Penentuan Akar-Akar Sistem Persamaan Tak Linier dengan Kombinasi Differential Evolution dan Clustering

Transkripsi

1 Jurnal Kubik, Volue No. ISSN : Penentuan Akar-Akar Siste Persaaan Tak Linier dengan Kobinasi Differential Evolution dan Clustering Jaaliatul Badriyah Jurusan Mateatika, Universitas Negeri Malang Eail: jaailatul.badriyah.at@u.ac.id Abstrak Pada artikel ini akan dibahas tentang odifikasi dari Differential Evolution untuk enentukan akar-akar dari suatu siste persaaan tak linier. Algorita Differential Evolution ini nantinya akan dikobinasikan dengan teknik clustering. Algorita Differential Evolution dengan clustering ini apu untuk enentukan akar-akar dari syste persaaan tak linier dala satu kali running. Kata Kunci: Siste Persaaan tak Linier, Differential Evolution, Clustering Abstract This paper deal with finding all roots of systes of nonlinear equations using cobination between Differential Evolution ad Clustering Technique. The result shows that Differential Evolution with clustering can be a proising algorith for finding all roots of systes of nonlinear equations. Keywords: Systes of Nonlinear Equations, Differential Evolution, Clustering Pendahuluan Banyak asalah dala Mateatika diodelkan dala suatu persaaan nonlinier dan dala enyelesaikannya engharuskan kita untuk enyelesaikan persaaan nonlinier tersebut dengan encari seua akar-akar yang ada pada persaaan tersebut. Suatu asalah nonlinear dapat diforulasikan sebagai berikut. f 1 (x) f f(x) = ( (x) ) f n (x) Diana x S = [a 1, b 1 ] [a, b ] [a n, b n ] R n dan setidaknya satu dari f 1, f,, f n erupakan fungsi tak linier. Sehingga suatu titik x S dikatakan sebagai akar dari suatu persaaan tak linier f(x) jika eenuhi f 1 (x) = 0 f (x) = 0 f n (x) = 0 Banyak etode yang sudah diajukan oleh para peneliti untuk encari seua akar-akar pada suatu persaaan nonlinier. Metode yang sering digunakan adalah etode Newton ataupun odifikasinya seperti Metode quasi-newton. Akan tetapi, etode ini epunyai keleahan yaitu keakuratan dari hasil ditentukan oleh keakuratan titik awal yang diberikan[1]. Untuk engatasi keleahan tersebut, pada saat ini banyak berkebang penggunaan algorita etaheuristic sebagai salah 17

2 Jurnal Kubik, Volue No. ISSN : satu alternatif untuk enyelesaikan persaaan nonlinier. Beberapa algorita etaheuristic yang sudah berhasil dibangun untuk enyelesaikan asalah persaaan nonlinier tersebut antara lain, Metode Multistart dan Minfinder global optiization oleh Tsoulos [], Hybrid Metaheuristic dengan Fuzzy Clustering Means oleh Sacco [3], dan Algorita Dynaics Spiral dengan clustering oleh Kania[1]. Pada artikel ini, akan dibahas tentang penentuan seua akar-akar real dari suatu persaaan nonlinier dengan enggunakan algorita Differential Evolution yang sudah diodifikasi dengan clustering. Pada algorita ini, akan didapatkan seua akar real dari suatu persaaan nonlinier dala satu kali running. Keudian algorita Differential Evolution dengan clustering yang sudah dibangun akan diuji cobakan pada beberapa asalah benchark. Metode 1. Differential Evolution Differential Evolution atau yang selanjutnya akan disebut DE erupakan suatu algorita Metaheuristic yang dikebangkan oleh Storne and Price [4]. Secara uu, ada 4 tahapan yang harus dikerjakan pada algorita DE, yaitu inisiasi, utasi, crossover, dan seleksi. Tahapan pada DE bisa dituliskan seperti berikut. Input: F (0,1) Cr [0,1] D diensi perasalahan NP = 10. D Gax Generasi Maksiu BB Batas Bawah BA Batas Atas Proses Langkah 1: Inisiasi Untuk setiap j = {1,,, D} dan i = {1,, NP}, bangkitkan populasi awal secara acak dengan ruus: x j,i,0 = BB + (BA BB)rand j [0,1) Langkah : Mutasi Pilih secara acak r 0, r 1, r, i {1,, NP} dengan r 0 r 1 r i Akan dibentuk suatu vektor utan V i,g+1 = {v 1,i,g+1, v,i,g+1,, v D,i,g+1 } dengan ruus: Langkah 3: Crossover V i,g+1 = X r0,g + F(X r1,g X r,g) Akan dibentuk vektor trial U i,g+1 = {u 1,i,g+1, u,i,g+1,, u D,i,g+1 }dengan ruus: Langkah 4: Seleksi u j,i,g+1 = { v j,i,g+1 jika rand j (0,1) Cr atau j = j rand x j,i,g jika rand j (0,1) > Cr atau j j rand X i,g+1 = { U i,g+1 jika f(u i,g+1 ) f(x i,g ) X i,g jika yang lainnya Kebali ke langkah dan seterusnya sapai g = Gax. Teknik Clustering Kania [1] eanfaatkan teknik clustering untuk encari akar-akar dari suatu syste persaaan non linier dengan enabahkan teknik clustering pada algorita Dinaic Spiral. Hasilnya, teknik 18

