METODE ITERASI TIGA LANGKAH DENGAN ORDE KONVERGENSI LIMA UNTUK MENYELESAIKAN PERSAMAAN NONLINEAR BERAKAR GANDA ABSTRACT

Transkripsi

1 METODE ITERASI TIGA LANGKAH DENGAN ORDE KONVERGENSI LIMA UNTUK MENYELESAIKAN PERSAMAAN NONLINEAR BERAKAR GANDA Zuhnia Lega 1, Agusni, Supriadi Putra 1 Mahasiswa Progra Studi S1 Mateatika Laboratoriu Mateatika Terapan, Jurusan Mateatika Fakultas Mateatika dan Ilu Pengetahuan Ala Universitas Riau Kapus Binawidya Pekanbaru 893, Indonesia zuhnial@gail.co ABSTRACT This article discusses the three-step iterative ethod free fro derivatives, odified fro Newton s three-step ethod that contains two derivatives, to find a ultiple root of a nonlinear equation with unknown ultiplicity. This iterative ethod has fifth order of convergence and for each iteration, it requires four function evaluations, so the efficiency index of the ethod is Furtherore, the coputational test shows that the discussed ethod is better than the coparison ethod when the success of this ethod is seen in getting estiated roots. Keywords: Nonlinear equation, ultiple roots, three steps iterative ethod, forward difference, divided difference, ultiplicity, order of convergence. ABSTRAK Artikel ini ebahas etode iterasi tiga langkah tanpa elibatkan turunan yang diodifikasi dari etode Newton tiga langkah yang euat dua turunan untuk eneukan persaaan nonlinear berakar ganda dengan ultiplisitas yang tidak diketahui. Metode iterasi ini epunyai orde konvergensi lia dan untuk setiap iterasinya eerlukan epat perhitungan fungsi, sehingga indek efisiensinya adalah Selanjutnya dari uji koputasi terlihat bahwa etode iterasi yang didiskusikan lebih baik dari etode pebanding apabila keberhasilan etode ini dilihat dala endapatkan akar taksiran. Kata kunci: Persaaan nonlinear, akar ganda, etode iterasi tiga langkah, beda aju, beda terbagi, ultiplisitas, orde konvergensi. JOM FMIPA Volue 1 No. Oktober

2 1. PENDAHULUAN Banyak etode nuerik yang dapat digunakan untuk encari solusi dari persaaan nonlinear, salah satu diantaranya yang paling sering digunakan adalah Metode Newton. Dala artikel ini diodifikasi etode iterasi Newton tiga langkah untuk enyelesaikan persaaan nonlinear berakar ganda dengan ultiplisitas tidak diketahui. Untuk kasus seperti ini, Traub [6, h. 35] enggunakan sebuah transforasi sederhana f 0 x fx = f 0x, jika f 0x 0, 1 0, jika f 0 x = 0. Dala kasus ini penyelesaian akar ganda dari f 0 x direduksi enjadi peyelesaian akar sederhana dari fx, dan oleh sebab itu etode iterasi anapun dapat digunakan untuk epertahankan orde konvergensi aslinya. Selanjutnya untuk enghindari evaluasi turunan pada persaaan 1, King [] enggunakan bentuk transforasi { f0 x f fx =, jika f 0 x f 0 x f 0 x 0x 0, 0, jika f 0 x = 0, dan enggunakan etode iterasi Secant x n 1 x n x n+1 = x n fx n, n = 1,, 3,. 3 fx n 1 fx n Selanjutnya Wu dan Fu [8] enggunakan transforasi { f 0 x f fx =, jika f 0 x f 0 x f 0 x 0x 0, 0, jika f 0 x = 0. 4 Bentuk iterasi yang digunakan adalah x n+1 = x n f x n µ f x n + fx n fx n fx n, 5 diana paraeter µ R, µ <. Parida dan Gupta [4] enggunakan bentuk iterasi yang saa dengan Wu dan Fu, naun enyarankan transforasi lain sebagai berikut fx = { f 0 x, δ+f 0 x+f 0 x f 0 x jika f 0x 0, 0, jika f 0 x = 0, diana δ = signf 0 x + f 0 xf 0 x. Dala artikel ini pada bagian kedua akan dibahas etode iterasi tiga langkah untuk enyelesaikan persaaan nonlinear berakar ganda diana ultiplisitas tidak diketahui yang erupakan review dari artikel Xiaowu Li, Chunlai Mu, Jinwen 6 JOM FMIPA Volue 1 No. Oktober 014 9

