Bab III S, TORUS, Sebelum mempelajari perbedaan pada grup fundamental., dan figure eight terlebih dahulu akan dipelajari sifat dari grup

Transkripsi

1 GRUP FUNDAMENTAL PADA Bab III S, TORUS, P dan FIGURE EIGHT Sebelu epelajari perbedaan pada grup fundaental S, Torus, P, dan figure eight terlebih dahulu akan dipelajari sifat dari grup fundaental asing-asing ruang tersebut. Subab 3. eberikan pebahasan engenai grup fundaental dari S yang bersifat trivial, sedangkan pebahasan pada Subab 3. bertujuan enunjukkan bahwa grup fundaental dari torus isoorfik dengan ( ). Grup fundaental dari P eiliki order dua akan dipelajari pada Subbab 3.3 dan yang akan dibahas pada Subbab 3.4 adalah sifat grup fundaental Figure eight yang tidak abelian. 3. Grup Fundaental Pada S. S erupakan ruang topologi berbentuk kulit bola dengan jari-jari satu yang berpusat di titik (,,). Dala subbab ini akan ditunjukkan bahwa bersifat terhubung sederhana, yang enurut Definisi.3, berakibat grup S fundaentalnya bersifat trivial. Untuk ebuktikan S terhubung sederhana secara langsung, langkah yang harus ditepuh akan cukup ruit, teorea dibawah ini dapat ebantu untuk ebuktikan S bersifat terhubung sederhana. Penggunaan grup fundaental..., Lia Hendri Lukita, FMIPA UI, 8

2 Teorea 3... Misalkan U dan V adalah hipunan buka di 3 R, dan X U V. Misalkan pula U V tidak kosong dan terhubung lintasan. Jika U dan V terhubung sederhana, aka X terhubung sederhana. Bukti. Misalkan a dan b adalah sebarang titik di X. Jika a dan b anggota U aka terdapat lintasan yang enghubungkan a dengan b karena U terhubung lintasan. Misalkan a dan b anggota V aka terdapat lintasan yang enghubungkan a dengan b karena V terhubung lintasan. Misalkan a anggota U dan b anggota V. Misalkan c anggota U V aka terdapat lintasan yang enghubungkan a dengan c, isalkan bernaa h, dan terdapat lintasan yang enghubungkan b dengan c, isalkan bernaa k. Maka h k adalah lintasan yang enghubungkan a dengan c. Akibatnya X terhubung lintasan. Selanjutnya akan ditunjukkan X terhubung sederhana dengan enunjukkan bahwa grup fundaental X adalah trivial, sesuai Definisi.3, dala proses pebuktian ini akan disertakan beberapa gabar untuk ebantu peahaan. Misalkan x anggota di U V dan f adalah loop yang berbasis di x. Jika f terletak seluruhnya di U atau f terletak seluruhnya di V aka [ f ] [ e ] karena U dan V terhubung sederhana. Jika terdapat x bagian dari f yang berada pada U ( U V ) dan pada V ( U V ), seperti pada Gabar.3., Penggunaan grup fundaental..., Lia Hendri Lukita, FMIPA UI, 8

3 U V X Gabar.3. Gabar loop f aka pilih b, b,..., b n [,] diana b b... bn sedeikian sehingga f [ bi, bi ], yang erupakan bagian dari lintasan f, hanya terletak di U atau di V, seperti pada Gabar.3.. U f(b ) V f(b ) f(b 3 ) f(b ) f(b 4 ) X f(b 5 ) Jika f ( b ) U V, aka b i akan dihapus sehingga didapatkan indeks i Gabar.3. Gabar loop f yang diberi indeks baru c, c,..., c [,] diana c c... c akibatnya Penggunaan grup fundaental..., Lia Hendri Lukita, FMIPA UI, 8

4 3 f [ c, c ], i,,..., i i hanya terasuk di U atau di V dan f ( c ) U V, i,,...,, seperti pada Gabar.3.3. i U f(c ) V f(c ) f(c ) X Gabar.3.3 Gabar loop f yang diberi indeks baru Definisikan fn : I f [ cn, cn ], n=,,...,, f n adalah lintasan dari ke f ( c n ) sehingga f f f... f diana f ( c ) n s f( ), s [,c ] c s c f( ), s [c,c ] h( s) c c s c f ( ), s [c -,] c c f n dapat dilihat pada Gabar 3.4. Penggunaan grup fundaental..., Lia Hendri Lukita, FMIPA UI, 8

5 4 U f f(c ) f(c ) f V f(c ) X f 3 Karena U Gabar 3.4 Gabar f n V terhubung lintasan serta x dan f ( c i ) terdapat di U V aka dapat didefinisikan i, i,,..., sebarang lintasan pada U V diana i () x dan i () f ( ci ), sedangkan dan didefinisikan sebagai lintasan yang eetakan seua anggota I ke x. Lebih lanjut definisikan i ( i) i ( i) yang erupakan invers dari i, i adalah lintasan pada U V diana i () i () f ( ci ) dan i () i () x, dan erupakan lintasan yang eetakan seua anggota I ke x, i dan i dapat dilihat pada Gabar.3.5. U f(c ) V α f(c ) f(c ) α X Gabar.3.5 Gabar i dan i Penggunaan grup fundaental..., Lia Hendri Lukita, FMIPA UI, 8

