BAB III METODE BEDA HINGGA CRANK-NICOLSON

Transkripsi

1 BAB III METODE BEDA HINGGA CRANK-NICOLSON 3. Metode Beda Hingga Crank-Nicolson (C-N) Metode Crank-Nicolson dikebangkan oleh Crank John dan Phyllips Nicholson pada pertengahan abad ke-, etode ini erupakan pengebangan dari FTCS dan BTCS. Kita telah engetahui baha FTCS dan BTCS keduanya eiliki local truncation atau galat peotongan, dengan erupakan galat yang uncul dari aproksiasi turunan pertaa pada diferensial au atau diferensial undur dala aktu dan erupakan galat yang uncul dari aproksiasi turunan kedua dala ruang (saha). Metode Crank-Nicolson erupakan salah satu dari beberapa etode beda hingga yang eiliki kestabilan tanpa syarat dan nilai error-nya paling kecil dibandingkan etode-etode lainnya. Untuk kestabilan BTCS, sebenarnya sudah cukup baik karena stabil untuk seua. Naun karena galat berorde asih dianggap cukup besar, etode Crank-Nicolson enggunakan suatu trik untuk encapai aproksiasi turunan kedua dala aktu tanpa enggunakan lebih dari dua tingkat aktu, aka akan dilakukan aproksiasi beda pusat untuk dengan enggunakan gagasan tingkat aktu pada atau aproksiasi rata-rata dari skea BTCS pada langkah ke- dan skea FTCS pada langkah ke- dan aproksiasi beda pusat sietris dala, sehingga order galatnya akan enadi. Pada skea FTCS, pendekatan solusi dihitung enggunakan aringan titik, sedangkan pada skea BTCS pendekatan solusi dihitung enggunakan aringan titik ( ). Pada skea Crank-Nicolson pendekatan solusi akan dihitung enggunakan aringan titik dan aringan titik ( ) yang artinya diferensial terhadap aktu ditulis pada. Mela Rizkya Nurfitroh, 3 37

2 38 Sebagai contoh kasus penyelesaian etode Crank-Nicolson digunakan persaaan diferensial parsial (PDP) parabolik, sebagai berikut: (3.) dengan syarat batas (SB): dan syarat aal (SA): Skea Crank-Nicolson pada persaaan ruas kanan dari persaaan (3.) adalah pada aktu, yang artinya erupakan nilai rerata dari skea FTCS dan BTCS. Berdasarkan pada skea FTCS pada persaaan parabolik adalah persaaan (.43) atau beda au (forard-difference) pada langkah ke- dala, sedangkan untuk skea BTCS pada persaaan parabolik adalah persaaan (.5) tetapi pada etode Crank-Nicolson enggunakan beda undur (backarddifference) pada langkah ke- dala.. Forard-Difference pada langkah ke, eberikan persaaan (3.) dengan local truncation error. Backard-Difference pada langkah ke (+) (3.3) dengan local truncation error Sehingga skea Crank-Nicolson untuk persaaan beda pusat pada aproksiasi turunan kedua dala, digunakan rata-rata penulahan dari pada FTCS dan BTCS, aka akan diperoleh: Mela Rizkya Nurfitroh, 3

3 39 [ ] [ ] (3.4) dengan local truncation error Penggabaran olekul pada titik-titik dala grid adalah sebagai berikut: Gabar 3. Skea Crank-Nicolson Jika persaaan (3.4) kedua ruasnya dikali dengan, diperoleh: Misalkan, aka diperoleh: Mela Rizkya Nurfitroh, 3

4 4 Selanutnya elakukan pengelopokkan yang engandung dan yang engandung, aka diperoleh: (3.5) untuk dan Dengan syarat aal aka: sedangkan untuk syarat batas aka: Persaaan (3.5) dapat digunakan untuk enentukan nilai interior point, sebagai berikut: atau dapat ditulis kebali dala bentuk atriks, sebagai berikut: Mela Rizkya Nurfitroh, 3

5 4 Mela Rizkya Nurfitroh, 3 diana: A ;,,,, () B ;,,,, () Dengan enggunakan iterasi yang saa, aka dapat ditentukan, sehingga dapat ditulis dengan,,,, ) ( dan,,,, ) (

6 4 3. Penentuan Harga Opsi dengan enggunakan Metode Crank-Nicolson Model Black-Scholes erupakan odel untuk enentukan harga opsi. Model ini eiliki bentuk berupa persaaan diferensial, sehingga kita dapat enentukan nilai opsi call Eropa dan opsi put Eropa secara nuerik, dengan enggunakan etode beda hingga Crank-Nicolson. Sebelunya tentukan syarat final dan syarat batas untuk harga opsi call Eropa dan opsi put Eropa. Syarat final untuk opsi call adalah: ( ) dan syarat final untuk harga opsi put Eropa adalah: ( ) Sedangkan untuk syarat batas opsi call adalah: dan dan untuk syarat batas opsi put adalah: dan Pada skea Crank-Nicolson dapat ditentukan dengan encari rata-rata dari persaaan FTCS dan persaaan BTCS. Metode Crank-Nicolson untuk persaaan diferensial parsial (.55) yaitu: dengan aproksiasi beda pusat terhadap turunan pertaa, beda pusat tengah untuk dan beda pusat turunan kedua untuk, akan disubtitusikan:,,, (bukti dapat dilihat pada lapiran ) Mela Rizkya Nurfitroh, 3

7 43 Maka persaaan (.55), untuk skea Crank-Nicolson diperoleh: Selanutnya persaaan di atas dikalikan dengan k, aka didapat: (3.6) Jadi, skea Crank-Nicolson pada persaaan (3.6) dapat dituliskan sebagai bentuk vektor berikut: dengan ( ) (3.7) Mela Rizkya Nurfitroh, 3

8 44 Mela Rizkya Nurfitroh, 3 3 D ) ( 3 D T T 3.3 Algorita Penentuan Harga Opsi Eropa dengan Metode Beda Hingga Dala enentukan harga opsi Eropa diulai dengan enentukan PDP Black-Scholes, syarat final dan syarat batas. Dilanutkan dengan enghitung harga opsi enggunakan etode Crank-Nicolson yang akan dibandingkan dengan harga opsi dari FTCS dan BTCS. Dala perhitungan diperlukan beberapa paraeter, diantaranya harga saha aal/saat ini, harga pelaksanaan/strike price, tingkat suku bunga, aktu atuh tepo/aturity tie, banyak partisi saha, banyak partisi aktu dan harga saha aksiu diana. Algorita untuk enentukan solusi nuerik PDP Black- Scholes untuk enentukan titik selang (grid), saha dan aktu serta syarat batas opsi call Eropa adalah sebagai berikut:. Input nilai. Keudian tentukan nilai dan 3. Hitung nilai pada setiap pada persaaan, diana nilai

9 45 4. Tentukan syarat batas pada saat dengan persaaan ( ), dengan ketentuan ika harga saha lebih kecil dari strike price aka bernilai nol. 5. Hitung harga opsi dengan persaaan (3.7) dari asing-asing grid. 6. Hitung harga opsi untuk etode Crank-Nicolson. Mela Rizkya Nurfitroh, 3