ISBN:

Transkripsi

1 POSIDING SEMINA NASIONAL P e n e l i t i a n, P e n d i d i k a n, d a n P e n e r a p a n M I P A Tanggal 18 Mei 2013, FMIPA UNIVESITAS NEGEI YOGYAKATA ISBN: Bidang: Mateatika dan Pendidikan Mateatika Fisika dan Pendidikan Fisika Kiia dan Pendidikan Kiia Biologi dan Pendidikan Biologi Ilu Pengetahuan Ala Tea: MIPA dan Pendidikan MIPA Untuk Keandirian Bangsa Fakultas Mateatika dan Ilu Pengetahuan Ala Universitas Negeri Yogyakarta Tahun 2013

2 Prosiding Seinar Nasional Penelitian, Pendidikan, dan Penerapan MIPA, Fakultas MIPA, Universitas Negeri Yogyakarta, 18Mei Pebentukan Portofolio Optial Melalui Pendekatan Mean Variance dan Mean Absolute Deviation Epha Diana Supandi, S.Si., M.Sc. Aplikasi Logika Fuzzy Untuk Klasifikasi Kerusakan Lahan Pertabangan Batuan Di Kabupaten Gunung Kidul Fashlihatun Airoh Penerapan Algorita Floyd-Warshall Untuk Mengetahui Optialitas Jalus Bus Trans Jogja Fitriana Yuli S., M.Sc Diensi Metrik Toleran-Kesalahan Dari Graf Aalgaasi Lingkaran Dengan Banyak Titik Ganjil Hazrul Iswadi Uji Validitas Dan Uji eliabilitas Menggunakan Metode Bootstrap Jesyca ininta Tiara Muaja Menentukan Fluktuasi Saha Menggunakan Fast Fourier Transfor Kharisa Yusea Kristaksa Aljabar Max-Min Interval M. Andy udhito Beberapa Sifat Priitif Fungsi Terintegral M Alpha Muslich Estiasi Model egresi Nonparaetrik Birespon Berdasarkan Estiator Polinoial Lokal Untuk Kasus Hooskedastik Nur Chaidah Interval Konfidensi Untuk Satu Paraeterdistribusi Eksponensial Di Bawah Sensor Lengkap(Studi Kasus Data Waktu Tunggu Bencana Puting Beliung Di Bulan Maret 2013) Puteri Pekerti Wulandari Penerapan Kalibrasi Estiasi Paraeter Model Black Litteran (Studi Kasus pada Pasar Saha Indonesia) etno Subekti, M.Sc Estiasi Paraeter Model Spatial Autoregressive With A Spatial Autoregressive Error Ter (Sar-Sar) Dengan Generalized Spatial Two Stage Least Square (Gs2sls) usi Yaanun Muhsinin xii M-51 M-59 M-69 M-75 M-81 M-87 M-97 M-103 M-109 M-115 M-121 M-129

