PENJUMLAHAN MOMENTUM SUDUT

Transkripsi

1 PENJUMAHAN MOMENTUM SUDUT A. Penjulahan Moentu Sudut = + Gabar.9. Penjulahan oentu angular secara klasik. Dua vektor oentu angular dan dijulahkan enghasilkan Jika oentu angular elektron pertaa adalah dan oentu angular elektron kedua adalah, besar oentu angular total dari siste gabungan dua elektron adalah : (9.) (9.) Koponen dala arah z dari oentu angular total dari siste gabungan dua elektron adalah : Pada kasus bahwa hitung koutatornya. z z z (9.3) tidak kout dengan isalnya. Untuk lebih jelasnya ari kita z, z, z, z, z, 39

2 , z i yx x y (9.4) Dala rangka untuk enetapkan bahwa seperangkat nilai eigen,,, adalah bilangan-bilangan kuantu yang baik (good quantu nubers), aka harus kita tunjukkan bahwa epat operator z, z,, adalah operatoroperator yang satu sana lain saling kout atau berupa Coplete Set of Couting Operators ( CSCO ).,,,,,, z z z z z z (9.5) koutator, dan, sudah kita buktikan sebelunya karena z z z siste koordinat tidak bergantung pada siste koordinat., Z Contoh : Z Dengan alasan yang saa seluruh koutator pada persaaan diatas saa dengan nol atau operator z, z,, adalah kout. Bilaana kita engukur dan yang sebelu pengukuran keadaannya dinyatakan oleh, setelah pengukuran keadaannya akan berubah yaitu siste berada di sebelah kiri keadaan seula. Untuk enunjukkan bahwa,,, adalah bilangan-bilangan kuantu yang baik, kita harus ebuktikan bahwa siste,,, adalah seperangkat operator-operator kout yaitu : dan, (9.6), (9.7) Mari kita buktikan koutator tersebut!,,,,, 4

3 ,,, z z, z, z B. Representasi Gandeng dan Tak Gandeng (Coupled and Uncoupled) (9.8) : Gabar 9. Representasi Gandeng dengan... = (9.9) atau equivalen dengan : Y,, Y, (9.) dengan, adalah koordinat untuk elektron pertaa dan, adalah koordinat untuk elektron kedua dan digabarkan sebagai berikut : 4

4 z Θ Θ β y Φ x Φ Gabar 9.3 Koordinat angular untuk partikel dan : z z z (9.) (9.) (9.3) (9.4) Penjulahan hanya dapat berjalan eliputi bilangan kuantu dan. Pebatasan + = berasal dari persaaan dan orthogonalitas dari keadaan. Persaaan dapat dituliskan kebali sebagai berikut : (9.5) C dengan C adalah koefisien dan dinaakan koefisien clebsch Gordan. C. Representasi Koordinat Kita telah enuliskan untuk enyatakan vektor dari operator dan. Representasi koordinat keadaan diberikan oleh proyeksinya 4

5 , Y,. (9.6) Dengan cara yang saa representasi koordinat dari keadaan capuran diberikan oleh proyeksinya: Y Y (9.7) dengan cara ini representasi koordinat dari pers (9.4) adalah (9.8) C Y, Y, D. Harga Moentu Sudut Siste Dua Elektron : z = z + z (9.9) Harga aksiu yang dapat diiliki oleh siste itu adalah : atau equivalen dengan ax = ax + ax (9.) (9.) ax jelas bahwa dari variasi harga bilangan kuantu oentu angular total dapat diasusikan harga aksiunya ( ax ) saa dengan ax (9.) harga harga oentu angular total berurutan dari ax ax enurun hingga harga iniunya. Mungkin anda bertanya berapa harga iniunya? : in (9.3) 43

6 Relasi tersebut dipenuhi bila kita abil in. Dengan cara ini kita teukan harga dari yang berkaitan dengan siste dua elektron dengan asing asing harga adalah, dan yaitu : (9.4) in,..., Pada kasus yang kita bahas yaitu siste dua elektron dengan satu elektron p ( =) dan satu lagi elektron d ( = ). Siste tersebut epunyai harga-harga oentu angular total salah satu dari harga =,, 3. Harga-harga itu berasal dari pers.(9.4) dengan easukkan Harga dan. Harga dapat ditentukan dengan enggunakan forulasi (9.5) untuk = aka = aka 6 = 3 aka Julah total keadaan eigen yang berkaitan dengan ketiga harga dari tersebut adalah ditentukan dengan enggunakan pers (9.3) dan diperoleh : N = (x + ) + (x + ) + (x3 + ) = 5 keadaan harga harga -nya ialah : = = -,,, = = -, -,,,, = 3 = -3, -, -,,,, 3, dan keadaan-keadaan eigennya ialah yaitu : 3 3, 3, 3, 3, 3 3, 3 3,,,,,,, Seuanya ada 5 keadaan eigen yang berkaitan dengan tiga yaitu,, dan 3. 44