6 5 Definisikan gi ( i fi ) i, i,,..., g g. g ( f ) ( f ) ( f ) adalah loop yang berbasiskan di x. Dengan deikian dapat definisikan operasi perkalian antar g, i,,...,. Sebagai berikut, i g g g... g (3..) ( f ) ( f )... ( f ) f ( ) f ( )... f Kelas hootopi dari g yaitu [ g ] dapat dinyatakan sebagai [ g] [ f ( ) f ( )... f ] = [ ] [ f ] [ ] [ f ] [ ]... [ f ] [ ] (3..) i i adalah loop yang berbasis di titik x yang seluruhnya terletak di U V, sehinga i i seluruhnya terletak di U dan juga seluruhnya terletak di V. Lebih lanjut, karena U dan V terhubung sederhana, aka enurut Definisi.3 [ ] [ e ]. Karena dan eetakan seua anggota I ke x, i i x aka dan erupakan loop pada U V yang berbasis di titik x sehingga [ ] [ ], dan e x [ ] [ e ]. Akibatnya (3..) enjadi x Penggunaan grup fundaental..., Lia Hendri Lukita, FMIPA UI, 8

7 6 [ g] [ ] [ f ] [ ] [ f ] [ ]... [ f ] [ ] [ e ] [ f ] [ e ] [ f ] [ e ]... [ f ] [ e ] (3..3) x x x x Selanjutnya berdasarkan Lea.6, (3..3) enjadi [ ] [ ] [ ]... [ ] (3..4) g f f f dan dari (3..) diperoleh [ g] [ g g... g ] [ g ] [ g ]... [ g ] (3..5) Karena gi ( i fi ) i adalah loop yang berbasiskan di x yang seluruhnya terletak di U atau seluruhnya terletak di V aka [ g ] [( f ) ] [ e ]. Sehingga (3..5) enjadi i i i i x [ g] [ g ] [ g ]... [ g ] [ e ] [ e ]... [ e ] [ e ] x x x x (3..6) Karena f f f... f aka [ f ] [ f] [ f]... [ f ]. Dari (3..4) didapatkan [ f ] [ f ] [ f ]... [ f ] [ g]. Keudian dari (3..6) didapatkan [ f ] [ g] [ e x ]. Maka untuk sebarang loop f di X, [ f ] trivial. Karena X terhubung lintasan dan grup fundaental X trivial, berdasarkan Definisi.3, X terhubung sederhana. Penggunaan grup fundaental..., Lia Hendri Lukita, FMIPA UI, 8

8 7 Teorea 3... S terhubung sederhana. Bukti. Misalkan p (,,) S dan q (,, ) S. Definisikan fungsi f : ( S p) R, diana f ( x) f (( x, x, x3 )) ( ( x, x)) ; x=( x, x, x3 ) S p x3. Lebih lanjut pada [3] telah dinyatakan bahwa fungsi f bersifat kontinu dan bijektif dengan invers yang juga kontinu. f y y ( y, y ),, y y y y y y y y Karena terdapat fungsi kontinu f : ( S p) R diana inversnya juga erupakan fungsi kontinu, aka ( S p ) hoeoorfik dengan R. Lebih lanjut enurut [3] R terhubung sederhana aka ( S p ) juga terhubung sederhana. Dengan cara yang serupa dapat ditunjukkan ( S q ) hoeoorfik dengan R, sehingga ( S q ) juga terhubung sederhana. Karena S ( S p) ( S q ), keudian ( S p) ( S q ) tidak kosong dan terhubung lintasan, serta ( S p ) dan ( S q ) terhubung sederhana aka enurut Teorea 3.. S terhubung sederhana. Karena S terhubung sederhana aka berdasarkan Definisi.3 ( S, x ) erupakan grup trivial untuk setiap x X. Penggunaan grup fundaental..., Lia Hendri Lukita, FMIPA UI, 8

9 8 3.. Grup Fundaental Pada Torus. Misalkan S adalah sebuah lingkaran berjari-jari satu yang berada pada R, ruang T S S dinaakan torus. Torus sendiri berada pada ruang 4 R. Tujuan pebahasan dala subbab ini adalah epelajari ( S S, x y ), yang erupakan grup fundaental Torus, isoorfik dengan ( ). Isoorfisa antara ( S S, x y ) dengan ( ) tidak akan dicari secara langsung tetapi terlebih dahulu akan ditunjukkan ( S S, x y) isoorfik dengan ( S, x ) ( S, y ), untuk perasalahan ini akan digunakan teorea yang enyatakan bahwa untuk ruang X dan Y, ( X Y, x y ) isoorfik dengan X x Y y (, ) (, ). Keudian dengan enggunakan sifat ( S, x ) yang isoorfik dengan (, ), [], akan dibuat isoorfisa antara ( S, x) ( S, y ) dengan ( ). Langkah awal untuk enunjukkan dua hipunan saling isoorfik adalah enunjukkan terdapat fungsi antara keduanya, keudian fungsi tersebut harus dibuktikan erupakan hoorfisa yang bersifat satu-satu dan pada. Fungsi yang akan dibangun untuk ebuktikan ( X Y, x y ) isoorfik dengan ( X, x ) ( Y, y ) adalah fungsi antar grup fundaental, bentuk fungsi untuk kepentingan ini tidak akan dicari secara langsung, tetapi diinduksi dari suatu fungsi kontinu seperti yang diberikan pada definisi dibawah ini. Penggunaan grup fundaental..., Lia Hendri Lukita, FMIPA UI, 8

