KELUARGA METODE ITERASI ORDE EMPAT UNTUK MENCARI AKAR GANDA PERSAMAAN NONLINEAR ABSTRACT

Transkripsi

1 KELUARGA METODE ITERASI ORDE EMPAT UNTUK MENCARI AKAR GANDA PERSAMAAN NONLINEAR Kiki Reski Ananda 1 Khozin Mu taar 2 12 Progra Studi S1 Mateatika Jurusan Mateatika Fakultas Mateatika dan Ilu Pengetahuan Ala Universitas Riau Kapus Bina Widya Pekanbaru reskiananda.kiki@yahoo.co.id ABSTRACT This article presents a new faily iterative ethod for finding a ultiple root of nonlinear equation with known ultiplicity. Analytically it is showed using a Taylors expansion geoetric series and binoial series that the iterative ethod has fourth order of convergence. Two particular cases of the proposed ethod are also considered. Four nuerical exaples are given to show the perforance of the presented ethod copared with soe known ethods. Keywords: Nonlinear equation orde of convergence ultiple root iterative ethods ABSTRAK Artikel ini endiskusikan tentang keluarga baru etode iterasi untuk encari akar ganda dari persaaan nonlinear dengan ultiplisitas diketahui. Secara analitik dengan enggunakan ekspansi Taylor deret geoetri dan deret binoial ditunjukkan bahwa etode iterasi yang diusulkan epunyai orde kekonvergensi epat. Dua kasus khusus dari etode ini juga dibahas. Beberapa contoh nuerik diberikan untuk elihat perfora dari etode yang dibahas dan keudian dibandingkan dengan beberapa etode yang sudah dikenal. Kata kunci: Persaaan nonlinear orde konvergensi akar ganda etode iterasi 1. PENDAHULUAN Secara uu perasalahan yang sering dijupai dala ilu ateatika adalah encari akar dari suatu persaaan nonlinear fx = 0. Adakalanya dala encari suatu akar persaaan tersebut akan sulit enggunakan etode analitik sehingga salah satu caranya dengan enggunakan etode nuerik. Banyak etode nuerik yang digunakan untuk encari akar sederhana atau akar ganda dari suatu persaaan nonlinear. Metode nuerik untuk encari akar sederhana akan sangat labat jika digunakan untuk enyelesaikan persaaan nonlinear yang berakar ganda sehingga 1

2 diperlukan odifikasi untuk engatasi hal ini. Salah satu etode nuerik yang diodifikasi untuk akar ganda adalah etode Newton dengan orde konvergensi kuadratik yang dijelaskan oleh Ralston dan Rabinowits [4 h. 354] yang bentuk iterasinya adalah x n+1 = x n fx n f x n dengan f x n 0 dan adalah bilangan ultiplisitas akar. Selain odifikasi etode Newton terdapat beberapa etode lain untuk encari akar ganda diantaranya etode Halley yang dikebangkan oleh Hansen dan Patrick [2] dengan orde konvergensi tiga. Pada artikel ini di bagian dua dibahas keluarga etode iterasi dengan orde konvergensi epat untuk encari akar ganda yang erupakan tinjauan ulang dari sebagian artikel Singh dan Jaiswal [7]. Keudian dilanjutkan di bagian tiga dengan elakukan uji koputasi enggunakan epat persaaan nonlinear. 2. KELUARGA METODE ITERASI ORDE EMPAT Diberikan skea keluarga etode iterasi untuk encari akar ganda dengan enggunakan fungsi bobot: y n = x n a fx n } f x n x n+1 = x n fx n 1 f x n F P dengan F P erupakan sebuah fungsi dengan P = f x n f y n 2 af x n dan a suatu paraeter yang ditentukan. Jika a = 2 aka etode pada persaaan 3 1 enjadi etode Chun et al. [1] untuk encari akar sederhana. Kekonvergenan etode iterasi pada persaaan 1 disajikan pada Teorea 1. Teorea 1 Orde Konvergensi Misalkan F suatu fungsi f : D R terdiferensial secukupnya pada interval buka D dan α D adalah akar ganda dengan ultiplisitas. Misalkan a R jika x 0 cukup dekat dengan α aka etode iterasi yang didefinisikan oleh persaaan 1 eiliki orde konvergensi epat dengan syarat F u = F u = F u = dan eenuhi persaaan error e n+1 = ! ! c 3 6 3c 1 c c c F 3 u e 4 n + Oe 5 n 2

