RETENSI OPTIMAL UNTUK SUATU REASURANSI STOP- LOSS SKRIPSI

Transkripsi

1 UNIVERSITAS INDONESIA RETENSI OPTIMAL UNTUK SUATU REASURANSI STOP- LOSS SKRIPSI EKA HANNA SIDABALOK FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM PROGRAM STUDI MATEMATIKA DEPOK JUNI 212 Retensi optimal..., Eka Hanna Siabalok, FMIPA UI, 212

2 UNIVERSITAS INDONESIA RETENSI OPTIMAL UNTUK SUATU REASURANSI STOP- LOSS SKRIPSI Diajukan sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar sarjana sains EKA HANNA SIDABALOK FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM PROGRAM STUDI MATEMATIKA DEPOK JUNI 212 Retensi optimal..., Eka Hanna Siabalok, FMIPA UI, 212

3 HALAMAN PERNYATAAN ORISINALITAS Skripsi ini aalah hasil karya saya seniri, an semua sumber baik yang ikutip maupun irujuk telah saya nyatakan engan benar. Nama : Eka Hanna Siabalok NPM : Tana Tangan : Tanggal : 22 Juni 212 Retensi optimal..., Eka Hanna Siabalok, FMIPA UI, 212 iii

4 HALAMAN PENGESAHAN Skripsi ini iajukan oleh Nama : Eka Hanna Siabalok NPM : Program Stui : Matematika Juul Skripsi : Retensi Optimal untuk Suatu Reasuransi Stop-loss Telah berhasil ipertahankan i haapan Dewan Penguji an iterima sebagai bagian persyaratan yang iperlukan untuk memperoleh gelar Sarjana Sains paa Program Stui Matematika, Fakultas Matematika an Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Inonesia DEWAN PENGUJI Pembimbing : Dra. Netty Sunani, M.Si ( ) Penguji : Sarini Abullah, S.Si, M.Stat ( ) Penguji : Fevi Novkaniza, S.Si, M.Si ( ) Penguji : Dr. Dian Lestari ( ) Ditetapkan i : Depok Tanggal : 22 Juni 212 Retensi optimal..., Eka Hanna Siabalok, FMIPA UI, 212 iv

5 KATA PENGANTAR Ucapan syukur an puji-pujian penulis haturkan kepaa Allah Bapa, Tuhan Yesus Kristus, an Roh Kuus, atas kasih an penyertaannya alam hiup penulis an yang telah mengaruniakan anugerah sehingga penulis beroleh kesempatan untuk menimba ilmu an menyelesaikan stui i Universitas Inonesia. Tugas akhir ini ibuat sebagai salah satu syarat memperoleh gelar Sarjana Sains Jurusan Matematika Fakultas Matematika an Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Inonesia. Dengan penuh kerenahan hati, penulis menyaari bahwa tugas akhir ini apat ikerjakan an terselesaikan engan baik berkat bimbingan, oa, an ukungan ari berbagai pihak. Untuk itu paa kesempatan ini, penulis henak menyampaikan terima kasih yang sebesar-besarnya kepaa: 1. Dra. Netty Sunani, M.Si selaku osen pembimbing yang telah berseia meluangkan waktu, membagikan ilmu, memotivasi, memberikan saran an masukan, serta membimbing penulis alam menyelesaikan tugas akhir ini. Mohon maaf jikalau selama bimbingan penulis melakukan hal-hal yang tiak sesuai engan perkenaan Ibu. 2. Orang tua (papa (alm) an mama) atas cinta kasih yang iberikan. Bahwa penulis boleh tumbuh an berkembang i bawah asuhan mama an papa merupakan berkat Tuhan yang paling luar biasa alam hiup ini. Kalianlah orang tua terhebat bagi pribai penulis. 3. Dr. Sri Mariyati, selaku osen pembimbing akaemis yang telah banyak membantu penulis, khususnya alam bimbingan akaemis selama masa perkuliahan ini. Terima kasih juga atas ukungan, saran, an masukan yang Ibu berikan selama proses pengerjaan tugas akhir ini. 4. Dr. Yui Satria, M.T. selaku ketua jurusan Matematika FMIPA UI an Mbak Rahmi Rusin, S.Si, M.ScTech selaku sekretaris jurusan Matematika FMIPA UI atas segala bantuan an ukungan yang telah iberikan. 5. Seluruh osen Matematika FMIPA UI atas ilmu yang telah iberikan, terutama Ibu Rianti an Ibu Fevi yang telah banyak memberikan motivasi an semangat. Retensi optimal..., Eka Hanna Siabalok, FMIPA UI, 212 v

6 6. Seluruh staf TU an staf Perpustakaan Matematika atas bantuan yang telah iberikan, terutama buat Mbak Santi yang telah banyak membantu penulis alam mengurus aministrasi (maaf ya mbak sering ngerepotin mbak ). 7. Keua aik penulis, Intan an Samuel. Terima kasih buat oa, ukungan, an semangat yang kalian berikan. I love both of you so much 8. Keluarga besar (mamatua, Bang Johan an Kak Ellya, Bang Toni, an Bang Daniel) atas kebersamaan an kasih sayang kalian. 9. Sahabat-sahabat penulis (Gaby, Emy, Liia, Mela, Chrisna, Susi, an May) atas kasih persahabatan yang terjalin i antara kita. Terima kasih juga atas oa, motivasi, an kebersamaan kalian selama penulis menyelesaikan tugas akhir ini, Our frienship will never en 1. PKK (Kak Tika), TKK (Agnes, Citra), AKK (Chacha, Citra, Meta), terima kasih buat sukacita pelayanan KK kita selama ini. 11. Teman-teman angkatan 28, terima kasih atas kebersamaan, suka an uka yang boleh ialami bersama selama menuntut ilmu i Matematika UI. Khususnya buat Icha, Numa, an Ciny yang mengambil peminatan aktuaria. Juga buat teman-teman seperjuangan alam pengerjaan tugas akhir (Ega, Icha, Numa, Sita, Ciny, Luthfa, Hinun, Emy, Ines, Mei, Henry, Any, Tuti, Umbu, an yang lainnya), terima kasih buat semua hal yang suah ilewati bersama. Wish u all the best 12. Teman-teman angkatan 29 an 21, juga Kak Ajat yang telah banyak membantu penulis selama kuliah an pengerjaan tugas akhir. 13. Teman-teman PO FMIPA UI atas sukacita an ukungan oa yang iberikan, juga buat kesempatan melayani bersama. 14. Pihak-pihak lain yang telah banyak membantu alam penyelesaian tugas akhir ini namun tiak isebutkan satu per satu karena keterbatasan tempat. Penulis menyaari bahwa tugas akhir ini masih jauh ari sempurna. Oleh karena itu, segala kritik an saran yang membangun senantiasa penulis harapkan. Akhir kata, kiranya tugas akhir ini bermanfaat bagi unia ilmu pengetahuan. Penulis 212 Retensi optimal..., Eka Hanna Siabalok, FMIPA UI, 212 vi

7 HALAMAN PERNYATAAN PERSETUJUAN PUBLIKASI TUGAS AKHIR UNTUK KEPENTINGAN AKADEMIS Sebagai sivitas akaemik Universitas Inonesia, saya yang bertana tangan i bawah ini: Nama : Eka Hanna Siabalok NPM : Program Stui : Matematika Departemen : Matematika Fakultas : Matematika an Ilmu Pengetahuan Alam Jenis karya : Skripsi emi pengembangan ilmu pengetahuan, menyetujui untuk memberikan kepaa Universitas Inonesia Hak Bebas Royalti Noneksklusif (Non-exclusive Royalty Free Right) atas karya ilmiah saya yang berjuul : Retensi Optimal untuk Suatu Reasuransi Stop-loss beserta perangkat yang aa (jika iperlukan). Dengan Hak Bebas Royalti Noneksklusif ini Universitas Inonesia berhak menyimpan, mengalih meia/format-kan, mengelola alam bentuk pangkalan ata (atabase), merawat an memublikasikan tugas akhir saya selama tetap mencantumkan nama saya sebagai penulis/pencipta an sebagai pemilik Hak Cipta. Demikian pernyataan ini saya buat engan sebenarnya. Dibuat i : Depok Paa tanggal : 22 Juni 212 Yang menyatakan (Eka Hanna Siabalok) vii Retensi optimal..., Eka Hanna Siabalok, FMIPA UI, 212

