I. PENDAHULUAN. Konsep teori graf diperkenalkan pertama kali oleh seorang matematikawan Swiss,

Transkripsi

1 I. PENDAHULUAN. Latar Belakang Konsep teori graf diperkenalkan pertaa kali oleh seorang ateatikawan Swiss, Leonard Euler pada tahun 736, dala perasalahan jebatan Konigsberg. Teori graf erupakan salah satu bagian ilu dari ateatika yang seakin laa seakin berkebang. Banyak perasalahan yang dapat dinyatakan dan diselesaikan dengan enggunakan teori graf. Salah satunya adalah enyelesaikan asalah jalur penerbangan untuk enentukan jalur tercepat. Jalur tercepat atau terpendek sangat dibutuhkan dala penerbangan guna efesiensi bahan bakar dan waktu. Pesawat tidak bisa berlaa-laa di udara karena bahan bakar pesawat yang terbatas. Jadwal penerbangan juga sudah ditentukan sehingga tidak boleh terjadi keterlabatan penerbangan. Jalur tercepat lebih engutaakan jarak antara pesawat dengan bandara tujuan. Jalur ini akan ebentuk jalur alternatif. Pengabilan jalur terpendek dari bandara asae bandara tujuan dapat dilakukan dengan ebuat grafik garis, seperti contoh pada Gabar. jalur penerbangan bandara Chicago dan bandara-bandara tujuannya.

2 Gabar. Jalur penerbangan bandara Chicago dan bandara-bandara tujuannya Alternatif yang digunakan dala enyelesaikan asalah jalur penerbangan tersebut adalah dengan enggunakan graf. Graf erupakan alat bantu untuk erepresentasikan objek-objek diskrit dan hubungan antara objek-objek tersebut. Pengabilan jalur terpendek dari bandara asae bandara tujuan dapat dilakukan dengan ebuat grafik garis. Dengan deikian, perasalahan jalur terpendek tersebut dapat direprensentasikan dala graf, diisalkan bandara Chicago dan bandara-bandara tujuan sebagai titik (vertex) dan jalur penerbangannya dinyatakan sebagai sisi (edge). Dala perasalahan penerbangan enentukan jalur tercepat dapat enggunakan etode pewarnaan graf. Pewarnaan tersebut berdasarkan perbedaan leveetinggian. Sehingga akan lebih udah dala enentukan jalurnya dan seakin udah untuk dilihat jalur ana yang akan eberikan alternatif terbaik. Salah satu teori graf yang

3 3 eiliki kontribusi besar bagi perkebangan ilu pengetahuan adalah teori pewarnaan lokasi. Kajian tentang pewarnaan lokasi adalah kajian yang cukup baru dala teori graf. Misalkan c suatu pewarnaan titik pada graf G dengan ( ) ( ) untuk u dan v yang bertetangga di G. Misalkan hipunan titik titik yang diberi warna i, yang selanjutnya disebut kelas warna, aka Π = {,,, } adalah hipunan yang terdiri dari kelas kelas warna dari V(G). Kode warna ( ) dari v adalah k-pasang terurut (, ), (, ),, (, ) dengan (, ) = in{ (, ) } untuk. Jika setiap G epunyai kode warna yang berbeda, aka c disebut pewarnaan lokasi G. Bilangan kroatik lokasi dari G, dan dinotasikan dengan ( ) adalah bilangan terkecil sehingga epunyai pewarnaaan- lokasi (Chartrand, dkk, 00). Teori pewarnaan lokasi pertaa kali dikaji oleh Chartrand dkk. (00) dengan enentukan lokasi dari beberapa kelas graf sebagai berikut. Untuk lintasan dengan 3 diperoleh ( ) = 3. Untuk graf siklus diperoleh dua hasil yaitu ganjil berlaku ( ) = 3 dan untuk genap berlaku ( ) = 4. Selanjutnya juga diperoleh ( ) untuk graf ultipartit lengkap dan graf bintang ganda. Pada tahun 003 Chartrand dkk. ebuktikan bahwa bilangan kroatik lokasi graf dengan orde yang euat graf ultipartit lengkap berorde ( ) sebagai subgraf induksinya, berada pada selang ( ), dan juga graf-graf yang epunyai

