ANALISIS HOMOTOPI DALAM PENYELESAIAN SUATU MASALAH TAKLINEAR

Transkripsi

1 ANALISIS HOMOTOPI DALAM PENYELESAIAN SUATU MASALAH TAKLINEAR JAHARUDDIN Departeen Mateatika, Fakultas Mateatika dan Iu Pengetahuan Ala, Institut Pertanian Bogor Jln. Meranti, Kapus IPB Draaga, Bogor 1668, Indonesia Abstrak : Dala tulisan ini dibahas etode analisis hootopi yang erupakan suatu pendekatan analitik untuk enyelesaian suatu asalah taklinear. Efesiensi etode ini ditunjukkan dan dibandingkan dengan etode lain yang sudah ada. Hasil nuerik enunjukkan bahwa etode hootopi dapat digunakan dan lebih baik untuk enyelesaikan suatu asalah taklinear. Katakunci: etode hootopi, deforasi 1. PENDAHULUAN Banyak fenoena yang terjadi di ala dapat diodelkan dala suatu persaaan ateatika yang uunya berbentuk taklinear. Masalah taklinear ini biasanya sulit diselesaikan baik secara analitik aupun secara nuerik, karena faktor taklinear yang sangat kuat. Metode perturbasi hootopi yang diusulkan pertaa kali oleh J.H.He pada tahun 1998 [2] erupakan etode yang intensif dikebangkan oleh para peneliti lainnya dala enyelesaikan berbagai jenis asalah linear dan tak linear. Rafei dan Ganji (26) dala [6] enggunakan etode perturbasi hootopi untuk enentukan penyelesaian eksplisit persaaan Helholtz dan persaaan Korteweg-de Vries (KdV) orde lia. Sedangkan Ozis dan Yildiri (27) dala [5] dengan etode hootopi enentukan penyelesaian persaaan KdV dala bentuk gelobang berjalan. Terdapat beberapa etode untuk enyelesaikan suatu asalah taklinear, seperti etode perturbasi [4] dan etode dekoposisi Adoian [1]. Dala etode perturbasi, faktor taklinear diperleah dengan eperkenalkan suatu paraeter kecil. Hal ini tidak dilakukan pada etode dekoposisi Adoian. Dala etode dekoposisi Adoian, penyelesaian asalah taklinear dinyatakan dala suatu deret pangkat (polinoial) yang hanya terdefinisi pada daerah kekonvergenannya.

2 14 JAHARUDDIN Dala etode hootopi, faktor taklinear tidak perlu diperleah seperti yang dilakukan pada etode perturbasi. Penyelesaian asalah taklinear dengan enggunakan etode hootopi adalah berupa deret, tetapi tidak perlu diisalkan dala bentuk deret pangkat (polinoial) seperti yang dilakukan pada etode dekoposisi Adoian. Tulisan ini akan ebahas penyelesaian suatu asalah taklinear dengan enggunakan etode hootopi yang erupakan bentuk uu dari etode perturbasi dan etode dekoposisi Adoian. Berdasarkan etode ini pula akan dibandingkan dengan penyelesaian eksaknya untuk engetahui validitas dari etode ini. Oleh karena itu, tulisan ini akan dibagi enjadi epat bagian. Setelah bagian pertaa ini, pada bagian kedua akan dibahas analisis dari etode hootopi, keudian pada bagian ketiga akan diberikan suatu contoh kasus penyelesaian asalah taklinear dan hasil nuerik disajikan untuk eperlihatkan validitas dari etode hootopi. Kesipulan dari tulisan ini akan diberikan pada bagian akhir. 2. ANALISIS METODE Pada bagian ini akan diuraikan konsep dasar dari etode hootopi. Untuk itu, perhatikan persaaan diferensial berikut: A[ y( x)], x (2.1) dengan A suatu operator turunan yang taklinear dan y(x) fungsi yang akan ditentukan dan bergantung pada peubah bebas x. Selanjutnya didefinisikan pula suatu operator linear L yang eenuhi L[ f ], bila f. (2.2) Sehingga operator A dapat dibagi enjadi dua bagian, yaitu L dan N yang asing-asing erupakan operator linear dan taklinear. Jadi, persaaan diferensial (2.1) dapat ditulis: L[ y] N [ y]. Misalkan y ( ) x pendekatan awal dari penyelesaian persaaan (2.1) dan q [,1] suatu paraeter. Definisikan fungsi real ( xq, ): [,1], dan suatu fungsi H sebagai berikut: H(, q) (1 q) L[ - y ] qa[ ], (2.3) atau H(, q) L[ ] qn[ ] (1 q) L [ y ]. Berdasarkan persaaan (2.3), aka untuk q dan q 1 asing-asing eberikan persaaan berikut: H( ( x,),) L[ ( x,) - y ( x)]

