OPERATOR PADA RUANG BARISAN TERBATAS

Transkripsi

1 OPERATOR PADA RUANG BARISAN TERBATAS Muslim Ansori *,Tiryono 2, Suharsono S 2,Dorrah Azis 2 Jurusan Matematika FMIPA Universitas Lampung,2 Jln. Soemantri Brodjonegoro No Bandar Lampung ansomath@yahoo.com ABSTRAK Dibangun suatu operator baru dari ruang barisan terbatas ke ruang barisan terbatas dengan memanfaatkan basis pada ruang barisan terbatas tersebut. Dapat ditunjukkan bahwa koleksi semua operator tersebut membentuk ruang Banach. Selanjutnya, disajikan beberapa contoh aplikasi pada ruang barisan. Katakunci : operator, ruang barisan terbatas.. PENDAHULUAN Pada tulisan ini akan dikaji apa yang disebut operator pada ruang barisan terbatas. Sifat-sifat dasar operator akan disajikan sebagai dasar untuk pengembangan lanjutan, yang sebelumnya sebagian sudah disajikan di dalam beberapa tulisan antara lain[] dengan mengkonstruksikan operator-sm pada ruang Banach dengan basis pada ruang Banach yang dikembangkan dari operator Hilbert-Schmidt di dalam [2]. Selanjutnya, perbaikan pada norma operator-sm dilakukan oleh [3] dengan menyajikannya dalam bentuk operator integral Lebesgue. Di dalam tulisan ini, akan disajikan operator-sm pada ruang barisan terbatas l 2 dengan basis standar pada ruang barisan. 2. METODE PENELITIAN Operator A dikonstruksikan dari ruang barisan l 2 ke ruang barisan l 2 dengan basis standar dengan = 0,0, (k),. Selanjutnya, dikonstruksikan norma operator A. Norma operator tersebut tidak bergantung pada pemilihan basis. Jika pendefinisian operator dapat dilakukan maka akan diselidiki apakah koleksi semua operator tersebut membentuk ruang Banach. Sebagai aplikasi, operator A direpresentasikan sebagai matriks takhingga yang dikerjakan pada barisan barisan l 2 ke ruang barisan l 2 dengan basis standar dengan = 0,0, (k),. 3. HASIL DAN PEMBAHASAN Di dalam tulisan ini, ruang barisan terbatas l 2 didefinisikan sebagai berikut: 30

2 l 2 = x = x i : x 2 i 2 < dengan x i = x, x 2,, barisan bilangan real R. Ruang barisan l 2 merupakan ruang Banach dengan ruang dual l 2 = x : l 2 R yaitu koleksi semua fungsional pada l 2 yang bersifat linear dan kontinu. Untuk sebarang x l 2 dan x l 2, penulisan x, x dimaksudkan sebagai fungsional x pada x atau x (x). Barisan vektor e n l 2 dinamakan basis pada l 2 jika untuk setiap vektor x l 2 terdapat barisan skalar yang tunggal α n sehingga x = n= Barisan e n l 2 dengan e n = untuk setiap n dikatakan biortonormal terhadap basis e n l 2 jika e m, e n = δ mn dengan δ mn = untuk m = n dan δ mn = 0 untuk m n. Selanjutnya, pasangan e n, e n disebut sistem biortonormal pada l 2. Jika pasangan e n, e n merupakan sistem biortonormal pada l 2 maka x = dengan x, e n = α n. n= α n e n α n e n Jika A L C l 2, l 2 maka operator A L C l 2, l 2 disebut operator pendamping (adjoint operator) A jika dan hanya jika untuk setiap x l 2 dan y l 2, berlaku A x, y = x, A (y ) Jadi, jika e n l 2 dan l 2 diperoleh A e n, = e n, A (d m ) Jika e n, f n, l 2 basis pada l 2, maka untuk setiap A L C l 2, l 2 berlaku dan A = n= e n, A (d m ) e n = n= A e n, e n (a) A = f n, A (d n= m ) f = n= A f n, f n (b) Berdasarkan persamaan (a) dan (b) diperoleh A, = A f k, m = f k (c) 3

3 Berdasarkan persamaan (a), (b) dan (c) didefinisikan pengertian operator dari ruang barisan l 2 ke ruang barisan l 2 sebagai berikut: Definisi. Operator A L C l 2, l 2 dinamakan operator-sm jika A, < dengan e n, l 2 basis pada l 2. Mudah dipahami bahwa bilangan A dengan A SM = A, Tidak bergantung pada pemilihan basis e n pada l 2. < Selanjutnya, notasi SM l 2, l 2 menyatakan koleksi semua operator-sm dari ruang barisan l 2 ke ruang barisan l 2. Teorema.2 Untuk setiap A SM l 2, l 2 berlaku (i) (ii) (iii) A A SM SM l 2, l 2 merupakan ruang Banach terhadap norma. SM Jika A SM l 2, l 2 maka A operator kompak. Bukti: (i) Diambil sebarang basis e n, l 2 dan x l 2, maka berdasarkan (a), (b) dan (c) diperoleh A x = A x, = x, A x A = x A, = x A SM yang berakibat A A SM. (ii) Pertama ditunjukkan bahwa SM l 2, l 2 merupakan ruang bernorma terhadap norma. SM sebab: a) Untuk setiap A SM l 2, l 2 A SM = A, 0 dan 32