3 Ma, dan Linke Hou [3], dengan judul Fifth-Order Iterative Method for Finding Multiple Roots of Nonlinear Equations. Selanjutnya di bagian tiga dan epat elakukan analisa kekonvergenan dan uji koputasi.. METODE ITERASI TIGA LANGKAH DENGAN ORDE KONVERGENSI LIMA UNTUK MENYELESAIKAN PERSAMAAN NONLINEAR BERAKAR GANDA Pada bagian ini diberikan beberapa definisi dasar untuk pebahasan selanjutnya, keudian dilanjutkan dengan proses terbentuknya beberapa etode iterasi baru. Definisi 1 Orde Konvergensi [5] Misalkan barisan bilangan real {x n } n=0 konvergen ke x dan nyatakan e n = x n x untuk n 0. Jika terdapat konstanta positif p > 0, sehingga li n x n+1 x x n x p = C 0, aka barisan tersebut dikatakan konvergen ke x dengan orde konvergensi p. Konstanta C disebut konstanta kesalahan asitotik asyptotic error constant. Jika p = 1, dan 1 < p <, aka orde konvergensi dengan barisan bilangan real berturut-turut dikenal dengan istilah linear, kuadratik, dan superlinear. Definisi Persaaan Tingkat Kesalahan [5] Apabila notasi e n = x n x erupakan notasi untuk nilai tingkat kesalahan pada iterasi ke-n, aka e n+1 = Ce p n + Oe p+1 n disebut sebagai persaaan tingkat kesalahan, dengan nilai p enunjukan orde konvergensinya. Secara koputasi, orde konvergensi juga dapat dihitung dengan enggunakan definisi COC Coputational Order of Convergence berikut. Definisi 3 COC [7] Misalkan x adalah akar dari suatu persaaan nonlinear fx = 0, dan x n 1, x n, x n+1 adalah tiga iterasi berturut-turut yang cukup dekat ke akar x. Orde konvergensi secara koputasi COC dapat diaproksiasikan dengan ruus COC ln x n+1 x /x n x ln x n x /x n 1 x. Definisi 4 Multiplisitas [1, h. 94] Akar x dari fx dikatakan epunyai ultiplisitas jika fx = x x hx untuk hx fungsi kontinu dengan hx 0, dan bilangan bulat positif. JOM FMIPA Volue 1 No. Oktober

4 .1 Metode Iterasi untuk Mencari Akar Ganda Metode iterasi untuk encari akar ganda diperoleh dengan eodifikasi etode Newton tiga langkah sebagai berikut y n = x n fx n f x n, z n = y n fy n f x n, x n+1 = z n fz n, n = 0, 1,,. f z n 7 Turunan f x n pada persaaan 7 ditaksir dengan enggunakan beda aju forward difference sebagai berikut pendekatan dengan h = fx n, sehingga f x n fx n + h fx n, h f x n fx n + fx n fx n fx n = gx n. 8 Sedangkan turunan f z n pada persaaan 7 dapat ditaksir dengan fz n fx n f z n = fz f n fy n x n z + n x n z n y n z n y n z n x n f z n = f[z n, y n ] + f[z n, x n, x n ]z n y n = F x n, y n, z n. 9 Dengan enggunakan persaaan 8 dan 9 aka persaaan 7 dapat ditulis enjadi y n = x n fx n gx n, z n = y n fy n gx n, 10 fz n x n+1 = z n, n = 0, 1,,. F x n, y n, z n Persaaan 10 disebut etode iterasi tiga langkah untuk enyelesaikan persaaan nonlinear berakar ganda MIOL untuk kasus ultiplisitas tidak diketahui. Penyelesaian akar ganda dari f 0 x = 0 yang diberikan akan ditransforasi ke dala penyelesaian akar sederhana fx = 0. Transforasi yang digunakan adalah persaaan 1.. Mencari Multiplisitas Berdasarkan Definisi 4, f 0 x dapat dinyatakan sebagai berikut f 0 x = x x hx, 11 JOM FMIPA Volue 1 No. Oktober