3 dengan u = Bukti. Misalkan α adalah akar ganda dari fungsi fx = 0 dengan bilangan ultiplisitas. Asusikan e n = x n α keudian dengan elakukan ekspansi Taylor dari fx di sekitar x = α dan dievaluasi di titik x = x n dengan engabaikan suku yang euat x n α j untuk j + 5 diperoleh fx n = f α e n 1 + c1 e n + c 2 e 2 n + c 3 e 3 n + c 4 e 4 n + Oe 5! n. 3 dengan c j =!f +j α j = j!f α Keudian dilakukan ekspansi Taylor terhadap f x di sekitar x = α dan dievaluasi di titik x = x n dengan engabaikan suku yang euat x n α j untuk j + 5 diperoleh dengan d j = f x n = f α 1! e 1 n 1 + d1 e n + d 2 e 2 n + d 3 e 3 n + d 4 e 4 n + Oe 5 n. 4 1! +j 1! f +j α j = f α Selanjutnya fx n dihitung enggunakan persaaan 3 dan persaaan f x n 4 sehingga dengan enggunakan deret geoetri diperoleh fx n f x n =e n c 1e 2 n + 2c 2 + c e 3 n 2 3 3c c c 1 c e 4 n 4 + Oe 5 n. 5 Keudian persaaan 5 disubstitusikan ke persaaan 1 diperoleh y n = α+1 a e n + ac 1e 2 n 2 a 2c 2 + c e 3 n 3 a3c c c 1 c e 4 n 4 + Oe 5 n. 6 Selanjutnya isalkan E n = y n α dan dilakukan ekspansi Taylor terhadap fx f x di sekitar x = α dan dievaluasi di titik x = y n dengan engabaikan suku yang euat y n α j untuk j + 5 berturut turut diperoleh fy n = f α En 1 + c 1 E n + c 2 En 2 + c 3 En 3 + c 4 En 4 + OE 5! n 7 3

4 dan f y n = f α 1! E 1 n 1 + d 1 E n + d 2 E 2 n + d 3 E 3 n + d 4 E 4 n + Oe 5 n. 8 Selanjutnya karena E n = y n α dan nilai y n diketahui pada persaaan6 aka diperoleh nilaie n yaitu E n = 1 a e n 1+ 1 a ac1 e n a 2c 2 + c e 2 n 2 3 a3c c c 1 c e 3 n + Oe 5 n. 9 4 Selanjutnya dihitung E n 1 dan dengan enggunakan deret binoial diperoleh E 1 n = e 1 n Q 1 + Q 2 e n + Q 3 e 2 n + Q 4 e 3 n + Q 5 e 4 n + Oe 5 n 10 dengan Q 1 = 1 a 1 Q 2 = 1 a 2 2 ac Q 3 = 1 1 a a 3 ac c ac c c ac ac c Q 4 = 1 1 a a 18 a 2 c a 2 c 3 1 a 2 c a 2 c a 2 c 1 c a 2 c 2 c a 2 c c c 3 3 Q 5 = 1 1 a 5 8 a 2 72 a 2 c 2 c a 2 c 3 c ac 2 c ac 3 c a 2 c 4 1. Keudian persaaan 9 dan 10 disubstitusikan ke persaaan 8 setelah disederhanakan diperoleh f y n = f α 1! e 1 n Q 1 + T 1 e n + T 2 e 2 n + T 3 e 3 n + T 4 e 4 n + Oe 5 n 11 4

5 dengan nilai Q 1 seperti pada persaaan 10 dan T 1 = 1 a 2 2 d d 1 a + ac 1 ac 1 + d 1 a 2 T 2 = 1 1 a a 2 c a 2 c d 2 3 a + 12 d 2 2 a a 3 c d 1 a 3 c 1 T 3 = 1 1 a d 3 a d 3 a d 2 a 5 c d 3 a d 3 18 a 3 c d 1 a 4 c 2 1 T 4 = 1 1 a a 4 c 3 c a 3 c 2 c a 2 c 1 c a 4 c 2 c a 2 c 2 c d 1 ac 2 c 1. Keudian persaaan 8 dan 11 disubstitusikan ke persaaan 2 diperoleh dengan P = H 1 + H 2 e n + H 3 e 2 n + H 4 e 3 n + H 5 e 4 n + Oe 5 n 12 H 1 = 1 1 a a 1 H 2 = c a + a 1 a a 2 1 H 3 = a 3 1 a 2 a 3 c a 3 c a 2 c a 2 2 c a 2 c a 2 c 2 8 a 2 c a 2 c a 3 c ac ac ac c c c 1 1 H 4 = a 4 1 a 24 5 c c c 2 c a 4 c 1 c a 4 c a 3 c a 5 c a 3 3 c 1 1 H 5 = 24 + a 5 + a 2400 a 4 c 2 c a 3 c 3 c a 3 c 2 c a 2 c 2 c a 3 c 2 c ac 2 c a 3 c 2 c c c 1. Misalkan u = H 1 dan v = H 2 e n + H 3 e 2 n + H 4 e 3 n + H 5 e 4 n + Oe 5 n sehingga persaaan 5

