PERSAMAAN NEURONIK DENGAN TUNDAAN BERGANTUNG WAKTU

Transkripsi

1 PERSAMAAN NEURONIK DENGAN TUNDAAN BERGANTUNG WAKTU Sariyasa Universitas Pendidikan Ganesa, Singaraja eail: Abstrak Paper ini endeskripsikan penurunan odel diskrit dari odel kontinu jaringan saraf dengan tundaan bergantung waktu. Diskritisasi dilakukan dengan aproksiasi odel kontinu ole persaaan diferensial biasa dengan piecewise constant arguent (PCA). Dengan enerapkan skea sei iplisit Euler, dari persaaan dengan PCA ini diturunkan odel diskrit untuk odel kontinu jaringan saraf dengan tundaan bergantung waktu. Melalui siulasi nuerik ditunjukkan bawa odel diskrit secara dinaik ekivalen dengan odel kontinu. Kata kunci: odel diskrit, odel koputasi, odel jaringan saraf, tundaan bergantung waktu Abstract Tis paper described forulation of a discrete odel fro a continuous neural network odel wit tie dependent delay. Discretization was carried out by approxiating te continuous odel wit ordinary differential equation wit piecewise constant arguent, fro wic a discrete odel was obtained after eploying Euler sei-iplicit scee. It is sown, using nuerical siulation, tat te discrete odel is dynaically equivalent wit te continuous odel. Keywords: discrete odel, coputational odel, neural network odel, tie dependent delay PENDAHULUAN Mateatika enyediakan banyak jenis persaaan dengan beraga tingkat kopleksitas untuk peodelan dan analisis dinaik suatu fenoena. Penggunaan persaaan diferensial biasa dan parsial untuk eodelkan siste biologi epunyai sejara panjang diulai dari periode Maltus, Verulst, Lotka dan Volterra. Dala penerapan odel-odel ateatika untuk eaai lebi baik fenoena yang akin kopleks, seakin disadari bawa odel-odel yang paling sederana tidak apu erepresentasikan variasi yang sangat kaya dari dinaik yang teraati dala siste ala. Hal ini terjadi karena tingkat kopleksitas dari fenoena yang teraati seakin tinggi. Ada sejula keungkinan pendekatan untuk engatasi kopleksitas ini. Sala satu pendekatan adala ebangun siste persaaan diferensial biasa atau parsial yang lebi besar, yakni siste dengan lebi banyak persaaan diferensial. Siste ini dapat erupakan apiran yang cukup baik bagi perilaku yang teraati, tetapi siste ini euat Jurnal Sains dan Teknologi 410

2 banyak paraeter yang sering tidak dapat ditentukan elalui eksperien. Pendekatan lain yang seakin banyak diadopsi adala easukkan tie delay (selanjutnya disebut tundaa dala persaaan diferensial seingga diperole delay differential equation (persaaan diferensial tundaan/pdt). Tundaan erupakan koponen alai dari proses dinaik dala biologi, ekologi, fisiologi, ekonoi, epideiologi, dan ekanik. Tundaan ini dapat erepresentasikan waktu keailan, periode inkubasi, waktu untuk antaran, atau waktu yang diperlukan neuron untuk erespon. Kalau persaaan diferensial biasa eodelkan asala diana variabel bereaksi teradap kondisi saat ini, persaaan diferensial tundaan eodelkan asala diana terdapat after-effect yang epengarui paling sedikit satu variabel. Persaaan diferensial tundaan uncul dala berbagai bidang peodelan ateatika, isalnya dinaik populasi (dengan eperitungkan waktu keaila, penyakit enular (elibatkan periode inkubasi), kinetika fisiologis dan farasi (isalnya eodelkan reaksi tubu teradap CO 2 dala sirkulasi dara), kinetika kiia (seperti pencapuran reakta, kendali navigasi untuk kapal dan pesawat, dan asi banyak lainnya. Model dengan tundaan seakin uu digunakan, uncul dala peodelan banyak cabang biologi. Model dengan tundaan tela digunakan untuk endeskripsikan beberapa aspek dari dinaik penyakit