Penyelesaian Algortima Pattern Generation dengan Model Arc-Flow pada Cutting Stock Problem (CSP) Satu Dimensi

Transkripsi

1 Penyelesaian Algortia Pattern Generation dengan Model Arc-Flow pada Cutting Stock Proble (CSP) Satu Diensi Putra BJ Bangun, Sisca Octarina, Rika Apriani Jurusan Mateatika Fakultas MIPA Universitas Sriwijaya Indralaya, Indonesia e-ail: Abstract Perasalahan optiasi dala kasus pengkobinasian pola peotongan yang hanya eperhatikan salah satu sisi peotongan dikenal dengan Cutting Stock Proble (CSP) satu diensi. Penelitian ini enggunakan algorita pattern Generation dan odel arc-flow untuk enyelesaikan perasalahan pola peotongan kayu. Berdasarkan hasil dan pebahasan didapatkan bahwa algorita pattern generation enghasilkan pola-pola peotongan yang optial tanpa adanya tri loss. Pola-pola tersebut selanjutnya diodelkan ke dala odel arc-flow. Model yang terbentuk hanya enggunakan kendala peenuhan perintaan dan kendala non negatif, sedangkan kendala yang berkaitan dengan konservasi flow tidak digunakan. Keywords cutting stock proble; algorita pattern generation; odel arc-flow; tri loss I. PENDAHULUAN Perasalahan yang sering dijupai dala bidang perindustrian seperti industri kayu, kertas, baja, dan fiber adalah einiukan bahan baku. Bahan baku dengan ukuran yang lebih besar disebut stock sheets, uunya harus dipotong-potong enjadi bentuk yang lebih kecil yang disebut ite. Setiap ite epunyai julah perintaan tertentu, sehingga pola peotongan sangat diperlukan agar sisa bahan baku dapat seinial ungkin [6]. Masalah peotongan bahan baku dala dunia optiasi dikenal dengan sebutan Cutting Stock Proble (CSP) dan sisa peotongan selanjutnya dikenal dengan istilah tri loss. Tri loss adalah sisa peotongan berlebih yang disebabkan oleh peletakan pola peotongan yang kurang tepat sehingga engakibatkan ketidakefesienan penggunaan bahan baku [6]. CSP epunyai 3 jenis yaitu CSP satu diensi, CSP dua diensi, dan CSP tiga diensi. Pendiensian CSP dibedakan berdasarkan sisi tri loss. Penelitian ini ebahas CSP satu diensi pada bidang industri kayu yang hanya elihat perasalahan pada sisi panjang. CSP satu diensi pernah dibahas oleh beberapa peneliti sebelunya dengan enggunakan beberapa teknik dan aterial yang berbeda. Colun Generation Technique (CGT) lebih tepat digunakan dala penyelesaian CSP satu diensi dibandingkan dengan algorita Balas yang diodifikasi karena tidak seua solusi yang dihasilkan berupa solusi biner [8]. Metode lain yang dapat digunakan dala enyelesaikan CSP adalah odel arc-flow dengan kendala sisi. Model ini eiliki seperangkat konservasi kendala flow dan satu kupulan kendala perintaan untuk eastikan bahwa perintaan dari setiap ite terpenuhi [6]. Selanjutnya, forulasi arc-flow dengan kopresi grafik untuk enyelesaikan CSP dengan pola biner (0-1) telah dilakukan [4]. Selain itu, algorita pattern generation telah diperkenalkan oleh [9] untuk enyelesaikan asalah peotongan bahan. Algorita tersebut dilakukan untuk engurangi julah peotongan yang tidak layak. Selain itu, prosedur pola sederhana dikebangkan untuk enyelesaikan asalah tabahan. Keleahan algorita ini yaitu engandalkan pohon pencarian dala pencarian pola peotongan. Ketika dihadapkan pada kasus yang enghasilkan pola peotongan yang banyak, pohon pencarian tidaklah selalu efektif. Model arc-flow dengan kendala perintaan diharapkan dapat engoptialkan pencarian pola optial dan einialkan tri loss. Berdasarkan latar belakang tersebut, penelitian ini ebahas bagaiana penyelesaian algorita pattern generation dengan odel arc-flow pada CSP satu diensi. Model ini diuji sebagai CSP satu diensi aterial kayu pada perasalahan yang ada di salah satu depot di Indralaya. 399