10 9 Definisi 3... Misalkan h : ( X, x) ( Y, y ) adalah fungsi kontinu. Fungsi h dari ( X, x ) ke ( Y, y ) eetakan setiap [ f ] di ( X, x ) ke [ h f ] di ( Y, y ) dan ditulis sebagai h([ f ]) [ h f ]. Setelah endapatkan bentuk fungsi antar grup fundaental seperti diatas, berikutnya adalah encari apakah fungsi tersebut erupakan hooorfisa, pada [] telah dibuktikan bahwa fungsi h seperti pada Definisi 3.. erupakan hooorfisa. Lea 3... Jika h : ( X, x) ( Y, y ) adalah fungsi kontinu aka h seperti pada Definisi 3.. adalah sebuah hooorfisa. h disebut hooorfisa yang diinduksi oleh h. Keudian yang enjadi perasalahan selanjutnya adalah encari bentuk fungsi kontinu yang tepat untuk digunakan dala enginduksi hooorfisa antara ( X Y, x y ) dengan ( X, x ) ( Y, y ). Fungsi yang dapat digunakan untuk kepentingan ini adalah fungsi proyeksi, berikut akan diberikan definisi dari fungsi proyeksi. Definisi 3... Misalkan p : X Y X diana p( x, y) x dan q : X Y Y diana q( x, y ) y. Fungsi p dan q disebut fungsi proyeksi. Penggunaan grup fundaental..., Lia Hendri Lukita, FMIPA UI, 8

11 3 Teorea 3... Misalkan p : X Y X dan q : X Y Y adalah fungsi proyeksi, aka dan p : ( X Y, x y ) ( X, x ) diana p([ f ]) [ p f ] q X Y x y Y y : (, ) (, ) diana q([ f ]) [ q f ] adalah sebuah hooorfisa. Bukti. Menurut [3] fungsi proyeksi p : X Y X erupakan fungsi kontinu, dan enurut Lea 3.., p : ( X Y, x y ) ( X, x ) diana p([ f ]) [ p f ] adalah sebuah hooorfisa. Begitu juga berlaku untuk q X Y x y Y y : (, ) (, ). Setelah didapatkan suatu bentuk hooorfisa yang diinduksi dari fungsi proyeksi, lebih lanjut akan dibuktikan ( X Y, x y ) isoorfik dengan ( X, x ) ( Y, y ). Teorea 3... ( X Y, x y ) isoorfik dengan ( X, x ) ( Y, y ). Bukti. Misalkan p : X Y Y dan q : X Y Y adalah fungsi proyeksi. Definisikan fungsi p * dan q * p* : ( X Y, x y ) ( X, x ) dengan p * ([ f ]) [ p f ] q* : ( X Y, x y ) ( Y, y ) dengan q * ([ f ]) [ q f ] Berdasarkan Teorea 3.., p * dan q * erupakan hooorfisa. Penggunaan grup fundaental..., Lia Hendri Lukita, FMIPA UI, 8

12 3 Lebih lanjut, definisikan pula peetaan : : ( X Y, x y ) ( X, x ) ( Y, y ) ([ g]) ( p * ([ g]), q * ([ g])) ([ p g],[ q g]), [ g] ( X Y, x y ) Akan ditunjukkan erupakan isoorfisa dari ( X Y, x y ) ke X x Y y (, ) (, ). Berdasarkan Lea.4, peetaan erupakan hooorfisa dari ( X Y, x y ) ke ( X, x ) ( Y, y ). Dengan deikian cukup dibuktikan satu-satu dan pada. Mula-ula akan dibuktikan pada, yaitu akan ditunjukkan untuk setiap ([ h],[ k]) ( X, x ) ( Y, y ) terdapat [ f ] ( X Y, x y ) sehingga ([ f ]) ([ h],[ k]). Misalkan ([ h],[ k ]) sebarang anggota ( X, x ) ( Y, y ), pilih [ f ] ( X Y, x y ) diana f ( i) ( h( i), k( i)), i I. f adalah loop pada ( X, Y ) yang berbasis di ( x, y ) karena f () ( h(), k()) ( h(), k ()) f () ( x, y ) dan f kontinu. Maka untuk setiap h k X x Y y ([ ],[ ]) (, ) (, ), terdapat [ f ] ( X Y, x y ) sehingga ([ f ]) ([ h],[ k]). Keudian akan dibuktikan satu-satu dengan enunjukkan bahwa kernel dari hanya terdiri dari [ e ] yaitu eleen identitas di ( x, y ) ( X Y, x y ). Eleen identitas di X Y x y (, ) adalah [ e ] ( x, y ) diana e I X Y dengan : ( x, y ) e ( i) ( e ( i), e ( i)) ( x, y ). ( x, y ) x y Sedangkan eleen identitas di ( X, x ) ( Y, y ) adalah ([ e ],[ e ]) x y diana [ e ] adalah eleen identitas di ( X, x ) dengan x e ( i) x x, dan Penggunaan grup fundaental..., Lia Hendri Lukita, FMIPA UI, 8

13 3 [ e ] eleen identitas di ( Y, y ) dengan y e ( i) y. Lebih lanjut isalkan y [ f ] diana f ( i) ( h( i), k( i)) adalah sebarang anggota kernel, aka ([ f ]) ( p * ([ f ]), q * ([ f ]) ([ p f ],[ q f ]) ([ h],[ k ]) adalah identitas di ( X, x ) ( Y, y ) sehingga ([ h],[ k]) ([ e ],[ e ]) dengan deikian h x y hootopik lintasan dengan e x dan k hootopik lintasan dengan e y. Karena h hootopik lintasan dengan e terdapat M : I I X dengan x M( i,) h( i) dan M( i,) e ( i) M(, t) x dan M(, t) x x diana M adalah hootopi lintasan antara h dan k hootopik lintasan dengan e x. Deikian pula karena e y,aka terdapat N : I I Y dengan N( i,) k( i) dan N( i,) e ( i) N(, t) y dan N(, t) y y keudian akan dibuat sebuah fungsi hootopi lintasan F antara f dengan e ( x, y ), yaitu F : I I X Y F( i, t) ( M( i, t), N( i, t)) F( i,) ( M( i,), N( i,)) ( h( i), k( i)) dan F( i,) ( M( i,), N( i,)) ( e ( i), e ( i)) e ( i) x y ( x, y ) F(, t) ( M(, t), N(, t)) ( x, y ) dan F(, t) ( M(, t), N(, t)) ( x, y ) Penggunaan grup fundaental..., Lia Hendri Lukita, FMIPA UI, 8