3 Prosiding Seinar Nasional Penelitian, Pendidikan dan Penerapan MIPA, Fakultas MIPA, Universitas Negeri Yogyakarta, 18 Mei 2013 ALJABA MAX-MIN INTEVAL M - M. Andy udhito Progra Studi Pendidikan Mateatika FKIP Universitas Sanata Dhara Kapus III USD Paingan Maguwoharjo Yogyakarta eail: arudhito@yahoo.co.id Abstrak Makalah ini ebahas suatu aljabar hipunan seua interval dala aljabar ax-in yang dilengkapi dengan operasi axiu dan iniu. Aljabar ini erupakan perluasan aljabar ax-in dan dapat enjadi dasar pebahasan aljabar ax-in bilangan kabur elalui Teorea Dekoposisi dala hipunan kabur. Dapat ditunjukkan bahwa hipunan seua interval dala aljabar ax-in yang dilengkapi dengan operasi axiu dan iniu interval erupakan seiring idepoten koutatif. Seiring idepoten koutatif ini disebut aljabar ax-in interval. Lebih lanjut relasi urutan yang didefinisikan pada aljabar ax-in interval erupakan relasi urutan total. Kata kunci: seiring, idepoten, aljabar ax-in, interval. PENDAHULUAN Aljabar ax-in, yaitu hipunan seua bilangan real dilengkapi dengan operasi ax (aksiu) dan in (iniu), telah dapat digunakan dengan baik untuk eodelkan dan enganalisis asalah lintasan kapasitas aksiu (Gondran dan Minoux, 2008). Dala asalah peodelan dan analisa suatu jaringan kadang-kadang kapasitasnya belu diketahui, isalkan karena asih pada tahap perancangan, data-data engenai kapasitas belu diketahui secara pasti aupun distribusinya. Kapasitas-kapasitas ini dapat diperkirakan berdasarkan pengalaan aupun pendapat dari para ahli aupun operator jaringan tersebut. Dala hal ini kapasitas jaringan dapat diodelkan dengan suatu interval bilangan real, yang selanjutnya disebut dengan interval. Peodelan dan analisa pada asalah lintasan kapasitas aksiu dengan kapasitas yang berupa interval, sejauh peneliti ketahui, belu ada yang ebahas, terlebih dengan enggunakan pendekatan aljabar ax-in seperti halnya yang telah dilakukan untuk odel deterinistik dan probabilistik. Seperti telah diketahui pendekatan penyelesaian asalah jaringan dengan enggunakan aljabar ax-in dapat eberikan hasil analitis dan lebih eperudah dala koputasinya. Pendekatan aljabar ax-in untuk enyelesaikan asalah lintasan kapasitas aksiu juga enggunakan konsep-konsep dasar dala aljabar ax-in, seperti atriks atas aljabar axin dan siste persaaan linear ax-in, seperti yang telah dibahas dala Baccelli, dkk. (2001), dan Gondran and Minoux, (2008). Dengan deikian, untuk enyelesaikan asalah lintasan kapasitas interval aksiu, dengan pendekatan aljabar ax-in, terlebih dahulu aljabar axin perlu digeneralisasi enjadi aljabar ax-in interval. Untuk itu dala akalah ini akan dibahas generalisasi aljabar ax-in perlu digeneralisasi enjadi aljabar ax-in interval. Aljabar Max-Min Dala bagian ini dibahas konsep dasar aljabar ax-in. Pebahasan selengkapnya dapat M-97

4 M. Andy / Aljabar Max-Min Interval ISBN dilihat pada Baccelli et.al (1992), Schutter (1996), dan Gondran and Minoux, (2008). Suatu seiring (S,, ) adalah suatu hipunan takkosong S yang dilengkapi dengan dua operasi biner dan, yang eenuhi aksioa berikut i) (S, ) adalah seigrup koutatif dengan eleen netral 0, yaitu berlaku (a b) c = a (b c), a b = b a, a 0 = a untuk setiap a, b, c S. ii) (S, ) adalah seigrup dengan eleen satuan 1, yaitu berlaku (a b) c = a (b c), a 1 = 1 a = a, untuk setiap a, b, c S. iii) Eleen netral 0 erupakan eleen penyerap terhadap operasi, yaitu berlaku a 0 = 0 a = 0 untuk setiap a S. iv) Operasi distributif terhadap, yaitu berlaku (a b) c = (a c) (b c), a ( b c ) = (a b) (a c) untuk setiap a, b, c S. Seiring (S,, ) dikatakan idepoten jika operasi bersifat idepoten, yaitu berlaku a a = a untuk setiap a S, dan dikatakan koutatif jika operasi bersifat koutatif. Suatu seiring koutatif (S,, ) disebut seifield jika setiap eleen taknetralnya epunyai invers terhadap operasi. Dapat ditunjukkan bahwa jika (S, ) erupakan seigrup koutatif idepoten aka relasi yang didefinisikan pada S dengan x y x y = y erupakan urutan parsial pada S. Operasi dan dikatakan konsisten terhadap urutan dala S bila dan hanya bila jika x y, aka x z y z dan x z y z untuk setiap M-98 x, y, z S. Dala seiring idepoten (S,, ) operasi dan konsisten terhadap urutan dala S. Hal ini dapat ditunjukkan sebagai berikut: i) Jika a b, aka a b = b (a b) c = b c (a b) c c = b c (a c) (b c) = b c a c b c. ii) Jika a b, aka a b = b (a b) c = b c (a c) (b c) = b c a c b c. Seiring (S,, ) dengan eleen netral 0 dikatakan tidak euat pebagi nol bila dan hanya bila, jika x y = 0 aka x = 0 atau y = 0 untuk setiap x, y S. Diberikan := { } dengan adalah hipunan seua bilangan real nonnegatip dan : = +. Pada didefinisikan operasi berikut: a,b, a b := ax(a, b) dan a b : = in(a, b). Dapat ditunjukkan bahwa (,, ) erupakan seiring idepoten koutatif dengan eleen netral 0 = 0 dan eleen satuan = +. Keudian (,, ) disebut dengan aljabar ax-in, yang selanjutnya cukup dituliskan dengan. Dala hal urutan pengoperasian (jika tanda kurang tidak dituliskan), operasi epunyai prioritas yang lebih tinggi dari pada operasi. Karena (, ) erupakan seigrup koutatif idepoten, aka relasi erupakan urutan parsial pada Karena yang didefinisikan pada dengan x y x y = y. Lebih lanjut relasi ini erupakan urutan total pada. erupakan seiring idepoten, aka operasi dan konsisten terhadap urutan