4 4 bilangan kroatik lokasi dengan batas atasnya ( ). Selain itu, Chartrand dkk. (003) enunjukkan bahwa terdapat pohon berorde 5 dengan bilangan kroatik lokasi jika dan hanya jika {3, 4,,, }. Selanjutnya beberapa penelitian Asiati dkk. (0-04) juga eberikan peikiran untuk elatarbelakangi kajian penelitian ini. Pada tahun 0-0, Asiati dkk. berhasil eneliti bilangan kroatik lokasi graf aalgaasi bintang, bilangan kroatik lokasi kebang api (firecracker graph), karakterisasi graf euat siklus dengan bilangan kroatik lokasi tiga, dan diensi partisi graf aalgaasi bintang. Sedangkan pada tahun 03-04, Asiati dkk. berhasil eneliti karakterisasi graf pohon dengan bilangan kroatik lokasi tiga, graf aalgaasi pohon berbilangan kroatik lokasi epat dan bilangan kroatik lokasi graf aalgaasi bintang non hoogen. Masalah penentuan bilangan kroatik lokasi pada suatu graf, asih terbuka untuk dikaji karena belu adanya teorea yang digunakan untuk enentukan bilangan kroatik lokasi pada sebarang graf. Graf aalgaasi bintang, adalah gabungan (aalgaasi) dari graf-graf bintang yang diperoleh dengan engidentifikasi sebuah daun dari setiap bintang dengan titik hasil identifikasinya disebut pusat aalgaasi. Kajian graf aalgaasi bintang, ini cukup enarik untuk dikaji lebih dala, aka penulis ingin enentukan bilangan kroatik lokasi grafaalgaasi bintang,. Penelitian ini juga erupakan penelitian lanjutan dari hasil hasil penelitian Asiati dkk. (0).

5 5. Peruusan Masalah Misalkan terdapat buah graf bintang,,, =,,3,, dengan, adalah bilangan bulat. Graf aalgaasi titik bintang,(,,, ), dari, adalah graf yang diperoleh dengan engidentifikasi sebuah daun dari setiap bintang. Titik hasil identifikasi disebut pusat aalgaasi, dinotasikan. Titik yang berjarak satu dari pusat aalgaasi disebut titik tengah, dinotasikan, =,,3,, dan titik daun ke- dari titik tengah adalah, =,,3,,. Jika untuk seua, graf aalgaasi bintang dinotasikan sebagai, (Asiati dkk. (0)). k Gabar. buah graf bintang, Sedangkan graf, yang akan dikaji dala penelitian ini sebagai berikut

6 6 l 3 l l l 3 l l l l l l l 33 l 3 l 3 l 3 l 3 l l l 3 l l l l l l l 33 3 l 3 l 3 l( k ) ( ) ( ) l l n ( ) x x ( )3 x n lk l3 l( k )3 l( k ) lk l3 l( k ) l n 3 l n l n l n l n l n l n 3 l n l n l n 3 l n 3 l n 33 l n 3 l n ( k ) l n k l n 3 l n ( k ) l n ( k ) y y y n Gabar 3. Graf, Graf, diperoleh dari graf, dan setiap titik,,,,, nya dihubungkan oleh suatu lintasan. Pada penelitian ini akan ditentukan bilangan kroatik lokasi untuk graf, untuk,, bilangan asli..3 Tujuan Penelitian Tujuan dari penelitian ini adalah enentukan bilangan kroatik lokasi dari graf, dengan,, sebarang bilangan asli.

7 7.4 Manfaat Penelitian Manfaat yang didapat dari penelitian ini adalah sebagai berikut:. Mengebangkan wawasan tentang teori graf terutaa tentang bilangan kroatik lokasi dari graf aalgaasi bintang,.. Meberikan subangan peikiran untuk eperluas dan eperdala ilu ateatika dala bidang teori graf terutaa tentang bilangan kroatik lokasi dari graf aalgaasi bintang,. 3. Sebagai bahan kajian untuk referensi penelitian lanjutan engenai bilangan kroatik lokasi dari suatu graf.