enular, terapi obat (Nelson, et al., 2000) dan respon kekebalan (Cooke, et al., 1998). Model seaca ini juga uncul dala studi tentang odel-odel keostat (Zao, 1995), detak jantung (Solen, et al., 2002), epideiologi (Cooke, et al., 1999), siste pernapasan (Vielle dan Cauvet, 1998), pertubuan tuor (Villasana dan Radunskaya, 2003) dan jaringan saraf (liat isalnya Cen, 2001; van den Driessce, et al., 2001; van den Driessce dan Zou, 1998; Sariyasa, 2005). Beberapa ali peodelan engabaikan pengaru tundaan dan enggunakan persaaan diferensial biasa sebagai pengganti persaaan diferensial tundaan. Kuang (1993) engeukakan bawa terdapat resiko yang diadapi bila tundaan diabaikan, sekecil apapun tundaan tersebut. Lebi jau Kuang (1993) enyatakan bawa engabaikan tundaan saa artinya dengan engabaikan realitas. Ada pula ali peodelan yang engganti persaaan diferensial tundaan skalar dengan siste persaaan diferensial biasa dengan eperkenalkan variabel bantu untuk ensiulasikan fenoena yang sesunggunya lebi sesuai diodelkan ole persaaan diferensial tundaan. Naun, enurut Baker, et al. (1994), strategi penggantian ini epunyai resiko karena terdapat perbedaan kualitatif yang elekat (eksistensi solusi yang berosilasi, unculnya caos, pengaru tundaan teradap siste konservatif dan siste yang stabil atau tak stabil) antara persaaan diferensial tundaan dan siste persaaan diferensial biasa. (Baker, et al., 1994). Tidak seperti persaaan diferensial biasa, untuk persaaan diferensial tundaan (bakan yang linier sekalipu tidak terdapat etode uu Jurnal Sains dan Teknologi 411

3 untuk endapatkan solusi dala bentuk eksplisit. Ole karena itu, etode nuerik untuk persaaan diferensial tundaan enjadi sesuatu yang sangat penting. Di saping itu, penerapan etode nuerik yang ekstensif tidak dapat diindari dala analisis kestabilan dan bifurkasi untuk tujuan praktis (Seydel, 1988). Metode nuerik untuk persaaan diferensial biasa tidak begitu saja dapat diterapkan untuk persaaan diferensial tundaan sebab dala penerapannya sifat kestabilan dan akurasi dari etode tersebut tidak dapat dipertaankan lagi (Bellen dan Zennaro, 2003). Lebi jau (Bellen dan Zennaro, 2003) enyatakan bawa engintegralkan persaaan diferensial tundaan sesunggunya enuntut penggunaan etode yang dirancang kusus sesuai dengan karakteristik persaaan dan perilaku solusi (Bellen dan Zennaro, 2003). Dengan deikian, perlu dikebangkan suatu skea nuerik yang dapat diterapkan untuk sebagian besar kelas persaaan diferensial tundaan yang berbeda. Adanya skea nuerik seaca ini sangat beranfaat terutaa bagi non-ateatikawan yang eerlukan persaaan diferensial tundaan dala kerjanya; juga dapat eperluas keterpakaian persaaan diferensial tundaan pada bidang-bidang di luar ateatika. Skea nuerik yang digunakan untuk engapiri solusi persaaan diferensial tundaan akan engasilkan odel diskrit. Tentu saja odel diskrit, yang erupakan apiran nuerik dari odel kontinu, diinginkan dapat ewarisi karakteristik dinaik dari odel kontinunya. Dengan deikian odel diskrit dapat diterapkan sebagai odel koputasi dengan tetap epertaankan karakteristik fisik atau biologi yang diiliki ole odel kontinu. Dala Stewart (1992), Stuart dan Hupries (1996), dan Brooead dan Iserles (1992) dikaji pentingnya odel diskrit ewarisi karakteristik dinaik dari odel kontinunya. Pendekatan yang sering digunakan untuk eforulasi odel diskrit adala dengan endiskritisasi odel kontinu. Terdapat banyak skea nuerik (antara lain skea Euler, Runge-Kutta) yang dapat digunakan untuk endiskritkan odel kontinu. Naun proses diskritisasi seaca ini sering