METODE MULTIGRID UNTUK MENYELESAIKAN PERSAMAAN POISSON DUA DIMENSI DENGAN METODE BEDA HINGGA ABSTRACT

Transkripsi

1 METODE MULTIGRID UNTUK MENYELESAIKAN PERSAMAAN POISSON DUA DIMENSI DENGAN METODE BEDA HINGGA M. Taufik 1, Samsudua 2, Zulkarnain 2 1 Maasiswa Program Studi S1 Matematika 2 Dosen Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetauan Alam Universitas Riau Kampus Binawida Pekanbaru (28293), Indonesia m.taufikmurwanto@aoo.com ABSTRACT Tis article discusses te application of multigrid metod to solve sstems of linear equations obtained from two-dimensional Poisson equation in te discretization b finite difference metod. Tis multigrid metod is used anoter iteration metod, tat is te metod of Gauss-Seidel iteration wic acts as a smooting operator. Kewords: Sstem of linear equation, finite difference metod, Gauss-Seidel metod, multigrid metod ABSTRAK Artikel ini membaas penerapan metode multigrid untuk menelesaikan sistem persamaan linear ang diperole dari persamaan Poisson dua dimensi ang didiskritisasi dengan metode beda ingga (finite difference). Dalam metode multigrid ini digunakan metode iterasi lainna aitu metode iterasi Gauss-Seidel ang berperan sebagai operator pengalusan. Kata kunci: Sistem persamaan linear, metode beda ingga, metode Gauss-Seidel, metode multigrid 1. PENDAHULUAN Metode multigrid adala sala satu metode iterasi ang digunakan untuk menelesaikan sistem persamaan linear. Braess [3] menuliskan tentang sejara metode ini, bawa multigrid ditemukan pertama kali ole Fedorenko ang merumuskan metode dua grid pada taun 1961, kemudian berikutna adala metode multigrid pada taun Bacvalov [2] kemudian mempelajarina untuk persamaan diferensial. Brandt [4] menatakan bawa metode multigrid sangat baik sekali dibandingakan dengan metode iterasi lainna, seperti metode Jacobi, metode Gauss-Saidel, metode succesive over relaxation, dan lain-lain. Repositor FMIPA Universitas Riau 1

2 Kriteria sebua metode iterasi dikatakan baik aitu jika kekonvergenan dapat dengan cepat diperole dan error ang diasilkan cukup kecil. Menurut Jespersen [7], metode multigrid dapat memenui itu semua, disamping masi terdapat satu lagi kelebianna, aitu mampu menelesaikan sistem persamaan linear ang ukuranna besar. Dalam artikel ini, sistem persamaan linear ang akan diselesaikan berasal dari persamaan Poisson dua dimensi, [ ] 2 u x (x, ) + 2 u (x, ) = 2 (1 6x 2 ) 2 (1 2 ) + (1 6 2 )x 2 (1 x 2 ), (1) 2 2 dalam domain segiempat R = [(x, ) < x < 1, < < 1] dengan sarat batas u(, j ) = u(1, j ) = u(x i, ) = u(x i, 1) =, i, j =, 1, 2,, N. Solusi eksak dari persamaan (1) adala u(x, ) = (x 2 x 4 )( 4 2 ). (2) Persamaan Poisson tersebut didiskritisasi dengan metode beda ingga (finite difference) ang mengasilkan sistem persamaan linear Au = f. (3) Matriks koefisien pada sistem persamaan linear tersebut memiliki struktur ang kas berupa matriks tridiagonal ang akan mempermuda pengerjaan metode multigrid ini. Ini ang menjadi alasan sistem persamaan linear ang diambil berasal dari diskritisasi persamaan Poisson dua dimensi. Sala satu ang mempunai peranan dalam memperole solusi pendekatan ang baik adala metode iterasi ang digunakan sebagai operator pengalusan. Kualitas dari operator tersebut menentukan kualitas solusi pendekatan dari metode multigrid secara keseluruan. Pada artikel ini, metode iterasi ang digunakan sebagai operator pengalusan adala metode iterasi Gauss-Saidel. 2. ALJABAR LINEAR DAN METODE BEDA HINGGA Definisi 1 (Sistem Persamaan Linear) [1,. 1] Bentuk persamaan n j=1 a ju j = f disebut persamaan linear dimana a j dan f adala konstanta dan u j variabel ang tidak diketaui nilaina. Sekumpulan nilai dari u j disebut solusi dari persamaan linear apabila nilai-nilai dari u j memenui n j=1 a ju j = f. Selanjutna peratikan susunan m bua persamaan linear dengan n bua variabel ang tidak diketaui berikut: a 11 u 1 +a 12 u 2 + +a 1n u n = f 1 a 21 u 1 +a 22 u 2 + +a 2n u n = f 2. =. a m1 u 1 +a m2 u 2 + +a mn u n = f m, (4) Repositor FMIPA Universitas Riau 2