3 Jurnal Kubik, Volue No. ISSN : clustering ini bisa eneukan seua akar yang ungkin dari suatu syste persaaan tak linier dala satu kali running. Teknik clustering ini diulai dengan engevaluasi F(X) = 1 1+ n i=1 f i (x i ) dari suatu populasi awal. X yang epunyai nilai F(X) = 1 berarti berada di sekitar akar dari fungsi f. Misal diberikan suatu nilai 0 < γ < 1, jika dua titik x i dan x j epunyai F(x i ) dan F(x j ) yang lebih besar dari γ aka kedua titik tersebut diasukkan ke dala kandidat. Keudian isalkan x t = x i+x j dan x j, lakukan evaluasi terhadap F(x t ). erupakan titik tengah dari x i Jika F(x i ) dan F(x j ) lebih besar dari F(x t ), aka x i dan x j erupakan kandidat yang potensial untuk enjadi akar fungsi f. Keudian kita bisa ebentuk dua cluster yang berbeda dengan asing-asing x i dan x j sebagai pusatnya Jika F(x t ) berada di antara F(x i ) dan F(x j ), aka kandidat yang potensial untuk enjadi akar adalah titik yang epunyai nilai F lebih besar dari F(x t ) Jika F(x t ) lebih besar dari F(x i ) dan F(x j ), aka ketiga titik x t, x i dan x j erupakan kandidat yang potensial untuk enjadi akar Keudian dilakukan evaluasi terhadap nilai F dari asing-asing titik yang enjadi kandidat potensial untuk enjadi akar. Kandidat potensial yang dipertahankan adalah kandidat x yang epunyai nilai 1 F(x) < δ untuk suatu nilai 0 < δ < 1. Misal terdapat n kandidat akar yang dipertahankan, lakukan evaluasi terhadap asing-asing kandidat sehingga tidak ada kandidat yang saa dengan aturan untuk setiap i, j = 1,.., n, Pilih x i dan x j sebagai akar jika x i x j > δ Jika x i x j δ pilih salah satu yang epunyai nilai F lebih besar. Hasil dan Diskusi 1. Differential Evolution dengan Teknik Clustering Pada penelitian ini, akan diperkenalkan suatu odifikasi dari algorita Differential Evolution dengan enabahkan teknik clustering didalanya untuk enentukan akar-akar dari suatu syste persaaan tak linier. Algorita ini diulai dengan pebangkitan populasi awal dengan aturan inisiasi pada DE. Keudian teknik clustering dilaksanakan pada populasi awal yang telah dibangkitkan tersebut. Proses berlanjut pada utasi, crossover, dan seleksi seperti pada tahapan DE. Keudian individu baru yang didapat dari hasil seleksi dikenakan teknik clustering dan proses berlanjut sapai diteukan akar-akar yang enjadi solusi dari siste persaaan tersebut. Secara rinci, Differential Evolution dengan Clustering dapat ditulis sebagai berikut. Input Input pada DE: F, Cr, D, NP, Gax, BB, BA (> 1) banyaknya cluster γ(0 < γ < 1) cut-off dari F ε(0 < ε < 1) paraeter untuk diteria sebagai akar δ(0 < δ < 1) paraeter untuk enentukan dua akar saa atau tidak k(> 1) axiu iterasi untuk setiap cluster Proses Langkah 1: Inisiasi pada DE Langkah : Clustering Evaluasi nilai F untuk populasi awal 19