engasilkan odel diskrit dengan dinaik yang tidak sejalan dengan dinaik induknya (odel kontinu). Beberapa studi (Devaney, 1989; Iserles, 1990; Mickens, 1994; Prufer, 1985; Usiki, 1982; Yee, et al., 1991) enunjukkan bawa dinaik dari siste yang diperole dari diskritisasi odel kontinu epunyai karakteristik dinaik yang berbeda secara signifikan dari dinaik odel kontinunya. Stutzer (1980) enekankan bawa te discrete-tie analog of a continuoustie syste cannot reliably be assued to be found by replacing derivatives wit first differences. Terkait dengan al ini, odel logistik erupakan ilustrasi yang sangat baik. Dala bentuk kontinu, odel logistik epunyai dinaik yang baik, yakni konvergen onoton. Akan tetapi, diskritisasi odel logistik kontinu dengan skea Euler engasilkan odel diskrit dengan perilaku caotic. Jelas, konvergen onoton dan caotic erupakan dua dinaik yang saling bertolak belakang. Berikut ini diberikan ilustrasi penyipangan dinaik sebagai akibat Jurnal Sains dan Teknologi 412

4 diskritisasi odel kontinu. Ilustrasi ini diabil dari Moaad (2000). Peratikan persaaan diferensial d, t 0. (1) dt Solusi dari persaaan (1) diberikan ole ( ) t y t e 0), t 0. (2) Jika persaaan (1) didiskritkan dengan skea diskritisasi Euler diperole odel diskrit dala bentuk n+1) = (1 ), n = 0, 1, 2, 3,... (3) dengan > 0 enyatakan ukuran diskritisasi dan enyatakan nilai dari untuk t = n. Solusi dari (3) diberikan ole = (1 ) n 0), n = 0, 1, 2, 3,... (4) Dengan uda dapat ditunjukkan bawa pada (2) eenui 0 untuk t dan ini berarti kekonvergenan dari adala onoton. Di lain piak, pada (4) epunyai perilaku yang bergantung pada nilai sebagai berikut. a. Untuk 0 < < 1, 0 untuk n (konvergensi onoto. b. Untuk = 1, = 0 untuk seua n dan untuk seua 0). c. Untuk 1 < < 2, berosilasi dengan 0 untuk n (konvergensi berosilasi). d. Untuk = 2, periodik dengan periode 2. e. Untuk > 2, berosilasi dan untuk n (diverge. Mebandingkan odel kontinu (1) dan odel diskrit (3) pada conto ini, jelas bawa odel kontinu anya epunyai satu dinaik yakni konvergen onoton. Sedangkan odel diskrit yang diturunkan dari odel kontinu epunyai dinaik yang bervariasi tergantung pada nilai. Paraeter > 0 dala (3) yang uncul sebagai akibat proses diskritisasi epunyai pengaru teradap dinaik dari (4). Conto ini enunjukkan bawa diskritisasi engasilkan odel diskrit dengan dinaik yang tidak diiliki ole odel kontinunya. Perbedaan dinaik ini selanjutnya dijelaskan ole Moaad (2000) bawa karakteristik yang enyipang ini dapat terjadi bila unit diskritisasi (yakni ) dibuat tetap seentara paraeter odel kontinu dibuat bervariasi dala ruang paraeter asitotik dari odel kontinu atau sebaliknya. Akibatnya, arus ada pebatasan pada nilai atau pada paraeter seula seingga tidak ada penyipangan pada odel diskrit. Dengan pebatasan ini, keapuan koputasi dari odel kontinu tidak dapat dicapai secara aksial ole odel diskrit. Ole karena itu perasalaan utaa dala penelitian ini adala bagaiana engonstruksi odel diskrit yang diturunkan dari odel kontinu seingga odel diskrit epunyai dinaik yang ekivaken dengan odel kontinunya. Untuk keperluan ini, perlu dikebangkan teknik diskritisasi nonstandar seingga diperole skea nuerik yang bisa engasilkan odel diskrit yang ewarisi karakteristik odel kontinu dariana odel diskrit diturunkan. Dengan deikian, tujuan penelitian ini adala untuk engebangkan skea nuerik yang dapat digunakan untuk endiskritisasi odel kontinu sedeikian seingga odel diskrit epunyai karakteristik Jurnal Sains dan Teknologi 413