2 II. METODE PENELITIAN Penelitian ini eneliti tentang pola peotongan kayu. Data yang diuji berasal dari salah satu depot kayu di Indralaya. Algorita pattern generation diterapkan untuk enentukan pola peotongan yang optial. Diagra pohon dibuat dari cabang atas ke bawah dan dari kiri ke kanan. Tabel tri loss dibuat berdasarkan gabar pencabangan yang telah dibuat. Data-data tersebut digunakan untuk ebuat odel arc-flow yang selanjutnya diselesaikan enggunakan bantuan progra LINDO. III. ALGORITMA PATTERN GENERATION Peotongan pada CSP biasanya erupakan ukuran bahan baku dengan lebar standar w dibawa ke n ukuran dengan lebar dan panjang tertentu dari w dan l asing-asing. Bahan baku dengan lebar standar dipotong ke ukuran dengan lebar dan panjang Tidak ada batasan pada panjang potongan standar. Untuk kepentingan tertentu, panjang potongan dapat digabungkan untuk enghasilkan panjang yang diinginkan. Tujuannya untuk enentukan pola peotongan yang dapat einiukan tri loss dengan eenuhi perintaan. Model CSP dapat dilihat pada odel (1). Fungsi tujuan : Miniukan dengan kendala untuk seua (2) (3) dengan : adalah julah unit dengan lebar yang akan dipotong enurut pola ke dari potongan ke ( ) adalah panjang potongan ke yang akan dipotong enurut pola ke. adalah sisa peotongan dari potongan ke yang akan dipotong enurut pola ke. adalah panjang yang berlebih/kelebihan panjang yang akan enghasilkan potongan dengan lebar ke. adalah julah pola peotongan yang dapat enghasilkan potongan ke. Pebangkitan pola peotongan yang fisibel diperoleh elalui sebuah pohon pencarian. Level dari pohon enyatakan lebar yang diperlukan disusun dengan urutan enurun diana ukuran terbesar di level pertaa sedangkan ukuran terkecil diletakan di level terendah dari pohon. Verteks awal dari level I enyatakan lebar standar dari potongan ke yang digunakan untuk ebangkitkan pola. Oleh karena itu, pohon pencarian terpisah digunakan untuk ebangkitkan pola tergantung dengan asing-asing lebar standar. Cabang dari level pada pohon pencarian enyatakan perkalian antara julah unit dengan lebar yang dipotong enurut pola ke dengan lebar ke. Perkalian ini enyatakan julah lebar yang dipotong dari potongan ke untuk eenuhi lebar ke. Verteks awal pada level ke enyatakan sisa lebar setelah eenuhi peotongan tertentu dari cabang sebelunya. Verteks akhir pada level tertinggi dari pohon enunjukkan sisa peotongan yang dihasilkan dari pola peotongan yang berbeda. Misalkan. Untuk setiap gulungan ke, sebuah atriks [ ] dengan eleen harus diketahui. Untuk eleen pertaa di kolo pertaa : (4) Untuk eleen ke dua di kolo pertaa : (5) Untuk eleen ke di kolo pertaa :. / (6) Untuk eleen ke di kolo ke, diruuskan :. / (7) Tri Loss pola peotongan dapat ditentukan oleh : (8) Secara terperinci langkah-langkah pada algorita pattern generation diuraikan sebagai berikut : 1. Susun ukuran lebar yang diperlukan dengan urutan enurun. 2. Gunakan Persaaan (7) untuk engisi kolo pertaa dari atriks. 3. Gunakan Persaaan (8) untuk encari sisa peotongan yang dihasilkan dari pola peotongan. 4. Atur level indeks (indeks baris) ke. 5. Periksa verteks sekarang pada level, isal verteks. Jika verteks eiliki nilai saa dengan nol lanjut ke Langkah 7. Jika tidak bangkitkan kolo baru dengan eleen-eleen berikut : eleen untuk engisi verteks yang endahului verteks sekarang. eleen untuk engisi verteks sekarang. Isi sisa verteks dari kolo. Misalnya dengan Persaaan (7). 6. Gunakan Persaaan (8) untuk encari tri loss yang dihasilkan dari pola peotongan ke. Kebali ke Langkah Pengurangan, isal. Jika ulangi ke Langkah 5. Jika tidak, berhenti. 400