8 ABSTRAK Nama : Eka Hanna Siabalok Program Stui : Matematika Juul : Retensi Optimal untuk Suatu Reasuransi Stop-loss Dalam menanggung risiko-risiko ari tertanggung (nasabah/pemegang polis), aakalanya tiak semua bagian risiko tersebut itanggung seniri oleh perusahaan asuransi, terutama untuk risiko-risiko yang besar. Perusahaan asuransi menggunakan jasa reasuransi untuk mengasuransikan kembali sebagian risiko yang itanggungnya. Salah satu jenis reasuransi yang paling ikenal yaitu reasuransi stop-loss. Dalam praktik reasuransi stop-loss, perusahaan asuransi menentukan terlebih ahulu besar retensi yang itahannya an sisanya akan ibayarkan oleh perusahaan reasuransi. Retensi aalah batas maksimum ari uang pertanggungan yang apat itanggung oleh perusahaan asuransi atas suatu risiko tertentu. Penentuan retensi yang optimal sangat penting bagi perusahaan asuransi. Tiga kriteria penentuan retensi optimal untuk suatu reasuransi stop-loss yang akan ibahas i sini aalah retensi optimal untuk suatu moal tertentu, retensi optimal berasarkan optimisasi Value at Risk (VaR), an retensi optimal berasarkan optimisasi Conitional Tail Expectation (CTE). Kriteria pertama iasarkan paa besar moal awal yang fixe. Aapun keua kriteria lainnya iasarkan paa optimisasi ukuran risiko VaR an CTE ari biaya total (total risiko) yang itanggung oleh perusahaan asuransi. Jika solusi untuk keua optimisasi VaR an CTE aa, maka keua optimisasi tersebut memberikan nilai retensi optimal yang sama. Kata Kunci : reasuransi stop-loss, prinsip nilai ekpektasi, retensi, loaing factor, Value at Risk (VaR), Conitional Tail Expectation (CTE) xii+77 halaman : 21 gambar Daftar Pustaka : 1 ( ) viii Universitas Inonesia Retensi optimal..., Eka Hanna Siabalok, FMIPA UI, 212

9 ABSTRACT Name : Eka Hanna Siabalok Program Stuy : Mathematics Title : Optimal Retention for A Stop-loss Reinsurance In covering the risks of the insure (policy holer), occasionally not all of the risks are insure by the insurer itself, especially for the large ones. To cover the top part of the risk, the insurer purchases reinsurance coverage from another company (calle reinsurer). One of reinsurance esigns is a stop-loss contract. In the stop-loss reinsurance practice, the insurer etermines a retention limit to be retaine an the reinsurer will pay for the remainer. The retention equals the maximum amount to be pai out for every single claim by the insurer. Determining an optimal level of retention is important for the insurer. Three criteria of etermining the optimal retention for a stop-loss reinsurance which will be iscusse here are the optimal retention for a fixe capital, the optimal retention base on VaR-optimization, an the optimal retention base on CTEoptimization. The first criterion is base on an initial fixe capital of the insurer. The two others are base on optimization of VaR an CTE risk measures of the total risks of the insurer. If optimal solutions exist, then both VaR- an CTEoptimization criteria yiel the same optimal retentions. Key Wors : stop-loss reinsurance, expecte value principle, retention, loaing factor, Value at Risk (VaR), Conitional Tail Expectation (CTE) xii+ 77 pages : 21 pictures Bibliography : 1 ( ) ix Universitas Inonesia Retensi optimal..., Eka Hanna Siabalok, FMIPA UI, 212

10 DAFTAR ISI HALAMAN PERNYATAAN ORISINALITAS...iii HALAMAN PENGESAHAN... iv KATA PENGANTAR... v HALAMAN PERNYATAAN PERSETUJUAN PUBLIKASI... vii ABSTRAK... viii ABSTRACT... ix DAFTAR ISI... x DAFTAR GAMBAR... xii BAB 1 PENDAHULUAN Latar Belakang Perumusan Masalah Tujuan Penulisan Pembatasan Masalah... 4 BAB 2 LANDASAN TEORI Infimum Prinsip Perhitungan Premi Retensi an Reasuransi Stop-loss Prinsip Nilai Ekspektasi Ukuran Risiko an Koherensi Value at Risk Conitional Tail Expectation BAB 3 RETENSI OPTIMAL UNTUK SUATU REASURANSI STOP-LOSS Retensi Optimal untuk Suatu Moal Tertentu Retensi Optimal: Optimisasi VaR Retensi Optimal: Optimisasi CTE x Universitas Inonesia Retensi optimal..., Eka Hanna Siabalok, FMIPA UI, 212

11 BAB 4 PENUTUP Kesimpulan Saran DAFTAR PUSTAKA xi Universitas Inonesia Retensi optimal..., Eka Hanna Siabalok, FMIPA UI, 212

12 DAFTAR GAMBAR Gambar 2.1 Bukti grafis persamaan ( ) Gambar 3.1 Grafik Fungsi Survival jika Gambar 3.2 Grafik Fungsi Survival jika Gambar 3.3 Grafik Fungsi Survival jika Gambar 3.4 Grafik Fungsi jika Teorema terpenuhi Gambar 3.5 Grafik Fungsi i jika Gambar 3.6 Grafik Fungsi i ( ) jika Gambar 3.7 Grafik Fungsi i ] jika Gambar 3.8 Grafik Fungsi jika Gambar 3.9 Grafik Fungsi jika an ( ) Gambar 3.1 Daerah yang terkurung i antara kurva Fungsi Survival, sumbu-, garis, an... 5 Gambar 3.11 Grafik Fungsi i ] jika Gambar 3.12 Grafik Fungsi i ] jika Gambar 3.13 Grafik Fungsi i jika Gambar 3.14 Grafik Fungsi i jika Gambar 3.15 Grafik Fungsi jika Gambar 3.16 Grafik Fungsi jika Gambar 3.17 Grafik Fungsi i ( ) jika Gambar 3.18 Grafik Fungsi i ] jika Gambar 3.19 Grafik Fungsi i jika... 7 Gambar 3.2 Grafik Fungsi jika xii Universitas Inonesia Retensi optimal..., Eka Hanna Siabalok, FMIPA UI, 212

13 BAB 1 PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Perusahaan asuransi aalah pihak yang memberi jaminan atas risiko yang itanggung para nasabahnya sesuai engan proseur perasuransian. Reasuransi aalah suatu mekanisme pengalihan risiko ari pihak penanggung (perusahaan asuransi) kepaa pihak penanggung yang lain (perusahaan reasuransi). Perusahaan reasuransi sama engan perusahaan asuransi, namun nasabahnya berupa perusahaan-perusahaan asuransi. Biasanya perusahaan reasuransi aalah perusahaan asuransi yang besar an profesional. Reasuransi memberikan kesempatan kepaa perusahaan asuransi untuk mengurangi risiko yang itanggung engan memberikan suatu manajemen risiko yang lebih efektif. Stop-loss, excess-of-loss, an quota-share aalah beberapa contoh bentuk reasuransi. Reasuransi stop-loss aalah suatu kontrak asuransi euctible ari perusahaan reasuransi i mana perusahaan asuransi menetapkan besar klaim terenah yang iajukan kepaa perusahaan reasuransi untuk memperoleh ganti rugi ari perusahaan reasuransi. Misalkan X menyatakan loss untuk suatu perusahaan asuransi. Diasumsikan X aalah variabel ranom nonnegatif engan fungsi istribusi kumulatif F X x = Pr X x, fungsi survival S X x = Pr X > x, an mean E X >. Misalkan X I an X R berturut-turut aalah variabel ranom bagian loss yang itanggung oleh perusahaan asuransi an perusahaan reasuransi paa reasuransi stop-loss. Maka X I = X, X, X > = X an X R =, X X, X > = X + i mana parameter > ikenal sebagai retensi, a b = min a, b, an a + = max a,. Di bawah persetujuan stop-loss, perusahaan reasuransi membayar bagian loss yang melampaui batas retensi. Dengan kata lain, perusahaan reasuransi menyerap risiko yang nilainya melampaui batas retensi, 1 Universitas Inonesia Retensi optimal..., Eka Hanna Siabalok, FMIPA UI, 212