3 JMA, VOL. 7, NO.1, JULI, 28, dan H( ( x,1),1) A[ ( x,1)]. Sehingga enurut persaaan (2.1) dan persaaan (2.2) diperoleh bahwa fungsi ( x,) y( x) dan ( x,1) y( x) asing-asing erupakan penyelesaian dari persaaan H( ( x,),) dan H( ( x,1),1). Dengan deikian peningkatan nilai q dari ke 1 enyatakan perubahan nilai H(, q) dari L[ - y ] ke A[ ]. Dala topologi, proses ini disebut deforasi, sedangkan L[ - y ] dan A[ ] disebut hootopi. Selanjutnya berikut ini akan dibahas perluasan dari konsep dasar etode hootopi yang telah diuraikan di atas. Misalkan didefinisikan fungsi ( x, q, h, B) yang tidak hanya bergantung pada x dan q, tetapi juga bergantung pada paraeter bantu h dan fungsi bantu Bx ( ). Sehingga fungsi H dinyatakan sebagai berikut: H(, q, h, B) (1 q) L[ ( x, q, h, B) - y( x)] (2.4) qhb( x) A[ ( x, q, h, B)] Jika h 1 dan Bx ( ) 1, aka dari persaaan (2.4) diperoleh persaaan (2.3), yaitu H(, q) H(, q, 1,1). Selanjutnya, isalkan fungsi ( x, q, h, B) yang akan dibahas selanjutnya adalah penyelesaian dari persaaan berikut: H( ( x, q, h, B)) atau (1 q) L[ ( x, q, h, B) - y ( x)] qh B( x) A[ ( x, q, h, B)]. (2.5) Jadi, fungsi ( x, q, h, B) tidak hanya bergantung pada paraeter q, tetapi juga bergantung pada paraeter bantu h dan fungsi bantu B(x). Berdasarkan persaaan (2.4), aka untuk q dan q 1 asing-asing eberikan persaaan berikut: H(,, h, B) L[ ( x,, h, B) - y ( x)] dan H(,1, h, B) hb( x) A[ ( x,1, h, B)]. Berdasarkan persaaan (2.1) dan persaaan (2.2), aka penyelesaian dari persaaan H(,, h, B) dan H(,1, h, B) asing-asing adalah: y ( x) ( x,, h, B) dan y ( x ) ( x,1, h, B ).