5 dan turunan persaaan 11 terhadap x adalah f 0x = x x 1 hx + x x h x. 1 Persaaan 11 dibagi dengan persaaan 1, diana e n = x n x diperoleh fx n = sehingga e n hx n hx n + e n h x n. 13 Karena e n bernilai sangat kecil, aka persaaan 13 dapat diaproksiasikan enjadi fx n e nhx n hx n, sehingga diperoleh fx n e n. Dengan cara yang saa diperoleh fx n+1 e n+1, sehingga ultiplisitasnya dapat ditaksir dengan enghitung fx n+1 fx n x n+1 x n x n+1 x n fx n+1 fx n. Selanjutnya akan ditunjukkan etode iterasi tiga langkah pada persaaan 10 eiliki orde konvergensi lia. 3. ANALISA KEKONVERGENAN Teorea 5 Misalkan fungsi f : D R epunyai sebuah akar sederhana x D, diana D interval buka. Jika x 0 cukup dekat dengan x, aka etode iterasi tiga langkah pada persaaan 10 eiliki orde konvergensi lia. Bukti: Dengan enggunakan Definisi 4 aka f 0 x bisa dituliskan enjadi f 0 x = x x hx. 14 Turunan pertaa dari persaaan 14 terhadap x adalah f 0x = x x 1 hx + x x h x. 15 Berdasarkan transforasi yang ditunjukkan oleh persaaan 1, aka dengan ebagi persaaan 14 dan 15 diperoleh f 0 x f 0x = x x hx hx + x x h x. 16 Dari persaaan 16, persoalan enghitung akar ganda dari f 0 x = 0 direduksi enjadi persoalan enghitung akar sederhana dari fx = 0. JOM FMIPA Volue 1 No. Oktober

6 Keudian dilakukan ekspansi Taylor untuk hx n disekitar x n = x sapai orde lia dan engabaikan orde yang lebih tinggi diperoleh dengan hx n = hx 1 + b 1 e n + b e n + b 3 e 3 n + b 4 e 4 n + b 5 e 5 n + Oe 6 n, 17 b k = hk x, k = 1,, 3. k!hx Selanjutnya dilakukan ekspansi Taylor untuk h x n disekitar x n = x, setelah disederhanakan diperoleh h x n = hx b 1 + b e n + 3b 3 e n + 4b 4 e 3 n + 5b 5 e 4 n + Oe 5 n. 18 Substitusikan persaaan 17 dan 18 ke persaaan 16, keudian bagi kedua ruas dengan diperoleh fx n = e n1 + b 1 e n + b e n + b 3 e 3 n + b 4 e 4 n + b 5 e 5 n + Oe 6 n + b 1 e n + b e n + + 4b 4 e 4 n + 5b 5 e 5 n + Oe 6 n e n + b 1e n + b e 3 n + b 3e 4 n + b 4e 5 n + b 5e 6 n + Oe6 n fx n = 1 + b 1 + b 1 e n + + b 5 + 5b 5 e 5 n Oe 6 n Untuk enyelesaikan persaaan 19 digunakan identitas geoetri sebagai berikut dengan r = b 1 + b 1 e n aka diperoleh r = r = 1 r + r r oe n n. + b + b e n + b 5 + 5b 5 e 5 n + b 4 + 4b 4 e 4 n + Oe 6 n, + b 3 + 3b 3 e 3 n b1 b b 1 e n + + b 1 + b 1 b + b 1 + b b b 1 4b e 3 n b4 1 + e 4 3 n + b 3 b + 8b b e n + e 5 n + Oe 6 n. 0 Dengan ensubstitusikan persaaan 0 ke persaaan 19 diperoleh fx n = e n b 1e n b b 1 b e 3 3 n + 3b b 1 b b3 b 1 + b4 1 5 e 4 n e 5 n + Oe 6 n. 1 JOM FMIPA Volue 1 No. Oktober