3 sistem persamaan linear (4) dapat ditulis: m n a i,j u j = f i, i=1 atau jika ditulis dalam bentuk matriks Au = f menjadi: a 11 a 12 a 1n u 1 a 21 a 22 a 2n A =......, u = u 2. dan f = a m1 a m2 a mn u n j=1 Matriks A disebut matriks koefisien berukuran m n, u dan f merupakan vektorvektor kolom n 1 dan m 1. Teorema 2 (Teorema Talor Dua Variabel)[9,. 577] Misalkan f(x, ) terdiferensialkan secara kontinu ingga orde n + 1 untuk semua (x, ) di lingkungan D = {(x, )}. Maka untuk setiap (x, ) D terdapat titik (r, s) pada segmen garis ang mengubungkan titik (x, ) dan (x, ) dengan [ f(x, ) =f(x, ) + (x x ) f(x, ) + ( ) f(x ], ) x [ (x x ) 2 2 f(x, ) + + (x x 2 x 2 )( ) f(x, ) x + ( ] ) 2 2 f(x, ) [ 1 n ( ) ] n + (x x ) n i ( ) i n f(x, ) n! i x n z z i= [ 1 n+1 ( ) ] n (x x ) n+1 i ( ) i n+1 f(r, s) (n + 1)! i x n+1 i i r=x +τ(x x ) i= s= +τ( ) untuk semua τ(x, ) 1. Bukti: Dapat diliat pada [9,. 577]. Pencarian solusi persamaan diferensial melalui pendekatan numerik dilakukan dengan memanfaatkan polinomial Talor seingga taksiran central difference turunan kedua berordo O( 2 ) pada langka ke i dalam x dan konstan untuk u(x i +, j ) disekitar u(x i, j ) diperole sebagai berikut: 2 u x (x i, 2 j ) u(x i, j ) 2u(x i, j ) + u(x i +, j ). (5) 2 Selanjutna pada langka ke j dalam dengan x konstan maka untuk u(x i, j +) disekitar u(x i, j ) diperole sebagai berikut: 2 u 2 (x i, j ) u(x i, j ) 2u(x i, j ) + u(x i, j + ) 2. (6) Repositor FMIPA Universitas Riau 3 f 1 f 2. f m.