6 12 ditulis P = u + v. 13 Keudian dengan elakukan ekspansi Taylor dari F x disekitar x = u dan divaluasi di titik x = P dengan engabaikan suku yang euat P u n untuk n 4 diperoleh F P = F u+f up u + 1 2! F up u ! F 3 up u ! F 4 up u Keudian dengan ensubstitusikan persaaan 5 14 dan x n = e n α ke dala persaaan 1 sehingga diperoleh dengan x n+1 = α + K 1 e n + K 2 e 2 n + K 3 e 3 n + K 4 e 4 n + Oe 5 n 15 K 1 =1 F u K 2 = 1 [ c 2 1 F u a + a 1 a K 3 = a 2 2 2c 2 + c F u + 1 a F u 1 a 4 ] a c a a 2 + 2c a a a 3 F u + c a + a 2 1 a F 1 1 a 1 a K 4 = 1 63c c c1c F u + 1 a a 2 6c 3 a a 43 + a a 3 + c a 3 + 6c 1 c a a a a 4 F u + c a + a1 a 3 a c

7 a a 2 + 2c a a a 3 F u + c a + a 2 1 a F 3 u. Karena e n+1 = x n+1 α aka persaaan 15 dapat ditulis e n+1 = K 1 e n + K 2 e 2 n + K 3 e 3 n + K 4 e 4 n + Oe 5 n 16 Untuk endapatkan etode iterasi dengan orde konvergensi epat haruslah K 1 = K 2 = K 3 = 0. Dari syarat K 1 = 0 diperoleh F u = dengan u = diperoleh a = 2. Selanjutnya untuk K = 0 K 3 = 0 diperoleh F u = dan F u = Keudian nilai a F u F u dan F u disubtitusikan ke persaaan 16 diperoleh e n+1 = ! ! c 3 6 3c 1 c c c F e 4 n + Oe 5 n 17 sehingga Teorea 1 telah terbukti. Persaaan 17 erupakan persaaan error untuk etode iterasi yang diberikan oleh persaaan 1. Dari definisi persaaan error [5] dilihat bahwa etode iterasi tersebut eiliki orde konvergensi epat. Kasus Khusus Selanjutnya diaati dua kasus khusus yang tergantung pada peilihan F x. Kasus Pertaa. Misalkan diketahui F x = Ax 2 + Bx + C sehingga F x = 2Ax + B dan F x = 2A. Untuk x = u akan diperoleh F u = Au 2 + Bu + C F u = 2Au + B F u = 2A. Keudian jika F u F u dan F u didefinisikan pada Teorea 1 aka diperoleh solusi dari persaaan F x = Ax 2 + Bx + C yaitu A = B = C =

8 Selanjutnya dari persaaan 1 dan untuk F x = Ax 2 + Bx + C diperoleh bentuk baru dari etode iterasi orde epat untuk akar ganda yaitu y n = x n [ 2 x n+1 = x n A fx n 2+ f x n f x n f y n 2 +2 f x n 2 + B f x n f y n 2 +2 f x n ] fx + C n f x n Persaaan 18 disebut etode OMK1 dan persaaan error-nya adalah 1 e n+1 = 3c3 6 3c c c e 4 n + Oe 5 n Kasus Kedua. Misalkan diketahui F x = Ax + B x + C sehingga F x = A B x 2 dan F x = 2B x 3. Untuk x = u akan diperoleh F u = Au + B u + C F u = A B u 2 F u = 2B u 3. Selanjutnya jika F u F u dan F u didefinisikan pada Teorea 1 aka diperoleh solusi dari persaaan F x = Ax + B x + C yaitu A = B = C = Selanjutnya dari persaaan 1 dan untuk F x = A + 1 x baru dari etode iterasi orde epat untuk akar ganda yaitu y n = x n [ 2 x n+1 = x n A fx n 2+ f x n f x n f y n 2 +2 f x n B + f xn f yn 2 +2 f xn B+Cx ] fx + C n f x n 18 diperoleh bentuk 19 8