4 16 JAHARUDDIN Kedua penyelesaian di atas bergantung pada paraeter bantu h dan fungsi bantu B(x) yang dapat dipilih sebarang. Peilihan paraeter bantu h, fungsi bantu B(x), pendekatan awal y ( ), x dan operator linear L perlu eperhatikan validitas dari etode hootopi ini. Dengan peilihan ini, terjain adanya fungsi ( x, q, h, B) dan turunan-turunannya terhadap q untuk setiap q [,1]. Turunan ke dari fungsi ( x, q, h, B) terhadap q yang dihitung di q adalah: ( ) d ( x, q, h, B) y ( x) q dq sehingga dinotasikan 1 ( ) 1 d ( x, q, h, B) y( x) y ( x) q.!! dq Deret Taylor dari fungsi ( x, q, h, B) terhadap q adalah atau 1 d ( x, q, h, B) ( x, q, h, B) ( x,, h, B) q q! dq 1. (2.6) 1 ( x, q, h, B) y ( x) y ( x). q Selajutnya dengan peilihan h, B(x), y ( ) x dan L juga engakibatkan kekonvergenan dari deret (2.6) di q 1. Jadi untuk q 1, dari persaaan (2.6) diperoleh 1 ( x,1, h, B) y ( x) y ( x). Karena y( x) ( x,1, h, B), aka diperoleh y( x) y ( x) y ( x). 1 Hasil ini enunjukkan hubungan antara penyelesaian eksak dari persaaan (2.1) dengan pendekatan awal y ( ) x dan y ( x), 1,2, yang akan ditentukan. Persaaan untuk enentukan y( x), 1, 2, diperoleh sebagai berikut. Jika kedua ruas pada persaaan (2.5) diturunkan terhadap q hingga kali dan engevaluasi pada q keudian dibagi oleh!, aka diperoleh persaaan berikut: L[ y ( x) - y ( x)] h B( x) R [ y ] (2.7) 1 1 dengan y y y y y, 1, 2,,, 1 1 d A[ ( x, q, h, B)] 1 1 R[ y ] ( 1)! dq q (2.8)

5 JMA, VOL. 7, NO.1, JULI, 28, dan, 1 1, lainnya. Dengan deikian apabila diberikan asalah taklinear dengan persaaan diferensial pada persaaan (2.1) terhadap syarat awal y(), aka dala etode hootopi eerlukan y ( ) x sebagai pendekatan awal dari penyelesaian yx ( ) dengan syarat awal y (). Deforasi orde nol pada persaaan (2.5) eenuhi syarat awal (, q), dan deforasi orde pada persaaan (2.7) eenuhi syarat awal y(). 3. APLIKASI DAN HASIL NUMERIK Berikut ini akan diberikan aplikasi dari etode hootopi yang telah dibahas pada bagian kedua. Perhatikan suatu asalah taklinear yang dinyatakan dala asalah nilai awal berikut: dy 2 xy x, y(). dx (3.1) 1 2 Penyelesaian eksak dari asalah nilai awal (3.1) adalah: y( x) tanh x 2. Selanjutnya akan ditentukan penyelesaian asalah nilai awal (3.1) dengan enggunakan etode hootopi. Misalkan y ( ) x pendekatan awal dari penyelesaian asalah nilai awal (3.1), dan paraeter terkait q dengan q [,1]. Operator linear L yang dapat dipilih berbentuk: (, ) [ (, )] 1( ) d x q L x q x 2( x) ( x, q) dx dengan ( x) dan 1 ( x) 2 suatu fungsi real. Berdasarkan persaaan (3.1), operator taklinear A berbentuk: d( x, q) 2 A[ ( x, q)] x ( x, q) x (3.2) dx Misalkan didefinisikan paraeter bantu h dan fungsi bantu Bx ( ), aka deforasi orde nol pada persaaan (2.5) eenuhi syarat awal (, q), dan deforasi orde pada persaaan (2.7) eenuhi syarat awal y(). Penyelesaian asalah nilai awal (3.1) dinyatakan oleh deret berikut: y ( x) y ( x). (3.3) 1