14 2 seangkan perusahaan asuransi secara efektif terlinungi ari kerugian (loss) yang mungkin bernilai besar engan membatasi kecenerungan ke tingkat retensi. Di alam pengalihan penanggungan risiko, pihak perusahaan reasuransi membebankan premi reasuransi kepaa pihak perusahaan asuransi. Salah satu prinsip umum yang igunakan untuk menentukan besarnya premi yang sesuai aalah prinsip nilai ekspektasi, yaitu premi reasuransi δ() itentukan oleh δ = 1 + ρ π(), i mana ρ > ikenal sebagai relative safety loaing an π = E X R. Dalam kaitannya engan reasuransi stop-loss, T menyatakan biaya total yang akan ikeluarkan oleh perusahaan asuransi. Biaya total T teriri ari ua komponen, yaitu loss yang itanggung an premi reasuransi, itulis: T = X I + δ Jika nilai retensi kecil, maka perusahaan asuransi ikatakan memiliki kemampuan yang renah alam menanggung risiko an premi yang ibayarkan kepaa perusahaan reasuransi nilainya lebih besar. Sebaliknya, jika perusahaan asuransi mengurangi besar premi reasuransinya engan menaikkan nilai retensi, maka perusahaan asuransi tersebut harus memiliki kemampuan yang tinggi alam menanggung risiko. Oleh karena itu, penentuan nilai retensi yang optimal sangat penting bagi perusahaan asuransi. Aa banyak cara menentukan retensi optimal berasarkan kriteria yang ipilih. Di antaranya, engan memaksimumkan probabilitas kesanggupan finansial perusahaan asuransi, mengoptimisasi ukuran risiko VaR, an mengoptimisasi ukuran risiko CTE. Kriteria yang pertama iasarkan paa besar moal awal yang fixe. Artinya, engan menetapkan atau menyeiakan moal awal yang besarnya fixe, perusahaan asuransi akan mencari nilai retensi optimal yang memaksimumkan probabilitas kesanggupan membayar biaya total T. Kriteria yang keua an ketiga masing-masing isebut engan optimisasi VaR an optimisasi CTE. Value at Risk (VaR) an Conitional Tail Expectation (CTE) aalah ukuran risiko yang banyak igunakan secara luas alam sektor Universitas Inonesia Retensi optimal..., Eka Hanna Siabalok, FMIPA UI, 212

15 3 perasuransian. VaR ari variabel ranom X paa tingkat keamanan sebesar (1 α) iefinisikan oleh VaR X α = inf x Pr X > x α an CTE ari variabel ranom X paa tingkat keamanan sebesar (1 α) iefinisikan oleh CTE X α = Ε X X VaR X α. Dari suut panang perusahaan asuransi, manajemen risiko yang bijaksana aalah yang menjamin bahwa ukuran risiko ari T aalah seoptimal mungkin. Hal inilah yang menjai motivasi untuk mempertimbangkan ua kriteria optimisasi berikut untuk mencari nilai retensi yang optimal: Optimisasi VaR: VaR T, α = min > VaR T, α yaitu menentukan retensi optimal engan meminimumkan VaR ari T, an Optimisasi CTE: CTE T, α = min > CTE T, α yaitu menentukan retensi optimal engan meminimumkan CTE ari T. Paa tugas akhir ini, penulis akan membahas mengenai penentuan retensi optimal ari reasuransi stop-loss berasarkan suatu moal tertentu, optimisasi Value at Risk (VaR) an optimisasi Conitional Tail Expectation (CTE). 1.2 Perumusan Masalah 1. Bagaimana mencari nilai retensi optimal ari reasuransi stop-loss untuk suatu moal tertentu? 2. Bagaimana mencari nilai retensi optimal ari reasuransi stop-loss engan optimisasi ukuran risiko Value at Risk (VaR)? 3. Bagaimana mencari nilai retensi optimal ari reasuransi stop-loss engan optimisasi ukuran risiko Conitional Tail Expectation (CTE)? Universitas Inonesia Retensi optimal..., Eka Hanna Siabalok, FMIPA UI, 212

16 4 1.3 Tujuan Penulisan 1. Mencari nilai retensi optimal ari reasuransi stop-loss untuk suatu moal tertentu. 2. Mencari nilai retensi optimal ari reasuransi stop-loss engan mengoptimisasi ukuran risiko Value at Risk (VaR). 3. Mencari nilai retensi optimal ari reasuransi stop-loss engan mengoptimisasi ukuran risiko Conitional Tail Expectation (CTE). 1.4 Pembatasan Masalah 1. Perhitungan premi reasuransi menggunakan prinsip nilai ekpektasi. Universitas Inonesia Retensi optimal..., Eka Hanna Siabalok, FMIPA UI, 212

17 BAB 2 LANDASAN TEORI 2.1 Infimum Definisi Anaikan S aalah suatu himpunan bagian tak kosong ari R yang terbatas i bawah. Maka, suatu bilangan w isebut infimum (batas bawah terbesar) ari S jika memenuhi keua syarat berikut: a) w aalah batas bawah ari S, an b) jika t aalah sebarang batas bawah yang lain ari S, maka t w. (Bartle & Sherbert, 2) Teorema Anaikan S aalah himpunan bagian tak kosong ari himpunan bilangan real yang terbatas i bawah, an misalkan a aalah sebarang bilangan real. Diefinisikan himpunan a + S = a + s s S, maka inf a + S = a + inf S Bukti Misalkan u = inf S, maka x u untuk semua x S, sehingga a + x a + u. Oleh karena itu, a + u aalah batas bawah ari himpunan a + S; akibatnya, iperoleh inf(a + S) a + u. Dimisalkan pula v aalah sebarang batas bawah ari himpunan a + S, maka a + x v untuk semua x S. Akibatnya x v a untuk semua x S, sehingga v a aalah batas bawah ari S. Oleh karena itu, u = inf S v a yang mengimplikasikan a + u v. Karena v aalah sebarang batas bawah ari a + S, maka v apat igantikan oleh inf(a + S) untuk menapatkan a + u inf(a + S). 5 Universitas Inonesia Retensi optimal..., Eka Hanna Siabalok, FMIPA UI, 212

18 6 Dengan menggabungkan keua pertiaksamaan ini, iperoleh (Bartle & Sherbert, 2) inf(a + S) = a + u = a + inf S Teorema Anaikan S aalah himpunan bagian tak kosong ari R yang terbatas i bawah, an misalkan a >. Diefinisikan himpunan as = as s S, maka inf as = a inf S Bukti Misalkan u = inf S, maka x u untuk semua x S, sehingga ax au. Oleh karena itu, au aalah batas bawah ari himpunan as; akibatnya, iperoleh inf(as) au. Dimisalkan pula v aalah sebarang batas bawah ari himpunan as, maka ax v untuk semua x S. Akibatnya x v untuk semua x S, sehingga v aalah batas a a bawah ari S. Oleh karena itu, u = inf S v a yang mengimplikasikan au v. Karena v aalah sebarang batas bawah ari as, maka v apat igantikan oleh inf(as) untuk menapatkan au inf(as). Dengan menggabungkan keua pertiaksamaan: iperoleh inf(as) au an au inf(as) inf(as) = au = a inf S (Bartle & Sherbert, 2) Universitas Inonesia Retensi optimal..., Eka Hanna Siabalok, FMIPA UI, 212