14 33 karena terdapat F hootopi lintasan antara f dengan e ( x, y ), aka [ f ] [ e x y ] (, ). Terbukti bahwa kernel adalah eleen identitas di ( X Y, x y ). Terbukti bahwa adalah isoorfisa. Torus adalah ruang topologi yang erupakan produk dari lingkaran, sehingga enurut Teorea 3.., dapat dikatakan bahwa ( S S, x y ) isoorfik dengan ( S, x) ( S, y ). Akibat ( S S, x y) isoorfik dengan ( S, x ) ( S, y ). Menurut Akibat 3..3, ( S S, x y ) isoorfik dengan ( S, x ) ( S, y ). Selanjutnya akan dibuat isoorfisa antara ( S, x ) ( S, y ) dengan ( ) dengan enggunakan sifat bahwa ( S, x ) isoorfik dengan (, ). Pernyataan engenai sifat ini diberikan dala Teorea 3..4 naun pebuktiannya, untuk alasan efisiensi, tidak disertakan tetapi ada pada []. Teorea ( S, x ) isoorfik dengan (, ) untuk setiap x S. Penggunaan grup fundaental..., Lia Hendri Lukita, FMIPA UI, 8

15 34 Berikutnya akan dibuktikan bahwa ( S S, x y ) isoorfik dengan ( ). Teorea ( S S, x y ) isoorfik dengan grup ( ). Bukti. Pertaa-taa akan dibuktikan terlebih dahulu terdapat isoorfisa ( S, x ) ( S, y ) dengan ( ). Karena ( S, x ) isoorfik antara dengan (, ) untuk setiap x S, aka dapat dibuat isoorfisa : ( S, x ) (, ) dan : ( S, y ) (, ) Definisikan H : ( S, x ) ( S, y ) ( ) H([ f ],[ g]) ( ([ f ]), ([ g])) ; [ f ] ( S, x ),[ g] ( S, y ) Abil ([ a],[ a ]) dan ([ b],[ b ]) sebarang anggota ( S, x ) ( S, y ) ( ), akan dibuktikan H hooorfisa dengan enunjukkan H(([ a],[ a]) ([ b ],[ b ])) H([ a],[ a ]) H([ b ],[ b ]). Berdasarkan Lea.3 berlaku H(([ a ],[ a ]) ([ b ],[ b ])) H(([ a ] [ b ]),([ a ] [ b ])) (3..) berdasarkan definisi H, (3..) enjadi H(([ a ],[ a ]) ([ b ],[ b ])) H(([ a ] [ b ]),([ a ] [ b ])) ( ([ a ] [ b ]), ([ a ] [ b ])) karena dan adalah hooorfisa, aka Penggunaan grup fundaental..., Lia Hendri Lukita, FMIPA UI, 8

16 35 ( ([ a ] [ b ]), ([ a ] [ b ])) ( ([ a ]) ([ b ])),( ([ a ]) ([ b ]) ([ a]), a (3..) ([ ]), ([ b ]), dan ([ b ]) adalah anggota dari grup (, ), dengan deikian berdasarkan Lea.3, (3..) enjadi ( ([ a ]) ([ b ])),( ([ a ]) ([ b ]) ( ([ a ]), ([ a ])) ( ([ b ]), ([ b ]))...(3..3) keudian berdasarkan definisi H, (3..3) enjadi ( ([ a ]), ([ a ])) ( ([ b ]), ([ b ])) H([ a ],[ a ]) H([ b ],[ b ]) (3..4) Dari (3..), (3..), (3..3), dan (3..4) didapatkan H(([ a ],[ a ]) ([ b ],[ b ])) H([ a ],[ a ]) H([ b ],[ b ]) sehingga berdasarkan Definisi.4, H erupakan hooorfisa. Keudian akan ditunjukkan H satu-satu dan pada. Abil ( p, q ) sebarang eleen, karena dan pada aka terdapat [ a] ( S, x ) dan [ b] ( S, y ) diana [ a] p dan ([ b ]) q, aka untuk ( p, q ) sebarang eleen sehingga H([ a],[ b]) ( p, q). terdapat ([ a],[ b]) ( S, x ) ( S, y ) Berikutnya akan ditunjukkan H satu satu. ([ e ],[ e ]) adalah identitas x y di ( S, x ) ( S, y ). Akan ditunjukkan kernel H adalah ([ e ],[ e ]). Abil x y Penggunaan grup fundaental..., Lia Hendri Lukita, FMIPA UI, 8