4 A SM = 0 A, = 0 A, e k = A = θ (untuk setiap m) A = O (operator nol) A = O (operator nol) b) Untuk setiap A SM l 2, l 2 dan skalar α, diperoleh αa SM = αa, = α A, = α A SM c) Jika diberikan A, A 2 SM l 2, l 2 maka Dengan kata lain, A + A 2 SM = A + A 2, = A + A 2, = A, + A 2, = A, A + A 2 SM A SM + A 2 SM. + A 2, Tinggal menunjukkan kelengkapan ruang SM l 2, l 2 sebagai berikut: Diambil sebarang barisan Cauchy A i SM l 2, l 2. Untuk setiap bilangan ε > 0, terdapat bilangan bulat positip n 0 sehingga untuk setiap bilangan bulat positip i, j n 0, berlaku A i A j SM ε 2 Akan dibuktikan bahwa terdapat A SM l 2, l 2 sehingga Karena lim i A i A SM = 0. A i A j LC l 2,l 2 A i A j SM < ε 2 untuk setiap A i, A j SM l 2, l 2 dengan i, j n 0, maka barisan A i juga merupakan barisan Cauchy di dalam L C l 2, l 2. Karena L C l 2, l 2 ruang lengkap maka terdapat A L C l 2, l 2 sehingga lim j A j = A. Oleh karena itu, 33 A i A),

5 = lim j = lim j A i A j SM < ε 2 A i A j ), Untuk sebarang bilangan bulat i n 0. Dengan kata lain, A A i SM l 2, l 2, untuk i n 0. Oleh karena itu, A A n0 + A n0 = A SM l 2, l 2 dan terbukti bahwa barisan A i konvergen ke suatu A SM l 2, l 2. JadiSM l 2, l 2 merupakan ruang bernorma yang lengkap atau ruang Banach. (iii) Jika A SM l 2, l 2 dan x l 2, maka A x = A x, Oleh karena itu, untuk setiap bilangan bulat positip n, dapat didefinisikan operator A n : l 2 l 2 dengan A n x = n A x, Jelas bahwa A n L C l 2, l 2 dan A n merupakan operator berhingga. Dengan kata lain,a n operator kompak. Karena A n kovergen ke K maka K operator kompak. Berdasarkan Teorema.2 diperoleh Akibat.3SM l 2, l 2 K l 2, l 2 L C l 2, l 2 dengan K l 2, l 2 koleksi operator kompak dari l 2 ke l 2 Operator A SM l 2, l 2 dapat diwakili oleh matriks takhingga A = A. Oleh karena itu, dalam bentuk matriks takhingga karakteristik operator-sm tersebut dapat diuraikan sebagai baerikut: Teorema.4 Suatu operator linear kontinu A: l 2 l 2 merupakan operator-sm jika dan hanya jika terdapat suatu matriks a ij yang memenuhi: (i) Ax = a ij x j l 2 untuk setiap x = x j l 2, (ii) a 2 ij < (iii) a ij < Bukti: (Syarat perlu) Karena A: l 2 l 2 linear dan kontinu maka dengan sendirinya berlaku (i) dan (ii). Operator A dalam bentuk matriks a ij dikerjakan pada basis standar dengan = 0,0, (k), berbentuk Karena A = a ij operator-sm maka A = a jk 34

6 A, = a mk = a mk (Syarat cukup) berdasarkan (i) dan (ii) maka A = a ij : l 2 l 2 llinear dan kontinu. Selanjutnya, berdasarkan (iii) diperoleh < A SM = A, = a mk < Terbukti A = a ij operator-sm. Contoh.5 Matriks A = a ij dengan a ij = i 2 i = j 0 i j Merepresentasikan operator-sm A: l 2 l 2 sebab: (i) (ii) (iii) Untuk setiap x = x j l 2 berlaku Ax = Jadi Ax l 2. a ij x j Bagian kedua terpenuhi sebab Bagian ketiga terpenuhi sebab = a ij 2 = a ij = i 2 2 i 2 x 2 j j 2 < < 2 < x 2 j < 4. KESIMPULAN DAN PROSPEK 4. Kesimpulan Operator linear dan kontinu A: l 2 l 2 merupakan operator-sm jika dan hanya jika terdapat suatu matriks a ij yang memenuhi: (i) Ax = a ij x j l 2 untuk setiap x = x j l 2, (ii) a 2 ij < dan (iii) a ij <. Koleksi semua operator- SM A: l 2 l 2 yang dinotasikan dengan SM l 2, l 2 membentuk ruang Banach. 4.2 Prospek Penelitian lanjutan tentang operator-sm dapat dikembangkan pada ruang yang lebih luas dengan harapan hasil yang diperoleh semakin baik. 35

7 5. UCAPAN TERIMAKASIH Penulis menyampaikan ucapan terimakasih kepada Penyelenggara Semirata 205 yang telah memfasilitasi kegiatan Seminar Nasional ini dan terima kasih kepada FMIPA Universitas Lampung yang telah mendukung penulis untuk selalu berkarya. DAFTAR PUSTAKA []. Soeparna, D., Ansori, M., Supama, On the SM-operators, Berkala Ilmiah MIPA, UGM. 2006; (6): [2]. Weidmann J. Linear Operators in Hilbert Spaces. New-York: Springer-Verlag; 980. [3]. Ansori, M., Soeparna, D., Supama, Modification of Hilbert-Schmidt Operator into the Sense of Banach Space. Proceeding of IICMA, UGM. 2009;