19 7 2.2 Prinsip Perhitungan Premi Aktivitas perasuransian apat ijelaskan sebagai sistem input-output. Input berasal ari premi an aset-aset perusahaan, seangkan output berasal ari klaim an biaya-biaya lainnya (biaya operasional, pajak, gaji karyawan, an lain-lain). Premi aalah sejumlah uang yang ibayarkan oleh tertanggung (nasabah atau pemegang polis) kepaa penanggung sebagai imbalan jasa atas pengalihan risiko ari tertanggung kepaa penanggung. Dengan emikian, premi merupakan 1. Imbalan jasa atas jaminan yang iberikan oleh penanggung kepaa tertanggung untuk mengganti kerugian yang mungkin ierita oleh tertanggung (paa asuransi kerugian). 2. Imbalan jasa atas jaminan perlinungan yang iberikan oleh penanggung kepaa tertanggung engan menyeiakan sejumlah uang (benefit) terhaap risiko hari tua atau kematian. Besarnya premi yang harus ibayarkan oleh tertanggung itetapkan oleh penanggung engan mengaplikasikan prinsip perhitungan premi. Berbagai jenis prinsip perhitungan premi telah banyak iperkenalkan (Kaas, et al., 21). Notasi θ X menyatakan premi yang ibebankan kepaa tertanggung untuk menapatkan jaminan perlinungan terhaap risiko X. Yang imaksu engan risiko X yaitu klaim ari suatu risiko teristribusi sebagai variabel ranom X. Berikut iberikan beberapa prinsip perhitungan premi. a. Prinsip premi bersih: θ X = E X Juga ikenal engan prinsip ekuivalen; premi ini hanya sesuai untuk penanggung risiko netral. b. Prinsip nilai ekspektasi: θ X = (1 + ρ)e X Di sini, nilai loaing alam premi sama engan ρe X, i mana ρ > aalah safety loaing factor. c. Prinsip variansi: θ X = E X + ρvar X Di sini, nilai loaing alam premi proporsional terhaap Var X an ρ > aalah safety loaing factor.. Prinsip stanar eviasi: θ X = E X + ρς X Universitas Inonesia Retensi optimal..., Eka Hanna Siabalok, FMIPA UI, 212

20 8 Di sini, nilai loaing alam premi proporsional terhaap stanar eviasi ari X an ρ > aalah safety loaing factor. e. Prinsip eksponensial: θ X = 1 log m α X α Di sini, parameter α > isebut risk aversion coefficient. 2.3 Retensi an Reasuransi Stop-loss Risiko yang itanggung perusahaan asuransi apat ikurangi engan memanfaatkan jasa reasuransi, i mana perusahaan reasuransi bertinak sebagai pihak penanggung (insurer) bagi perusahaan asuransi yang paa awalnya menanggung seniri risikonya. Kontrak reasuransi hanya melinungi sebagian tertentu ari risiko. Reasuransi stop-loss merupakan jenis reasuransi yang melinungi bagian risiko yang melebihi suatu batas retensi. Misalkan X menyatakan loss untuk suatu perusahaan asuransi. Diasumsikan X aalah variabel ranom nonnegatif engan fungsi istribusi kumulatif F X x = Pr X x, fungsi survival S X x = Pr X > x, an mean E X >. Misalkan X I an X R berturutturut aalah variabel ranom bagian loss yang itanggung oleh perusahaan asuransi an perusahaan reasuransi paa reasuransi stop-loss. Maka i bawah kontrak stop-loss: an X I = X, X, X > = X (2.3.1) X R =, X X, X > = X + (2.3.2) i mana parameter > ikenal sebagai retensi, a b = min a, b, an a + = max a,. Perusahaan asuransi menahan risiko sampai batas an membiarkan perusahaan reasuransi membayar sisanya (bagian risiko yang melebihi ). Sebagai contoh, jika itetapkan retensi sebesar 1,6 an seorang nasabah (tertanggung) mengajukan klaim asuransi sebesar 2, maka perusahaan asuransi akan membayar sebesar 1,6 an sisanya sebesar,4 akan ibayar oleh Universitas Inonesia Retensi optimal..., Eka Hanna Siabalok, FMIPA UI, 212

21 9 perusahaan reasuransi. Jai, retensi aalah batas maksimum ari uang pertanggungan yang bisa itanggung oleh perusahaan asuransi atas suatu risiko tertentu. Dengan kata lain, retensi sama engan besar pembayaran maksimum oleh perusahaan asuransi untuk setiap klaim nasabah. Mengapa jenis reasuransi ini isebut stop-loss? Aalah jelas untuk ilihat bahwa ari suut panang perusahaan asuransi, loss yang itanggung berhenti i. Dalam teorema berikut, akan ibuktikan bahwa kontrak stop-loss meminimumkan variansi ari risiko yang itanggung oleh perusahaan asuransi. Teorema Diasumsikan X aalah variabel ranom loss untuk suatu perusahaan asuransi. Misalkan I X menyatakan bagian loss yang ibayarkan oleh perusahaan reasuransi paa kontrak reasuransi bukan stop-loss. Diasumsikan bahwa I x x berlaku untuk semua x. Maka, Jika E I X = E X +, maka Var X I X Var X X +. Bukti Misalkan an V X = X I X W X = X X +, maka Var X I X = E X I X 2 E X I X 2 = E V X 2 E V X 2, Var X X + = E X X 2 + E X X 2 + = E W X 2 E W X 2, an E X I X = E X E I X = E X E X + Universitas Inonesia Retensi optimal..., Eka Hanna Siabalok, FMIPA UI, 212

22 1 = E X X + Dari persamaan terakhir apat itulis E V X = E W X. Sekarang tinggal ibuktikan bahwa E V X 2 E W X 2. a) Untuk X, X + = sehingga W X = X X + = X. Dari penjabaran berikut, V X = X I X X = W X V X W X V X W X V X 2 W X 2 E V X 2 E W X 2 E V X 2 2V X + 2 E W X 2 2W X + 2 E V X 2 E W X 2 iperoleh E V X 2 E W X 2. b) Untuk X >, X + = X sehingga W X = X X + =. Dari penjabaran berikut, W X = W X = V X = W X V X 2 W X 2 E V X 2 E W X 2 E V X 2 2V X + 2 E W X 2 2W X + 2 E V X 2 E W X 2 iperoleh E V X 2 E W X 2. Jai, terbukti bahwa jika E I X = E X +, makavar X I X Var X X +. (Kaas, et al., 21) Universitas Inonesia Retensi optimal..., Eka Hanna Siabalok, FMIPA UI, 212

23 11 Dari Teorema i atas, iapat suatu penjelasan bahwa jika premi bersih reasuransi besarnya sama untuk semua jenis reasuransi, maka kontrak stop-loss merupakan pilihan terbaik i antara berbagai jenis reasuransi ikarenakan paa kontrak ini variansi ari bagian loss yang ibayarkan oleh perusahaan asuransi bernilai minimum. 2.4 Prinsip Nilai Ekspektasi Salah satu prinsip perhitungan premi yang umum igunakan yaitu prinsip nilai ekpektasi yang inyatakan oleh θ X = 1 + ρ E X i mana ρ > ikenal sebagai relative safety loaing. Berasarkan prinsip ini, untuk kontrak stop-loss premi reasuransi itentukan oleh δ = 1 + ρ π() (2.4.1) i mana π = E X R. Dengan menulis kembali persamaan (2.3.2): maka iperoleh X R = X + =, X X, X > = max, X π = E X R = E X + = (x )f X x x> (x )f X x x (X iskrit) (X kontinu) = 1 F X x x = S X x x Gambar 2.1 memberikan bukti grafis untuk apat menulis persamaan (x )f X x x> = 1 F X x x Universitas Inonesia Retensi optimal..., Eka Hanna Siabalok, FMIPA UI, 212

24 12 ketika X aalah variabel ranom iskrit. y 1 f X x n FX(x) xn x Gambar 2.1. Bukti Grafis Persamaan x > (x )f X x = 1 F X x x Seangkan ketika X aalah variabel ranom kontinu, π = E X R = E X + = = (x ) F X x + C x f X x x = (x ) F X x + C F X x + C x i mana C aalah suatu konstanta, an nilai konstanta C yang memenuhi agar nilai E X + aa aalah C =, sehingga E X + = (x ) F X x 1 F X x 1 x = 1 F X x x = S X x x Universitas Inonesia Retensi optimal..., Eka Hanna Siabalok, FMIPA UI, 212