17 36 ([ a],[ b ]) sebarang anggota kernel, H([ a],[ b]) ( ([ a]), ([ a])) (,). Karena dan satu-satu aka [ a ] adalah identitas di ( S, x ), [ a] [ e x ],dan [ b ] identitas di ( S, y ), [ b] [ e y ]. Dengan deikian kernel H hanya terdiri dari x y ([ e ],[ e ]). Sehingga berdasarkan Lea., H satusatu. Telah ditunjukan terdapat isoorfisa antara ( S, x ) ( S, y ) dengan ( ). Karena ( S S, x y ) isoorfik dengan ( S, x ) ( S, y ) aka ( S S, x y ) isoorfik dengan ( ). Menurut Lea.8, grup fundaental pada seua titik di sebuah ruang yang terhubung lintasan saling isoorfik. Misalkan ( a, b ) dan ( c, d ) adalah dua titik sebarang pada torus. isalkan k adalah lintasan antara a dengan c dan l lintasan antara b dengan d. Definisikan : I S S diana ( i) ( k( i), l( i)). Pada [3] telah dinyatakan bahwa produk dari dua fungsi kontinu juga erupakan fungsi kontinu, karena k dan l adalah fungsi kontinu aka erupakan fungsi kontinu, () ( k(), l()) ( a, b) dan () ( k(), l()) ( c, d) aka adalah lintasan antara ( a, b ) dan ( c, d ). Karena pada torus terdapat lintasan untuk dua titik sebarang aka torus terhubung lintasan, sehingga grup fundaental di setiap titiknya saling isoorfik dan dapat disipulkan grup fundaental torus isoorfik dengan ( ). Penggunaan grup fundaental..., Lia Hendri Lukita, FMIPA UI, 8

18 Grup Fundaental pada P Isi pebahasan pada subbab ini bertujuan untuk enunjukkan grup fundaental dari P eiliki order. P {{ x, x} x S } atau bidang proyeksi adalah sebuah hipunan yang setiap anggotanya erupakan pasangan dari x, anggota dari S, dengan x. x dinaakan antipodal dari x. Fungsi yang eetakan x S ke x disebut fungsi antipodal, berikut akan diberikan definisinya. Definisi fungsi a : S S diana a( x) x, x S dinaakan fungsi antipodal dan a( x ) dinaakan antipodal dari x. Jika U S aka a( U) { u u U}. Teorea 3.3. di bawah ini akan ebahas engenai salah satu sifat yang diiliki oleh fungsi antipodal. Teorea Misalkan x S, dan N ( x ) adalah hipunan anggota S yang berjarak kurang dari dengan x. Jika, aka N x a N x. ( ) ( ( )) Bukti. Akan digunakan kontradiksi untuk ebuktikan Teorea Misalkan N ( x) a( N ( x )) tidak kosong, berarti terdapat y N ( x) a( N ( x )) diana y N ( x ) dan y a( N ( x )) dengan d( x, y ) dan d( x, y). Pada Penggunaan grup fundaental..., Lia Hendri Lukita, FMIPA UI, 8

19 38 S berlaku d( x, x) d( x, y) d( y, x) diana d( x, x ) sehingga d( x, y) d( y, x). Karena d( x, y ), aka d( x, y ) d( x, y) d( x, y) d( x, y) d( x, y) Karena d( x, y), aka y a( N ( x )). Untuk y N ( x ) didapatkan y a( N ( x )). Hal ini kontradiksi dengan yang diisalkan di awal, yaitu y N ( x) a( N ( x )) atau N ( x) a( N ( x )) tidak kosong. Jadi terbukti N x a N x. ( ) ( ( )) Sifat yang dibahas pada teorea diatas enjelaskan bahwa jika terdapat suatu hipunan pada S yang anggotanya berjarak kurang dari satu dengan x, aka hipunan tersebut tidak akan beririsan dengan antipodalnya. Sebelu epelajari grup fundaental fungsi yang enghubungkan S dengan P, diberikan suatu bentuk P. Fungsi yang eetakan setiap x anggota S ke { x, x} anggota P. Definisi p : S P diana p( x) { x, x}, x S. Penggunaan grup fundaental..., Lia Hendri Lukita, FMIPA UI, 8

20 39 Hasil dari peetaan x anggota S oleh fungsi p pada definisi diatas saa dengan hasil peetaan antipodal x, yaitu x, oleh p, p( x) p( x) { x, x}, x S. Jika U adalah subhipunan dari p( U) p( a( U)) {{ x, x} x U }. S, aka Teorea Misalkan U adalah hipunan bagian dari S dan p : S P diana p( x) { x, x}, x S. Prapeta dari p( U ) adalah U a( U). Bukti. Misalkan p ( p( U )) adalah prapeta dari p( U ). Mula-ula akan dibuktikan p ( p ( U )) U a ( U ). Misalkan y adalah sebarang anggota p( U ), y { x, x}, x U. Prapeta dari y adalah x dan x diana x U dan x a( U ). Karena untuk setiap y p( U) prapeta dari y adalah eleen dari U a( U ), aka p ( p ( U )) U a ( U ). Keudian akan ditunjukkan U a( U) p ( p( U )). Misalkan x sebarang anggota U a( U). Jika x U aka p( x) { x, x} p( U), dan juga untuk x a( U ) berlaku p( x) { x, x}, x p( U ). Dengan deikian untuk setiap x U a( U ) berlaku p( x) p( U ), U a( U) p ( p( U )). Jadi terbukti p ( p ( U )) U a ( U ). Penggunaan grup fundaental..., Lia Hendri Lukita, FMIPA UI, 8