7 45 Bila kedua elektron dala siste itu berupa elektron ( = = ) yang diiliki oleh siste berdasarkan pers.(9.4) adalah salah satu dari harga-harga: =,, Harga-harga yang diiliki untuk asing-asing ialah =, = =, = -,, =, =, -,,, Julah keadaan eigen yang berkaitan dengan ketiga tersebut ialah pers.(9.3) in N atau N = ( + ) ( + ) = (. + ) (. + ) = 9 keadaan. Dala representasi tak gandeng (uncoupled) ke sebilan keadaan tersebut dapat dijabarkan sebagai berikut : C

8 46 Perbandingan antara representasi gandeng dan representasi tak gandeng diungkapkan oleh dua set persaaan keadaan berikut : / / tak gandeng Representasi / z z E. Moentu Angular Total untuk Siste ebih dari Dua Elektron Anda sudah epelajari penjulahan oentu angular untuk siste yang terdiri dari dua elektron. Bagaiana penjulahan oentu angular untuk siste yang lebih dari dua elektron?. Sekarang kita tinjau suatu siste yang terdiri dari n elektron yang asingasing harga oentu angularnya,,, n. Dala representasi gandeng julah total keadaan eigen dari siste tersebut adalah ( + ) ( + ) ( 3 + ) ( n + ) (9.6) Harga harga yang ungkin dari dapat ditentukan dengan dua cara. Cara pertaa saa seperti aturan dua elektron seperti yang sudah anda pelajari, asing-asing harga nya adalah dan, dari kasus ini oentu angular gabungan ialah dan epunyai nilai eigen dengan oentu angular total yang harga harganya dari : = +,, -

9 Tinjau siste yang terdiri dari 3 elektron yang asing-asing oentu angularnya, dan 3. Moentu angular total dari siste tersebut diungkapkan oleh 3 isalkan aka persaaan dapat dituliskan sebagaiberikut : 3 dengan deikian salah satu harga yang berkaitan dengan adalah Jadi harga harga yang berkaitan dengan oentu angular total ialah: = + 3,, - 3 (9.7) Contoh : Tinjau kasus siste yang terdiri dari 3 elektron p ( = = 3 = ). Untuk dua elektron pertaa kita epunyai harga harga adalah = +,, - =,, harga harga nya adalah = + 3,, - 3 Untuk = aka = = aka =,, = aka =,, 3 Dengan deikian untuk siste yang epunyai atau terdiri dari 3 elektron P, harga harga nya adalah salah satu dari harga harga =,,, 3 Julah total keadaan eigen yang bisa dibentuk berkaitan dengan harga harga diatas adalah N = ( + ) ( + ) ( 3 + ) = 3 x 3 x 3 = 7 ( eigen bersaa). Bagaiana aturan tersebut bisa diterapkan pada siste yang terdiri dari n elektron?. Misalkan asing asing berharga,,, n. Mula ula kita julahkan oentu angular dari dua elektron pertaa = +,, - selanjutnya kita julahkan oentu angular dengan elektron ke tiga 47

10 = + 3,, - 3 keudian dijulahkan dengan oentu angular elektron ke epat = + 4,, - 4 deikian seterusnya. F. Aturan Penjulahan Cara penentuan harga di atas berkesan agak ruit. Ada cara lain yang lebih sederhana yaitu dengan enggunakan aturan penjulahan. Tinjau suatu siste yang terdiri dari n elektron dan asing asing oentu angularnya,, 3,, n. Harga harga tersebut selalu dapat kita urutkan sedeikian hingga 3 n Misalkan n i aka: i a. jika n - aka in = n - b. jika n - aka in = c. dala keseluruhan kasus ax d. harga harga yang ungkin dari eberikan harga total : n i i... n dengan = ax, ax -,, in Contoh : Tinjau suatu siste terdiri dari elektron P dan satu elektron f ( = =, 3 = 3 ) n jadi 3 i i i i n 3 in n 3 ax i i i i 3 48

11 Jadi untuk siste yang terdiri dari dua elektron P dan satu elektron f harga harga nya adalah =,, 3, 4, 5. Keadaan eigen yang bisa dibentuk dengan harga tersebut sebanyak: N = ( + )( + )( + ) = (. + )(. + )(.3 + ) = 3 x 3 x 7 = 63 keadaan eigen bersaa Catatan Kaitan notasi oentu angular orbital elektron dengan asing asing harga elektron ialah Huruf s p d f g h Harga