5 dinaik yang ekivalen dengan odel kontinunya. Skea nuerik yang diasilkan selanjutnya diterapkan pada odel kontinu jaringan saraf tipe Hopfield yang tela diketaui dinaiknya seingga ketercapaian tujuan penelitian ini dapat diukur. Persaaan diferensial dengan tundaan adala persaaan dala bentuk y ( f ( t,, t 1( t, )), t 2( t, )), ) dengan i, i = 1,2,... enyatakan tundaan yang bisa berupa konstanta, atau bisa berupa fungsi dala t atau bisa erupakan fungsi dala t dan y. Persaaan diferensial tundaan erupakan generalisasi dari persaaan diferensial biasa x ( g( t, ) l l ( g(, ) : R R R ) bila x ( dari suatu proses juga bergantung pada kondisi sebelunya. Teori uu dari persaaan diferensial tundaan tela banyak dipaparkan dala beberapa literatur antara lain dala Driver (1977), El sgol ts dan Norkin (1973), Gopalsay (1992) serta Kuang (1993). Pandang persaaan dx t ( e t 1)) dt cos t sin( t e t 1) (5) untuk t 0. Dala persaaan (5), tundaan erupakan fungsi yang beruba teradap waktu, yaitu ( = e t + 1. Jika fungsi awal diabil = sin t, 2 t 0, (6) aka dengan substitusi langsung dapat ditunjukkan bawa fungsi = sin t, t > 0, erupakan solusi dari asala nilai awal (5) dan (6). Persaaan (5) erupakan conto persaaan diferensial dengan tundaan yang beruba teradap waktu. Meskipun epunyai keiripan bentuk dengan persaaan diferensial biasa, persaaan diferensial tundaan epunyai beberapa fitur yang enyebabkan analisis teradap persaaan diferensial tundaan lebi ruit. Masala nilai awal dala persaaan diferensial tundaan eerlukan lebi banyak inforasi dibandingkan dengan asala nilai awal dala siste tanpa tundaan. Untuk siste persaaan diferensial biasa, solusi tunggal ditentukan ole nilai awal dala ruang Euclid pada saat awal t 0. Untuk siste dengan tundaan, diperlukan inforasi pada seluru interval [t 0, t 0 ]. Jelas bawa untuk engetaui laju perubaan pada t 0, diperlukan t 0 ) dan t 0 ) dan untuk x ( t 0 ) diperlukan t 0 + ε) dan t 0 + ε ). Jadi, untuk ebuat asala nilai awal berakna, diperlukan fungsi awal atau awal nilai pada interval [, 0]. Setiap fungsi awal enentukan solusi tunggal bagi persaaan diferensial tundaan. Jika diinginkan fungsi awal kontinu, aka ruang solusi epunyai diensi yang saa dengan C([t 0, t 0 ], R). Teori persaaan diferensial biasa epunyai banyak kesaaan dengan teori persaaan diferensial tundaan. Beberapa etode analitis untuk persaaan diferensial biasa dapat diperluas untuk diterapkan pada persaaan diferensial tundaan sepanjang eungkinkan. Naun, perbedaan di antara keduanya eerlukan pendekatan baru. Jika pada persaaan diferensial biasa diasusikan bawa efek perubaan Jurnal Sains dan Teknologi 414

6 pada siste terjadi seketika, aka pada persaaan diferensial tundaan efek perubaan pada siste tidak terjadi seketika. Dala al ini riwayat siste pada asa lapau perlu diperitungkan. Perbedaan lainnya adala persaaan diferensial biasa eerlukan nilai awal tetapi persaaan diferensial tundaan eerlukan fungsi awal. Forulasi odel ateatika sebagai persaaan diferensial fungsional, yang encakup seua PDT, eungkinkan nilai fungsi dan turunannya untuk asa sekarang dan asa lapau dapat dipergunakan untuk enentukan keadaan siste di asa endatang. Hal ini eberikan odel yang lebi baik dan lebi realistis bagi suatu proses atau siste sebab "an increase in te coplexity of te ateatical odels can lead to a better quantitative consistency wit real data" tetapi ada "arga" yang arus dibayar (Baker, 1999). Model persaaan diferensial tundaan erupakan alternatif bagi odel persaaan diferensial biasa dala berbagai aplikasi. Potensi aplikasi persaan diferensial tundaan yang luas tela diungkap dala berbagai