25 13 Jai, terbukti untuk X aalah variabel ranom iskrit maupun kontinu apat itulis π = S X x x Dengan emikian, persamaan (2.4.1) apat itulis δ = 1 + ρ S X x x 2.5 Ukuran Risiko an Koherensi Suatu ukuran risiko aalah pemetaan ari variabel ranom yang menyatakan loss yang berhubungan engan risiko ke himpunan bilangan real. Suatu ukuran risiko memberikan sebuah bilangan tunggal yang imaksukan untuk mengukur risiko. Sebagai contoh, stanar eviasi, atau perkalian/pengganaan stanar eviasi ari suatu istribusi, merupakan suatu ukuran risiko karena stanar eviasi memberikan ukuran ketiakpastian. Misalkan ukuran risiko inyatakan oleh fungsi γ(x). Panang himpunan variabel ranom loss seemikian sehingga jika X an Y aalah ua anggota ari himpunan tersebut, maka untuk suatu konstanta positif c, cx an X + Y juga anggota ari himpunan tersebut. Definisi Suatu ukuran risiko yang koheren aalah suatu ukuran risiko γ(x) yang memiliki keempat sifat berikut untuk variabel ranom loss X an Y: 1. Subaitivitas: γ X + Y γ X + γ(y). 2. Monotonisitas: Jika X Y untuk semua hasil yang mungkin, maka γ(x) γ(y). 3. Homogenitas positif: Untuk sebarang konstanta positif c, γ cx = cγ(x). 4. Translasi invarian: Untuk sebarang konstanta positif c, γ X + c = γ X + c. (Klugman, Panjer, & Wilmot, 28) Universitas Inonesia Retensi optimal..., Eka Hanna Siabalok, FMIPA UI, 212

26 14 Subaitivitas menjelaskan bahwa ukuran risiko ari ua risiko yang igabungkan tiak lebih besar ari jumlah ukuran risiko ari masing-masing risiko. Subaitivitas menggambarkan fakta bahwa seharusnya terapat manfaat iversifikasi ari menggabungkan risiko. Monotonisitas menjelaskan bahwa jika sebuah risiko memiliki loss yang selalu lebih besar aripaa risiko lainnya, maka ukuran risikonya juga selalu emikian. Homogenitas positif menjelaskan bahwa jika risiko ilipatganakan, maka ukuran risikonya juga emikian. Translasi invarian menjelaskan bahwa tiak aa risiko tambahan untuk penambahan risiko yang pasti. Ukuran risiko yang memenuhi keempat sifat paa Definisi ikatakan koheren. Ukuran risiko yang akan igunakan paa tugas akhir ini aalah Value at Risk (VaR) an Conitional Tail Expectation (CTE). 2.6 Value at Risk Definisi Misalkan X menyatakan suatu variabel ranom loss. Value at Risk ari X paa tingkat keamanan (1 α), inyatakan oleh VaR X α, < α < 1, aalah persentil (atau kuantil) ke-1 1 α ari istribusi X. (Klugman, Panjer, & Wilmot, 28) Secara matematis, VaR X α = inf x Pr X > x α (2.6.1) Jika X memiliki fungsi istribusi kontinu satu-satu i,, maka VaR X α aalah solusi unik untuk persamaan Pr X > VaR X α = α atau apat juga itulis sebagai VaR X α = S X (α), i mana S X aalah fungsi invers ari fungsi survival S X. Universitas Inonesia Retensi optimal..., Eka Hanna Siabalok, FMIPA UI, 212

27 15 Sayangnya, VaR hanya memenuhi tiga ari empat sifat koherensi yang harus ipenuhi, yaitu monotonisitas, homogenitas positif, an translasi invarian. Bukti Akan ibuktikan bahwa VaR memenuhi monotonisitas, yaitu: Jika X Y untuk semua hasil yang mungkin, maka VaR X α VaR Y α. Misalkan X an Y aalah variabel ranom loss nonnegatif. Maka engan mengambil tingkat keamanan sebesar 1 α, VaR untuk variabel ranom X iberikan oleh VaR X α = inf x Pr X > x α an VaR untuk variabel ranom Y iberikan oleh VaR Y α = inf y Pr Y > y α Ambil Y = cx, i mana c 1, maka ari VaR Y α = inf y Pr Y > y α VaR cx α = inf y Pr cx > y α VaR cx α = inf y Pr X > y c α VaR cx α = inf cx Pr X > x α (misalkan y = cx) VaR cx α = c inf x Pr X > x α (Teorema 2.1.2) VaR cx α = cvar X α an karena c 1, iperoleh VaR X α VaR Y α Terbukti bahwa ukuran risiko VaR memenuhi monotonisitas. Akan ibuktikan bahwa VaR memenuhi homogenitas positif, yaitu: Untuk sebarang konstanta positif c, VaR cx α = cvar X α. Misalkan X an Y aalah variabel ranom loss nonnegatif. Ambil Y = cx, i mana c >. Dengan mengambil tingkat keamanan sebesar 1 α, maka, sama seperti penurunan i atas, iperoleh Universitas Inonesia Retensi optimal..., Eka Hanna Siabalok, FMIPA UI, 212

28 16 VaR cx α = cvar X α Terbukti bahwa ukuran risiko VaR memenuhi homogenitas positif. Akan ibuktikan bahwa VaR memenuhi translasi invarian, yaitu: Untuk sebarang konstanta positif c, VaR X+c α = VaR X α + c. Misalkan X an Y aalah variabel ranom loss nonnegatif. Maka engan mengambil tingkat keamanan sebesar 1 α, VaR untuk variabel ranom X iberikan oleh VaR X α = inf x Pr X > x α an VaR untuk variabel ranom Y iberikan oleh VaR Y α = inf y Pr Y > y α Ambil Y = X + c i mana c >, maka ari VaR Y α = inf y Pr Y > y α VaR X+c α = inf y Pr X + c > y α VaR X+c α = inf y Pr X > y c α VaR X+c α = inf x + c Pr X > x α (misalkan y = x + c) VaR X+c α = inf x Pr X > x α + c (Teorema 2.1.1) VaR X+c α = VaR X α + c iperoleh VaR X+c α = VaR X α + c Terbukti bahwa ukuran risiko VaR memenuhi translasi invarian. VaR tiak memenuhi subaitivitas. Pembuktian mengenai hal ini tiak akan ibahas i sini, melainkan apat merujuk paa contoh yang ijelaskan paa jurnal Raising Value at Risk yang itulis oleh Julia Wirch (1999). Jai, terbukti bahwa VaR aalah ukuran risiko yang tiak koheren. Universitas Inonesia Retensi optimal..., Eka Hanna Siabalok, FMIPA UI, 212

29 17 Ukuran risiko VaR sering igunakan karena muah ipahami. Jika nilai VaR yang berhubungan engan suatu risiko iketahui (engan tingkat keamanan sebesar 1 α ), maka ijamin bahwa probabilitas risiko melampaui nilai VaR tersebut tiak lebih ari α. Dalam hal ini, α apat iinterpretasikan sebagai probabilitas toleransi risiko. Dalam praktiknya, seringkali nilai α yang ipilih lebih kecil ari 5%. Kekurangan ari VaR aalah bahwa VaR gagal memenuhi sifat-sifat ukuran risiko yang koheren. 2.7 Conitional Tail Expectation (CTE) Definisi Misalkan X aalah suatu variabel ranom loss. Conitional Tail Expectation ari X paa tingkat keamanan 1 α, inyatakan oleh CTE X α, aalah ekspektasi loss iberikan bahwa loss melampaui persentil (atau kuantil) ke-1 1 α ari istribusi X. (Klugman, Panjer, & Wilmot, 28) Secara matematis, CTE X α = Ε X X VaR X α (2.7.1) Jika X aalah variabel ranom loss kontinu, persamaan (2.7.1) apat itulis menjai CTE X α = Ε X X VaR X α xf X (x)x VaR = X α 1 F X VaR X α = 1 α VaR X α xf X (x)x Lebih jauh, jika nilai integral i atas aalah berhingga, engan menggunakan substitusi x = VaR X u iapat persamaan Universitas Inonesia Retensi optimal..., Eka Hanna Siabalok, FMIPA UI, 212