4 Untuk menelesaikan persamaan Poisson dengan metode beda ingga (finite difference) seperti persamaan (1), subtitusikan persamaan (5) dan (6) ke persamaan (1) seingga diperole ( ) ( ) vi 1,j 2v i,j + v i+1,j vi,j 1 2v i,j + v i,j+1 + = f i,j, 2 atau 4v i,j (v i+1,j + v i 1,j ) (v i,j+1 + v i,j 1 ) = f 2 i,j, (7) dengan v i,j = u(x i, j ), f i,j = f(x i, j ), v i, = v i,n = v,j = v N,j =, dan i, j N. Persamaan (7) merupakan persamaan metode beda ingga (finite difference) untuk menelesaikan persamaan Poisson. Pandangla sistem persamaan linear Av = f dengan matriks A adala matriks tak singular dan semua elemen diagonalna tidak ada ang nol. Matriks A dipisakan menjadi A = D L U, dengan D adala matriks diagonal, L adala matriks segitiga bawa dan U adala matriks segitiga atas seingga sistem persamaan linear Av = f dapat ditulis 2 (D L U)v = f atau (D L)v Uv = f, (8) proses iterasi untuk persamaan (8) dinatakan dengan (D L)v (k) = Uv (k 1) + f atau v (k) = (D L) 1 Uv (k 1) + (D L) 1 f, (9) (D L) 1 U dinamakan matriks Gauss-Seidel. Persamaan (9) dijabarkan dengan seluru elemen matriksna, seingga diperole bentuk umum metode Gauss-Seidel sebagai berikut: v (k) i = 1 a ii [ i 1 j=1 a ij v (k) j n j=i+1 ] a ij v (k 1) j + f i, i = 1, 2,, n. Adapun algoritma metode Gauss-Seidel adala sebagai berikut: Algoritma 1 Algoritma Metode Gauss-Seidel INPUT : Elemen matriks A, Elemen vektor f, nilai awal v, dan jumla iterasi k OUTPUT : Nilai vektor v sebagai solusi ampiran dari persamaan Av = f Hitung D = diag(diag(a)); U = -(triu(a) D); dan L = -(tril(a) D) for i = to k do v (k) = (D L) 1 Uv (k 1) + (D L) 1 f end for Repositor FMIPA Universitas Riau 4

5 3. METODE MULTIGRID UNTUK MENYELESAIKAN PERSAMAAN POISSON DUA DIMENSI DENGAN METODE BEDA HINGGA Definisi 3 (Grid Halus)[8,. 8] Peritungan grid dinatakan sebagai berikut: { Ω = (x i, j ) R : x i = i; j = j; i, j =, 1, 2,, N; = 1 }, N grid ini juga dinamakan grid alus dan v(x i, j ) dinamakan titik grid. Definisi 4 (Grid Kasar)[8,. 8] Peritungan grid kasar dinatakan sebagai berikut: { Ω 2 = (x i, j ) R : x i = 2i; j = 2i; i, j =, 1, 2,, N 2 ; = 1 }. N Definisi 5 (Restriksi)[5,. sebagai berikut: dengan 36] Operator restriksi I 2 : Ω Ω 2 dinatakan v 2 = I 2 v, vij 2 = 1 [ v2i 1,2j 1 + v2i 1,2j+1 + v2i+1,2j 1 + v2i+1,2j ( ) v2i,2j 1 ] + v2i,2j+1 + v2i 1,2j + v2i+1,2j, 1 i, j N v 2i,2j Definisi 6 (Prolongasi)[5,. 35] Operator prolongasi I 2 : Ω2 Ω dinatakan sebagai berikut: v = I 2v 2, dengan v2i,2j v2i+1,2j v2i,2j+1 v2i+1,2j+1 = v 2 ij = 1 2 (v2 ij = 1 2 (v2 ij = 1 4 (v2 ij + v 2 i+1,j) + v 2 i,j+1) + v 2 i+1,j + v 2 i,j+1 + v 2 i+1,j+1), i, j N 2 1. Algoritma untuk metode dua grid dan metode multigrid disajikan pada Algoritma 2 dan 3 berikut: Repositor FMIPA Universitas Riau 5