literatur. Baker, et al. (1999) elaporkan penggunaan persaaan diferensial tundaan untuk peodelan nuerik dala biosains dan encakup penerapan dala epideilogi, iunologi, ekologi, dan dala studi tentang HIV. Persaaan diferensial tundaan juga digunakan dala berbagai bidang ilu seperti fisika, viskoelastisitas, biologi, kedokteran, ekonoi, ekanik. Kuang (1993) dan Gopalsay (1992) enekankan penerapan pada dinaik populasi. Beberapa bidang aplikasi enggunakan kelas persaaan diferensial tundaan tertentu, isalnya persaaan diferensial tundaan terdistribusi digunakan dala odel infeksi HIV, bioodelling; persaaan diferensial tundaan stokastik eneukan penerapan dala pupil ligt reflex, iune response, dan produksi sel dara (Baker, 1999). Solusi Nuerik Persaaan Diferensial Tundaan Tidak seperti persaaan diferensial biasa, untuk persaaan diferensial tundaan (bakan yang linier sekalipun ) tidak terdapat etode uu untuk endapatkan solusi dala bentuk eksplisit. Meskipun deikian, untuk persaaan diferensial tundaan dengan koefisien konstan, asi eungkinkan enerapkan beberapa pendekatan untuk enentukan solusi analitik, isalnya etod of steps, penentuan solusi eksponensial, dan transforasi Laplace. Keterbatasan penerapan pendekatan ini endorong penggunaan etode nuerik untuk enentukan solusi persaaan diferensial tundaan. Untuk persaaan skalar dengan tundaan konstan, relatif sederana untuk endapatkan solusi nuerik dengan enggunakan skea nuerik untuk persaaan diferensial biasa, naun teknik ini enjadi aal dari segi koputasi sejalan dengan eningkatnya ukuran siste persaaan diferensial biasa. Selain itu, penerapan etode nuerik untuk persaaan diferensial biasa pada persaaan diferensial tundaan tidak begitu saja dapat dilakukan sebab al ini dapat erusak sifat kestabilan dan akurasi dari etode tersebut. (Bellen dan Zennaro, 2003). Jurnal Sains dan Teknologi 415

7 Pendekatan yang lebi baik adala eanfaatkan etode langka (etod of steps). Ide ini sangat sederana dan dapat diuraikan sebagai berikut. Pada interval [t 0, t 0 + ], persaaan diferensial tundaan enjadi y ( f ( t,, ( t )) yang erupakan persaaan diferensial biasa dengan solusi ~ y 1 yang didefinisikan pada interval [t 0, t 0 + ]. Pada interval [t 0 +, t 0 + 2], persaaan diferensial tundaan enjadi y ( f ( t,, ~ y1( t )) yang dapat diselesaikan dengan peeca persaaan diferensial biasa untuk engasilkan fungsi ~ y 2 yang didefinisikan pada interval [t 0 +, t 0 + 2]. Prosedur yang saa diterapkan pada interval [t 0 + k, t 0 + (k + 1)], k = 2,3, dengan enyelesaikan persaaan diferensial biasa f ( t,, ~ yk ( t )) pada setiap interval. Peratikan bawa solusi eksak analitik pada setiap interval [t 0 + k, t 0 + (k + 1)]. Solusi Hapiran Persaaan Diferensial Tundaan dengan Piecewise Constant Arguent Paparan berikut ini diadopsi dari Györi (1991). Pandang persaaan diferensial tundaan dx p0( pi ( t i ) 0, dt i1 t 0 (7) diana H1. untuk i = 1,2,,, i adala bilangan riil positif dan ax i 1i H2. Untuk i = 1,2,,, fungsi p i : R + R kontinu. Persaaan (7) dilengkapi dengan kondisi awal dala bentuk s) = (s), s 0, C([, 0], R). (8) Dengan ipotesis H1 dan H2, asala nilai awal (7) dan (8) epunyai solusi tunggal yang kontinu pada interval [, ) dan terdiferensialkan secara kontinu pada [0, ). Solusi dari (7) dan (8) dinyatakan ole )(. Misal k 1 bilangan bulat tetap dan abil. (9) k Dengan enggunakan, didefinisikan tiga persaaan diferensial tundaan dengan piecewise constant arguent, yakni du( p0( u( dt t i pi ( u 0, t 0 i 1 (10) dv( p t 0( v dt t i pi ( v 0, t 0 i 1 (11) dw( p t t 0 w dt t t i pi w 0, t 0 i 1 (12) Persaaan ini dilengkapi dengan kondisi awal berikut u(j) = (j), j = k,, 0 (13) v(j) = (j), j = k,, 0 (14) Jurnal Sains dan Teknologi 416