30 18 CTE X α = 1 α α VaR X u u Oleh karena itu, CTE apat ilihat sebagai rata-rata semua nilai VaR paa tingkat keamanan i atas 1 α. Artinya, CTE memberikan lebih banyak informasi mengenai tail of istribution ari suatu risiko. CTE juga apat itulis sebagai CTE X α = Ε X X VaR X α = Ε VaR X α + X VaR X α X VaR X α = Ε VaR X α X VaR X α + Ε X VaR X α X VaR X α = VaR X α + x VaR X α f X (x)x VaR X α 1 F X VaR X α = VaR X α + 1 α VaR X α S X (x)x Jelas bahwa suku keua paa ruas kanan persamaan i atas bernilai nonnegatif. Oleh karena itu, CTE X α VaR X α. CTE aalah ukuran risiko yang koheren apabila iaplikasikan paa risiko (loss) yang beristribusi kontinu. Bukti Akan ibuktikan bahwa CTE memenuhi monotonisitas, yaitu: Jika X Y untuk semua hasil yang mungkin, maka CTE X α CTE Y α. Misalkan X an Y aalah variabel ranom loss nonnegatif ari suatu istribusi kontinu. Maka engan mengambil tingkat keamanan sebesar 1 α, CTE untuk variabel ranom X iberikan oleh CTE X α = Ε X X VaR X α an CTE untuk variabel ranom Y iberikan oleh Universitas Inonesia Retensi optimal..., Eka Hanna Siabalok, FMIPA UI, 212

31 19 CTE Y α = Ε Y Y VaR Y α Ambil Y = cx, i mana c 1, maka ari CTE Y α = Ε Y Y VaR Y α CTE cx α = Ε cx cx VaR cx α CTE cx α = Ε cx cx cvar X α CTE cx α = Ε cx X VaR X α CTE cx α = cε X X VaR X α CTE cx α = ccte X α (VaR memenuhi homogenitas positif) an karena c 1, iperoleh CTE X α CTE Y α Terbukti bahwa ukuran risiko CTE memenuhi monotonisitas. Akan ibuktikan bahwa CTE memenuhi homogenitas positif, yaitu: Untuk sebarang konstanta positif c, CTE cx α = ccte X α. Misalkan X an Y aalah variabel ranom loss nonnegatif ari suatu istribusi kontinu. Ambil Y = cx, i mana c >. Dengan mengambil tingkat keamanan sebesar 1 α, maka sama seperti penurunan i atas, iperoleh CTE cx α = ccte X α Terbukti bahwa ukuran risiko VaR memenuhi homogenitas positif. Akan ibuktikan bahwa CTE memenuhi translasi invarian, yaitu: Untuk sebarang konstanta positif c, CTE X+c α = CTE X α + c. Misalkan X an Y aalah variabel ranom loss nonnegatif ari suatu istribusi kontinu. Maka engan mengambil tingkat keamanan sebesar 1 α, CTE untuk variabel ranom X iberikan oleh CTE X α = Ε X X VaR X α an CTE untuk variabel ranom Y iberikan oleh CTE Y α = Ε Y Y VaR Y α Ambil Y = X + c i mana c >, maka ari Universitas Inonesia Retensi optimal..., Eka Hanna Siabalok, FMIPA UI, 212

32 2 CTE Y α = Ε Y Y VaR Y α CTE X+c α = Ε X + c X + c VaR X+c α CTE X+c α = Ε X + c X + c VaR X α + c (VaR memenuhi translasi invarian) CTE X+c α = Ε X + c X VaR X α CTE X+c α = Ε X X VaR X α + c CTE X+c α = CTE X α + c iperoleh CTE X+c α = CTE X α + c Terbukti bahwa ukuran risiko CTE memenuhi translasi invarian. CTE memenuhi subaitivitas. Pembuktian mengenai hal ini tiak akan ibahas i sini, melainkan apat merujuk paa pembuktian yang ijelaskan paa jurnal On The Coherence of Expecte Shortfall yang itulis oleh Carlo Acerbi an Dirk Tasche (22). Jai, terbukti bahwa CTE aalah ukuran risiko yang koheren. Universitas Inonesia Retensi optimal..., Eka Hanna Siabalok, FMIPA UI, 212

33 BAB 3 RETENSI OPTIMAL UNTUK SUATU REASURANSI STOP-LOSS Dengan memanfaatkan jasa reasuransi, perusahaan asuransi berusaha mengurangi risiko yang itanggungnya engan mengalihkan sebagian tertentu risiko tersebut kepaa pihak perusahaan reasuransi. Penentuan retensi optimal aalah hal yang sangat penting bagi perusahaan asuransi ketika menggunakan jasa reasuransi. Dalam bab ini akan ibahas mengenai penentuan retensi optimal untuk suatu reasuransi stop-loss berasarkan suatu moal tertentu yang telah itetapkan (fixe), optimisasi ukuran risiko VaR, an optimisasi ukuran risiko CTE. 3.1 Retensi Optimal untuk Suatu Moal Tertentu Dalam menggunakan jasa reasuransi, selain membayar total klaim, perusahaan asuransi harus membayar premi reasuransi kepaa perusahaan reasuransi. Perusahaan asuransi harus menyeiakan moal sebesar B i awal yang antara lain berasal ari aset-aset yang imilikinya an premi yang ikumpulkan ari para nasabah. Moal B inilah yang akan igunakan untuk membayar klaim nasabah an premi reasuransi. Di alam memenuhi kewajibannya membayar klaim, perusahaan asuransi ingin mengoptimisasi probabilitas kesanggupan finansialnya (kesanggupan membayar total klaim an premi reasuransi) engan cara memilih retensi terbaik. Untuk lebih jelasnya, berikut iberikan ilustrasi bagaimana menentukan retensi optimal untuk suatu moal tertentu. Anaikan sebuah perusahaan asuransi memiliki suatu portofolio yang teriri ari 2. polis asuransi jiwa satu-tahun yang ikelompokkan sebagai berikut: Besar manfaat/klaim Banyaknya polis Universitas Inonesia Retensi optimal..., Eka Hanna Siabalok, FMIPA UI, 212

34 22 Probabilitas masing-masing nasabah meninggal alam satu tahun masa berlakunya polis aalah sama yaitu q =,1, an polis iasumsikan inepenen satu terhaap yang lain. Perusahaan asuransi tersebut akan menggunakan jasa reasuransi stop-loss. Di alam menggunakan jasa reasuransi stop-loss, perusahaan asuransi menetapkan retensi yang merupakan pembayaran maksimum untuk masing-masing polis. Bagian sisa ari klaim ibayar oleh perusahaan reasuransi. Sebagai contoh, jika itetapkan retensi sebesar 2,6 an seorang nasabah (engan besar klaim asuransi aalah 3) meninggal, maka perusahaan asuransi akan membayar sebesar 2,6 an sisanya sebesar,4 akan ibayar oleh perusahaan reasuransi. Untuk itu, perusahaan asuransi akan mencari retensi optimal. Diasumsikan perusahaan asuransi memiliki moal sebesar 45 an besarnya premi reasuransi itentukan berasarkan prinsip nilai ekspektasi engan ρ =,2, i mana ρ aalah safety loaing factor, sehingga engan kata lain besarnya premi reasuransi aalah 12% ari premi bersih yang ibayarkan kepaa perusahaan reasuransi. Misalkan, i : variabel ranom inikator engan nilai i = 1, jika terjai kematian i =, jika tiak terjai kematian, i mana untuk semua polis iasumsikan an Pr i = 1 = q =,1 Pr i = = 1 q =,99 : retensi, i mana < < 3 X Ij : variabel ranom klaim untuk polis ke-j yang ibayar oleh perusahaan asuransi; X Ij = b j i, i mana b j = min b j,, b j = 1,2,3, an j = 1, 2, 3,, 2. X I : variabel ranom total klaim yang ibayar oleh perusahaan asuransi; Universitas Inonesia Retensi optimal..., Eka Hanna Siabalok, FMIPA UI, 212