6 Algoritma 2 Algoritma Dua Grid: v T W OGRID(A, v, f ) INPUT : Elemen matriks A, Elemen vektor f, nilai awal v, dan jumla iterasi k OUTPUT : Nilai vektor v sebagai solusi pendekatan dari persamaan Av = f 1. Selesaikan A u = f pada Ω menggunakan iterasi Gauss-Seidel sebanak k iterasi dengan tebakan awal v sembarang seingga diperole v. 2. Hitung residu r = f A v. 3. Hitung r 2 = I 2 r. (restriksi r ) 4. Selesaikan A 2 e 2 = r 2 pada Ω 2 menggunakan iterasi Gauss-Seidel sebanak n iterasi dengan tebakan awal e 2 = diperole solusi e Hitung e = I 2 e2. (prolongasi e 2 ) 6. Update v v + e. 7. Selesaikan A u = f pada Ω menggunakan iterasi Gauss-Seidel sebanak k iterasi dengan tebakan awal v sembarang seingga diperole v. Algoritma 3 Algoritma Multigrid V-ccle: v MGV (A, v, f ) INPUT : Elemen matriks A, Elemen vektor f, nilai awal v, dan jumla iterasi k OUTPUT : Nilai vektor v sebagai solusi pendekatan dari persamaan Au = f 1. Selesaikan A u = f pada Ω menggunakan iterasi Gauss-Seidel sebanak k iterasi dengan tebakan awal v. 2. if Ω grid terkasar ten lanjut ke langka (4). else f 2 I 2(f A v ), v 2, v 2 MGV (A 2, v 2, f 2 ). endif 3. Update v = v + I 2 2 v2. 4. Selesaikan A u = f pada Ω menggunakan iterasi Gauss-Seidel sebanak k iterasi dengan tebakan awal v. Repositor FMIPA Universitas Riau 6

7 4. UJI KOMPUTASI Pada bagian ini akan ditentukan solusi pendekatan dari sistem persamaan linear seperti persamaan (3) ang diperole dari diskritisasi persamaan Poisson dua dimensi seperti persamaan (1) dengan solusi eksak seperti persamaan (2) menggunakan metode beda ingga (finite difference) untuk N = 4, 8, 16 dan 32, tebakan awal v = dan nilai toleransi 1e 6. Solusi ampiran sistem persamaan linear tersebut diselesaikan dengan 3 metode iterasi, aitu metode Gauss-Seidel dengan Algoritma 1, metode dua grid dengan Algoritma 2 dan metode multigrid dengan Algoritma 3 menggunakan Notebook dengan Intel Core i3 Processor dan RAM 248 MB dengan program Matlab 8.1 R213a. Hasil peritungan dari ketiga metode tersebut disajikan pada Tabel 1. Tabel 1: Hasil Komputasi Metode Gauss-Seidel, Dua Grid dan Multigrid N Ukuran Gauss-Seidel Dua Grid Multigrid Matriks A k e t (s) k e t (s) k e t (s) e e e e e e e e e e e e Pada Tabel 1 dapat diliat bawa metode multigrid lebi cepat memperole solusi dibandingkan dengan metode dua grid dan metode Gauss-Seidel baik untuk N = 4, 8, 16 maupun 32. Hal ini dapat terliat jelas untuk N = 32 pada iterasi ke-2 metode multigrid tela memperole solusi, sedangkan metode dua grid memperole solusi pada iterasi ke-162 dan metode Gauss-Seidel pada iterasi ke-628. Dengan kata lain, untuk N = 32 jumla iterasi pada metode multigrid 31 kali lebi cepat daripada metode Gauss-Seidel dan 8 kali lebi cepat daripada metode dua grid. Hal ini terjadi karena kriteria pemberentian tela terpenui aitu e = v k v (k 1) dengan k adala jumla iterasi suda lebi kecil dari toleransi ang diberikan aitu 1e 6. Kemudian jika diliat dari pengaru besarna ukuran matriks A teradap jumla iterasi, maka terliat bawa jumla iterasi pada metode Gauss-Seidel sangat dipengarui ole ukuran matriks A dan pengaruna sangat signifikan, kemudian jumla iterasi pada metode dua grid masi dipengarui ole ukuran matriks A walaupun tidak begitu signifikan lagi, sedangkan jumla iterasi pada metode multigrid tidak begitu dipengarui ole ukuran matriks A. Hal ini terliat untuk N = 2 L dan ukuran matriks A = (N 1) 2 (N 1) 2, pada metode Gauss-Seidel jumla iterasi untuk N = 2 L lebi dari 3 kali lipat jumla iterasi untuk N = 2 (L 1), begitu juga pada metode dua grid kecuali untuk N = 8, sedangkan pada metode multigrid jumla iterasi untuk N = 2 L tidak sampai 2 kali lipat dari jumla iterasi untuk N = 2 (L 1). Kemudian untuk N = 32, lakukan iterasi Gauss-Seidel, dua grid dan multigrid sebanak 2 iterasi untuk meliat nilai error dari masing-masing metode iterasi. Repositor FMIPA Universitas Riau 7