8 w(j) = (j), j = k,, 0 (15) dengan C. Yang diaksud solusi dari (10) dan (13) adala fungsi u ()( yang terdefinisi pada ipunan {k,, 0} (0, ) dan eenui sifat berikut a. u ()( kontinu pada [0, ) b. turunan dari u ()( ada pada setiap titik t [0, ) dengan pengecualian titik t = n, n N, diana turunan satu ara ada c. fungsi u( = u ()( eenui (7) pada setiap interval [n, (n + 1)] untuk n N. Definisi solusi v ()( dan w ()( dari asala nilai awal (11) dan (14) serta (12) dan (15) analog. Persaaan (10), (11), dan (12) sangat terkait dengan persaaan diferensi. Hal ini dinyatakan dala teorea berikut. Teorea 1. Asusikan ipotesis H1 dan H2 terpenui dan k 1 adala bilangan bulat. Abil dan k i ki untuk seua i = 1, 2,,. Maka a. solusi u ()( dari (10) dan (13) diberikan ole t p0 ( s) ds u ( )( a( e n t p 0( s) ds e 0 s t p0 ( r) dr pi ( s) e0 ds a( n ki ) i1 n untuk seua n t (n + 1) dan n 0 diana [a(] adala barisan yang eenui persaaan diferensi a( n 1) a( e e n 0 ( n1) i1 p 0( s) ds n pi ( s) e ( n1) s n 0 p0 ( s) ds p0 ( r) dr ds a( n ki ) 0, n 0 dengan a( = (n), n = k,, 0. b. solusi v ()( dari (11) dan (14) diberikan ole t v ( )( 1 p 0 ( u) du b( n t u du b n pi ( ) ( ki ) i1 n untuk seua n t (n + 1) dan n 0 diana [b(] adala barisan yang eenui persaaan diferensi Jurnal Sains dan Teknologi 417

9 b( i1 ( n1) p0 ( u) du b( n ( n1) pi ( s) dsb( n ki ) 0, n n 0 dengan b( = (n), n = k,, 0. c. solusi w ()( dari (12) dan (15) diberikan ole w ( )( c( ( p0 ( n) c( pi ( n) c( n ki ))( t n i1 untuk seua n t (n + 1) dan n 0 diana [c(] adala barisan yang eenui persaaan diferensi c( p0( n) c( p i ( n) c( n k i ) 0, n 0 i 1 dengan c( = (n), n = k,, 0. METODE Penelitian ini dilaksanakan dengan elakukan kaji pustaka. Analisis dilakukan enggunakan teori persaaan diferensial dengan tundaan. Secara garis besar, kegiatan yang dilakukan dala penelitian ini adala 1. engebangkan forulasi skea nuerik berdasarkan teknik piecewise constant arguents yang digabungkan dengan etode sei-iplisit Euler; 2. enerapkan skea nuerik tersebut pada odel ateatika jaringan saraf tipe Hopfield yang tela diketaui dinaiknya; 3. enggunakan odel diskrit yang diperole sebagai odel koputasi untuk keperluan siulasi nuerik. HASIL DAN PEMBAHASAN Penurunan odel diskrit didasarkan atas teknik yang dikebangkan ole Györi (1991) dan teknik ini tela digunakan ole Gopalsay dan Moaad (2002). Paparan berikut didasarkan atas asil karya dari Gopalsay dan Moaad (2002). Pandang persaaan diferensial tundaan dx dt p 0( pi ( t i ), t 0 i1 (16) Pandang interval doain (,) sebagai gabungan saling lepas dari interval dala bentuk [j, (j + 1)), j Z dengan Z enyatakan ipunan bilangan bulat dan adala bilangan riil tetap yang enyatakan ukuran langka diskritisasi. Persaaan (16) selanjutnya diapiri ole persaaan diferensial dengan piecewise constant arguents dala bentuk d p t 0 dt t t i pi x i 1 (17) untuk t [n, (n + 1)), n = 0, 1, 2,, > 0 adala bilangan riil tetap yang enyatakan ukuran langka diskritisasi serta [] enyatakan bilangan bulat terbesar dala R dengan R adala Jurnal Sains dan Teknologi 418