21 4 Sebuah hipunan dikatakan buka dala suatu ruang topologi X jika hipunan tesebut erupakan anggota topologi X. Dengan deikian sebuah hipunan pada P dikatakan buka jika hipunan itu erupakan anggota topologi ilik P, karena itu untuk edefinisikan hipunan buka pada perlu diketahui terlebih dahulu topologi dari P. P, Definisi Misalkan X adalah sebuah ruang dan A adalah sebuah hipunan. Misalkan pula f : X A adalah fungsi yang bersifat pada. Maka - { U f ( U) buka di X } erupakan topologi di A. disebut topologi kuosien yang diinduksi oleh f. adalah topologi dari A. p : S P diana p( x) { x, x}, x S adalah peetaan yang bersifat pada karena untuk setiap { x, x} P terdapat x S sehingga - p( x) { x, x }, enurut Definisi { U p ( U) buka di S } erupakan topologi dari P P. Misalkan U adalah sebarang hipunan buka di P, U erupakan anggota dari. Menurut definisi P P, prapeta U juga erupakan hipunan bukan di buka di fungsi kontinu. pada S, sehingga untuk sebarang hipunan P, prapetanya juga erupakan hipunan buka, akibatnya p adalah Selanjutnya akan dipelajari bahwa hasil peetaan dari hipunan buka S oleh fungsi p : S P juga erupakan hipunan buka. Penggunaan grup fundaental..., Lia Hendri Lukita, FMIPA UI, 8

22 4 Teorea Misalkan p : S P diana p( x) { x, x}, x S. Jika M adalah subhipunan buka di P. S aka p( M ) adalah subhipunan buka di Bukti. Jika M adalah sebuah subhipunan buka di S, aka enurut Teorea 3.3. prapeta dari p( M ) adalah M a( M ). Menurut [3], fungsi a adalah hoeoorfisa sehingga a( M ) juga erupakan subhipunan buka di S. Akibatnya M ( ) a M erupakan subhipunan buka di S, M a( M ) anggota topologi topologi di S. Sehingga enurut Definisi 3.3.3, p( M ) adalah anggota P yang berarti p( M ) subhipunan buka di P. Salah satu cara yang sering digunakan untuk epelajai sifat grup fundaental sebuah ruang adalah dengan enggunakan fungsi covering. Definisi Misalkan f : E B adalah fungsi kontinu yang pada. Hipunan buka U B dikatakan evenly cover oleh f jika prapeta U dapat dinyatakan sebagai gabungan dari hipunan buka V diana V erupakan hipunan yang saling lepas di E sedeikian hingga untuk setiap pebatasan fungsi f V adalah hoeoorfisa dari V ke U. Koleksi { V } disebut sebagai partisi f ( U) dala irisan. Penggunaan grup fundaental..., Lia Hendri Lukita, FMIPA UI, 8

23 4 Definisi Misalkan f : E B adalah fungsi kontinu yang pada. Jika untuk setiap b B terdapat lingkungan U dari b yang evenly cover oleh f, aka f adalah fungsi covering, dan E adalah ruang covering dari B. Jika U adalah hipunan buka yang evenly cover oleh f, digabarkan sebagai tupukan partisi seperti pada Gabar 3.6. f ( U) dapat f ( U ) f U Gabar 3.6 Gabar fungsi covering Jika peetaan p : S P dapat dibuktikan erupakan suatu fungsi covering, aka hal ini akan sangat ebantu untuk dala epelajari sifat grup fundaental P. Teorea covering. p : S P diana p( x) {{ x, x}, x S } adalah fungsi Penggunaan grup fundaental..., Lia Hendri Lukita, FMIPA UI, 8

24 43 Bukti. Mula-ula akan ditunjukkan p kontinu dan pada. Misalkan U adalah sebarang subhipunan buka di P, U P. Sesuai definisi dari topologi kuosien, prapeta U erupakan subhipunan buka di S. Terbukti p kontinu. Keudian isalkan y { x, x} sebarang anggota diana p( x) { x, x} y. Terbukti p pada. P, terdapat x S Selanjutnya akan ditunjukkan untuk setiap y P terdapat lingkungan yang euat y dan evenly covered oleh p. Pertaa akan ditunjukkan bahwa untuk setiap y anggota P terdapat U lingkungan di P yang euat y diana prapeta U dapat ditulis sebagai gabungan hipunanhipunan yang saling lepas di S. Misalkan y sebarang anggota P. Pilih x S anggota prapeta y, lalu buat lingkungan- dari x, diana, isal bernaa N. N s d s x s x S { (, ) ;, }. N adalah sebuah hipunan buka di S. Menurut Teorea p( N ) adalah subhipunan buka di P dan p( N ) euat y Sehingga p( N ) adalah lingkungan dari y di P. Misalkan p( N ) U, aka enurut Teorea 3.3. prapeta dari U adalah N a( N ). Karena, aka berdasarkan Teorea 3.3. N dan N dan a( N ) saling lepas. Selanjutnya akan ditunjukkan bahwa p adalah hoeoorfisa dari a( N ) ke U. Peetaan p dari N ke U adalah peetaan yang dibatasi, p N : N U. Misalkan h p N : N U, h( x) { x, x}, x N. Penggunaan grup fundaental..., Lia Hendri Lukita, FMIPA UI, 8