3 IV. MODEL ARC FLOW Model arc-flow yang bertujuan einiukan asalah flow (aliran) satu diensi CSP dikenalkan [6]. Setiap peotongan sesuai dengan jalan asiklik yang digabarkan oleh graf dengan * + sebagai hipunan dari W+1 verteks yang enentukan posisi dari stock sheet, dan * < dan + sebagai hipunan dari busur. Model tersebut diruuskan sebagai perasalahan iniu flow, dengan variabel bersesuaian dengan busur (u,v), isalnya julah dari lebar ite ditepatkan pada jarak dari u unit dari awal stock sheet yang diberikan, dan variabel z sesuai dengan total flow yang bergerak sepanjang graf dan dapat dilihat sebagai aliran (flow) balik dari verteks ke verteks. Forulasi uu arc-flow adalah sebagai berikut : Maksiukan/iniukan dengan kendala { * + * + dengan : adalah variabel yang dapat dilihat sebagai busur upan balik dari verteks ke ; adalah perintaan dari ite ke- ; adalah hipunan dari busur yang eiliki koponen ; adalah julah aliran di sepanjang busur adalah julah ite yang berbeda; adalah verteks awal; dan adalah verteks akhir. Kendala (10) berkaitan dengan konservasi flow dan kendala (11) eastikan bahwa seua perintaan tercukupi. V. HASIL DAN PEMBAHASAN Kasus yang digunakan pada penelitian ini adalah peotongan kayu untuk ebuat kusen pintu dan jendela. Setiap kusen terdiri dari beberapa potongan kayu dengan beraca-aca ukuran. Tabel 1 enjelaskan julah potongan kayu yang dibutuhkan untuk ebuat setiap jenis pintu dan jendela. Tabel 1. Naa-Naa Produk dan Ukuran Potongan Kayu yang Dibutuhkan Naa Produk Pintu Jenis ke-1 Pintu Jenis ke-2 Jenis ke-1 Jenis ke-2 Jenis ke-3 Pintu Lengkung Julah Potongan Kayu yang Dibutuhkan (Buah) 2 1,6 1 0,8 0,5 0, Sedangkan data julah kusen yang dipesan dapat dilihat pada Tabel 2. Tabel 2. Jenis-Jenis dan Julah yang Dipesan Jenis-Jenis Julah Pintu Jenis ke-1 5 Pintu Jenis ke-2 15 Jenis ke-1 32 Jenis ke-2 2 Jenis ke-3 2 Pintu Lengkung 1 Ukuran standar kayu persediaan yang digunakan Depot eiliki panjang 4, lebar 0,12 dan tinggi 0,06. Berdasarkan data pada Tabel 1 dan Tabel 2 dapat dikelopokkan ukuran potongan-potongan kayu yang dibutuhkan untuk ebuat kusen pintu dan kusen jendela serta julah asing-asing potongan. Julah total potongan kayu didapat dengan cara enghitung potongan yang dibutuhkan untuk ebuat seua kusen yang dipesan yang dapat dilihat pada Tabel 3. Julah total setiap potongan kayu yang dibutuhkan adalah nilai dari variabel pada setiap kendala yang bersesuaian. 401

4 Tabel 3. Data Ukuran Potongan-Potongan Kayu dan Julahnya yang Dibutuhkan No Jenis-jenis 1 Pintu Jenis ke-1 2 Pintu Jenis ke-2 3 Jenis ke-1 4 Jenis ke-2 5 Jenis ke-3 6 Lengkung Julah yang Dipesan Julah Potongan Kayu yang Dibutuhkan untuk Mebuat yang Dipesan (Buah) 2 1,6 1 0,8 0,5 0, Julah Berdasarkan Tabel 3 terlihat bahwa potongan kayu berukuran dibutuhkan sebanyak 66 buah. Pohon pencarian digunakan untuk enentukan pola peotongan yang sesuai dengan panjang dan ukuran yang diinta agar enghasilkan tri loss yang iniu. Penerapan algorita pattern generation dala enentukan pola peotongan untuk kayu dengan panjang standar 4 eter, dihasilkan pada Gabar 1. Gabar 2. Pohon Pencarian Bagian 2 Gabar 3. Pohon Pencarian Bagian 3 Gabar 4. Pohon Pencarian Bagian 4 Gabar 1. Pohon Pencarian Bagian 1 402