10 ipunan bilangan riil. Berikutnya digunakan skea sei iplisit Euler pada persaaan (17) seingga diperole x t x t t p t 0 x t t i p i x i 1 (18) untuk t [n, (n + 1)), n = 0, 1, 2,.. Dari (18) dan dengan Misalkan enggunakan notasi = n), didapat odel diskrit yang analog dengan odel kontinu (16) dala bentuk n 1) 1 p ( 1 0 pi ( n i ) 0 ( i1 p (19) untuk n = 0, 1, 2,... Siste (19) adala siste diskrit analog dari (16). Persaaan Neuronik dengan Tundaan Bergantung Waktu Selanjutnya diskritisasi nonstandar dengan teknik piecewise constants arguents diterapkan pada odel jaringan saraf tipe Hopfield. Model ini diabil dari Gopalsay dan Sariyasa (2002). Pandang persaaan neuronik dengan tundaan bergantung waktu dan fungsi aktifasi tan(x) dala bentuk d a( b( tan( t ( )) f ( d( (20) dengan a(), b(), f() enyatakan fungsi bernilai riil kontinu yang terdefinisi pada (,) serta periodik dengan periode > 0 (Gopalsay dan Sariyasa, 2002). Tundaan ( terdefinisi pada (,) serta diasusikan kontinu dan periodik dengan periode > 0 yang eenui ( t ) 0, t ( 0, 0, t ( untuk t diana inf ( dan sup (. tr tr Persaaan (20) dilengkapi dengan kondisi awal dala bentuk x ( s) ( s), s [, 0], C[, 0] dengan C[, 0] enyatakan ruang fungsi bernilai riil kontinu yang terdefinisi pada [, 0]. Ruang ini dilengkapi dengan nor supreu yang didefinisikan ole sup t s) s[,0] Dala Gopalsay dan Sariyasa (2002) tela diruuskan dan dibuktikan teorea berikut yang enjain eksistensi solusi periodik dengan periode yang stabil global. Teorea 2. Misal a(), b(), f(), dan () kontinu dan periodic dala t R dengan periode > 0. Misalkan a( a > 0. Misalkan pula () terdiferensialkan dan eenui 0 ( d( dt t ( 0, t ( jika t, t R, 1, t R Misalkan b( b untuk t R. Jika (21) Jurnal Sains dan Teknologi 419

11 a b e a 1 a b e a exp b e ( ) 1 1 a (22) Maka (1.20) epunyai solusi periodik dengan periode yang stabil global. Dala Teorea 2, a ax a(, b ax b(, 0t 0t sup (. tr Model Diskrit Persaaan Neuronik Forulasi odel diskrit didasarkan atas teknik yang dikebangkan ole Györi (1991) dan enggunakan asil-asil yang diperole ole Gopalsay dan Moaad (2002). Dengan proses diskritisasi enggunakan persaaan (17) (19) didapat odel diskrit yang analog dengan odel kontinu (20) dala bentuk b( n 1) tan( n k( ) 1 a( 1 a( f ( 1 a( (23) untuk n = 0, 1, 2,... Untuk keperluan siulasi, dipili paraeter a( dan b( serta stiulus eksternal f( sebagai berikut: a( 1 0, 8sin t 3 b( 0, 01cos 2 t (24) 3 f ( sin t cos t 3 3 dan ( diberikan ole t ( 2, 5 0, 5cos 3 Dapat diverifikasi bawa untuk t R, 0 ( = 3 dan d(/dt /6 < 1. Juga t ( jika t dan t ( > 0 untuk t > 2,2. Dengan uda dapat ditunjukkan bawa kondisi kestabilan dala Teorea 2 terpenui seingga siste (20) epunyai solusi periodik dengan periode 4 yang stabil global. Dala bentuk diskrit, (24) enjadi a( 1 0, 8 sin n n (25) b(, cos 3 f ( sin n cos n 3 3 untuk n = 0, 1, 2,. Sedangkan bentuk diskrit dari ( diberikan ole n ( 2, 5 0, 5cos (26) 3 Siulasi nuerik diperole enggunakan (23), (25), dan (26). Hasilnya disajikan pada Gabar 1 berikut. Gabar 1. Dua solusi periodik dari (20).Grafik putus-putus Jurnal Sains dan Teknologi 420

12 adala stiulus eksternal SIMPULAN DAN SARAN Dengan engunakan teknik piecewise constant arguent, tela diforulasikan skea nuerik untuk apiran solusi dari persaaan diferensial tundaan. Skea nuerik ini endiskritisasi odel kontinu dengan tetap epertaankan karakterisitik dinaiknya. Akibatnya, odel diskrit sebagai asil diskritisasi odel kontinu epunyai dinaik yang ekivalen dengan dinaik odel kontinunya. Model diskrit ini erupakan odel koputasi yang dapat digunakan untuk siulasi nuerik odel kontinu. Siulasi nuerik enunjukkan bawa secara dinaik, odel diskrit ekivalen dengan odel kontinu. Meskipun siulasi nuerik enunjukkan bawa odel diskrit secara dinaik ekivalen dengan odel kontinu, naun perlu ada kajian secara analitis deduktif untuk enunjukkan bawa karakteristik dinaik kedua odel ekivalen. Hal ini perlu