5 Prosiding Seinar Nasional Penelitian, Pendidikan dan Penerapan MIPA, Fakultas MIPA, Universitas Negeri Yogyakarta, 18 Mei 2013, yaitu a, b, c, jika a b, aka a c b c, dan a c b c. Aljabar ax-in tidak euat pebagi nol yaitu x, y atau y = 0. berlaku: jika x y = in(x, y) = 0, aka x = 0 Aljabar Max-Min Interval Berikut dibahas aljabar ax-in interval yang erupakan perluasan aljabar ax-in dan akan digunakan sebagai dasar pebahasan aljabar ax-in bilangan kabur elalui Teorea Dekoposisi. Ide pebahasan didasarkan pada analisis idepoten interval dala Litvinov, G.L., Sobolevskii, A.N. (2001) Definisi 1 Misalkan S adalah hipunan terurut parsial dengan relasi. Suatu interval (tertutup) dala S adalah hipunan bagian S yang berbentuk x = [ x, x ] = { x S x x x }, dengan x, x S berturut-turut disebut batas bawah dan batas atas interval [ x, x ]. Misalkan x dan y adalah interval dala S. Perhatikan bahwa interval x y jika dan hanya jika x x y. Secara khusus x = y jika dan hanya jika x = y dan x = y. Sebuah interval dengan x dengan x = x erepresentasi suatu eleen dala S. Contoh 1 Telah diketahui bahwa erupakan hipunan terurut parsial dengan relasi berbentuk x = [ x, x ] = { x x x x }. Bilangan x dengan enggunakan interval x = [x, x]. Interval dala [, ] =.. Interval dala dapat dinyatakan isalnya [3, 5], [0, 2], [0, 0] = 0 dan Diberikan (S,, ) adalah suatu seiring idepoten dan tidak euat pebagi nol, dengan eleen netral 0. Didefinisikan I(S) = { x = [ x, x ] x, x S, 0 x x } {[0, 0]}. Pada I(S) didefinisikan operasi dan dengan : x y = [ x y, x y ] dan x y = [ x y, x y ] untuk setiap x, y I(S) (Litvinov & Sobolevskii, 2001). Operasi yang didefinisikan di atas terdefinisi dengan baik (well defined), yaitu eenuhi syarat tertutup dan bernilai tunggal. Abil sebarang x, y I(S). Jika salah satu dari x, y saa dengan [0, 0], aka x y adalah interval itu sendiri dan x y = [0, 0], sedangkan jika keduanya saa dengan [0, 0], aka x y dan x y keduanya saa dengan [0, 0]. Jika x, y keduanya [0, 0], aka x, x S dan 0 x x, y, y S dan 0 y y. Mengingat 0 x, aka 0 x dan x 0, juga karena 0 y, aka 0 y dan y 0. Mengingat 0 ( x y ) = x y, aka 0 x y, dan karena x 0 dan y 0 aka x y 0. Hal ini berarti 0 x y. Mengingat x x, y S dan S seiring idepoten, aka operasi konsisten terhadap urutan, aka x y x y. Mengingat y y, x S dan S konsisten terhadap aka x y x y. Oleh y M-99

