JURNAL MATEMATIKA DAN KOMPUTER Vol. 5. No. 2, 57-64, Agustus 2002, ISSN :

Transkripsi

1 JURN MTEMTIK N KOMPUTER Vol 5 No, 57-64, gustus, ISSN : FORMUSI VRISION N PENYEESIN RI MSH SYRT BTS RI PERSMN ORER U Sutrima Jurusan Matematika FMIP UNS bstract The urose of this research is to investigate solutions of bounary value roblems of secon-roer ifferential oerator by variational methos Using variational formulation of the roblems, existence of solutions of bounary value roblems of secon-orer ifferential oerator can be obtaine Key wors : Bounary roblems, ifferential oerator, variational methos 1 PENHUUN Banyak ermasalahan-ermasalahan raktis alam kehiuan nyata yang aat iformulasikan ke alam moel matematika, khususnya Persamaan iferensial (P) Misalnya masalah yang aat imoelkan menjai P u + q u f, < x < engan fungi yang memunyai turunan kontinu, q fungsi kontinu, an f fungsi yang iketahui Misalkan ari masalah (1) ilengkai masalah syarat batas irichlet u ( ) an u ( ) Metoe variasional meruakan salah satu metoe yang efektif alam analisis fungsional untuk menyelesaikan masalah yang berkaitan engan oerator ositif aa ruang Hilbert Metoe variasional ini iasarkan keaa minimisasi ari fungsional kuaratik terkait ari masalah yang iberikan Perhatikan masalah kontinu u engan oerator iferensial linear aa (1) f aa Ω () alam ruang Hilbert H alam eneraannya metoe variasional lebih muah iterakan aa ersamaan (1) engan oerator yang simetris Oerator aa omain 57

2 Formulasi Variansional (Sutrima) ikatakan simetris jika u, v u, v untuk semua u, v Seangkan oerator ikatakan ositif aa, jika u, u, an u, u jika an hanya jika u Oerator ikatakan efinit ositif aa jika aat icari suatu konstanta α > sehingga u, u α u Terakhir, oerator aa suatu ruang bernorma ikatakan terbatas jika aat icari konstanta α > sehingga u α u, untuk setia u Jika oerator linear ositif aa ruang Hilbert H maka ari (1) aat ibentuk suatu fungsional kuaratik J ( u, u B( u, f, u engan B : H H R fungsi bilinear yang simetris Vektor u meminimumkan f, u fungsional kuaratik () jika an hanya jika u memenuhi ersamaan atau aat itulis engan u, v f, v untuk setia v B( u, v) < f, v > H untuk setia v (4) Baer [1] Bentuk terakhir inilah yang sering isebut sebagai formulasi variasional ari masalah (1) engan ie formula ini akan itentukan enyelesaian masalah syarat batas (1) HSI N PEMBHSN engan menefinisikan oerator (3) + q, maka masalah (1) aat ianang sebagai masalah kontinu () alam hal ini iambil aa Ω (, ) an f ( ) engan hasilkali alam aa iefinisikan sebagai Ω u, v uv untuk setia u, v Untuk oerator i atas, : engan 58

3 JURN MTEMTIK N KOMPUTER Vol 5 No, 57-64, gustus, ISSN : { u C ( ) ; () ( ) } Ω u u Seangkan ruang energi yang bersesuaian engan aalah 1 1 { u ( Ω) ; u() u( ) } ( Ω) kan ibuktikan oerator ini aalah oerator linear simetri an efinit ositif aa emma 1 Oerator iferensial aalah oerator linear, simetri an ositif aa Bukti mbil sebarang u, v an α, β, ( α u + βv) ( ( αu + βv) + q( αu + βv)) α ( u + q + β ( u + q α ( + β ( v) Hal ini menyatakan bahwa oerator linear Untuk sebarang batas ieroleh u, v, engan integral arsial an eneraan syarat < u, v > ( u + q v Seangkan u v quv + < u, v > u( engan emikian oerator simetri Selanjutnya, u v + qv) v + quv 59

4 Formulasi Variansional (Sutrima) u < u, u > [ + q u] u u ( ) u + q u u u ( q u ) + Karena u + q u, maka berlaku u, ( ) < u u > + q u ebih lanjut, karena, maka < u, u > jika an hanya jika u Oleh karena itu oerator ositif aa Fungsional kuaratik J ( yang bersesuaian engan (3) aa yang berkaitan engan masalah syarat batas aalah untuk semua u J ( < u, u > < f, u > + qu fu (5) u Sehingga engan rinsi minimisasi fungsional kuratik untuk masalah variasional aat itentukan eksistensi an ketunggalan enyelesaian ari masalah (1) Teorema Fungsional kuaratik (5) mencaai minimum i u jika an hanya jika u enyelesaian ari (1) Bukti ( ) Misalkan u enyelesaian ari (1) alam engan mensubtitusikan u f + qu ke alam (5) ieroleh J ( u u qu u qu u u u q u u u + ( + ) 6