25 44 Akan ditunjukkan h satu-satu dan pada. Misalkan y { x, x} U. aka terdapat x diana h( x) { x, x} y. Terbukti h pada. Sekarang akan N ditunjukkan h satu satu. Misalkan h( ) h( n) { x, x} U, aka n x karena x. Jadi h satu satu. N Keudian akan ditunjukan h dan h kontinu. Karena p : S P kontinu, aka enurut Lea.5(d) p Ne : N P kontinu. Lebih lanjut enurut Lea.5(e) p N : e N U juga kontinu. Dengan deikian terbukti h kontinu. Sekarang akan ditunjukkan h : U N kontinu. Misalkan M sebarang subhipunan buka di N. h kontinu jika ( h ) ( M) juga buka di U. Karena h erupakan peetaan satu-satu dan pada, aka ( h ) ( M) h( M). Akan ditunjukkan ( h ) ( M) h( M) buka di U dengan enunjukkan h( M ) adalah anggota dari topologi di U, h( M ) U. Menurut Definisi. { U X X } adalah topologi di U. Karena M U p erupakan subhipunan buka di N enurut Lea. M erupakan subhipunan buka di S. Berdasarkan Teorea p( M ) erupakan subhipunan buka di P sehingga P p( M ). Karena M N aka p( M) p( N ) U. Karena p( M) U p( M), diana p( M ) adalah eleen dari, aka p( M) P U. p( M) {{ x, x} x M} h( M ) sehingga h( M) U yang berarti h( M ) erupakan subhipunan buka di U. Jadi terbukti untuk Penggunaan grup fundaental..., Lia Hendri Lukita, FMIPA UI, 8

26 45 M subhipunan buka di N, ( h ) ( M) erupakan subhipunan buka di U, sehingga h p N : N U adalah peetaan kontinu. Terbukti e p Ne : N U adalah hoeoorfisa. Dengan cara serupa dapat ditunjukkan p a( Ne ) : a( N ) U adalah hoeoorfisa. Definisi Misalkan p : E B. Jika f adalah peetaan kontinu dari ruang X ke B, aka lifting dari f adalah peetaan f : X E sedeikian sehingga p f f. ~ f E p X f B Gabar 3.7 Gabar lifting dari fungsi f Contoh 3.. Misalkan p : R S dengan p( x) (cos x,sin x). Maka f ( s) s adalah lifting dari f : [,] S dengan f ( s) (cos s,sin s) karena p f f. Jika g : [,] S dengan g( s) (cos s, sin s) aka g ( s) s adalah lifting dari g( s) seperti terlihat pada Gabar 3.8. Penggunaan grup fundaental..., Lia Hendri Lukita, FMIPA UI, 8

27 46 R R I S I S Gabar 3.8 Contoh lifting Penggunaan lifting dan fungsi covering adalah alat yang penting untuk epelajari grup fundaental. Definisi Misalkan p : E B fungsi covering diana p( e ) b. Misalkan f adalah lifting dari f dengan titik awal e. Fungsi : ( B, b ) p ( b ) ([ f ]) f () terdefinisi dengan baik dan disebut sebagai korespondensi lifting. Pada [] telah diberikan pebahasan dan pebuktian bahwa fungsi seperti pada Definisi akan bersifat pada jika E terhubung lintasan dan erupakan korespondensi satu-satu jika E terhubung sederhana, seperti yang dinyatakan dala Teorea di bawah ini. Penggunaan grup fundaental..., Lia Hendri Lukita, FMIPA UI, 8

28 47 Teorea Misalkan p : E B adalah fungsi covering dengan p( e ) b. Jika E terhubung lintasan, aka korespondensi lifting : ( B, b ) p ( b ) bersifat pada. Jika E terhubung sederhana aka adalah korespondensi satu satu. Teorea ( P, ) y adalah grup berorder dua. Bukti. Misalkan p : S P adalah fungsi covering. Misalkan pula b P, aka terdapat e S sehingga p( e ) b. Karena S terhubung sederhana, aka : ( B, b ) p ( b ) satu-satu dan pada. Sehingga julah eleen ( B, b ) saa dengan julah eleen p ( b ), yaitu dua, karena p ( b ) = e dan e. Misalkan a { x, x}, x S dan b { y, y}, y S adalah sebarang anggota P, akan ditunjukkan terdapat lintasan antara a dan b. x dan y adalah anggota S yang terhubng lintasan. Misalkan f : I S diana f () x dan f () y adalah lintasan antara x dan y, definisikan fungsi h p f : I P dengan fungsi p seperti pada Definisi 3.3., karena p dan f kontinu aka h adalah fungsi kontinu dengan h() p( f ()) p( x ) { x, x} a dan h() p( f ()) p( y ) { y, y} b sehingga h adalah lintasan Penggunaan grup fundaental..., Lia Hendri Lukita, FMIPA UI, 8

29 48 pada P antara a dan b. Karena P terhubung lintasan aka sesuai Lea.8 grup fundaental P isoorfik pada setiap titik sehingga dapat dikatakan grup fundaental P berorder dua Grup Fundaental Pada Figure Eight Figure eight adalah gabungan dari dua lingkaran di potong di sebuah titik x seperti pada Gabar 3.9. R dengan titik x Gabar 3.9 Gabar figure eight Dala subbab ini akan ditunjukkan grup fundaental dari figure eight tidak bersifat abelian. Untuk enunjukkan hal tersebut, yang harus dibuktikan adalah [ a] [ b] [ b] [ a] untuk [ a ] dan [ b ] anggota grup fundaental figure eight. Berdasarkan operasi antar kelas hootopi, [ a] [ b] [ a b], dan [ b] [ a] [ b a]. Berdasarkan definisi dari kelas hootopi, [ a] [ b] [ b] [ a] jika ( a b ) dan ( b a ) tidak hootopik lintasan. Akan sulit untuk enunjukkan ( a b ) dan ( b a ) tidak hootopik lintasan dengan ebuktikan tidak terdapat hootopi lintasan antara keduanya, oleh karena itu akan digunakan cara lain untuk enunjukkan keduanya tidak hootopik lintasan dengan elibatkan lifting ilik kedua kelas tersebut. Teorea yang Penggunaan grup fundaental..., Lia Hendri Lukita, FMIPA UI, 8