6 M. Andy / Aljabar Max-Min Interval ISBN karena itu x y x y. Jadi 0 x y x y, yang berarti x y I(S). Dengan cara yang saa seperti pada operasi di atas dapat ditunjukkan bahwa 0 x y. Mengingat x 0 dan y 0 serta S tidak euat pebagi nol, aka x y 0. Hal ini berarti 0 x y. Dengan cara yang saa seperti pada operasi di atas dapat ditunjukkan bahwa x y x y. Jadi 0 x y x y, yang berarti x y I(S). Sedangkan ketunggalan hasil operasi dapat dijelaskan sebagai berikut. Akan ditunjukkan ketunggalan untuk operasi, sedangkan untuk operasi analog. Abil sebarang w, x, y, dan z I(S) sedeikian hingga w = y dan x = z. Mengingat w = y dan x = z aka [ w, w ] = [ y, y ] dan [ x, x ] = [ z, z ] atau w = y, w = y, x = z, x = z. Hal ini berarti w x = y z dan w x = y z atau [ w x, w x ] = [ y z, y z ]. Jadi w x = y z, yang berarti bahwa hasil operasi tersebut tunggal. Teorea 1 Diberikan (S,, ) adalah suatu seiring idepoten dan tidak euat pebagi nol, dengan eleen netral 0. (I(S),, ) erupakan seiring idepoten dengan eleen netral 0 I = [0, 0] dan eleen satuan 1 I = [1, 1]. Bukti: Bahwa I(S) tertutup terhadap operasi dan sudah dijelaskan pada penjelasan setelah pendefinisian operasi interval di atas. Selanjutnya karena operasi-operasi dan pada (I(S),) didefinisikan koponen dei koponen dari S, aka sifat-sifat pada (I(S),, ) engikuti seluruh sifat-sifat pada (S,, ) yang erupakan seiring idepoten, dengan eleen netral 0 dan eleen satuan 1. Dengan deikian terbukti bahwa (I(S),, ) erupakan seiring idepoten koutatif dengan eleen netral 0 I = [0, 0] dan eleen satuan 1 I = [1, 1]. Mengingat (I(S), ) erupakan seigrup koutatif, aka relasi I yang didefinisikan pada I(S) dengan x y x y = y x y dan x y erupakan urutan parsial pada I(S). I Contoh 2 Telah diketahui (,, ) erupakan seiring idepoten dan tidak euat pebagi nol, dengan eleen netral. Didefinisikan I( ) = { x = [ x, x ] x, x, x Pada I( ) didefinisikan operasi dan sebagai berikut x } {[, ]}. x y = [ x y, x y ] dan x y = [ x y, x y ] untuk setiap x, y I( ). Misalnya [1, 3] [0, 2] = [1, 3], [1, 3] [0, 2] = [0, 2], [1, 4] [2, 3] = [2, 4], dan [1, 4] [2, 3] = [1, 3]. Menurut Teorea 1 di atas (I( ),, ) erupakan seiring idepoten dengan eleen netral 0 = [0, 0] dan eleen satuan = [, ]. Lebih lanjut karena (,, ) erupakan seiring idepoten koutatif, aka (I(),, ) erupakan seiring idepoten koutatif. Selanjutnya (I( ),, ) disebut aljabar ax-in interval yang cukup dituliskan I( ). M-100