5 Tabel 4 enggabarkan bahwa, apabila 1 buah kayu persediaan berukuran standar 4 eter dipotong enggunakan pola peotongan ke-, aka dihasilkan sejulah potongan kayu berukuran, dengan eter, 6 eter, eter, eter, eter, dan eter. Data pada tabel pola peotongan tersebut selanjutnya digunakan untuk ebentuk odel arc-flow seperti pada Model (13) sebagai berikut: Miniukan Gabar 5. Pohon Pencarian Bagian 5 Algorita pattern generation yang telah digunakan untuk enentukan pola peotongan enghasilkan tri loss asingasing yaitu 0; 0,1; 0,2 dan 0,3 eter. Dari 94 pola peotongan yang diperoleh, dipilih pola peotongan dengan tri loss yang paling iniu yaitu 0 eter seperti pada Tabel 4 dan selanjutnya akan diipleentasikan ke dala odel arc-flow. Tabel 4. Tabel Pola-Pola Peotongan Pola Julah Potongan ke- 2 1,6 1 0,8 0,5 0,4 Tri Loss () dengan kendala dan integer, 6 (13) Fungsi tujuan pada Persaaan (13) enyatakan banyak kayu yang akan dipotong untuk ebuat kusen pintu dan jendela. Kendala yang digunakan hanya kendala untuk eastikan perintaan peesanan terpenuhi dan kendala nonnegatif, untuk kendala yang berkaitan dengan konservasi flow tidak digunakan karena dala peilihan pola peotongan yang digunakan adalah pola peotongan dengan tri loss yang paling iniu yaitu 0 eter, sehingga tidak ada fungsi yang enyatakan panjang tri loss. Model arc-flow yang sudah terbentuk selanjutnya diselesaikan dengan enggunakan etode Branch and Bound dan progra LINDO 6.1 untuk endapatkan hasil akhir. Berdasarkan hasil penyelesaian Model (13) diperoleh solusi optial yaitu dan. Hal ini berarti dala eenuhi perintaan peesanan kusen pintu dan kusen jendela dapat digunakan pola peotongan ke 2 sebanyak 82 kali, pola peotongan ke 3 sebanyak 2 kali, pola peotongan ke 4 sebanyak 1 kali dan pola peotongan ke 9 sebanyak 21 kali. Panjang total kayu yang diperoleh untuk ebuat kusen yang dipesan adalah 424 eter artinya julah total kayu persediaan panjang 4 eter yang dipotong adalah 106 buah. 403

6 VI. KESIMPULAN Berdasarkan hasil yang telah dicapai, dapat diabil kesipulan bahwa algorita pattern generation dapat enentukan seua pola peotongan dengan terperinci hingga enghasilkan tri loss 0 eter. Proses pencabangan ebutuhkan iterasi yang cukup panjang dan algorita ini tidak eberikan total tri loss yang dihasilkan. Ketika, pola-pola peotongan yang terbentuk diodelkan ke dala odel arc-flow, total tri loss dan julah kayu yang dibutuhkan dpat diketahui. Model arc-flow yang terbentuk hanya enggunakan kendala peenuhan perintaan dan kendala nonnegatif, sedangkan kendala yang berkaitan dengan konservasi flow tidak digunakan karena dala peilihan pola peotongan yang digunakan adalah pola peotongan dengan tri loss yang paling iniu yaitu 0 eter, sehingga tidak ada fungsi yang enyatakan panjang tri loss. DAFTAR PUSTAKA [1] C. Aldridge, S.J. Chapan, R. Gower, R. Leese, C. McDiarid, M. Shepherd, H. Tuenter, H. Wilson and A. Zinober, Pattern reduction in paper cutting, in Report of the 29 th European Study Group with Industry, University of Oxford, [2] C. Antens, T. Gustaffson, A. Paulshus, C. Stroh, and M. Wiese, Pattern reduction in the paper cutting proble, in The Ninth ECMI Modelling Week. Penn Sate A Publication Research, [3] D.S. Chen, R.G. Batson, and Y. Dang, Applied Integer Prograing Modeling and Siulation. New Jersey: John Wiley & Sons, [4] F. Brandao and J.P. Perdroso, Cutting stock with binary patterns: arcflow forulation with graph copression, in Technical Report Series : DCC , [5] J. Karehlati, Solving the cutting stock proble in the steel industry, in Master s Thesis Subitted in Partial Fulfillent of The Requireents for degree of Master of Science in Technology, Helsinki University of Technology, [6] R. Macedo, C. Alves, and J.M.V. Carvalho, Arc flow odel for the two-diensional guillotine cutting stock proble, in Coputers & Operational Research, Volue 37 Issues 6, pp , June [7] R.W. Haessler and P.E. Sweeney, Cutting stock probles and solution procedures, in European Journal of Operational Research, Vol. 54, pp , [8] S. Octarina, P.B.J. Bangun, and D. Setiadi, Optiasi tri loss pada cutting stock proble enggunakan colun generation technique dan algorita balas yang dikebangkan, in Proceeding Annual Research Seinar, Vol. 1 No. 1, pp , [9] S.M.A. Sulian, Pattern generating procedure for the cutting stock proble, in International Journal of Production Econoics, vol. 74, pp ,