enjadi kajian di asa endatang. DAFTAR PUSTAKA Baker, C. T. H., Bocarov, G. A., dan Rian, F. A. (1999). A Report on te Use of Delay Differential Equations in Nuerical Modelling in te Biosciences. Nuerical Analysis Report No 343. Mancester University. Bellen dan Zennaro. (2003). Nuerical etods for delay differential equations. Oxford: Clarendon Press. Brooead, D. S. dan Iserles, A. (1992). Te dynaics of nuerics and te nuerics of dynaics. Oxford: Clarendon Press. Devaney, R. L. (1989). An introduction to caotic dynaical systes, 2nd Edition. New York: Addison- Wesley Publising Copany, Inc. Driver, R. D. (1977). Ordinary and delay differential equations. New York : Springer-Verlag. El sgol ts, L. E. dan Norkin, S. B. (1973). An introduction to te teory and application of differential equations wit deviating arguents. New York: Acadeic Press. Gopalsay, K dan Sariyasa. (2002). Tie delays and stiulusdependent pattern foration in periodic environents in isolated neurons. IEEE Trans. Neural Netwoks 13: Gopalsay, K dan Moaad, S. (2002). Neuronal dynaics under periodic stiuli. International Journal of Neural Systes 12: Gopalsay, K. (1992). Stability and oscillations in delay differential equations of population dynaics. Kluwer Acadeic Publiser. Dordrect. Gyori, I. (1991). On approxiation of te solutions of delay differential equations by using piecewise constant arguents. Internat. J. Mat. & Mat. Sci. 14: Jurnal Sains dan Teknologi 421

13 Iserles, A. (1990). Stability and dynaics of nuerical etods for nonlinear ordinary differential equations. IMA J. Nuer. Anal. 10, Kuang, Y. (1993). Delay Differential Equations wit Applications in Population Dynaics. Acadeic Press, Inc. Boston. Mickens, R. E. (1994). Nonstandard finite difference odels of differential equations. Singapore: World Scientific. Moaad, S. (2000). Continuous and discrete dynaical systes wit applications. (dissertatio. Flinders University. Nelson, P. W., Murray, J. D. dan Perelson, A. S. L. (2000). A odel of HIV-1 patogenesis tat includes an intracellular delay. Mat. Biosci., 163: Prufer, M. (1985). Turbulence in ultisteps etods for initial value probles. SIAM J. Appl. Mat. 45, Sariyasa. (2005). On te stability of neural networks in periodic environent dala Proceeding of te International Conference on Applied Mateatics. Bandung : ITB. Seydel, R. (1988). Fro equilibriu to caos: practical bifurcation and stability analysis. New York: Elsevier. Solen, P., Baxter, D., dan Byrne, J. (2002). A reduced odel clarifies te role of feedback loops and tie delays in te Drosopila circadian oscillator. Biopys. J. 83, Stewart, I. (1992). Warning Handle wit care. Nature 355, Stuart, A. M. dan Hupries, A. R. (1996). Dynaical systes and nuerical analysis. Cabridge: Cabridge University Press. Stutzer, M. J. (1980). Caotic dynaics and bifurcation in a acro odel. Jour. Econ. Dyn. and Control 2, Turcin, P. (1990). Rarity of density dependence or population regulation wit lags. Nature, 344, Turcin, P. dan Taylor, A. D. (1992). Coplex dynaics in ecological tie series. Ecology, 73, Usiki, S. (1982). Central difference scee and caos. Pysica D 4, Villasana, M. dan Radunskaya, A. (2003). A delay differential equation odel for tuor growt. J. Mat. Biol., 47, Yee, H.C., Sweby, P. K., dan Griffits, D. F. (1991). Dynaical approac study of spurious steady-state nuerical solutions of nonlinear differential equations. I. Te dynaics of tie discretization and its iplications for algorit developent in coputational fluid dynaics. J. Coput. Pys. 97, Jurnal Sains dan Teknologi 422