7 Keudian untuk enghitung gx n pada persaaan 8, isalkan w n = x n + fx n. Saa seperti cara sebelunya nyatakan fw n enjadi persaaan 16 Setelah disederhanakan diperoleh 1 fw n = + 1 e n fw n = f 0w n f 0w n = w n x hw n hw n + w n x h w n. b 1 4b 1 3b 1 3 b b 1 + b 1 8 4b b 1 + 9b e 3 n + e n b3 1 b e 4 n e 5 n + Oe 6 n. Selanjutnya substitusikan persaaan dan 1 ke persaaan 8, diperoleh gx n = 1 + 3b 1 3b 1 b 1 4b e 3 4 n b 1 e 7 n 15b b 1 + b3 1 e 3 4b3 b 1 10 n + + b4 1 e 4 13 n 18b b5 1 e n + Oe 6 n. 3 Keudian untuk enghitung y n, bagi persaaan 1 dan 3. Keudian subtitusikan ke langkah pertaa dari persaaan 10 sehingga diperoleh y n = x b b 1 + b 1 e 6b 3 n + + b e 3 4 n 6b b 3 e 4 0b b 1 5 n b 1b e 5 8 n + Oe 6 n. 4 Keudian untuk enentukan z n pada langkah kedua dari persaaan 10, perlu dicari nilai fy n. Saa seperti sebelunya nyatakan fy n enjadi persaaan 16 fy n = f 0y n f 0y n = y n x hy n hy n + y n x h y n. Setelah disubtitusi dan disederhanakan diperoleh fy n = b 1 3b 1 b 1 3b e 3 4 n + 1 b 1 6 1b b 1 + b3 1 e 4 7 n + e 3 n 5b b e 5 n + Oe 6 n. 5 JOM FMIPA Volue 1 No. Oktober

8 Selanjutnya dengan ebagi persaaan 5 dan 3 keudian ensubtitusikan ke langkah kedua pada persaaan 10 diperoleh b z n = x b 1 e 3 34b1 b 6 4 n + + 7b3 1 e 4 7 n 34b b4 1 e 5 10 n + Oe 6 n. 6 Selanjutnya untuk enghitung x n+1 pada langkah ketiga dari persaaan 10, perlu dihitung fz n. Dengan cara yang saa seperti sebelunya, nyatakan fz n enjadi persaaan 16 fz n = f 0z n f 0z n = z n x hz n hz n + z n x h z n. Setelah disubtitusi dan disederhanakan diperoleh 6b fz n = b 1 e 3 34b b n + + b b b e 4 n e 5 n + Oe 6 n. 7 Selanjutnya perhatikan persaaan 9. Substitusikan persaaan 4, 6, 1, 5 dan 7 ke persaaan 9 sehingga diperoleh F x n, y n, z n = 1 3b b b 1 e 14 n 14b b e 5 n + Oe 6 n. 8 Bagi persaaan 7 dan 8, keudian subtitusikan ke langkah ketiga pada persaaan 10 diperoleh x n+1 = x + 1b4 1 48b b b b b4 1 8 b4 1 e n + Oe 6 n. Karena e n+1 = x n+1 x, aka persaaan tingkat kesalahan dari etode iterasi tiga langkah pada persaaan 10 adalah e n+1 = 14 4 b e n + Oe 6 n. Berdasarkan Definisi dapat disipulkan bahwa etode iterasi tiga langkah pada persaaan 10 eiliki orde konvergensi lia. JOM FMIPA Volue 1 No. Oktober