4 Jurnal Kubik, Volue No. ISSN : bentuk x = x ig (0) diana i g = arg axf(x i (0)), diana i = 1,.., sipan x sebagai pusat dari cluster pertaa dengan jari-jarinya 1 (in t b t a t ) dengan t = 1,, n lakukan uji jika F(x i ) > γ aka x i bukanlah pusat dari cluster tersebut, keudian lakukan: fungsi cluster(input teukan cluster yang titik pusatnya paling dekat dengan y issal cluster tersebut adalah C dengan titik pusatnya x c buat x t titik tengah antara y dan x c evaluasi nilai F untuk asing-asing x t, x c, y dengan aturan: jika F(, F(x c ) > F(x t ) aka buat cluster baru dengan pusat y dan jari-jari saa dengan jarak antara y dan x t jika F(, F(x c ) < F(x t ) aka buat cluster baru dengan pusat y dan jari-jari saa dengan jarak antara y dan x t dan perbaharui fungsi cluster(input x t ) selain itu, jadikan y sebagai titik pusat C Ubah jari-jari C enjadi jarak antara y dan x t Ulangi sapai k Langkah 3: Mutasi DE Langkah 4: Crossover DE Langkah 5: Seleksi DE Langkah 6: Uji asing-asing kandidat akar jika x i x j > δ pilih x i dan x j sebagai akar x i x j δ, evaluasi F(x i ) dan F(x j ), pilih yang epunyai nilai F lebih besar. Uji coba dan Hasil Keudian algorita DE dengan teknik clustering yang telah dibuat diuji cobakan pada beberapa fungsi benchark sebagai berikut. Masalah 1 Masalah ini diabil dari Tsoulos [] yang diforulasikan sebagai berikut. cos(x) cos( 0.4 g ( x, 0 ( y x) sin( sin(x) 1. D( x, 10 x 10, 10 y 10 Pada literature disebutkan bahwa banyaknya akar dari syste persaaan ini tidak diketahui. Dengan enggunakan paraeter: NP 00, C 0.5, Cr 0.5, G ax , k 100, 1 0., 1e 5, 1e 4 dari asalah 1 di atas, diteukan 13 akar berbeda dala satu kali running seperti berikut. Tabel 1: Akar-akar dari Masalah 1 No x y

5 Jurnal Kubik, Volue No. ISSN : Masalah Masalah ini didapatkan dari Tsoulos [], Kania [1], dan Sacco [3] yang dapat diforulasikan sebagai berikut. y 0.5sin( x x g( x, x y (1 )( ) e e e ex D( x, 1 x 3, 17 y 4 Dengan enggunakan paraeter: NP 00, C 0.5, Cr 0.5, G ax 00 00, k 100, 1 0.1, 1e 5, 1e 4 Dari asalah di atas, diteukan 1 akar yang berbeda dala sekali running seperti berikut. Tabel : Akar-akar dari Masalah No x y Masalah 3 Masalah ini didapatkan dari Kania [1] yang diforulasikan sebagai berikut. x x4 x 6 x x1x x 0.405e x4 x 6 g( x,,,,, ) x x3 x4 x 5 x6 x 1 x3 x e x x6 x5 1.5 x6 x1x5 10 x 10, i 1,,,6 i Dengan enggunakan paraeter: 1

6 Jurnal Kubik, Volue No. ISSN : NP 600, C 0.5, Cr 0.5, G ax , k 1500, 1 0.1, 1e 3, 1e 3 Didapatkan dua akar yang berbeda dala satu kali running seperti berikut: Tabel 3: Akar-akar dari Masalah 3 Posisi 1 Posisi x x x 3 x 4 x 5 x Masalah 4 0.1sin x 0.1sin y 0.3sin xsin y 0.1sin x 0.1sin y g( x, 0.1sin 0.1sin 0.sin sin 0.1sin 0.1sin x y x y x y D( x, 5 x 8, 10 y 0 Dengan enggunakan paraeter: NP 00, C 0.5, Cr 0.5, G ax 00 00, k 100, 1 0.1, 1e 5, 1e 10 Didapatkan 3 akar yang berbeda dala satu kali running seperti berikut. Tabel 4: Akar-akar dari Masalah 4 No x y

7 Jurnal Kubik, Volue No. ISSN : Kesipulan Kobinasi dari algorita Differential Evolution dan teknik Clustering dapat digunakan sebagai alternative untuk enyelesaikan asalah pencarian akar-akar pada syste persaaan tak linier. Algorita ini bisa enghasilkan seua akar pada doain yang ditentukan dengan satu kali running. Referensi [1] Kania, Adhe, Sidharto, K.A, Finding All Solutions of Nonlinear Equations Using Spiral Dynaics Inspired Optiization with Clustering, Journal of Advanced Coputational Intelligence and Intelligent Inforatics, 015. [] Tsoulos, I.G., Stavrakoudis, Athanassios, On Locating All Roots of Systes of Nonlinear Equations Inside Bounded Doain Using Global Optiization Method, Nonlinear Analysis: Real World Applications 11 (010) , 010 [3] Sacco, W.F, Henderson N, Finding All Solutions of Nonlinear systes Using Hybrid Metaheuristic with Fuzzy Clustering Means, Applied Soft Coputing 11(011) , 011 [4] Storne, R., Price, K., and Lapinen, J., Differential Evolution: A Practical Approach to Global Optiization, Berlin: Springer-Velberg,