35 23 2. X I = X Ij j =1 Y j : variabel ranom klaim untuk polis ke-j yang itujukan kepaa perusahaan reasuransi; Y j = b j + i, i mana b j + = max b j,, b j = 1,2,3 an j = 1, 2, 3,, 2. X R : variabel ranom total klaim yang itujukan kepaa perusahaan reasuransi; 2. X R = Y j j =1 π : premi bersih reasuransi, i mana π = E X R δ(): premi reasuransi, alam hal ini δ() = 1,2π = 1,2E X R T : variabel ranom biaya total yang harus itanggung perusahaan asuransi yang teriri ari total klaim an premi reasuransi, yaitu T = X I + δ() Pertama-tama, tinjau kasus = 1,5. Dari suut panang perusahaan reasuransi, 2. X R = Y j j = E X R = E Y j = E Y j = E b j + i j =1 j =1 j =1 = 1.E 1 + i + 5.E 2 + i + 5.E 3 + i = 1.E 1 1,5 + i + 5.E 2 1,5 + i + 5.E 3 1,5 + i = + 5.(,5)E i + 5.(1,5)E i = 1.E i = 1. 1(q) + (1 q) Universitas Inonesia Retensi optimal..., Eka Hanna Siabalok, FMIPA UI, 212

36 24 = 1. 1(,1) + (,99) = 1 Perusahaan reasuransi akan membebankan premi kepaa perusahaan asuransi sebesar δ(1,5) = 1,2π X R = 1,2E X R = 1,2 1 = 12 Dari suut panang perusahaan asuransi, penyebaran polis-polis itampilkan sebagai berikut. Besar manfaat/klaim 1 1,5 Banyaknya polis Nilai ekspektasi an variansi ari variabel ranom total klaim yang ibayar oleh perusahaan asuransi (X I ) apat itentukan sebagai berikut. 2. X I = X Ij j = E X I = E X Ij = E X Ij = E b j i j =1 j =1 j =1 = 1.E i + 1. E 1,5i = 1.E i E i = 25.E i = 25. 1(q) + (1 q) = 25. 1,1 + (,99) = 25 Universitas Inonesia Retensi optimal..., Eka Hanna Siabalok, FMIPA UI, 212

37 25 Var X I = Var 2. j =1 X Ij 2. = Var X Ij j =1 = 1.Var i + 1. Var 1,5i = 1.Var i Var i = 32.5Var i = 32.5 q 1 q = 32.5 (,1),99 = 321,75 Aapun biaya total T yang harus ibayar oleh perusahaan asuransi aalah T = X I + δ(1,5) = X I + 12 Dengan moal sebesar B yang fixe, perusahaan asuransi tentunya ingin agar Pr T < B = p menghasilkan nilai p yang sangat besar. Telah iberikan B = 45, maka engan menggunakan Teorema Limit Pusat iperoleh Pr T < B = Pr X I + 12 < B = Pr X I E X I σ XI < B 12 E X I σ XI = Pr X I E X I < σ XI 321,75 = Pr X I E X I σ XI < ,75 Φ ,75 =,9744 Universitas Inonesia Retensi optimal..., Eka Hanna Siabalok, FMIPA UI, 212

38 26 Jai, engan mengambil retensi sebesar 1,5 an moal sebesar 45, perusahaan asuransi akan sanggup membayar X I + 12 engan aproksimasi probabilitas sebesar,9744. Sekarang tinjau kasus = 2. Dari suut panang perusahaan reasuransi, 2. X R = Y j j =1 E X R = E 2. j =1 Y j 2. = E Y j j =1 = 1.E 1 + i + 5.E 2 + i + 5.E 3 + i = 1.E i + 5.E i + 5.E i = E i = 5.E i = 5. 1(q) + (1 q) = 5. 1(,1) + (,99) = 5 Perusahaan reasuransi akan membebankan premi kepaa perusahaan asuransi sebesar δ(2) = 1,2π X R = 1,2E X R = 1,2 5 = 6 Dari suut panang perusahaan asuransi, penyebaran polis-polis itampilkan sebagai berikut. Universitas Inonesia Retensi optimal..., Eka Hanna Siabalok, FMIPA UI, 212

39 27 Besar manfaat/klaim 1 2 Banyaknya polis Nilai ekspektasi an variansi ari variabel ranom total klaim yang ibayar oleh perusahaan asuransi (X I ) apat itentukan sebagai berikut. 2. X I = X Ij j =1 E X I = E 2. j =1 X Ij 2. = E X Ij j =1 = 1.E i + 1. E 2i = 1.E i + 2. E i = 3.E i = 3. 1(q) + (1 q) = 3. 1,1 + (,99) = 3 Var X I = Var 2. j =1 X Ij 2. = Var X Ij j =1 = 1.Var i + 1. Var 2i = 1.Var i + 4. Var i = 5.Var i = 5. q 1 q = 5. (,1),99 Universitas Inonesia Retensi optimal..., Eka Hanna Siabalok, FMIPA UI, 212

40 28 = 495 Aapun biaya total T yang harus ibayar oleh perusahaan asuransi aalah T = X I + δ(2) = X I + 6 Diberikan B = 45, maka engan menggunakan Teorema Limit Pusat iperoleh Pr T < B = Pr X I + 6 < B = Pr X I E(X I ) σ XI < B 6 E(X I) σ XI = Pr X I E(X I ) < σ XI 495 = Pr X I E(X I ) σ XI < Φ =,9783 Jai, engan mengambil retensi sebesar 2 an moal sebesar 45, perusahaan asuransi akan sanggup membayar X I + 6 engan aproksimasi probabilitas sebesar,9783. Selanjutnya tinjau kasus = 2,5, maka engan cara yang sama iperoleh δ(2,5) = 3 E X I = 325 Var X I = 66,375 sehingga engan besar moal yang sama (B = 45) iperoleh Pr T < B = Pr X I + δ(2,5) < B = Pr X I + 3 < 45 Universitas Inonesia Retensi optimal..., Eka Hanna Siabalok, FMIPA UI, 212

41 29 = Pr X I E X I σ XI < 45 3 E X I σ XI = Pr X I E X I σ XI < 5 66,375 Φ 5 66,375 =,9788 Ternyata nilai aproksimasi Pr T < B semakin meningkat seiring engan bertambahnya nilai. Dengan emikian, iuga terapat 2, 3 yang memaksimumkan Pr T < B, i mana alam kasus ini B = 45. Untuk retensi 2, 3, ari suut panang perusahaan reasuransi, 2. X R = Y j j =1 E X R = E 2. j =1 Y j 2. = E Y j j =1 = 1.E 1 + i + 5.E 2 + i + 5.E 3 + i = 1.E 1 + i + 5.E 2 + i + 5.E 3 + i = E i = (q) + (1 q) = (,1) + (,99) = 5 3 Perusahaan reasuransi akan membebankan premi kepaa perusahaan asuransi sebesar δ() = 1,2π X R = 1,2E X R = 1,2 5 3 Universitas Inonesia Retensi optimal..., Eka Hanna Siabalok, FMIPA UI, 212

42 3 = 6 3 = 18 6 Sementara itu, ari suut panang perusahaan asuransi, penyebaran polis-polis itampilkan sebagai berikut. Besar manfaat/klaim 1 2 Banyaknya polis Nilai ekspektasi an variansi ari variabel ranom total klaim yang ibayar oleh perusahaan asuransi (X I ) apat itentukan sebagai berikut. 2. X I = X Ij j =1 E X I = E 2. j =1 X Ij 2. = E X Ij j =1 = 1.E i + 5. E 2i + 5. E i = 1.E i + 1. E i + 5. E i = E i = (q) + (1 q) = ,1 + (,99) = Var X I = Var 2. j =1 X Ij 2. = Var X Ij j =1 = 1.Var i + 5. Var 2i + 5. Var i = 1.Var i + 2. Var i Var i Universitas Inonesia Retensi optimal..., Eka Hanna Siabalok, FMIPA UI, 212

43 31 = Var i = q(1 q) = ,1(,99) = ,5 2 Biaya total T yang harus ibayar perusahaan asuransi inyatakan oleh T = X I + δ() = X I Maka engan menggunakan Teorema Limit Pusat, iperoleh Pr T < B = Pr X I < B = Pr X I E X I σ XI = Pr X I E X I σ XI < B E X I σ XI < ,5 2 = Pr X I E X I σ XI < ,5 2 Φ ,5 2 Misalkan g = ,5 2. Nilai yang memaksimumkan Φ g aalah sama engan nilai yang memaksimumkan g. Dengan menggunakan konsep turunan (g () = ), maka g = ,5 2 g = , , ,5 2, ,5 2 = , , ,5 2, ,5 2 Universitas Inonesia Retensi optimal..., Eka Hanna Siabalok, FMIPA UI, 212