9 4. UJI KOMPUTASI Pada bagian ini dilakukan uji koputasi yang bertujuan untuk ebandingkan banyak iterasi dari Metode Newton MN orde linear, etode King [] MK,,3 dengan dua tebakan awal yaitu x 0 dan x 1 = x 0 0.1, etode Wu dan Fu [8] MWF,4,5 dengan paraeter µ = 0.1, etode Parida dan Gupta [4] MK,6,5 dengan paraeter µ = 0.5 dan etode iterasi tiga langkah dengan orde konvergensi lia [3] MIOL,1,10. Dala elakukan perbandingan ini, persaaan nonlinear yang digunakan adalah: f 01 x = x 5 4 x = x f 0 x = 8xe x x 3 8 x = f 03 x = xcosx + x 3 10 x = x + 1 f 04 x = e x +x+3 x + 9 x = f 05 x = lnx + 3x + 5 x x = f 06 x = x + x + 5 sinx x x = x 4 f 07 x = x = x f 08 x = x 1 x 17 x = f 09 x = sinxcosx x x = f 10 x = lnx + x x = Perbandingan seua contoh di atas enggunakan progra MAPLE13 dengan kriteria peberhentian untuk setiap etode adalah 1. Jika nilai utlak fungsi lebih kecil dari toleransi yang diberikan Jika selisih nilai utlak antara akar pendekatan dengan akar sebenarnya bernilai lebih kecil dari toleransi yang diberikan. 3. Jika julah iterasi encapai aksiu iterasi JOM FMIPA Volue 1 No. Oktober

10 Tabel 1: Perbandingan Julah Iterasi, COC dari Beberapa Metode Iterasi MN MK MWF MPG MIOL f 0i x 0 n COC n COC n COC n COC n COC f f f f f f f f f f Pada Tabel 1, keterangan enyatakan etode tidak dapat eneukan akar dan 100+ enyatakan julah iterasi dari etode elebihi julah iterasi aksiu. Secara keseluruhan MIOL berhasil eneukan akar yang diharapkan untuk seua contoh fungsi, dan dari segi iterasi dapat dilihat bahwa MIOL enghasilkan iterasi yang lebih sedikit jika dibandingkan dengan etode lain. Pada Tabel 1 juga dapat dilihat bahwa MK, MWF dan MPG berhasil untuk contoh fungsi f 01, f 07 dan f 08, dan gagal untuk contoh fungsi lainnya. Sedangkan MN dapat eneukan akar untuk seua contoh fungsi naun dengan tingkat keakuratan yang rendah, kecuali pada contoh fungsi kedua f 0 MN tidak dapat eneukan akar karena julah iterasi yang elebihi julah iterasi aksiu UCAPAN TERIMA KASIH Ungkapan teria kasih penulis ucapkan kepada Bapak Drs.Agusni dan Bapak Supriadi Putra, M.Si yang telah eluangkan waktu untuk eberikan bibingan, petunjuk, dan pengarahan kepada penulis dala enyelesaikan artikel ini. DAFTAR PUSTAKA [1] Atkinson, K.E Eleentary Nuerical Analysis, nd Ed. John Wiley & Sons, Inc., New York. [] King, R.F A Secant Method for Multiple Roots. BIT, 17: [3] Li, X., Mu, C., Ma. J & Hou, L Fifth-Order Iterative Method for Finding Multiple Roots of Nonlinear Equations. Nuerical Algoritha, 57: [4] Parida, P.K & Gupta, D.K An Iproved Method for Finding Multiple Roots and it s Multiplicity of Nonlinear Equations in R. Applied Matheatics and Coputation, 0: JOM FMIPA Volue 1 No. Oktober

11 [5] Shara, J.R., Guha, R.K & Shara, R Soe Modified Newton s Methods With Fourth-Order Convergence. Applied Science Research, 1: [6] Traub, J.F Iterative Methods for the Solution of Equations. Prentice Hall, Inc., Englewood Cliffs. New Jersey. [7] Weerakoon, S & Fernando, T.G.I A Variant of Newton s Method with Accelerated Third Order Convergence. Applied Matheatics Letters, 13: [8] Wu, X.Y & Fu, D.S New Higher-Order Convergence Iteration Methods Without Eploying Derivatives for Solving Nonlinear Equations. Coputers and Matheatics with Applications, 41: JOM FMIPA Volue 1 No. Oktober