MODEL MATEMATIKA SISTEM PERMUKAAN ZAT CAIR

Transkripsi

1 MODEL MATEMATIKA SISTEM PEMUKAAN ZAT AI PENGANTA Pada bagian ini kita akan enurunkan odel ateatika siste perukaan zat cair. Dengan eperkenalkan prinsip resistansi dan kapasitansi untuk siste perukaan zat cair, eungkinkan kita untuk enggabarkan karakteristik dinaika siste dala bentuk sederana. MODEL MATEMATIKA SISTEM PEMUKAAN ZAT AI Dala analisa siste aliran zat cair, aliran zat cair dibedakan berdasarkan bilangan eynoldnya yaitu aliran lainar dan aliran turbulen. Bila bilangan eynoldnya lebi besar dari aka siste aliran zat cair terasuk aliran turbulen. Siste aliran turbulen biasanya dinyatakan dengan persaaan differensial tak linier. Aliran dikatakan lainar bila bilangan eynoldnya lebi kecil dari 000. Dala kasus lainar, aliran zat cair terjadi sacara strealines tanpa turbulensi. Siste aliran lainar biasanya dinyatakan dengan persaaan differensial linier. esistansi untuk aliran zat cair dala pipa yang diubungkan pada dua tangki didefinisikan sebagai perubaan dala perbedaan tinggi (perbedaan perukaan zat cair dala dua tangki) yang diperlukan untuk ebuat satu satuan perubaan laju aliran, yang dapat diruuskan : = perubaan perbedaan perukaan, perubaan laju aliran, 3 / det Karena ubungan antara laju aliran dan perbedaan tinggi terjadi untuk aliran lainar dan aliran turbulen, aka besarnya resistansi akan kita tinjau untuk kedua keadaan aliran ini. Untuk siste perukaan zat cair dengan aliran lainar, aka ubungan antara laju aliran pada keadaan tunak dan tinggi perukaan pada keadaan tunak diberikan ole persaaan berikut : = K

2 Diana adala laju aliran zat cair, 3 /det, K adala koefisien /det, dan adala perukaan zat cair pada keadaan tunak. Peratikan bawa uku untuk aliran lainar analog dengan uku oloub yang enyatakan bawa arus berbanding lurus dengan beda potensial Untuk aliran lainar, besarnya resistansi l adala d l = = d esistansi aliran lainar adala konstan dan analog dengan resistansi listrik. Untuk siste perukaan zat cair dengan aliran turbulen, besarnya laju aliran pada keadaan tunak adala : = K Sedangkan besarnya resistansi turbulen adala : d t = = d Tapak bawa nilai resistansi t aliran turbulen tergantung pada laju aliran dan perukaan zat cair. Nilai t yang kecil dapat dikatakan konstan bila perubaan perukaan zat cair dan laju aliran kecil. Dengan enggunakan resistansi aliran turbulen, aka ubungan antara dan adala = t Dala beberapa kasus, nilai koefisien K yang tergantung pada koefisien aliran dan daera pengabat tidak diketaui. Maka resistansi dapat diketaui dengan ebuat kurva laju aliran versus perukaan zat cair yang didasarkan dari data percobaan dan engukur keiringan kurva pada keadaan operasi. Gabar () enunjukkan kurva laju aliran versus perukaan zat cair. Titik P pada gabar adala titik operasi keadaan tunak. Garing iring kurva di titik P eotong ordinat pada (,0). Jadi kurva eiliki keiringan.

3 ead Tan - f 0 P q Kecepatan aliran Keiringan = = q Tinjau keadaan operasi sekitar titik P. Anggap penyipangan kecil perukaan zat cair pada keadaan tunak sebagai dan perubaan kecil pada laju aliran sebagai q, aka : Keiringan kurva pada titik P = = = q Pendekatan linier ini didasarkan pada kenyataan bawa kurva sesunggunya tidak berbeda jau dari tangen garis jika variasi keadaan operasi tidak terlalu besar. Kapasitansi dari tangki didefinisikan sebagai besar perubaan cairan yang diperlukan untuk ebuat perubaan potensial sebesar satu satuan. (Potensial adala besaran yang enunjukkan tingkat tenaga siste) Besarnya kapasitansi diruuskan sebagai berikut : perubaan cairan yang disipan, = perubaan potensial, 3 t 3

4 Tinjau siste perukaan zat cair berikut ini : Katup pengontrol + q + Katup beban + q 0 diana, Kapasitansi esistansi q i q o = laju keadaan tunak (sebelu ada perubaan), 3 /det = penyipangan kecil laju aliran asuk pada keadaan tunak, 3 /det = penyipangan kecil laju aliran keluar pada keadaan tunak, 3 /det = tinggi perukaan zat cair (sebelu terjadi perubaan), = penyipangan kecil perukaan zat cair pada keadaan tunak, Jika kita asusikan bawa siste linier atau dilinierkan, aka persaaan differensial siste dapat diperole sebagai berikut : Karena aliran asuk dikurangi aliran keluar selaa selang waktu dt kecil saa dengan jula tabaan air dala tangki, aka : d = ( q q )dt i o Dari definisi resistansi, ubungan antara q o dan adala q o = Seingga persaaan differensial untuk siste ini pada nilai konstan enjadi d + = q i dt Dengan enggunakan transforasi Laplace didapatkan 4

5 ( s ) () s = () s + l i Jika q i dipandang sebagai asukan dan adala keluaran untuk siste perukaan zat cait, aka fungsi ali siste adala i () s = () s s + Sedangkan, jika yang dipandang sebagai keluaran siste adala q o dan sebagai asukan adala q i aka fungsi ali siste adala o i () s = () s s + onto : Tinjau siste perukaan zat cair berikut ini. Siste terdiri dari dua bua tangki yang berinteraksi. + q Tangki Tangki q q Persaaan dinaik siste dala bentuk persaaan differensial dapat diturunkan sebagai berikut : Persaaan untuk tangki : d dt = q q q () = () 5

6 Persaaan untuk tangki : = q (3) d dt q q = (4) Transforasi Laplace dan diagra blok dari persaaan () (4) adala sebagai berikut : Transforasi Laplace untuk persaaan () : ( s) = (s) + - (s) Transforasi Laplace untuk persaaan () : (s) s = ( s) (s) + - s (s) Transforasi Laplace untuk persaaan (3) : (s) = (s) (s) Transforasi Laplace untuk persaaan (4) : s = (s) + - s (s) (s) Dengan engubungkan sinyal-sinyal sebagaiana estinya, aka diagra blok total siste adala sebagai berikut (s) + - s + - (s) + - s 6

7 Dengan reduksi diagra blok, diagra blok total siste ini dapat disederanakan enjadi : (s) ( + + ) s + s + (s) Dengan fungsi ali siste adala : = ( s) s + ( + + ) s + LATIAN. Tinjau siste tingkat cairan berikut : + q Tangki Tangki q q Pada kedudukan seibang, laju aliran asuk dan laju aliran keluar keduanya saa dengan dan laju aliran antara tangki-tangki adala nol. Perukaan zat cair dari tangki-tangki dan keduanya saa dengan. Pada t = 0 laju aliran asuk diuba diuba dari enjadi + q, diana q erupakan perubaan kecil laju aliran asuk. asil perubaan v perukaan zat cair ( dan ) dan aliran asuk (q dan q ) dianggap kecil. Kapasitansi tangki dan asing-asing adala dan. esistansi katup diantara tangki-tangki adala dan diantara katup alira keluar adala. Turunkan odel atetika untuk siste ini dala bentuk fungsi ali, jika q adala asukan dan keluaran. 7