9 Persaaan 19 disebut etode OMK2 dan persaaan error-nya adalah e n+1 = c 3 6 3c 1 c c c e n + Oe n CONTOH NUMERIK Pada bagian ini dilakukan uji koputasi dengan enggunakan Metode Newton MN etode Zhou MZ [8] etode Shara MS [6] etode OMK1 dan etode OMK2. Berikut adalah persaaan nonlinear dan ultiplisitas akar yang digunakan dala ebandingkan etode yang telah disebutkan. 1. f 1 x = cosx x 3 = 3 2. f 2 x = 1 xe 1 x = 2 3. f 3 x = 8xe x2 2x 3 8 = 8 4. f 4 x = x 2 e x sinx + x = 2. Untuk elakukan uji koputasi dari contoh-contoh persaaan nonlinear di atas digunakan progra Maple 13 dengan kriteria peberhentian jalannya progra koputasi yang saa untuk seua etode di antaranya yaitu: 1. Nilai utlak fungsi lebih kecil dari toleransi yang diberikan. 2. Selisih nilai utlak antara dua akar hapiran yang berdekatan bernilai lebih kecil dari toleransi yang diberikan. 3. Julah iterasi encapai aksiu iterasi. Tabel 1: Perbandingan hasil koputasi dari beberapa etode iterasi f i x 0 Metode n + 1 fx n+1 x n+1 x n COC MN e e MZ e e MS e e OMK e e f 1 OMK e e MN e e MZ e e MS e e OMK e e OMK e e

10 f i x 0 Metode n + 1 fx n+1 x n+1 x n COC MN e e MZ e e MS e e OMK e e f 2 OMK e e MN e e MZ e e MS e e OMK e e OMK e e MN e e MZ e e MS e e OMK e e f 3 OMK e e MN e e MZ e e MS e e OMK e e OMK e e MN e e MZ e e MS e e OMK e e f 4 OMK e e MN e e MZ e e MS e e OMK e e OMK e e Berdasarkan Tabel 1 seua etode yang dibandingkan berhasil eneukan akar pendekatan yang diharapkan dari keepat contoh fungsi yang diberikan. Keudian dapat dilihat MN eerlukan julah iterasi yang lebih banyak dibandingkan dengan etode pebanding lainnya. Secara keseluruhan dapat dilihat bahwa OMK1 OMK2 eerlukan julah iterasi yang saa dibandingkan dengan MZ dan MS tetapi OMK1 epunyai nilai fungsi yang relatif saa dengan MZ dan lebih besar dibandingkan dengan MS. Jadi OMK1 dan OMK2 dapat dijadikan etode alternatif untuk encari akar ganda dari persaaan nonlinear. DAFTAR PUSTAKA [1] C. Chun M. Y. Lee B. Neta dan J. Dzunic On optial fourth order iterative ethods free fro second derivative and their dynaics Appl. Math. Coput [2] E. Hansen dan M. Patrick A faily of root finding ethods Nuerical Matheatics

11 [3] J. H. Mathews dan K. D. Fink Nuerical Method Using MATLAB Third Edition Prentice Hall Upper Saddle River New Jersey [4] A. Ralston dan P. Rabinowits A First Course in Nuerical Analysis Second Edition Mc Graw-Hill New York [5] J. R. Shara dan R. K. Guha Soe odified Newton s ethods with fourth-order convergence Advances in Applied Science Research [6] J.R. Shara dan R. Shara Modified Jarratt ethod for coputing ultiple roots Applied Matheatics Coputation [7] A. Singh dan J. P. Jaiswal An efficient faily of optial fourth order iterative ethods for finding ultiple roots of nonlinear equations Proc. Natl. Acad. Sci. Scct. A Phys. Sci [8] X. Zhou X. Chen dan Y. Song Constructing higher-order ethods for obtaining the ultiple roots of nonlinear equations Journal of Coputational and Applied Matheatics