30 49 dapat digunakan untuk kepentingan ini telah dibahas dan dibuktikan dala [], teorea tersebut akan diberikan dibawah ini. Teorea Misalkan p : C D diana p( c ) d adalah fungsi covering. Misalkan k dan l adalah dua lintasan pada D dari d ke d. Misalkan pula k dan l adalah lintasan pada C yang titik awalnya adalah c, yang secara berurutan adalah lifting dari k dan l. Jika k hootopik lintasan dengan l, aka k dan l akan epunyai titik akhir yang saa dan keduanya hootopik lintasan di C. Kontraposisi dari teorea diatas adalah jika k dan l tidak epunyai titik akhir yang saa atau tidak hootopik lintasan, aka hootopik lintasan. k dan l tidak Misalkan D adalah figure eight, perasalahan pada awal pebahasan adalah untuk ebuktikan terdapat [ a ] dan [ b ] pada D sehingga ( a b ) dan ( b a ) tidak hootopik lintasan. Berdasarkan kontraposisi diatas, langkah yang akan digunakan adalah enunjukkan terdapat hipunan C diana p : C D adalah fungsi covering dan selanjutnya enunjukkan bahwa ( a b ) dan ( b a ) eiliki lifting yang bertitik awal saa tetapi tidak epunyai titik akhir yang saa. Teorea dibawah akan eberi pebahasan untuk tujuan tersebut. Penggunaan grup fundaental..., Lia Hendri Lukita, FMIPA UI, 8

31 5 Teorea Grup fundaental dari figure eight tidak abelian. Bukti.Misalkan D adalah figure eight yang terdiri dari lingkaran A dan B dengan titik potong di x seperti pada Gabar 3.. x A B Gabar 3. Gabar figure eight Misalkan C adalah subruang dari R yang terdiri dari interval ((,),(,)) di subu Y, interval ((,),(,)) di subu X, dan dua lingkaran kecil yang secara berurutan bersinggungan dengan subu Y di (,) dan bersinggungan dengan subu X di (,) seperti pada Gabar 3.. (,) (,) (,) Gabar 3. Gabar ruang C Penggunaan grup fundaental..., Lia Hendri Lukita, FMIPA UI, 8

32 5 Definisikan peetaan p : C D yang eetakan interval [(,),(,)] pada subu X ke lingkaran A, dan eetakan lingkaran yang enyinggung subu X ke lingkaran B seperti pada Gabar 3.. (,) x A B (,) (,) Gabar 3. Peetaan ruang C oleh p p juga eetakan interval [(,),(,)] pada subu Y ke lingkaran B, dan eetakan lingkaran yang enyinggung subu Y ke lingkaran A seperti pada Gabar 3.3. (,) x (,) (,) A B Gabar 3.3 Peetaan ruang C oleh p Penggunaan grup fundaental..., Lia Hendri Lukita, FMIPA UI, 8

33 5 Menurut [3], p adalah fungsi covering dari C ke D. Misalkan f adalah loop di x yang elewati A, dan g adalah loop di x yang elewati B, seperti pada Gabar 3.4. f g x A B Gabar 3.4 Gabar loop f dan g Akan ditunjukkan [ f ] [ g] [ g] [ f ] dengan enunjukkan [ f g] [ g f ]. f g adalah loop berbasis di x yang lintasannya diulai dari x, elewati lingkaran B dan lingkaran A dan berakhir di x. yang lintasannya elewati lingkaran A keudian lingkaran B. g f juga erupakan loop Misalkan k : I C adalah lintasan berawal dari titik (,) keudian elewati titik (,) lalu elewati lingkaran yang enyinggung subu X dan berhenti di titik (,) seperti pada Gabar 3.5. Karena p k ( f g) aka enurut Definisi k adalah lifting dari f g. Penggunaan grup fundaental..., Lia Hendri Lukita, FMIPA UI, 8

34 53 (,) k (,) (,) Gabar 3.5 Gabar k Keudian isalkan l : I C adalah lintasan dari dari titik (,) keudian elewati titik (,) lalu elewati lingkaran yang enyinggung subu Y dan berhenti di titik (,) seperti pada Gabar 3.6. Karena p l ( g f ), aka l adalah lifting dari g f. (,) l (,) (,) Gabar 3.6 Gabar l k dan l secara berurutan adalah lifting dari ( f g ) dan ( g f ) dengan titik awal yang saa yaitu titik (,). Karena k dan l tidak punya titik ujung Penggunaan grup fundaental..., Lia Hendri Lukita, FMIPA UI, 8

35 54 yang saa aka berdasarkan kontraposisi dari Teorea 3.4. ( f g ) tidak hootopik dengan ( g f ), sehingga [ f g] [ g f ] sehingga [ f ] [ g] [ g] [ f ]. [ f ] dan [ g ] adalah kelas hootopi yang berbasis di titik x, grup fundaental figure eight yang berbasis di x tidak abelian, kerena figure eight adalah ruang topologi yang terhubung lintasan, dengan deikian grup fundaental yang berbasis di setiap titik pada figure eight tidak abelian, sehingga dapat disipulkan grup fundaental figure eight tidak abelian. Pada proses pebuktian diatas dapat disipulkan grup fundaental figure eight yang berbasis di x setidaknya eiliki dua anggota yaitu [ f g] dan [ g f ], akibatnya grup fundaental yang berbasis di titik-titik yang lain juga setidaknya eiliki dua anggota, sehingga dapat dikatakan figure eight tidak terhubung sederhana karena grup fundaentalnya tidak trivial. Penggunaan grup fundaental..., Lia Hendri Lukita, FMIPA UI, 8