8 Pada Gambar 1 disajikan grafik solusi pendekatan dari masing-masing metode iterasi serta solusi eksak. Nilai Solusi (v) Nilai Solusi (v) Nilai Solusi (v) Nilai Solusi (u) (a) (b) (c) Gambar 1: Grafik Solusi Pendekatan (a) Gauss-Seidel, (b) Dua Grid (c) Multigrid dan (d) Solusi Eksak Untuk lebi jelas, disajikan grafik perbandingan solusi untuk masing-masing iterasi dengan solusi eksak untuk x =.5 sebagai berikut: (d) Nilai Solusi Pendekatan dan Solusi Eksak Gauss Seidel Dua Grid Multigrid Solusi Eksak Gambar 2: Perbandingan Nilai Solusi Metode Gauss-Seidel, Dua Grid dan Multigrid dengan Solusi Eksak Gauss Seidel Dua Grid Multigrid Nilai Error Jumla Iterasi Gambar 3: Perbandingan Nilai Error Metode Gauss-Seidel, Dua Grid dan Multigrid Repositor FMIPA Universitas Riau 8

9 Pada Gambar 3 terliat bawa nilai error pada metode multigrid lebi kecil dibandingkan dengan nilai error pada metode Gauss-Seidel dan dua Grid. Seingga dapat dikatakan bawa jika diliat dari nilai error ang diasilkan untuk menelesaikan persamaan Poisson seperti persamaan (1), maka metode multigrid lebi baik daripada metode Gauss-Seidel dan dua grid karena nilai errorna lebi kecil. Ucapan Terimakasi Penulis mengucapkan terimakasi dan pengargaan kepada Dr. M.D.H. Gamal, M.Sc. ang tela memberikan araan dan bimbingan dalam penulisan artikel ini. DAFTAR PUSTAKA [1] Anton, H Elementar Linear Algebra. Jon Wile & Sons, Inc., New York. [2] Bacvalov, N. S On te Convergence of a Relaxation Metod wit Natural Constraints on te Elliptic Operator. USSR Computational Matematics and Matematical Psics, 6: [3] Braess, D Finite Elements: Teor, Fast Solver and Application in Solid Mecanics. Cambridge Universit Press, New York. [4] Brandt, A Multi-level Adaptive Solutions to Boundar-Value Problems. Matematics of Computation, 31: [5] Briggs, W. L. 2. A Multigrid Tutorial, Second Edition. SIAM, Piladelpia. [6] Burden, R. L. & J. D. Faires. 21. Numerical Analsis, Nint Edition. Brooks Cole, Boston. [7] Jespersen, T. J Multigrid Metods for Partial Differential Equations. Studies in Numerical Analsis, 24: [8] Oosterlee, C. W. Trottenberg, U. & A. Sculler. 21. Multigrid. Academic Press, San Diego. [9] Patel V. A Numerical Analsis. Harcourt Brace College Publisers, Florida. Repositor FMIPA Universitas Riau 9