6 18 JAHARUDDIN Misalkan penyelesaian dari asalah nilai awal (3.1) dengan etode hootopi ini enggunakan fungsi basis berupa fungsi polinoial (enggunakan fungsi lain juga diperkenankan). Misalkan hipunan basisnya adalah: 2(2 x 1),1,2, sehingga penyelesaian yx ( ) berbentuk: y( x) a x 2(21) (3.4) Berdasarkan syarat awal y (), aka dipilih y ( x) x 2 sebagai pendekatan awal dari penyelesaian asalah nilai awal (3.1). Misalkan pula operator linear L yang dipilih berbentuk: d( x, q) L [ ( xq, )] dx aka penyelesaian persaaan (2.7) dengan syarat awal y() adalah 1 1 x y ( x) y ( x) h B( t) R [ y ] dt. (3.5) Bentuk R[ y 1] diperoleh dari persaaan (2.8) dengan operator A pada persaaan (3.2) adalah: 1 dy 1( x) R[ y 1] x y j ( x) y 1 j ( x) x(1 ) (3.6) dx j Berdasarkan persaaan (3.4) dan (3.5), fungsi bantu B(x) yang dipilih berbentuk: Bx ( ) 1. Dengan deikian dari persaaan (3.5) dan (3.6) diperoleh y( x), 1, 2, sebagai berikut: y1( x) hx hx y2( x) h(1 h) x h(1 2 h) x h x y3( x) h(1 h) x h(4 16h 23 h ) x h (4 7 h) x h x Bentuk y( x), 1,2, dapat diperoleh dengan bantuan software Maple, Matheatica atau software ateatika lainnya. Jadi penyelesaian asalah nilai awal (3.1) dinyatakan dala deret pada persaaan (3.3) dengan y( x), 1, 2, eenuhi persaaan (3.5). Gabar 1 enunjukkan perbandingan grafik antara penyelesaian eksak dan

7 JMA, VOL. 7, NO.1, JULI, 28, hapiran penyelesaian dari asalah nilai awal (3.1) dengan etode hootopi untuk nilai h = -1, h = -1/2, h = -1/5, dan h = -1/1 hingga orde 1. Berdasarkan Gabar 1 diperoleh bahwa hapiran penyelesaian dari asalah nilai awal (3.1) endekati penyelesaian eksak dengan baik. Pada orde 1 hapiran penyelesaian endekati dengan tepat pada selang nilai x yang cukup pendek pada nilai h = -1 dan h = -1/2. Gabar 1. Perbandingan penyelesaian eksak dan hapiran dari asalah nilai awal (2.1) hingga orde 1 untuk nilai beberapa nilai h. 4. KESIMPULAN Metode hootopi erupakan suatu pendekatan analitik untuk enyelesaikan suatu asalah taklinear. Dala etode ini elibatkan suatu paraeter dan suatu fungsi yang dapat dipilih sebarang. Peilihan tertentu dari kedua besaran ini eberikan suatu pendekatan yang telah diketahui, seperti etode perturbasi dan etode dekoposisi adoian. Dengan kata lain, etode hootopi erupakan bentuk uu dari etode perturbasi dan etode dekoposisi adoian. Efesiensi etode hootopi ditunjukkan dengan ebandingkan dengan etode lain yang sudah ada. Hasil nuerik enunjukkan bahwa etode hootopi dapat digunakan dan lebih baik untuk enyelesaikan suatu asalah taklinear.

8 2 JAHARUDDIN DAFTAR PUSTAKA [1] Adoian, G A review of the decoposition ethod in applied atheatics. J. Math. Anal. Appl., 135, [2] He J.H Approxiate analytical solution for seepage flow with fractional derivatives in porous edia, Coput. Method Appl. Mech. Eng. 167, [3] Liao, S., 24. Beyond Perturbatio, Chapan & Hall/CRC, Florida. [4] Nayfeh A.H., 2. Perturbation Methods, Wiley, New York. [5] Ozis, T. A. Yildiri. 27. Travelling wave solution of Korteweg-de Vries equation using He`s hootopy perturbation ethod. J. Nonlinear Sci. Nuer. Siulation, 8(2), [6] Rafei, M. D.D. Ganji. 26. Explicit solutions of Helholtz equation and fifth order KdV equation using hootopy perturbation ethod. J. Nonlinear Sci. Nuer. Siulation, 7(3),