7 Prosiding Seinar Nasional Penelitian, Pendidikan dan Penerapan MIPA, Fakultas MIPA, Universitas Negeri Yogyakarta, 18 Mei 2013 Teorea 2 Untuk setiap x, y I( ), dengan x = [ x, x ] dan y = [ y, y ], berlaku bahwa i) [ x y, x y ] = x y dan ii) [ x y, x y ] = x y, di ana x y = {t x y = {t t = x y, x x, y y} dan t = x y, x x, y y}. Bukti: i) Abil sebarang t x y dan isalkan x x dan y y sedeikian hingga t = x y. Mengingat x dan y adalah interval, aka x x x dan y y y. Mengingat operasi konsisten terhadap urutan, aka x y x y y ]. Jadi x y [ x y, x y ]. x y, sehingga x y [ x y, x Abil sebarang t [ x y, x y ], aka x y t x y. Andaikan t x y, aka untuk setiap x x dan untuk setiap y y berlaku t x y, karena urutan dala erupakan urutan total, berarti t x y atau t x y. Mengingat x x dan y y aka t x y atau t x y, sehingga terjadi kontradiksi. Jadi t x y, yang berarti [ x y, x y ] x y. Dengan deikan terbukti [ x y, x y ] = x y. ii) Analog dengan pebuktian i) di atas. Mengingat (I( ), ) erupakan seigrup koutatif idepoten, aka relasi yang didefinisikan pada I( ), dengan x I( ),. Perhatikan bahwa x y = y x I y x y = y erupakan urutan parsial pada y dan x y. elasi I ini bukan erupakan urutan total, karena terdapat x = [1, 3] dan y = [0, 1] dengan x y = [1, 3] [0, 1] = [0, 3], sehingga x y y dan x y x. 1. Kesipulan Dari pebahasan di atas dapat disipulkan bahwa hipunan seua interval dala aljabar ax-in yang dilengkapi dengan operasi axiu dan iniu interval erupakan seiring idepoten koutatif. Lebih lanjut relasi urutan yang didefinisikan pada aljabar ax-in dapat digeneralisir dala aljabar ax-in interval dan juga erupakan relasi urutan total. Hasil dala pebahasan di atas selanjutnya dapat dilanjutkan untuk ebahas atriks atas aljabar ax-in interval dan aljabar ax-in bilangan kabur di ana bilangan kabur dipandang sebagai keluarga hipunan tersarang interval-interval real. DAFTA PUSTAKA Baccelli, F., Cohen, G., Olsder, G.J. and Quadrat, J.P Synchronization and Linearity. New York: John Wiley & Sons. Gondran, M and Minoux, M Graph, Dioids and Seirings. New York: Springer. Litvinov, G.L., Sobolevskii, A.N Idepotent Interval Anaysis and Optiization Probles. eliab. Coput., 7, ; arxiv: ath.sc/ I M-101

8 M. Andy / Aljabar Max-Min Interval ISBN Polya, G Generalization, Specialization, Analogy. New directions in the philosophy of atheatics. Princeton: Princeton University Press. pp udhito, Andy. Wahyuni, Sri. Suparwanto, Ari dan Susilo, F Aljabar Max-Plus Bilangan Kabur. Berkala Iliah MIPA Majalah Iliah Mateatika & Ilu Pengetahuan Ala. Vol. 18 (2): pp udhito, Andy. Wahyuni, Sri. Suparwanto, Ari dan Susilo, F. 2011a. Systes of Fuzzy Nuber Max-Plus Linear Equations. Journal of the Indonesian Matheatical Society Vol. 17 No. 1. udhito, Andy. 2011b. Aljabar Max-Plus Bilangan Kabur dan Penerapannya pada Masalah Penjadwalan dan Jaringan Antrian Kabur. Disertasi: Progra Pascasarjana Universitas Gadjah Mada. Yogyakarta. M-102