakan etode selisi ingga dan GMRES sebagai etode penyelesaikan siste persaaan linier skala besar. Materi pendukung yang berkaitan dengan ateri pokok seingga akan eperuda peaaan tentang ateri yang disaikan. Bab ini terdiri atas epat subbab yaitu persaaan differensial parsial, deret Taylor, atriks, vektor dan proses Gra - Scidt. 1.1 Persaaan Differensial Parsial Jika turunan fungsi bergantung pada lebi dari satu variabel disebut persaaan differensial parsial. Bentuk uu persaaan differensial parsial orde kedua, Au xx + 2Bu xy + Cu yy + Du x + Eu y + Fu + G = dengan A, B, C, D, E, F dan G adala fungsi dari x, y atau konstanta bilangan riil. Maca aca persaaan differensial parsial : i. Persaaan Parabolik : u t = c 2 u xx, (persaaan panas diensi satu) ii. Persaaan Hiperbolik : u tt = c 2 u xx, (persaaan gelobang diensi satu) iii. Persaaan Eliptik : u xx + u yy =, (persaaan Laplace diensi dua) 1.2 Deret Taylor Secara ateatis dapat ditulis u x i + = u x i + 1! u (x i ) + 2 2! u (x i ) + + n n! u n (x i ) + O n+1 dengan adala x, indeks i erupakan titik grid, indeks n enunukkan tie step dan O n +1 adala peotongan error.

3 Karena itu awaban yang diperole anya berupa pendekatan dari pengabilan beberapa suku dan engabaikan sisanya. Kesalaan ini disebut dengan kesalaan peotongan, yang ditulis dala bentuk: R n = O( x n+1 ) Indeks n enunukkkan bawa deret yang diperitungkan adala sapai pada suku ke-n, sedangkan subskrip n + 1 enunukkan bawa kesalaan peotongan epunyai order n + 1, O x n+1 notasi berarti bawa kesalaan peotongan epunyai order x n+1, atau kesalaan adala sebanding dengan langka ruang pangkat n + 1. kesalaan peotongan tersebut kecil ika : 1. Interval x adala kecil. 2. Meperitungkan lebi banyak suku dari deret Taylor. 1.3 Matriks dan Vektor a. Sparse Matriks Sparse atriks biasa dikenal sebagai atriks yang eiliki eleen eleen nol yang banyak. Conto : b. Basis Definisi 1.1[1] A = a 11 a 12 a 21 a 22 a 23 a 32 a 33 a n Jika V adala sebarang ruang vektor dan S = v 1, v 2,, v n adala sebua ipunan beringga dari vektor vektor di dala V, aka S dinaakan sebua basis dari V ika i. S bebas linier, Definisi 1.2[1] Misalkan V suatu ruang vektor dan v 1, v 2,, v n S. Hipunan v 1, v 2,, v n dikatakan bebas linier ika persaaan

4 k 1 v 1 + k 2 v 2 + k 3 v k n v n = anya dapat dipenui ole k 1 = k 2 = k 3 = = k n =. ii. S erentang di V. Definisi 1.3[1] Misalkan V suatu ruang vektor dan v 1, v 2,, v n S. Hipunan v 1, v 2,, v n dikatakan erentang V ika setiap vektor di V erupakan kobinasi linier dari v 1, v 2,, v n. c. Ruang Perkalian Dala Definisi 2.4[1] Sebua perkalian dala (inner product) pada ruang vektor V adala fungsi yang engasosiasikan bilangan riil u, v dengan setiap pasang vektor u dan v di dala V sedeikian rupa seingga aksioa aksioa berikut dipenui untuk seua vektor u, v, dan w di dala V dan untuk seua skalar k. i. u, v = v, u ii. u + v, w = u, w + v, w iii. ku, v = k u, v iv. v, v dan v, v = ika dan anya ika v = 1.4 Proses Gra Scidt Berikut erupakan langka langka untuk engasilkan basis ortonoral v 1, v 2,, v n untuk V. Langka pertaa, isalkan v 1 = u 1 u 1. Vektor v 1 epunyai nor 1. Langka kedua, untuk ebangun sebua vektor v 2 yang nornya 1 dan ortogonal teradap v 1, itung koponen dari u 2 yang ortogonal teradap ruang w 1 yang direntang ole v 1 dan keudian noralisasikan koponen u 2 tersebut, v 2 = u 2 u 2, v 1 v 1 u 2 u 2, v 1 v 1 Jika u 2 u 2, v 1 v 1 = aka noralisasi tidak dapat dilakukan. Tetapi ini tidak dapat teradi karena ika deikian akan diperole