5 JURN MTEMTIK N KOMPUTER Vol 5 No, 57-64, gustus, ISSN : u u u + q u + ( ari konisi terakhir terlihat bahwa J ( akan mencaai minimum aa jika an hanya jika u u i alam Karena u an u memenuhi syarat batas yang itentukan, maka minimum i u u u u engan kata lain J ( mencaai ( ) Sebaliknya, misalkan J ( mencaai minimum i u mbil sebarang v an bilangan real α Sehingga engan konisi minimum ieroleh J ( u α αv + ) α α ) u u ( ) + qu fu v + α qu + ( + α ( v ) + qv α u v + ( qu f v ) f v u + qu f v < u f, v > Karena berlaku untuk setia v, maka menurut emma 3 [Rey, 1986] u f atau u f engan kata lain u aalah enyelesaian ari (1) Sejalan engan Teorema 45[Ry, 1986], maka Teorema aat ierluas untuk omain ata menjai ruang energi engan emikian untuk f yang iskontinu maka eksistensi enyelesaian ari masalah (1) 61

6 Formulasi Variansional (Sutrima) terjamin aa i alam Eksistensi enyelesaian u ari fungsional J ( aalah tunggal Hal ini ijamin oleh Teorema 41, [Rey, 1984] aa nilai eigen Selanjutnya akan ibahas tentang eksistensi enyelesaian ari masalah u λ u f, (6) engan w fungsi nonnegatif kontinu aa Ω alam kasus ini iambil syarat batas irichlet seerti syarat batas untuk (1) Perhatikan kembali formulasi variasional ari masalah (1), engan B ( v, < v, f > untuk semua v (7) B ( v, v u ( + qv alam hal ini jelas bahwa aalah ruang bagian ari 1 ( Ω) Karena fungsi ositif, maka untuk sebarang u, u B( u, + qu c u c u, engan c batas bawah ari q aa Ω (, ) Hal ini mengatakan bahwa bentuk bilinear B ( v, aalah elitik- kibatnya engan Teorema 56 (Rey, 1986), masalah variasional (7) memunyai enyelesaian tunggal u an teraat konstanta k > yang tiak bergantung keaa u an f sehingga u k f (8) engan emikian untuk setia f berkoresonensi engan satu enyelesaian variasional linear ter-batas u T : sehingga engan menggunakan (7) an (8) ieroleh Oleh karena itu aat iefinisikan oerator u Tf (9) B ( v, Tf ) < v, f > untuk semua f an v 6

7 JURN MTEMTIK N KOMPUTER Vol 5 No, 57-64, gustus, ISSN : Selanjutnya akan ibahas sifat ari T aabila variasional berkaitan engan (6) aalah mencari Tf k f (1) T : Masalah u sehingga B ( v, λ < v, u > < v, f > (11) untuk setia v alam hal ini B ( v, simetri an an elitik- Masalah nilai eigen ari bentuk bilinear B ( v, aalah mencari bilangan λ an fungsi tak nol u sehingga B( v, λ < v, u >, (1) unutuk setia v Teorema 3 Fungsi hanya jika u aalah enyelesaian variasional ari masalah (11) jika an u λ Tu Tf Bilangan λ aalah nilai eigen ari bentuk bilinear B ( v, an fungsi u aalah fungsi eigen yang bersesuaian jika an hanya jika ienuhi alam Bukti u λ Tu Jika u aalah enyelesaian variasional ari masalah (11), maka B( v, < v, f + λu > engan efinisi ari oerator T [lihat (7) an (9)] ieroleh Untuk sebaliknya jelas u T ( f + λ atau u λ Tu Tf 63

8 Formulasi Variansional (Sutrima) Jika masalah (1) memunyai enyelesaian non trivial, maka berlaku B( v, < v, λu > ari efinisi oerator T ienuhi u T ( λ λtu Sebaliknya, jika kesamaan terakhir ienuhi, maka masalah () memunyai enyelesaian non trivial 4 KESIMPUN Berasarkan hasil ari yang telah iuraikan bahwa eksistensi enyelesaian masalah syarat batas (1) an masalah nilai eigen (6) aat itentukan engan metoe variasional 5 UCPN TERIM KSIH rtikel ini aalah sebagain ari hasil enelitian hibah ari Proyek UE UNS Tahun 1 Untuk itu eneliti mengucakan terima kasih keaa Proyek UE UNS atas ana yang iercayakan keaa eneliti FTR PUSTK 1 Baer, Mathias, Energy Minimization Methos for Feature islacements in Ma Generalization, issertation zur Erlanggung er naturwissenschaftlichen oktorwure vorgelegte Mathemathisch-naturwissenschaftlichen Fakultat er Universitat Zurich, Zurich, 1 Rey J N, n Introuction to The Finite Element Metho, McGraw-Hill Inc, New York, Rey J N, lie Functional nalysis an Variational Metho in Engineering, McGraw-Hill Inc, Singaore,