44 32 = , = = 594 = 2,4 sehingga iperoleh retensi terbaik untuk kasus ini aalah = 2,4. Aapun aproksimasi probabilitas perusahaan asuransi kuat membayar total klaim an premi reasuransi paa = 2,4 aalah Φ g 2,4 = Φ = Φ (2,4) ,5(2,4) ,12 =,9789 Di masa epan, berbagai faktor eksternal (seperti inflasi atau tingkat suku bunga) akan sangat mempengaruhi aset-aset yang imiliki oleh perusahaan asuransi sehingga besar moal perusahaan asuransi tiak apat itentukan engan pasti. Dengan memilih tingkat keamanan sebesar (1 α) yang fixe, retensi optimal apat itentukan berasarkan ukuran risiko Value at Risk an Conitional Tail Expectation. Retensi optimal apat iperoleh engan mengoptimisasi VaR an CTE paa tingkat keamanan sebesar (1 α). Untuk optimisasi VaR an optimisasi CTE, iasumsikan variabel ranom loss X memiliki fungsi istribusi kontinu satu-satu i, engan kemungkinan terjai loncatan i x =. 3.2 Retensi Optimal: Optimisasi VaR Paa subbab ini, akan ibahas mengenai penentuan retensi optimal ( ) untuk optimisasi VaR : VaR T, α = min > VaR T, α Universitas Inonesia Retensi optimal..., Eka Hanna Siabalok, FMIPA UI, 212

45 33 Panang VaR T, α sebagai suatu fungsi ua variabel i mana, an α,1. Optimisasi VaR merupakan suatu kriteria mencari nilai yang optimal yaitu nilai yang meminimumkan fungsi VaR T, α paa suatu nilai α yang fixe. Pertama-tama, icari ahulu fungsi survival ari bagian loss yang itanggung oleh perusahaan asuransi X I, i mana X I = X, X, X > = min X, Fungsi survival ari variabel ranom X I iberikan oleh S XI x = Pr X I > x = Pr min X, > x = S X Dari hasil i atas iperoleh bahwa x, x <, x (3.2.1) 1. Jika < α S X < S X atau ekuivalennya < S X α, (Gambar 3.1) y SX() SX() α SX(x) S -1 X(α) x Gambar 3.1. Grafik Fungsi Survival S X jika < S X α Universitas Inonesia Retensi optimal..., Eka Hanna Siabalok, FMIPA UI, 212

46 34 maka VaR XI, α = inf x Pr X I > x α = inf x = inf x = S X x α, x < α, x 2. Jika < S X < α < S X atau ekuivalennya > S X α, (Gambar 3.2) y SX() α SX() SX(x) S -1 X(α) x Gambar 3.2. Grafik Fungsi Survival S X jika > S X α maka VaR XI, α = inf x Pr X I > x α = inf x S X x α, x < α, x = inf S X (α) x < x = S X (α) 3. Jika α S X, (Gambar 3.3) maka VaR XI, α = inf x Pr X I > x α = inf x S X x α, x < α, x Universitas Inonesia Retensi optimal..., Eka Hanna Siabalok, FMIPA UI, 212

47 35 = inf x < x = y α SX() SX(x) SX() x Gambar 3.3. Grafik Fungsi Survival S X jika α S X Kasus i mana VaR XI, α = tiak akan menjai perhatian paa pembahasan tugas akhir ini. Jai untuk selanjutnya, α harus memenuhi < α < S X (). Dengan emikian, iperoleh VaR ari X I paa tingkat keamanan sebesar (1 α) aalah VaR XI, α =, < S X (α) S X α, > S X (α) (3.2.2) Perlu iperhatikan bahwa jika iberikan suatu >, maka VaR XI, α = aalah sama untuk semua α, S X () sebab X I aalah variabel ranom terbatas i mana X I. Ditulis kembali persamaan T = X I + δ() (3.2.3) Universitas Inonesia Retensi optimal..., Eka Hanna Siabalok, FMIPA UI, 212

48 36 i mana T : variabel ranom biaya total yang harus ikeluarkan oleh perusahaan asuransi X I : variabel ranom bagian loss yang ibayar oleh perusahaan asuransi δ() : premi reasuransi yang itentukan berasarkan prinsip nilai ekspektasi Dari persamaan (3.2.3) an berasarkan efinisi VaR secara matematis, apat itunjukkan bahwa untuk an α tertentu (fixe), aa hubungan antara VaR ari T an VaR ari X I, yang inyatakan oleh persamaan berikut: VaR T, α = VaR XI, α + δ() (3.2.4) Bukti VaR T, α = inf t Pr T > t α (efinisi VaR T, α ) = inf t Pr X I + δ() > t α (T = X I + δ ) = inf t Pr X I > t δ() α = inf x + δ Pr X I > x α (misalkan t = x + δ()) = inf x Pr X I > x α + δ (Teorema 2.1.1) = VaR XI, α + δ Dapat ibuktikan bahwa fungsi δ merupakan fungsi turun alam untuk,. Bukti δ = 1 + ρ π(), i mana ari Bab 2 iketahui π = S X x x. Karena fungsi survival ari variabel ranom kontinu aalah fungsi tiak naik, maka untuk sebarang < 1 < 2 iperoleh S X x x > S X x x 1 2 Universitas Inonesia Retensi optimal..., Eka Hanna Siabalok, FMIPA UI, 212

49 37 π 1 > π 2 Karena ρ >, maka 1 + ρ π 1 > (1 + ρ)π 2 δ 1 > δ 2 Jai, untuk sebarang < 1 < 2, δ 1 > δ 2 sehingga iapat δ aalah fungsi turun alam untuk,. Kemuian apat ibuktikan bahwa fungsi VaR XI, α merupakan fungsi tiak turun alam untuk, an untuk suatu nilai α yang fixe. Bukti a) Ambil sebarang < 1 < 2 < S X α, maka iperoleh VaR XI 1, α = 1 an VaR XI 2, α = 2. Karena 1 < 2, maka VaR XI 1, α < VaR XI 2, α. b) Ambil sebarang < 1 < S X α < 2, maka iperoleh VaR XI 1, α = 1 an VaR XI 2, α = S X α. Karena 1 < S X α, maka VaR XI 1, α < VaR XI 2, α. c) Ambil sebarang < S X α < 1 < 2, maka iperoleh VaR XI 1, α = S X α an VaR XI 2, α = S X α. Universitas Inonesia Retensi optimal..., Eka Hanna Siabalok, FMIPA UI, 212

50 38 Sehingga untuk sebarang < S X α < 1 < 2, VaR XI 1, α = VaR XI 2, α. Jai, karena VaR XI 1, α VaR XI 2, α berlaku untuk ketiga konisi i atas, maka terbukti bahwa VaR XI, α merupakan fungsi tiak turun alam untuk, an untuk suatu nilai α yang fixe. Karena δ aalah fungsi turun i, an VaR XI, α aalah fungsi tiak turun i,, maka iuga fungsi VaR T, α = VaR XI, α + δ() memiliki nilai optimal i,. Dari persamaan (3.2.2) an (3.2.4), iperoleh proposisi berikut. Proposisi Untuk setiap > an < α < S X (), VaR T, α = + δ, < S X (α) S X α + δ, > S X (α). (3.2.5) Sama halnya engan VaR XI, α, jika iberikan suatu >, VaR T, α = + δ() aalah sama untuk semua α, S X (). Diefinisikan ρ = 1, i mana ρ > aalah safety loaing factor, yang akan 1+ρ memainkan peran penting alam mencari solusi permasalahan optimisasi VaR. Berikut aalah teorema yang menyatakan syarat perlu an cukup untuk keberaaan retensi optimal paa optimisasi VaR: Teorema VaR T, α = min > VaR T 1. Retensi optimal > aa jika an hanya jika, α. an α < ρ < S X () (3.2.6) Universitas Inonesia Retensi optimal..., Eka Hanna Siabalok, FMIPA UI, 212