5 u 2 = u 2, v 1 v 1 = u 2, v 1 u 1 u 1 yang engatakan bawa u 2 erupakan kelipatan dari u 1 yang bertentangan dengan sifat bebas linier dari basis S = u 1, u 2,, u n. Dengan eneruskan cara ini aka akan didapat sebua ipunan ortonoral dari vektor vektor v 1, v 2,, v n. Karena V berdiensi n dan karena tiap tiap ipunan ortonoral bebas linier, aka ipunan v 1, v 2,, v n erupakan sebua basis untuk V. II. HASIL DAN PEMBAHASAN 2.1 Diskritisasi Persaaan Difusi Anisotropik dengan Metode Selisi Hingga Pada bab ini akan dibaas engenai solusi dari persaaan difusi anisotropik. Diketaui bentuk uu dari persaaan difusi anisotropik adala u x,t t = [D u, x u x, t ] 3.1 dengan u (x, t) adala densitas pada ruang x dan waktu t, D (u, x) adala koefisien difusi di ruang x, dan adala operator Laplace, = x + t Persaaan difusi anisotropik yang akan dibaas adala persaaan difusi anisotropik pada diensi satu. Koefisien difusi D u, x adala konstanta, aka persaaan enadi differensial linier atau persaaan panas. Berikut akan ditentukan solusi analitik dari persaaan panas. Bentuk uu persaaan panas adala u x,t x = c 2 2 u x 2, x l, t > 3.2 dengan c 2 adala konstanta dan bergantung pada sifat aterial. Agar solusi dari asala ada dan tunggal, dibutukan kondisi kondisi berikut : i. Kondisi awal u x, = f x, x l ii. Kondisi batas u, t = T 1, u l, t = T 2, t > dengan solusi analitik persaaan tersebut adala

6 u x, t = n =1 B n e c 2 nπ l konstanta B n arus eenui persaaan agar 2 t sin nπx u x, = f x, x l u x, t = n =1 B n sin nπx l l = f(x) Pada tugas akir ini anya akan ebaas solusi nuerik persaaan anisotropik diensi satu enggunakan gabungan pendekatan dua etode yaitu selisi ingga undur teradap waktu dan selisi ingga tenga teradap ruang (backward tie - central space etod). u x i, t u x i, t 1 t = c 2 u x i+, t 2u x i, t + u x i, t 2 Substitusikan persaaan selisi ingga undur pada waktu dan persaaan selisi ingga tenga pada ruang ke persaaan panas satu diensi diperole w i, 1 = 1 + 2α w i, αw i+1, + αw i 1,. dengan α = c 2 t, seingga engasilkan siste persaaan linier 2 Aw i, = w i, Solusi Siste Persaaan Linier dengan GMRES Dala subbab ini akan dibaas satu algorita untuk encari basis subruang Krylov. Dala al ini, notasi nn R dan ipunan seua atriks real berukuran real berukuran n 1. Definisi 3.1[8] Diberikan vektor nn A R dan disebut subruang Krylov. n R berturut-turut enyatakan n n dan ipunan seua atriks n b R. Subruang yang direntang ole ipunan b, Ab, A 2 b,..., A 1 b

7 Selanutnya, subruang Krlov vektor yang direntang ole n b R dinotasikan dengan A b b Ab A 2 1,,, b,..., A b K. Bilangan asli enyatakan banyaknya vektor dala K A,b ainan bawa vektor dala A,b diensi A,b nn A R dan. Tidak ada K bebas linear. Ole karena itu, K saa dengan atau kurang dari. Secara kusus, K A, b 1 dengan X di 1 di enyatakan diensi ruang vektor X. Algorita Arnoldi adala sala satu algorita untuk encari basis subruang Krylov K ( A, b). Algorita Arnoldi erupakan odifikasi algorita Gra-Scidt untuk encari vektor-vektor ortogonal dari ipunan vektor yang diberikan. Algorita Arnoldi dituliskan sebagai berikut. Algorita 1 (Algorita Arnoldi) Input : 1. Hitung 2. Untuk nn A R, v 1 b b 1,2,...,, kerakan 2.1. untuk k 1,2,...,, kerakan T itung k, vk Av 2.2. u Av k, vk , u n b R, dan bilangan asli n k Jika aka stop 1, 2.5. v 1 u 1, 3. Stop. Jika Algorita 1 dikerakan, aka diperole dua atriks berikut

8 (1). atriks Hessenberg H 1,1 2,1 1,2 2,2 3,2 1,3 2,3 3,3 4,3 1,4 2,4 3,4 4,4 5,4 1,5 2,5 3,5 4,5 5,5 (2). atriks V v v. 1 2 v 1, 1 2, 1 3, 1 4, 1 5, 1 1, 1, 1 1, 2, 3, 4, 5, 1,, R Vektor-vektor kolo atriks V erupakan basis untuk subruang Krylov K ( A, b). Untuk selanutnya, atriks Hessenberg yang diasilkan ole algorita Arnoldi dinotasikan dengan H. Teorea berikut eperliatkan ubungan antara atriks input dan atriks output dala Algorita 1. Peratikan vektor-vektor eleen subruang Krylov K A, r ) dengan Ax ( r b. Untuk setiap vektor x x K A, ) dapat ditulis x x V y ( ) untuk suatu vektor ) yang diasilkan ole Algorita 1. Algorita 2. (Algorita GMRES) 1. Pili titik awal x R k dan itung ( r y ( R dan V V atriks basis r = b Ax dan v 1 = r r 2. Konstruksikan vektor ortonoral v 1, v 2,, v k dengan algorita Tentukan vektor y R k agar diperole b Ay in x R k b Ax 4. x k = x + r V k y dengan V k = v 1, v 2,, v k III. KESIMPULAN Dari pebaasan yang tela diuraikan pada bab sebelunya, dapat tunukan bawa solusi nuerik dari persaaan difusi anisotropik u x, t t = D u, x u x, t

9 dengan u (x, t) adala densitas pada ruang x dan waktu t, D (u, x) adala koefisien difusi di ruang x, dan adala operator Laplace, = x + t kususnya persaaan panas diensi satu u x,t x = c 2 2 u x 2, x l, t > dengan etode selisi ingga undur teradap waktu dan selisi ingga tenga teradap ruang (backward tie - central space etod) engasilkan persaaan w i, 1 = 1 + 2α w i, αw i+1, + αw i 1, dengan solusi berupa siste persaaan linier sebagai berkut: Aw i, = w i, 1 Untuk eudakan penyelesaian siste persaaan linier di atas digunakan Algorita GMRES. Algorita GMRES dapat digunakan untuk enentukan solusi siste persaaan linier skala besar. Dala tugas akir ini pebaasan engenai solusi nuerik anya terbatas pada persaaan difusi anisotropik diensi satu. Metode yang digunakan uga erupakan gabungan dua skea etode selisi ingga. Ole karena itu, tugas akir ini dapat dikebangkan engenai solusi persaaan difusi anisotropik secara uu, eliputi persaaan difusi anisotropik diensi 2 dan seterusnya. Atau dapat uga dengan enggabungkan dua skea lain pada etode selisi ingga seingga dapat dibandingkan asilnya. IV. DAFTAR PUSTAKA [1] Anton, Howard. 25. Alabar Linier Eleenter Edisi Ketiga. Surabaya. Erlangga [2] Antoulas, A. C. 25. Approxiation of Large Scale Dynaical Systes. Piladelpia. SIAM. [3] Borck, Ake Nuerical Metods for Least Squares Probles. SIAM. [4] Froberg, Carl Erick Introduction to Nuerical Analysis Second Edition. Addison Wisley Publising Copany. USA.

10 [5] Iyengar, S. R. K, Jain, R. K. 29. Nuerical Metods. New Age International Publiser. [6] Iyengar, S. R. K, Jain, M. K, and Jain, R. K. Nuerical Metods (Proble and Solutions). New Deli. New Age International. [7] Lui, S. H Nuerical Analysis of Partial Differential Equations. Canada. Wiley. [8] Saad, Yousef. 23. Iterative Metods For Sparse Linier Systes, Second Edition. Piladelpia. SIAM.